Àôèííè îïåðàöèè ñ âåêòîðè:
Âåêòîðíî ïðîèçâåäåíèå:
Íåêà
→
−
~a, ~b 6= 0 .
Òîãàâà
~a × ~b
e eäèíñòâåíèÿò âåêòîð óäîâëåò-
âîðÿâàù óñëîâèÿòà:
1. Óìíîæåíèå íà âåêòîð ñ ÷èñëî:
λ ∈ R âåêòîðúò ~b = λ~a èìà äúëæèíà |~b| = |λ||~a| è
ïîñîêà ~b ↑↑ ~
a çà λ > 0 è ïðîòèâîïîëîæíà ïîñîêà ~b ↑↓ ~a
ïðè λ < 0. Çà λ = −1 ïîëó÷àâàìå:
Çà
−−→
~a = AB,
2. Ñúáèðàíå íà âåêòîðè:
3.
−−→ −−→
−~a = −AB = BA
−−→ −→ −−→
AB = AC + CB
N , M ñúâïàäàò,
−→ −−→
~0 ⇐⇒ −
OM = ON
5. Íåêà ò.A,
B, O
6. Íåêà ò.A,
íà
B, C , O
4ABC
7. Àêî
òî÷íî òîãàâà êîãàòî
−−→
NM =
ñà ïðîèçâîëíè è ò.M å ñðåäà íà
òîãàâà å èçïúëíåíî
−−→ 1 −→ −−→
OM = (OA + OB)
2
AB
ñà ïðîèçâîëíè è ò.M å ìåäèöåíòúðúò
òîãàâà å èçïúëíåíî
M (x1 , x2 , x3 ), N (y1 , y2 , y3 ),
A(x1 , x2 , x3 ), B (y1 , y2 , y3 ), òî ñðåäàòà M
AB èìà êîîðäèíàòè:
x1 + y1 x2 + y2 x3 + y3
M
,
,
2
2
2
Ñêàëàðíî ïðîèçâåäåíèå:
→
−
~a, ~b 6= 0 .
(~a, ~b, ~a × ~b) ∈ S +
< ~a, ~b >= |~a||~b| cos ^e(~a, ~b)
2.
< ~a, ~b >=< ~b, ~a >
3.
< ~a + ~b, ~c >=< ~a, ~c > + < ~b, ~c >
4.
< λ~a, ~b >= λ < ~a, ~b >
5.
< ~a, ~a >= |~a|2
6.
< ~a, ~b >= 0 ⇐⇒ ~a⊥~b
7.
< ~a, ~b >
cos ^(~a, ~b) =
|~a||~b|
~a × ~b ⊥ ~b
1.
~a × ~b = −~b × ~a
2.
(~a + ~b) × ~c = ~a × ~c + ~b × ~c
3.
(λ~a) × (µ~b) = λµ(~a × ~b)
4.
~a × ~b = 0 ⇐⇒ ~a k ~b
5. Ëèöåòî íà óñïîðåäíèê, ïîñòðîåí âúðõó âåêòîðèòå
~a, ~b,
âçåòè ñ îáùî íà÷àëî:
S = |~a × ~b|
íà îòñå÷êà-
S=
|~a × ~b|
2
|~a × ~b|
|~a||~b|
7.
sin ^(~a, ~b) =
8.
< ~a × ~b, ~a × ~b >=< ~a, ~a >< ~b, ~b > − < ~a, ~b >2
9. Àêî
~a = (a1 , a2 , a3 ), ~b = (b1 , b2 , b3 ), òî
a2 a3 a3 a1 a1
,
,
~a × ~b
b2 b3 b3 b1 b1
a2
b2
1.
(~a × ~b) × ~c =< ~a, ~c > ~b− < ~b, ~c > ~a
2.
~a × (~b × ~c) =< ~a, ~c > ~b− < ~a, ~b > ~c
Ñìåñåíî ïðîèçâåäåíèå:
ïðîèçâåäåíèå
íà ~
a, ~b, ~c
< ~a, ~b, ~c >=< ~a × ~b, ~c >=< ~a, ~b × ~c >
Ñìåñåíî
íàðè÷àìå
Ñâîéñòâà:
~a = (a1 , a2 , a3 ), ~b = (b1 , b2 , b3 ),
~a, ~b,
âçåòè ñ îáùî íà÷àëî:
Äâîéíî âåêòîðíî ïðîèçâåäåíèå:
Òîãàâà:
1.
8. Àêî
3.
è
6. Ëèöåòî íà òðèúãúëíèê, ïîñòðîåí âúðõó âåêòîðèòå
A(x1 , x2 , x3 ), B (y1 , y2 , y3 ), C (z1 , z2 , z3 ), òî ìåäèöåíM íà 4ABC èìà êîîðäèíàòè:
x1 + y1 + z1 x2 + y2 + z2 x3 + y3 + z3
M
,
,
3
3
3
òúðúò
Íåêà
~a × ~b ⊥ ~a
òî
8. Àêî
9. Àêî
2.
−−→ 1 −→ −−→ −−→
OM = (OA + OB + OC)
3
−−→
N M (x1 − y1 , x2 − y2 , x3 − y3 )
òà
|~a × ~b| = |~a||~b| sin ^(~a, ~b)
Ñâîéñòâà:
~a||~b ⇐⇒ ~a = λ~b
4. Òî÷êèòå
1.
òî
< ~a, ~b >= a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
1.
< ~a, ~b, ~c >= 0 ⇐⇒ ~a, ~b, ~c
2.
< ~a, ~b, ~c >=< ~b, ~c, ~a >=< ~c, ~a, ~b >
3.
< ~a, ~b, ~c >= − < ~b, ~a, ~c >= − < ~a, ~c, ~b >=
= − < ~c, ~b, ~a >
4.
< a~1 + a~2 , ~b, ~c >=< a~1 , ~b, ~c > + < a~2 , ~b, ~c >
ñà êîìïëàíàðíè
÷èñëîòî
5.
< λ~a, ~b, ~c >=< ~a, λ~b, ~c >=< ~a, ~b, λ~c >=
= λ < ~a, ~b, ~c >
6. Íåêà
M (x1 , y1 ),
6. Îáåìà íà ïàðàëåëåïèïåä, ïîñòðîåí âúðõó âåêòîðèòå
~a, ~b, ~c,
d=
âçåòè ñ îáùî íà÷àëî:
V = | < ~a, ~b, ~c > |
7. Îáåì íà òåòðàåäúð, ïîñòðîåí âúðõó âåêòîðèòå
~a, ~b, ~c,
b1 , b2 :
| < ~a, ~b, ~c > |
6
Àêî
~a(a1 , a2 , a3 ), ~b(b1 , b2 , b3 ), ~c(c1 , c2 , c3 ),
a1
< ~a, ~b, ~c >= b1
c1
9.
< ~a, ~a >
< ~a, ~b, ~c >2 = < ~b, ~a >
< ~c, ~a >
< ~a, ~b >
< ~b, ~b >
< ~c, ~b >
a2
b2
c2
A(x1 , y1 ), B (x2 , y2 ),
a3
b3
c3
l:
è
< ~a, ~c >
< ~b, ~c >
< ~c, ~c >
Íåêà
K = Oe0~1 0 e~2 0 e~3 0
è
x − x1
x2 − x1
B
l
ñå íàìèðà ÷ðåç åäíà îò äå-
y − y1
=0
y2 − y1
y
y1
y2
1
1 =0
1
Ax + By + Cz + D = 0
p~(v1 , v2 , v3 ) å
Av1 + Bv2 + Cv3 = 0
N~g (A, B, C)
~
π (Ng ⊥ π)
2. Âåêòîðà
íàðè÷àìå îáùî
íîðìàëíî
4. Íåêà
íàòà
v = T v0
ñïðÿìî
å ïåðïåíäèêóëÿðåí íà ðàâíèíàòà
M (x1 , y1 , z1 ), ðàçñòîÿíèå îò
g ñå íàìèðà ïî ôîðìóëàòà:
d=
π ⇐⇒
òî÷êàòà
M
íàðè÷àìå
äî ðàâíè-
|Ax1 + By1 + Cz1 + D|
√
A2 + B 2 + C 2
Íåêà:
π1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
π2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
íà ïðàâà â ðàâ-
Òîãàâà úãëîïîëîâÿùèòå ðàâíèíè
g (~
p k g)
1. Âåêòîðà
p~(−B, A)
å êîëèíåàðåí ñ ïðàâàòà
2. Âåêòîðà
N~g (A, B)
å ïåðïåíäèêóëÿðåí íà ïðàâàòà
g (N~g
π2
3. Ïðàâàòà
m k g ⇐⇒ m : Ax + By + C1 = 0
4. Ïðàâàòà
h ⊥ g ⇐⇒ h : −Bx + Ay + C2 = 0
íàðè÷àìå íîð-
b1 ,b2
íà ðàâíèíèòå
b1 , b2 :
Àêî
~u
è
A2 x + B2 y + C2 z + D2
A1 x + B1 y + C1 z + D1
p
p
±
=0
2
2
2
A1 + B1 + C1
A22 + B22 + C22
A(x1 , y1 , z1 ), ~v (v1 , v2 , v3 ), ~u(u1 , u2 , u3 ), òî îáùîòî óðàâíåπ îïðåäåëåíà ÷ðåç òî÷êàòà A è âåêòîðèòå ~v
íèå íà ðàâíèíà
è
π1
èìàò óðàâíåíèÿ:
⊥ g)
|Ax + By + C|
√
= 0
A2 + B 2
íà ïðàâàòà g
êîëèíåàðåí ñ ðàâíèíàòà
|Ax + By + Cz + D|
√
=0
A2 + B 2 + C 2
óðàâíåíèå íà ðàâíèíàòà π
K
Óðàâíåíèå îò âèäà
Ax + By + C = 0 íàðè÷àìå îáùî óðàâíåíèå
íèíà. Íåêà g : Ax + By + C = 0. Òîãàâà:
Òîãàâà:
3. Óðàâíåíèå îò âèäà
Ôîðìóëà çà ñìÿíà íà êîîðäèíàòè íà âåêòîð:
v - êîîðäèíàòè íà âåêòîð ~v (ïðîèçâîëåí)
T - ìàòðèöà íà ïðåõîäà îò K 0 â K
v 0 - êîîðäèíàòè íà âåêòîð ~v ñïðÿìî K 0
π : Ax + By + Cz + D = 0.
1. Âåêòîðà
x - êîîðäèíàòè íà òî÷êà M (ïðîèçâîëíà) ñïðÿìî K
s - êîîðäèíàòè íà íà÷àëîòî O0 íà K 0 ñïðÿìî K
T - ìàòðèöà íà ïðåõîäà îò K 0 â K
x0 - êîîðäèíàòè íà òî÷êà M ñïðÿìî K 0
ìàëíî óðàâíåíèå
A
óðàâíåíèå íà ðàâíèíà â ïðîñòðàíñòâîòî.
x = s + T x0
5. Óðàâíåíèå îò âèäà
òî îáùîòî óðàâíåíèå íà ïðàâàòà
Ïðàâà è ðàâíèíà â ïðîñòðàíñòâîòî:
Ôîðìóëà çà ñìÿíà íà êîîðäèíàòè íà òî÷êà:
Ïðàâà â ðàâíèíà:
|Ax1 + By1 + C|
√
A2 + B 2
x
l : x1
x2
Ñìÿíà íà êîîðäèíàòè:
K = Oe~1 e~2 e~3
g
òåðìèíàíòèòå:
òî
Óðàâíåíèå îò âèäà
Íåêà èìàì
äî ïðàâàòà
A2 x + B 2 y + C 2
A1 x + B1 y + C1
p
p
±
=0
2
2
A1 + B 1
A22 + B22
ìèíàâàùà ïðåç òî÷êèòå
8. Àêî
M
Íåêà g1 : A1 x+B1 y +C1 = 0, g2 : A2 x+B2 y +C2 = 0. Òîãàâà
úãëîïîëîâÿùèòå b1 ,b2 íà ïðàâèòå g1 è g2 èìàò óðàâíåíèÿ:
âçåòè ñ îáùî íà÷àëî:
V =
ðàçñòîÿíèå îò òî÷êàòà
ñå íàìèðà ïî ôîðìóëàòà:
ñå íàìèðà ÷ðåç äåòåðìèíàíòàòà:
π:
x − x1
v1
u1
y − y1
v2
u2
z − z1
v3
=0
u3
Àêî
A(x1 , y1 , z1 ), B (x2 , y2 , z2 ), C (x3 , y3 , z3 ), òî îáùîòî óðàâπ ìèíàâàùà ïðåç òî÷êèòå A, B è C ñå
íåíèå íà ðàâíèíà
íàìèðà ÷ðåç äåòåðìèíàíòàòà:
x − x1
π : x2 − x1
x3 − x1
y − y1
y2 − y1
y3 − y1
2. Êàíîíè÷íî óðàâíåíèå íà õèïåðáîëà íàðè÷àìå óðàâíåíèå îò âèäà
c:
z − z1
z2 − z1 = 0
z3 − z1
Ïðàâà â ïðîñòðàíñòâîòî:
x2 y 2
−
= 1. Ôîêóñèòå èìàò êîîðäèíàòè:
a2 b2
p
F1
a2 + b2 , 0 ,
p
F2 − a2 + b2 , 0
Äèðåêòðèñèòå íà õèïåðáîëà èìàò óðàâíåíèå:
1. Àêî
A(x1 , y1 , z1 ), ~v (v1 , v2 , v3 ), òî ïàðàìåòðè÷íî óðàâíåíèå íà ïðàâà g â ïðîñòðàíñòâîòî, îïðåäåëåíà îò òî÷êàòà
A è âåêòîð ~v ñå ïðåäñòàâÿ:


x = x1 + λv1
g : y = y1 + λv2


z = z1 + λv3
Àêî
A(x1 , y1 , z1 ), B (x2 , y2 , z2 ), òî ïàðàìåòðè÷íî óðàâíåíèå íà ïðàâà g â ïðîñòðàíñòâîòî, ìèíàâàùà ïðåç òî÷êèòå A è B ñå ïðåäñòàâÿ:


x = x1 + λ(x2 − x1 )
g : y = y1 + λ(y2 − y1 )


z = z1 + λ(z2 − z1 )
d1,2 : x = ±
Äîïèðàòåëíà êúì õèïåðáîëà â òî÷êà
t:
2. Ïðàâàòà
g
yy0
xx0
− 2 =1
a2
b
îò âèäà
c : y 2 = 2px.
Ôîêóñúò èìàò êîîðäèíàòè:
F
p
2
,0
Äèðåêòðèñàòà íà ïàðàáîëàòà èìàò óðàâíåíèå:
d:x=−
å êîëèíåàðåí ñ ïðàâàòà
g.
p
2
Äîïèðàòåëíà êúì ïàðàáîëàòà â òî÷êà
ìîæå äà ñå ïðåäñòàâè êàòî ïðåñå÷íèöà íà äâå
P (x0 , y0 ):
t : yy0 = p(x + x0 )
ðàâíèíè:
(
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
g:
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
P (x0 , y0 ):
3. Êàíîíè÷íî óðàâíåíèå íà ïàðàáîëà íàðè÷àìå óðàâíåíèå
Êúäåòî âåêòîðúò ñ êîîðäèíàòè
(x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )
a2
c
Êðèâà îò 2-ðà ñòåïåí â õîìîãåííè êîîðäèíàòè:
Íåêà
å äàäåíà êðèâàòà
c : F (M ) = a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 xt + 2a23 yt + a33 t
Êîíè÷íè ñå÷åíèÿ:
Òîãàâà:


F1 (M ) = a11 x + a12 y + a13 t
F2 (M ) = a12 x + a22 y + a23 t


F3 (M ) = a13 x + a23 y + a33 t
1. Êàíîíè÷íî óðàâíåíèå íà åëèïñà íàðè÷àìå óðàâíåíèå
îò âèäà
c :
êîîðäèíàòè:
x2
y2
+
= 1.
a2
b2
Ïðè
a > b
ôîêóñèòå èìàò
p
F1 ( a2 − b2 , 0),
p
F2 (− a2 − b2 , 0)
Ïîëÿðà íà òî÷êàòà
π(P0 ) : F1 (P0 )x + F2 (P0 )y + F3 (P0 )t = 0
Ïîëþñ íà ïðàâàòà
Ïðè
a<b
ôîêóñèòå èìàò êîîðäèíàòè:
P0 (x0 , y0 , z0 ) ùå íàðè÷àìå ïðàâàòà π(P0 ).
Q1 (x1 , y1 , z1 )
g : ax + by + ct = 0


F1 (Q1 ) = ka
F2 (Q1 ) = kb


F3 (Q1 ) = kc
p
F1 0, b2 − a2 ,
p
F2 0, − b2 − a2
1. Òî÷êèòå
Äèðåêòðèñèòå íà åëèïñà èìàò óðàâíåíèå:
a2
x=±
c
Äîïèðàòåëíà êúì åëèïñà â òî÷êà
t:
2. Àêî
P
è
Q ñà ñïðåãíàòè ⇐⇒ P ∈ π(Q) è Q ∈ π(P ).
P0 ∈ c ⇒ π(P0 )
å äîïèðàòåëíà êúì
3. Áåçêðàéíèòå òî÷êè íà êðèâàòà
P (x0 , y0 ):
xx0
yy0
+ 2 =1
a2
b
ùå íàðè÷àìå òî÷êàòà
èçïúëíÿâàùà:
c
â òî÷êà
c ñà òî÷êè, êîèòî ëåæàò
ω : t = 0.
åäíîâðåìåííî íà êðèâàòà è áåçêðàéíàòà ïðàâà
(c ∩ ω
=Q⇒Q
P0 .
å áåçêðàéíà òî÷êà)
4. Àñèìïòîòà íàðè÷àìå äîïèðàòåëíà êúì êðèâàòà
c
â
áåçêðàéíà òî÷êà.
5. Öåíòúð íà êðèâàòà
ïðàâà
6. Íåêà
c
íàðè÷àìå ïîëþñà íà áåçêðàéíàòà
ω : t = 0.
V
å áåçêðàéíà òî÷êà â ðàâíèíàòà. Òîãàâà
π(V )
å äèàìåòúð. Âñåêè äèàìåòúð ìèíàâà ïðåç öåíòúðà íà
êðèâàòà.