More explanation about next parts in deriving Zoeppritz’s equation:
So far we saw:
j 0
 0  A0 e
,  1  A1 e
 ´1  B1 e
j 1
,  2  A2 e
j  ´1
j 2
,  ´2  A 2 e
j  ´2
where
0  p (x  z cot 1 ), 1  p (x  z cot 1 ),
 ´1  p (x  z cot 1 ),
 2  p (x  z cot  2 )
 ´2  p (x  z cot  2 )
Then, displacement along x and z directions are
u1  A 0 e
j 0
sin 1  A1 e
u2 
A2 e
w 1  A 0 e
j 0
j 1
sin 1  B 1 e
j  2
sin  2  B 2 e
cos 1  A1 e
j 1
 A2 e
j  2
w2 
j  ´1
cos 1
j  ´2
cos 1  B 1 e
cos  2
j  ´1
sin 1
j  ´2
cos  2  B 2 e
sin  2
We apply the boundary conditions (i.e. continuity of displacements and stresses) at the surface (i.e.
z=0), so
u1  u 2
along x  axis
w 1 w 2
along z  axis
 zz 1   zz
2
 zx 1   zx
2
normal stress
shrear stress
Since z=0 at the surface
u1  u 2 , z  0 
A0 e
j  px
 A2 e
sin 1  A1 e
j  px
j  px
sin  2  B 2 e
sin 1  B 1 e
j  px
j  px
cos 1
cos  2
A 0 sin 1  A1 sin 1  B 1 cos 1
 A 2 sin  2  B 2 cos  2
w 1  w 2 z  0 
A 0 e
j  px
  A2 e
cos 1  A1 e
j  px
j  px
cos  2  B 2 e
cos 1  B 1 e
j  px
sin  2
A 0 cos 1  A1 cos 1  B 1 sin 1
  A 2 cos  2  B 2 sin  2
j  px
sin 1
Remember Lame’s relations
 ii    2 ii   ( xx   yy   zz )  2 ii
 ij   ij
and we had
u
x
v

y
w

z
 yy
 zz
v u

x y
w v


y z
u w


z x
 xy   yx 
 xx 
and
 yz   zy
 zx   xz
It is clear that we have no displacement in y directions, so the strains related to y-direction are zero.
Hence, the third and the fourth boundary conditions for normal and shear stress can be rewritten as
 zz ,i  i ( xx ,i   zz ,i )  2i  zz ,i
 zz ,1  1 ( xx ,1   zz ,1 )  21 zz ,1
 zx ,i  i  xz ,i
u w
w
 zz ,1  1 ( 1  1 )  2 1 1
x
z
z
u
w 2
w 2
 zz ,2  2 ( 2 
)  22
x
z
z
 u1 w 1 


x 
 z
w 2 
 u
 zx ,2  1 xz ,2  2  2 

x 
 z
Shear stress continuity :
 zx ,1   zx ,2
 zx ,1  1 xz ,1  1 
normal stress continuity :
 zz ,1   zz ,2
 u1 w 1 
 u 2 w 2 


  2 

x 
x 
 z
 z
w 1
w 2 
w 2
 u1 w 1 
 u

 2  2 
  2 1
  22
z 
z
z 
z
 x
 x
1 
1 
Next we obtain all derivatives for the normal stress continuity
u1


A 0 e j 0 sin 1  A1 e j 1 sin 1  B 1 e j  ´1 cos 1
x x
u1


A 0 e j  p ( x z cot 1 ) sin 1  A1 e j  p ( x  z cot 1 ) sin 1  B 1 e p ( x  z cot 1 ) cos 1
x x
u1
 j  p A 0 e j  p ( x z cot 1 ) sin 1  A1 e j  p ( x  z cot 1 ) sin 1  B 1 e p ( x  z cot 1 ) cos 1
x
In the incidence po int z  0, x  0 so
u1
 j  p  A 0 sin 1  A1 sin 1  B 1 cos 1 
x





(And this is why Sherrif and Geldart say we may assume that
!)

w 1


A 0 e j 0 cos 1  A1 e j 1 cos 1  B 1 e j  ´1 sin 1
z
z
w 1


A 0 e j  p ( x  z cot 1 ) cos 1  A1 e j  p ( x  z cot 1 ) cos 1  B 1 e j  p ( x  z cot 1 )sin 1
z
z
w 1
 j  p A 0 e j  p ( x z cot 1 ) cot 1 cos 1  A1 e j  p ( x  z cot 1 ) cot 1 cos 1  B 1 e j  p ( x  z cot 1 ) cot 1 sin 1
z
In the incidence po int z  0, x  0 so
w 1
remember: cot  cos/sin
 j  p  A 0 cot 1 cos 1  A1 cot 1 cos 1  B 1 cot 1 sin 1  

z
w 1
 j  p  A 0 cot 1 cos 1  A1 cot 1 cos 1  B 1 cos 1 
z





u 2


A 2 e j 2 sin  2  B 2 e j  ´2 cos  2
x
x
u 2


A 2 e j  p ( x  z cot 2 ) sin  2  B 2 e j  p ( x  z cot  2 ) cos  2
x
x
u 2
 j  p A 2 e j  p ( x  z cot 2 ) sin  2  B 2 e j  p ( x  z cot  2 ) cos  2
x
In the incidence po int z  0, x  0 so
u 2
 j  p  A 2 sin  2  B 2 cos  2 
x






w 2


 A 2 e j 2 cos  2  B 2 e j  ´2 sin  2
z
z
w 2


 A 2 e j  p ( x  z cot 2 ) cos  2  B 2 e j  p ( x  z cot  2 )sin  2
z
z
w 2
 j  p A 2 e j  p ( x  z cot 2 ) cot  2 cos  2  B 2 e j  p ( x  z cot  2 ) cot  2 sin  2
z
In the incidence po int z  0, x  0 so
w 2
remember cot  cos/sin
 j  p  A 2 cot  2 cos  2  B 2 cot  2 sin  2  

z
w 2
 j  p  A 2 cot  2 cos  2  B 2 cos  2 
z







After substituting the derivatives in the normal stress continuity boundary conditions:
normal stress continuity condition :
w 1
w 2 
w 2
 u1 w 1 
 u

 2  2 
  2 1
  22

x

z

z

x

z
z




After substituding the obtained derivitives
1 
1 j  p   A 0 sin 1  A1 sin 1  B 1 cos 1    A 0 cot 1 cos 1  A1 cot 1 cos 1  B 1 cos 1  
2 1 j  p  A 0 cot 1 cos 1  A1 cot 1 cos 1  B 1 cos 1 
 2 j  p   A 2 sin  2  B 2 cos  2    A 2 cot  2 cos  2  B 2 cos  2  
drop j  p
2 2 j  p  A 2 cot  2 cos  2  B 2 cos  2  

1   A 0 sin 1  A1 sin 1  B 1 cos 1    A 0 cot 1 cos 1  A1 cot 1 cos 1  B 1 cos 1  
2 1  A 0 cot 1 cos 1  A1 cot 1 cos 1  B 1 cos 1 
 2   A 2 sin  2  B 2 cos  2    A 2 cot  2 cos  2  B 2 cos  2  
2 2  A 2 cot  2 cos  2  B 2 cos  2 
1  A 0 sin 1  A1 sin 1  B 1 cos 1    1  21  A 0 cot 1 cos 1  A1 cot 1 cos 1  B1 cos 1 
 2  A 2 sin  2  B 2 cos  2    2  2 2  A 2 cot  2 cos  2  B 2 cos  2 
rewriting :
A 0  1 sin 1   1  21  cot 1 cos 1   A1  1 sin 1   1  21  cot 1 cos 1 
 B 1  1 cos 1   1  2 1  cos 1 
 A 2  2 sin  2   2  2 2  cot  2 cos  2   B 2  2 cos  2   2  2 2  cos  2 
 A 0  A1   1 sin 1   1  21  cot 1 cos 1   B1  21 cos 1 
 A 2  2 sin  2   2  2 2  cot  2 cos  2   B 2  2 2 cos  2 
The last equation again can be rewritten as
 A 0  A1   1 sin 1   1  21  cot 1 cos 1   B1  21 cos 1 
 A 2  2 sin  2   2  2 2  cot  2 cos  2   B 2  22 cos  2 

 A 0  A1   1 sin 1   1  21 

cos 2 1 
  B 1  2 1 cos 1 
sin 1 

cos 2  2 
 A 2  2 sin  2   2  2 2 
  B 2  2 2 cos  2 
sin  2 


 A 0  A1   1 sin 1   1  21 
1  sin 2 1 
  B 1  2 1 cos 1 
sin 1 


1  sin 2  2 
 A 2  2 sin  2   2  2 2 
  B 2  2 2 cos  2 
sin  2 

  1  21   21 sin 2 1 
  B 1  2 1 cos 1 
sin 1


  2  22   22 sin 2  2 
 A 2 
  B 2  2 2 cos  2 
sin  2


 A 0  A1  
(
Remembering that P-wave velocity
)
, S-wave velocity
( )
and general Snell’s
law
sin 0
1

sin 1
1

sin 1

1
sin 2
2

sin  2
2
p
  1  21   21 sin 2 1 
  2  2 2   2 2 sin 2  2 
  B 1  21 cos 1   A 2 
  B 2  22 cos  2 
sin 1
sin  2




 A 0  A1  
i  2 i  i  i , i  i i
,sin i  p i


2
2
 112  2 112 sin 2 1 
  2 22  2  2  22 sin 2  2 
2
2
  B 1 2 11 cos 1  A 2 
  B 2 2  2  2 cos  2
p

s
in

i
2





 A 0  A1  



sin 0 sin 1 sin 1 sin  2 sin  2




p
1
1
1
2
2


2
2


 sin 1  
sin  2  
2
2
 112  2 112  1





2




 
2 2
2 2  2
1  
2  




 A 0  A1  
  B 1  2 111 cos 1   A 2 
  B 2  2  2  2  2 cos  2 
p i
sin  2












sin 0 sin 1 sin 1 sin  2 sin  2




p
1
1
1
2
2


 112  2 112 sin 2 1 
  2 22  2  2 22 sin 2  2 




sin 1
sin 1

B
2


cos


A
cos  2 

  B 2  2 2  2
1
1 1
1
2
p1
p
p 2
p








 A 0  A1  
2
 1  2sin 2 1 
 sin 1 cos 1 
 sin  2 cos  2 
2  1  2sin  2 

2


B

A



  22 2B 2 


1 1 1
2 2 2 
p1
p
p 2
p








 A 0  A1  112 
1
sin  cos   sin  2 
&
cos  2  1 2sin 2  2 
2


1
1
sin  21 
sin  2 2 
cos  21 
cos  2 2 
2
 2 11B 1
 A 2  2 2
 22  2B 2 2
 A 0  A1  11
p
p
p
p
cancelling p


 A 0  A1  11 cos  21   11B1 sin  21   A 2 2 2 cos  2 2    2  2 B 2 sin  21 
Z i  i  i & W i  i  i


 A 0  A1  Z i cos  21  W 1B1 sin  21   A 2 Z i cos  2 2  W 2 B 2 sin  21 
The last equation is the third Zoepritiz’s equation.
The fourth Zoepritz’s equation can be derived similarly using the shear stress continuity condition
Shear stress continuity :
 zx ,1   zx ,2
 u1 w 1 
 u 2 w 2 


  2 

x 
x 
 z
 z
1 
Follow similar ways as we used for the third one to obtain the fourth equation
u1


A 0 e j 0 sin 1  A1 e j 1 sin 1  B 1 e j  ´1 cos 1
z
z
u1


A 0 e j  p ( x z cot 1 ) sin 1  A1 e j  p ( x  z cot 1 ) sin 1  B 1 e j  p ( x  z cot 1 ) cos 1
z
z
u1
 j  p A 0 e j  p ( x  z cot 1 ) cot 1 sin 1  A1 e j  p ( x  z cot 1 ) cot 1 sin 1  B 1 e j  p ( x  z cot 1 ) cot 1 cos 1
z
In the incidence po int z  0, x  0 so
u1
 j  p  A 0 cot 1 sin 1  A1 cot 1 sin 1  B1 cot 1 cos 1 
z
u1
 j  p  A 0 cos 1  A1 cos 1  B 1 cot 1 cos 1 
z





w 1


A 0 e j 0 cos 1  A1 e j 1 cos 1  B 1 e j  ´1 sin 1
x
x
w 1


A 0 e j  p ( x z cot 1 ) cos 1  A1 e j  p ( x  z cot 1 ) cos 1  B 1 e j  p ( x  z cot 1 ) sin 1
x
x
w 1
 j  p A 0 e j  p ( x  z cot 1 ) cos 1  A1 e j  p ( x  z cot 1 ) cos 1  B 1 e j  p ( x  z cot 1 ) sin 1
x
In the incidence po int z  0, x  0 so
w 1
 j  p  A 0 cos 1  A1 cos 1  B 1 sin 1 
x





u 2

z
u 2

z
u 2

z
In the
u 2

z

A2 e
z

A2 e
z

j  2

j  p ( x  z cot  2 )

j  p A 2 e
sin  2  B 2 e
j  ´2
cos  2
sin  2  B 2 e
j  p ( x  z cot  2 )

j  p ( x  z cot  2 )
cot  2 sin  2  B 2 e
incidence po int z  0, x  0 so
j  p  A 2 cos  2  B 2 cot  2 cos  2 
cos  2

j  p ( x  z cot  2 )
cot  2 cos  2



w 2


 A 2 e j 2 cos  2  B 2 e j  ´2 sin  2
x
x
w 2


 A 2 e j  p ( x  z cot 2 ) cos  2  B 2 e j  p ( x z cot  2 ) sin  2
x
x
w 2
 j  p  A 2 e j  p ( x  z cot 2 ) cos  2  B 2 e j  p ( x z cot  2 ) sin  2
x
In the incidence po int z  0, x  0 so
w 2
 j  p   A 2 cos  2  B 2 sin  2 
x






Next we substitute the derivatives in the shear stress condition
Shear stress continuity :
 zx ,1   zx ,2
 u1 w 1 
 u 2 w 2 


  2 

x 
x 
 z
 z
1 
1 j  p  A 0 cos 1  A1 cos 1  B 1 cot 1 cos 1  A 0 cos 1  A1 cos 1  B1 sin 1 
 2 j  p  A 2 cos  2  B 2 cot  2 cos  2   A 2 cos  2  B 2 sin  2 
1   A 0  A1  cos 1  B 1 cot 1 cos 1   A 0  A1  cos 1  B 1 sin 1 
 2  A 2 cos  2  B 2 cot  2 cos  2  A 2 cos  2  B 2 sin  2 
1  2  A 0  A1  cos 1  B 1  cot 1 cos 1  sin 1  
 2  2A 2 cos  2  B 2  cot  2 cos  2  sin  2  
left sin 1 , right sin  2


1
 2  A0  A1  cos 1 sin 1  B1  sin 1 cot 1 cos 1  sin 1 sin 1  
sin 1
2

 2A 2 cos 2 sin  2  B 2  sin  2 cot  2 cos  2  sin  2 sin  2  
sin  2
 i
i
i

cot  cos/sin
,
cos 2   sin 2  cos 2
1
 2  A0  A1  cos 1 sin 1  B1 cos  21  
sin 1
2

 2A 2 cos 2 sin  2  B 2 cos  2 2  
sin  2
1
 2  A0  A1  cos 1 sin 1  B1  sin 1 cot 1 cos 1  sin 1 sin 1  
sin 1
2

 2A 2 cos 2 sin  2  B 2  sin  2 cot  2 cos  2  sin  2 sin  2  
sin  2
 i
i
i

cot  cos/sin
1
sin 1

cos 2   sin 2  cos 2 
,
 2  A
0
 A1  cos 1 sin 1  B 1 cos  21  
2
 2A 2 cos 2 sin  2  B 2 cos  2 2  
sin  2
i  i i2
,
sin 0 sin 1 sin 1 sin  2 sin  2




p
1
1
1
2
2


112
 2  A0  A1  cos 1 sin 1  B1 cos  21  
p 1

 2  22
 2A 2 cos 2 sin  2  B 2 cos  2 2  
p 2
sin 0 sin 1 sin 1 sin  2 sin  2




p
1
1
1
2
2
 sin  i 
i
sin i
i




1
 2  A 0  A1  cos 1 sin 1  B 1 cos  21  
1


2

 

 2 2  2A 2 cos  2 2 sin  2  B 2 cos  2 2  
p 2 
2

112
p 1
11 1

2  A 0  A1  cos 1 sin 1   1 1 B 1 cos  21 

p 1
p
 

 2 2 2  2A 2 cos  2 sin  2   2 2 B 2 cos  2 2 
p 2  2
p 2
W i  i i & cancelling p & sin(2i )  2 cosi sin i


1
W   A 0  A1  sin(21 )  W 1B 1 cos  21 
1 1

  2 W 2  A 2 sin(2 2 )  W 2 B 2 cos  2 2 
2
So finally we have 4 Zoepritz’s equations
 A 0  A1  sin 1  B1 cos 1  A 2 sin 2  B 2 cos  2
 A 0  A1  cos 1  B1 sin 1   A 2 cos  2  B 2 sin  2
 A 0  A1  Z i cos  21  W 1B1 sin  21   A 2 Z i cos  2 2  W 2 B 2 sin  21 
1
W  A 0  A1  sin(21 ) W 1B 1 cos  21 
1 1

  2 W 2 A 2 sin(2 2 ) W 2 B 2 cos  2 2 
2