UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA MECÁNICA
Curso: MT- 235 Control Clásico
Laboratorio Bode, Nyquist y PID
A. Objetivo
•
•
•
Modelar sistemas lineales invariantes en el tiempo (LIT)
Utilizar los diferentes comandos que proporciona MATLAB para realizar simulaciones de
sistemas de control.
Utilizar herramientas computacionales provistas por MATLAB para la conexión,
conversión de modelos LIT
B. Fundamentos Teóricos
Ver referencias bibliográficas.
C. Materiales y Equipos
Los materiales y equipos a usarse en la experiencia de laboratorio son:
• Una computadora
• Programa MATLAB
D. Procedimiento
Construir el diagrama de Bode en MATLAB
Los diagramas de Bode indican el margen de ganancia, el margen de fase, la ganancia en
continuo, el ancho de banda y otros parámetros de interés.
Para construir un diagrama de Bode y que se dibuje, es posible emplear la orden bode(num,den).
Tanto en una orden como en otra num y den representan dos vectores de igual dimensión con
los coeficientes de la ecuación polinómica de numerador y denominador de la función de
transferencia del sistema en lazo abierto. Los coeficientes del polinomio num están operados con
la ganancia K.
Para construir el diagrama de Bode también se emplea la orden [mag, fase,
w]=bode(num,den,wu). Ésta genera el diagrama de bode y devuelve la respuesta en frecuencias
del sistema en las matrices de magnitud, fase y frecuencia, w. Esta orden no dibuja gráficamente
el diagrama sobre la pantalla. Las matrices de magnitud y fase contienen la amplitud o módulo y
los ángulos de fase de la respuesta en frecuencia del sistema evaluado en los puntos de
frecuencia indicados en la wu que el usuario pasa como parámetro. El ángulo de fase se devuelve
en grados, no obstante, la magnitud es necesario convertirla a decibelios en algunas versiones
de MATLAB mediante la expresión magdB=20*log 10(mag).
Si se desea especificar el rango de magnitud para que se encuentre, entre dos valores
específicos, por ejemplo -45dB y 45dB es posible introducir líneas no visibles en -45dB y +45dB
con el siguiente ejemplo: dBmax=45*ones(1,100); dBmin=-45*ones(1,100); Después, se pueden
dibujar con la orden: semilogx(w,magdB,’o’,w,magdB,’-‘,w,dBmax,’--i’,w,dBmin,’:i’) donde el
número de puntos de dBmax y dBmin deben coincidir con el número de puntos de la frecuencia
w. El resultado será una curva de magnitud magdB con las marcas ‘o’ como elemento de pincel.
El parámetro ‘i’ de la expresión hace que ciertas líneas no se dibujen o lo hagan con una tinta
invisible. Si la expresión se modifica por semilogx(w,magdB,’o’,w,magdB,’-‘,w,dBmax,’-’,w,dBmin,’:’) entonces las líneas de +45dB y -45dB se harán visibles en la pantalla. Los rangos
para la magnitud, normalmente, son múltiplos de 5dB, 10dB, 20dB o 50dB, aunque existen
excepciones.
Si se desea especificar el rango de ángulo de fase, se procede de modo similar a como se hizo
para la magnitud. Por ejemplo para que se encuentre, entre dos valores específicos, tales como
-145º y 115º es posible introducir líneas no visibles en esos límites con el siguiente ejemplo:
fmax=115*ones(1,100); fmin=-145*ones(1,100); Después, se pueden dibujar con la orden
semilogx(w,fase,’o’,w,fase,’-‘,w,fmax,’--i’,w,fmin,’:i’) donde el número de puntos de fmax y fmin
deben coincidir con el número de puntos de la frecuencia w. El resultado será una curva de fase
fase con las marcas ‘o’ como elemento de píncel. El parámetro ‘i’ de la expresión hace que ciertas
líneas no se dibujen o lo hagan con una tinta invisible. Si la expresión se modifica como se ha
hecho antes entonces las líneas de +115º y -145º se harán visibles en la pantalla. Los rangos
para la fase, normalmente, son múltiplos de 5º, 10º, 50º o 100º, aunque también existen
excepciones como para el caso de las magnitudes.
Si se quiere dibujar el diagrama de Bode construido con la orden [mag, fase,
w]=bode(num,den,wu), es necesario añadir después la orden logspace. Ésta, además permite
especificar el rango de frecuencias que se quieren mostrar. La sintaxis de dicha expresión puede
ser de dos tipos: logspace(d1,d2) o logspace(d1,d2,n). La primera expresión genera un vector
de 50 puntos espaciados logarítmicamente por igual entre las décadas 10d1 y 10d2. La segunda
de las expresiones genera n puntos espaciados logarítmicamente por igual entre las décadas
10d1 y 10d2. Por ejemplo, para generar 100 puntos entre una frecuencia de 1 rad/seg y otra
frecuencia de 1000 rad/s, se introducirá la orden logspace(0,3,100).
Esta función nos permite obtener la respuesta en frecuencia de Bode para modelos LTI.
Entre las formas más comunes de utilizar esta función se encuentran:
•
•
•
•
bode(sys): dibuja el grafico de Bode del modelo LTI sys (creado con tf o zpk). El rango
de frecuencia y el número de puntos que tomar ´ a para graficar los elige en forma
automática.
bode(sys,w): utiliza el el vector w de frecuencias propuesto para calcular el Bode. Dado
que el vector w debe estar en escala logarítmica, existe en MATLAB la función logspace
que genera un vector de frecuencias en forma logarítmica.
bode(sys1,sys2,...,w): dibuja el grafico de Bode de varios modelos LTI en una sola figura.
El parámetro w es opcional, también se puede especificar color, tipo de línea y
marcadores como se los utiliza con el comando plot.
[mag,fase]=bode(sys,w) o [mag,fase,w]=bode(sys): devuelve la magnitud y la fase en
grados. Este comando no dibuja en pantalla, mag(:,:,k) y fase(:,:,k) determina la respuesta
en w(k). Para obtener magnitudes en dB, debemos calcular magdb=20*log10(mag).
Ejemplo:
Dada la siguiente transferencia, queremos obtener el grafico de Bode
Para ello ejecutemos los siguientes comandos desde el workspace:
G=zpk([],[0 -5 -50],2500);
bode(G);
Función Nyquist
Esta función nos permite obtener la respuesta en frecuencia de Nyquist para modelos
LTI. Entre las formas más comunes de utilizar esta función se encuentran:
•
nyquist(sys): dibuja el grafico de Nyquist de sys que es un modelo LTI creado con
los comandos tf o zpk. El rango de frecuencia y el número de puntos que utilizar ´
a para graficar son elegidos en forma automática.
Las distintas alternativas para este comando son la misma que para la función
bode, excepto el último de los ítems que se reemplaza por:
•
[Re,Im]=nyquist(sys,w) o [Re,Im,w]=nyquist(sys): devuelve la parte real e
imaginaria de la respuesta en frecuencia, a lo largo de w. La respuesta a la
frecuencia w(k) esta dada por Re(:,:,k)*Im(:,:,k)
[re,im,w,sdre,sdim] = nyquist(sys) también devuelve las desviaciones estándar de
re y im para el sistema identificado sys.
•
Ejemplo:
Dado el sistema cuya función transferencia viene dada por
Obtener el diagrama de Nyquist.
Para ello ingresamos los siguientes comandos
G=zpk([],[-1 -1],1);
nyquist(G)
y obtuvimos la Figura
PID
Cree un controlador PID en forma paralela, conviértalo en un controlador PID de forma
paralela.
Sintaxis
•
C = pid(Kp,Ki,Kd,Tf)
crea un controlador PID de tiempo continuo con proporcional, integral, y ganancias
de derivados Kp, Kiy Kdy de primer orden del filtro derivado constante de tiempo Tf:
Esta representación está en forma paralela . Si todos Kp, Ki, Kd, y Tfson reales,
entonces la resultante Ces un pidobjeto de controlador. Si uno o más de estos
coeficientes es ajustable ( realpo genmat), entonces Ces un genssobjeto de modelo
de espacio de estado generalizado ajustable ( ).
•
C = pid(Kp,Ki,Kd,Tf,Ts)
crea un controlador PID de tiempo discreto con tiempo de muestreo Ts. El
controlador es:
IF ( z ) y DF ( z ) son las fórmulas de integradores discretos para el filtro integrador
y derivado. Por defecto,
Para elegir diferentes fórmulas de integradores discretos, use las propiedades
IFormulay DFormula. (Consulte Propiedades para obtener más información sobre
IFormulay DFormula). Si DFormula= 'ForwardEuler'(el valor predeterminado) y Tf ≠
0, entonces Tsy Tfdebe satisfacer Tf > Ts/2. Este requisito asegura un polo de filtro
derivado estable.
•
C = pid(sys)
convierte el sistema dinámico sysen un pidobjeto controlador de forma paralela .
•
C = pid(Kp)
crea un controlador proporcional de tiempo continuo (P) con Ki = 0, Kd = 0 y Tf = 0.
•
C = pid(Kp,Ki)
crea un controlador proporcional e integral (PI) con Kd = 0 y Tf = 0.
•
C = pid(Kp,Ki,Kd)
crea un controlador proporcional, integral y derivado (PID) con Tf = 0.
•
C = pid(...,Name,Value)
crea un controlador o convierte un sistema dinámico en un pidobjeto controlador con
opciones adicionales especificadas por uno o más Name,Valueargumentos de par.
•
C = pid
crea un controlador P con Kp= 1.
Kp
Ki
Kd
Tf
Ganancia proporcional.
Kp puede ser:
• Un valor real y finito.
• Matriz de valores reales y finitos.
• Un parámetro ajustable ( realp) o una matriz generalizada ( genmat).
• Una superficie sintonizable para la sintonización de ganancia
con tunableSurface.
Cuando Kp = 0, el controlador no tiene acción proporcional.
Predeterminado: 1
Ganancia integral.
Ki puede ser:
• Un valor real y finito.
• Matriz de valores reales y finitos.
• Un parámetro ajustable ( realp) o una matriz generalizada ( genmat).
• Una superficie sintonizable para la sintonización de ganancia
con tunableSurface.
Cuando Ki = 0, el controlador no tiene acción integral.
Predeterminado: 0
Ganancia derivada.
Kd puede ser:
• Un valor real y finito.
• Matriz de valores reales y finitos.
• Un parámetro ajustable ( realp) o una matriz generalizada ( genmat).
• Una superficie sintonizable para la sintonización de ganancia
con tunableSurface.
Cuando Kd = 0, el controlador no tiene acción derivada.
Predeterminado: 0
Constante de tiempo del filtro derivado de primer orden.
Tf puede ser:
• Un valor real, finito y no negativo.
• Matriz de valores reales, finitos y no negativos.
• Un parámetro ajustable ( realp) o una matriz generalizada ( genmat).
• Una superficie sintonizable para la sintonización de ganancia
con tunableSurface.
Cuando Tf = 0, el controlador no tiene ningún filtro sobre la acción derivada.
Predeterminado: 0
programada, creada
programada, creada
programada, creada
programada, creada
Ts
sys
Tiempo de muestra.
Para crear un pidcontrolador de tiempo discreto , proporcione un valor real positivo ( Ts > 0). pidno es
compatible con el controlador de tiempo discreto con tiempo de muestra no especificado ( Ts = -1).
Ts debe ser un valor escalar. En una matriz de pid controladores, cada controlador debe tener el
mismo Ts.
Predeterminado: 0 (tiempo continuo)
Sistema dinámico SISO para convertir a pid forma paralela .
Sys debe representar un controlador PID válido que se pueda escribir en forma paralela con Tf ≥ 0.
sys también puede ser una matriz de sistemas dinámicos SISO.
Argumentos de entrada
E. Problemas
1)
Dado el esquema de la figura, realiza un script en MATLAB que calcule el diagrama de
Bode en los siguientes casos.
2)
Dado el siguiente sistema:
Dibuja el diagrama de Bode con MATLAB y después analiza la información que se obtiene
de él sin llevar a cabo cálculos numéricos.
Se pide:
a) Indica los valores de las frecuencias de corte del diagrama de Bode asintótico, a
partir de la función de transferencia G(s) normalizada del sistema.
b) A la vista del diagrama de Bode calculado por Matlab, determina el valor inicial y
final del diagrama de amplitudes y del diagrama de fases.
c) A la vista del diagrama de Bode calculado por Matlab, determina la frecuencia de
resonancia del sistema y calcular el valor en magnitud para una década superior y
para una octava inferior
d) ¿Entre que dos valores de frecuencia se observa principalmente el efecto del cero
sobre la respuesta en frecuencia del sistema?
e) Calcula el margen de fase y el margen de ganancia del sistema. A partir de los
resultados obtenidos, determina la estabilidad del sistema en bucle cerrado.
3)
Se la siguiente Función de transferencia
Se pide:
a) Las funciones de transferencia con K=1, K=1.75, K=2.25, K=3.25, son G1, G2, G3 y
G4 respectivamente.
b) Obtener las gráficas de Bode (magnitudes y fase) de G1, G2, G3 y G4.
c) Obtenga de las gráficas de Bode el Margen de Fase MF, el Margen de Ganancia
MG, la frecuencia de transición de ganancia 𝜔𝜔𝑐𝑐 y la frecuencia de transición de fase
𝜔𝜔𝑓𝑓 .
d) ¿Cuál es el factor por el que hay que multiplicar la F.T. G4 para que el sistema
tenga un MF= 50°
e) Determine la ganancia crítica 𝐾𝐾𝑐𝑐 de la F.T. G4.
f) Obtenga las funciones de transferencia de lazo cerrado de G1, G2, G3 y G4 estas
serían G5, G6, G7 y G8, respectivamente. (feedback(tf(G),1)
4)
g) Obtenga las gráficas de Bode (magnitud y fase) de G5, G6, G7 y G8, estas gráficas
serian Bode de lazo cerrado de G1, G2, G3 y G4.
h) Determine las gráficas de lazo cerrado, la magnitud de resonancia y la frecuencia
de resonancia G5, G6, G7 y G8.
i) Obtenga la gráfica de Nyquist G1, G2 G3 y G4.
j) Obtenga la gráfica de Nichols G1, G2 G3 y G4.
La función de transferencia de lazo abierto de un sistema de control es:
Se desea que el sistema de lazo cerrado cumpla con las siguientes especificaciones:
• Un coeficiente de estático de error de velocidad 𝐾𝐾𝑐𝑐 = 30 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 −1
• Un margen de fase MF = 50°
Se pide:
a) Determine el valor de ganancia (K) para que se satisfaga el coeficiente estático de
error.
b) Grafique Bode del sistema sin compensación y obtenga el Margen de fase y el
Margen de ganancia con sus respectivas frecuencia. Estos son las características
originales del sistema, 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 margen de fase original 𝜔𝜔𝑐𝑐 frecuencia de transición de
ganancia original y 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 margen de ganancia original, 𝜔𝜔𝑓𝑓 frecuencia de transición
de fase original.
c) Si las características de (MF) no satisfacen las especificaciones, entonces, calcule la
cantidad de fase de adelanto requerido que debe de entregar el compensador en
adelanto.
d) Siendo n el numero de compensadores en adelanto, (se inicia con un compensador),
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 e sel margen de fase especificado, ∅𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 son los grados adicionales que hay
que agregar para compensar la caída de ángulo debido al corrimiento de frecuencia
(la cantidad de angulo adicional es arbitraria). Considere el ángulo ∅𝑚𝑚 no debe de
ser mayor a 65° (ángulo máximo que proporciona un compensador.
e) De la cantidad de fase requerida, calcule ∝ 𝑦𝑦 𝑛𝑛 ∗ 10𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ∝
1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠∅𝑚𝑚
∝=
1 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠∅𝑚𝑚
f)
De la gráfica de Bode determine la frecuencia donde la magnitud es 𝑛𝑛 ∗ 10𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 ∝ ,
esta es la nueva frecuencia de transición 𝜔𝜔𝑚𝑚
5) Sea la siguiente respuesta frecuencial “aproximada” de un sistema de fase mínima
críticamente amortiguado.
Se pide:
a) Determinar la función de transferencia del sistema a partir de la respuesta frecuencial
aproximada.
b) Calcular los márgenes de fase y de ganancia si se pretendiera realimentar al sistema
mediante un controlador proporcional con ganancia unitaria.
c) A partir de la función de transferencia obtenida en el apartado 1, diseñar un PD que
cumpla con las siguientes especificaciones en bucle cerrado:
- Error en régimen permanente ante escalón aproximadamente igual al 1%.
- Frecuencia de corte aproximadamente igual a 2 rad/s
Utilizando el diseño realizado, calcular el margen de fase resultante.
d) A partir de la función de transferencia obtenida en el apartado (a), diseñar un PD que
cumpla con las siguientes especificaciones en bucle cerrado:
- Error en régimen permanente ante escalón aproximadamente igual al 1%.
- Margen de fase aproximadamente igual a 52º.
Utilizando el diseño realizado, estimar el tiempo de subida resultante.
e) Indicar de manera aproximada las características principales de las respuestas
temporales en bucle cerrado ante escalón de los apartados anteriores.
f) Partiendo de cualquiera de los PD anteriores, diseñar un PID de manera que se
mantengan aproximadamente iguales las características del transitorio, y cumpliendo
la relación 𝑇𝑇𝑖𝑖 = 10𝑇𝑇𝑑𝑑 . ¿Cuál será el error en régimen permanente ante rampa
obtenido?
g) Indicar, en caso de ser posible, cómo modificar los parámetros del PID anterior para
reducir el error en régimen permanente a la mitad, manteniendo las propiedades
transitorias (tiempo de subida, sobreoscilación, …) de la respuesta temporal.
h) Idem para duplicar el error en régimen permanente ante rampa.
i) Como es sabido, siempre existen diferencias entre el sistema real y el identificado.
Supóngase que existen variaciones del 10% tanto en la ganancia como en las
constantes de tiempo de los polos, así como la aparición de una dinámica de alta
frecuencia por cada polo del sistema identificado con frecuencia diez veces superior
al mismo. Con estos datos, estudiar en simulación la validez de los diseños
realizados anteriormente y justificar los resultados obtenidos.
6) Compensador Tacometrico. Considerar el sistema de la figura, con compensador
tacométrico 𝐻𝐻1 y un regulador de tipo PD 𝐻𝐻2 . Se pide ajustar los parámetros para
conseguir 𝐾𝐾𝑣𝑣 = 6𝑠𝑠 −1
7)
F. Informe
Presentar un informe conteniendo los siguientes puntos:
-
Carátula (de la Facultad de Ingeniería Mecánica)
Fundamentos teóricos
Descripción y explicación de los resultados experimentales.
Aspectos resaltantes del desarrollo de la experiencia.
Conclusiones
Sugerencias y recomendaciones.