HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC
MÔN GIẢI TÍCH 2
1.1
Vi phân
1. Cấp 1: df = fx0 dx + fy0 dy.
00
00
00
2. Cấp 2: d2 f = fxx
dx2 + 2fxy
dydy + fyy
dy 2
1.2
O(0, R)
:
x2 + y 2 ≤ 2Rx
:
5. (
Hình tròn tâm O(−R, 0)
π ≤ ϕ ≤ 2π
0 ≤ r ≤ −2R sin ϕ
:
x2 + y 2 ≤ −2Rx
:
4. (
Hình tròn tâm
0≤ϕ≤π
0 ≤ r ≤ 2R sin ϕ
Đạo hàm Vi phân
Vector Gradient, đạo hàm theo hướng của
1. ∇f (x, y) = (fx , fy , fz0 ) ,
2. ∇f (x, y, z) = (fx , fy ) ,
Tích phân bội 3 I =
3
∂f
h∇f, ~ui
=
∂~u
|~u|
3.1
∂f
h∇f, ~ui
=
∂~u
|~u|
Trong tọa độ Descartes
Ω : z1 (x, y) ≤ z ≤ z2 (x, y), hcΩ = D ⊂ Oxy
2.2
.c
ng
u
2. D : c ≤ y ≤ d, x1 (y) ≤ x ≤ x2 (y)
x2R(y)
Rd
I = dy
f (x, y)dx
c
x1 (y)
CÁCH XÁC ĐỊNH CẬN
(i) Điều kiện của x, y là điều kiện của ϕ trên Oxy giống
tọa độ cực.
(ii) Cho x = 0 trong điều kiện của Ω, lát cắt trên Oyz xác
định ρ, θ.
Lưu ý : ρ là khoảng cách từ gốc O đến đường tròn, θ là
góc quay từ trục Oz về cả 2 phía x, y (0 ≤ θ ≤ π)
RRR
3. Thể tích Ω : V =
dxdydz
Tọa độ cực cơ bản x = r cos ϕ, y = r sin ϕ
I=
Rβ
α
dϕ
r2R(ϕ)
f (r cos ϕ, r sin varphi)rdr
r1 (ϕ)
(
1. Hình tròn tâm O(0, 0) : x2 + y 2 ≤ R2 :
0 ≤ ϕ ≤ 2π
0≤r≤R
Ω
O(0, R)
:
x2 + y 2 ≤ 2Rx
:
3. 
Hình tròn tâm O(0, −R)
 π ≤ ϕ ≤ 3π
2
2
0 ≤ r ≤ −2R cos ϕ
:
x2 + y 2 ≤ −2Rx
:
2. Hình tròn tâm
( π
π
− ≤ϕ≤
2
2
0 ≤ r ≤ 2R cos ϕ
CuuDuongThanCong.com
Đổi biến
2. Tọa độ cầu
x = ρ sin θ cos ϕ, y = ρ sin θ sin ϕ, z = ρ cos θ
Sử dụng khi có mặt cầu tâm O hoặc tâm (0, 0, ±R)
kết hợp với
a/ Các mặt tọa độ
b/ Các mặt phẳng
đi qua trục Oz, VD : y = kx
p
c/ Nón z = k x2 + y 2
cu
y1 (x)
dxdy
1. Tọa độ trụ : Khi miền D đổi sang tọa độ cực
1. D : a ≤ x ≤ b, y1 (x) ≤ y ≤ y2 (x)
y2R(x)
Rb
I = dx
f (x, y)dy
a
f (x, y)dz
co
on
Trong tọa độ Descartes
z1 (x,y)
2. Hình chiếu giao tuyến của z = z1 và z = z2 :
z1 (x, y) = z2 (x, y) (Sử dụng khi yếu tố 1 không tạo ra miền
kín hoặc không có).
3.2
du
2.1
an
f (x, y)dxdy
D
D
!
3. Giao miền tạo bởi 2 yếu tố trên và điều kiện xác định của
z1 (x, y), z2 (x, y)
g
Tích phân kép I =
z2 (x,y)
R
1. Các pt hoặc bất pt (xác định Ω) không chứa z
th
2. Pt mặt cong S : z = z(x, y)
z = zx0 (x0 , y0 )(x − x0 ) + zy0 (x0 , y0 )(y − y0 ) + z0
RR
Cách xác định D : gồm 3 yếu tố
1. Pt mặt cong S : F (x, y, z) = 0
Fx0 (M )(x − x0 ) + Fy0 (M )(y − y0 ) + Fz0 (M )(z − z0 ) = 0
2
I=
Phương trình tiếp diện tại M (x0 , y0 , z0 )
RR
f (x, y, z)dxdydz
Ω
3. Hướng tăng nhanh nhất của f khi đi qua M là hướng của
∂f (M )
∇f (M ). Giá trị lớn nhất của
là |∇f (M )|
∂~u
1.3
RRR
om
1
https://fb.com/tailieudientucntt
4
Tích phân đường
3. Tính I =
RR
f (x, y, z(x, y))
q
1 + zx02 + zy02 dxdy
D
4.1
Tham số hóa đường cong
6
Là biểu diễn x, y hoặc x, y, z theo một biến.
Tích phân mặt loại 2
I=
1. Đường phẳng
a/Tọa độ Descartes : y = y(x), x ∈ [a, b]
hay x = x(y), y ∈ [c, d]
b/Đường tròn (x − a)2 + (y − b)2 = R2 :
(
x = a + R cos t, y = b + R sin t
t ∈ [0, 2π] hay t ∈ [−π, π]
(
x = a cos t, y = b sin t
x2
y2
c/Ellipse 2 + 2 = 1 :
a
b
t ∈ [0, 2π] hay t ∈ [−π, π]
RR
P dydz + Qdzdx + Rdxdy
S
6.1
Cách tính
Bước 1 Chọn cách viết pt S, VD z = z(x, y)
Bước 1 Xác định hình chiếu Dxy của S lên mp tọa độ tương
ứng
RR
Bước 1 Tính I = ± (P, Q, R)(−zx0 , −zy0 , 1)dxdy
Dxy
om
2. Đường không gian (giao tuyến của 2 mặt)
Lấy + nếu S lấy phía trên theo hướng Oz
Cách 1 : Nếu có 1 pt mặt chứa 2 biến, xem nó như đường
phẳng để tham số hóa, dùng pt còn lại tìm tham số cho
6.2 Công thức Gauss-Oxtrogratxki
biến thứ 3
Cách 2 : xác định hình chiếu giao tuyến lên một mp tọa
Yêu cầu : S là mặt biên của Ω, lấy phía ngoài
độ, ts hóa cho hc này rồi dùng 1 pt mặt để tìm ts cho biến
RRR
thứ 3.
I=
Px0 + Q0y + Ry0 dxdydz
Tích phân đường loại 2
6.3
P (x, y)dx + Q(x, y)dy theo đường cong C
A
x
RB
a/ C : y = y(x) ⇒ I =
P (x, y(x))dx+Q(x, y(x))y 0 (x)dx
xA
th
b/ C : x = x(t), y = y(t)
tRB
⇒ I = P (x(t), y(t))x0 (t)dt + Q(x(t), y(t))y 0 (t)dt
tA
C là biên của mặt cong hữu hạn S :z=z(x,y), lấy x nhìn từ
phía dương của Oz (nhìn từ trên xuống). Luôn chọn phía trên
của S
R
I = P dx + Qdy + Rdz
C RR
= I = (Ry0 − Q0z )dydz + (Pz0 − R0 x)dzdx + (Q0 x − P 0 y)dxdy
S
R
RR
Nếu lấy y : = −
RR C L RRS
=
Lưu ý :
an
1. Cách tính
Công thức Stokes
ng
I=
RB
co
4.2
.c
Ω
S
D
du
on
g
2. Công thức Green : C là biên ngoài, x của miền hữu hạn
D (nếu có biên trong thì C gồm cả 2 biên và biên trong lấy
y) R
RR
I = P (x, y)dx + Q(x, y)dy =
Q0x − Py0 dxdy
C
D
cu
u
Lưu ý: C phải là đường kín (hoặc nhiều đường kín).
Nếu C không kín thì ghép đường (nên là các đường dạng
x = a hay y = a và theo chiều của C so với miền D)
3. Tích phân không phụ thuộc đường đi
B1: Kiểm tra Q0 x = P 0 y
B2: Tính I bằng cách đổi đường đi (đường gấp khúc
x = a, y = b đi từ A đến B) hoặc chọn hàm U thỏa
dU = P dx + Qdy và I = U (B) − U (A).
5
Tích phân mặt loại 1
I=
R
f (x, y, z)ds
S
Cách tính
1. Viết phương trình mặt S : z = z(x, y) (hoặc x =
x(y, z), y = y(z, x) ).
2. Xác định hình chiếu D của Slên mp tọa độ tương ứng (VD
chiếu lên mp z = 0)
Xác định từ 3 yếu tố :
(i) Pt mặt chắn mà không chứa z
(ii) Hình chiếu giao tuyến giữa S và các mặt chắn mà pt
chứa z
(iii) Giao với điều kiện xác định của z(x, y).
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
7
Chuỗi số
7.1
Chuỗi cơ bản
P 1
nα
1. Chuỗi điều hòa
2. Chuỗi cấp số nhân
7.2
P
xn
(
α > 1 : HT
α ≤ 1 : PK
(
|x| < 1 : HT
|x| ≥ 1 : P K
Cách chọn tiêu chuẩn khảo sát sự hội tụ
1. Tiêu chuẩn D’Alembert : khi số hạng tổng quát có chứa
tích vô hạn.
2. Tiêu chuẩn Cauchy : khi số hạng tổng quát có chứa dạng
uvnn
om
3. Tiêu chuẩn Leibnitz : chuỗi đan dấu nhưng Không xuất
hiện dấu hiệu của 2 tc trên.
Phát biểu định lý
ng
an
1. Điều kiện cần : an 9 0 : chuỗi phân kỳ. (an → 0 không
kết luận được gì.)
co
7.3
.c
4. Tiêu chuẩn so sánh : cách sử dụng
a/Rút gọn số hạng tổng quát trước khi dùng D’A hoặc
Cauchy.
b/Thành phần chính của số hạng tổng quát chứa nα
c/Áp dụng cho chuỗi không âm
P (giữ nguyên dấu nếu thay
∼). d/Nếu áp dụng cho cho
|an | thì chỉ kết luận khi
chuỗi so sánh hội tụ.
th
2. TC D’Alembert :
5. an ∼ bn :
P
an và
bn = xn )
8
cu
u
du
on
g


< 1 : HT

> 1 : P K
an+1
(
→D:
Dn =

an
Dn ≥ 1 : P K


= 1 →
Dn < 1 : oKL
p
3. TC Cauchy : Cn = n |an | → C : KL giống TC D’A
P
4. TC Leibnitz : (−1)n an , 0 ≤ an ↓ 0 ⇒ : hội tụ
(an 9 0 : PK, an → 0 nhưng không ↓ : o KL)
P
bn cùng bản chất (bn =
Chuỗi lũy thừa
8.1
P
1
hay
nα
an (x − x0 )n
Miền hội tụ
1. Bán kính hội tụ
an
R = lim
an+1p
hay R = lim n |an |
2. Khoảng hội tụ : (x0 − R, x0 + R) (chuỗi đã pk bên ngoài
[x0 − R, x0 + R])
3. Miền hội tụ : xét thêm sự hội tụ của 2 chuỗi số tại 2
đầu Khoảng hội tụ (Tại 2 đầu không thể sử dụng C và D
nhưng có thể dùng Cn , Dn )
8.2
Chuỗi Taylor
8.3
Tính tổng chuỗi
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt