CÀLCUL AMB RADICALS - SOLUCIONS
.
.
1. Propietats dels radicals
Potència d’exponent racional: x= a n / m és x= m a n i això vol dir que x m = a n
Producte:
Divisió:
n
a ·n b = n a·b
n
a
n
b
=n
Arrel d’una arrel:
a
b
n m
a = n·m a
2. Extreure factor comú d’un radical
Procediment: 1) factoritzam el radicant, 2) podem extreure els factors que tenguin
exponent major que l’índex de l’arrel.
3
864 = 3 25 ·33 = 3 23 ·2 2 ·33 = 2·3 3 2 2 = 6 3 4
3. Reduir radicals a índex comú
Procediment: 1) cercam el m.c.m. de tots els índexs, 2) L’índex comú serà el m.c.m., 3)
Elevam cada radicant a la potència que resulta de dividir el m.c.m. per l’índex original.
Exemple: 3 25 · 4 32 , tenim que m.c.m.(3,4)=12,
25 · 4 32 = 12 ( 25 ) 4 · 12 (32 )3 = 12 2 20 · 12 36 = 12 2 20 ·36
Ara només queda extreure factors comuns per tal de simplificar el resultat.
3
4. Comparació de radicals
Per comparar radicals cal reduir-los a índex comú, com es mostra a l’apartat 3.
Exemple: Què és major 3 3 o 2 ?
m.c.m.(3,2)=6,
3
3 = 6 32 = 6 9  Aquesta és major
2 = 6 23 = 6 8
5. Racionalitzar radicals
Racionalitzar significa eliminar les arrels d’un denominador. Exemples:
3
3 2 3 2
=
·
=
a)
2
2
2 2
b)
 1− 2   2 + 3 
1− 2
·
 = 2 + 3 −2− 6 = 2− 2 − 3 + 6
= 
2−3
2 − 3  2 − 3   2 + 3 
Multiplicam i dividim per l’expressió “conjugada”.
Activitats:
1. Expressa com un sol radical:
3
5 =65
4
8=
8
8
x3 x =
2. Simplifica, extraient tots els factors que puguis del radical:
a) 27 = 3 3
b) 60 = 2 15
d) 180 = 6 5
e) 540 = 6 15
g) 3 54 = 3 3 2
h) 4 144 = 2 4 9
x6 x = 8 x7
c) 72 = 6 2
f) 98 = 7 2
i) 5 28 = 2 5 8
3. Redueix el radical a l’índex indicat:
a)
4
b)
2 3 = 12 2 9
c)
7 = 16 7 8
4
a6 = a3
d)
6
512 = 3 5 6
4. Expressa com un sol radical ( redueix, primer de tot, els radicals a índex comú i
simplifica si pots):
a) 5.3 5 = 6 55
b) 3 2 .4 7 = 12 2 4 ·7 3
c) 3 9 . 3 = 3 6 3
d)
4
g)
4
j)
a .8 a 3 .6 a 5 =
8.5 8 =
20
(2 )
24
h)
·31 / 3
=
e) 5
a 35 = a a11
89
(2 3 ) −2 ·(31 / 2 ) 3 / 2
10 1 / 2
24
4
9. 3 =
8
3
4
3
=
10
1
33
i)
38 = 3
f)
3
a .4 a 3 .5 a 2 =
60
2· 7 2 = 14 2 9
a 89 = a
60
a 29
35 12 243
=
2048
211
12
5. Calcula, extraient primer factors fora dels radicals:
a) 20 − 45 + 5 =0
e) 3 8 − 2 + 128 = 13 2
b)
27 + 48 − 75 = 2 3
f) − 2 45 + 6 20 − 4 125 = − 14 5
c) 4 72 − 5 18 + 3 8 = 15 2
g) − 7 200 + 5 32 − 9 50 = − 95 2
d) − 5 12 + 4 48 − 2 72 = 6 3 − 12 2
h) − 2 98 + 6 144 + 10 40 = 72 − 14 2 + 20 10
6. Racionalitza:
6
a)
=6 + 3 2
2− 2
4
b)
=2 5 + 2 3
5− 3
c)
5
=10 − 5 3
3+2
d)
e)
f)
3
5 3 2
= 5
5
2+ 2
=3+ 2 2
2− 2
3− 2
=5 − 2 6
3+ 2
7. Racionalitza:
1
1
1
(x − x ) x − x
a)
=
=
·
= 2
x· x +1
x+ x
x+ x x− x
x −x
(
b)
) (
) (
) (
)
1
= diguem 3 − 5 = a ,
3− 5− 7
1
1
(a + 7 ) (a + 7 )
·
= 2
=
a − 7 (a − 7 ) (a + 7 )
a −7
a 2 = ( 3 − 5 ) 2 = 3 − 2 15 + 5 = 8 − 2 15
(a + 7 )
3− 5+ 7
3− 5+ 7
=
=
, tornam a racionalitzar un altre pic
2
a −7
8 − 2 15 − 7
1 − 2 15
( 3 − 5 + 7 ) (1 + 2 15 ) 9 3 − 5 5 − 7 − 2 105
·
=
(1 − 2 15 ) (1 + 2 15 )
59
c)
d)
1
1
(2 2 + 5 ) 2 2 + 5 2 2 + 5
=
·
=
=
2 2 − 5 (2 2 − 5 ) (2 2 + 5 )
8−5
3
2
1
1
x2 + x
·
= = x2 + x
= 2
x· x +1
x +x
x + x x2 + x