차 례 Chapter 01 벡터해석 3 Chapter 02 전기장 13 Chapter 03 가우스 법칙 19 Chapter 04 전위와 에너지 27 Chapter 05 도체와 유전체 34 Chapter 06 자기장 45 Chapter 07 자기력과 자성체 58 Chapter 08 시변장 69 Chapter 09 평면파 78 Chapter 10 전자기파의 투과와 반사 86 Chapter 11 전송선 96 Chapter 01 벡터해석 Chapter 01 벡터해석 1. a) Ａ x y z x y z Ａ Ａ b) Ａ A x y z Ａ → Ｂ x y z x y z Ｂ Ｂ → Ｂ B x y z Ｂ c) A, B와 z축 사이의 각도를 각각 , 라 하면, Ａ∙ z cos ≃ Ａ∙ Ａcos → cos z Ａ Ｂ∙ Ｂcos → cos z ≃ . d) A와 B의 사이각 를 구하면, Ａ∙ Ａ Bcos B Ａ∙ B cos cos → cos Ａ 2. Ａ x y z x y z Ａ → Ａ A x y z Ａ 3. P(0, 1, 2)에서, Ａ · x · y z x y z, Ａ → Ａ A x y z . Ａ 4. 평면 위의 임의의 점 이 시작점이고 이 끝점인 벡터는, Ａ x y z. 3 4 ABLE 전자기학 따라서, x y z Ａ . A Ａ 5. 크기가 0이 아닌 두 벡터의 내적이 0이면, 두 벡터는 서로 수직이다. a) Ａ∙ Ｃ x z ∙ x y z b) Ｂ∙ Ｃ x y ∙ x y z c) Ａ ∙ Ｂ cos sin z ∙ cos sin z cos sin cos sin 문제 6. 6. ± r × r 가 r , r 에 동시에 수직하므로, r × r ± a a) , r × r x y z r × r x → x a ± ± x b) 동일한 방법으로, r r × r r b ± , r r × r r r r × r r r r y z, x y z y z, y z ± b ± y z . c) 그림 1-14로부터 삼각형의 면적은, S r × r m . d) 각 점을 잇는 두 벡터의 외적으로 구할 수 있으므로, r r x y z, Chapter 01 벡터해석 r r × r r × S m . 7. 크기가 0이 아닌 두 벡터의 외적이 0이면, 두 벡터는 서로 평행하다. r sin sin sin sin cos Ａ× Ｂ cos 8. Ａ Ｂ r r Ａ r Ｂ ∙ Ｂ ∙ A r ∙ a) B의 A방향크기 : Ａ Ａ Ｂ∙ A A r × b) B의 A방향 벡터성분 : Ａ c) B의 A에 수직한 벡터성분 : B에서 A에 수평한 성분을 빼면 되므로, r r r 9. Ａ sin Ｂ cos cos z sin z a) Ｐ 를 대입하면 Ａ Ｂ z 이므로, Ａ∙ Ｂ Ａ∙ Ｂ ＡＢ cos → cos ＡＢ → z ∙ cos cos b) Ｐ 을 대입하면, Ａ z z, Ｂ z, Ａ× Ｂ 이고 가 원하는 답이다. A, B 모두에 수직한 벡터는 ± A× B 이므로, ± Ａ× Ｂ Ａ× Ｂ ≃ Ａ× Ｂ z × z 5 6 ABLE 전자기학 Ａ× Ｂ ± → ± Ａ× Ｂ → 또는 문제 10. 10. 표 1-1에 따라서 직교좌표(Ｐ R ), 원통좌표(Ｐ Ｃ ), 구좌표(Ｐ Ｓ ) 변환하면, tan Ｐ C a) Ｐ Ｒ → Ｐ C tan tan → Ｐ Ｓ Ｐ Ｓ (* 그림에서 표시한 바와 같이 tan 가 가 아닌 것에 주의할 것.) b) Ｐ Ｒ → Ｐ C tan Ｐ C → Ｐ Ｓ tan tan Ｐ Ｓ c) Ｐ Ｒ → Ｐ C tan Ｐ C → Ｐ Ｓ tan tan Ｐ Ｓ 11. Ｐ C → Ｐ Ｒ cos sin 이므로, Chapter 01 벡터해석 a) Ｐ C → Ｐ Ｒ cos sin Ｐ Ｒ b) Ｐ C → Ｐ Ｒ cos sin Ｐ Ｒ c) Ｐ C → Ｐ Ｒ cos sin Ｐ Ｒ 12. Ｐ S → Ｐ C sin cos 이므로, a) Ｐ S → Ｐ sin cos Ｐ b) Ｐ S → Ｐ C sin cos Ｐ C c) Ｐ S → Ｐ C sin cos Ｐ C 13. a) Ｐ Ｐ 사이의 거리는 (1-49)에 의해서, m . ｄ b) P Ｐ 사이의 거리는 (1-50)에 의해서, ｄ cos ≃ m . c) Ｐ Ｐ 사이의 거리는 (1-51)에 의해서, ｄ cos cos sinsin cos . ≃ m 14. Ａ x A의 a) , , z 방향성분은 각각, Ａ∙ Ａ ∙ Ａ∙ Ａ x∙ , Ａ x∙ , Ａ z x∙ z 이며 (1-39)로부터, ∙ cos, ∙ sin, ∙ 이므로, Ａ Ａ Ａ Ａ cos sin . A의 r, , 방향성분은 (1-45)를 이용하면, b) Ａ ∙ Ａ r x∙ r sincos, 7 8 ABLE 전자기학 Ａ ∙ Ａ ∙ coscos, Ａ ∙ Ａ ∙ sin. 따라서, Ａ Ａ r Ａ Ａ sin cos r coscos sin . 15. 직교 → 원통 벡터변환식 (1-41)에 따르면, A A cos A sin, A A sin A cos, A A . cos sin cos sin A cos cos sin sin sin cos sin cos cos sin 16. Ａ a)Ｐ 을 x y 에 대입하면, Ａ x y → Ａ Ａ Ａ . 원통좌표계의 벡터로 변환하면, Ａ Ａ Ａ Ａ z Ａ cos Ａ sin Ａ sin Ａ cos Ａ z cos sin sin cos 좌표의 변환에서 tan tan 이므로, Ａ . b) Ｐ 를 Ｂ x y z 에 대입하면, B x y z → Ｂ Ｂ Ｂ B Ｂ Ｂ Ｂ z cos sin sin cos z tan tan 이므로, Chapter 01 벡터해석 B z. c) Ｐ 를 C sin r cos cos 에 대입하면, Ｃ r → Ｃ r Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ z Ｃ sin Ｃ cos Ｃ Ｃ cos Ｃ sin z sin cos z 현재 구하는 점의 좌표 를 대입하면, Ｃ . d) Ｐ 를 Ｄ cos r sin sin 에 대입하면, Ｄ r → Ｄ Ｄ Ｄ Ｄ Ｄ sin Ｄ cos Ｄ Ｄ cos Ｄ sin z 17. a) Ｐ 를 Ａ x y z 에 대입하면, Ａ x y z → Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ r Ａ Ａ Ａ sin cos Ａ sin sin Ａ cos r Ａ cos cos Ａ cos sin Ａ sin Ａ x sin Ａ cos 직교 → 구좌표 변환식에서, tan tan tan tan tan ∴ A ≃ r 9 10 ABLE 전자기학 Ｂ sin b) Ｐ 를 cos z 에 대입하면, Ｂ Ｂ Ｂ z → Ｂ Ｂ Ｂ r Ｂ Ｂ Ｂ sin Ｂ cos r Ｂ cos Ｂ sin Ｂ 원통 → 구좌표 변환식에서, tan tan Ｂ ∴ r r 18. a) ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 원통좌표계이므로 미소체적은 , × × m . b) ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 구좌표계에서 미소체적은 sin , sin 19. a) b) 원통좌표계의 미소체적은 이므로, × cos × m . Chapter 01 벡터해석 V × × m c) 1, 2번과 5, 6번 면적은 크기가 같으므로, S S S S S m d) L × × × × × × m 20. z 4 2 y 30o a) 30 o x b) 구좌표계의 미소체적은 sin 이므로, V r sin × × cos ≃ m c) 1, 2번 면적은 크기가 같으므로 S S S S S S sin sin sin sin m 11 12 d) ABLE 전자기학 L × × sin sin sin sin m Chapter 02 전기장 Chapter 02 13 전기장 1. P 에서 P 을 향하는 벡터는, r x y z x z, . r r 따라서 Ｑ 에 가해지는 전기력은, Ｑ Ｑ × × x z Ｆ r r × × × x z N y 3 F13 Q1 5 C F23 Q3 1 C x 2 Q2 3 C 문제 2. 2. Ｑ Ｑ 가 Ｑ 에 가하는 전기력은 각각, × × Ｆ y × y N , × × × × × Ｆ x × x N . × × × 따라서 Ｑ 에 가해지는 총전기력은, Ｆ Ｆ Ｆ × x × y N . 문제 3. 3. 디스크표면 미소면적의 크기를 라 하면 미소면적에 분포하는 전하량은 14 ABLE 전자기학 이다. a) Ｑ S S sin cos Ｃ b) Ｑ Ｃ 4. a) × Ｑ Ｃm s Ｓ b) Q s Ｓ s c) r z d) 미소면전하가 점전하에 미치는 힘은, Q ＱQ Ｆ r z . 위 식에서 성분은 적분과정에서 대칭위치의 미소면전하에 의해서 상쇄되므로, Ｆ Q s × × × × × × z z × × z N 문제 5. 5. 원통표면의 미소면적은 Ｓ 이며 표면에서 이므로, Ｑ S 6. S Ｃ . Ｑ Ｑ C Chapter 02 전기장 7. Ｑ 15 Ｃ 8. 원통좌표계에서 미소체적은 이므로, Ｑ × Ｃ 9. Ｐ 에서 영점을 향하는 벡터는, r x y z . 따라서 전하가 원점에 미치는 전 계강도는, × x y z Ｑ Ｅ r × × x y z V m . z P 0,0,5 Q3 Q2 y Q4 x Q1 문제 10. 10. 각 전하에서 P점에 이르는 길이는 으로 동일하다. 4개의 전하에 의한 전계강도는, Ｑ Ｅ r r r r r x y z x y z r x y z r x y z 16 ABLE 전자기학 r x y z 이므로, × × Ｅ z z kV m . × 11. 좌표 (0, 2, 0)에서 Ｑ Ｑ 에 의한 전계강도는 Ｅ , Ｅ 의 조합이다. Ｑ Ｑ Ｅ Ｅ Ｅ r r r x y z x y, r y z Ｑ × Ｅ x y y z → Ｑ Ｑ x y z y성분이 0이기 위해서는, Ｑ → Ｑ × C . z P2 0, 0, 5 P1 x 2 r1 r2 2 y 문제 12. dl ' Ｑ ′ Ｅ . 12. ′ 이고 ′에 의한 전계강도 a) 원점에서의 전계강도 cos x sin y, cos Ｅ x sin y, Chapter 02 전기장 Ｅ × sin cos x sin y x cos y × x y kV m b) 에서의 전계강도 r cos x sin y z Ｅ × cos x sin y z x y z kV m 13. Ｑ , Ｑ 와 점 를 잇는 벡터는, r y z , , r x z , . Ｅ Ｅ Ｅ × × y z x z ≃ x y z Ｖm y 1 L2 L3 L1 Ê3 Ê2 r Ê1 14. Ｌ Ｌ Ｌ 가 원점에 미치는 전계강도는, Ｅ Ｅ sin x cos y, Ｅ sin x cos y, Ｅ y. cos Ｅ Ｅ Ｅ Ｅ y x 문제 14. 17 18 ABLE 전자기학 cos 이므로, Ｅ y V m . S ẑ dF dQ E dS S 문제 15. 15. 무한히 큰 면전하이므로 거리는 관계없다. 아래쪽에 위치한 미소면적 S의 전하량은 F Q E SS E이다. 단위 면적당 힘은 전 Q SS이므로 S에 가해지는 전기력은 기력을 면적으로 나누어야 하므로, × F F′ S E × z z Nm . S 마찬가지 방법으로 위쪽 면전하에 가해지는 단위면적당 전기력은, F′ z Nm . x 1, y 4 P 3, 0,5 5 nC/m 10 nC O 0, 0, 0 x2 2 nC/m 2 16. 문제 16. R S n R Q EQ E ES E R R × x z × x y × x x y z V m Chapter 03 가우스 법칙 Chapter 03 가우스 법칙 1. Ａ a) x y z Ａ ∇∙ b) Ａ x Ａ Ａ ∇∙ Ａ ∇∙ c) Ａ sin cos z Ａ sin cos ∇∙ sin sin Ａ sin d) sin Ａ sin sin sin ∇∙ sin sin cos cos sin Ａ ∇∙ 2. ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ Ｄ x sin y z Ｄ∙ Ｓ Ｄ S Ｄ sin Ｄ Ｃ 19 20 ABLE 전자기학 3. 원통에 대한 적분이므로 를 원통좌표를 이용하여 표시하면, Ｑ . Ｃ 4. Ｄ r Ｃm →Ｑ Ｄ∙ Ｓ S r ∙ sin r sin cos Ｃ E a + b V0 문제 5. l 성분만을 가지므로 반지름이 인 원통형 가우스 폐곡면을 5. 원통형 도체에 의한 전기장은 설정하고 가우스법칙에 대입하면, D∙ S . 따라서, → E V m . Q 3, 2, 4 z 50 nC RQ x 4, z 4 RL 20 nC/m y x P 3,1, 0 6. a) 에서 점전하와 선전하에 의한 전속의 합은, 문제 6. Chapter 03 가우스 법칙 21 R R Q DP R R × × y z x z x y z nCm b) 점전하는 원점에서 R ≃ m 밖에 있고, 선전하와 원점사이에 가장 ≃ m 이므로 모든 전하가 구의 바깥에 가까운 거리는 인 경우, R 위치한다. 전속은 폐곡면 내부의 전하량이므로 이 경우의 전속은 0이다. c) 점전하는 구 내부에 포함된다. 구에 포함되는 선전하 끝점의 좌표를 (-4, y0, 4)라고 하면, → ∴ ± 따라서 구의 내부에 포함되는 선전하의 길이는 m 이므로 반지름이 10(m)인 구 표 면을 통과하는 전속은, × × × nC . z S5 2 S2 2 x S4 y S3 S1 S6 2 문제 7. 7. D x y z Cm D의 y성분 크기는 의 함수가 아니므로 S 와 S 에서 크기가 동일하다. 또한 면적과 이루는 방향이 반대이므로 적분의 결과는 서로 상쇄된다. S 에서 D의 x성분은 0이고, D의 S 에서 z 성분이 0이므로 결국 총전속은 S 와 S 에 대한 면적분이다. D ∙ x C 8. D x z Cm D ∙ z 22 ABLE 전자기학 a) D의 y성분이 0이므로 S 과 S 를 통과하는 전속은 0이다. 따라서, D∙ S D∙ S D∙ S D∙ S x∙ x z ∙ z x∙ x z ∙ z C b) ∇ ∙ D c) Q ∇ ∙ D × ∇ × ≃ C 으로 a)와 거의 유사한 결과를 얻 었다. 정육면체의 크기가 작을수록 더 비슷한 값이 될 것이다. 9. a) 반지름이 r인 구에 대해서 가우스 법칙을 적용하면, D∙ S Q → S Q D r. (3-26c)에 의해서, Q . D ∇∙ 원점에서는 이어서 분모가 0이 되므로 ∇ ∙ D가 정의되지 않는다. b) 체적전하의 전하량이 Q 이어야 하므로, Q Q Cm . → c) ⅰ) 반지름이 인 가우스폐곡면을 설정하면, D∙ S Q Q D → D → r r Cm . Q Q D ∇∙ ⅱ) Chapter 03 가우스 법칙 Q D D Q → r 이므로, 점전하의 경우와 마찬가지로, D . ∇∙ 10. Ｄ x y Ｃm a) Ｄ Ｃm ∇ ∙ b) Ｑ c) Ｄ∙ Ｓ Ｑ Ｄ∙ Ｓ Ｄ∙ Ｓ Ｄ∙ Ｓ ⋯ Ｄ∙ Ｓ S S Ｄ∙ Ｓ S Ｄ∙ Ｓ S x y ∙ y Ｄ∙ Ｓ S Ｄ∙ Ｓ S x y ∙ x Ｄ∙ Ｓ S x y ∙ z Ｄ∙ Ｓ S 따라서, Ｑ S Ｄ∙ Ｓ Ｃ S 이므로 b)에서 얻은 결과와 같음을 보였다. 23 24 ABLE 전자기학 z r dS L 문제 11. 11. Ｃm 반지름이 이고 길이가 이며, 축을 따라 세운 원통에 대해서, Ｄ∙ Ｓ Ｑ . S D 인데 가 만의 함수이므로 ∇∙ 성분만 가지는 벡터이다. 따라서, D는 Ｄ∙ Ｓ Ｄ ∙ S ＤＬ Q S S (위, 아래원통의 덮개는 방향이 ± z 이므로 적분값이 0) Ｑ Ｌ Ｌ Ｌ Ｌ C Ｑ Ｄ Ｃm Ｌ 12. D r Cm a) D ∇ ∙ × Cm b) D r r Cm c) b)에서 에서의 전속밀도가 r 이므로, D∙ S D × C . d) 가우스법칙으로부터 와 같다. 즉, Q C . Chapter 03 가우스 법칙 25 13. A x y z Ｃm A , ∇∙ ∇ ∙ A . → A∙ S A∙ S ⋯ A∙ S A∙ S x y z ∙ x ∵ A∙ S x y z ∙ x ∵ A∙ S x y z ∙ y ∵ A∙ S x y z ∙ y ∵ A∙ S x y z ∙ z ∵ A∙ S x y z ∙ z ∵ ∴ A∙ S 따라서, ∇ ∙ A A∙ S. D x y z Cm 14. a) D ∇∙ b) 이번에는 ∇ ∙ D C D∙ S 를 이용하자. D의 x, y 성분은 각각 좌표의 함수가 아니므로 S 과 S , S 와 S 에 대한 면적분은 서로 상쇄되어 0이다. 따라서, 26 ABLE 전자기학 D∙ S D∙ S D∙ S S S z ∙ z z ∙ z C 15. cm 인 평면은 z축을 따라 세운 원통의 표면이다. a) Ｑ S ∞ S S ∞ ∞ S × ∞ × ∞ × ≃ × Ｃ b) 해당 구간내부의 전하량과 동일하다. Ｑ × × Ｃ Chapter 04 전위와 에너지 Chapter 04 전위와 에너지 y 0, 2,0 Q 0, 0,0 1. x 문제 1. 2,0,0 Ｅ x y, x y z ⅰ) → 구간에서는 이므로, Ｗ Ｑ Ｅ∙ · Ｊ ⅱ) → 구간에서는 이므로, Ｗ Ｊ ∴Ｗ Ｗ Ｗ Ｊ 2. Ｅ x y, Ｑ × Ｃ , Ｗ Ｑ p E∙ × p × x y ∙ x y z · × Ｊ 3. E z , Ｑ × Ｃ 원통좌표계에서 z 이므로, W Ｑ Ｅ · × z ∙ z 27 28 ABLE 전자기학 × × ln Ｊ z 2, 4 , 2 iii ) Q i) y ii ) x 문제 4. 4. Ｅ r V m sin 구 좌표계에서 r . 구간 ⅰ)에서 이므로, W × r ∙ r × × Ｊ 구간 ⅱ)에서 이므로, W × sin × Ｊ r sin 구간 ⅲ)에서 이고 E에 성분이 없으므로, W . 따라서 총 에너지는, W W W W × Ｊ . z 0, 0, Z y d x 5. a 문제 5. Chapter 04 전위와 에너지 29 a) 축으로부터 만큼 떨어진 위치에서 폭이 인 링의 전하량은 Ｑ S 이므로 (4-12a)에 의하여, S Ｑ V . 전체 디스크에 의한 전위는, V z S V S V S V V V Ｅ ∇V x y z z V m b) x y z 6. 무한히 긴 도선에서 만큼 떨어진 위치에서의 전계강도는, Ｅ Ｅ , 이므로 두 점 사이의 전위 차이는, V ln V . ∙ ln E n 이므로 (4-4)에 대입하면, 7. (2-31)에서 n ∙ n V . V 0 M 0,0, 5 z x 0, z 3 10 nC/m r x y N 2,0, 1 P 3, 0,0 200 nC z0 5 nC/m 2 문제 8. 30 ABLE 전자기학 Q 8. M 에서의 전위는 3가지 전하에 의한 것이다. 점전하에 의한 전위는 V P 이며 선, 평면전하에 의한 전위는 전계강도를 적분하여 얻는다. V C ln C V S dz C z C S S 총 전위는, S Q V V P V V S ln C M 에서, , , , 이므로, × × × ln C → C × V . VM N 에서는, , , , 이므로, × × × ln × VN 9. 전위 V E∙ C a) V ∞ C C 이므로, C V → ∴V b) C V → C → V V Chapter 04 전위와 에너지 P 2, 0, 4 z x 1, y 3 4 nC/m x 2, z 3 4 nC/m V 80 V y 문제 10. x 10. 전위 V ln ln C E ∙ E ∙ 원점에서, , 이므로, × × V ln ln C → ∴C 에서 , . × ∴V P ln ln V E V m 11. a) (4-4)에 의해서 ∙ ln V E∙ b) 내부, 외부 도체사이의 전위차는, ln . E∙ 따라서 라플라스 방정식을 풀어서 얻은 전위식은, ln ln ln ln ln ln V 로 a)에서 얻은 결과와 동일한 값이다. 12. 전위가 방향으로만 변하므로 라플라스 방정식은 (4-26a)로부터, V V . → 표 4-1로부터 이 방정식의 해는 V A B 이므로 경계조건, V , V V 31 32 ABLE 전자기학 V 를 대입하면 V V 이며, V Ｅ ∇V V m . z 1 z 0.5 0.5,60 , 0.3 o z 0.5 문제 13. 13. V sin V , P a) V P × × sin V b) V V E ∇V sin cos V m EP sin cos V m DP EP EP nCm c) D D D ∇ ∙ sin cos sin sin sin sin Cm P × Cm d) 전체 원통에 대해서 체적전하밀도를 적분하여 전하량을 구하자. Q × C 14. (4-41)에 의해서 W i E 이므로 먼저 E 를 구하자. 가우스 법칙에 의해서, Chapter 04 전위와 에너지 E∙ S Q W → E → E sin J ii 일 때의 E 와 같다. J 15. V V Ｅ ∇V V m . 전기장에 저장된 에너지는, WＥ Ｅ ln × Ｊ 16. E x y z W Ｅ ≃ ≃ × Ｊ 33 34 ABLE 전자기학 Chapter 05 도체와 유전체 문제 1. 1. Ｉ Ｊ∙ Ｓ S y∙ y Ａ Ｓ sin 2. 구 표면의 미소표면적은 r 이므로, a)Ｉ S r ∙ sin r Ｊ∙ Ｓ sin Ａ b)Ｉ J∙ S sin r ∙ sin r sin A z 3 S5 S2 2 1 x y S4 S3 S1 1 S6 문제 3. 3. J sin x cos y Am a) I J∙ S J∙ S⋯ J∙ S J에 J는 z 성분이 없으므로 S , S 에 대한 면적분은 0. 위에서 x성분을 가지지 않 으므로 S 에 대한 면적분도 0. 따라서, Chapter 05 도체와 유전체 J∙ S J∙ S J∙ S I J ∙ x sin J ∙ y cos J ∙ y cos sin sin sin A b) 발산정리에 따르면, I J∙ S ∇ ∙ J ∇ ∙ J cos cos ∇ ∙ J A 이므로 (a)와 동일한 결과를 얻었다. z Q 1 cm 2 m P r Q 문제 4. Ｑ cos 4. (5-18)로부터 Ｅ r sin 이므로 m , 에서, Q Ｅ mV m → Q Ｃ , 에서는, × cos∘ Ｅ r sin mV m 35 36 ABLE 전자기학 z R P 0.15, 0, 0.2 5 nC 0, 0, 0.05 10 cm R 5 nC 0, 0, 0.05 문제 5. 5. P Q a) P 점의 전위 V P R R R R × VP × V b) P 점의 전계강도 Q x z x z EP R R Q x z E P V m Q cos 이며, c) (5-17)에 의하면 V r , sin 이므로, × × cos V . V × 6. Ｅ x y z V m 진공/도체의 경계면에서 전기장은 수직성분만 존재하므로, Ｅ ± Ｅn ± ± V m , 이다. 경계조건으로부터, Ｄ n Ｅ n S , Chapter 05 도체와 유전체 37 이므로 경계면의 표면전하밀도는, S Ｅ n × ± ± × Ｃm . 경계면의 어느 쪽이 도체인지 주어지지 않았으므로 전하밀도의 부호는 정할 수 없다. 7. 길이에 따라서 균일한 전압강하가 이루어진다면 Ｅ V 이고 Ｊ Ｅ 이므로, × × Ｊ Ｊ × Sm . Ｅ V 8. Ｉ Ｊ∙ Ｓ S × × A z 4 cm J 2 cm J 20 cm 문제 9. 0.1 S/m 9. 두 원통의 사이에 반지름이 , 길이가 인 가상의 원통을 가정한다면 전류밀도의 크기는 J IS Am 이며 안쪽에서 바깥쪽 원통을 향하여 전류가 흐르고 있으므로, J Am . a) J E, J E V m × b) 바깥쪽 원통의 전위가 낮으므로 바깥에서 안쪽으로 E를 적분하여 전위차를 구한다. V E∙ V c) R I ∙ ln V 38 ABLE 전자기학 z P 0, y, z Q 0, d , d y 문제 10. 10. 힌트로부터 접지된 평면도체를 그림과 같이 바꾸고 와 균형을 이루어 접지된 도체의 위치에서 전위가 0이 되게 하기 위해서 이미지 전하를 그림과 같이 배치한다. 그렇다면 P 에서 전위는, Ｑ V V z a l 0,0, z d l 문제 11. 11. 반대극성의 도체를 대칭 위치에 놓자. 두 도체 사이에 위치한 점 에서의 전계강도를 선 형도선에 의한 전계강도의 식을 이용하여 구하면, Ｅ Ｅ Ｅ z z 이므로 두 원통사이의 전위차는, V Ｅ∙ z ∙ z ln ln ln ln V Chapter 05 도체와 유전체 이로부터 정전용량과 단위길이당 정전용량을 다음과 같이 구할 수 있다. × Ｌ Ｌ Ｑ Ｃ F V ln ln Ｃ ∴Ｃ′ Ｆm Ｌ ln 12. E ∇V z V m D E r E z × Cm → P e E z × Cm 13. a) 쌍극자모멘트는 p Q d이고 분극 P는 단위체적당 쌍극자모멘트의 합이므로, P NQ (N : 단위체적내의 원자 수) × × × × Cm P × b) P eE → E × → D E P E D → D E 14. ∴ 15. 예제 5-10과 동일한 과정으로, EIN DIN PIN z z z EO U T DO U T PO U T z z 39 40 ABLE 전자기학 z 1 r1 2 r 2 5 E2 E1 2 문제 16 & 17. 16. 경계조건으로부터 Ｅ Ｅ , Ｄ Ｄ 이며 그림에서 평면이 경계면이므로, Ｅ Ｅ x y z → x y E Ｄ Ｅ Ｄ Ｄ x y z → x Ｄ y z Ｄ Ｅ x y Ｅ z z 이므로, Ｄ , Ｄ , Ｅ . a) Ｅ x y z V m Ｄ Ｅ x y z Ｃm b) Ｅ ∙ Ｅ cos → z cos cos ≃ → ≃ cos c) Ｅ ∙ Ｅ cos → z sin → ≃ sin 17. Ｅ x y z V m , S × Ｃm 경계조건에서 Ｅ Ｅ x y 이며, D D ∙ n S E ∙ E ∙ → n n S → S E z S × × →E z ≃ a) E E E x y z Chapter 05 도체와 유전체 Ｅ 이 z축과 이루는 각을 이라 하면, b) Ｅ ∙ Ｅcos → cos ≃ . z x0 E2 2 E1 x 1 문제 18. 0 r 2 2.6 18. E x y z V m (5-39)에서 tan tan 이므로, tan tan . 따라서 먼저 을 구하고 그 값을 이용하여 를 구한다. Ｅ ∙ Ｅ cos x cos → ≃ cos ∴ tan tan ≃ . 19. V V a) 도체/유전체 경계조건 (5-31)로부터, S E n → E∙ S n V E ∇V V m E∙ n S E∙ S n ∙ Cm ∙ Cm (*도체/유전체 경계면에서 n 은 경계면에 수직하면서 유전체를 향하는 방향이다.) b) D D Cm ∇ ∙ 41 42 ABLE 전자기학 Q C c) 안쪽 원통위의 표면전하량 Q S S × × C 바깥쪽 원통위의 표면 전하량 Q S S × × C 원통을 포함하는 공간에 포함된 전하량 Q Q S Q S Q C V 20. V a) E ∇V x y V m D E y Cm b) 다음 2가지중 하나로 설명할 수 있다. i) 에서 으로 전위가 모두 같다. ii) 에서 E는 y성분만을 가진다. 즉, 전기장이 평면에 수직하므로 전하를 평면위에서 이 동하는데 소요되는 에너지는 0이다. 따라서 평면 은 등전위체이다. c) 평면 이 등전위면, 즉 도체이므로 정의된 공간은 도체와 진공의 경계면이며 경계조건 (5-31)로부터, S Cm E n → S E∙ E∙ n y → Q ln × C z S 500 mm2 2 mm d V + 0 r 8.5 문제 21. Chapter 05 도체와 유전체 21. S a) (5-42)에서 평판콘덴서의 정전용량은 C 이므로, × F. C × b) V V m E × D E × Cm 도체/유전체 경계면이므로, D S → Q D S × × × C W Q V × × × × J c) V E V m D E × Cm Q D S × × × C W Q V × × × × J 22. V ′ V A C 이므로 C′ C V E → E ′ E D E → D ′ D Q CV → Q ′ Q W CV → W ′ W 43 44 ABLE 전자기학 2 mm 1 2 2 4 10 mm 5 cm 문제 23. 23. 1, 2번 유전체에 의한 정전용량을 C , C 라 하면, A × C C × × A × C C × C C C × C 24. a) 구형축전기의 정전용량은 (5-44)에 의해서, C × C . b) 유전체가 진공인 콘덴서라면 이므로, C C ′ × C . 따라서 인 공간의 정전용량은 C ′이다. 전체정전용량은, C total C ′ C × C . Chapter 06 자기장 Chapter 06 45 자기장 1. a) Ａ sin z, Ａ sin ∇× sin cos sin Ａ ∇× b) Ａ cos cos z Ａ cos cos cos ∇× cos z sin sin z Ａ z ∇× c) Ａ sin sin Ａ sin r sin ∇× sin ∇× A z a C J 문제 2. 2. a) 원통형 도체를 감싸는 반지름이 a인 폐경로 를 설정한 후 암페어의 법칙을 적용하자. Ｈ∙ ∙ A 46 ABLE 전자기학 b) 자계강도에서 전류밀도를 구한 후 면적분하여 전류를 구한다. J ∇ × Ｈ Ｈ z z z Am I Ｊ∙ Ｓ z ∙ z A H 3. (6-4)에 의해서 긴 선전하에 의한 자계강도는 Am 이므로, a) × H × Am 1장의 벡터 변환표를 참조하면 sin x cos y 이고 P 에서 이므로, H × x Am . b) × H × × sin x cos y tan tan (*는 선전하와 측정점을 연결한 벡터가 축과 이루는 각도이다.) 따라서, H × x × y Am . c) H H H × x × y Am y l/2 I 0, y0 , 0 x 문제 4. l / 2 Chapter 06 자기장 47 4. 삼각형의 무게중심은 각 꼭짓점과 그 마주보는 변의 중점을 이은 세 개의 선분이 만나는 점이다. 정삼각형을 그림과 같이 배치하고 중심점 P 에서 z축에 놓인 도선에 의한 H를 먼저 구하자(대칭구조이므로 한 변에 의한 자계강도 H를 구하면 전체 자기장의 세 기를 구할 수 있을 것이다.) 식 (6-3)에 를 대입하면, H . 정삼각형이므로 꼭짓점에서 대변의 중점에 그은 선분은 각을 이등분한다. 따라서, tan → tan . 를 대입하면, H . 각 변에 의한 자계강도는 중심점에서 동일한 방향과 크기로 형성되므로 전체 자기장의 세기 는, H H → H Am . z a I R dl I b 문제 5. 5. a) 원형루프를 잘게 나누면 각 미소선전하에 의한 자계강도는 비오-사바르의 법칙으로부터, l × R × z 이므로, H H H z z Am . b) 중앙에서 자계강도는 사각형 한 변에 의한 값의 4배가 될 것이다. 한 변에 의한 자계강도 는 식 (6-3)에 를 대입하면, 48 ABLE 전자기학 H × H H 그림의 원점에서 사각루프에 의해서 형성되는 자기장의 성분은 z 방향이므로, Ｈ z Am . c) H H H z z → m y R C 2 Q C1 I C 3 x P 1 2 C1 C2 문제 6. C3 6. 암페어의 법칙으로 H 를 구하자. a) 축을 중심으로 하고 점 P를 통과하는 원형 폐경로 C을 설정하고 암페어의 법칙을 적용 한다. 도체는 모두 축 대칭의 형태이므로 각 도체에 의해서 발생하는 자계강도의 합은 성분만 존재할 것이다. 따라서, C H∙ C C C × × × Am × HP × Am b) 마찬가지 방법을 이용하면, Chapter 06 자기장 C 49 C × × × × Am × HQ Am c) C C × × × × Am × HR × Am 7. 비오-사바르의 법칙으로부터, Ｈ × Ｒ 이며 축상의 미소도선에서 측정점을 잇는 R은 과 평행하므로 자계강도는 0이다. 따라서 축상에 놓인 도선에 의해서만 자계 강도가 형성되고 ∞ ∞ 구간에 걸친 도선에 의한 측정점에서의 자계강도는, Ｈ x , 이므로 ∞ 구간에 의한 자계강도는 그 절반인 H x 이다. 따라서, Ｂ Ｈ x T. y I R x a O 문제 8. 8. 도선의 직선 부위는 l 과 R 이 평행하므로 원점에 자기장을 발생시키지 못한다. 곡선구간 에 의한 자계강도는, Ｈ × Ｒ z Am × Ｒ 50 ABLE 전자기학 I2 I1 P 4 A 2 A 1 m 문제 9. 3 m Ｂ 이며 점 P에서 9. 무한히 긴 직선 도체에 의한 자속밀도는 이므로 왼쪽, 오른쪽 도체에 의한 자속밀도를 더하여, Ｂ Ｂ Ｂ T. I 2 A B0 2 m 문제 10. 10. 직선도체 주변의 자속밀도는, Ｂ T. 원형루프의 중심에서는 자속밀도의 크기가 이고 지면을 뚫고 들어가는 방향이므로 이를 보충하기 위해서 반시계 방향의 전류가 흘러야 한다. 예제 6-2에서 원형루프에 의한 자계강도 의 크기는 루프의 중심축을 따라서, 이었으므로 에서, → T. 원의 중심에서 직선도체와 원형루프에 의한 자속밀도의 크기가 동일해야 하므로, → A . Chapter 06 자기장 51 문제 11. 11. (6-11)로부터 무한히 큰 평면도체에 의한 자계강도는 Ｈ K × n 이므로, 1번 도체의 좌우로 다음과 같은 자계강도가 형성된다. Ｈ z × x y Ｈ z × x y 마찬가지로 2번 도체의 좌우로, Ｈ z × x y Ｈ z × x y. 따라서, ⅰ) Ｈ Ｈ Ｈ ⅱ) Ｈ Ｈ Ｈ y Am ⅲ) Ｈ Ｈ Ｈ z Q x y J P d D 문제 12. w 12. a) 전류의 방향이 x 이므로 자기장은 반시계 방향으로 형성되며 ± z 방향성분은 상쇄되어 ± y 방향성분만 존재한다. 가상의 사각 루프를 설정하고 암페어의 법칙을 적용하면, H in ∙ i n → i n . 따라서 P 점에서 자계강도는, Hin P y Am . 52 ABLE 전자기학 b) 동일한 방법을 적용하여, H ou t ∙ ou t → ou t . 따라서 Q 점에서 자계강도는, Hou t Q y Am . ẑ a in B J zˆ A/m2 문제 13. 13. a) ≤ ≤ 원통 내부에 반지름이 in 인 가상의 원형루프를 둔다면 이 루프를 통과하는 전류는, z ∙ z in Ｊ ∙ Ｓ in 이며 원통형 도체를 선형도체의 중첩으로 생각하면 자기장은 방향으로 형성될 것이다. 가우스의 법칙으로부터, Ｈ ∙ ∙ ∈ → ∈ ∈ → Ｈ Am → b) 원통의 바깥쪽에 반지름이 인 가상의 원형루프를 두면, z ∙ z , Ｈ ∙ ∙ 이므로 Chapter 06 자기장 → z 1.2 53 Ｈ Am . → ẑ 1 J 2 10 xˆ z z 0.5 z 0.03 x 0 J1 10 xˆ y 10 cm 문제 14. z 0.2 14. 문제 12의 결과를 이용하여 풀어보자. a) m 는 도체 외부의 하단에 있으므로 각 도체의 전류에 의한 자계강도는, × H y y y, × H y y y, 따라서, H H H Am . b) m 는 도체 1 내부의 상부이므로 y 이다. H 의 방향은 H H H y y y y Am c) m 는 두 도체 사이의 공간으로 각 도체에 의해서 발생한 자계강도가 같은 방향이 므로, H H H × y y Am . d) m 에서는, H H H y y Am . 54 ABLE 전자기학 100 mA 2 2 107 1 10 7 2 mm 3 mm 문제 15. 15. a) mm mm mm × × → × × × V m × × b) 원통형 도체에 의한 성분만 존재한다. 따라서 구간안에 반지름 인 원형 폐경로를 H는 설정하고 H 를 이용하여 암페어의 법칙을 적용하면, H∙ c) H∙ → → Am . × × × × × × × × × × × × Am d) H∙ × → Am 16. a) J ∇ × H z × z Am V m 이고, 이므로, Chapter 06 자기장 × × Sm . b) 도체내부를 흐르는 전류는, J∙ S × × mA k × 17. H Am a) J ∇ × H z z z Am b) c) J∙ S z ∙ z H∙ ∙ A A 18. a) × Am J × z Am b) 도체 내부에 반지름이 인 원형 폐경로를 설정하고 암페어의 법칙을 적용하면, H∙ H → → × Am B H × × T c) H ∇× z × z × J z H → Am d) H∙ e) H J (도체외부의 전류밀도) ∇× z 55 56 ABLE 전자기학 y x2 y2 1 1 C x 문제 19. 1 19. Ａ ∙ x y ∙ x y z ⅰ) 축상의 구간에서는 이므로 Ａ ∙ ⅱ) 축상의 구간에서는 이므로 Ａ ∙ ⅲ) 곡선구간 에서는, → Ａ∙ C C sin Ａ x y z z, ∇× Ｓ z , → Ａ ∙ Ｓ z ∙ z ∇ × S ∴ S Ａ∙ ∇ × Ａ ∙ Ｓ S 20. A x y Wbm a) A ∇∙ b) P 에서, × S Chapter 06 자기장 AP x y x y Wbm x y z B ∇ × A x y z BP x y z x y z T c) HP B x y z × x y z Am P × J ∇ × H ∇ × B 21. A z Wbm a) B ∇ × A T H B Am b) J ∇ × H z z z Am c) S d) z ∙ z A J∙ S H∙ A ∙ 57 58 ABLE 전자기학 Chapter 07 자기력과 자성체 1. 균일한 자기장에서 선형도선이 겪는 자기력은, x z . Ｆ Ｂ Ｂ L × y× 자속밀도가 Ｂ x y z 이라면, x z y × x y z → z z x x → Ｂ x z T. 2. Ｆ Ｌ × Ｂ z × x y x y N . y z r v 0 450 xˆ km/s x B 85.3 zˆ μT 문제 3. 3. 전자가 받는 자기력은 Ｆm v × Ｂ y 이므로 전자는 반시계 방향으로 회전하 다가 자기장을 벗어난다. 원심력과 자기력이 균형을 이루어야 하므로, → ≃ . 따라서 탈출점의 좌표는, . 4. 전하는 기준점을 1초에 번 통과하므로 전류는, Q Cs. 따라서 자기모멘트는, Chapter 07 자기력과 자성체 59 × m S n QS n × × n × n A·m Ｔ m × Ｂ 이므로 최대토크는, Ｔ m ax Ｂ × × × N ․ m . 5. 구심력은, × × × × N Ｆ 이므로, 6. × Ｆ v × Ｂ y × x y × z ms . × z B 2x xˆ 4 y yˆ 15z zˆ 2 5 y 1 x 10 A 3 문제 7. 7. A 에서 B x y 이므로, F × B C x × x y y× x y x× x y y × x y z z z z z z z z z N 60 ABLE 전자기학 z y ④ 10 A ① ③ 5 A 2 m ② 1 m 문제 8. 2 m 8. 무한히 긴 도선에 의한 자속밀도는 Ｂ 이므로, Ｆ Ｌ × Ｂ z × , Ｆ z × . 경로 2, 4는 서로 크기는 같고 부호가 다른 적분값을 낼 것이므로 결국 전체루프에 가해지는 총자기력은, Ｆ Ｆ Ｆ N . 현재 사각루프의 위치에서 Ｆ y이므로 y N 으로 쓸 수도 있다. z y 5 A K 10 zˆ A/m y dy 1 m 문제 9. 2 m 9. a) 평판도체를 매우 작은 폭 를 가지는 선형도체의 합으로 나누자. K의 단위는 Am 이므 로 폭이 인 선형도체에 흐르는 전류의 크기는 이며 그에 의한 축에서의 자계 강도 H는, H x. 따라서 전체 평판도체에 의한 H는, Chapter 07 자기력과 자성체 H x ln x x Am . b) B H × x T 이므로 단위길이당 자기력은 m 의 길이만을 적분하여, F′ × B z × × x × y Nm . c) (7-10b)에 의해서 평면도체에 가해지는 자기력은, F K× B S . S 평판도체의 위치에서 선형도체에 의한 자속밀도는 B x 이므로, F′ x ln y z × × y Nm z 1 x 1 I1 R1 R̂ 2 y 1 R2 I3 R̂1 문제 10. I2 10. 전류 이 도선이 위치한 곳에 형성하는 자계강도는 R R 가 서로 수직하므로, Ｂ R . 이 자기장에 의해서 도선이 받는 단위길이당 자기력 ′은, Ｆ ′ Ｂ Ｌ× x × R Ｒ 같은 방법으로, Ｂ R , 61 62 ABLE 전자기학 Ｆ′ x × R Ｒ . 따라서 도선에 가해지는 단위길이당 총자기력은, × R Ｆ′ Ｒ Ｒ R . y 성분은 서로 상쇄되고 z 성분은 더해질 것이므로, R R 에서 × F′ cos z × z Nm . z 5A S=0.1 m 2 x y 문제 11. N=3 o 45 11. 토크는 Ｔ m × Ｂ a) m S n n cos y sin x y x A · m Ｔ Ｂ ∴ m × y x × y z N·m b) Ｔ z 이므로 z 방향을 엄지로 가르킬 때 네 손가락을 감아 쥔 방향으로 회전 한다. ( 축 위에서 볼 때 시계방향) I 2 10 A I1 5 A z x y 문제 12. Chapter 07 자기력과 자성체 63 12. a) 매우 긴 도선에 의한 자속밀도는 B 이므로, 짧은 도선에서의 자속밀도는 B y T. b) B가 L을 따라 균일하지 않으므로 F L× B 을 사용할 수 없다. 하지만 L을 매우 잘게 분할하면 각 미소도선에 가해지는 자기력은, F L× B x× y z. 이 미소도선이 얻는 토크는, T d× F x× z y. 따라서 전체 도선이 얻는 토크는, T y y × y N․m . c) 원점을 중심으로 회전한다면 과 도선위의 점 를 잇는 벡터는 d x z 이 므로, z T x z × y. 앞서 b)의 경우와 동일하므로 전체 도선이 얻는 토크 또한 동일하여, T × y N․m . d) 이 중심이라면 d x z 이므로, T x z × z y. 따라서, T y y ln y × y N․m 64 ABLE 전자기학 z K2 300zˆ K1 200yˆ 2 x ① 10 A ② 3 y 5 ④ 1 ③ 문제 13. 13. a) (6-11)로부터 무한히 큰 평면도체에 의한 자계강도는, H K × n 이다. 따라서 사각루프 의 위치에서 각 평면도체에 의한 자속밀도는, B H y × z x B H z × y x 이므로 총자속밀도는, B B B x T. b) B x 이므로 ①,③번 구간은 자속밀도와 평행하여 자기력을 발생시키지 않는다. F F N F L× B y × x z N F y × x z N c) (7-19) 에 의해서 루프에 가해지는 토크는, T m× B B n× z × x y N․m z m? r e 14. 문제 14. Chapter 07 자기력과 자성체 65 a) m n n z 이므로, m z z A ․ m . b) 전자의 회전에 의한 원심력 : 전자와 원자핵 사이의 전기력 : → rads. c) T m× B z × x y N․m 15. 전자가 궤도를 한바퀴 도는데 걸리는 시간 , 전류는 이므로 자기 모멘트의 크기는, m · × × × × × × A · m 16. B z T a) b) × Hm c) B z × B H → H z Am × d) M H × × z × z Am e) x J ∇ × H y z × x × x Am × 66 ABLE 전자기학 17. (7-20)에서 M lim m 이므로 이라 하면, → M m × × y y Am M y M H H → H y Am 18. a) 도선에 의한 자계강도는 H H 이므로 모든 공간에서 Am . b) B H H 이므로, ⅰ) × B H T ⅱ) 나머지 구간 × B H T z B1 2xˆ 3ˆz 0 B2 ? 19. r 2000 문제 19. Ｂ x z Ｂ Ｂ → Ｂ Ｂ Ｈ Ｈ → Ｈ Ｈ Ｈ Ｈ B Ｈ x Ｈ y Ｂ z → x z x z T 20. (6-12)에 의해서 솔레노이드 내부의 자속밀도는 이다. ＢＳ Chapter 07 자기력과 자성체 67 → → Ｉ 이므로, × × ≃ × Ｈ 문제 21. 21. 토로이드 코일의 중심을 따라 반지름이 인 폐경로를 설정한 후 암페어 법칙을 적용하자. H∙ → 토로이드를 관통하는 자속은, B∙ S ln 인덕턴스는, × ln H . 22. 이므로 안쪽 1번 코일 내부의 자속밀도는, → × . 2번 코일을 통과하는 자속은 위와 동일하므로, Ｍ × × × Ｈ . 23. 예제 (7-16)으로부터 동축케이블의 단위길이당 인덕턴스는 ′ ln 이므로, 68 ABLE 전자기학 × × × × Ｈm . ′ ln I a 문제 24. 24. 도선 내부의 반지름이 인 폐경로를 설정하고 암페어의 법칙을 적용하면, H∙ Am . → 단위길이의 부피 에 저장된 자기에너지는, ′ Jm 25. 예제 7-19로부터 동축케이블에 저장된 자기에너지는, × ln × Ｊ . Chapter 08 시변장 Chapter 08 69 시변장 1. 패러데이 법칙에 의해서, Ｂ∙ Ｓ × V ∴ 출력단자 사이에는 V 의 기전력이 유도됨 B B cos t zˆ r ẑ R 문제 8-2. 2. 유도전기장을 ± 방향 E 라 하자. 유도전기장은 자속밀도의 변화율 의 극성에 따라 으로 형성되며 패러데이 법칙에 의해서, Ｅ ∙ , Ｂ ∙ Ｓ . ⅰ) Ｒ 인 경우, Ｅ ∙ × sin → × sin sin V m ⅱ) Ｒ 인 경우, × sin × sin sin V m 70 ABLE 전자기학 S 200 cm2 C B 5 103 Wb/m 2 문제 3. 3. a) 원래 자속은 Ｂ∙ Ｓ 이므로, × Wbm × m Wb. 줄어든 후의 자속은, × Wb. 패러데이 법칙에 의해서, × × V . b) 지면을 뚫고 들어가는 방향의 자속밀도가 감소하였으므로 유도전류는 그 방향의 자속밀도 를 보충하는 방향, 즉 시계방향으로 형성된다. c) mA 의 평균전류가 s 동안 시계방향으로 흘렀음. ∆ ∆ × × × Ｃ B 1 m z y x 50 문제 4. 4. a) B∙ S cos x∙ x cos Wb sin sin V sin sin A Chapter 08 시변장 71 b) 두 가지 방법으로 전류의 방향을 설명하자. ⅰ) 의 구간에서 자속밀도 B는 감소한다. 따라서 이를 보충하고자 전류가 반시 계 방향으로 흘러야 한다. 방향을 ⅱ) 앞서 의 계산에서 S의 x로 설정하였다. 이는 루프의 방향을 반시계 방향으로 설정하였기 때문이며 따라서 저항의 왼쪽이 +, 오른쪽이 -단자이다. 에서 이므로 전류는 +단자에서 -단자를 향하여, 즉 반시계 방향으로 흐른다. z i t 1.5 5 0.5 x y 1 2 문제 5. 5. Ｂ x, 루프를 통과하는 자속은, a) 루프에서 직선도체에 의한 자속밀도는, Ｓ이다. 루프의 방향을 반시계방향으로 설정하여, 미소면적이 S x라면, B∙ x ∙ x × cos × × ln cos × × Wb × × × sin × ≃ sin × mV b) sin × × sin × mＡ 전류는 사인함수로 진동하지만 초기에는 음수값이므로, -에서 +단자를 향하는 시계방향으로 72 ABLE 전자기학 흐른다. 또 다른 방법은, 직선도체의 전류가 코사인 함수여서 처음 반주기동안 루프를 통과하 는 자속이 감소하므로 이를 보충하기 위해서 시계방향의 유도전류가 발생한다고 생각할 수 있 다. z I 10 A v 5yˆ m/s 1.5 5 0.5 y x yo yo 1 문제 6. 6. 직선도체에 의해서 생성된 자속밀도는 루프가 놓인 평면에서, × × Ｂ x x. 이동하는 루프가 자기력선을 잘라서 유도되는 운동전기장은, v로 × Ｅ Ｂ v× y × x z. 루프의 방향을 반시계방향으로 설정하면 기전력은, Ｅ ∙ z ∙ z z ∙ z V 자기력선을 자르지 않는 구간은 적분에 포함하지 않았다. 따라서 전류는, × Ａ . 이므로, Ａ 의 전류가 - 에서 +단자를 향하는, 즉 시계방향으로 흐른다. Chapter 08 시변장 73 z v y B 0.5 x 문제 7. 7. 막대도체의 운동에 의해서 유도되는 운동전기장은, Ｅ Ｂ sin v× z × y sin x Ｖm . 막대가 위아래로 진동하므로 운동기전력의 방향도 주기적으로 변하지만 운동의 초기( )에 는 막대가 z 방향으로 이동하여 전자는 x 방향으로 이동하므로 위치의 전위가 낮 다. 따라서, Ｂ ∙ v× sin x ∙ x sin sin Ｖ B z V v y x 문제 8. 0 8. 3개의 막대도체와 전압계가 이루는 루프의 면적이 시간에 따라 변화한다. 루프를 통과하는 자속은, B∙ S Wb V 따라서 s에서 기전력은, V . 74 ABLE 전자기학 z B 0.80e0.50 y zˆ T 0.5 1 m v x y 0.6 문제 9. R 5 9. 루프의 방향을 반시계방향으로 설정하여 저항의 왼쪽을 +단자, 오른쪽을 -단자로 정한다. 두 단자 사이의 기전력은, Ｅ ∙ Ｂ ∙ v× v× Ｂ y× z x × x ∙ x × x∙ x V 따라서, Ａ 의 전류가 에서 단자의 방향으로(시계방향) 흐른다. B 0.8zˆ 0.6 m x 문제 10. n̂ 10. 루프에 수직한 방향벡터 n과 z 의 사이각을 라 하자. rads 의 각속도로 회전하 므로 이다. 따라서 루프를 통과하는 자속은, Ｂ∙ Ｓ z ∙ n cos cos cos Wb Chapter 08 시변장 75 이며 유도기전력은, sin sin Ｖ . 11. 식 (8-30) 으로부터 이다. 따라서, Ｊ ∙ Ｓ sin × × ｃ × × × × mＡ 12. 8-6-4절에서 콘덴서에 흐르는 변위전류는, sin. 문제에서 m , m , , × 이므로, × × sin × sin × × Ａ 13. × E × cos cos Am a) J b) 도체사이에 반지름이 인 가상의 원통을 설정하고 통과하는 전류를 계산한다. J∙ S ∙ cos A cos c) 먼저 (8-28)에서 변위전류의 전류밀도 J 를 구하자 J D E × sin sin Am 와 동일한 방법으로, J ∙ S sin sin A . d) J J 76 ABLE 전자기학 J × . (8-30)에서 × J r 5 E + V 문제 14. 10 cm 14. 5-6-1절에서 동축케이블 내부의 전기장과 전위차를 각각 다음과 같이 구하였다. Ｅ ln 두 식에서 다음 관계를 얻는다. sin Ｅ ln ln sin Ｖm Ｄ Ｅ Ｅ × sin sin nCm 반지름이 인 가상의 원통표면 S에서 는 균일하므로, Ｄ Ｄ Ｊ ∙ Ｓ ∙ Ｓ ∙ Ｓ × × cos ∙ cos Ａ 15. × sin × V m 이므로, × sin × Am Cm → × × × cos × cos × Am Chapter 08 시변장 16. 이라면, ∇ ∙ D ∇ ∙ E ∇ ∙ E E∙ ∇ . 이 식을 로 나누면, ∇ E E∙ , ∇∙ 이고 ∇ 이면, E . ∇∙ 77 78 ABLE 전자기학 Chapter 09 평면파 1. Ｅ sin y (9-65)에 의해서 자기장의 진동방향은 k× Ｅ z× y x 이고, 그 크기는 이므로 자기장의 순시치는, Ｈ sin x. 2. 좋은도체이므로 (9-50)에 의해서, , 은의 비투자율은 ≃ 이므로, → ≃ × Hz × × 3. a) × × × × m b) c) (9-52)에 의해서, × ms . × × Chapter 09 평면파 진공 바다물 0 61.7 107 (S/m) 79 z E 문제 4. z 0 4. 바닷물의 표면에서 전기장의 식이 Ｅ sin y이다. 진행방향이 z 이고, 좋은도체 인 바닷물에서는 전기장의 세기가 감쇠할 것이므로 표면에서 만큼 진행한 위치에서 전기장의 식은, Ｅ sin y. 좋은도체에서, × × × ≃ × × × × 이므로, Ｅ × sin × × y V m Ｈ sin z× y × sin × × x Am × 5. Ｈ cos × z mAm a) y 방향 b) × ms c) m d) × → e) (9-66)으로부터, Ｅr k × Ｈ r ≃ Ω ≃ 80 ABLE 전자기학 Ｈ r z Am Ｅr y × z x V m f) cos × Ｅ Ｅr x V m 6. y 방향으로 진행하고 초기위상( 일 때의 위상)이 0이므로 전기장의 식은, Ｅ cos × x V m . 파수 는, × radm × 이므로, Ｅ cos × x V m . 이므로, Ｈr k × Ｅr (9-65)에서 Ｈ cos × t y → y× x → Ｈ cos × z Am 7. Ｅ y V m a) m b) × × Hz c) d) Ｈ k × Ｅ × × → ≃ Ω Ｈ z × y × x Ｈ cos × × x mAm Chapter 09 평면파 8. Ｅ sin × y cos × z 81 V m 위 식은 위상이 o 차이나고 진동방향이 서로 수직인 두 전기장이 중첩되어 형성된 전기장이 다. a) 이므로, m b) × × ms × 이므로 → × c) Ｈ k × Ｅ Ω H x × sin × y cos × z sin × z cos × y Am 9. → 10. Ｅ cos × y V m a) × → × Hz b) × × ms c) × × m × d) radm × e) Ω → 82 f) ABLE 전자기학 Ｈ k × Ｅ z × cos × y cos × x mAm 11. ′′ × ≪ → 저손실 부도체 a) ′ × × × × × Npm × × × × radm × m × × ms × Ω × ″ ≃ ≫ → 좋은 도체 b) ′ × × × Npm ≃ m × ms × × Ω ″ 12. ′ × × × ″ 이므로 공식 (9-45)를 사용하여 고유임피던스를 구하자. ′ Chapter 09 평면파 ′ ″ tan × × Ｈ k× Ｅ 이므로 H의 위상은 E에 비해서 만큼 뒤진다. ″ × 13. ≃ × ≪ ′ × × × 저손실 부도체이므로, × × × Npm → ln ln m × → 14. 좋은도체에서 . × × × × × × ms 15. E cos × z V m 위 식에서 × rads 인 것을 알 수 있다. Ｈ k × Ｅ 이므로 먼저 를 구하자. ′ ″ (9-42)로부터, ′ ″ ′ ″′ 83 84 ABLE 전자기학 ′ × → × ″ × × × → ″ × × × 따라서, × × × Н r x× E r x × z y cos × Н → Ｈr y Am 16. Ｈ r x z Am → × . ′ → ′ × ″ → ″ × × ″ ′ × Ｅ r y × x z z x z x Ｅr Ｅ r × cos x cos z V m cos Ｈr Ｈ r x sin z Am Chapter 09 평면파 17. Ｈ sin × x Am Ｅ Ｈ sin × y× y× x sin × z E Ｓ z × x y × y Wm 18. 무손실, 비자성체이므로 평균파워밀도의 크기는, → Ω → × × ms. 19. 좌원형 편광은 x y 편광 성분의 크기가 같고 이므로, Ｅ cos x cos y V m , radm × × × × rads × Ｅ cos × x sin × y V m . → 20. Ｅ r x y Ｅ → Ｅ r x y cos x cos y x y 편광성분의 크기가 같고 이므로 우원형편광이다. 85 86 ABLE 전자기학 Chapter 10 전자기파의 투과와 반사 1. 공기가 매질 1, 비자성체가 매질 2라 하면, a) Ω 반사계수 투과계수 b) 정재파비 c) Ｗm × × Wm × × Wm 2. a) 매질 1 에서의 전기장, 자기장은, Ｅ Ｅ Ｅ Ｈ Ｈ Ｈ , 이므로 전기장과 자기장의 입사파, 반사파의 식을 구하여 더하면 된다. 먼저 매질 1에서의 파수를 구하여 입사파 자기장의 식을 구하자. × × ms → radm Ｈ cos × x Am → 이므로 전기장 입사파의 식은 다음과 같다. Ｅ Ｈ k× z × cos × x cos × y V m 반사파를 구하기 위하여 먼저 반사계수를 구하자. Chapter 10 전자기파의 투과와 반사 87 Ｅ E cos × y V m Ｈ H cos × x Am 따라서 입사파와 반사파를 더한 매질 1에서의 전기장과 자기장의 식은, Ｅ Ｅ Ｅ cos × y cos × y V m Ｈ Ｈ Ｈ cos × x cos × x Am b) 매질 2에서 전기장, 자기장은 Ｅ Ｅ Ｈ Ｈ 이다. 이며, × radm . 따라서, Ｅ Ｅ cos × y cos × y V m Ｈ Ｈ cos × x cos × x Am 3. ″ a) ≪ 이므로 저손실부도체임을 가정하여 (9-49)로부터, ′ ≃ ≃ . × b) c) (9-47)로부터, ″ × ≃ ′ × × Npm d) 반사계수가 이므로 파워의 반사율은 이다. 따라서 표면에서 투과되 88 ABLE 전자기학 는 파워밀도는, Wm . e) 매질 2에서 시간평균된 파워밀도는 이므로, ln → m . 4. 이상적도체에서 반사되어 형성되는 정재파는 도체표면에서 크기가 0이고 입사파의 반주기 마다 0의 크기를 갖는다. 따라서, × m → m → × Hz . 최소주파수는 인 경우에, m in × Hz . 5. 입사파 : y, 반사파 : y a) × × → ≃ × Hz b) 미지매질의 고유임피던스는 반사계수에서 구해보자. cos sin (10-7a) 에 의해서, → c) (10-19a)에 따르면 경계면에 가장 가까운 최대값의 위치는, m ax cm × 6. 초기파워 P i 가 손실매질에서 거리 을 진행한 후의 파워는 P P i . P 가 반사계수 로 반사된 후에 P P , P 가 다시 거리 을 진행한 후에 최종파워는 P P 이므로, P f P i → Pf × . Pi Chapter 10 전자기파의 투과와 반사 7. a) 반사되는 파워는 에 비례하므로 먼저 반사계수 을 구하자. 두 매질 모두 이므로, 이고 (10-27)의 관계를 이용하면, . 따라서 반사되는 파워는 입사파 파워의 배이다. b) 매질 1에서 정재파 비는 (10-20)에 따라, . 8. 매질 2가 진공이므로, a) 반사계수 는 다음 조건을 만족한다. → b) 반사파의 파워밀도는 에 비례하므로, S → ≃ . S c) (10-20)으로부터, Em ax → . E m in → . 9. 으로부터, . 89 90 ABLE 전자기학 (10-19b)로부터, m in → . 따라서, . (10-7a)에서, → . ″ ≫ 10. ′ × × → 좋은도체. (9-50), (9-51)을 이용하여, a) × ≃ → 반사되는 파워의 비율은, 이므로 99%가 반사된다. b) 의 식에서 주파수가 증가하면 가 감소할 것이므로 더 많은 파워가 투과된다. 11. a) (10-11a)에서, → ≃ 즉, 5% 파워가 반사되고 95%가 투과된다. b) 이므로 우원형편광을 이루는 두 선형편광성분 반사파의 위상은 만큼 변이된다. 위상 이 동일하게 변화하지만 파의 이동방향이 반대이므로 위상차 의 부호가 반대가 되어 반 사파는 의 좌원형편광이 된다. 투과파는 위상의 변이과정이 없으므로 계속 우원형 편광을 유지한다. Chapter 10 전자기파의 투과와 반사 진공 91 x r 2 Ei z y 문제 12. z0 12. a) Ｅ r y V m 이므로 입사파의 진행방향은 x z 성분의 조합이다. 축이 경 계면에 수직한 선이므로 입사면은 평면에 평행한데, Ｅ 의 진동방향이 y이므로 결국 Ｅ 는 수직편광이다. b) (10-31a)로부터, sin cos → sin cos → tan → Ω c) Ω 스넬의 법칙 (10-24b)에서, sin sin sin → sin sin (10-39)에서, cos cos × cos × cos ⊥ × cos × cos cos cos ⊥ ⊥ d) (10-31b), (10-32b)로부터 반사파 전기장과 자기장의 페이저는, sin cos Ｅ ⊥ r y ⊥ ⊥ sin cos cos Ｈ ⊥ r x sin z 92 ABLE 전자기학 위 식에서 이므로, ⊥ Ｅ ⊥ r y y V m cos Ｈ ⊥ r x sin z Am 순시치를 구하기 위해서는 주파수를 알아야 하므로, → sin cos sin cos → 공기중에서 전자기파의 속도가 라고 한다면, → × × × rads 따라서, cos × Ｅ⊥ r Ｅ ⊥ r y V m cos × Ｈ⊥ r x z mAm e) 투과파 전기장과 자기장의 페이저는 (10-31c), (10-32c)로부터, sin cos Ｅ ⊥ r y V m ⊥ ⊥ sin cos cos Ｈ ⊥ r x sin z Am 이므로 먼저 를 구하자. × radm 스넬의 법칙에서, sin sin sin cos → sin cos Chapter 10 전자기파의 투과와 반사 93 Ｅ ⊥ r y y V m ⊥ cos Ｈ ⊥ r x sin z x z mAm 13. 입사각 Ｂ 이며 Ｂ 는 (10-46)에서, Ｂ tan tan . (10-25)에서 굴절률 이므로 스넬의 법칙으로부터, sin sin sin sin sin → sin 14. (10-46)에 의해서, tan tan ≃ . a) 이므로 Snell의 법칙으로부터. sin sin → sin sin → sin sin ≃ b) (10-39a)에서 수직편광의 반사계수는, cos cos cos cos ⊥ cos cos cos cos ≃ . ⊥ ≃ 이므로 약 18.4%의 파워가 반사되며 81.6% 파워가 투과된다. c) (10-44a)를 이용하여 수평편광의 반사계수를 구하면, ∥ 이다. 물론 브루스터각으로 입 사하면 수직편광만 반사하므로 당연한 결과이다. 따라서 수평편광의 파워는 100% 투과된 다. d) 우원형편광은 수직, 수평편광의 크기가 같으므로 수직편광 파워의 18.4%가 반사되는 것은 전체파워를 기준으로 할 때 가 반사되는 것을 뜻한다. 따라서 전체적으로 의 파워가 투과된다. 94 ABLE 전자기학 e) 수직편광만 반사하므로 반사파는 선형편광이다. 투과파는 수직편광의 크기가 줄어들어 수 직, 수평편광의 크기가 같지 않고 위상차는 동일하게 로 유지되어 sin 이므로 시계방향으로 회전하는 타원형편광이 된다. x (m) 5 (m) l c 문제 15. 15. (10-28)에서 임계각 sin ≃ cos → m cos sin ≃ m 16. a) 굴절률을 이용한 반사, 투과계수의 식 (10-41)을 이용해서, sin cos cos sin ⊥ cos cos sin sin b) ⊥ ⊥ c) 입사면이 평면이므로 수직편광 전기장은 y방향으로 진동한다. (10-31c)로부터, sin cos Ｅ ⊥ r y V m ⊥ × × × × 스넬의 법칙으로부터, sin sin sin sin ≃ ⊥ ⊥ × 따라서 수직편광 전기장의 페이저는, Chapter 10 전자기파의 투과와 반사 × Ｅ ⊥ r y V m 이고 순시치는, Ｅ⊥ cos × × × y V m . d) (10-40)에서, 이므로 → Ω (10-32c)로부터, ⊥ sin cos cos Ｈ ⊥ r x sin z 이므로 × sin cos cos → Ｈ ⊥ r x sin z × × × x z Ｈ⊥ × cos × × × x z Am 17. a) (10-45), (10-40)을 이용하면, ∥ sin cos cos sin cos sin cos sin Ｒ ∥ ∥ × ∥ Ｒ ∥ b) Ｅ ∥ ∥ cos × cos W × ∥ Ｒ ∥ ∥ × × × W ∥ ∥ ∥ × W 95 96 ABLE 전자기학 Chapter 11 전송선 1. 전송선의 길이가 파장의 1%보다 작아야 등전위체 가정을 사용할 수 있다고 했다. × m , 이므로, cm 즉, 최대길이는 cm 이다. 2. a) (11-13)에서 ≃ ′ 이고 (11-19)에서 이므로, ′ ′ ′ ′ ≃ × Hm . × b) ≃ × Fm ′ × c) 부하임피던스는 ∠ ∠ d) 3. a) Ω 이므로 tan tan b) c) (11-26a)로부터 전압의 최대값 발생위치는 m ax 이므로 m ax . Chapter 11 전송선 는 반사계수 의 위상각이므로, × ≃ rad → m ax ⋯ 을 대입 하면 경계면에 가장 가까운 최대값의 위치를 얻는다. m ax ≃ m d) 최대전류의 위치는 (11-26b)로부터, m ax m ax 전류의 최대값이 부하 의 좌측, 즉 m ax 이어야 한다. 이기 위해서는 ≥ 이어야 하므로, 을 대입하면 m ax × m 4. 인접한 최대값, 최소값의 거리는 이다. 따라서, cm → cm 첫 번째 최소값이 m in cm 이므로 (11-26b)에서, m in → . 첫 번재 최소값이므로 을 대입하면, . → → (11-22)로부터, 5. → Ω . 순수저항 부하이므로 의 위상 , 또는 이다. (11-22)로부터, 97 98 ABLE 전자기학 Ｒ ⅰ) 일 때, Ｒ Ω ⅱ) 일 때, Ｒ Ω 6. 이므로, × × radm × (11-29)로부터, tan tan tan × tan × Ω 7. a) b) c) tan tan tan × tan × Ω 8. a) Chapter 11 전송선 b) × radm × tan tan tan × tan × Ω c) 전원전압을 페이저로 표현하면, V V . 이로부터 입력전압과 전류의 페이저를 다음과 같이 얻는다. V V ≃ V V I A 9. a) 의 식에서 이므로, → × × rads b) cos cos A c) ≃ d) V V · cos V 99 100 e) ABLE 전자기학 V V V 10. V × × radm × × Ω 이므로 단락전송선이 인덕터로 작용해야 한다. 따라서 전송선의 최소길 이는 (11-34)로부터, m in tan tan m 의 단위가 mrad이므로 tan 의 결과를 rad으로 계산해야 함을 주의하라. 11. (11-32)에서 tan 이다. × radm × a) m → m tan b) m → m tan ∞ c) m → m tan 12. a) 전송선의 길이가 이므로 변환기의 입력임피던스 식 (11-39)를 사용할 수 있다. 즉, 전송선의 입력임피던스는 이므로 전압원의 임피던스를 고려한 전체 특성임피 던스는, . Chapter 11 전송선 101 따라서, . b) 2번 문제에서 풀었던 것과 같이 ′ 이므로, ′ ′ × Fm ′ × ms 이므로 ′ ′ × × m 전송선의 길이는 m . 13. 전송선의 길이가 이므로 변환기의 입력임피던스의 식 (11-39)를 사용하자. Ω Ω 부하가 연결된 Ω 전송선을 Ω 변환기의 부하로 생각하여 위 식을 다시 한 번 적용하면, Ω .