BAB 6: PREMI MANFAAT
Pendahuluan, Future Loss Random Variable, dan
Prinsip Ekuivalensi
Program Studi S1 Ilmu Aktuaria
Departemen Matematika
Universitas Indonesia
PTA 2021/2022
Sindy Devila, M.Si. (Universitas Indonesia)
SCAK603013-KONTINGENSI JIWA 2
2021
1 / 35
Premi Manfaat
Pendahuluan
Asuransi
Polis asuransi merupakan perjanjian keuangan (financial agreement)
antara pemegang polis (tertanggung) dan perusahaan asuransi
(penanggung), dimana:
Risiko dipindahkan (dialihkan) dari pemegang polis ke perusahaan
asuransi.
Sebagai gantinya, pemegang polis setuju untuk memberikan
kompensasi kepada perusahaan asuransi dengan membayar premi
tunggal atau sederetan premi.
Dengan kata lain, kewajiban dari:
Perusahaan Asuransi: Membayarkan sejumlah manfaat pada waktu
yang bergantung pada kejadian tertentu (contoh: saat pemegang
polis meninggal). Pada beberapa polis, besar manfaat bisa jadi tidak
diketahui.
Pemegang Polis: Membayar premi tunggal atau sederetan premi
yang telah ditentukan di awal perjanjian.
Sindy Devila, M.Si. (Universitas Indonesia)
SCAK603013-KONTINGENSI JIWA 2
2021
2 / 35
Premi Manfaat
Pendahuluan
Peran Aktuaris
Dengan menerima risiko dari pemegang polis, perusahaan asuransi perlu
menjalankan dua aktivitas penting berikut:
1
2
Pricing: Menentukan premi yang ’masuk akal’ dan ’cukup’ untuk
membayarkan manfaat (benefit) dan biaya pengeluaran lainnya
(expenses) yang terkait dengan polis asuransi.
(Bab 6 referensi [1])
Risk Management & Reserving: Melakukan manajemen risiko, salah
satunya dengan cara menentukan besar cadangan yang harus
disiapkan oleh perusahaan asuransi.
(Bab 7 referensi [1])
Sindy Devila, M.Si. (Universitas Indonesia)
SCAK603013-KONTINGENSI JIWA 2
2021
3 / 35
Premi Manfaat
Penentuan Premi (Pricing)
Ketentuan Pembayaran Premi
Bagi kebanyakan polis asuransi, berlaku beberapa hal di bawah ini:
Premi yang dibayarkan dapat berupa premi tunggal atau sederatan
pembayaran reguler (seperti: premi bulanan, kuarteran, tahunan).
Premi dibayarkan di muka (dengan premi pertama dibayarkan ketika
polis diterbitkan atau dibeli).
Besar premi reguler yang dibayarkan umumnya konstan (tetapi, bisa
naik dan bisa turun).
Premi reguler tidak dibayarkan setelah kematian pemegang polis
(atau kadang-kadang, jangka waktu pembayaran premi lebih pendek
daripada jangka waktu polis).
Sindy Devila, M.Si. (Universitas Indonesia)
SCAK603013-KONTINGENSI JIWA 2
2021
4 / 35
Premi Manfaat
Penentuan Premi (Pricing)
Terminologi
Premi Bersih (Net Premium): tidak melibatkan biaya lainnya yang
dikeluarkan oleh perusahaan (expenses) dalam penghitungan premi.
Premi Kotor (Gross Premium): melibatkan expenses dalam
penghitungan premi.
Jenis biaya lainnya yang dikeluarkan oleh perusahaan asuransi:
Initial Expenses: Biaya komisi untuk agen yang telah membantu
penjualan polis, biaya penjaminan (underwriting expenses).
Renewal Expenses: Gaji karyawan, biaya laporan tahunan yang
diterbitkan kepada pemegang polis, biaya properti perusahaan
asuransi.
Terminating Expenses: Dokumen yang diperlukan untuk
menyelesaikan dan membayar klaim.
Sindy Devila, M.Si. (Universitas Indonesia)
SCAK603013-KONTINGENSI JIWA 2
2021
5 / 35
Premi Manfaat
Penentuan Premi (Pricing)
Prinsip Umum Expenses
Expenses dapat diperlakukan sebagai bentuk bentuk lain dari manfaat
untuk perusahaan asuransi.
⇒ Meskipun expenses merupakan biaya yang tidak dibayarkan kepada
pemegang polis, namun tetap saja expenses merupakan sumber
pengeluaran tunai bagi perusahaan asuransi.
Sindy Devila, M.Si. (Universitas Indonesia)
SCAK603013-KONTINGENSI JIWA 2
2021
6 / 35
Premi Manfaat
Future Loss Random Variable
Variabel Acak Kerugian Masa Depan
Untuk suatu polis asuransi:
Pengeluaran perusahaan berupa pembayaran manfaat (dan expenses).
Pemasukan perusahaan berupa premi
Berdasarkan dua kuantitas tersebut, Present Value (PV) dari variabel acak
kerugian masa depan untuk suatu polis, didefinisikan sebagai:
0L
= P V@0 Manfaat (dan expenses) − P V@0 Premi
(1)
- Nilai positif yang besar dari 0 L tidak diinginkan oleh perusahaan
asuransi sebab menunjukkan adanya kerugian yang besar.
- Nilai negatif dari 0 L dapat dipandang sebagai laba bersih untuk
perusahaan asuransi.
Sindy Devila, M.Si. (Universitas Indonesia)
SCAK603013-KONTINGENSI JIWA 2
2021
7 / 35
Premi Manfaat
Future Loss Random Variable
Variabel Acak Kerugian Masa Depan
Catatan penting:
Net future loss rv mengasumsikan bahwa tidak ada expenses pada
definisi 0 L.
Gross future loss rv melibatkan expenses di dalam definisi 0 L.
Variabel acak yang menjadi fokus pembahasan pada beberapa subbab
berikutnya adalah Net future loss rv.
Semua arus kas (cash flow) akan didiscountkan pada tingkat bunga
yang bernilai konstan.
Sindy Devila, M.Si. (Universitas Indonesia)
SCAK603013-KONTINGENSI JIWA 2
2021
8 / 35
Premi Manfaat
Future Loss Random Variable
Contoh Soal
1. Consider a fully continuous whole life insurance policy issued to (x)
with a death benefit of $500 payable at the time of death of (x).
Premiums are payable continuously at a rate of P̄ = 20 as long as (x)
is alive. Assuming δ = 0.04 and
(
µx+t =
a
b
c
d
0.03,
0.04,
0≤t<5
t≥5
Define the future loss rv 0 L.
Find the probability that the insurer suffers a loss on this policy.
On average, do you expect the insurer to financially gain by issuing the
policy? (Hint: Calculate E[0 L]).
Re-assess your conclusion in (c) if P̄ = 15.
Sindy Devila, M.Si. (Universitas Indonesia)
SCAK603013-KONTINGENSI JIWA 2
2021
9 / 35
Premi Manfaat
Pricing Methods
Metode Penentuan Premi
Terdapat dua metode penentuan premi yang akan dibahas pada bab ini,
yaitu:
1
Prinsip Ekuivalensi (Equivalence Principle)
2
Prinsip Premi Persentil (Percentile Premium Principle)
Sindy Devila, M.Si. (Universitas Indonesia)
SCAK603013-KONTINGENSI JIWA 2
2021
10 / 35
Premi Manfaat
Equivalence Principle (EP)
Prinsip Ekuivalensi
Di bawah prinsip ekuivalensi, premi ditentukan sedemikian sehingga,
secara rata-rata, perusahaan asuransi tidak mendapatkan laba
maupun mengalami kerugian finansial.
Secara matematis, ditulis:
(2)
E[0 L] = 0
Berdasarkan persamaan (2), prinsip ekuivalensi dikenal juga sebagai
prinsip penentuan premi yang adil (fair).
Premi yang memenuhi persamaan (2) sering disebut sebagai premi
manfaat
Catatan:
Pada praktiknya, premi yang dibebankan oleh perusahaan asuransi lebih
besar daripada premi yang dihitung di bawah persamaan prinsip
ekuivalensi.
Sindy Devila, M.Si. (Universitas Indonesia)
SCAK603013-KONTINGENSI JIWA 2
2021
11 / 35
Premi Manfaat
Equivalence Principle (EP)
Prinsip Ekivalensi
Berdasarkan definisi 0 L pada persamaan (1), maka persamaan (2)
dapat diuraikan lagi menjadi:
E[0 L] = 0
E[P V@0 Manfaat (& expenses) − P V@0 Premi] = 0
E[P V@0 Manfaat (& expenses)] = E[P V@0 Premi]
AP V@0 Manfaat (& expenses) = AP V@0 Premi
(3)
Jadi di bawah prinsip ekuivalensi, premi manfaat dapat tentukan
sebagai solusi dari persamaan (2) maupun persamaan (3).
Sindy Devila, M.Si. (Universitas Indonesia)
SCAK603013-KONTINGENSI JIWA 2
2021
12 / 35
Premi Manfaat
Equivalence Principle (EP)
Prinsip Ekuivalensi
Sebelum membahas perhitungan premi manfaat dari beberapa kontrak
asuransi menggunakan prinsip ekuivalensi, berikut diperkenalkan beberapa
terminologi yang digunakan untuk menunjukkan jenis pembayaran premi
dan manfaat :
Plan
Fully Discrete
Fully Continuous
Semi-continuous
Premi
Di awal setiap tahun*
Secara Kontinu
Di awal setiap tahun*
Manfaat Kematian
Di akhir tahun* kematian
Saat kematian terjadi
Saat kematian terjadi
Keterangan:
* dapat digantikan dengan bulan, kuartal, dan lainnya.
Sindy Devila, M.Si. (Universitas Indonesia)
SCAK603013-KONTINGENSI JIWA 2
2021
13 / 35
Premi Manfaat
Aplikasi EP pada Polis Asuransi Fully Discrete
n-year Endowment Insurance of 1
Polis asuransi ini diterbitkan untuk (x).
Besar manfaat yang diberikan atas kematian maupun atas survive
adalah sebesar 1.
Premi untuk polis ini dinotasikan dengan Px:n .
Ilustrasi 1:
Sindy Devila, M.Si. (Universitas Indonesia)
SCAK603013-KONTINGENSI JIWA 2
2021
14 / 35
Premi Manfaat
Aplikasi EP pada Polis Asuransi Fully Discrete
n-year Endowment Insurance of 1
Ekspektasi PV (Actuarial Present Value) dari manfaat polis ini
dinotasikan Ax:n .
APV dari premi manfaatnya adalah Px:n äx:n .
Di bawah prinsip ekuivalensi berlaku:
Ax:n = Px:n äx:n
Jadi, besar premi untuk polis ini adalah:
Px:n =
Sindy Devila, M.Si. (Universitas Indonesia)
Ax:n
äx:n
SCAK603013-KONTINGENSI JIWA 2
(4)
2021
15 / 35
Premi Manfaat
Aplikasi EP pada Polis Asuransi Fully Discrete
n-year Endowment Insurance of 1
Ingat lagi bahwa:
äx:n =
1 − Ax:n
atau Ax:n = 1 − däx:n
d
Akibatnya, premi manfaat untuk polis asuransi fully discrete n-year
endowment of 1 pada persamaan (4) dapat dituliskan kembali
menjadi:
Ax:n
äx:n
dAx:n
=
1 − Ax:n
1
=
−d
äx:n
Px:n =
Sindy Devila, M.Si. (Universitas Indonesia)
SCAK603013-KONTINGENSI JIWA 2
(5)
(6)
2021
16 / 35
Premi Manfaat
Aplikasi EP pada Polis Asuransi Fully Discrete
Contoh Soal
2. Fully discrete n-year endowment insurance issued to (x).
- Benefit: n-year endowment insurance with a death benefit of $b
payable at the end of the year of death over the first n years;
otherwise, a survival benefit of $b is payable at time n upon survival.
- Premium: a premium P is payable at the beginning of each year (x) is
alive without exceeding n years.
a
b
c
d
Definition of 0 L.
Find E[0 L].
Obtain an expression for the benefit premium (under the equivalence
principle).
Determine V ar(0 L).
Sindy Devila, M.Si. (Universitas Indonesia)
SCAK603013-KONTINGENSI JIWA 2
2021
17 / 35
Premi Manfaat
Aplikasi EP pada Polis Asuransi Fully Discrete
m-payment year n-year Endowment Insurance of 1
Catatan:
Kadangkala periode pembayaran premi lebih pendek daripada periode
polis asuransi.
Pada kasus ini polis asuransinya dikenal dengan istilah m-payment
year n-year endowment insurance of 1 dimana m < n.
Notasi aktuaria untuk polis asuransi tersebut adalah
m Px:n
Ilustrasi 2:
Sindy Devila, M.Si. (Universitas Indonesia)
SCAK603013-KONTINGENSI JIWA 2
2021
18 / 35
Premi Manfaat
Aplikasi EP pada Polis Asuransi Fully Discrete
m-payment year n-year Endowment Insurance of 1
Berdasarkan ilustrasi 2, untuk polis asuransi m-payment year n-year
endowment insurance of 1 berlaku:
APV dari manfaat: Ax:n .
APV dari premi: m Px:n äx:m .
Jadi di bawah prinsip ekuivalensi, premi untuk polis asuransi ini dapa
dihitung melalui persamaan:
m Px:n
=
Ax:n
äx:m
(7)
1−A
x:m
Diketahui bahwa äx:m =
atau Ax:n = 1 − däx:n .
d
Dengan demikian, persamaan (7) dapat dituliskan kembali menjadi:
m Px:n
Sindy Devila, M.Si. (Universitas Indonesia)
=
dAx:n
däx:n
1
=
−
1 − Ax:m
äx:m
äx:m
SCAK603013-KONTINGENSI JIWA 2
(8)
2021
19 / 35
Premi Manfaat
Aplikasi EP pada Polis Asuransi Fully Discrete
m-payment n-year Term Insurance of 1 (m ≤ n)
Untuk polis asuransi ini, manfaat kematian yang diberikan adalah
sebesar 1 dan tidak ada manfaat yang diberikan atas survive.
Premi dari polis ini dinotasikan oleh
banyak selama m tahun.
1
m P x:n
dan dibayarkan paling
Ilustrasi 3:
Sindy Devila, M.Si. (Universitas Indonesia)
SCAK603013-KONTINGENSI JIWA 2
2021
20 / 35
Premi Manfaat
Aplikasi EP pada Polis Asuransi Fully Discrete
m-payment n-year Term Insurance of 1 (m ≤ n)
Berdasarkan ilustrasi 3:
1 .
APV dari manfaat polis: Ax:n
APV dari premi:
1
m P x:n äx:m .
Jadi, berdasarkan prinsip ekuivalensi maka premi dari polis asuransi
ini dapat dihitung melalui persamaan:
1
m P x:n
Sindy Devila, M.Si. (Universitas Indonesia)
=
1
Ax:n
äx:m
SCAK603013-KONTINGENSI JIWA 2
(9)
2021
21 / 35
Premi Manfaat
Aplikasi EP pada Polis Asuransi Fully Discrete
m-payment n-year Term Insurance of 1 (m ≤ n)
Terdapat 2 variasi penting dari polis asuransi ini yang sering ditemukan di
dalam praktik:
1
Periode pembayaran premi sama dengan periode polis asuransi, yaitu
m = n.
Dalam hal ini, besar premi yang dibayarkan adalah:
1
P x:n
=
1
Ax:n
äx:n
(10)
Polis asuransi yang memenuhi kondisi tersebut dikenal sebagai Fully
Discrete n-year Term Insurance of 1.
Sindy Devila, M.Si. (Universitas Indonesia)
SCAK603013-KONTINGENSI JIWA 2
2021
22 / 35
Premi Manfaat
Aplikasi EP pada Polis Asuransi Fully Discrete
m-payment n-year Term Insurance of 1 (m ≤ n)
2
Periode polis asuransinya tak berhingga, yaitu n → ∞.
Artinya, polis asuransi tersebut berlaku selama pemegang polis hidup.
Polis asuransi yang memenuhi kondisi tersebut dikenal sebagai Fully
Discrete Whole Life Insurance of 1
Jadi, besar premi yang dibayarkan adalah:
Px =
Ax
äx
(11)
atau dapat juga dihitung melalui persamaan:
Px =
Sindy Devila, M.Si. (Universitas Indonesia)
dAx
1
=
−d
1 − Ax
äx
SCAK603013-KONTINGENSI JIWA 2
(12)
2021
23 / 35
Premi Manfaat
Aplikasi EP pada Polis Asuransi Fully Discrete
Contoh Soal
3. Fully discrete n-year term insurance with death benefit b and level
premium P issued to (x).
a
b
Definition of 0 L.
Determine V ar(0 L).
Sindy Devila, M.Si. (Universitas Indonesia)
SCAK603013-KONTINGENSI JIWA 2
2021
24 / 35
Premi Manfaat
Aplikasi EP pada Polis Asuransi Fully Discrete
m-payment n-year Pure Endowment Insurance of 1
(m ≤ n)
Pada polis asuransi ini, besar manfaat survive yang diberikan adalah 1
pada periode ke-n dan tidak ada manfaat atas kematian.
Premi dari polis asuransi ini dinotasikan dengan
dibayarkan paling banyak selama m tahun.
1
m Px: n
dan
Ilustrasi 4:
Sindy Devila, M.Si. (Universitas Indonesia)
SCAK603013-KONTINGENSI JIWA 2
2021
25 / 35
Premi Manfaat
Aplikasi EP pada Polis Asuransi Fully Discrete
m-payment n-year Pure Endowment Insurance of 1
(m ≤ n)
Berdasarkan ilustrasi 4:
1
APV dari manfaat: Ax: n .
APV dari preminya:
1
m P x: n äx:m .
Jadi, berdasarkan prinsip ekuivalensi maka premi dari polis asuransi
ini dapat dihitung melalui persamaan:
1
1
m P x: n
Sindy Devila, M.Si. (Universitas Indonesia)
Ax: n
=
äx:m
SCAK603013-KONTINGENSI JIWA 2
(13)
2021
26 / 35
Premi Manfaat
Aplikasi EP pada Polis Asuransi Fully Discrete
m-payment n-year Pure Endowment Insurance of 1
(m ≤ n)
Apabila periode pembayaran preminya sama dengan periode polis
asuransi, yaitu m = n, maka besar preminya menjadi:
1
1
P x: n =
Ax: n
äx:n
(14)
Polis asuransi yang memenuhi kondisi di atas dikenal sebagai Fully
Discrete n-year Pure Endowment Insurance of 1.
Sindy Devila, M.Si. (Universitas Indonesia)
SCAK603013-KONTINGENSI JIWA 2
2021
27 / 35
Premi Manfaat
Aplikasi EP pada Polis Asuransi Fully Discrete
Hubungan Premi antar Polis Asuransi
Ingat lagi hubungan APV dari manfaat polis asuransi term, pure
endowment, dan endowment berikut:
1
1
Ax:n = Ax:n
+ Ax: n
Akibatnya, dapat ditunjukkan bahwa premi antara ketiga polis
tersebut secara umum memenuhi persamaan:
m Px:n
Sindy Devila, M.Si. (Universitas Indonesia)
1
(15)
1
= m Px:n
+ m Px: n
SCAK603013-KONTINGENSI JIWA 2
2021
28 / 35
Premi Manfaat
Aplikasi EP pada Polis Asuransi Fully Discrete
Contoh Soal
4. Fully discrete m-payment n-year deferred insurance with death benefit
b and level premium P issued to (x).
a
b
c
Definition of 0 L.
Find E[0 L].
Obtain an expression for the benefit premium (under the equivalence
principle).
Sindy Devila, M.Si. (Universitas Indonesia)
SCAK603013-KONTINGENSI JIWA 2
2021
29 / 35
Premi Manfaat
Aplikasi EP pada Polis Asuransi Fully Continuous
Polis Asuransi Fully Continuous
Pada dasarnya perhitungan premi manfaat untuk polis asuransi fully
continuous sama dengan polis asuransi fully discrete.
Hanya saja notasi A diganti dengan Ā dan ä diganti dengan ā.
Notasi aktuaria
untuk premi manfaat polis asuransi fully continuous
adalah P̄ Ā atau P̄ (A).
- Tanda bar di atas P menunjukkan bahwa premi dibayarkan secara
kontinu.
- Ā atau A menunjukkan jenis manfaat asuransi yang diberikan oleh
perusahaan.
Berikut diberikan suatu tabel yang menampilkan formula perhitungan
premi dari berbagai jenis polis asuransi Fully Continuous:
Sindy Devila, M.Si. (Universitas Indonesia)
SCAK603013-KONTINGENSI JIWA 2
2021
30 / 35
Premi Manfaat
Aplikasi EP pada Polis Asuransi Fully Continuous
Polis Asuransi Fully Continuous
Jenis Polis Asuransi
Whole Life
Formula Premi Manfaat
P̄ ( Āx ) =
n-year Term
1 )=
P̄ ( Āx:n
n-year Pure Endowment
P̄ (Ax: n ) =
n-year Endowment
P̄ ( Āx:n ) =
1
m-payment Whole Life
m P̄ ( Āx )
m-payment n-year Term
1
m P̄ ( Āx:n )
m-payment n-year Endowment
m P̄ ( Āx:n )
Sindy Devila, M.Si. (Universitas Indonesia)
SCAK603013-KONTINGENSI JIWA 2
Āx
āx
1
Āx:n
āx:n
1
Ax: n
āx:n
Āx:n
āx:n
Āx
āx:m
Ā 1
= ā x:n
x:m
=
=
Āx:n
āx:m
2021
31 / 35
Premi Manfaat
Aplikasi EP pada Polis Asuransi Fully Continuous
Contoh Soal
5. Fully continuous whole life insurance of b issued to (x) with premium
rate P̄
a
b
c
d
Definition of 0 L.
Find E[0 L].
Obtain an expression for the benefit premium (under the equivalence
principle).
Determine V ar(0 L).
Sindy Devila, M.Si. (Universitas Indonesia)
SCAK603013-KONTINGENSI JIWA 2
2021
32 / 35
Premi Manfaat
Aplikasi EP pada Polis Asuransi Semi-Continuous
Polis Asuransi Semi-Continuous
Polis asuransi semi-kontinu merupakan suatu polis asuransi, dimana:
pembayaran manfaat atau benefit dilakukan pada saat kematian
pemegang polis terjadi secara kontinu) dan
pembayaran atas premi dilakukan secara diskrit di setiap awal periode.
Sindy Devila, M.Si. (Universitas Indonesia)
SCAK603013-KONTINGENSI JIWA 2
2021
33 / 35
Premi Manfaat
Aplikasi EP pada Polis Asuransi Semi-Continuous
Contoh Soal
6. For an n-year endowment insurance of 1000 on (x), you are given:
a
b
c
d
e
f
Death benefits are payable at the moment of death.
Premiums are payable annually at the beginning of each year.
Deaths are uniformly distributed over each year of age.
i = 0.05
n Ex = 0.172
Āx:n = 0.192
Calculate the annual net benefit premium for this insurance.
Sindy Devila, M.Si. (Universitas Indonesia)
SCAK603013-KONTINGENSI JIWA 2
2021
34 / 35
Premi Manfaat
Referensi
Referensi
[1 ] David,C.M.D., Mary, R.H., dan Howard, R.W. (2009): Actuarial
Mathematics for Life Contingent Risks, Cambridge University Press.
[2 ]Landriault, David. (2017). Insurance Mathematics II Material from
Short Course.
[3 ] Johnny Li dan Andrew Ng. (2013). ACTEX MLC Study Manual.
ACTEX Publication.
Sindy Devila, M.Si. (Universitas Indonesia)
SCAK603013-KONTINGENSI JIWA 2
2021
35 / 35