Politecnico di Milano
Segnali per le Telecomunicazioni
2014
Formulario
Prof.
Claudio Prati
816820 Federico Badini
817615 Stefano Bodini
June 10, 2014
Formule di Teoria dei Segnali
L.Verdoliva
Formule di trigonometria
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α
1 + cos 2α
cos2 α =
2
1
−
cos
2α
sin2 α =
2
sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos2 α − sin2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α
1
cos α cos β =
[cos(α − β) + cos(α + β)]
2
1
sin α sin β =
[cos(α − β) − cos(α + β)]
2
1
sin α cos β =
[sin(α + β) + sin(α − β)]
2
Formule di Eulero
cos α =
ejα + e−jα
2
sin α =
ejα − e−jα
2j
ejα = cos α + j sin α
Proprietà δ(t) e δ(n)
R t2
t1




x(t) δ(t) dt =
R +∞
−∞
R +∞
−∞



x(0)
0


0 ∈ (t1 , t2 )
δ(n) =
altrimenti
P+∞
δ(t) dt = 1

1
n=0
0
altrimenti
k=−∞ δ(n
− k) = 1
P+∞
x(t)δ(t − t0 ) dt = x(t0 )
n=−∞ x(n)δ(n
− n0 ) = x(n0 )
x(t) δ(t − t0 ) = x(t0 ) δ(t − t0 )
x(n) δ(n − n0 ) = x(n0 ) δ(n − n0 )
δ(t) = δ(−t)
δ(n) = δ(−n)
R +∞
P+∞
−∞
Rt
x(α)δ(t − α) dα = x(t) ∗ δ(t) = x(t)
−∞ δ(τ ) dτ
= u(t) ↔ δ(t) =
k=−∞ x(k)δ(n
Pn
du(t)
dt
k=−∞ δ(k)
1
− k) = x(n) ∗ δ(n) = x(n)
= u(n) ↔ δ(n) = u(n) − u(n − 1)
Formule di utilità
+∞
X
n=0
1
αn =
1−α
N
X
|α| < 1
αn =
n=M



αM −αN +1
1−α
α 6= 1
N −M +1
α=1
Media temporale per segnali aperiodici (1) e per segnali periodici (2)
(1)
(2)
< x(t) > =
< x(t) > =
1
T →∞ T
Z
T /2
x(t) dt
lim
1
T0
a) Invarianza temporale
b) Linearità
Z
< x(n) > =
−T /2
N
X
1
x(n)
N →∞ 2N + 1
lim
n=−N
T0 /2
x(t) dt
< x(n) > =
−T0 /2
1
N0
NX
0 −1
x(n)
n=0
y(t) = x(t − t0 )
=⇒
< y(t) >=< x(t) >
y(n) = x(n − n0 )
=⇒
< y(n) >=< x(n) >
z(·) = a x(·) + b y(·)
=⇒
< z(·) >= a < x(·) > +b < y(·) >
Potenza per segnali aperiodici (1) e per segnali periodici (2) ed Energia (3)
(1)
1
= lim
T →∞ T
Px
Z
T /2
2
|x(t)| dt
Px
−T /2
N
X
1
= lim
|x(n)|2
N →∞ 2N + 1
n=−N
Z
(2)
(3)
T0 /2
1
|x(t)|2 dt
T0 −T0 /2
Z +∞
=
|x(t)|2 dt
Px =
Ex
Px =
Ex =
−∞
1
N0
NX
0 −1
|x(n)|2
n=0
+∞
X
|x(n)|2
n=−∞
Potenza ed Energia mutua
Pxy =
1
T →∞ T
Z
Exy =
Z
T /2
lim
+∞
−∞
x(t) y ∗ (t) dt
−T /2
x(t) y ∗ (t) dt
Pxy =
N
X
1
x(n) y ∗ (n)
N →∞ 2N + 1
lim
n=−N
Exy =
+∞
X
n=−∞
2
x(n) y ∗ (n)
a) Invarianza temporale
b) Non Linearità
y(t) = x(t − t0 )
=⇒
Py = Px
e
Ey = Ex
y(n) = x(n − n0 )
=⇒
Py = Px
e
Ey = Ex
z(·) = x(·) + y(·)
=⇒
Pz = Px + Py + 2 Re[Pxy ]
=⇒
Ez = Ex + Ey + 2 Re[Exy ]
Funzione di autocorrelazione per segnali di potenza aperiodici (1) e periodici (2) e per
segnali di energia (3)
(1)
Z
1
Rx (τ ) = lim
T →∞ T
T /2
x(t) x∗ (t − τ ) dt
Rx (m) =
−T /2
N
X
1
x(n) x∗ (n − m)
N →∞ 2N + 1
lim
n=−N
Z
(2)
(3)
T0 /2
1
x(t) x∗ (t − τ ) dt
T0 −T0 /2
Z +∞
Rx (τ ) =
x(t) x∗ (t − τ ) dt
Rx (τ ) =
N0 −1
1 X
x(n) x∗ (n − m)
N0
Rx (m) =
n=0
+∞
X
Rx (m) =
−∞
x(n) x∗ (n − m)
n=−∞
Funzione di mutua correlazione per segnali di potenza (1) e per segnali di energia (2)
(1)
1
Rxy (τ ) = lim
T →∞ T
Z
(2)
Rxy (τ ) =
+∞
Z
T /2
x(t) y (t − τ ) dt
−T /2
n=−N
x(t) y ∗ (t − τ ) dt
Rxy (m) =
−∞
+∞
X
x(n) y ∗ (n − m)
n=−∞


a) Valore nell’origine
N
X
1
Rxy (m) = lim
x(n) y ∗ (n − m)
N →∞ 2N + 1
∗
Rx (0) =



Ex
Rxy (0) =
Px
b) Simmetria coniugata
Rx (·) = Rx∗ (−(·))
c) Limitatezza
|Rx (·)| ≤ Rx (0)

Exy
Pxy
∗ (−(·))
Rxy (·) = Ryx

 p
Ex Ey
|Rxy (·)| ≤
 p
Px Py
Sistemi LTI nel dominio del tempo
Z
+∞
y(t) =
x(α) h(t − α) dα
y(n) =
−∞
+∞
X
x(k) h(n − k)
k=−∞
= x(t) ∗ h(t)
= x(n) ∗ h(n)
3
a) Proprietà commutativa
x(·) ∗ h(·) = h(·) ∗ x(·)
b) Proprietà distributiva
x(·) ∗ [h1 (·) + h2 (·)] = x(·) ∗ h1 (·) + x(·) ∗ h2 (·)
c) Proprietà associativa
x(·) ∗ [h1 (·) ∗ h2 (·)] = [x(·) ∗ h1 (·)] ∗ h2 (·)
d) Proprietà associativa mista
a[x(·) ∗ h(·)] = [ax(·)] ∗ h(·) = x(·) ∗ [ah(·)]
e) Invarianza temporale
x(t − t1 ) ∗ h(t − t2 ) = y(t − (t1 + t2 ))
x(n − n1 ) ∗ h(n − n2 ) = y(n − (n1 + n2 ))
Sistema non dispersivo
⇐⇒
h(·) = kδ(·)
Sistema causale
⇐⇒
h(t) = 0 per t < 0
h(n) = 0 per n < 0
Sistema stabile
⇐⇒
R +∞
P+∞
−∞
|h(t)| dt < ∞
n=−∞ |h(n)|
<∞
Serie di Fourier
Sintesi
+∞
X
x(t) =
Xk e
j2πkf0 t
x(n) =
k=−∞
Analisi
x(·) reale
1
T0
Xk =
−→
Z
T0 /2
x(t) e
−j2πkf0 t
dt
Xk
−T0 /2
N0 −1
1 X
=
x(n) e−j2πkν0 n
N0
n=0


←→

|X−k | = |Xk |
∠X−k = −∠Xk
z(·) = ax(·) + by(·)
←→
Zk = aXk + bYk
y(t) = x(t − t0 )
←→
Yk = Xk e−j2πkf0 t0
y(n) = x(n − n0 )
←→
Yk = Xk e−j2πkν0 n0
y(·) = x(−·)
←→
Yk = X−k
dx(t)
dt
←→
Yk = j2πkf0 Xk
y(n) = x(n) − x(n − 1)
←→
Yk = (1 − e−j2πkν0 )Xk
2) Traslazione temporale
3) Riflessione
4) Derivazione
y(t) =
5) Differenza prima
Xk ej2πkν0 n
k=0
X−k = Xk∗
1) Linearità
NX
0 −1
6) Relazione di Parseval
1
T0
R
T0
|x(t)|2 dt =
P+∞
2
k=−∞ |Xk |
1
N0
4
P
2
<N0 > |x(n)|
=
P
2
k=<N0 > |Xk |
formulario di teoria dei segnali
•
4
treno di impulsi 3
Nel caso in cui x(t) è il treno
di impulsi rappresentato in gura allora i coecenti Xk sono dati
da:
x(t)
a
.................
···
···
0
−T0 − T0
2
T ..................
T0
2
T0
T
T
sinc k
Xk = a
T0
T0
t
Il rapporto TT0 viene detto dutycycle o duty-factor.
Trasformata continua di Fourier
Denizione
Un segnale x(t) può essere visto come la sovrapposizione di componenti sinusoidali di ampiezza
innitesima e di frequenza variabile con continuità su tutto l'asse reale. Le due equazioni
relative alla rappresentazione del segnale aperiodico sono:
Z
+∞
x(t) =
X(f ) e
j2πf t
+∞
Z
df
x(t) e−j2πf t d t
X(f ) =
−∞
−∞
Proprietà
• Simmetrie degli spettri
(
X(f ) = X ∗ (−f )
•
⇔
< {X(f )} = < {X(−f )}
={X(f )} = −={X(−f )}
con x(t) reale
Segnali pari e dispari
x (t) reale e pari
Z
⇒
+∞
X (f ) = 2
x (t) cos (2πf t) dt
0
x (t) reale e dispari
Z
⇒
X (f ) = −2j
+∞
x (t) sin (2πf t) dt
0
Nel caso in cui x(t) sia reale e pari allora X(f ) è anch'essa reale e pari; mentre, se x(t) è
reale e dispari allora X(f ) è immaginaria pura e dispari.
3 La
funzione sinc(·) è denita nel modo seguente:

sin(πt)



πt
sinc(t) ,



1
t 6= 0
t=0
formulario di teoria dei segnali
•
Linearità
⇒
x(t) = a x1 (t) + b x2 (t)
•
X(f ) = a X1 (f ) + b X2 (f )
Dualità
F
x(t) → X(f )
•
5
⇒
F
X(t) → x(−f )
Traslazione nel tempo
con
X (f ) = F{x(t)}
con
X (f ) = F {x (t)}
F {x (t − t0 )} = X (f ) e−j2πf t0
•
Traslazione in frequenza
F x (t) ej2πf0 t = X (f − f0 )
•
Cambiamento di scala
f
1
F{x(α t)} =
X
|α|
α
•
Teorema della
con
X(f ) = F{x(t)}
Teoremi di
X(f ) = F{x(t)}
modulazione
F {x(t) · cos (2πf0 t)} =
•
con
Trasformata di un segnale coniugato
F{x(t)} = X(−f )
•
(α 6= 0)
X(f − f0 ) + X(f + f0 )
2
con
X(f ) = F {x(t)}
derivazione e integrazione
d x(t)
F
= j2πf X(f )
con
X(f ) = F {x(t)}
dt
d X(f )
−1
F
= −j2πt x(t)
con
X(f ) = F {x(t)}
df
Z t
X(f ) δ(f )
F
x(τ ) d τ =
+
X(0)
con
X(f ) = F {x(t)}
j2πf
2
−∞
il secondo termine aggiuntivo ci vuole quando il segnale x(t) non sottende area nulla, cioè
quando X(0) 6= 0.
•
Teorema del
prodotto 4
F{x(t) · y(t)} = X(f ) ∗ Y (f )
•
Teorema della
convoluzione
F{x(t) ∗ y(t)} = X(f ) · Y (f )
4 L'asterisco
indica l'operazione di convoluzione, denita nel modo seguente:
Z
+∞
ϕ(t) ∗ ψ(t) =
ϕ(τ ) ψ(t − τ ) d τ
−∞
tale operazione gode della proprietà commutativa.
formulario di teoria dei segnali
6
Trasformate di Fourier generalizzate
•
Proprietà della δ di Dirac
Z
+∞
Z
+∞
x(t) δ(t − t0 ) d t = x(t0 )
x(t) δ(t) d t = x(0)
−∞
−∞
Z
+∞
x(t) ∗ δ(t) =
x(τ ) δ(t − τ ) d τ = x(t)
−∞
Z
+∞
x(t) ∗ δ(t − t0 ) =
x(τ ) δ(t − t0 − τ ) d τ = x(t − t0 )
−∞
x(t) δ(t − t0 ) = x(t0 ) δ(t − t0 )
δ(a t) =
•
1
δ(t)
|a|
altre proprietà
F{δ(t)} = 1
F{1} = δ(f )
1
1
+ δ(f )
j2πf
2
−j2πf t0
F{δ(t − t0 )} = e
F ej2πf0 t = δ(f − f0 )
U (f ) = F{u(t)} =
Trasformata continua di un segnale periodico
δ(f − f0 ) + δ(f + f0 )
2
δ(f − f0 ) − δ(f − f0 )
F{sin(2πf0 t)} =
2j
1
1
F{cos(2πf0 t + ϕ)} = δ(f − f0 ) e jϕ + δ(f + f0 ) e−jϕ
2
2
+∞
+∞
X
X
j2πkf0 t
x (t) =
Xk e
⇒ X (f ) =
Xk δ (f − kf0 )
F{cos(2πf0 t)} =
k=−∞
Xk = f0 F{xT0 (t)}
k=−∞
con f0 =
1
T0
f =kf0
Quest'ultima formula consente di calcolare i coecenti dello sviluppo in serie di Fourier di
un segnale x(t) periodico a partire dalla trasformata di Fourier del segnale xT0 (t) ottenuto
troncando x(t) in un periodo T0 .
4
Formulario di Trasmissione Numerica (Ing. Biomedica) - ver. 3.0
18. Trasformate notevoli:
x(t)
X(f )
δ(t)
1
1
δ(f )
1
1
δ(f ) +
2
j2πf
1
jπf
u(t)
sgn(t)
1
t
rect(t)
sinc(f )
Λ(t)
sinc2 (f )
sinc(t)
rect(f )
−jπsgn(f )
2
sinc (t)
e−at u(t), a ∈ R+
t e−at u(t), a ∈ R+
e−a|t| , a ∈ R+
ej2πf0 t
cos(2πf0 t + ϕ0 )
sin(2πf0 t + ϕ0 )
+∞
X
k=−∞
δ(t − kT0 ), T0 ∈ R+
Λ(f )
1
a + j2πf
1
(a + j2πf )2
2a
2
a + (2πf )2
δ(f − f0 )
1
1 jϕ0
δ(f − f0 ) + e−jϕ0 δ(f + f0 )
e
2
2
1 jϕ0
1 −jϕ0
δ(f − f0 ) −
δ(f + f0 )
e
e
2j
2j
+∞
1 X
k
δ f−
T0
T0
k=−∞
Proprietà della Trasformata tempo-discreta di Fourier e trasformate notevoli
1. Simmetria hermitiana della trasformata:
x(n) reale
⇐⇒
X ∗ (ν) = X(−ν) .
2. Valore nell’origine:
X(0) =
+∞
X
x(n) ,
n=−∞
x(0) =
Z
1/2
X(ν) dν .
−1/2
3. Simmetria:
F
x(−n) ←→ X(−ν) ,
F
x∗ (n) ←→ X ∗ (−ν) ,
F
x∗ (−n) ←→ X ∗ (ν) .
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5
Formulario di Trasmissione Numerica (Ing. Biomedica) - ver. 3.0
4. Traslazione nel tempo:
F
y(n) = x(n − n0 ) ←→ Y (ν) = X(ν) e−j2πνn0 ,
∀n0 ∈ Z .
5. Traslazione in frequenza:
F
y(n) = x(n) ej2πν0 n ←→ Y (ν) = X(ν − ν0 ) ,
∀ν0 ∈ R .
6. Modulazione:
F
y(n) = x(n) cos(2πν0 n+ϕ0 ) ←→ Y (ν) =
1 jϕ0
1
e X(ν−ν0 )+ e−jϕ0 X(ν+ν0 ),
2
2
∀ν0 , ϕ0 ∈ R.
7. Espansione:
y(n) = x
hni
L
F
←→ Y (ν) = X(Lν) ,
∀L ∈ N .
8. Decimazione:
M −1
1 X
ν−k
y(n) = x(nM ) ←→ Y (ν) =
,
X
M
M
F
k=0
∀M ∈ N .
9. Differenza:
F
∇k [x(n)] = ∇1 {∇k−1 [x(n)]} ←→ Y (ν) = 1 − e−j2πν
10. Derivazione in frequenza:
F
(−n)k x(n) ←→
dk
1
X(ν) ,
(j2π)k dν k
k
X(ν) ,
∀k ∈ N .
∀k ∈ N .
11. Somma:
y(n) =
n
X
k=−∞
F
x(k) ←→ Y (ν) =
12. Convoluzione:
z(n) = x(n) ∗ y(n) =
+∞
X
k=−∞
1
e + X(ν) .
X(0) δ(ν)
2
1 − e−j2πν
F
x(k) y(n − k) ←→ Z(ν) = X(ν) Y (ν) .
13. Prodotto:
F
z(n) = x(n) y(n) ←→ Z(ν) = X(ν) ∗ Y (ν) =
Z
1/2
−1/2
X(λ) Y (ν − λ) dλ .
14. Parseval:
Ex =
+∞
X
n=−∞
|x(n)|2 =
Z
1/2
−1/2
|X(ν)|2 dν,
Exy =
+∞
X
x(n) y ∗ (n) =
n=−∞
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Z
1/2
−1/2
X(ν) Y ∗ (ν) dν.
6
Formulario di Trasmissione Numerica (Ing. Biomedica) - ver. 3.0
15. Replicazione/campionamento:
y(n) =
+∞
X
k=−∞
y(n) =
+∞
X
k=−∞
N0 −1
1 X
k
k
e
x(n − kN0 ) ←→ Y (ν) =
,
X
δ ν−
N0
N0
N0
F
k=0
N0 −1
k
1 X
,
X ν−
x(kN0 ) δ(n − kN0 ) ←→ Y (ν) =
N0
N0
F
k=0
∀N0 ∈ N ,
∀N0 ∈ N .
16. Formule di Poisson:
+∞
X
k=−∞
+∞
X
N0 −1
k
1 X
j2π k n
e N0 ,
X
x(n − kN0 ) =
N0
N0
k=0
−j2π Nk n
x(kN0 )e
k=−∞
0
N0 −1
k
1 X
,
X ν−
=
N0
N0
k=0
∀N0 ∈ N ,
∀N0 ∈ N .
17. Trasformata di Fourier di un segnale periodico e campionamento in frequenza:
N0 −1
N0 −1
1 X
k
1 X
F
j2π Nk n
e
0
x(n) =
X(k) e
X(k) δ ν −
←→ X(ν) =
N0
N0
N0
k=0
k=0
N0 −1
1 X
k
k
F
Xg
δe ν −
x(n) = repN0 [xg (n)] ←→ X(ν) =
N0
N0
N0
k=0
k
X(k) = Xg
N0
Spazio per formule personali
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Formulario di Trasmissione Numerica (Ing. Biomedica) - ver. 3.0
18. Trasformate notevoli:
x(n)
X(ν)
δ(n)
1
e
δ(ν)
1
u(n)
sgn(n)
RN (n)
B2N (n)
sinc(2νc n), 0 < νc <
1
2
sinc2 (2νc n), 0 < νc <
1
2
an u(n), |a| < 1
(n + 1) an u(n), |a| < 1
a|n| , |a| < 1
ej2πν0 n
cos(2πν0 n + ϕ0 )
sin(2πν0 n + ϕ0 )
+∞
X
k=−∞
δ(n − kN0 ), N0 ∈ N
1e
1
δ(ν) +
2
1 − e−j2πν
2
1 − e−j2πν
DN (ν)
1 2
D (ν) e−j2πν
N N
1
ν
rep rect
2νc 1
2νc
1
ν
rep1 Λ
2νc
2νc
1
1 − a e−j2πν
1
(1 − a e−j2πν )2
1 − a2
2
1 + a − 2a cos(2πν)
e − ν0 )
δ(ν
1
1 jϕ0 e
e + ν0 )
e
δ(ν − ν0 ) + e−jϕ0 δ(ν
2
2
1 −jϕ0 e
1 jϕ0 e
e
e
δ(ν − ν0 ) −
δ(ν + ν0 )
2j
2j
N0 −1 +∞
1 X
1 X
k
k
=
δe ν −
δ ν−
N0
N0
N0
N0
k=0
k=−∞
Spazio per formule personali
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7
formulario di teoria dei segnali
10
β2
1
(−α)
−αt
e sin(βt) d t =
sin(βt) + C
e
− cos(βt) +
β
β2
β 2 + (−α)2
Z
1
1
1
sin(α + β)t +
sin(α − β)t + C
cos(αt) cos(βt) d t =
2 α+β
α−β
Z
1
sin(βt) 1
1
2
cos (αt) cos(βt) d t =
+
sin(2α + β)t +
sin(2α − β)t + C
2β
4 2α + β
2α − β
Z
−αt
Energia e potenza di segnali notevoli
x(t) = a cos (2πf0 t + ϕ)
⇒
x(t) = a sin (2πf0 t + ϕ)
⇒
x(t) = v0
⇒
a2
2
a2
Px =
2
Px =
Px = v02
x(t) = a e−t/T · u(t)
⇒
x(t) = a e−|t|/T
Ex = a2 T
⇒
Ex =
a2
T
2
Sistemi monodimensionali a tempo continuo
Denizione
Un sistema viene visto come funzionale dell'ingresso, cioè
y(t) = τ [x(α) ; t]
oppure, se non ci sono ambiguità
y(t) = τ [x(t)]
Proprietà
•
Stazionarietà
Se y(t) = τ [x(t)]
•
⇒
causalità
y(t) = τ [x(α) , α 6 t; t]
•
τ [x(t − t0 )] = y(t − t0 )
oppure y(t) = τ [x(α) · u(t − α) ; t]
memoria
Un sistema è senza memoria se
y(t) = τ [x(α) , α = t; t]
•
stabilità
|x(t)| 6 M
•
⇒
|y(t)| 6 K
con M, K < +∞
linearità
τ [α x1 (t) + β x2 (t)] = α y1 (t) + β y2 (t)
con y1 (t) = τ [x1 (t)] e y2 (t) = τ [x2 (t)]
formulario di teoria dei segnali
11
Caratterizzazione e analisi dei sistemi LTI
Risposta impulsiva
h(t) , τ [δ(t)]
Z
+∞
y(t) = τ [x(t)] = x(t) ∗ h(t) =
x(α) h(t − α) d α
con x(t) arbitrario
−∞
SLS causale
⇔
SLS stabile
⇔
h(t) ≡ h(t) · u(t)
Z +∞
|h(t)| d t < +∞
−∞
Risposta in frequenza
La risposta in frequenza la possiamo calcolare così:

y(t)





 x(t) x(t)= ej2πf t
H(f ) =
Y (f )



X(f )



F {h(t)}
Si ha
H(f ) = |H(f )| ej∠H(f )
dove |H(f )| é la risposta in ampiezza e ∠H(f ) é la risposta in fase.
Il decibel
|H(f )|dB , 10 log10
|H(f )| 2
|H(f0 )| 2
dove f0 é una frequenza di riferimento, di solito quella per cui si ha:
|H(f0 )| = max |H(f )|
f
Sistemi in cascata e in parallelo
• cascata
h(t) = h1 (t) ∗ h2 (t)
•
⇒
H(f ) = H1 (f ) · H2 (f )
⇒
H(f ) = H1 (f ) + H2 (f )
parallelo
h(t) = h1 (t) + h2 (t)
formulario di teoria dei segnali
12
Filtri
Filtri ideali
• ltro passa basso (low-pass )
f
HLP (f ) = rect
2B
•
ltro passa alto (hi-pass )
f
HHP (f ) = 1 − rect
2B
•
hLP (t) = 2B sinc(2B t)
⇔
hHP (t) = δ(t) − 2B sinc(2B t)
⇔
ltro passa banda (band-pass )
f − f0
HBP (f ) = rect
B
f + f0
+ rect
B
⇔
hBP (t) = 2B sinc(B t) · cos (2πf0 t)
con
fH + fL
frequenza centrale
2
B = fH − fL
banda
f
Q, 0
fattore di qualitá
B
f0 =
•
ltro elimina banda (band-reject)
HBR (f ) = 1 − HBP (f )
hBR (t) = δ(t) − 2B sinc(B t) · cos (2πf0 t)
⇔
Bande convenzionali
• Banda a -3 dB
max |X(f )|
f
√
|X (B−3 )| =
2
⇒
1
|X (B−3 )| 2
2 =
2
|X (f0 )|
Teoremi banda-durata
x(t) durata limitata
X(f ) banda illimitata
⇒
X(f ) banda limitata
⇒
x(t) durata illimitata
Densità spettrale di energia e potenza
Segnali di energia
Teorema di Parseval
Sia x(t) un segnale ad energia nita, allora si ha:
Z
+∞
2
Z
+∞
|x(t)| d t =
Ex =
−∞
−∞
|X(f )| 2 d f
formulario di teoria dei segnali
13
Correlazione
Dati due segnali di energia x(t) e y(t), la loro correlazione è denita nel modo seguente:
Z
Rxy (τ ) = x(τ )
+∞
y(τ ) =
x(t + τ ) y(t) d t
−∞
se x(t) ≡ y(t) si parla di autocorrelazione, altrimenti di crosscorrelazione.
È importante osservare che la correlazione non gode della proprietà commutativa
Proprietà della correlazione
y(t) = x(t) ∗ y(−t)
x(t)
F{x(t)
x(t)
y(t)} = X(f ) · Y (f )
x(t)
t=0
= Rxx (0) = Ex
|Rxx (τ )| 6 Ex
simmetria coniugata
con x(t) reale
Rxx (τ ) = Rxx (−τ )
Rxx (−τ ) = Rxx (τ )
Densità spettrale di energia
Denizione
Sxx (f ) , |X(f )| 2
Proprietà
+∞
Z
Ex =
Sxx (f ) d f
−∞
Teorema di Wiener
cioé |H(f )| 2 é la f.d.t. dell'energia
Rxx (τ ) = F −1 {Sxx (f )}
2
Syy (f ) = |H(f )| Sxx (f )
Sxx (f ) > 0
Sxx (f ) = Sxx (−f )
se x(t) é reale
Densitá spettrale di energia mutua
Sxy (f ) , X(f ) · Y (f ) = F{x(t)
y(t)}
Vale la seguente uguaglianza di Parseval generalizzata:
+∞
Z
Eyx =
Z
+∞
Y (f ) · X(f ) d f
Sxy (f ) d f =
−∞
−∞
Se i segnali sono ortogonali 7 allora si ha Sxy (f ) = 0, cioè la densità spettrale di energia mutua
è nulla e non c'è interazione tra i due segnali.
7 Due
segnali x(t) e y(t) si dicono ortogonali se il loro prodotto scalare
Z
+∞
(x, y) ,
−∞
è uguale a zero.
x(t) y ∗ (t) d t
formulario di teoria dei segnali
Segnali di potenza aperiodici
Correlazione
Dato un segnale aperiodico di potenza x(t), deniamo la correlazione nel modo seguente:
1
Rxx (τ ) , lim
T →∞ T
Z
T
2
x(t + τ ) x(t) d t
− T2
Se i segnali sono distinti, allora si parla di mutua correlazione:
1
Rxy (τ ) , lim
T →∞ T
Z
T
2
x(t + τ ) y(t) d t
− T2
Proprietà
Rxx (0) = Px
|Rxx (τ )| 6 Rxx (0) = Px
Rxx (τ ) = Rxx (−τ )
simmetria coniugata
Densità spettrale di potenza
Denizione
1
|XT (f )| 2
T →∞ T
Sxx (f ) , lim
con
XT (f ) = F{xT (t)}

 x(t) per |t| < T
e xT (t) =
2

0 altrove
Si prova che vale la relazione:
Sxx (f ) = F {Rxx (τ )}
la quale viene utilizzata per il calcolo della Sxx (f ) .
Proprietà
Sxx (f ) > 0
Sxx (f ) = Sxx (−f )
con x(t) reale
Z +∞
Sxx (f ) d f = Px
−∞
Syy (f ) = |H(f )| 2 Sxx (f )
14
formulario di teoria dei segnali
15
Densitá spettrale di potenza mutua
1
XT (f ) YT (f )
T →∞ T
Z T
2
1
x(t) y(t) d t
, lim
T →∞ T − T
2
Sxy (f ) , lim
Pxy
potenza scambiata tra x(t) e y(t)
Segnali di potenza periodici con periodo T0
Teorema di Parseval
+∞
X
ExT0
Px =
=
|Xk | 2
T0
k =−∞
Autocorrelazione
1
Rxx (τ ) ,
T0
Z
T0
2
x(t + τ ) x(t) d t
−
T0
2
La funzione di autocorrelazione é anch'essa periodica di periodo T0 .
Densitá spettrale di potenza
Sxx (f ) ,
+∞
X
|Xk | 2 δ (f − kf0 )
con f0 =
k =−∞
1
T0
Proprietá
F {Rxx (τ )} = Sxx (f )
Teorema di Wiener Khintchine
Syy (f ) = |H(f )| 2 Sxx (f )
il segnale in uscita dal sls é anch'esso periodico di periodo T0 .
Teorema del campionamento
Consideriamo un segnale x(t) strettamente limitato in banda, cioè X(f ) = 0 ∀ |f | > B , allora
x(t) è completamente noto quando lo sono i valori
x(nT )
con n ∈ Z e con T 6
1
2B
Le quantità x(nT ) sono i campioni del segnale, mentre T è il periodo di campionamento.
L'espressione del segnale x(t) ricostruito mediante i suoi campioni é:
x(t) = T 2B
+∞
X
x(kT ) · sinc 2B (t − kT )
k =−∞
questo è lo sviluppo in serie del segnale mediante le funzioni campionatrici. La frequenza di
campionamento limite F = 2B è la frequenza di Nyquist. Per segnali passabanda con banda
formulario di teoria dei segnali
16
B , fL = fm ed fH = fM , allora il segnale è completamente individuato dai campioni x(nT ) se
la frequenza di campionamento è:
F =
2fM
n
dove n è il massimo intero non superiore a
fM
.
B
Appendice di analisi
Trigonometria
sin2 A + cos2 A = 1
cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB
sin2A = 2sinAcosA
tan2A =
sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB
tanA±tanB
tan(A ± B) = 1∓tanAtanB
2
2
cos2A = cos
q A − sin A
2tanA
2
1−tan
q A
sin A2 = ±
cos A2 = ± 1+cosA
2
sin2 A = 21 − 12 cos2A
sinA + sinB = 2sin 12 (A + B)cos 21 (A − B)
cosA + cosB = 2cos 12 (A + B)cos 12 (A − B)
sinA sinB = 12 {cos(A − B) − cos(A + B)}
sinA cosB = 12 {sin(A − B) + sin(A + B)}
1−cosA
2
sinA
tan A2 = 1+cosA
cos2 A = 12 + 21 cos2A
sinA − sinB = 2cos 12 (A + B)sin 12 (A − B)
cosA − cosB = 2sin 21 (A + B)sin 12 (B − A)
cosA cosB = 12 {cos(A − B) + cos(A + B)}
Derivate
d
dx
dv
(uv) = u dx
+ du
dx v
dy
dy du
Chain rule: dx = du
dx
d
du
dx cos u = −sin u dx
du
d
1
−1
u = √1−u
, (− π2 < sin−1 u < π2 )
2 dx
dx sin
d
1
du
π
−1
−1
u = 1+u
u < π2 )
2 dx , (− 2 < tan
dx tan
d
1 du
dx ln u = u dx
d
dx
d
dx
d
dx
d
dx
d
dx
d
dx
( uv ) = v(du/dx)−u(dv/dx)
v2
sin u = cos u du
dx
tan u = −sec2 u du
dx
du
1
cos−1 u = √1−u
, (0 < cos−1 u < π)
2 dx
eu = eu du
dx
loga u = logua e du
dx , a 6= 0, 1
Integrali
Z
Z
Integrazione per parti:
u dv = uv − v du
Z
du
= ln|u|
Z u
au
au du =
, a > 0, a 6= 1
ln a
Z
Z
Z
sin u du = −cos u
Z
tan u du = −ln cos u
cos u du = sin u
Z
sin2 u du = u2 −
sin 2u
4
Z
= 12 (u − sin u cos u)
Z
Z
cos2 u du = u2 + sin42u = 12 (u + sin u cos u)
Z
du
1
u−a
=
ln
2a
u+a
2
2
Z u −a
p
du
√
= ln(u + u2 + a2 )
u2 + a2
Z
ax
cos bx)
eax sin bx dx = e (a sina2bx−b
+b2
Z
ax
x sin ax dx = sina2ax − x cos
a
Z
sin2 ax dx = x2 − sin4a2ax
Z
2
x
2
x2 cos ax dx = 2x
cos
ax
+
−
a2
a
a3 sin ax
Z
tan2 ax dx = tanaax − x
Z
ln x dx = x ln x − x
Serie
N2
X
k=N1
∞
X
aN1 − aN2 +1
a =
,
1−a
k
kak =
k=0
n
X
k=0
kak =
eu du = eu
a
,
(1 − a)2
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
tan2 u du = tan u − u
du
= 1 tan−1 ua
u2 + a2 a
du
√
=sin−1 ua
a2 − u2
p
du
√
= ln(u + u2 − a2 )
u2 − a2
ax
sin bx)
eax cos bx dx = e (a cosa2bx−b
+b2
2
x2
sin
ax
+
−
x2 sin ax dx = 2x
a2
a3
a cos ax
x cos ax dx = cosa2ax +
cos2 ax dx = x2 +
ax
x ln x dx =
∞
X
k=0
n
X
|a| < 1
k=0
a{1 − (n + 1)an + nan+1 }
(1 − a)2
11
sin 2ax
4a
xeax dx = ea (x − a1 )
Z
a 6= 1
x sin ax
a
x2
2 (ln x
ak =
1
,
1−a
ak =
1 − an+1
,
1−a
− 12 )
|a| < 1
a 6= 1
Appendice di probabilita’
Na
N
Frequenza di un evento a
Frel =
Probabilita’ frequentista
P (a) = lim
Probabilita’ dell’unione
P (a ∪ b) = P (a) + P (b) − P (a ∩ b)
n
X
X
P (a1 ∪a2 ∪. . . an ) =
P (ai )−
P (ai1 ∩ai2 ) . . .
N →∞
Probabilita’ dell’unione (eventi qualsiasi)
Na
N
i=1
+ (−1)
X
r+1
i1 <i2
P (ai1 ∩ ai2 ∩ · · · ∩ air ) + . . .
i1 <i2 ···<ir
+ (−1)n+1 P (a1 ∩ a2 ∩ · · · ∩ an )
P (a ∩ b)
P (b)
P (a ∩ b) = P (a)P (b | a) = P (b)P (a | b)
P (a | b) =
Probabilita’ condizionata
Probabilita’ composta
P (b | a)P (a)
P (a | b) =
P (b)
X
P (a | Ei ) P (Ei )
P (a) =
Teorema di Bayes
Probabilita’ totali
i
Z
a2
P (a1 < x ≤ a2 ) =
Densita’ di probabilita’ px
px (a) da
a1
Legame tra ddp congiunta e condizionata
P (a ≤ x ≤ a + da, b ≤ y ≤ b+dB )
da·dB
pxy (a, b) = py/x=a (b) · px (a)
Funzione di distribuzione
Fx (a) = P (x ≤ a)
Densita’ di probabilita’ congiunta
pxy (a, b) =
Densita’ di probabilita’
P (a < x < a + da)
da→0
da
P (a < x < a + da, b < y < b+dB )
pxy (a, b) =
da dB
Z ∞
px (a) =
pxy (a, b) dB
−∞
Z ∞
py (b) =
pxy (a, b) da
lim px (a) =
Densita’ di probabilita’ congiunta (2 var.)
Distribuzioni marginali a partire dalla densita’ congiunta
−∞
Funzione di distribuzione, valori agli estremi
Fx (−∞) = 0
Fx (+∞) = 1
px (a) ≥ 0
Z ∞
px (a) = 1
Non negativita’ della densita’ di probabilita’
Integrale unitario
−∞
dFx (a)
da
pxy (a, b) = py (b) px (a)
Relazione tra FDD e DDP
px (a) =
Indipendenza nella probabilita’ congiunta
Per un ripasso delle formule di probabilita’ si veda anche:
http://home.deib.polimi.it/prati/PwPoint/ProbabilityBasics.pdf
12
10
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