Capítulo 3
Los Números y sus Operaciones
Problema
La película más larga que se ha hecho fue filmada en Inglaterra en 1970 y
dura cuarenta y ocho horas. Si la velocidad de la película es de 24 cuadros
por segundo, calcula el número total de cuadros de la película y exprésalo en
notación científica.
1
Los números naturales
Con los números naturales 1,2,3,. . ., contamos, entre otras cosas, nuestros primos, nuestros libros y las monedas que están en nuestro bolsillo. Podemos
sumar y, por lo tanto, multiplicar (recuerda que multiplicar es sumar repetidamente el mismo número: 3 ×4 significa tres veces cuatro, esto es 4 +4 +4 = 12,
o cuatro veces tres, esto es 3 + 3 + 3 + 3 = 12).
1.1
Propiedades
Sabemos que cuando sumamos o multiplicamos números naturales no interesa
el orden en que lo hacemos: 3 + 4 = 4 + 3 = 7 y 5 × 6 = 6 × 5 = 30. Es decir,
ambas operaciones gozan de la propiedad conmutativa.
Tanto la adición como el producto se realizan sobre dos números. Si queremos, por ejemplo, sumar más de dos, lo hacemos de a pares: 2 + 3 + 7 =
(2 + 3) + 7 = 5 + 7 = 12, o bien 2 + 3 + 7 = 2 + (3 + 7) = 2 + 10 = 12. En primer
término, hemos asociado el 2 con el 3 y al resultado le sumamos 7, o bien
1
2
CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS Y SUS OPERACIONES
asociamos 3 con 7, sumando a 10 con 2. Como vemos, el resultado no depende
de la forma en que agrupemos a los sumandos, propiedad que denominamos
asociativa. Lo mismo vale para el producto:
3 × 5 × 4 = (3 × 5) × 4 = 15 × 4 = 60 ó 3 × 5 × 4 = 3 × (5 × 4) = 3 × 20 = 60
Si multiplicamos a cualquier natural por el primero, el 1, obtenemos el
mismo número. Por ello, llamamos al 1 el elemento neutro o idéntico del
producto (5 × 1 = 1 × 5 = 5).
Cada número natural puede ser par o impar. Decimos que m ∈ N es par si
m = 2q, para algún natural q. Es decir, m es par si es múltiplo de 2. Cuando
no es par, diremos que es impar. Luego,
2, 4, 6, 8, 10, 12, ..., son números naturales pares
y
1, 3, 5, 7, 9, 11, ..., son números naturales impares
Si m, n ∈N, entonces su suma m + n es par cuando ambos son pares o
ambos impares. El producto m × n es par si al menos uno de los factores es
número par.
Si m es múltiplo de n, decimos que n es factor de m. Por ejemplo, 11 y 5
son factores de 55, ya que 55 = 11 × 5. Un número natural que tenga un factor
distinto de si mismo y de 1, se llama número compuesto. Si es mayor que 1 y
no tiene más factores que el mismo y la unidad, recibe el nombre de número
primo.
2
Los números enteros
A pesar de que la suma de dos naturales es otro natural, no se puede afirmar
necesariamente lo mismo de la diferencia de dos naturales cualesquiera. Por
ejemplo, 6 + 11 = 17 ∈ N, pero 6 − 11 ∈
/ N. Por tanto, la diferencia no se
define en N.
Para definir la diferencia, como operación, hace falta ampliar este conjunto
introduciendo los opuestos o inversos aditivos de los naturales, que llamaremos
enteros negativos.
Los enteros negativos, son:
−1, −2, −3, −4, −5, ...
2. LOS NÚMEROS ENTEROS
3
Estos números se presentan a menudo: al medir temperaturas muy bajas
en invierno, por ejemplo, cuando decimos −5◦ , lo que significa cinco grados
bajo cero; en los balances de contabilidad; al registrar pérdidas de peso; etc.
Cuando restamos dos números iguales, por ejemplo 13 − 13, obtenemos como
resultado el 0, que no es positivo ni negativo.
Los números naturales, junto con sus opuestos aditivos y el cero constituyen
los enteros, conjunto que identificaremos con Z. Un buen modo de representarlos es escribirlos sobre puntos que se encuentran sobre una línea horizontal,
a la misma distancia uno del siguiente, como se indica en la figura.
Caracterizaremos a los números enteros como un conjunto discreto, un
conjunto en el que sus elementos están separados entre sí, como las piedras que
colocamos para cruzar un cauce de agua sin mojarnos y que debemos recorrer
una a una, dando pequeños saltos. Es decir, entre dos números enteros hay una
cantidad finita de números enteros. Por ejemplo, entre 0 y 10 hay 9 enteros;
entre −500 y 500 hay 999; entre 5 y 6 no hay ningún entero.
Si sumamos un entero con su opuesto, obtenemos siempre como resultado
el 0: 5 + (−5) = 0, −2 + 2 = 0 y, en general, b + (−b) = 0, ∀b ∈ Z.
Esta última expresión es conocida como la ley del opuesto y al número
entero 0 como el elemento idéntico o neutro de la suma. En efecto, ∀a ∈ Z :
a + 0 = 0 + a = a.
Ahora sí estamos en condiciones de definir la resta, como operación en Z.
Definición Dados dos números enteros a y b, se define la diferencia entre ellos
como la suma del primero con el opuesto aditivo del segundo, o sea:
∀a, b ∈ Z : a − b = a + (−b)
donde −b es el opuesto de b.
Los números usados para representar puntos, deudas o identificar jugadores de fútbol, tienen significación. Pero lo que realmente los hace útiles es
nuestra aptitud para combinarlos, que es sumarlos, restarlos y multiplicarlos.
Todo esto es familiar para nosotros, así que simplemente recordaremos dos
propiedades que algunas veces nos causan confusión:
(−a) (b) = a (−b) = − (ab)
(−a) (−b) = ab
CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS Y SUS OPERACIONES
4
2.1
Orden
Cuando ubicamos a los números en la recta numérica establecimos, arbitrariamente, que los enteros positivos están a la derecha del origen y los enteros
negativos a la izquierda. En la siguiente figura diremos que a es menor que b,
porque a está a la izquierda de b. En símbolos, esto se escribe a < b.
2.2
Valor absoluto
Si a es un número entero, el símbolo |a| se utiliza para denotar la distancia
entre a y 0 y recibe el nombre de valor absoluto de a o módulo de a. Como
|a| es la distancia entre dos puntos, es cero o positiva. En la figura se ve que
|4| = 4 y | − 4| = 4, ya que tanto el número 4 como el número−4 están a una
distancia de cuatro unidades del 0.
Ejemplo 1 Escriba >, < o = según corresponda.
(a) −|3| . . . |3|
(b) −3 . . . | − 4|
(c)
(d) −|4| . . . | − 3|
|8| . . . |6|
(e) | − 6| . . . − | − 5|
Solución
(a) Como |3| = 3, resulta: −3 < 3, ya que cualquier número negativo
es menor que cualquier número positivo.
(b) Aquí también cabe el símbolo <, ya que −3 es menor que el valor
absoluto de cualquier número: −3 < 4.
(c) La expresión resultante es 8 > 6.
(d) Como el módulo de | − 3| = 3 y el opuesto del módulo de 4 es −4,
resulta: −4 < 3.
2. LOS NÚMEROS ENTEROS
5
(e) El opuesto del valor absoluto de −5, que es 5, es −5 y | − 6| = 6,
luego: 6 > −5.
La notación de valor absoluto se puede emplear para determinar la distancia
entre dos números cualesquiera. En la figura, por ejemplo, la distancia entre
2 y 5 es 3 y se puede escribir como |5 − 2| o como |2 − 5|. Por otra parte,
la distancia de −2 a 3 es 5 y se escribe |(−2) − 3|. De manera más general,
supóngase que A y B son puntos sobre la recta numérica cuyas coordenadas
son a y b, respectivamente. Entonces:
d(A, B) = |a − b|
Obsérvese que:
d(A, B) = |a − b| = |b − a| = d(B, A)
lo cual es cierto sin importar cuáles sean los signos de a y b.
Más adelante se demostrará que −(−a) = a. Esta propiedad permite la
definición siguiente.
Definición El valor absoluto del número entero a es a si a ≥ 0 y −a si a < 0.
Ejemplo 2 En cada caso, reescriba la expresión dada sin utilizar el símbolo
de valor absoluto.
(a) |3 + x| si x < −3 (b) |x − 5| si x > 5
(c) |2 − x| si x < 2
(d)
|a − b| si a < b
(e)
|a − b| si a > b
Solución
(a) Si x < −3 resulta que 3 + x es un número negativo, por lo que su
valor absoluto es el opuesto de 3 + x, esto es −(3 + x) = −3 − x.
(b) Si x > 5 resulta que x − 5 es positivo, por lo que su valor absoluto
es el mismo x − 5.
(c) Si x < 2 es 2 − x un número mayor que 0, por lo que su valor
absoluto es 2 − x.
(d) Si a < b resulta a − b negativo; luego |a − b| = −(a − b) = −a + b =
b − a.
(e) Si a > b resulta a − b positivo, por lo que |a − b| = a − b.
6
2.3
CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS Y SUS OPERACIONES
Operaciones
Cuando una expresión numérica implica diversas operaciones, usamos paréntesis (y corchetes y llaves) para indicar el orden en que las operaciones deben
efectuarse. El siguiente ejemplo nos recuerda la convención acerca de los paréntesis y de los signos menos.
Ejemplo 3 Simplificar −2 [3 − (7 + a)]
Solución
Siempre comenzamos suprimiendo los separadores interiores y luego los
exteriores. Vemos que el signo menos es usado en esta expresión en dos formas
diferentes: el primer menos denota el opuesto de; el segundo menos significa
resta y puede ser reemplazado por la suma con el negativo del que sigue:
−2 [3 − (7 + a)] = −2 [3 + (−7) + (−a)] = −2 [−4 + (−a)] = 8 + 2a
No obstante su belleza y utilidad, los enteros muestran serias limitaciones.
No pueden dividirse siempre con resultados enteros. Mientras 6/3, 10/2, 50/5
son enteros, 3/5, 2/7 y −5/3 no lo son. Para que estos símbolos tengan
sentido, debemos ampliar el conjunto de los enteros al de los racionales.
3
Los números racionales
Cada símbolo de la forma m/n (también m
), donde m y n son enteros y
n
n = 0, representa un número llamado racional. El símbolo “/” denota división
cuando esta tenga sentido, como en 4/1 = 4 o 10/2 = 5. Así, el conjunto de
los números racionales contiene al de los enteros como un subconjunto.
3. LOS NÚMEROS RACIONALES
7
De manera análoga a como definimos a la resta -la suma de un número
entero con su opuesto aditivo- definiremos a la división como un producto.
Pero antes distinguiremos en el conjunto Q de los números racionales a un
nuevo elemento: el recíproco o inverso multiplicativo de un número racional
no nulo b. Lo representamos como el número 1/b o b−1 , que cumple:
b · b−1 = b−1 · b = 1, ∀b ∈ Q y b=0
Por ejemplo, 5−1 es el recíproco de 5, ya que 5 · 5−1 = 5 · 1/5 = 1.
Dentro de este conjunto podemos realizar todas las veces que queramos las
cuatro operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación y división), con la
única excepción de la división por cero, la que no está permitida nunca.
Podemos relacionar estos nuevos números con las dimensiones del mundo
físico en forma sencilla. Tomemos un trozo de cuerda de longitud unidad y lo
dividamos en dos partes de igual longitud:
Vemos que cada trozo tiene longitud 1/2. Tomemos el mismo trozo de
cuerda y lo dividamos en cuatro partes de igual longitud. Entonces cada parte
tiene longitud 1/4 y dos de ellas juntas tienen longitud 2/4. Así, 1/2 y 2/4
simbolizan el mismo número, esto es:
1
2·1
2
=
=
2
2·2
4
Consideraciones como esta sugieren la convención siguiente:
a
k·a
=
b
k·b
para cualquier número k distinto de cero. Así, 1/2, 2/4, 3/6, y −3/ − 6, entre
otros, son todos considerados como símbolos del mismo número racional.
La ecuación recuadrada puede ser leída de adelante hacia atrás o de atrás
hacia adelante. Leída de atrás hacia adelante nos dice que podemos dividir
CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS Y SUS OPERACIONES
8
numerador y denominador (arriba y abajo) de un cociente por el mismo número
k, distinto de cero. O, en un lenguaje que puede transmitir mejor la idea, que
podemos cancelar un factor común del numerador y del denominador. Así,
13 · 3
3
39
=
=
52
13 · 4
4
Entre los muchos símbolos del mismo número racional, uno tiene un rango
especial: la forma reducida. Si el numerador a y el denominador b del número
racional a/b no tienen divisores (factores) enteros comunes mayores que 1 y si
b es positivo, decimos que a/b está en la forma reducida. Así 3/4 es la forma
reducida de 24/32 y −2/3 es la forma reducida de 4/ − 6.
Ejemplo 4 Escriba en su forma reducida.
24
3+9
(a)
(b)
36
3+6
(c)
12 + 3a
3a
Solución
Podemos cancelar factores comunes (los que multiplican) en el numerador
y el denominador. No cometamos la equivocación de cancelar los términos que
suman.
24
12 · 2
2
=
=
36
12 · 3
3
3+9
3+9
9
=
=
MAL
(b)
3+6
3+6
6
3+9
12
3·4
4
=
=
=
CORRECTO
3+6
9
3·3
3
12 + 3a
12+ 3 a
(c)
=
= 12 MAL
3a
3a
12 + 3a
3 (4 + a)
4+a
=
=
CORRECTO
3a
3a
a
(a)
3.1
Representación
Volviendo a la línea horizontal sobre la que habíamos marcado antes puntos
como enteros, podemos marcar ahora una infinidad de puntos como en la figura
que sigue.
3. LOS NÚMEROS RACIONALES
9
Para representar sobre la recta numérica, por ejemplo, el número racional
5/3, realizamos, como una aplicación del teorema de Thales, la siguiente construcción geométrica.
Por el origen, trazamos una semirrecta auxiliar que no coincida con la horizontal.
Con cualquier medida, marcamos tres
segmentos iguales sobre esa semirrecta.
Luego unimos el extremo del último segmento con el punto de la recta numérica
que representa al 1.
Por el extremo del primer segmento
que está ubicado sobre la recta auxiliar trazamos una paralela al segmento
que pasa por el número 1. Esta paralela corta a la recta numérica en el
punto que representa al número racional 1/3.
Finalmente, haciendo centro en el origen
y con la medida del segmento que representa al número 1/3, trasladamos esa medida cinco veces hacia la derecha para
obtener, en la última marca, el punto
representativo del número racional 5/3.
CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS Y SUS OPERACIONES
10
3.2
Orden en Q
Si a/b y c/d representan a dos números racionales cualesquiera, en su forma
reducida, diremos que el número a/b es menor que c/d si y sólo si el producto
de a por d es menor que el producto de b por c. En símbolos:
c
a
< ⇔ a · d < b · c (con b y d positivos)
b
d
Por ejemplo,
3
2
< ⇔ 2·4 <3·3 ⇔8< 9 y
3
4
−3
−1
<
⇔ (−3) · 2 < 5 · (−1) ⇔ −6 < −5
5
2
3.3
Propiedades
Las siguientes son algunas de las propiedades de los números racionales, las
que serán de gran utilidad en el trabajo con ecuaciones y desigualdades que
abordaremos posteriormente. Enunciaremos reglas valiosas para igualdades y
desigualdades, dejando la justificación (de alguna de ellas) para más adelante.
3.4
De las igualdades
1. a = b ⇒ a + c = b + c
(propiedad uniforme de la suma)
2. a + c = b + c ⇒ a = b
(propiedad cancelativa de la suma)
3. a = b ⇒ a · c = b · c
(propiedad uniforme del producto)
4. a · c = b · c ∧ c = 0 ⇒ a = b (propiedad cancelativa del producto)
3. LOS NÚMEROS RACIONALES
3.5
11
De las desigualdades
1. a < b ∧ b < c ⇒ a < c
(propiedad transitiva)
2. a < b ⇒ a + c < b + c
(consistencia de la suma)
3. a < b ∧ c > 0 ⇒ a · c < b · c (consistencia del producto por un positivo)
4. a < b ∧ c < 0 ⇒ a · c > b · c
5. 0 < a < b ⇒
3.6
1
1
>
a
b
Densidad de los racionales
Así como dijimos que el conjunto de los enteros es discreto, diremos que el conjunto de los números racionales es un conjunto denso. Es decir, sus elementos
están muy cerca el uno del otro, tan cerca que podemos decir que entre dos
racionales hay infinitos números racionales. Esta propiedad, conocida como
densidad de los racionales, admite la siguiente prueba:
∀r, s ∈ Q : r < s ⇒ r + s < s + s
r < s ⇒ r + s < 2s
r<s ⇒
(consistencia de la suma)
(asociativa de la suma)
r+s
< s (1) (consistencia del producto)
2
Por otra parte:
∀r, s ∈ Q : r < s ⇒ r + r < s + r
r < s ⇒ 2r < r + s
r<s ⇒ r<
r+s
2
(consistencia de la suma)
(asociativa y conmutativa
de la suma)
(2) (consistencia del producto)
Combinando (1) y (2), resulta:
r<
r+s
< s (3) (propiedad transitiva)
2
CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS Y SUS OPERACIONES
12
La expresión (3) nos provee de un método para encontrar, si ello fuera
posible, infinitos números racionales entre dos números racionales cualesquiera,
como queríamos probar.
3.7
La aritmética de los números racionales
No discutiremos a los números racionales1 en forma completa sino mencionaremos que se suman, restan, multiplican y dividen. Estamos familiarizados con
estas operaciones, pero quizás necesitemos revisarlas. Los ejemplos 5, 6 y 7
nos proporcionarán una práctica aceptable.
Ejemplo 5 Realice las operaciones indicadas y simplifique.
3 5
8
5
3 5
+
(b)
+
(c)
−
(a)
4 4
5 4
9 12
Solución
Sumamos fracciones con el mismo denominador sumando los numeradores.
Si las fracciones tienen denominadores diferentes, primero las reescribimos como fracciones equivalentes con el mismo denominador y entonces sumamos.
Reglas similares aplicamos para la resta.
3 5
8
+ = =2
4 4
4
3 5
12 25
37
+
=
(b) + =
5 4
20 20
20
8
5
32 15
17
(c) −
=
−
=
9 12
36 36
36
(a)
Ejemplo 6 Realice las operaciones indicadas y simplifique.
3
3 16
5
3 5
(a)
·
(b)
·
(c) 4
(d) 4 :
9
4 7
4 27
3
16
1
El uso informal de las fracciones (razones) es muy antiguo. Sabemos por los papiros que
los egipcios conocían y trabajaban con fracciones desde 1650 años antes de la era cristiana.
Sin embargo, usaban una notación diferente y consideraban sólo razones de enteros positivos.
3. LOS NÚMEROS RACIONALES
13
Solución
Multiplicamos fracciones multiplicando numeradores y multiplicando denominadores. Para dividir fracciones, invertimos (esto es, tomamos su recíproco)
el divisor y multiplicamos.
3
·
4
3
(b) ·
4
3
(c) 4
9
16
(a)
(d) 4 :
5
3·5
15
=
=
7
4·7
28
16
3 · 16
3· 4 · 4
4
=
=
=
27
4 · 27
4· 3 · 9
9
=
3 16
3. 4.4
4
·
=
=
4 9
4. 3.3
3
4 3
4·3
12
5
= · =
=
3
1 5
1·5
5
Ejemplo 7 Simplifique.
2 1
5
2
+
−
(a) 3 5
(b) 6 15
5 1
11 3
−
+
7 2
30 5
Solución
Mostramos dos métodos para abordar las cuatro expresiones involucradas.
(a) Trabajaremos con las partes de arriba y abajo separadamente.
2 1
10
13
3
+
+
3 5 = 15 15 = 15 = 13 · 14 = 182
5 1
10
7
3
15 3
45
−
−
7 2
14 14
14
(b) Multiplicaremos la parte de arriba y la de abajo por un denominador
común de todas las fracciones simples.
5
2
5
2
−
30
−
25 − 4
21
6 15
6 15 =
=
=
11 3
11 3
11 + 18
29
+
+
30
30 5
30 5
CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS Y SUS OPERACIONES
14
3.8
Notación decimal
La así llamada notación árabe hindú nos permite representar los números usando sólo los diez símbolos 0, 1, 2, . . ., 9 y una coma decimal. Recordemos que:
1
1
3425, 63 = 3 (1000) + 4 (100) + 2 (10) + 5 + 6
+3
10
100
El familiar proceso de la división muestra que:
3
3
= 0, 375 y
= 0, 12
8
25
las cuales son llamadas expresiones decimales exactas. Por otro lado,
4
= 1, 3333 . . . = 1, 3
3
y
71
= 0, 2151515 . . . = 0, 215
330
Estas se conocen como expresiones decimales periódicas. La barra sobre un
grupo de dígitos indica que el grupo de dígitos se repite indefinidamente. Es
un hecho notable que los números racionales son precisamente aquellos números cuyas representaciones decimales terminan o se repiten indefinidamente.
Ilustramos esto con los ejemplos siguientes.
Ejemplo 8 (a) Encuentre la expresión decimal de 11/13. (b) Escriba 0, 2345
como una razón de dos enteros.
Solución
(a) Una simple división muestra que 11/13 = 0, 846153846153 . . . =
0, 846153.
Entonces:
(b) Aquí usamos el siguiente método. Hacemos x = 0, 2345.
10.000x = 2.345, 345345 . . . (corro la coma hasta después del primer
período)
10x =
2, 345345 . . . (corro la coma hasta antes del primer
período)
9.990x = 2.343 (resto miembro a miembro)
2.343
x=
(despejo x)
9.990
Si x tiene un grupo de cuatro dígitos que se repiten, podríamos comenzar
con 100.000x en lugar de 10.000x.
4. LOS NÚMEROS REALES
15
Solución del problema inicial
48 horas = (48 horas)(60 minutos/horas)(60 segundos/minutos)
= 172.800 segundos
172.800 segundos × 24 cuadros/segundo = 4.147.200 cuadros
= 4, 1472 × 106 cuadros
Problema
Expresa la longitud d de la diagonal principal de la caja mostrada abajo,
en términos de a, b y c. Luego
√ determina d con una precisión de tres cifras
decimales, sabiendo que a = 3 2, b = 2π y c = 4, 143:
4
Los números reales
Debemos a los antiguos griegos una de las joyas más hermosas de la geometría.
Dado un triángulo rectángulo con catetos de longitudes a y b e hipotenusa de
longitud c, como el de la figura, el Teorema de Pitágoras dice que:
c2 = a2 + b2
Aunque encantados con la elegancia de este resultado, los griegos se impresionaron al descubrir una consecuencia en él que parecía destruir su concepto
de número. Puesto en lenguaje moderno, el Teorema de Pitágoras implica que
hay números irracionales, esto es, números que no pueden ser expresados como
la razón de dos enteros. Los griegos creían que todas las medidas podían ser
expresadas por números enteros y sus razones. Pero ellos se equivocaron. Esta
es la historia.
CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS Y SUS OPERACIONES
16
Consideremos un triángulo rectángulo con catetos de longitud unidad e
hipotenusa de longitud
c. Por el teorema de Pitágoras,
c2 = 12 + 12 o, equiva√
√
lentemente, c = 2. Ahora supongamos que 2 es la razón a/b de dos enteros
positivos, escrita en forma reducida. Entonces 2 = a2 /b2 y así 2b2 = a2 . Esto
implica que a2 es par y en consecuencia que a es par. Así a = 2m para algún
entero positivo m. Sustituyendo esta expresión para a en 2b2 = a2 obtenemos
2b2 = 4m2 , lo cual implica que b2 , y por lo tanto b, son pares. Concluimos que
ambos, a y b, tienen el divisor 2, contradiciendo nuestra suposición√de que a/b
está en la forma reducida. Nuestra suposición estaba equivocada; 2 debe ser
un número irracional.
√ √ √
Similares argumentos muestran que 3, 5, 6 y en realidad la raíz cuadrada de cualquier número que no es cuadrado perfecto es irracional. No sólo
eso, también π (la razón de la longitud de la circunferencia al diámetro) y una
infinidad de otros números resultan ser irracionales.2
Ejemplo 9 Dado que π es irracional, para cualquier número natural n muestre que nπ es irracional.
Solución
Usaremos una prueba por contradicción. Supongamos que nπ es racional;
p
, lo que
esto es, suponemos nπ = pq donde p y q son enteros. Entonces π =
nq
contradice la irracionalidad de π. Observemos que cada uno de los números
irracionales que hemos mencionado pueden medir la longitud de un segmento
de recta.
4.1
Los números reales y la recta real
Nosotros ampliamos nuestro sistema numérico de modo que todo punto sobre
la recta horizontal discutida en la primera sección tiene un nombre. La recta
2
El número π aparece por todas las matemáticas. Es definido como la razón de la
circunferencia al diámetro de un círculo. Los números racionales 22/7 y 3, 1416 son usados
frecuentemente como aproximaciones para π, sin embargo π es conocido por ser irracional.
En agosto de 1987, Gregory y David Chudnovsky usaron dos computadoras para obtener la
representación de π con más de un billón de cifras decimales.
4. LOS NÚMEROS REALES
17
resultante (figura) es llamada la recta real y los números son los números reales.
Así, los números reales son precisamente aquellos números que representan
longitudes, juntamente con los negativos y el cero. Alternativamente, podemos
describir a los números reales como aquellos números que pueden ser representados en notación decimal. Ellos están integrados por los números racionales
(terminan y repiten decimales) y los números irracionales (no repiten decimales), como indicamos en el cuadro.
Los números reales
Números racionales
Números irracionales
(terminan y repiten
decimales)
(no repiten
decimales)
Algunos √
de los primeros dígitos de la expresión decimal de los números
irracionales
2 y π son:
√
2 = 1, 41421356 . . . y π = 3, 14159265 . . .
Ejemplo 10 Escriba un decimal que usted sepa que representa un número
irracional.
Solución
Técnicamente, este ejemplo requiere escribir un número que tenga infinitos
decimales, lo cual es imposible. Podemos, sin embargo, especificar la regla
de formación de tal decimal, indicando un modelo definido de dígitos que no
tenga un grupo repetido. Un ejemplo es
0, 101001000100001000001 . . .
Notemos el agregado de un cero por cada 1 sucesivo, lo que elimina alguna
posibilidad de que un grupo de dígitos se repita. Por supuesto, podríamos
CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS Y SUS OPERACIONES
18
√
obtener también la expresión de 2 y π, pero aunque sus expresiones son
conocidas por millones de cifras, la regla no aparece, por lo que no podemos
determinar con exactitud su expresión completa.
4.2
Propiedades de los números reales
Ahora presentaremos axiomas (suposiciones) y consecuencias de estos axiomas
(teoremas). Se trata de reglas que nos dicen qué podemos hacer y que nó
debemos hacer con los números reales. El primer grupo se refiere a la igualdad;
a, b y c son números reales cualesquiera.
4.3
Axiomas de igualdad
• Reflexividad: a = a.
• Simetría: si a = b, entonces b = a.
• Transitividad: si a = b y b = c, entonces a = c.
4.4
Axioma de sustitución
Si a = b, entonces a se puede sustituir por b en cualquier expresión matemática.
Veamos ahora las leyes que cumplen los números reales con la adición y la
multiplicación.
4.5
Leyes conmutativas
a+b= b+a
4.6
Leyes asociativas
a + (b + c) = (a + b) + c
4.7
a·b= b·a
a · (b · c) = (a · b) · c
Elementos idénticos
0+a = a+0 =a
1·a=a·1=a
4. LOS NÚMEROS REALES
4.8
19
Elementos inversos
a + (−a) = −a + a = 0
4.9
a · a−1 = a−1 · a = 1 (a = 0)
Leyes distributivas
a · (b + c) = a · b + a · c
4.10
(b + c) · a = b · a + c · a
Teoremas
En esta sección probaremos algunas de las muchas propiedades que caracterizan a los números reales.
Teorema 1 Sean a, b y c tres números reales cualesquiera; si a = b, entonces
a + c = b + c.
Prueba
a + c = a + c (reflexividad)
a=b
(hipótesis)
a+c=b+c
(sustitución)
Con similares argumentos puede probarse que si a = b, entonces a · c = b · c.
Teorema 2 El opuesto del opuesto de un número real, es el mismo número
real: ∀a ∈ R : −(−a) = a.
Prueba
(−a) + [−(−a)] = 0
(ley del opuesto aplicada a − a)
0 = a + (−a)
(ley del opuesto aplicada a a)
(−a) + [−(−a)] = a + (−a)
(transitividad de la igualdad)
a = −(−a)
(cancelativa de la suma)
CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS Y SUS OPERACIONES
20
Teorema 3 ∀a ∈ R : a · 0 = 0.
Prueba
0 = 0+0
a · 0 = a · (0 + 0)
(ley del neutro aditivo aplicada al 0)
(propiedad uniforme del producto)
a · 0 = a · 0 + a · 0 (ley distributiva)
a·0 = a·0+0
a·0+a·0 = a·0+0
a·0 = 0
(ley del neutro aditivo aplicada a a · 0)
(sustitución)
(cancelativa de la suma)
Teorema 4 Si a · b = 0, entonces a = 0 ∨ b = 0.
Prueba
i. Si a = 0 la afirmación dada se cumple ya que, independientemente del valor que se asigne a b, 0 · b = 0 como se demostró
anteriormente y, por lo tanto, son verdaderas hipótesis y tesis.
ii. Si a = 0, entonces ∃a−1 . Ahora bien:
a·b = 0
a · b · a−1 = 0 · a−1
(a · a−1 ) · b = 0
(por hipótesis)
(propiedad uniforme del producto)
(conmutativa y asociativa del producto y
teorema anterior)
1·b = 0
(definición de elemento inverso del producto)
b = 0
(definición de elemento neutro del producto)
Luego, en este caso, si a · b = 0 y a = 0, se cumple que es b = 0 y la
propiedad queda probada.
4. LOS NÚMEROS REALES
4.11
21
Cálculos con números reales
Usamos paréntesis para indicar cuáles cálculos se realizan primero y asumiremos que, en ausencia de paréntesis, las multiplicaciones y las divisiones se
efectúan antes que las sumas y las restas (se ilustra en las leyes distributivas);
operaciones diferentes se realizan de izquierda a derecha. Así,
2 (13 + 5) − (−4 + 6) /2 = 2 · 18 − 2/2 = 36 − 1 = 35
pero:
2 · 13 + 5 − (−4) + 6/2 = 26 + 5 + 4 + 3 = 38
Dos usos del signo menos aparecen en el cálculo anterior. El primer menos
indica sustracción; el segundo menos indica el opuesto de. Estos dos usos están
vinculados por:
a − b = a + (−b)
Consejo
¿Qué significa a/bc: (a/b)c o a/(bc)? Conforme a nuestras reglas significaría
lo primero. Sin embargo, este es un buen ejemplo de dónde puede haber
confusión. Por consiguiente, proponemos la siguiente regla de oro: “cuando
esté en duda, use paréntesis”.
Ejemplo 11 Calcule a = 34 − 3 (−40/2 + 6 (5 − 2))3
Solución
Como dijimos antes, los paréntesis determinan qué hacemos primero. Entonces, operaciones unarias ( operaciones sobre un número, tales como potencias y raíces) se realizan primero, seguidas por multiplicaciones y divisiones y,
finalmente, sumas y restas, operando de izquierda a derecha. Así,
a = 34 − 3 (−20 + 6 · 3)3 = 34 − 3 (−2)3
= 34 − 3 (−8) = 34 + 24 = 58
4.12
Expresiones fraccionarias
Cuando estudiamos los números racionales alertamos sobre las leyes que rigen la manipulación de fracciones. Estas leyes son válidas también cuando la
fracción es una razón de números reales. Resumiremos estas leyes y ejemplificaremos más sobre su uso.
CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS Y SUS OPERACIONES
22
4.13
Reglas para su uso
1. Cancelativa
a·c
a
=
b·c
b
2. Signos
siempre que c = 0
a
a
−a
−a
=
=− =−
b
−b
b
−b
3. Suma
a b
a+b
+ =
c c
c
4. Multiplicación
a c
a·c
· =
b d
b·d
5. División
a
b = a·d
c
b·c
d
Ejemplo 12 Simplifique.
(a)
3 25 2
·√ ·
5
3 35
(b)
3 3, 26
+
π
2π
(d)
a
2a
−
b 3bc
(e)
(a + b)3 (a + b)2
:
a4
a3 b
(c)
Solución
√ 2
√
3 .25.2
3 25 2
2 3
√
(a) · √ ·
=
=
5
7
3 35
5. 3.35
3 3, 26
6
3, 26
9, 26
4, 63
(b) +
=
+
=
=
π
2π
2π
2π
2π
π
√
3
√
3
13
13
3, 25
(c) √ =
· √ =
3, 25 2 3
6, 5
2 3
13
√
3
3, 25
√
2 3
13
4. LOS NÚMEROS REALES
23
a
2a
3ac
2a
3ac − 2a
−
=
−
=
b 3bc
3bc 3bc
3bc
3
2
(a + b)3
ab + b2
(a + b) (a + b)
a3 b
(a + b) b
:
=
·
=
=
(e)
a4
a3 b
a4
a
a
(a + b)2
(d)
4.14
Orden
En la recta real introducimos la relación de orden < entre dos números. Decimos que a < b (se lee a es menor que b) siempre que b − a sea positivo.
Interpretamos que b > a (se lee b es mayor que a) significa lo mismo. Así,
3 < 5 y −5 > −8.
Interpretaremos geométricamente esta definición diciendo que a < b significa que a está a la izquierda de b sobre la recta (figura).
Las relaciones a ≤ b y b ≥ a significan que b − a es mayor que 0 o igual a
0. Es correcto decir que 3 ≤ 5; también es correcto decir que 3 ≤ 3.
Ejemplo
13 Use la relación menor para ordenar de menor a mayor los núme√
ros 2; 1, 41
4; 1, 414; 14/10, 140/99.
Solución
Con la calculadora averiguamos que
√
2 = 1, 41421356 . . . y 140/99 = 1, 414141 . . .
Así,
14/10 < 1, 414 < 140/99 <
√
2 < 1, 41
4
Como ya vimos ocurría con los racionales, las manipulaciones con números
reales usando la relación de orden < dependen de las siguientes propiedades
fundamentales.
CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS Y SUS OPERACIONES
24
4.15
Propiedades de <
1. Tricotomía: exactamente una de las expresiones a < b, a = b y a > b, es
verdadera.
2. Transitividad: si a < b y b < c, entonces a < c.
3. Suma: si a < b, entonces a + c < b + c.
4. Multiplicación: si a < b y 0 < c, entonces ac < bc; si a < b y c < 0,
entonces bc < ac.
Las propiedades 2, 3 y 4 también son válidas si < es reemplazado por ≤.
Solución al problema inicial
Tenemos que encontrar una fórmula para d, la diagonal principal de la caja de
la figura.
Si e es la diagonal del fondo de la caja, entonces e satisface
e2 = a2 + b2
Ahora, d es la hipotenusa del triángulo sombreado y entonces
d2 = e2 + c2
Concluimos que
5. EXPONENTES Y RADICALES
d=
25
√
a2 + b2 + c2
√
Sustituyendo a = 3 2, b = 2π, y c = 4, 143 y usando la calculadora
obtenemos
d = 18 + 4π 2 + 4, 1432 = 8, 639610327
Redondeando a tres cifras decimales, d es igual a 8, 640.
Problema
Una hoja de papel muy larga y de 0, 01 pulgadas de espesor es doblada por
la mitad una y otra vez, produciendo una pila de papel cada vez más alta. Si
la hoja es doblada 40 veces, ¿cuán alta será la pila? Primero elija entre las
tres opciones siguientes, cuál le parece que será la respuesta correcta: ¿10 pies,
5.000 pies o miles de millas? Luego resuelva el problema y compruebe si su
intuición fue buena.
5
Exponentes y radicales
Suponemos que está familiarizado con los exponentes enteros y los hemos usado anteriormente. Nuestro objetivo es extendernos a exponentes racionales y
exponentes reales, preservando las leyes de los exponentes.
Comenzamos con una revisión.
Sea b cualquier número real y n un entero positivo. Entonces definimos bn
por:
bn =b · b · b · · · b
n factores
Así, b3 = b·b·b y b5 = b·b·b·b·b. Sobre la base de esta definición, obtenemos
las leyes de los exponentes. Siendo a, b ∈ R , m y n enteros positivos y, en la
ley 3, suponemos que m > n, valen las siguientes leyes:
5.1
Leyes de los exponentes
1. bm · bn = bm+n
2. (bm )n = bm.n
CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS Y SUS OPERACIONES
26
3.
bm
= bm−n
bn
4. (a · b)n = an · bn
5.
a
b
n
=
an
(b = 0)
bn
Ejemplo 14 Use las leyes dadas para simplificar.
a3 a4 a2
a 3 b8
2 3 4 3
(b) (a b c )
(c)
· 2
(a)
a5
b2
a
Solución
a3 a4 a2
a3+4+2
a9
=
=
= a9−5 = a4
a5
a5
a5
3
3
3
3
(b) (a2 b3 c4 ) = (a2 ) (b3 ) (c4 ) = a6 b9 c12
(a)
(c)
5.2
a
b2
3
·
b8
a3 b8
=
·
= a · b2
a2
b6 a2
Exponentes cero y enteros negativos
Extendemos la noción de exponente desde los los enteros positivos a los enteros,
buscando preservar las leyes de los exponentes.
Así, b0 debe satisfacer:
b0 · b2 = b0+2 = b2
lo que implica que:
b0 = 1
(b = 0)
En particular, no está definido 00 .
Además:
b−n · bn = b−n+n = b0 = 1
lo que significa que:
1
(b = 0)
bn
Con estos acuerdos, las leyes de los exponentes continúan vigentes y la
restricción en la ley 3 desaparece.
b−n =
5. EXPONENTES Y RADICALES
27
Ejemplo 15 Simplifique escribiendo su respuesta sin exponentes negativos.
(a) −5−2
(b) (−5)−2
(c) (b−5 b2 )
−2
(d) (a−1 b−2 )
3
Solución
1
1
=−
2
5
25
1
1
=
2 =
25
(−5)
(a) −5−2 = −
(b) (−5)−2
(c) (b−5 b2 )
−2
= (b−5 )
(b−5 b2 )
−2
= (b−5+2 )
3
−2
3
(b2 )
−2
−2
= b10 b−4 = b6 o
= (b−3 )
3
−2
= b6
(d) (a−1 b−2 ) = (a−1 ) (b−2 ) = a−3 b−6 =
1 1
1
·
=
a3 b6
a3 b6
Ejemplo 16 Simplifique y escriba la respuesta sin exponentes negativos.
3
2 2
−1
8ab−2 c3
(2xy −2 ) (x2 y −1 )
(a−1 + b−1 )
(a)
(b)
(c)
2xy 3
ab
(2a)2 b−4 c2
Solución
Las leyes de los exponentes implican que podemos mover un factor desde
el numerador al denominador o viceversa cambiando el signo del exponente,
un hecho que a menudo encontramos conveniente.
(a)
8ab−2 c3
8ab−2 c3
8b−2 b4 c3 c−2
2b2 c
=
=
=
4a2 b−4 c2
4a2 a−1
a
(2a)2 b−4 c2
3
2 2
(2xy −2 ) (x2 y −1 )
64x6 y −12 x8 y −4
=
2xy 3
4x2 y 6
=
=
64x6 x−2 x8
4y 6 y 12 y 4
16x12
y 22
CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS Y SUS OPERACIONES
28
(a−1 + b−1 )
ab
−1
=
=
=
=
5.3
−1
1 1
+
a b
ab −1
b+a
ab
ab
ab
a+b
ab
ab
1
1
·
=
a + b ab
a+b
Raíces
Usamos raíces cuadradas sin aclaración, suponiendo que el estudiante está
familiarizado con este concepto desde cursos previos. Aquí definiremos estas
raíces y sus generalizaciones en forma explícita.
Hay dos problemas con raíces cuadradas, que se trasladan a todas las raíces
de índice par. Primero, todos los números positivos tienen dos raíces cuadra√
das. Por ejemplo, las dos raíces cuadradas de 4 son −2 y 2. El símbolo
se
√
usa para denotar
√ la raíz
√ cuadrada positiva; así 4 = 2 y las dos raíces cuadradas de 5 son 5 y − 5. En segundo lugar, un número negativo no tiene raíz
cuadrada real. Por ejemplo, las raíces cuadradas de -4 son 2 i y −2 i, números
complejos que estudiaremos más adelante. Ninguno de estos problemas sucede
con raíces cúbicas o con cualquiera de las otras raíces de índice impar. Todos los números reales tienen una única raíz cúbica real. Por ejemplo, la raíz
cúbica de −8 es −2 y la de 27 es 3. Estas consideraciones nos conducen a la
siguiente definición general, en la cual n es un entero positivo.
√
√ n
Si n es impar, n b es el único número real que satisface n b = b. Si n es
√
√ n
par y b ≥ 0, n b es el único número real no negativo que satisface n b = b.
√
El número b es el radicando, √ es el signo radical, n es el índice y n b es la
raíz n-ésima de b.
Así,
√
√
4
81 = 3 y 5 −32 = −2
5. EXPONENTES Y RADICALES
29
En la tabla que sigue se da un resumen de la definición de
√
n
b.
Indice
Radicando
b<0
b=0
b>0
√
√
No está
n
n
0=0
b>0
definido.
√
√
√
n
n
b<0
0=0 nb>0
n
√
√
n
b , sino también n bn . Por ejemplo:
n es par
n es impar
Es necesario considerar no sólo
√
√
√
5
3
25 = 5 32 = 2;
(−4)3 = 3 −64 = −4
√
Si n es impar, entonces n bn = b, para todo real b.
Esto también es válido para todo b positivo, independientemente de si n es
par o impar. El problema se presenta cuando b < 0 y n es par. Por ejemplo:
√
4
(−3)4 = 4 81 = 3, no obstante que a = −3.
Si n es par, se cumple que:
√
√
n n
b2 = |b|
y
b = |b|
5.4
Propiedades
Si n es un entero positivo a y b números reales, tales que
tiene:
√
√ √
1. n a · b = n a · n b
2.
3.
n
a/b =
√
m
n
a=
√
√
n
a y n b existan, se
√
√
n
a/ n b
√
a
m·n
√
√
Demostraremos sólo la propiedad 1. Si x = n a e y = n b, entonces xn = a
e y n = b por definición. Por la ley 4 de los exponentes:
ab = xn y n = (x · y)n
Luego, por la definición de raíces tenemos:
√
√ √
n
n
a·b=x·y = na· b
como queríamos probar.
√
√
√
√
√
√
Ejemplo 17 343 = 73 = 72 · 7 = 72 · 7 = 7 7.
CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS Y SUS OPERACIONES
30
5.5
Exponentes racionales
Con raíces bien definidas estamos listos para continuar nuestro desarrollo de
los exponentes. Deseamos preservar las leyes de los exponentes establecidas
comienzo
de esta sección. Si n es un entero positivo, la ley 2 requiere que
al 1/n
n
(1/n)n
b
=b
= b1 = b, lo que significa que:
√
n
b1/n = b
√
√
Por ejemplo, 91/2 = 9 = 3 y 81/3 = 3 8 = 2. Luego, si n y m son enteros
positivos sin divisores comunes, excepto 1 o −1, definimos:
√
√
m
n
n
bm/n =
b
= bm
siempre que esta expresión sea un número real, esto es, si b ≥ 0 cuando n es
par o bien, si n es impar. Finalmente definimos:
b−m/n =
1
bm/n
Así, bq está definido para todo número racional q (por lo menos cuando
b > 0) y, por otra parte, las leyes de los exponentes se conservan.
Ejemplo 18 Simplifique y escriba la respuesta sin exponentes negativos.
−2 2/3 4
2 2/3 −1/3 −1/2 3
a b
−2 −2/3 7/6
√
(a) 9 9
9
(b)
(c) a2 b−1/4
2 a
b
−1/2
2b
Solución
9−2 9−2/3 97/6
= 9(−2−2/3+7/6)
= 9−9/6
= 9−3/2
1
=
3/2
9
=
=
1
√ 3
9
1
27
5. EXPONENTES Y RADICALES
(b)
a−2 b2/3
√
2b−1/2
4
=
31
a−8 b8/3
b8/3 b2
b14/3
=
=
4b−2
4a8
4a8
2 2/3 −1/3 −1/2 3
4a3
(c) a2 b−1/4
b
= a4 b−1/2 22 a−1 b−3/2 = 2
2 a
b
Ejercicio 1 Calcule el valor de cada una de las expresiones dadas, en caso de
estar definidas.
√
√
√
4
7
8
6 1
5 32
(a)
81
(b)
−1 (c)
(d)
(e)
−2.174
64
243
5.6
Leyes de exponentes
1. ax · ay = ax+y
2. (ax )y = ax·y
3.
ax
= ax−y (a = 0)
ay
4. (a · b)x = ax · bx
5.
5.7
a
b
x
=
ax
(b = 0)
bx
Exponentes reales
Para establecer el escenario de la próxima ampliación, consideremos el problema de definir 2π . Recordemos que π es un número irracional cuya expresión
decimal comienza como sigue:
π = 3, 1415926535 . . .
Los números 3; 3, 1; 3, 14; 3, 141; . . .; son todos racionales y también 23 ; 23,1 ;
23,14 ; 23,141 ;. . .; son todos números reales bien definidos. El cuadro muestra los
valores obtenidos con una calculadora para algunos exponentes y sugiere que
ellos convergen (se acercan) a un número definido, el número que esperamos
CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS Y SUS OPERACIONES
32
es 2π .
q
3
3, 1
3, 14
3, 141
3, 1415
3, 14159
3, 141592
3, 1415926
..
.
2q
8
8, 5741877
8, 81524027
8, 821353305
8, 824411082
8, 824961595
8, 824973829
8, 824977499
..
.
π
2π
No hemos probado nada, sólo hemos hecho una observación. En realidad,
sólo los conceptos que veremos en Cálculo nos permitirán construir una definición rigurosa de 2π o de 2 elevado a cualquier exponente irracional. Allí
veremos una definición formal de ax y podremos saber que las leyes de los
exponentes se conservan.
5.8
Calculando ax
No hay problema en calcular ax con una calculadora, siempre que a sea positivo.
Simplemente ejecutamos aˆx (o axy x, según la calculadora). Pero observemos
si a < 0. Ejecutando (−1) ˆ (1/2) o (−1) ˆ (2/3) aparece un mensaje de error.
Esperábamos esto para el primero, puesto que es un número complejo. Pero
el segundo tiene el valor 1. Para evitar este problema cuando a < 0, escribo
m
am/n = a1/n
y aprieto las teclas (a ˆ (1/n)) ˆ m.
Afortunadamente las calculadoras están programadas para dar buenas aproximaciones de ax para a > 0 y x cualquier número real, pero debemos ser
cuidadosos cuando a es negativo.
Ejemplo 19 Use una calculadora para aproximar los números decimales siguientes.
(b) (3)π
(c) π 1−π
(a) (3, 12)3/4
(d) (π + 1)
√
2
(e) (−4, 32)4/3
5. EXPONENTES Y RADICALES
33
Solución
(a) (3, 12)3/4 ≈ 2, 34756
(c)
π 1−π ≈ 0, 08616
(b) 3π ≈ 31, 54428
(d) (π + 1)
(e) (−4, 32)4/3 = (−4, 32)1/3
4
√
2
≈ 7, 46116
≈ 7, 03577
De ahora en más, usaremos el signo de igual rizado para denotar “es aproximadamente igual a”.
Solución al problema inicial
Plegando una hoja de papel de 0, 01 de grueso, una vez que ha sido doblada tiene un grosor de 2 · (0, 01) ; plegándola de nuevo su grosor es de
2 · 2 · (0, 01) = 22 · (0, 01) pulgadas. Después de 40 pliegues, la pila de papel
tendrá una altura de 240 · (0, 01) pulgadas. Por supuesto, podemos usar una
calculadora para evaluar este número y convertirlo en pies o millas. Usaremos
las aproximaciones 210 ≈ 1000, 1 pie = 10 pulgadas y 1 milla = 5000 pies.
240 · (0, 01) =
(0, 01) · 210 · 210 · 210 · 210 pulgadas
≈ 10−2 · 103 · 103 · 103 · 103 pulgadas
=
1010 pulgadas
≈ 109 pies
≈
10 · 108
millas
5 · 103
=
2 · 105 millas
=
200.000 millas
Si usa una calculadora, obtendrá 173.534 millas.
34
6
6.1
CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS Y SUS OPERACIONES
Valor absoluto de un número real
Definición
Se llama valor absoluto o módulo de un número real, al mismo número si éste
es positivo o cero, y a su opuesto si es negativo. Es decir:

si x ≥ 0
 x
|x| =

−x si x < 0
De acuerdo con la definición: |5, 2| = 5, 2;
|−3, 5| = −(−3, 5) = 3, 5.
Por lo tanto, el módulo de un número real es siempre un número no negativo.
Así,
|3| = 3
y
|−3| = − (−3) = 3
Geométricamente, |x| es la distancia entre x y 0, en la recta real. Vemos
que:
|−x| =
x
haciendo, por ejemplo, x = −2. Lo mejor que podemos decir es que:
|−x| = |x|
como vemos en la figura.
Más generalmente, vimos que |x − y| es la distancia entre x y y sobre la
recta real (ver figura).
6. VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL
6.2
35
Propiedades
Entre las muchas propiedades del valor absoluto, mencionaremos algunas de
las más importantes.
√
(1) ∀x : (x = 0 ⇒ |x| > 0)
(2) ∀x : x2 = |x|
(3) ∀x : |x| = |−x|
(4)
∀x : − |x| ≤ x ≤ |x|
(5) ∀x, ∀y : |x · y| = |x| · |y|
(6)
(7) ∀k > 0, ∀x : (|x| ≤ k ⇔ −k ≤ x ≤ k)
(8)
(9) ∀x, ∀y : |x + y| ≤ |x| + |y|
(10) ∀x, ∀y : |x| − |y| ≤ |x − y|
x |x|
∀x, ∀y =
0 : =
y
|y|
∀k > 0, ∀x : (|x| ≥ k ⇔ x ≥ k ∨ x ≤ −k)
Los teoremas anteriores se prueban aplicando la definición de valor absoluto. Por ello, en general, es conveniente desdoblar la demostración de cada
teorema, considerando cada caso en forma separada.
A fin de que pueda tomarse como una guía, probaremos algunas de las
propiedades dadas.
√
(2) ∀x : ∀x : x2 = |x|
Prueba
(a) Si x ≥ 0
Por definición de módulo:
|x| = x
Por propiedad de reales:
si x ≥ 0, entonces
Por el axioma de sustitución:
como queríamos demostrar.
(b) Si x < 0
√
x2 = |x|
√
x2 = x
36
CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS Y SUS OPERACIONES
Por definición de módulo:
|x| = −x
Por propiedad de reales:
si x < 0, entonces −x > 0
Por propiedad de reales:
Por el axioma de sustitución:
como queríamos demostrar.
(−x)2 = −x
√
x2 = |x|
(5) ∀x, ∀y : |x · y| = |x| · |y|
Prueba
Para hacer esta demostración consideraremos los distintos casos que pueden
presentarse:
x
≥0
≥0
≤0
≤0
y
x·y
≥0 ≥0
≤0 ≤0
≥0 ≤0
≤0 ≥0
|x| |y|
x
y
x −y
−x y
−x −y
|x| · |y| |x · y|
x·y
x·y
−x · y −x · y
−x · y −x · y
x·y
x·y
Algunas de las propiedades del módulo relativas a desigualdades serán probadas más adelante.
7
Los Números Complejos
Queremos crear un nuevo sistema numérico C, que contenga al sistema de los
números reales R y que goce de nuevas propiedades. Si quisiéramos resolver
ecuaciones en él entonces deberíamos poder realizar operaciones en C y, como
éste contiene a R, tendríamos que poder sumar, restar, multiplicar y dividir
en C tal como lo hacíamos en R. Queremos, entonces, definir la adición y la
multiplicación en C de forma tal que, cuando restrinjamos los elementos de
C a su subconjunto R, estas operaciones se comporten de la misma manera
en que lo hacían la suma y el producto de números reales. Como queremos
extender las nociones de adición y multiplicación desde R a C, continuaremos
usando los símbolos + y × para representarlas. Sin embargo, debemos tener
en cuenta que C es un sistema “mayor” que R: en este sistema el cuadrado de
algunos elementos será negativo.
7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
37
Si R ha de ser un subconjunto de C y si queremos que ecuaciones de la
forma x2 = −k, con k ∈ R+ , tengan solución en C, entonces, particularmente
cuando k = 1, será necesario que C contenga algún elemento, digamos i, tal
que i2 = −1.
Si b ∈ R, entonces también b ∈ C y, como C ha de ser cerrado respecto
del producto, debemos tener que b · i ∈ C. Más aún, si a ∈ R y como C debe
ser cerrado respecto de la suma, entonces a + b i ∈ C. Así, C debe contener
elementos de la forma a + b i, c + d i, etc., donde a, b, c, d ∈ R e i2 = −1. Si
queremos que las propiedades de R sean válidas en C, los elementos anteriores
deben obedecer las siguientes reglas:
(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i
y
(a + b i)(c + d i) = (ac − bd) + (ad + bc) i
(1)
donde hemos usado las propiedades conmutativa y asociativa de la suma y
distributiva del producto respecto de la suma, junto con la propiedad adicional
que establece que i2 = −1.
Observemos que cada símbolo de la forma a + b i determina un único par
ordenado (a, b) de números reales. Inversamente, todo par ordenado (a, b)
puede usarse para obtener un símbolo a + b i. Así, queda establecida una
correspondencia uno a uno entre los símbolos a+b i y los pares ordenados (a, b).
Esto nos sugiere trabajar con pares ordenados para construir C. Podemos usar
(1) para definir la adición y la multiplicación en C.
Definición El sistema C de los números complejos, es el conjunto de todos
los pares ordenados de números reales. Es decir que un número complejo es
cualquier par ordenado de números reales. Así, el conjunto C de números
complejos es simplemente R × R = R2 . Dado el complejo z = (a, b), diremos
que la primera componente a es su parte real y la segunda componente b su
parte imaginaria. En símbolos:
a = Re(z)
7.1
y
b = Im(z)
Igualdad
Dos números complejos son iguales sí y sólo sí tienen respectivamente iguales
sus partes reales y sus partes imaginarias. En símbolos:
(a, b) = (c, d) ⇔ a = c ∧ b = d
CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS Y SUS OPERACIONES
38
7.2
Operaciones
Adición
Para sumar complejos, sumamos entre sí partes reales y partes imaginarias:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
Multiplicación
Se define del siguiente modo:
(a, b) × (c, d) = (ac − bd, ad + bc)
Con las operaciones suma y producto se satisfacen todas las propiedades
ya vistas para reales:
• Ley de cierre
La adición y el producto de números complejos es otro número complejo,
ya que sumamos y multiplicamos pares ordenados de números reales
como hemos definido anteriormente, obteniendo por resultado, en todos
los casos, otro par ordenado.
• Ley conmutativa
De la suma
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) = (c + a, d + b) = (c, d) + (a, b)
Del producto
(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc) = (ca − db, cb + da) = (c, d) · (a, b)
• Ley asociativa
De la suma
(a, b) + (c, d) + (e, f )
= [(a, b) + (c, d)] + (e, f ) = (a, b) + [(c, d) + (e, f )]
= (a + c, b + d) + (e, f )
= (a, b) + (c + e, d + f )
= (a + c + e, b + d + f )
= (a + c + e, b + d + f )
Del producto
(a, b) · (c, d) · (e, f ) = [(a, b) · (c, d)] · (e, f ) = (a, b) · [(c, d) · (e, f )]
(1)
(2)
7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
39
Desarrollando (1):
[(a, b) · (c, d)] · (e, f ) = (ac − bd, ad + bc) · (e, f )
= (ace − bde − adf − bcf, acf − bdf + ade + bce)
(3)
Desarrollando (2):
(a, b) · [(c, d) · (e, f )] = (a, b) · (ce − df, cf + de)
= (ace − adf − bcf − bde, acf + ade + bce − bdf)
(4)
Comparando (3) y (4), resulta:
[(a, b) · (c, d)] · (e, f ) = (a, b) · [(c, d) · (e, f )]
• Existencia de elemento neutro
De la suma
∃(x, y) ∈ C | ∀(a, b) ∈ C, (a, b) + (x, y) = (a, b)
Encontremos quién es (x, y):
(a, b) + (x, y) = (a, b) ⇒ (a + x, b + y) = (a, b) ⇒ a + x = a ∧ b + y =
b⇒x= 0∧y = 0
En consecuencia, el neutro aditivo es:
(x, y) = (0, 0)
Del producto
∃(x, y) ∈ C | ∀(a, b) ∈ C, (a, b) · (x, y) = (a, b)
Encontremos quién es (x, y):
(a, b)·(x, y) = (a, b) ⇒ (ax−by, ay+bx) = (a, b) ⇒ ax−by = a∧ay+bx =
b
Resolviendo el sistema, para x e y, resulta:
x=1∧y =0
En consecuencia, el neutro multiplicativo es:
(x, y) = (1, 0)
• Ley distributiva
∀(a, b), (c, d), (e, f ) ∈ C : (a, b)·[(c, d)+(e, f )] = (a, b)·(c, d)+(a, b)·(e, f )
CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS Y SUS OPERACIONES
40
• Existencia de elemento inverso
De la suma
∀(a, b) ∈ C, ∃(x, y) ∈ C | (a, b) + (x, y) = (0, 0)
Encontremos quién es (x, y):
(a, b) + (x, y) = (0, 0) ⇒ (a + x, b + y) = (0, 0) ⇒ a + x = 0 ∧ b + y =
0 ⇒ x = −a ∧ y = −b
En consecuencia, el inverso aditivo de (a, b) es:
(x, y) = (−a, −b)
Del producto
∀(a, b) ∈ C ∧ (a, b) = (0, 0), ∃(x, y) ∈ C | (a, b) · (x, y) = (1, 0)
Encontremos quién es (x, y):
(a, b)·(x, y) = (1, 0) ⇒ (ax−by, ay+bx) = (1, 0) ⇒ ax−by = 1∧ay+bx =
0
Resolviendo el sistema, para x e y, resulta:
x=
a2
a
−b
∧y = 2
2
+b
a + b2
En consecuencia, el inverso multiplicativo de (a, b), con (a, b) = (0, 0) es:
a
−b
−1
(x, y) = (a, b) =
,
a2 + b2 a2 + b2
Sustracción
(a, b) − (c, d) = (a − c, b − d)
Cociente
(a, b)
c
−d
−1
= (a, b)(c, d) = (a, b) 2
,
(c, d)
c + d2 c2 + d2
con (c, d) = (0, 0)
La expresión (c, d) = (0, 0) significa que alguna de las componentes del par,
o ambas, no son cero.
Ejercicio 2 Calcule la suma, resta, producto y cociente de los complejos (−4, 1)
y (3, 2).
7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
7.3
41
Inmersión de los números reales en C
La idea original consistió en “ampliar” el campo de los números reales a un
nuevo campo que contuviera las soluciones de ecuaciones del tipo x2 = −k, con
k ∈ R+ . Pero pareciera que R no está incluído en C, ya que R está formado
por números reales y C por pares de números reales. Lo que en realidad ocurre
es que, como ya sucedió con Z y Q, en C hay incluida una “copia” de R.
Consideremos el subconjunto de C formado por todos los pares ordenados
de la forma (a, 0), donde a ∈ R. Si les aplicamos las definiciones dadas para
la suma, el producto y el cociente de números complejos, resulta:
(a, 0) + (b, 0)
(a, 0) · (b, 0)
(a, 0)
(b, 0)
=
(a + b, 0)
= (ab, 0)
=
a
, 0 con b = 0
b
Si en estos resultados prescindiéramos del segundo elemento 0, podríamos
concluir que este subconjunto se comporta de manera análoga al conjunto de
los números reales. En C, convenimos en denotar a los pares de la forma (a, 0)
y (b, 0) por los símbolos a y b, respectivamente. Es decir, (a, 0) se escribirá
simplemente a y, de esta manera, R coincidirá con el subconjunto de números
complejos de parte imaginaria nula. Por ello, resulta que R está incluido en C.
7.4
Forma binómica
Estudiamos ahora el subconjunto de los números complejos de la forma (0, b),
los que se conocen como los números imaginarios puros. Podemos ver fácilmente que este conjunto no es cerrado con respecto a la multiplicación:
(0, b) · (0, d) = (0 · 0 − bd, 0 · d + b · 0) = (−bd, 0) = −bd ∈ R
Como caso particular de este producto, cuando b = d = 1 resulta:
(0, 1) · (0, 1) = −1
Representaremos a (0, 1) con la letra i, con lo que la fórmula anterior podrá
escribirse como:
i2 = −1
CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS Y SUS OPERACIONES
42
Por lo tanto, el número complejo i es una solución de la ecuación x2 + 1 = 0;
la otra solución es x = − i.
Hasta aquí, hemos representado a un número complejo como un par ordenado. Podemos encontrar una nueva representación, usando las operaciones
de adición y multiplicación y las ideas anteriores. Si b ∈ R:
b i = (b, 0) · (0, 1) = (0, b)
lo que evidencia que todo número imaginario puro (0, b) puede escribirse como
el producto del número real b y el número complejo i. Esto nos permite obtener
una nueva notación para los números complejos. Como:
(a, b) = (a, 0) + (0, b)
resulta:
(a, b) = a + b i
El segundo miembro de la igualdad anterior se llama forma binómica del
número complejo (a, b) y el número complejo i unidad imaginaria.
Operaciones en forma binómica
Definición Sabiendo que (a, b) = a + b i, las definiciones de adición y multiplicación se expresan como sigue:
(a + b i) + (c + d i)
= (a + c) + (b + d) i
(a + b i) · (c + d i)
= (ac − bd) + (ad + bc) i
Por otro lado, la forma binómica del inverso multiplicativo es:
a
b
−1
(a + b i) =
−
i
a2 + b2 a2 + b2
7.5
Representación
Los números complejos se representan por medio de un sistema de coordenadas
rectangulares. La representación gráfica del número complejo (a, b) o (a + b i)
es el punto P (a, b) del plano xy. El eje horizontal es el eje real, el vertical el
7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
43
eje imaginario y el plano xy el plano complejo:
7.6
Conjugación en C
Definición Se llama conjugado de un número complejo z = a + b i al número
complejo z = a − b i. Su representación gráfica es un punto, simétrico del
representativo de z con respecto al eje real.
Propiedades
Enunciaremos algunas de las muchas propiedades de la conjugación y probaremos las tres primeras. Salvo que puntualicemos lo contrario, consideraremos
a z y a w como dos números complejos cualesquiera.
1. z + z = 2 Re(z)
2. z − z = 2 Im(z) i
3. z = z
4. z es real⇔ z = z
5. z es imaginario puro⇔ z = −z
6. z + w = z + w
7. z · w = z · w
8. z · z =| z |2
CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS Y SUS OPERACIONES
44
Prueba
1. z + z = a + b i +a − b i = 2a = 2 Re(z)
2. z − z = a + b i −a + b i = 2b i = 2 Im(z) i
3. z = a + b i = a − b i = a + b i = z
7.7
Potencias de i
Si tomamos las sucesivas potencias de i, obtenemos lo siguiente:
i1 = i i2 = −1 i3 = i2 · i = −1 · i = − i i4 = (i2 )2 = (−1)2 = 1
y podemos ver que, a partir de aquí, el ciclo vuelve a repetirse. En efecto:
i5 = i4 · i = 1 · i = i i6 = i4 i2 = 1(−1) = −1 . . ., y así sucesivamente.
Particularmente:
63
i = i60 · i3 = (i4 )15 · i3 = 115 · (− i) = − i
Ejercicio 3 Pruebe que cualquier potencia in , n ∈ Z, es igual a: 1, −1, i o
− i.
Ejercicio 4 Calcule:
(b) i630
(a) i97
7.8
(c)
i(3 + 2 i)3
Módulo de un número complejo
Definición Dado un número complejo z = a + b i, llamaremos módulo de z al
número:
√
|z| = a2 + b2
√
Cuando a + b i ∈ R (b = 0): |z| = |a + b i | = |a| = a2 resultado que
concuerda con la definición de valor absoluto dada en R.
Geométricamente, el módulo de un número complejo representa a la distancia entre el punto del plano complejo considerado y el origen (ver figura).
Propiedades
Mencionamos las siguientes:
7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
45
1. |z| ≥ 0
2. |z| = 0 ⇔ z = 0
3. |z| = | − z| = |z|
4. |z · w| = |z| · |w|
5. |z|2 = |z 2 | = z · z
Ejercicio 5 Determine:
(a) | − 5 + 3 i | (b)
7.9
| − 9i|
| i5 |
(c)
Raíz cuadrada de un complejo
Sea z un número complejo cualquiera, representado por z = a + b i. Deseamos
encontrar otro complejo w = x + y i tal que:
√
√
z = a + bi = x + yi
Esto se cumple si y sólo si w 2 = z. Desarrollemos el cuadrado de w:
(x + y i)2
= x2 + 2xy i +(y i)2
= x2 + 2xy i +y 2 i2
= x2 + 2xy i −y 2
= (x2 − y 2 ) + (2xy) i
(1)
Pero:
w2 = z
De (1) y (2), resulta:
⇒
(x + y i)2 = a + b i
(x2 − y 2 ) + (2xy) i = a + b i
y, por igualdad de complejos:
(x2 − y 2 ) = a
2xy
=
b
(3)
(4)
(2)
CAPÍTULO 3. LOS NÚMEROS Y SUS OPERACIONES
46
Ahora bien sabemos por (2) que:
(x + y i)2 = a + b i
Tomando módulo en ambos miembros:
|(x + y i)2 | = |z|
Luego:
|(x + y i)2 | = |x + y i |2 = |z|
(5)
por propiedad del módulo.
Pero, por definición de módulo:
|x + y i |2 =
Sustituyendo en (5), resulta:
x2 + y 2
x2 + y 2 = |z|
2
= x2 + y 2
(6)
Sumando y restando (3) y (6) y despejando x e y, obtenemos:
|z| + a
|z| − a
x=±
y y=±
2
2
donde |z| ≥ a siempre (¿por qué?).
De la ecuación (4) se deduce que el signo de x · y es igual al signo de b. Por
lo tanto:
Si b > 0 :
x e y son ambos positivos o ambos negativos.
Si b < 0 :
x e y son de signo contrario.
√
Si b = 0 y a > 0 : las raíces son reales: w1,2 = ± a.
√
Si b = 0 y a < 0 : las raíces son imaginarias puras: w1,2 = ± −a i.
Si b = 0 y a = 0 : las raíces son: w1,2 = 0.
√
Ejercicio 6 Si z = −5 + 12 i, entonces z es igual a:
√
√
A. −2 + 3 i B. 2 − 3 i C.
5 i + 12 i D. 2 + 3 i E. Ninguna.