UNIVERSIDAD JUÁREZ AUTÓNOMA DE TABASCO.
DIVISIÓN ACADÉMICA DE CIENCIAS BÁSICAS.
CALOR, ONDAS Y FLUIDOS.
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE, EL MOVIMIENTO
AMORTIGUADO Y EL SOBRE AMORTIGUADO.
PROFESOR:
Esteban Andrés Zárate.
ALUMNA:
González Martínez Cassandra.
LICENCIATURA EN FÍSICA.
TURNO:
Matutino
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE, EL MOVIMIENTO
AMORTIGUADO Y EL SOBRE AMORTIGUADO.
Este ensayo fue realizado con objetivo de conocer estos tres tipos de movimiento, junto
con sus propiedades y similitudes, por lo que se llevó a cabo una investigación para
profundizar estos temas, ya que están relacionados entre sí y se llegan a encontrar en la vida
cotidiana. Este ensayo se dirige a todo público o comunidad científica ya que se hizo el uso
de fórmulas, sin embargo cada fórmula describe lo que significa y a qué corresponde y en
determinados caso cómo se usan. Se hizo uso de los ejemplos para una amplia explicación
y sea mucho más entendible, el uso de ejemplos fáciles para una mejor comprensión de los
temas abordados. El uso de las fórmulas que se pueden llegar aplicar a los ejemplos, hace
una más amplia extensión del tema. En ciertas partes se llega a citar textualmente para dar
otro punto de vista desde otro autor y esto engrandece más la explicación de los tres tipos de
movimientos. Al final se pudo llegar a conocer mucho más a fondo el concepto de estos tres
movimientos y que realmente forman parte de nuestra vida diaria y que se podrá seguir
usando en muchos casos más ya que sólo se mencionaron ciertos ejemplo pero se sabe que
este tipo de movimientos se pueden llegar aplicar en muchas más actividades u objetos de la
vida común.
El movimientos armónico y el movimiento amortiguado y sobre amortiguado están presentes
en la vida diaria, pero no nos damos cuenta que están presentes, ejemplo en los
amortiguadores de un automóvil o de una bicicleta, al igual que en un trampolín, en éste
último se usan resortes al igual que en la bicicleta, en el primero se llega a ser el uso de
fluidos viscosos, sin embargo no sabemos en qué llegan a consistir. El movimiento armónico
simple está presente en instrumentos musicales, cuando una campana de iglesia suena, el
aleteo de algún animal, sea pájaro, abeja, abejorro, mariposa, etcétera. Podemos comenzar
a partir del movimiento armónico simple ya que éste hace el punto de partida para los otros
dos movimientos y que de igual manera surgen de ahí mismo. Todos estos movimientos
están relacionados entre sí por lo que es mucho más fácil entenderlos si se juntan todos ya
que tienen puntos similares.
2
Se describe al movimiento armónico como a todo movimiento periódico o vibratorio; este tipo
de movimiento es originado por fuerzas que varían con respecto al tiempo, por lo que este
movimiento llegará a una aceleración variable con respecto al tiempo. El movimiento
armónico está determinado como un movimiento en secuencia y tiene fuerzas externas, un
ejemplo de las fuerzas puede ser la fricción, cual esta se involucra con el movimiento
amortiguado y sobre amortiguado ya que altera el movimiento frenándolo y hace que no
oscile tanto. (Lázaro L. 2005. 11)
Describimos como al movimiento armónico simple (MAS) a si se le aplica una fuerza que es
directamente proporcional a su desplazamiento con respecto al equilibrio, entonces su
oscilación será de dicho movimiento. Hay que destacar que no todos los movimientos
oscilatorios son armónicos, se debe cumplir lo anteriormente dicho. Podemos decir que el
movimiento de un péndulo es muy parecido a este movimiento pero si su ángulo de barrido
no es mayor a los 10 y 15 grados. (Stollberg – Hill. 1975.309). “El movimiento armónico
simple es el que ejecuta una partícula de masa m sujeta a una fuerza proporcional al
desplazamiento de la partícula pero de signo contrario”. De igual forma se puede aplicar la
ley de Hooke de éste movimiento, podemos expresarlo como:
‖𝐹⃗ ‖ = 𝑚‖𝑎⃗‖ = −(𝑚𝜔2 )𝑥. (1)
‖𝐹⃗ ‖ = −𝑘𝑥 (2), donde 𝑘 = 𝑚𝜔2 (3). (Halliday, Resnick, Walker, 2013.390)
La aceleración de este movimiento la podemos denotar como:
‖𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗𝑥 ‖ =
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡 2
𝑘
= − 𝑚 𝑥 (4), el signo menos representa que la aceleración y el desplazamiento
siempre tienen signos opuestos. (Sears-Zemansky.2009.421)
Un cuerpo que está en dicho movimiento, se le denomina oscilador simple. Podemos decir
que en dicho movimiento, si su amplitud es pequeña, sus oscilaciones del sistema son o más
o menos armónicas simples, por lo que la ecuación (4) sirve como modelo de aproximación
para distintos movimientos periódicos. (Sears-Zemansky.2009.422). Hay que destacar que
el movimiento armónico simple está relacionado con el movimiento circular uniforme, cual el
primero es una proyección del movimiento circular uniforme, el MAS está ubicado en el
diámetro del círculo de referencia en el cual ocurre dicho movimiento. ” (Halliday, Resnick,
Walker, 2013.399)
3
“El sistema formado por un bloque y un resorte forma un oscilador armónico simple lineal,
donde “lineal” indica que F es proporcional a x en lugar de proporcional a alguna otra
potencia de x”. (Halliday, Resnick, Walker, 2013.390) Con esto anteriormente dicho,
podemos encontrar la frecuencia angular del movimiento armónico simple, por lo que
obtiene:
𝑘
𝜔 = √𝑚 (5), 𝜔 depende de los valores de k y m. (Sears-Zemansky.2009.423)
Para éste movimiento es necesario conocer la frecuencia y el periodo, por lo que tenemos
que:
𝑓=
𝜔
2𝜋
=
1
𝑘
2𝜋
√ (6), es usada para la frecuencia, cual es el número de vibraciones completas
𝑚
por unidad de tiempo.
1
𝑇=𝑓=
2𝜋
𝜔
𝑚
= 2𝜋√ 𝑘 (7), cual es el periodo y se define como el intervalo del tiempo para una
vibración. Este no depende de la amplitud. Igual podemos darnos cuenta que si la masa m es
mayor, con su mayor inercia, se obtiene menos aceleración y hace que se mueva más
lentamente y esto provoca que el ciclo tarde en completarse. Sin embargo si el resorte es
más rígido, este llega a ejercer mayor fuerza para que se deforme x, esto causa mayor
aceleración y velocidad pero sus ciclos serían más cortos. (Sears-Zemansky.2009.424)
Una importante fórmula que se debe conocer para MAS es su fórmula del desplazamiento,
ya que como habíamos mencionado debe de tener una proporcionalidad con respecto a su
desplazamiento por lo que tenemos que:
𝑘
𝑥 = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜙) (8), donde 𝜔 = √𝑚, anteriormente dicho. Su posición es periódica senoidal
del tiempo. Al usar el coseno sabemos que siempre estará entre 1 y -1, por lo que siempre x
estará en A y –A. Por lo que se puede decir que A es la amplitud del movimiento, cual se
puede definir que es la distancia del
punto de equilibrio y los puntos extremos de la
trayectoria en donde cambia de sentido (punto de retorno) . La función coseno se repite cada
vez
que
la
cantidad
de
paréntesis
(fase)
aumente
en
2𝜋
radianes.
(Sears-
Zemansky.2009.425)
4
Dentro de la ecuación del desplazamiento nos menciona el ángulo de fase , cual es el punto
del ciclo donde se encontraba el movimiento en tiempo 0. El ángulo de fase se considera una
constante. Si tomamos en cuenta que 𝑡 = 0 𝑐𝑜𝑛 𝑥0 , podemos obtener: 𝑥0 = 𝐴 cos 𝜙 (9),
sabiendo esto, podemos encontrar tres opciones:
1.- 𝜙 = 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥0 = 𝐴 cos 0 = 𝐴, la partícula del desplazamiento es positiva máxima.
2.- 𝜙 = 𝜋, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥0 = 𝐴 cos 𝜋 = −𝐴, , la partícula del desplazamiento es negativa máxima.
𝜋
𝜋
3.- 𝜙 = 2 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥0 = 𝐴 cos 2 = 0, entonces la partícula no se desplazó y es parte del
origen. (Sears-Zemansky.2009.426)
Para obtener la velocidad y la aceleración con respecto al eje x, debemos derivar la ecuación
de la posición, entonces:
𝑑𝑥
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‖𝑣𝑥 ‖ = = −𝜔𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜙) (10). Oscila entre 𝑣𝑚𝑎𝑥 = 𝜔𝐴 y −𝑣𝑚𝑎𝑥 = −𝜔𝐴
𝑑𝑡
𝑎𝑥 =
𝑑‖𝑣
⃗⃗⃗⃗⃗‖
𝑥
𝑑𝑡
=
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡 2
= −𝜔2 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜙) (11). Oscila entre 𝑎𝑚𝑎𝑥 = 𝜔2 𝐴 y −𝑎𝑚𝑎𝑥 = −𝜔2 𝐴 (Sears-
Zemansky.2009.426)
El movimiento armónico simple también tiene energía, como conocemos, contiene cinética y
potencial por lo que no hay fuerzas conservativas que efectúen trabajo por lo que se llega
1
aplicar la conservación de la energía mecánica total, se ve denotada como 𝐸 = 2 𝑚‖⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣𝑥 ‖2 +
1
2
𝑘𝑥 2 = 𝐶 (12), donde C es constante. Esta se llega a relacionar con la amplitud del
movimiento. Cuando el cuerpo llega a la posición A, el desplazamiento es máximo con
respecto al punto de equilibrio pero se llega a detener antes de volver a la posición del
equilibrio, por lo que no contiene energía cinética y su energía total queda como energía
1
potencia, entonces queda como 𝐸 = 2 𝑘𝐴2 (13). Es constante la energía en cualquier otro
1
1
1
punto, podemos combinar la 12 y la 13 y obtenemos, 𝐸 = 2 𝑚‖⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣𝑥 ‖2 + 2 𝑘𝑥 2 = 2 𝑘𝐴2 (14).
(Sears-Zemansky.2009.428-429)
Sabiendo ya todos los términos del movimiento armónico simple, podemos relacionarlo con
el movimiento amortiguado. Definimos amortiguamiento como: “La disminución de la amplitud
causada por fuerzas disipadoras se denomina amortiguamiento y el movimiento
5
correspondiente se llama oscilación amortiguada.” (Sears-Zemansky.2009.440) En un cuerpo
se ejerce fuerza adicional ya que la fricción denominada ‖𝐹⃗ ‖𝑥 = −𝑏‖⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣𝑥 ‖ (15), donde b es
constante de la intensidad de la fuerza amortiguadora y ‖⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣𝑥 ‖ =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
(16) es la velocidad.
Como la fuerza total se ejerce en el cuerpo, se obtiene:
2
𝑑𝑥
𝑑 𝑥
⃗⃗⃗⃗𝑥 ‖ = −𝑘𝑥 − 𝑏‖⃗⃗⃗⃗⃗
∑𝑛𝑖=𝑛‖𝐹
𝑣𝑥 ‖ (17), por lo tanto −𝑘𝑥 − 𝑏 𝑑𝑡 = 𝑚 𝑑𝑡 2 (18). Si la fuerza de
amortiguamiento es pequeña, entonces: 𝑥 = 𝐴𝑒
−𝑏
)𝑡
2𝑚
(
cos(𝜔′ 𝑡 + 𝜙) (20) y su frecuencia es
𝑏2
𝑘
similar a la frecuencia del movimiento armónico simple, sólo que se le agrega: 𝜔′ = √𝑚 − 4𝑚2
−𝑏
(21). 𝐴𝑒 (2𝑚)𝑡 No es una constante, esta disminuye con el tiempo. Para el caso cuando 𝜙 = 0,
cuanto mayor sea el valor de b, su amplitud disminuirá más rápidamente. Si 𝑏 = 2√𝑘𝑚 (22),
si se cumple esto significa que su amortiguamiento es crítico y el sistema ya no oscila, vuelve
a su posición de equilibrio cuando se desplaza y se suelta. Si b es mayor significa que está
sobre amortiguado, tampoco ocurre oscilación pero en éste si regresa al sistema en equilibrio
y más lento que el anterior mencionado. También se puede decir acerca del amortiguamiento
que:
“Conforme el valor de b aumenta, la amplitud de las oscilaciones disminuye más y más
𝑏
rápidamente. Cuando b alcanza un valor critico 𝑏𝑐 tal que2𝑚𝑐 = 𝜔0 , el sistema no oscila y se
dice que esta críticamente amortiguado. En este caso, el sistema, una vez liberado del
reposo en alguna posición de no equilibrio, se aproxima pero no pasa a través de la posición
de equilibrio. Si el medio es tan viscoso que la fuerza retardadora es grande en comparación
con la fuerza restauradora (es decir, si
𝑏
2𝑚
> 𝜔0 ), el sistema está sobre amortiguado. De
nuevo el sistema desplazado, cuando tiene libertad para moverse, no oscila sino
simplemente regresa a la posición de equilibrio. Conforme el amortiguamiento aumenta, el
intervalo de tiempo requerido para que el sistema se aproxime al equilibrio también
aumenta.” (Serway-Jewett.2008 .439-437)
6
De igual forma el movimiento amortiguado, contiene energía y esta no es conservativa,
también no es constante, esta va disminuyendo mientras se va acercando a cero después de
un determinado tiempo. Se puede definir como
𝑑𝐸
𝑑𝑡
= ‖⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣𝑥 ‖(−𝑏‖⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣𝑥 ‖) = −𝑏‖⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣𝑥 ‖2 (23)
“El miembro derecho de la ecuación (23) es negativo, siempre que el cuerpo que oscila esté
en movimiento, sea la velocidad 𝑣𝑥 positiva o negativa. Esto indica que conforme el cuerpo
se mueve la energía disminuye, aunque no con rapidez uniforme. El término
−𝑏‖⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣𝑥 ‖2 =
(−𝑏‖⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣𝑥 ‖)‖⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣𝑥 ‖es la rapidez con que la fuerza amortiguadora efectúa trabajo (negativo) sobre
el sistema (es decir, la potencia amortiguadora). Esto es igual a la rapidez de cambio de la
energía mecánica total del sistema.” (Sears-Zemansky.2009.442)
Se puede llegar a entender este estos tres temas relacionados con dos ejemplos. El primero
se podrá explicar con detalle el movimiento armónico simple. Supongamos el péndulo del
inicio, donde dijimos que para que sea un movimiento armónico simple su ángulo debe ser
no mayor a 10 y 15 grados. El péndulo se irá movimiento si le aplicamos una fuerza aunque
sea pequeña se moverá, sin embargo no tendrá fricción, se moverá a lo largo, pero mientras
pase el tiempo la distancia que recorrerá se hará mucho más pequeña hasta que al final
llegará al reposo, de igual forma disminuirá su velocidad mientras se va deteniendo poco a
poco. Su frecuencia dependerá de la longitud de la cuerda y de la gravedad, esto puede
cambiar cuando se usa un resorte y un objeto, cuando es un resorte y un objeto, dependerá
de la masa y la rigidez del resorte, sin embargo, lo vamos aplicar a un péndulo, por lo que
usaremos términos distintos. Por supuesto nuestro péndulo tendrá un periodo y como
sabemos que el periodo es el inverso de la frecuencia, será mucho más fácil obtenerlo. Con
un resorte y un objeto es mucho más fácil y se aplican las fórmulas anteriormente
mencionadas, ya que está de forma lineal (en el eje x). A éste tampoco se le aplica fricción el
objeto que está colocado en el resorte se moverá en movimiento armónico simple cuando
este sea jalado cuando x sea 0 y se haya aflojado el resorte y de aquí se aplicaría la fórmula
del desplazamiento y de igual manera las demás de velocidad y aceleración.
7
Para definir el movimiento amortiguado, podemos pensar en un
automóvil, este tiene
suspensiones o amortiguadores, estos sirve para cuando se pasa un bache o alguna
irregularidad en el suelo no se golpee el interior del auto y hasta los mismos pasajeros. El
amortiguador contiene un fluido viscoso que hace que disipe energía y por supuesto esto
llega a crear una fricción, en síntesis sería que el fluido pasa por una serie de válvulas de un
lado a otro del pistón y esto es lo que hace que frene o se calme la oscilación. Si el
amortiguador sólo fuera un resorte sin rozamiento cuando el automóvil pase el bache se
seguiría oscilando y hasta cierta parte oscilaría aun cuando ya se haya pasado el bache. Y al
final de pasar la irregularidad del suelo y se esté deteniendo poco a poco la oscilación
regresará a su punto de equilibrio.
- Blas T. y Fernández A. (Sin mencionar). Movimiento armónico simple. 16/10/2020, de
Dinámica Sitio web: http://www2.montes.upm.es/dptos/digfa/cfisica/dinam1p/mas.html
- Halliday D., Resnick R. y Walker J. (2009). Fundamentos de Física. México: Patria.
- Lázaro L. (2005). Evolución espacial de los periodos de resonancia y aplicaciones en el
análisis mecánico de suelos. Capítulo 3. Movimiento armónico. 16/10/2020. Sitio web:
https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=&cad=rja&uact=8&ved=
2ahUKEwju-pCiu7zsAhXNQs0KHeMA1MQFjAAegQIBRAC&url=https%3A%2F%2Fsisbib.unmsm.edu.pe%2Fbibvirtualdata%2Fm
onografias%2Fbasic%2Fvilcapoma_ll%2Fcap3.pdf&usg=AOvVaw3a9znY8rO4_e221FV_AQL
- Nave O. (Sin mencionar). Amortiguación Crítica. 16/10/2020, de HyperPhysics Sitio web:
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/oscda2.html
- Nave O. (Sin mencionar). Movimiento Armónico Simple. 16/10/2020, de Hyperphysics Sitio
web: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/shm.html
- Nave O. (Sin mencionar). Oscilador Armónico Amortiguado. 16/10/2020, de HyperPhysics
Sitio web: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/oscda.html
8
- Sears, Zemansky, Freedman R. y Young H. (2009). Física universitaria. México: Pearson.
-Serway R. y Jewett R. (2008). Física para ciencias e ingeniería. México: Cengage Learning.
- Sin mencionar. (2003). movimiento armónico simple y oscilador amortiguado. 16/10/2020,
de
Grupo
de
acústica
Sitio
web:
http://www.ehu.eus/acustica/espanol/basico/mases/mases.html
- Sin mencionar. (2013). Movimiento subamortiguado . 16/10/2020, de Slidershare Sitio web:
https://es.slideshare.net/jnicolers/movimiento-subamortiguado
-
Sin
mencionar.
(2016).
El
movimiento
armónico
amortiguado.
16/10/2020,
de
Cienciaonthecrest Sitio web: https://cienciaonthecrest.com/2016/03/05/movimiento-armonicoamortiguado/
- Sin mencionar. (2017). Oscilaciones amortiguadas (GIE). 16/10/2020, de Universidad de
Sevilla.
Departamento
de
física
aplicada
III
Sitio
web:
http://laplace.us.es/wiki/index.php/Oscilaciones_amortiguadas_(GIE)
- Sin mencionar. (Sin mencionar). El movimiento armónico simple. 16/10/2020, de Sin
mencionar
Sitio
web:
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/centros-
tic/11007387/helvia/aula/archivos/repositorio/250/267/html/mas/index.html
- Sin mencionar. (Sin mencionar). Movimiento Armónico Simple M.A.S. 16/10/2020, de
Google Sites Sitio web: https://sites.google.com/site/gisellaportillo630/movimiento-armonicosimple-m-a-s
- Stollberg R y Hill F. (1975). FÍSICA, fundamentos y fronteras. México: PCSA.
9