Prof. Dr. Ferdinand von Siemens
Victor Klockmann
WS 2020/21
Mikroökonomie 2
Übungsblatt 5 - Lösungsskizzen
Auf diesem Übungsblatt finden Sie Lösungsskizzen zur Übung 5. Für Fragen zu einzelnen Aufgaben oder Lösungen, wenden Sie sich bitte per Email an Victor Klockmann
(klockmann@econ.uni-frankfurt.de).
Aufgabe 1 (Wiederholung): Dynamische Spiele und SPNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Betrachten Sie folgendes dynamisches Spiel:
Spieler 1
L
Spieler 2
a
M
R
Spieler 2
1, 1
c
b
e
d
2, 3
0, −1
1, 0
3, 2
Spieler 1
X
3, 1
Y
1, 5
a. Bestimmen Sie alle teilspielperfekten Nash-Gleichgewichte.
Lösungsvorschlag:
Lösen durch Rückwärtsinduktion:
SPNE : s∗ = ((R, X) , (a, e))
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b. Bestimmen Sie die Anzahl der reinen Strategien für jeden Spieler.
Lösungsvorschlag:
N1 = (Entscheidung am ersten Knoten des Baums (L, M oder R)) x (zwei
Wahlmöglichkeiten am letzten Knoten (X oder Y )) = 6
N2 = (zwei Wahlmöglichkeiten am linken Knoten (a oder b)) x (drei Wahlmöglichkeiten am rechten Knoten (c, d oder e)) = 6
Beide Spieler haben 6 verschiedene reine Strategien.
c. Bestimmen Sie ein Nash-Gleichgewicht (in reinen Strategien), das nicht teilspielperfekt ist.
Lösungsvorschlag:
NE1
NE2
NE3
NE4
NE5
NE6
(L, X)
(L, Y )
Spieler 1 (M, X)
(M, Y )
(R, X)
(R, Y )
: s∗
: s∗
: s∗
: s∗
: s∗
: s∗
(a, c)
2, 3
2, 3
1, 1
1, 1
0, −1
0, −1
= ((L, X) , (a, c)) oder
= ((L, Y ) , (a, c)) oder
= ((M, X) , (b, c)) oder
= ((M, Y ) , (b, c)) oder
= ((R, X) , (b, e))
= ((R, X) , (a, e)) entspricht SPNE
(a, d)
2, 3
2, 3
1, 1
1, 1
3, 1
1, 5
Spieler 2
(a, e) (b, c)
2, 3
1, 0
2, 3
1, 0
1, 1
1, 1
1, 1
1, 1
3, 2 0, −1
3, 2 0, −1
(b, d)
1, 0
1, 0
1, 1
1, 1
3, 1
1, 5
(b, e)
1, 0
1, 0
1, 1
1, 1
3, 2
3, 2
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Aufgabe 2 (Wiederholung): Prinzessin-Frosch Spiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Es war einmal eine Prinzessin, die mit einem Frosch ein Signalspiel spielte. Der Frosch
war der “Sender”. Er konnte sagen er sei ein “Prinz” oder er konnte sagen er sei ein
“Frosch”. Die Prinzessin war die “Empfängerin”. Sie konnte den Frosch küssen. In
diesem Fall wäre es möglich, dass der Frosch sich in einen Prinzen verwandelt. Alternativ, konnte die Prinzessin den Frosch essen. Zu jener Zeit war allgemein bekannt,
dass 10% der Frösche im Königreich tatsächlich verhexte Prinzen waren. Nur solche
Frösche, die eigentlich Prinzen waren konnten sich nach einem Kuss in einen Prinz
verwandeln.
Es folgen noch einige wohlbekannte Tatsachen über Frösche und Prinzessinnen, die
die Auszahlungen bei dem Signalspiel verdeutlichen. Frösche werden nicht gerne gegessen, aber sie werden gerne von Prinzessinnen geküsst. Dies gilt insbesondere für
jene Frösche, die eigentlich Prinzen sind (weil diese danach keine Frösche mehr sind).
Frösche, die eigentlich keine Prinzen sind, müssen zuerst einen kostspieligen Sprachkurs absolvieren bevor sie das Wort “Prinz” aussprechen können. Prinzessinnen essen
gerne Frösche, aber wenn der Frosch eigentlich ein Prinz ist, bevorzugen sie es, ihn
zu küssen. Prinzessinnen vermeiden es üblicherweise, Frösche zu küssen, die keine
Prinzen sind. Der folgende Spielbaum zeigt Auszahlungen, die diesen Ansprüchen
genügen.
5, −10
küssen
küssen
SagtP rinz
−10, 5
10, 100
Frosch SagtF rosch
essen
essen
IstFrosch 90%
Prinzessin
Natur
essen
0, 5
Prinzessin
IstPrinz 10%
küssen
SagtP rinz
−10, 5
10, −10
küssen
10, 100
essen
−10, 5
SagtF rosch
Frosch
Finden Sie alle (separierende oder vereinigende) perfekt-Baysianische Gleichgewichte
in reinen Strategien.
Lösungsvorschlag:
Bezeichne SagtP rinz mit P und SagtF rosch mit F sowie küssen mit K und
essen mit E.
Es gibt vier Kandidaten für PBNEs: zwei separierende (Frosch sagt die Wahrheit:
F P und Frosch lügt: P F ) und zwei vereinigende (Frosch sagt immer Frosch: F F
und Frosch sagt immer Prinz: P P ) Gleichgewichte.
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Betrachte zunächst F P , d.h. der Frosch vom Typ IstFrosch sagt die Wahrheit
F und der Frosch vom Typ IstPrinz sagt P . Dann ist die beste Antwort der
Prinzessin EK, d.h. essen bei SagtFrosch und küssen bei SagtPrinz. Jedoch hat,
gegeben diese Strategie, der Frosch vom Typ IstFrosch einen Anreiz abzuweichen
zu SagtPrinz. Daher gibt es kein Gleichgewicht mit F P .
Betrachte nun P F , d.h. der Frosch vom Typ IstFrosch lügt und sagt P und der
Frosch vom Typ IstPrinz sagt F . Dann ist die beste Antwort der Prinzessin KE,
d.h. küssen bei SagtFrosch und essen bei SagtPrinz. Jedoch hat, gegeben diese
Strategie, der Frosch vom Typ IstFrosch einen Anreiz abzuweichen zu SagtFrosch.
Daher gibt es kein Gleichgewicht mit P F .
Betrachte nun F F , d.h. der Frosch sagt in jedem Fall F . Dann ist der erwartete
Nutzen der Prinzessin nach SagtFrosch bei küssen 0.9 · (−10) + 0.1 · 100 = 1 und
bei essen 0.9 · 5 + 0.1 · 5 = 5). Daher wird sie essen falls der Frosch SagtF rosch
wählt. Damit kein Typ Frosch auf SagtPrinz abweicht, muss die Prinzessin essen
nach SagtPrinz wählen. Bezeichne π = µ(IstF rosch|SagtP rinz) die Erwartung,
dass ein Frosch der P sagt vom Typ IstFrosch ist. Damit die Prinzessin essen
nach SagtPrinz wählt, muss gelten 5 ≥ π(−10) + (1 − π)100 ⇔ π ≥ 95/110.
Folglich existiert folgendes perfekt-Baysianische Gleichgewicht:
PBNE : ((SagtF rosch, SagtF rosch), (essen, essen))
µ(IstF rosch|SagtF rosch) = 0.9
mit
95
µ(IstF rosch|SagtP rinz) ≥
110
Betrachte nun P P , d.h. der Frosch sagt in jedem Fall P . Dann ist der erwartete
Nutzen der Prinzessin nach SagtPrinz analog zu vorher höher bei essen. In diesem
Fall wird ein Frosch vom Typ IstFrosch immer auf SagtFrosch abweichen. Daher
gibt es kein Gleichgewicht mit P P .
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Aufgabe 3 (Wiederholung): Gefangenendilemma mit sozialen Präferenzen . . . . . . . . . .
Zwei Spieler spielen folgende Version des Gefangenendilemmas.
Spieler 1 A
B
Spieler 2
A
B
5, 5
13, 3
3, 13 10, 10
Spieler 1 hat soziale Präferenzen mit Parametern α und β. Sein Mitspieler wird
zufällig aus einer Population mit folgenden Charakteristiken ausgesucht. Ein Teil µ
der Population hat keine sozialen Präferenzen und ist nur an der eigenen Auszahlung interessiert, der Rest der Population hat die gleichen sozialen Präferenzen wie
Spieler 1.
a. Angenommen Spieler 1 spielt mit einem Spieler 2, der die gleichen sozialen
Präferenzen wie er selbst hat. Für welche Parameterwerte (α, β) ist (B, B) ein
Nash-Gleichgewicht?
Lösungsvorschlag:
Die sozialen Präferenzen ändern das Spiel wie folgt:
Spieler 2
A
B
5, 5
13 − 10β, 3 − 10α
Spieler 1 A
B 3 − 10α, 13 − 10β
10, 10
Damit (B, B) ein Nash-Gleichgewicht ist, muss BA(B) = B gelten, d.h.
10 ≥ 13 − 10β
⇔ β ≥ 0.3
⇒ β ∈ [0.3, 1), α ≥ β
b. Für welche Parameterwerte (α, β) ist (B, B) das einzige Nash-Gleichgewicht des
Spiels?
Lösungsvorschlag:
Es gibt keine solchen Parameterwerte, weil u1 (A, A) > u1 (B, A) für alle
Werte von α.
c. Gibt es Parameterwerte (α, β) für die es rational ist B zu spielen, auch wenn
der Mitspieler keine sozialen Präferenzen hat?
Lösungsvorschlag:
Nein. Für Spieler ohne soziale Präferenzen ist A eine strikt dominante Strategie, deshalb ist (A, A) das einzige Nash-Gleichgewicht.
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d. Angenommen Spieler 1 hat soziale Präferenzen und weiß nicht, ob sein Mitspieler soziale Präferenzen hat oder nicht. Leiten Sie die Besten Antworten (in
reinen Strategien) dieses statischen Bayesianischen Spiels in Abhängigkeit der
Parameter µ, α, β her. Bestimmen Sie anhand dessen die Bayesianischen NashGleichgewichte.
Lösungsvorschlag:
Beginne mit der informierten Seite (Spieler 2):
ˆ Für Spieler 2 ohne soziale Präferenzen ist die Aktion A strikt dominant:
BA2e (A) = BA2e (B) = A
ˆ Die beste Antwort von Spieler 2 mit sozialen Präferenzen hängt ab von
β:
BA2s (A) = A ∀β
(
A falls β ≤ 0.3
BA2s (B) =
B falls β ≥ 0.3
Betrachte nun Spieler 1 im Falle β ≤ 0.3. Da beide Typen von Spieler 2
stets A spielen werden und die Aktion A auch für Spieler 1 strikt dominant
ist, wird im Bayesianischen Nash-Gleichgewicht von allen Spielern A für alle
Werte von µ gespielt.
Betrachte Spieler 1 im Falle β ≥ 0.3. Sein erwarteter Nutzen für die Aktionen
A und B ist dann:
Eu1 (A) = 5
Eu1 (B) = µ(3 − 10α) + (1 − µ)10
= 10 − µ(7 + 10α)
Folglich ist es optimal für Spieler 1 B zu wählen, falls
10 − µ(7 + 10α) ≥ 5
5
⇔ µ≤
7 + 10α
Es ergeben sich schließlich folgende Bayesianischen Nash-Gleichgewichte:
BNE1 : s∗ = (s∗1 = A, (s∗2e = A, s∗2s = A)), µ ∈ [0, 1],
5
BNE2 : s∗ = (s∗1 = A, (s∗2e = A, s∗2s = A)), µ ≥
,
7 + 10α
5
BNE3 : s∗ = (s∗1 = B, (s∗2e = A, s∗2s = B)), µ ≤
,
7 + 10α
falls β ≤ 0.3
falls β ≥ 0.3
falls β ≥ 0.3
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