MATEMATIK FISIKA I
DAFTAR ISI
1. Pendahuluan
2. Bilangan dan persamaan aljabar komplek
3. Matrik
4. Definisi serta aljabar komplek
5. Determinan
6. Sistem persamaan linier
7. Transformasi koordinat
8. Analisa vektor
9. Kalkulus
10. deferensial
11. Kalkulus integral fungsi vektor
FISIKA MATEMATIK II
1. Pendahuluan
2. Deret Faurier
3. Persamaan diferensial biasa
4. Transformasi Fourier
5. Transformasi Laplace untuk solusi
persamaan diferensial biasa
6. Fungasi komplek
7. Pemecahan diferensial biasa
8. Transformasi koordinat
9. Transformasi Integral
10. Persamaan diferensial parsil
Referensi
1. Mery L Boas Mathematical Methods in the
Physical, 3 and editor, John Wiley & Sons 2006
2. K.F Riley Mathematical Method for Physics
and Engineern,3rd Combridge 2006.
3. Roswati Mudjiarto, Frans J Krips.
I.1 Bilangan berpangkat
Sifat-sifatnya
a. a m xan xar x.... a m n r
m
n
m n
a
b. a : a
m n
mn
a
c. ( a )
m
m
m
m ( a.b.c... )
a
b
c
...
d.
m
a
a
m
n
m
e. m b
dan
a
a
b
am
a m
m
n
m
f. a a (a.b) dan
( )
m
b
b
g. aʸ = aˣ maka x = y, asal a ǂ 1 , a ǂ 0
h. aˣ = bˣ maka a = b asal x ǂ 0
n
m
i. aˣ > aʸ ,a>1 maka x>y asal xǂ 0 , y ǂ 0
j. aˣ > aʸ dan 0 < a < 1 maka x < y
I.2 Pengertian logaritma dan sifat-sifatnya
Definisi : logaritma dari auntuk bilangan pokok
g
ialah bilangan x sehingga gˣ = a
1. ͫlog mˣ = x dan
2. ͫlog abc = ͫlog a + ͫlog b + ͫlog c
3. ͫlog a/b = ͫlog a - ͫlog b
4. ͫlog aᵑ = n . ͫlog a dan ͫlog a =
5. ͫlog a x ͣlog d x ͩlog s = ͫlog s
(pembuktian)
g
g
a b
6. log a log b
7. g log x g log y g 1 x y
8. g log x g log y g 1 x y
g
g
log
x
log y
0 g 1
x y
9.
10. g log x g log y 0 g 1 x y
DERET
Def : Baris adalah suatu fungsi yang daerah
definisinya adalah bilangan asli :( 1,2,3……)
Def : Deret adalah jumlah suku-suku dari suatu
barisan. Baris 1,3,5,7, …; Deret 1+3+5+7+..
Macam-macam baris dan deret.
a. Barisan hitung dan deret hitung(aritmatika)
b. Barisan ukur dan deret ukur (geometri)
c. Barisan harmonis dan deret hatmonis(selaras)
d. Barisan ukur hitung dan deret ukur hitung
Barisan dan deret (aritmatika )
Definisi : Barisan aritmatika adalah barisan
bilangan yang mempunyai beda antara
tiap-tiap dua suku yang berurutan adalah
tetap besarnya, beda itu dilambangkan b
U₂-U₁ = U₃-U₂ =U₄-U₃ = …..= Un –Un-1 =b
jadi b = Un – Un-1 = konstan, maka suku yang ke
n adalah Un =a + (n-1)b dan jumlah n suku yang
pertama dn =1/2 n{a + Un }.
Sisipan
Jika di antara m dan n disisipkan sebuah atau
beberapa buah bilangan menurut aturan yang
tertentu, maka dikatakan bahwa bilanganbilangan itu disisipkan di antara m dan n. Jika
diantara m dan n disisipkan k buah bil.
sehingga menjadi baris aritmatika :
m, m+ b’, m + 2b’, ……,m + kb’, n→ m + kb’ = n
kb’ + b’ = n – m →(k + 1 ) b’ = n – m = b
b
maka : b' k 1 , k = banyak bil. Yan disisipkan
Banyak suku-suku barisan baru adalah banyaknya
barisan mula-mula ditambah suku-suku yang
disisipkan : n’ = n + (n-1)k , di perhatikan a = a’
Un = Un’ dan St = St. Bila banyak suku barisan
itu genap,maka akan didapat dua suku tengah:
a Un
1. St
2. dn = n.St ; St =suku te
2
Tengah,Un=suku terakhir, dn=jml suku yg pertama
Barisan dan Deret Geometri
Definisi: Barisan geometri adalah barisan
bilangan yang mempunyai hasil bagi antara tiaptiap dua suku yang berurutan adalah tetap
besarnya. Hasil bagi itu disebut pembanding (p)
atau disebut ratio(r). Jika U₁, U₂, U₃, …..Un
merupakan barisan geometri,maka
U₂/U₁ = U₃/U₂ = U₄/U₃ =….= Un/Un-1 = p=r=tetap
a = suku pertama ; p = pembanding
a, ap² ,……..,apᵑ-1 adalah barisan geometri yang
banyak suku adalah n buah : Un ap n 1
• Jumlah n suku yang pertama deret geometri dn
n
n
1 p
p 1 p = pembanding
dn a
a
1 p
p 1 dn=jml suku 1
Sisipan
Jika di antara dua suku berurutan suatu barisan
geometri disisipkan sebuah atau beberapa buah
bilangan, sehingga barisan bilangan baru
merupakan barisan geometri maka akan kita
peroleh rumus2 sisipan sebagi berikut :
a, …………………………,b, baris geometri semula
a, ap’, ap’², …… ap’ᵏ,b baris geometri baru
ap’ᵏx p = b , ap’ᵏ⁺ⁱ = b , (ap’)ᵏ⁺ⁱ = b/a = p
1. p' k 1 p
p’=pembanding baru
k= banyak bilangan yang
disisipikan antara tiap dua
suku berurutan.
2. n’ = n + (n – 1 ) k
Deret ukur tak hingga
1. Jika suatu deret geometri banyaknya suku
mendekati tak terhingga dan pembandingnya
antara 1 dan -1 atau [p] < 1 maka deret itu
disebut deret konvergen
2. Deret yang tidak memenuhi syarat di atas
disebut deret divergen
Jumlah deret geometri tak terhingga (d)
a
( [p] < 1 )
limdn
n
1 p
Baris dan Deret Ukur Hitung.
Definisi : Baris ukur hitung :barisan bilangan
yang susku2nya merupakan hasil kali suku2
barisan aritmatika dan barisan geometri yang
bersesuaian
Baris aritmatika : a, a+b, a+2b, ……..a +(n-1)b
Baris geometri : a, ap, ap², ………apᵑ⁻⁻ⁱ
Barisan ukur hitung : a .a, (a+b)ap, (a+2b)ap²,
……, {a + (n-1)b}.apᵑ⁻ⁱ .
Un {a (n 1)b}.ap
n 1
PERSAMAAN DAN KESAMAAN
Persamaan
Def : Persamaan dalam suatu veriabel tertentu :
bentuk pers.yang nilainya (besarnya) variabel itu
dapat ditentukan dan tertentu besarnya .
Contoh : 2x + 1 = 0 → 2x = -1 → x = - ½
harga x tertentu yaitu = - ½
Macam-macam Persamaan
1. Persamaan linier: pengkatnya paling tinggi satu
contoh : ax + b = 0 a,b = bilangan tetap
2. Persamaan kuadrat : pers.variabel pangkat
paling tinggi dua. Contoh : ax² + bx +c =0
3. Persamaan pangkat tinggi : pers. Variabelnya
mempunyai pangkat > 2. Bentuk umum :
a0 x
n
a1 x
n 1
a2 x
n 2
..... an
b
Persamaan kuadrat : x1, 2
b² - 4ac = D = diskriminan
1. Jika D > 0 maka x₁ ‡ x₂
2. Jika D = 0 maka x₁ = x₂
3. Jika D < 0 maka ada bil. imajiner
0
b2
2a
4ac
Sifat-sifat akar persamaan kuadrat :
- x₁ + x₂ = - b/a dan x₁ . x₂ = c/a
Penguriannya : ax² + bx + c = a(x – x₁ ) (x – x₂)
1.Jika D>0 maka ax² + bx + c = a(x – x₁ )(x - x₂)
dapat di uraikan atas dua faktor linier yang
berlainan.
2. Jika D = 0 maka ax + bx + c = a(x- x )² dapat
diuraikan atas dua faktor yang sama
3. Jika D< o maka ax + bx + c , tidak dapat
diuraikan atas faktor-faktornya
Kesamaan
Def : Kesamaan (lambang “ Ξ “ ) dalam suatu
variabel tertentu ialah suatu bentuk persamaan
yang berlaku setiap harga variabel.
(2x² + x) Ξ x(2x +1); berlaku untuk setiap harga x
sifat-sifat : 1. f(x) =a₀ xⁿ+a₁ xⁿ⁻ +….+a₀=0 maka
berlaku a₀ =a₁ =a₂ = …= an = 0
2. a₀ xⁿ+a xⁿ⁻ +….= b₀xⁿ+b₁xⁿ⁻ +…+b₀
mk berlaku a₀ =b₀;a₁=b₁,….;an =bn
Memecahkan pecahan :
1. Jika pecahan mempunyai n faktor pada penyebut
nya mk pecahan tsb dapat dipecahmenja di n
pecahan baru
2. Jika penyebut suatu pecahan mempunyai satu faktor
berpangkat n, maka pecahan dapat di pecah menjadi n
pecahan baru.
3. Dalam memecah pecahan akan didapat pecahanpecahan baru dengan derajat pembilang maksimal satu
lebih kecil dari derajat penyebut.
Dalil Sisa
Jika f(x) = a₀xⁿ+a₁xⁿ⁻ +….+an-1 +an dibagi oleh (x-x₁),
maka sisanya adalah f(x₁).
Sifat-sifat dalil sisa : 1. Jika pembagi bentuk linier, mk
sisanya adalah bilangan tetap
2. Jika penbagi bentuk kuadrat , mk sisa bentuk linier
3. Jika pembagi bentuk pangkat tiga,mk sisanya bentuk
kuadrat
Fungsi kuadrat.
Pers. Umum lingkaran Ax² + Ay²+ Dx +Ey +F = 0
Pers.Khususu lingkaran (x – h)² + (y – k)² = r²
Pers Umum Ellips Ax² + Cy² + Dx + Ey +F = 0
Pers Khusus Ellips (x-h)/a² +(y-k)/b² = 1
Pers. Umum parabola Ax²+Dx +Ey +F =0 sb //sb y
-“- “ - - “- Cy² + Dx +Ey +F = 0 sb // sb x
Pers Khususnya : y² =4p x→ vertek (0,0) sb // sb x
x² = 4py→ vertek (0,0) sb // sb y
Sedang, (x-h)² = 4p(y-k) ; (y-k)² = 4p(x-h)→ p(h,k)
Harga ekstrim dan grafik suatu fungsi.
a. Jika dalam suatu interval f’(x) >0, maka dalam
interval itu f’(x) naik.
b. Jika dalam suatu interval f’(x) < 0, maka dalam
interval itu f’(x) turun
Syarat Maks dan Mim
a. Jika titik A ,f’(x)=0 dan f’’(x) > 0 minimum
b. Jika titik A,f’(x) = 0 dan f’’( x) < 0 maksimum
c. Jika titik A. f’(x) = 0 dan f’’(x) = 0 maka tidak
ada maksimum dan minimum (ada titik belok )
Persamaan Diferensial Biasa
persamaan deferensial : pers. Yang mengandung
fungsi dan bentuk2 turunan.
Deferensil dapat dikelompokkan :
1. Persamaan Defersial Biasa(PDB)
2. Persamaan Deferensial Parsil(PDP)
Contoh 1. dy/dx = cos x dan d²y/dx² = g
2
2
2
u
u
u
0
2. Pers.Laplac: x 2
y2
z2
ditulis dalam bentuk 2u 0
pers. diffusi
2
2
u 1/ . u / t
Istilah dalam pers.deff.
1.orde :tingkat diferensial tertinggi yang terdapat
dalam persamaan deferensial.
2.Degree :pangkat dari orde persamaan
diferensial. 2
2
d y
dy
3
1
Contoh :
persamaan
2
dx
dx
ini sukar ditentukan ordenya , untuk itu kedua
ruas dipangkatkan 6. Maka sekarang terlihat
3
2
2
PDB ini berorde 2
d2y
dy
1
2
dx
dx
dan degree 2
Dalam bab ini kita hanya melihat PDB linier,
karena sering ditemukan dalam permasalahan
Fisika. Bentuk Umum PDB linier (1.7) :
n
n 1
n 2
d y
d y
d y
dy
a0 n a1 n 1 a2 n 2 .... an 1
an y R( x)
dx
dx
dx
dx
PDB linier karen pada ruas kiri hanya terdiri dari
Y = f(x).
2
d3y
dy
(
y
'
)
xy
y
4
dan
3
dx
dx
Kedua pers. diff di atas tidak linier .PDB tdk linier
kerena perkalian antara y dy/dx dan bentuk (y’)²
Jika pada pers.umum PDB linier (1.7)
R(x) =0 dan a₀,a₁, a₂, ….. an tetapan, PDB linier ini
disebut PDB linier homogen dngan koefisien
2y
d
tetap. Contoh :
4
0
2
dx
R(x) =0 dan a₀, a₁, a₂, ……..,an ; tetap ,maka PDB
linier ini :PDB linier tak homogen dengan
2
d
koefisien tetap ; contoh : 2y 3 dy 4 y 5
dx
dx
R(x) =0 dan a₀, a₁, a₂, …..an ; bergantung variable
x → PDB linier homogen dengan koefisien
2
d
y
dy
variable , contoh :
x
0
2
dx
dx
R(x) = 0 dan a₀, a₁, a₂, …an, bergantung variable x
PDB linier tak homogen dgn koefisien. varible
2 d2y
dx 2
dy
dx
2
contoh :
x
2x
y x 2
Operator diferensial ,ini notasi yang sering
digunakan (D), (D) : turunan pertama terhadap
variabel bebas dala penyelesaian PDB. Dimana
Dy =dy/dx, D²y = d²y/dx²,…….Dⁿy = dⁿy/dxⁿ.
Konsep penyelesian PDB : penyelesaian pers.
diferensial adalah pernyataan bentuk hubungan
antara variabel tak bebas dengan variabel bebas
nya,yang tidak mengandung bentuk turunan lagi
Contoh : y’ =x→ y’= dy/dx = x → dy= x dx
2
integrasi pers. di atas y
xdx 1 / 2 x c
Membuat Persamaan Diferensial.
Dalam fisika pers.deferensial ini sering ditemukan
contoh pada hukum Newton II bahwa F = ma
F = m d²x/dt² → d²x/dt² = F/m ini adalah PDB
orde dua degree satu.
Kalau pd pegas, menurut hkm Newton II –kx=ma
dapat ditulis m d²x/dt² +kx = 0
PDB orde satu
M(x,y)dx +N(x,y) dy =0→dy/dx =-M(x,y)/N(x,y)
kalau M(x,y)=f₁(x) g₁(y) dan N(x,y) =f₂(x) g₂(y)
dy
dx
f1 ( x ) g1 ( y )
f2 ( x) g2 ( y)
g2 ( y )
g1 ( y )
dy
f1 ( x )
f2 ( x)
dx
penyelesian persamaan pers. di atas dengan
mengintegral .
PDB linier
Bentuk PDB linier pers. dy/dx +P(x) y = Q(x) atau
dy/y=-P(x)dx dengan integral ln y=
P( x)dx c
P ( x ) dx c
P ( x ) dx
maka y e
dgn A =e .
Ae
Jadi penyelesaiannya PDB : (*)
y
e
P ( x ) dx
e
P ( x ) dx
Q( x)dx ce
P ( x ) dx
Persamaan Bernoulli.
Pers.Bernoulli perkembangan dari PDB linier,
ruas kiri sama dengan ruas kiri PDB linier dan
ruas kanannya sama dengan ruas kanan PDB
linier yang dikalikan dengan yⁿ.
PDB Bernoulli : dy/dx + P(x) y =Q(x) yⁿ
Dengan di selesaikan maka didapat dan
mengalikan dengan (1-n)y⁻ⁿ di dapat :
(1-n)y⁻ⁿdy + (1-n)yⁱ⁻ⁿP(X)dx =(1-n)Q(x)dx →
dz+(1-n)P(x) z dx = (1-n)Q(x) dx (lihat cont. h.82)
T
Penerapan PDB orde satu dalam Fisika.
Peluruhan zat radio aktif : dN/dt = -λN dirubah
dN/N = -λ dt → ∫dN/N =-∫λdt → lnN=-λt+ C (*)
Bila t=0,N=N₀ , maka ln N₀ =C sisipkan C pada (*)
maka ln N = - λt + ln N₀ → N = N₀ e⁻ t ,
zat menjadi setengah zat mula2→ N = ½ N₀
t
t
e
maka : ½ N₀ = N₀ e
→
=1/2→-λt=ln 1-ln2
t = (ln 2)/ λ → waktu paruh
- lihat pd rangkian listrik dgn hkm Kirchoff
dT
L di/dt + Ri = V ; aliran panasQ
(h.90)
kA
dx
Orde dua dari PDB : a₀(x)y’’+a₁(x)y’+a₂y
= R(x) (1)
,
Fungsi ini terdiri dari:(y’’,y’,y dan x→f(y’’,y’,y, x)=0
Dari persamaan ini didapat dua bentuk khusus :
1. Terdapat y, maka f(y’’,y’,y,x)=0 berubah :f(y’’,y’,x)
Jika PDB orde dua dilakukan pemisalkan :
y’=p → y’’ = dp/dx ; sisipkan y’ dan y’’ dalam
pers.f(y’’.y’,x)=0 , diperoleh
f(dp/dx, p,x)=0 jika merupakan PDB orde
satu,persamaan diatas dapat diselesaikan.
2. Tidak terdapat x maka pers f(y’’,y’,y,x)=0 berubah
menjadi
f(y’’,y’,y)=0 → y’ = dy/dx = p dan y’’= dp/dx = dp/dy .
dy/dy’’ = p dp/dy .
Sisipkan y’ dan y’’ pada persamaa : f(y’’.y’, y) = 0
PDB Euler-Cauchy.
Pada hal ini akan dibahas PDB orde dua dengan
dy
2 d y
a
x
a
x
a2 y R ( x )....(1)
1
dx
koefisien variabel : 0 dx
a₀,a₁ dan a₂ tetapan ,Pers ini: PDB Euler (Cauchy)
Untuk menyelesaikan PDB Euler atau Cauchy
Misalkan x = e → dx/dz = e = x . Cari y’ = dy/dx
dy/dx= dy/dz.dz/dx=x⁻ⁱdy/dzatau x dy/dx=dy/dz
Cari : y” = d²y/dx² → d²y/dx² =d/dx(x⁻ⁱ dy/dz
=-x⁻ⁱ dy/dz+x⁻ⁱdz/dx.d²y/dz²=x⁻²(-dy/dz +d²y/dz²)
x² d²y/dx² = d²y/dz² - dy/dz.
2
2
2 d2y
dx 2
dy
Sisipkan y”,y’ ke pers. a0 x
a1 x dx a2 y R( x)
a₀(d²y/dz² -dy/dz) + a₁ dy/dz +a₂y = R(z)
a₀d²y/dz² +( a₁ - a₀ ) dy/dz + a₂ y = R(z). ….(*)
Penyelesaian akhir diperoleh dengan mengguna kan metode PDB linier orde dua dengan
koefisien tetap tak homogen untuk pers (*).
VEKTOR
Vektor : sebuah besaran yang selain mempunyai
besaran, juga mempunyai arah
Vektor ditulis dengan huruf kapital ( A) →
A
Panjang panah menyatakan besar vektor A arah
panah menunjukan arah vektor A. Besaran
vektor A adalah A atau A .Vektor satuan
searah dengan vektor A dengan tanda a
a
A
A
A
A
Komponen vektor A dalam sistem koordinat
Kartesis (xyz) adalah Ax , Ay danAz terletak pada
sumbu x, y, dan z. Vektor satuan i , j, dan k yang
searah sumbu x, y, dan z yang positif. Jadi vektor A
A Ax i Ay j Az k dan besar A = A adalah
2
2
2
A
Ax
Ay
Az ,begitu juga koord kartesis xy
Vektor posisi : vektor yang ditarik dari titik 0 ke
sebuah titik ditulis r atau R . Jika titik terdapat
dalam ruang terdapat dalam ruang ,maka
vektor r : vektor titik asal (0, 0, 0) ke titik (x,y,z)
2
2
2
r
x
i
y
k
z
k
r
r
x
y
z
Yaitu
dan
Jika vektor A dan Bberimpit atau sejajar
arah yang sama , maka vektor A dan B
dikatakan searah. Bila kedua vektor berimpit
atau sejajar, tetapi berlawanan arah , maka
keduanya disebut vektor yang berlawanan
arah. Dua vektor A dan B dikatakan sama jika
A
B dan arahnya sama. Jika arah B
berlawanan dengan A, tetapi A B , maka
kita katakan A B . Sebuah vektor B k A
(k= sekalar) menunjukan bahwa Bsearah dgnA
dan B k A .
Vektor nol : vektor yang besarnya (harga
mutlaknya = 0 ) dan arahnya segala arah
A
A
B
B
A
A
B kA
Aljabar Vektor
Penjumlahan vektor
Dua vektor A dan B dapat dijumlahkan dengan
terlebih dahulu memindahkan titik awal (tangkap)
B ke titik ujung (terminal) A → A B
B
Titik tangkapnya terminal dan berimpit
B
A
Dari penjumlahan vektor
(
komutatif
)
A
B
B
A
A
A B A ( B C ) ( A B) C (asosiatif )
Penjumlahan ini: penjl.Jajaran genjang
B
Kita dapat melakukan pengurangan A B A ( B)
Perkalian vektor.
a. Perkalian titik(dot).
perkalian titik didef. Sebagai : A . B A B cos
α =sudut antara A dan B. Hasil perkalian ttk dr
dua vektor : sebuah besaran skalar
Jadi A. B
A B cos
B A cos
B cos
adalah proyeksi B ke A , makaA. B
Dapat dinyatakan sebagai perkalian antara A
dengan proyeksi B ke A atau sebaliknyaA. B B . A
Jadi hasil perkalian titik dari vektor-vekto I, j, k :
^ ^
^ ^
^ ^
^ ^
^ ^
^ ^
^ ^
i . i i i cos 0 1
j . j k . k 1 dan i . j j . k k . i 0
Vektor A dan B dinyatakan dalam komponen :
^
^
^
^
^
^
A. B ( Ax i Ay j Az k ).( Bx i By j Bz k )
^
^
Dan A. A Ax2 Ay2 Az2 A2 jikaA.B
Ay
Ax
Az
maka A// B
Bx
Ax Bx
By
Bz
0
Ay By
Az Bz
artinya A B
b. Perkalian silang (cross)
Perkalian silang def. A x B A B sin
Persamaan di atas menunjukan bahwa hasil A x B
adalah sebuah vektor C yang mempunyai besar
= A B sin dan searah dengan vektor satuan
Vektor Ctegak lurus terhadap bidang tempat A
dan B terletak.Menentukan arah vektor C
gunakan sistem sekrup yang menunjukkan arah C
Ternyata A x B dan B X A mempunyai besaran
skekar yang sama tetapi berlawanan arah.
atau : A x B B x A
Perkalian dua vekto satuan maka diperoleh :
; i xi j x j k xk
i xi
i i sin 0 0
0
dan i x i i j sin 900
Diperoleh i^ x ^j k^ ; ^j x k^ i^; k^ x i^ ^j
^
^
^ ^
^
^ ^
^
^
dan j x i k ; k x j i; i x k
j
dalam bentuk determinan:
AxB
^
^
^
i
Ax
Bx
j
Ay
By
k
Az
Bz
0
Garis dan Bidang.
1. Persamaan garis P ( x0 , y0 , z0 )
Sebuah garis l dapat dibuat melalui titik
sejajar dengan sebuah vektor A.Buat garis l
melalui P( x0 , y0 , z0 ) ke Q( x, y, z ) // vektor A
diperoleh PQ r r0 atau PQ ( x x0 ) i ( y y0 ) j ( z z0 ) k
Persamaan diatas : Pers.garis Parametrik,karena
karena x - x₀ = at ; y – y = bt; z - z = ct, maka
x x
y y
z z
persamaan menjadi a
b
c
persamaan ini : pers.garis simetri
z P( x , y , z )
Q( x, y, z )
0
o 0
l
0
0
0
A
r0
r
y
x
Persamaan Bidang.
persmaan bidang dapat dibuat melalui sebuah
titik (x₀,y₀, z₀)yang tegak lurus terhadapsebuah
vektor N . Misalkan N = a i b j c k
tegak lurus pada bidang α, diperoleh PQ r r
Q( x, y, z)
PQ ( x x0 ) i ( y y0 ) j ( z z0 ) k
Kerena PQ terletak pada bidang α maka N ∟ PQ
maka perkalian titik sama dengan nol N . PQ 0
0
N r r
α
P( x0 , y0 , z0 )
S
r
MATRIK DAN DETERMINAN
Pengertian Matrik
Matriks : Suatu kumpulan angka-angka atau
huruf yang disusun menurut baris dan kolom
sedemikian sehingga berbentuk persegi panjang
Sebuah matrik dinyatakan dengan hurup besar
A.Bilangan yang horizontal baris ,bil.vertikal
kolom
a11 a12 a13 a1n m =jml baris
I = 1,2,3……m
a21 a22 a23 a2 n
A
n = jml kolom
.
.
.
.
I = 1,2,3,…..n
a41 a42 a43 amn
Macam-macam matriks
Matrik A dengan elemen aij ,mempunyai baris m
dan kolom n dengan orde (mxn).
1. Matrik bujur sangkar : matriks yang banyak baris
dan kolom sama m=n , contoh
1 3
A
2
4
2. Matriks Singular : Matriks bujur sangkar yang
nilai detreminannya sama dengan nol.
Contoh:
4 2
A
2
1
3. Matrik Non Singuler : matriks bujur sangkar yang
nilai determinannya tidak sama dgn nol
1 2
A
3 4
4. Matriks Satuan (Identitas): Suatu matriks bujur
sangkar dimana unsur-unsur yang terletak pada
diagonal pokok terdiri atas angka-angka
satu,sedang unsur lainnya nol. Dilengkapi lambang
In.contoh :
1 0 0
A
0
1
0
0
0
1
In
5. Matriks diagonal: matriks bujur sangkar dimana
unsur pada diagonalpokok minimal satu unsur tdk
sama dengan nol, sedang unsur lain sama dengan
nol . contoh
3 0 0
1 0 0
1 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
atau
0 0 2
atau
0
1
0
0
0
1
6. Vektor Basis : suatu matriks yang hanya
mempunyai satu baris saja. Contoh A 1 2 3
7. Vektor kolom : Suatu matriks yang hanya
1
mempunyai satu kolom. Contoh
B
2
8. Matriks nol : matriks yang unsurnya 3
nol.contoh B 0 0
0 0
9. Matriks transpose: suatu matriks A dengan
cara mengubah baris menjadi kolom atau
sebaliknya.(transpose A ditulis A’) .contoh
A
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A'
1 4 7
2 5 8
3 6 9
10. Matriks Simetri : suatu matriks bujur sangkar
yang sama dengan matriks transposenya A=A’
3 4 5
3 4 5
contoh :
A
4
7
9
5
9
0
A'
4
7
9
5
9
0
11. Matriks anti semetri(skew Matriks) : matrik
bujur sangkar yang sama dengan negatif
transposenya. A = - A’, contoh :
A
0
4
5
4
0
2
5
2
0
A'
0
4
5
4
0
5
2
2
0
12. Matris Invers : suatu matrik apabila matriks
itu, matriks non singular. A suatu matriks,maka
inversenya A⁻ᴵ ( A = A⁻ᴵ )
Dirumuskan
contoh : A
C11
A
1
3
2
4
4; C12
Adj A = C
1
adjA
A
1
A
3; C21
1
IJ
4
2
3 1
2
0 adjoin A= Cij
A
1
1 4
2 3
a
c
2
1
b
d
( 1)i
4
2
1 → Cij
2; C22
→
1
det A
j
M ij
3
1
2
1
3
2
1
2
Kaidah-kaidah invers.
1.Invers dari invers suatu matriks adalah matrik
aslinya A 1 1 A
2.Determinan dari suatu invers matriks sama dengan
1
kebalikan determinan matriks tersebut
A
1
A
3. Ivers dari transpose suatu matrik sama dengan
1
1 '
A
transpose dari invers matriks tersebut. A'
4. Invers dari perkalian dua matrik hasilnya sama
dengan perkalian invers dari matriks 2 tersebut.
AB
1
1
B A
1
OPERASI MATRIKS
Orde suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris
dandiikuti oleh banyaknya kolom. Misalnya matriks
ini mempunyai orde (2 x 3 ) ditulis A ₂ ₓ ₃
2. Matriks yang sama : Dua matriks A dan B
dikatakan sama, ditulis A = B, apabila a. ordenya
sama. b.unsur-unsur yang seletak sama.
1 2 3
1 2 3
dan B
A
4 5 6
4 5 6
3. Jumlah/Selisih dua Matriks
Selisih/Jumlah dua matriks hanya berlaku
apabila : a. Ordrnya sama. b. unsur-unsur yang
seletak dikurangi atau ditambah.
2 3 4 5 5 9
3 5
2 4
dan B
→A B
A
1 5
2 6
1 2 5 6
3 11
4. Perkalian matriks dengan skalar: skalar
besaran yang tidak mempunyai arah misl. k
kA
a
k
c
b
d
ka
kc
kb
kd
5. Perkalian matriks dengan matriks
Dua matriks hanya bisa dikalikan, apabila
banyaknya kolom matriks pertama sama
dengan banyaknya baris matriks kedua
A( mxn ) xB( nxs ) C( mxs )
2
4
3
0 1
0
3 0
2
1
4
2
1
4
6
6 0 2
12 0 0
2 0 4
4 0 6
4 12 0 8 3 0
8
6 10
12 16 11
Sifat-sifat matriks.
1. A + B = B + A sifat komitatif thd penjumlahan
2. AB≠BA(umumnya) komutatif thd perkalian
3. AI=IA=A sifat komutatif thd perkalian
4. AA⁻ᴵ = A⁻ᴵA =I sifat komutatif thdperkalian
5.A+(B+C)=(A+B)+C sifat asosiatif thd
penjumlahan
6. A(BC)=(AB)C sifat asosiatif thd perkalian
7. A(B+C) = AB+AC sifat distributif
Pengertian Determinan
Determinan suatu matriks : skalar(bilangan)
yang diperoleh dari pengoperasian elemen2
matriks secara spesifik,determinan hanya bisa
dihitung dri matriks bujur sangkar (n x n)
Bila matriksnya sapai orde 3x3 bisa gunakan
cara satu dan cara dua, ordenya lebih dari 3
lebih dari 3 cara satu dan dua tdk bisa
digunakan, gantinya gunakan urian Laplace
Sifat determinan
1. Determinan dari suatu matrik IAI mempunyai
nilai yang sama dengan determinan dari
transposenya IA’I atau IAI = IA’I
2. Jika dalam suatu baris (kolom)elemen suatu
determinan bernilai nol semua, maka nilai
determinan juga sama dengan nol
3. Jika suatu elemen pada suatu baris(kolom)
dari suatu determinandikalikan dengan suatu
skalar k, maka nilai determinan akan menjadi k
kali nilai determinan semula.
Perbedaan perkalian matriks dengan skalar dan
determinan dengan skalar: matrik dengan
skalar (k) semua elemen matriks dikalikan
k,sedang determinan hanya baris atau kolom
4. Bila dua baris atau kolom dari suatu
determinan ditukar tempatnya, maka tanda
determinan akan berubah ,akan tetapi nilai
mutlaknya tetap sama.
5. Jika dua baris atau kolom dari suatu
determinan sama elemen2nya maka nilai
determinan sama dengan nol.
6.Suatu determinan nilainya tidak akan berubah
bila elemen 2 pada suatu baris atau kolom
dikalikan dengan suatu konstan kemudian
ditambah atau dikurang pada elemen2 dalam
baris atau kolom yang lain
7. Determinan dari perkalian dua buah matriks
sama dengan hasil kali determinan matrik 2
tersebut. AB A B
8. Determinan dari matrik diagonal adalah hasil
kali elemen-elemen diagonalnya.
A
a
0
0
b
0
0
0
0
c
abc
DIFERENIAL
Pembahasan mengenai turunan atau derivatif
dy
dy
dengan lambang
,yang menunjukan lim it
dx 0 dx
dx
yang artinya dy diferensial dari y dan dx
diferensial dari dx. Penggunaan diferensial
diantaranya mencari integral dari suatu fungsi.
Bila dy/dx merupakan turunan dari fungsi y=f(x)
variabel x berubah sebesar ∆x → diferensial y
ditunjukan oleh dy dan besarnya.
dy
contoh :Pers xy² -x² + y =0, dengan dy dx x f ' ( x) x
mendeferensial ke x berapa dy/dx
dy
2 xy
dx
y
2
dy
2x
dx
0
dy
(2 xy 1)
dx
2x y
2
dy
dx
2x y2
2 xy 1
Contoh persamaan diatas merupakan pers.fungsi
implisit, karena persamaan sama dengan
nol,atau konstanta maka gunakan deferensial
implisit.
contoh : 1. Berapakahd y dari pers.x² -y² =1
d x
dy
dy 2 x x
Deferensial ke x menghasilkan 2x 2 y dx 0 dx 2 y y
2. Berapa dy/dx dari persamaan xy² -x² +y =0
deferensial ke x : 2xydy/dx + y² -2x + dy/dx = 0
dy
2x y
(2xy +1 ) dy/dx =2x- y² →
dx 2 xy 1
3. Tentukan dy/dx dan d²y/dx² dari pers.x²+y²=1
2
2
jawab : x² + y² =1 → 2x + 2y dy/dx =0→
deferensial dy/dx ke x
2
d y
dx 2
dy
y x
dx
y2
y
x
y2
d2y
dx 2
x
y
y2
dy
dx
2x
2y
x2
y2
1
y3
karena x² +y² =1 maka
DEFERENSIAL PARSIL
Kita telah membahas fungsi implisit y = f(x)
dan fungsi implisit f(x,y) = 0, hal in hanya
terdiri dari dua variable .Fungsi dan relasi
beberapa variable dapat didefinisikan dengan
memperluas definisi untuk dua variable.
y
x
,
Suatu titik dalam dua dimensi disajikan oleh
pasangan urut-urut yang mempunyai tiga
anggota .Bila mempunyai n buah anggota
bilangan riil yaitu (x₁ ,x₂, …. Xn ) dapat ditulis
z = (x₁ ,x₂, ….xn ) dimana x₁, x₂, ….xn disebut
variabel bebas dan z merupakan variabel tak
bebas . Dapat ditulis ( x₁ , x₂ , ….xn, z) = 0
Misal fungsi z dengan dua variabel bebas x dan y
z = f(x,y). Bila y dianggap tetap ,z merupakan
fungsi x saja dan turunan z ke x, turunan yang
didapat merupakan turunan parsial dari z ke x
z f
Ditunjukan oleh : , ' , f ( x, y), f x ( x, y), f x , z x
x x x
Begitu juga bila x dianggap tetap maka turunan
parsil ke y : z , f , , f ( x, y), f y ( x, y), f y , z y
y y y
contoh :
z
z
6
x
2
y
Jika z = 3x² + 2xy -5y², maka x
dan y 2 x 10 y