Modulo 1: Vectores en ℝ𝒏
I.
Introducción al concepto de Vector en ℝ𝟐
ℝ𝟐 en el conjunto de vectores (𝑥1 , 𝑥2) con 𝑥1 y 𝑥2 ∈ ℜ
Vectores en el Plano
Hay una concepción geométrica del significado de un vector y una concepción algebraica, ambas
compatibles.
Segmento dirigido ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑷𝑸 es el segmento de recta con origen de P y extremo en Q. Notar que PQ≠QP.
Q
bP
Q’
Las propiedades que caracterizan de un segmento dirigido son su
magnitud o módulo, su dirección y su sentido. No obstante, dos
segmentos que sean coincidentes en estas características son
distintos si no son coincidentes en el origen
P’
a
Dos segmentos dirigidos son equivalentes si y solo si tienen igual módulo, dirección y sentido.
→
→
PQ≡ 𝑃′ 𝑄 ′
Se puede considerar que existen en el plano infinito vectores equivalentes a un segmento dirigido
→
→
PQ. Denominaremos vector PQ, o vector v a todo elemento de ese conjunto.
Los dos segmentos representamos son representantes del v.
→
v se representa trasladando PQ al origen de coordenada de R2
En estas condiciones v admite una expresión como par ordenado en donde el par ordenado indica
las coordenadas de su extremo v = (a, b).
a y b se denominan también componentes del vector v. Este concepto es más utilizado desde el
punto de vista algebraico.
El módulo de v es un número real que representa su longitud
|v| = √𝑎2 + 𝑏 2 (por consecuencia directa de Pitágoras)
Ejercicio:
Demuestre que:
|v| = 0 ⟺ v = 0
La dirección de v define un ángulo 𝜃 entre v y la dirección del eje horizontal x (llamado
también eje de las abscisas) en su sentido positivo. Dos vectores tienen igual dirección si y solo si
sus ángulos respectivos con dicho eje son iguales. En tal caso se dice que son paralelos.
El vector nulo no tiene dirección ni sentido.
Si v es no nulo y v1 = 0 ⟹ 𝜃 = 𝜋/2
Si v es no nulo y v1 ≠ 0 ⟹ 𝜃 = arc tag (b/a)
Profa. Itzel Sánchez
Cálculo III
UTP
El sentido es comparable entre vectores paralelos:
Dos vectores paralelos 𝑢 = (𝑢1, 𝑢2) y v = (v1,v2) tienen igual sentido si con un origen
común generan la misma semirrecta. O bien desde un punto de vista algebraico y en caso de
componentes no nulas, si 𝑢1⁄v1 > 0 y 𝑢2⁄v2 > 0. Si los cocientes son negativos, sus sentidos
son opuestos. (además, al ser // resulta 𝑢1⁄v1 = 𝑢2⁄v2).
Ejemplo: Calcule la magnitud y dirección de los vectores dados.
1) v ( 2,2 )
y
2) v = (−2, 2√3)
2√3
( 2,2 )
2
𝜃
𝜃
x
2
|v| = √22 + 22
-2
2
𝜃 = tan−1 ( 2)
|v| = √(−2)2 + (2√3)2
−1
= √4 + 4
= √8
|v| = 2√2
x
= tan (1)
= 45°
𝜃 = 𝜋⁄4
= √4 + 4(3)
= √4 + 12
= √16
2√3
𝜃 = tan−1 ( −2 )
𝜃 = −60°
𝜃 = 180° − 60°
𝜃 = 120° =
2𝜋
3
|v| = 4
3) v=(0,3)
(0,3)
𝜃
|v| = √02 + 32
= √9
|v| = 3
𝜃 = 𝜋⁄2
Vector unitario definido por el ángulo 𝜶 formado con el eje positivo de las abscisas.
𝑠𝑒𝑎 0 ≤ 𝛼 < 2𝜋
𝛼
Profa. Itzel Sánchez
En la circunferencia de radio unitario están inscriptos
todos los vectores unitarios de 𝑅 2 (su distancia al
origen es 1)
Dado un 𝛼 que defina dirección y sentido, el vector
unitario v' correspondiente es:
v' = cos 𝛼 i + sen α j
Cálculo III
UTP
Vectores canónicos
1
Son vectores unitarios paralelos a los ejes
coordenados de sentido según el sentido
positivos de dichos ejes.
i = (𝟏, 𝟎)
j = (𝟎, 𝟏)
j
i
1
Vectores en 𝑹𝟑
Similares conceptos a los planteados en R2 pueden aplicarse en R3. Vector de R3 es toda terna
ordenada de números reales. 𝐯 = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3).
Para su representación se utilizan tres ejes ortogonales llamados ejes cartesianos X, Y, Z. Se pueden
plantear dos esquemas de representación, dominados “mano derecha” y “mano izquierda”.
Generalmente se usa el de la mano derecha.
Esquema de la mano derecha
Esquema de la mano izquierda
z
z
Y
x
x
Y
En el primero, el índice de la mano derecha representa al eje X, el pulgar al eje Z y el anular
al eje Y en posición de la mano propia enfrentada al observador). El sentido de rotación 𝑋 → 𝑌 →
𝑍 es anti-horario, como el empleado para medir ángulos.
En el segundo, se considera el mismo esquema, pero con la mano izquierda. El sentido de
rotación 𝑋 → 𝑌 → 𝑍 es horario, o sea contrario al utilizado para medir ángulos
Vectores canónicos de 𝑹𝟑
Los vectores canónicos en 𝑅 3 son:
𝐢 = (1,0,0)
𝐣 = (0,1,0)
𝐤 = (0,0,1)
Puede verificarse que los mismo son ortogonales entre sí, comprobando que el producto
escalar es nulo para cualquier par.
Profa. Itzel Sánchez
Cálculo III
UTP
Todo vector ℝ3 se puede escribir como suma de los vectores canónicos multiplicados por
un escalar. Cada termino es la proyección del vector sobre el eje coordenado correspondiente. Se
dice que v es combinación lineal de los vectores canónicos, concepto que se estudiará en detalle en
la unidad siguiente.
v = 𝑣1 𝐢 + 𝑣2 𝐣 + 𝑣3 𝐤
z
v3k
𝑣1 𝐢 + 𝑣2 𝐣 + 𝑣3 𝐤
v
k
j
v2 j
Y
i
v1 i
𝑣1 𝐢
+ 𝑣2 𝐣
x
Todo vector en ℝ2 𝑦 ℝ3 se pueden escribir o representar utilizando los vectores
i= (1,0)
i= (1,0,0
j= (0,1)
en ℝ2
y j= (0,1,0)
en ℝ3
k= (0,0,1)
de la forma v= (a, b) = ai +bj
Igual que 𝑅 2, los vectores en 𝑅 3 quedan definidos por su módulo, su dirección y sentido.
Módulo en 𝑹𝟑
Representa la longitud del segmento orientando en 𝑅 3, lo que
|𝑣| = √𝑣12 + 𝑣22 + 𝑣32
puede comprobarse determinando |𝑣1 𝐢 + 𝑣2 𝐣 | (componente
según el plano XY) y luego aplicando Pitágoras en el triángulo que forman esta componente, v3k
y v (área sombreada fig. anterior).
Dirección y sentido de un vector
No es posible determinar la dirección en el espacio a partir del ángulo con un solo eje, ya
que hay infinitos vectores que determinan el mismo ángulo 𝜃 (contenidos en el cono según la fig.)
𝜃
z
v3k
v
k 𝛾
𝜷
i
𝛼
j
v2 j
Y
La dirección y el sentido v quedan
unívocamente determinados por los ángulos que
forma v con cada uno de los ejes de coordenadas.
Los cosenos de cada uno de dichos
ángulos se denominan cosenos directores del
vector.
v1 i
x
Profa. Itzel Sánchez
Cálculo III
UTP
𝑣1
𝑣2
cos α = |𝑣|
cos β = |𝑣|
𝑣3
cos γ = |𝑣|
0 ≤ 𝛼, 𝛽, 𝛾 < 2𝜋
Un vector unitario 𝑢 es un vector con magnitud 1.
𝒗
Si v es un vector diferente de cero, entonces 𝒖 = |𝒗| , es un vector unitario que tiene la misma
dirección que v.
Ejemplo: Calcule la magnitud y direcciones del vector v= (4,-1,6) y el vector unitario que tenga
la misma dirección.
Solución:
z
(4,-1,6)
γ
β
y
α
→
𝑢
x
|𝑣| = √(4)2 + (−1)2 + (6)2
𝑣
4
1
6
,−
, )
53
53
√
√
√53
→ = |𝑣| = (
𝑢
Vector unitario
→ = (0.5, −0.1, 0.8)
|𝑣| = √16 + 1 + 36
𝑢
|𝑣| = √53 ≈ 7,2
La dirección “cosenos directores”
cos ∝ =
4
√53
≈ 0,5494 ⟹ ∝ = cos−1(0,5494)
∝ = 56,7°
cos β = −
1
√53
≈ −0,1374 ⟹ β = cos−1 (−0,1374)
β = 97,9°
cos γ =
6
√53
≈ 0,8242 ⟹ γ = cos −1 (0,8242)
γ = 34,5°
Profa. Itzel Sánchez
Cálculo III
UTP
Operaciones básicas sobre Vectores en ℝ𝟐 𝒚 ℝ𝟑
a) Magnitud de ∝ 𝑣: multiplicar por un escalar diferente de cero tiene en efecto de multiplicar la
longitud del vector por el valor absoluto de ese escalar.
|∝ 𝑣| = √∝2 𝑎2 +∝2 𝑏 2 = |∝|√𝑎2 + 𝑏 2 = |∝||𝑣|
Si ∝ > 0, entonces ∝ 𝑣 está en el mismo cuadrante
Si ∝ < 0, entonces ∝ 𝑣 tiene dirección opuesta a v
Direcciones: dirección de ∝ 𝑣 = dirección de v, si ∝ > 0
Dirección de ∝ 𝑣 = dirección de 𝑣 + 𝜋, si ∝ < 0
-2v
2
2v
1 v
(−2, −2)
2
|𝑣| = √12 + 12
|𝑣| = √2
b) Adición y diferencia de vectores:
Sea 𝑢
⃗ = (3,7), 𝑣 = (4, −2), 𝑤
⃗⃗ = (−5, −1).
Halle; 1) ⃗⃗⃗𝑢 + 𝑣 + 𝑤
⃗⃗ ; 2)𝑢
⃗ − 𝑣+𝑤
⃗⃗
Solución;
1) 𝑢
⃗ +𝑣+𝑤
⃗⃗ = (3 + 4 − 5, 7 − 2 − 1) = ( 𝟐, 𝟒)
2) 𝑢
⃗ − 𝑣+𝑤
⃗⃗ = (𝑢
⃗ − 𝑣) + 𝑤
⃗⃗
= (3 − 4,7 − (−2)) + (−5, −1)
= (−1, 9 ) + (−5, −1)
= (−𝟔, 𝟖 )
y
Gráficamente 7
1)
7
−5
(3, 7)
4
(2, 4)
(4, -2)
2
Profa. Itzel Sánchez
Cálculo III
x
UTP
2)
8
3
-6
1
Halle 𝑡 = 2𝑢
⃗ − 3𝑤
⃗⃗ + 2 𝑣
combinación lineal
Solución:
1
𝑡 = 2(3,7) − 3(−5, −1) + (4, −2)
2
𝑡 = (6, 14) + (15, 3) + (2, −1)
𝑡 = (23, 16)=23i+16j
Producto Escalar o Producto. ( Punto ):
Definición: si 𝑢 = (𝑎1 , 𝑏1 ) , v (𝑎2 , 𝑏2) entonces su producto escalar es
𝑢 • 𝑣 = (𝑎1 𝑎2 + 𝑏1 𝑏2 ) , es un número real 𝑢 • 𝑣 = 𝑘
o también, si se conoce el ángulo que forman ambos vectores u y v:
𝑢 • 𝑣 = |𝑢||𝑣| cos ∝
Teorema: sean 𝑢 o v los vectores diferentes de cero Si ∝ es un ángulo entre ellos, entonces.
𝒖•𝒗
𝐜𝐨𝐬 ∝ = |𝒖||𝒗|
Ejemplo: calcular el ángulo entre los vectores 𝑢 = (2, 3) 𝑣 = (−7, 1)
solución: |𝑢| = √4 + 9 = √13
|𝑣| = √49 + 1 = √50
𝑢 • 𝑣 = (2)(−7) + (3)(1)
3
= −14 + 3
= −11
v
𝑢
-7
Profa. Itzel Sánchez
Cálculo III
UTP
𝑢∙𝑣
cos ∝ = |𝑢||𝑣|
cos ∝ =
cos ∝ =
−11
(√13∙50)
−11
√650
cos ∝ = −0,4314554
∝ = cos−1 (−0,4314554) ⟹ ∝ = 115,6°
Vectores paralelos: Dos vectores diferente de cero u y v son paralelos, si el ángulo entre ellos es
cero o 𝜋. Observa que los vectores paralelos tienen la misma dirección o direcciones opuesta.
Ejemplo: sea 𝑢 = (2, −3) 𝑦 𝑣 = (−4, 6)
6
(-4,6)
cos ∝ =
𝑣
cos ∝ = −1
∝ = 180°
2
-4
u
(2, −3)
-3
−26
√676
∝=𝜋
𝑢 ∙ 𝑣 = −8 + (−18)
𝑢 ∙ 𝑣 = −26
|𝑢| = √4 + 9 = √13
|𝑣| = √16 + 36 = √52
tiene dirección opuesta
Teorema: si 𝒖 ≠ 𝟎, entonces 𝒗 =∝ 𝒖 para alguna
constante ∝ si y solo si 𝒖 𝒚 𝒗 son paralelos
Vectores Ortogonales: Los vectores 𝑢 𝑦 𝑣 diferentes de cero son ortogonales (o perpendiculares)
si el ángulo entre ellos es 𝜋⁄2 = 90° y 𝑢 • v = 0
Ejemplo: demuestre que 𝑢 = 3𝑖 + 4j
,
v = -4𝑖 + 3𝑗 son ortogonales.
Solución: 𝑢 ∙ v = (3)(−4) + (4)(3) = −12 + 12 = 0
|𝑢| = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5.
|v| = √(−4)2 + (3)2 = √16 + 9 = √25 = 5
𝑢∙v
cos ∝ = |𝑢||v| =
0
√625
=
0
25
4
v
=0
𝑢
∝ = cos −1 (0) = 90° = 𝜋⁄2
-4
3
Operaciones para ℝ𝟑
a) Suma de vectores y multiplicación por un escalar en ℝ𝟑 , sea 𝑢 = (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) y
v =(𝑥2, 𝑦2 , 𝑧2 )
𝒖 + v = (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 , 𝒚𝟏 + 𝒚𝟐 , 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 )
∝ (𝒖) = ( ∝ 𝒙𝟏 , ∝ 𝒚𝟏 , ∝ 𝒛𝟏 )
Profa. Itzel Sánchez
Cálculo III
UTP
b) Producto escalar o Producto Punto: Si 𝑢 = (𝑎1 , 𝑏1 , 𝑐1) y v = (𝑎2 , 𝑏2 , 𝑐2)
𝒖 ∙ v = 𝒂𝟏 𝒂𝟐 + 𝒃𝟏 𝒃𝟐 + 𝒄𝟏 𝒄𝟐
Proyección de un vector sobre otro:
Sea u y v dos vectores diferentes de cero, entonces la proyección de u sobre v es un vector
denotado por 𝑝𝑟𝑜𝑦v 𝑢, que se define por.
𝒑𝒓𝒐𝒚v u =
𝒖∙v
⃗
∙𝒗
|v|𝟐
v
v
𝑝𝑟𝑜𝑦v⃗ 𝑢
⃗
𝑝𝑟𝑜𝑦u v =
𝑢∙v
∙𝑢
⃗
|𝑢|2
La componente de u en la dirección de v está dada de por
𝑢∙v
|v|
Ejemplo.
Sea 𝑢 = 2𝑖 + 3𝑗 𝑦 v = 𝑖 + 𝑗. Calcule, 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑣 𝑢, la componente de u en dirección de v
|v| = √1 + 1 = √2
u∙v=2∙1+3∙1
u∙v=5
𝑢∙v
𝑝𝑟𝑜𝑦v u = |v|2 ∙ 𝑣
5
𝑝𝑟𝑜𝑦v u = 2 ∙ (1, 1)
5 5
𝑝𝑟𝑜𝑦v u = (2 , 2)
Proyección Vectorial
5
5
= 𝑖+ 𝑗
2
2
5 2
5 2
|𝑝𝑟𝑜𝑦v u| = √( ) + ( )
2
2
25
=√4 +
25
4
50
=√4
5
𝑝𝑟𝑜𝑦v u = 2 √2
Proyección escalar
≈ 3,5
Profa. Itzel Sánchez
Cálculo III
UTP
Gráficamente
5
2
5
5
𝑝𝑟𝑜𝑦v u = 𝑖 + 𝑗
2
2
5
2
5
Componente de u en la dirección de v está dada por
√2
Cálculo de una proyección en ℝ𝟑
Ejemplo#2: Sea u=2i+3j+k, y v=i+2j-6k, dos vectores en ℝ𝟑 , encuentre 𝑝𝑟𝑜𝑦v 𝑢
Solución: 𝑢 • 𝑣 = (2)(1) + (3)(2) + (1)(−6) = 2
𝑢∙𝑣
|𝑣| = √1 + 4 + 36 = √41
𝑝𝑟𝑜𝑦𝑣 𝑢 = |𝑣|2 ∙→
𝑣
𝑝𝑟𝑜𝑦𝑣 𝑢 =
𝒑𝒓𝒐𝒚𝒗 𝒖 =
2
(𝑖 + 2𝑗 − 6𝑘)
41
𝟐
𝟒
𝟏𝟐
𝒊+
𝒋−
𝒌
𝟒𝟏
𝟒𝟏
𝟒𝟏
Producto Vectorial o Cruz de dos vectores: Este producto vectorial (ó producto cruz); sólo se
define en ℝ3 .
Sean 𝑢 = 𝑎1 𝑖 + 𝑏1 𝑗 + 𝑐1 𝑘 𝑦 𝑣 = 𝑎2 𝑖 + 𝑏2 𝑗 + 𝑐2 𝑘, entonces el producto cruz 𝑑𝑒 𝑢 𝑝𝑜𝑟 𝑣 ,
denotado por 𝑢𝑥𝑣, es un nuevo vector definido por:
𝒖𝒙𝒗 = (𝒃𝟏 𝒄𝟐 − 𝒄𝟏 𝒃𝟐 )𝒊 + (𝒄𝟏 𝒂𝟐 − 𝒂𝟏 𝒄𝟐 )𝒋 + (𝒂𝟏 𝒃𝟐 − 𝒃𝟏 𝒂𝟐 )𝒌
Utilizando determinantes
𝑖
𝑎
𝑢𝑥𝑣 = | 1
𝑎2
Profa. Itzel Sánchez
𝑗
𝑏1
𝑏2
𝑘
𝑏
𝑐1 | = 𝑖 | 1
𝑏2
𝑐2
𝑎1
𝑐1
| − 𝑗 |𝑎
𝑐2
2
Cálculo III
𝑐1
𝑎1
𝑐2 | + 𝑘 |𝑎2
𝑏1
|
𝑏2
UTP
Un determinante es un número, escrito en una forma especial.
Determinante 2x2 o de segundo orden es aquel que tiene 2 fila y 2 columnas
𝑎 𝑏
|
|=𝑎𝑑−𝑐𝑑
𝑐 𝑑
La solución es multiplicar la diagonal principal que aparece en rojo y restar el
producto de la diagonal secundaria que aparece en azul.
El vector 𝑢𝑥𝑣, 𝑒𝑠 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑎 𝑢 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑎 𝑣, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑢 ∙ (𝑢𝑥𝑣) = 0,
de manera similar 𝑣 ∙ (𝑢𝑥𝑣) = 0
Ejemplo: Sean 𝑢 = 𝑖 − 𝑗 + 2𝑘, 𝑣 = 2𝑖 + 3𝑗 − 4𝑘. 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑢𝑥𝑣, y demuestre que 𝑢 ∙ (𝑢𝑥𝑣) = 0
Solución:
𝑖
𝑢𝑥𝑣 = |1
2
𝑗
𝑘
−1 2
1
|𝑖 − |
−1 2 | = |
3 −4
2
3 −4
2
1 −1
|𝑗 + |
|𝑘
−4
2 3
= (4 − 6)𝑖 − (−4 − 4)𝑗 + (3 + 2)𝑘
= −2𝑖 + 8𝑗 + 5𝑘
𝑢 ∙ (𝑢𝑥𝑣) = (1)(−2) + (−1)(8) + (2)(5) = −2 − 8 + 10 = 0
Área de un paralelogramo que tiene lados adyacentes u y v: el producto cruz nos sirve para
calcular el área de un paralelogramo con lados los vectores u y v
|𝑢𝑥𝑣| = |𝑢||𝑣|𝑠𝑒𝑛𝜑
𝐴
=𝑏𝑥ℎ
= |𝑢||𝑣|𝑠𝑒𝑛𝜑
v
Profa. Itzel Sánchez
h
u
Cálculo III
= |𝑢𝑥𝑣|
UTP
Ejemplo: Calcule el área del paralelogramo en ℝ3 , con vértices consecutivos en los puntos
P(1,3,-2), Q(2,1,4) y R(-3,1,6)
⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥2− 𝑥1 , 𝑦2 − 𝑦1 , 𝑧2 − 𝑧1 )
Solución: definimos los vectores 𝑃𝑄
= (2 − 1,1 − 3,4 + 2)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑷𝑸 = (𝟏, −𝟐, 𝟔)
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑄𝑅 = (−3 − 2,1 − 1,6 − 4)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑸𝑹 = (−𝟓, 𝟎, 𝟐)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑸𝑹
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄
𝒊
𝒋 𝒌
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝑄 𝑋 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑄𝑅 = | 𝟏 −𝟐 𝟔|
−𝟓 𝟎 𝟐
= (−4 − 0)𝑖 − (2 − (−30))𝑗 + (0 − 10)𝑘
= −𝟒𝒊 − 𝟑𝟐𝒋 − 𝟏𝟎𝒌
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑋 𝑄𝑅
⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(−4)2 + (−32)2 + (−10)2
Á𝑟𝑒𝑎 = |𝑃𝑄
= √16 + 1024 + 100
= √1140
= 𝟑𝟑, 𝟕𝟕𝒖𝟐
Ejemplo#2: Sea 𝑢 = (−1,1,2), 𝑦 𝑣 = (2, −1,2), hallar el área del paralelogramo definido por
los vectores dados.
z
𝑖
𝑗 𝑘
𝑢𝑥𝑣 = |−1 1 2|
2 −1 2
= (2 + 2)𝑖 − (−2 − 4)𝑗 + (1 − 2)𝑘
y
𝒖𝒙𝒗 = 𝟒𝒊 + 𝟔𝒋 − 𝒌
Área=|𝑢𝑥𝑣| = √(4)2 + (6)2 + (−1)2
= √53 ≈ 7.3𝑢2
X
Profa. Itzel Sánchez
Cálculo III
UTP
Volumen del paralelepípedo formado por tres vectores: Sean 𝑢, 𝑣, 𝑤, tres vectores en ℝ3 . El
volumen de un paralelepípedo es igual a valor absoluto del triple producto escalar de 𝑢, 𝑣 𝑦 𝑤, es
decir:
𝑽 = |(𝒖𝒙𝒗) ∙ 𝒘|
Ejemplo 1: Sea 𝑢 = (2, −1,0), 𝑣 = (1,0,4), 𝑤 = (−1,3,2). Halle el volumen del paralelepípedo
definido por esos vectores.
Solución:
2 −1 0
0 4
1 4
1 0
V=|(𝑢𝑥𝑣) ∙ 𝑤| = | 1
| − (−1) |
|+ 0|
|
0 4| = 2 |
3 2
−1 2
−1 3
−1 3 2
= 2(−12) + (2 + 4) + 0
= |−18|
V = 𝟏𝟖𝒖𝟑
Gráficamente.
𝑣
𝑤
⃗⃗
𝑢
⃗
Ejemplo 2. sean 𝑢(2,0,0), 𝑣 = (0,2,0)𝑦 𝑤 = (0,0,3), 𝑡𝑟𝑒𝑠 vectores que definen un
paralelepípedo,
Halle el volumen que ocupa.
2 0 0
Solución: 𝑉 = |(𝑢𝑥𝑣) ∙ 𝑤| = |0 2 0| = 2(6 − 0) − 0 + 0=|12| = 𝟏𝟐𝒖𝟑
0 0 3
Profa. Itzel Sánchez
Cálculo III
UTP
Gráficamente
z
𝑤
⃗⃗
𝑣
𝑦
𝑢
⃗
x
Rectas en el espacio: En ℝ3 si se conoce un punto y la dirección de una recta, también es posible
encontrar su ecuación.
Si se conocen dos puntos P(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 )y Q(𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ), sobre una recta L. Un vector paralelo a L es
⃗⃗⃗⃗⃗ , entonces:
aquel con representación 𝑃𝑄
Vector director
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝒊 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 )𝒋 + (𝒛𝟐 − 𝒛𝟏 )𝒌
⃗ = 𝑷𝑸
𝒗
⃗⃗⃗⃗⃗ ,que a su vez es paralelo al
⃗⃗⃗⃗⃗ es paralelo a 𝑃𝑄
Sea 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧), otro punto de la recta L. Entonces 𝑃𝑅
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒌𝒗
⃗ . Entonces 𝑷𝑹
⃗
vector 𝒗
R
•
Q
𝑣
•
P
•
O
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝑅
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑅
EC. Vectorial
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝑷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝒕𝒗
⃗
𝑶𝑹
Si el punto 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧), esta sobre la recta L, entonces R se satisface para algún número real 𝒕,
en
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗ , si se extiende la ecuación a sus componentes, tenemos
𝑶𝑹 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑶𝑷 + 𝒕𝒗
Profa. Itzel Sánchez
Cálculo III
UTP
𝒙𝒊 + 𝒚𝒋 + 𝒛𝒌 = 𝒙𝟏 𝒊 + 𝒚𝟏 𝒋 + 𝒛𝟏 𝒌 + 𝒕[(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝒊 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 )𝒋 + (𝒛𝟐 − 𝒛𝟏 )𝒌] , donde
𝒙 = 𝒙𝟏 + 𝒕(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )
𝒚 = 𝒚𝟏 + 𝒕(𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 )
Ecuaciones Paramétricas de una recta
𝒛 = 𝒛𝟏 + 𝒕(𝒛𝟐 − 𝒛𝟏 )
Por último, al despejar 𝒕 en las ecuaciones anteriores, y definir (𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 ) = 𝒂, (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 ) = 𝒃
y (𝒛𝟐 − 𝒛𝟏 ) = 𝒄, se encuentra que si 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≠ 0.
𝒙 − 𝒙𝟏 𝒚 − 𝒚𝟏 𝒛 − 𝒛𝟏
=
=
𝒂
𝒃
𝒄
Ecuaciones simétricas de una recta
Aquí los números 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐, se denominan números directores del vector 𝒗, por supuesto las
ecuaciones simétricas son válidas sólo si 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≠ 0.
Ejemplo: Encuentre las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas de la recta L que pasa
por los puntos P= (2,-1,6) y Q=(3,1,-2).
Solución: Primero calculamos 𝑣 = (3 − 2)𝑖 + [(1 − (−1)]𝑗 + (−2 − 6)𝑘
𝒗 = 𝒊 + 𝟐𝒋 − 𝟖𝒌 vector director.
Sea 𝑅 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)un punto sobre la recta se obtiene:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋 + 𝒛𝒌 = 𝑶𝑷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝒕𝒗
⃗ = 𝟐𝒊 − 𝒋 + 𝟔𝒌 + 𝒕(𝒊 + 𝟐𝒋 − 𝟖𝒌)
𝑶𝑹
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝑷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝒕𝒗
⃗
𝑶𝑹
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑶𝑹 = 𝟐𝒊 − 𝒋 + 𝟔𝒌 + 𝒕(𝒊 + 𝟐𝒋 − 𝟖𝒌)
𝑬𝒄, 𝑽𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒍
Para las ecuaciones paramétricas igualamos componentes, y obtenemos:
𝒙 = 𝟐 + 𝒕,
𝒚 = −𝟏 + 𝟐𝒕 , 𝒛 = 𝟔 − 𝟖𝒕
Ec. Paramétricas
Por último 𝑎 = 1, 𝑏 = 2 𝑦 𝑐 = −8, las ecuaciones simétricas son:
𝒙−𝟐 𝒚+𝟏 𝒛−𝟔
=
=
𝟏
𝟐
−𝟖
Ejemplo#2: Halle las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas que pasa por los puntos
𝑃1 (−3,2,1) 𝑦 𝑃2 (5,1,4) y verifique si los puntos Q(21, −1,10) 𝑦 𝑇(20,10, −2) pertenecen a la
recta L.
Solución: 𝒗 = (5 + 3,1 − 2,4 − 1) = (8, −1,3) 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟
Profa. Itzel Sánchez
Cálculo III
UTP
Si R=(x,y,z) esta sobre L, se obtiene
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑅 = 5𝑖 + 𝑗 + 4𝑘 + 𝑡(8𝑖 − 𝑗 + 3𝑘) 𝐸𝑐, 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙.
𝑥 = 5 + 8𝑡
𝑦 = 1 − 𝑡 } 𝐸𝑐. 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠
𝑧 = 4 + 3𝑡
𝑥−5 𝑦−1 𝑧−4
=
=
𝐸𝑐. 𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠
8
−1
3
Para que los puntos Q y T pertenezcan a la recta L, deben sustituirse en la ecuación paramétrica
21 = 5 + 8𝑡, 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑡 ⟹ 𝑡 =
Q (21,-1,10) ⟹
{
21−5
8
=
16
8
=2
−1 = 1 − 𝑡, 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑡 ⟹ 𝑡 = 2
10 = 4 + 3𝑡, 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑡 ⟹ 𝑡 = 2
𝑄∈𝐿
15
20 = 5 + 8𝑡 ⟹ 𝑡 = 8
10 = 1 − 𝑡 ⟹ 𝑡 = −9
T (20, 10, -2)⟹
−2 = 4 + 3𝑡 ⟹ 𝑡 = −2
{𝐿𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑡 𝑠𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠, 𝑇 ∉ 𝐿
Nota si dos rectas son paralelas tiene los mismos números directores.
Profa. Itzel Sánchez
Cálculo III
UTP