Los números reales
Propiedades de orden
Resumen
MA0250 - Cálculo en una variable I
Repaso: Los números reales.
Pedro Méndez1
1 Departmento
de Matemática Pura y Ciencias Actuariales
Universidad de Costa Rica
Semestre II, 2021
Pedro Méndez
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Los números reales
Asumimos la existencia de un conjunto R, llamado el conjunto
de los números reales, y de dos funciones
+:R×R→R
·:R×R→R
que satisfacen las siguientes propiedades para todo
x, w, z ∈ R:
x + z = z + x, x · z = z · x.
x + (w + z) = (x + w) + z, x · (w · z) = (x · w) · z.
x · (w + z) = x · w + x · z.
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(1.1)
(1.2)
(1.3)
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Además existen dos números reales 0, 1 que satisfacen
x + 0 = x, x · 1 = x.
(1.4)
Dado x ∈ R existe y ∈ R tal que
x + y = 0.
(1.5)
Denotamos a este número como −x. Si además x 6= 0,
entonces existe z ∈ R tal que
x · z = 1,
denotamos a este número como x −1 .
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(1.6)
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Sean 0 y 01 números que satisfacen (1,4), entonces
0 = 0 + 01 = 01 ,
por lo tanto 0 = 01 , es decir el número cero es único. De igual
forma se puede probar que (Ejercicio)
1
el número 1 es único.
2
Dado x ∈ R, el número −x es único.
3
Dado x ∈ R \ {0}, el número es x −1 único.
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Podemos entonces definir las siguientes funciones
−:R×R→R
(x, z) → x − z
y
/ : R × R \ {0} → R
(x, z) → x · z −1 = x/z.
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Las reglas básicas de la aritmética vistas en la secundaria se
pueden deducir de estas propiedades. Por ejemplo, sean
a, b, c ∈ R tales que
a + b = a + c,
entonces
−a + (a + b) = (−a + a) + b = 0 + b = b.
y
−a + (a + c) = (−a + a) + c = 0 + c = c.
Concluimos que
b = c.
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Ahora, si a, b, c ∈ R con a 6= 0 y
a · b = a · c,
entonces
a−1 · (a · b) = (a−1 · a) · b = 1 · b = b.
De igual forma
a−1 · (a · c) = c.
Concluimos que
b = c.
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De forma similar se puede probar que
Ejercicio
Dados a, b ∈ R tal que a · b = 0. Entonces a = 0 o b = 0.
Sean x, y ∈ R \ {0}, entonces
(x · y ) · (y −1 · x −1 ) = [(x · y ) · y −1 ] · x −1
= [x · (y · y −1 )] · x −1
= (x · 1) · x −1
= x · x −1
= 1.
Luego
(x · y )−1 = y −1 · x −1 .
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Ejercicio
Sean a, b, c, d ∈ R con b 6= 0 y d 6= 0. Entonces
−(a/b) = (−a)/b = a/(−b),
(a/b) + (c/d) = (a · d + c · b)/(b · d),
(a/b) − (c/d) = (a · d − c · b)/(b · d).
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Resumen
Definición de métrica y de abiertos.
Las bolas abiertas son abiertos.
Definición de cerrado.
Propiedades de abiertos y cerrados.
Ejercicios
La intersección finita de abiertos es un abierto.
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Apéndice
Lectura adicional
Lecturas adicionales I
S.Cambronero.
Notas MA0505.
20XX.
I.Rojas
Notas MA0505.
2018.
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