Complemento a la teorı́a I Andrea Hernández 30 Agosto 2021 Verificar que la matriz M puede escribirse en termino de la matriz S ! S11 S22 S21 − S22 M11 M12 S12 S12 M= = −S11 1 M21 M22 S12 S12 y equivalentemente la matriz S en terminos de la matriz M ! M21 1 −M M22 22 S= M12 12 M21 M11 − MM M22 22 (1) (2) Desarrollo: Utilizaremos las siguientes relaciones y realizaremos una comparación entre ambas para demostrar lo antes mencionado. − + ΨL (x = 0) ΨL (x = 0) = S (3) Ψ+ Ψ− R (x = `) R (x = `) Ψ+ R (x = `) Ψ− R (x = `) =M Ψ+ L (x = 0) Ψ− L (x = 0) (4) Desarrollamos las ecuaciones (3) y (4) obteniendo las siguientes combinaciones + − Ψ− L = S11 ΨL + S12 ΨR (5) + − Ψ+ R = S21 ΨL + S22 ΨR (6) M12 Ψ− L (7) Ψ+ R = M11 Ψ+ L + + − Ψ− R = M21 ΨL + M22 ΨL (8) de la ecuación (5) tenemos, Ψ− R = + Ψ− 1 − S11 + L − S11 ΨL = Ψ − Ψ S12 S12 L S12 L (9) sustituyendo la ecuación (9)en la ecuación (6), + Ψ+ R = S21 ΨL + S22 1 1 − S11 Ψ − S22 Ψ+ L S12 L S12 (10) agrupamos terminos, S11 S22 S22 − Ψ+ = S − Ψ+ Ψ 21 R L + S12 S12 L (11) comparamos las ecuaciones (11) y (9) con las ecuaciones (7) y (8), M11 = S21 − S11 S22 , S12 M12 = S22 , S12 M21 = − en forma matricial S22 S11 S12 −S11 S12 S21 − M= S22 S12 1 S12 S11 , S12 M22 = 1 S12 (12) ! (13) Ahora, realizaremos el mismo procedimiento para demostrar (3). De (8), Ψ− L = + Ψ− 1 M21 + R − M21 ΨL = Ψ− Ψ R − M12 M22 M12 R (14) sustituimos la ecuación anterior en (7), − Ψ+ R = M11 ΨL + M12 M12 1 Ψ− − M21 Ψ+ L M22 R M22 (15) agrupando terminos Ψ+ R M21 M12 M12 − = M11 − Ψ+ Ψ L + M22 M22 R (16) comparamos las ecuaciones (16) y (14) con las ecuaciones (5) y (6), S11 = − M21 , M22 S12 = 1 , M22 S21 = M11 − M21 M12 , M22 S22 = M 12 M22 (17) en su forma matricial S= 21 −M M22 M12 M21 M11 − M22 2 1 M22 M12 M22 ! . (18)
