Veri Yapıları ve Algoritmalar
Ağaç Veri Yapısı
(Tree Data Structure)
Ağaç Veri Yapısı
1
Genel Bakış

İkili Arama Ağacı / Binary Search Tree (BST)
 Düğüm
 İndis
Ağaç Veri Yapısı
bağlantısı yöntemi ile
bağlantısı yöntemi ile
2
İkili Arama Ağacı

İkili arama ağacı bir ikili ağaçtır.

Bir D düğümünün Veri Yapısı ve C programlama dili ile
örnek bir tanımı;
struct BSTDgm {
int veri;
struct BSTDgm *solbag;
struct BSTDgm *sagbag;
};
Ağaç Veri Yapısı
3
İkili Arama Ağacı

Ağaçta yapılan tüm işlemler, düğümde saklanan anahtar
veri üzerinden yürütülür.

Ağaçtaki her bir Di düğümündeki anahtar veri sol alt
ağacındaki anahtar verilerden büyük ve sağ alt
ağacındaki anahtar verilerden küçüktür(anahtar değerlerin
eşit olma durumu varsa bu durum ağacın büyük veya küçük
şartından biri ile birleştirilir ancak biz eşit durumunu
anlatımda ele almayacağız).
Ağaç Veri Yapısı
4
İkili Arama Ağacı

Sizler de 2, 18, 20, 44 anahtar değere sahip düğümleri
aşağıdaki ağaca ekleyiniz.
Ağaç Veri Yapısı
5
İkili Arama Ağacı

İkili arama ağacı düğümlerinde saklanan anahtar veriler
kıyaslanabilir olmalıdır.

İkili arama ağacının her alt ağacı da bir ikili arama
ağacıdır. (bu sebeple özyinelemeli programlama
tekniğine uygundur)

İkili arama ağacında genel olarak yapılan işlemler;

Yeni düğüm ekleme,

Düğüm arama,

Düğüm listeleme,

Düğüm silme
şeklinde olabilir.
Ağaç Veri Yapısı
6
İkili Arama Ağacı

2, 18, 20, 44
ekleyiniz.
Ağaç Veri Yapısı
anahtar değere sahip düğümleri ağaca
7
İkili Arama Ağacı

İkili bir arama ağacında, ekleme işlemi O(log2 n) zaman
karmaşıklığı ile gerçekleştirilir.

İkili bir arama ağacında, arama işlemi O(log2 n) zaman
karmaşıklığı ile gerçekleştirilir.

İkili bir arama ağacında, listeleme işlemi O(n) zaman
karmaşıklığı ile gerçekleştirilir.

İkili bir arama ağacında, silme işlemi O(log2 n) zaman
karmaşıklığı ile gerçekleştirilir.

İkili arama ağacına, yeni düğüm daima yaprak düğüm
olarak eklenmektedir.

İkili arama ağaçları üzerinde yapılan işlemlere ait
algoritmaların sözde kodu izleyen sunum sayfalarında
verilmiştir.
Ağaç Veri Yapısı
8
İkili Arama Ağacı
İkili arama ağacına düğüm ekleme algoritması sözde kodu:
/*Ağaçtaki işlemlerde düğümde saklanan anahtar veri üzerinden işlemler yapılır */
DugumEkle(BSTDgm** Kök, YeniVeri) {
If (Kök NULL değere eşit ise)
/* Ağaçta, özyinelemeli olarak bir nevi arama yapılarak Yeni düğümün bağlanması
gereken yaprak düğüme ulaşıldı ve Yeni düğüm o yaprak düğüme bağlandı */
YeniVeri için Yenidüğüm oluştur
Kök = Yenidüğüm
else
if (YeniVeri < Kök ) then
/*Ağacın sol alt ağacındaki düğüm Kök oldu ve fonksiyon kendini çağırdı*/
DugumEkle(Kök sol alt ağaç adresi, YeniVeri) ;
else
/* Ağacın sağ alt ağacındaki düğüm Kök oldu ve fonksiyon kendini çağırdı*/
DugumEkle(Kök sağ alt ağaç adresi, YeniVeri) ;
}
Ağaç Veri Yapısı
9
İkili Arama Ağacı
İkili arama ağacına düğüm ekleme işlemi için
programlama dili ile yazılmış bir fonksiyonun kodu:
Ağaç Veri Yapısı
C
10
İkili Arama Ağacı
İkili arama ağacında arama algoritması sözde kodu:
/*Ağaçtaki işlemlerde düğümde saklanan anahtar veri üzerinden işlemler yapılır */
BSTDgm* Ara(BSTDgm** Kök, AraVeri) {/* Ağaçta AraVeri yoksa ağacın düğüm sayısına bağlı olarak
if (Kök NULL değere eşit değil ise)
belli bir özyinelemeden sonra Kök değer NULL olacaktır */
If (Kök eşit Araveri ise) KökAdresi döndür. /* Ağaçta, özyinelemeli arama yapılarak düğüme
ulaşılmıştır, o anki kök düğüm ağaçta Araveri ile aynı anahtar değere sahip bir düğümdür.*/
else if (AraVeri < Kök ) then
/*Ağacın sol alt ağacındaki düğüm Kök oldu ve fonksiyon kendini çağırdı*/
Ara(Kök sol alt ağaç adresi, AraVeri) ;
else
/* Ağacın sağ alt ağacındaki düğüm Kök oldu ve fonksiyon kendini çağırdı*/
Ara(Kök sağ alt ağaç adresi, AraVeri) ;
}
else
NULL döndür
}
} Veri Yapısı
Ağaç
11
İkili Arama Ağacı
İkili arama ağacında dolaşma algoritma sözde kodları:
/*Ağaçtaki işlemlerde düğümde saklanan anahtar veri üzerinden işlemler yapılır */
BaştaKök(BSTDgm* Kök) {
if (Kök NULL değere eşit değil ise){
Kök Düğümdeki Veriyi göster /* Ağacın bir düğümü dolaşılmış oldu */
/* Ağacın sol alt ağacındaki düğüm Kök oldu ve fonksiyon kendini çağırdı */
BaştaKök(Kök sol alt ağaç adresi) ;
/* Ağacın sağ alt ağacındaki düğüm Kök oldu ve fonksiyon kendini çağırdı */
BaştaKök(Kök sağ alt ağaç adresi) ;
}
}
Ağaç Veri Yapısı
12
İkili Arama Ağacı
İkili arama ağacında dolaşma algoritma sözde kodları:
/*Ağaçtaki işlemlerde düğümde saklanan anahtar veri üzerinden işlemler yapılır */
OrtaKök(BSTDgm* Kök) {
if (Kök NULL değere eşit değil ise){
/* Ağacın sol alt ağacındaki düğüm Kök oldu ve fonksiyon kendini çağırdı */
OrtaKök(Kök sol alt ağaç adresi) ;
Kök Düğümdeki Veriyi göster /* Ağacın bir düğümü dolaşılmış oldu */
/* Ağacın sağ alt ağacındaki düğüm Kök oldu ve fonksiyon kendini çağırdı */
OrtaKök(Kök sağ alt ağaç adresi) ;
}
}
Ağaç Veri Yapısı
13
İkili Arama Ağacı
İkili arama ağacında dolaşma algoritma sözde kodları:
/*Ağaçtaki işlemlerde düğümde saklanan anahtar veri üzerinden işlemler yapılır */
SonraKök(BSTDgm *Kök) {
if (Kök NULL değere eşit değil ise){
/* Ağacın sol alt ağacındaki düğüm Kök oldu ve fonksiyon kendini çağırdı */
SonraKök(Kök sol alt ağaç adresi) ;
/* Ağacın sağ alt ağacındaki düğüm Kök oldu ve fonksiyon kendini çağırdı */
SonraKök(Kök sağ alt ağaç adresi) ;
Kök Düğümdeki Veriyi göster /* Ağacın bir düğümü dolaşılmış oldu */
}
}
Ağaç Veri Yapısı
14
İkili Arama Ağacı
İkili arama ağacından düğüm silme;
İkili arama ağacından düğüm silme algoritmasında silinecek
düğüm çocuk sayısı bakımından 3 farklı şekilde olabilir
bunlar;
1- Silinecek düğüm yaprak düğümdür.
2- Silinecek düğüm tek çocuğu olan bir düğümdür.
3- Silinecek düğüm iki çocuğu olan bir düğümdür.
Ağaç Veri Yapısı
15
İkili Arama Ağacı
1- Silinecek düğüm yaprak düğümdür, yani hiç çocuğu
yoktur. Bu durumda silinecek düğümü gösteren aile
düğümün, ilgili bağ bilgisine NULL değeri atanır ve silinecek
düğüme ait bellek alanı serbest bırakılır.
1 anahtar verisine sahip düğüm silme adımları aşağıdadır.
Ağaç Veri Yapısı
16
İkili Arama Ağacı
2- Silinecek düğüm tek çocuğu olan bir düğümdür, yani sağ
yada sol bağ bilgisi bulunan bir düğümdür. Bu durumda
silinecek düğümü gösteren aile düğümün ilgili bağ bilgisi
alanına, silinecek düğümün gösterdiği çocuk düğümün bağ
bilgisi atanır ve silinecek düğümün bellek alanı serbest
bırakılır.
12 anahtar verisine sahip düğüm silme adımları aşağıdadır.
Ağaç Veri Yapısı
17
İkili Arama Ağacı
3- Silinecek düğüm iki çocuğu olan bir düğümdür, yani sağ
ve sol bağ bilgisi bulunan bir düğümdür. Bu durumda
silinecek düğümün anahtar veri alanına sağ alt ağacının en
küçük düğümünün anahtar verisi (yada sol alt ağacının en
büyük düğümünün anahtar verisi) taşınır ve anahtar verisi
taşınan düğümün bellek alanı serbest bırakılır.
3 anahtar verisine sahip düğüm silme adımları aşağıdadır.
Ağaç Veri Yapısı
18
İkili Arama Ağacı
İkili arama ağacında düğüm silme algoritması sözde kodu:
/*Ağaçtaki işlemlerde düğümde saklanan anahtar veri üzerinden işlemler yapılır */
BSTDgm* DüğümSil(BSTDgm* Kök, SilVeri) {
if (Kök NULL değere eşit ise)
KökAdresi döndür
if (SilVeri < Kök ) then /*Ağacın sol alt ağacındaki düğüm Kök oldu ve fonksiyon kendini çağırdı*/
Kök sol alt ağaç adres = DüğümSil(Kök sol alt ağaç adresi, SilVeri)
else if (SilVeri > Kök ) then /*Ağacın sağ alt ağacındaki düğüm Kök oldu ve fonksiyon kendini çağırdı*/
Kök sağ alt ağaç adres = DüğümSil(Kök sağ alt ağaç adresi, SilVeri)
}
else{
if (Kök sol alt ağaç adresi NULL değere eşit ise) then Kökün sağ bağındaki düğümü döndür
else if (Kök sağ alt ağaç adresi NULL değere eşit ise) then Kökün sol bağındaki düğümü döndür
Kökün anahtar veri alanına, sağ alt ağacının en küçük anahtar değerli düğümün anahtar verisini taşı
Kök sağ bağ = DüğümSil(Kök sağ alt ağaç adresi, en küçük anahtar değerli düğümün anahtar verisi )
}
KökAdresi döndür
} Veri Yapısı
Ağaç
19
İkili Arama Ağacı
İkili arama ağacının dizi veri yapısı ile temsili

Şu ana kadar yapılan ikili Arama ağacının düğüm
bağlantısı ile ayrık bellek alanlarında temsilinin yanı sıra
dizi veri yapısı ile de ikili arama ağacı temsili yapılabilir.

Bunun için düğüm bağlantısı ile ikili arama ağacında
yapılan işlemlerin bir dizi üzerinde de yapılması gerekir.

Aşağıda görsel temsili bulunan n elemanlı tamsayı veri
tipinde D[n] dizisi kullandığımızı varsayalım;
İlk veri alanı yani 0 indisli alan kök olarak ifade edilir.
Ağaç Veri Yapısı
20
İkili Arama Ağacı
İkili arama ağacının dizi veri yapısı ile temsili

i=0
 kök=D[i]
 D[i] sol indisi =
Köksol indisi = 2 * i + 1 = 2 * 0 + 1 = 1
 D[i] sağ indisi =
Köksağ indisi = 2 * i + 2 = 2 * 0 + 2 = 2
olacaktır
Ağaç Veri Yapısı
21
İkili Arama Ağacı
Aşağıda verilen İkili arama ağacının, dizi veri yapısı ile
temsili altında verilmiştir.
Verilen indis hesaplama yöntemi ile indisleri kullanarak
arama işlemi yapınız.
Ağaç Veri Yapısı
22
İkili Arama Ağacı
Ancak bu örnekte ağaçların dizi temsili için ideal bir durum
görülmektedir ve bu durum önemli bir avantaj sağlamıştır.
Bu ideal durum ağacın dengeli olmasının yanında Complete
Binary Tree ağacının bir özelliğine sahip olmasıdır;
Complete Binary Tree ; İkili ağaçtır. Her yeni düğüm,
düzeye soldan sağa doğru eklenir ve bir düzeydeki düğüm
sayısı tamamlanmadan bir sonraki düzeye inilmez ve bir
düzeyde yeni düğümler için boş alanlar ağacın daima sağ
tarafındadır.
Ağaç Veri Yapısı
23
İkili Arama Ağacı

Full Binary Tree; Yapraklar hariç her bir düğümün iki
çocuğu olan ikili ağaçtır, tüm yaprakları aynı
derinliktedir.

Bu iki ağaç türünün ikili arama ağacı olma özelliklerini
gerektirmediği görülmelidir.
Ağaç Veri Yapısı
24
İkili Arama Ağacı
Eğer ağaç Full Binary Tree veya Complete Binary Tree gibi
arada düğüm boşlukları olmayan bir ikili arama ağacı ise
ağacın dizi veri yapısı ile temsili avantajlı bir durum
olacaktır.
Bu avantajlar sizce nedir ?
Aksi durumda dezavantajları nelerdir?
Ağaç Veri Yapısı
25
İkili Arama Ağacı

C programlama dili kullanarak düğüm bağlantısı ile
örnek uygulamalar

İkili arama ağacını oluşturma/ekleme ve ağacı dolaşma
yöntemleri uygulaması.

İkili arama ağacında arama uygulaması.

İkili arama ağacından düğüm silme uygulaması.
Ağaç Veri Yapısı
26
İkili Arama Ağacı

Çalışma soruları 1
Menu
1- Dosyadan ikili arama ağacı oluştur(kelime frekansı düğümde saklansın)
2- Ağaçta kelime arama
3- Kelime frekanslarını listele
4- Kelimeleri alfabetik sıralı şekilde dosyaya yaz
5- Ağaçtaki toplam düğüm sayısını görüntüle
6- çıkış
Seçiminiz(«1/2/3/4/5/6 »)_
Açıklaması diğer sunu sayfasında verilmiştir.
Ağaç Veri Yapısı
27
İkili Arama Ağacı

Çalışma soruları 1

Doğal dil ile yazılmış bir metin dosyasından;

kelimeleri birer birer okuyup ikili arama ağacına ekleyerek(uygulamada sadece
bir tane ikili arama ağacı olacak) bir ikili arama ağacı oluşturunuz düğümlerde
kelimelerin metin içinde kaç defa
bulunduğu bilgisi saklanacaktır.

Oluşturulan bu ikili arama ağacında, klavyeden gireceğiniz bir kelimeyi
arayınız ve bulunur ise ekrana frekansını görüntüleyiniz.

Oluşturulan bu ağaçtaki tüm kelimeleri ekrana;
kelime
frekansı
anne
10
an
20
………
…..
şeklinde listeleyiniz.

Ekrana yapılan listeleme işlemini aynı şekilde bir dosyaya yazdırınız.
Ağaç Veri Yapısı
28
İkili Arama Ağacı

Çalışma soruları 2

Çalışma sorusu 1’ de tüm kelimeler için bir tek ikili arama ağacı oluşturulmanız
istenmiştir.

Bu soruda, menüde belirtilen aynı işlemleri her bir kelimenin baş harfine göre 256
(genişletilmiş ASCII tablosu karakterlerinin her biri için bir ağaç olacak şekilde [0255]) farklı ikili arama ağacı(orman) oluşturulacaktır. Uygulamayı bir de bu
şekilde tasarlayarak kodlayınız.
Örneğin dosyada : «ali eve döndü ama ayşe henüz burada» şeklinde bir metin yazılmış
ise;
«a» ikili arama ağacına «ali»,»ama»,»ayşe»
«b» ikili arama ağacına «burada»
«d» ikili arama ağacına «döndü»
«e» ikili arama ağacına «eve»
«h» ikili arama ağacına «henüz»
İkili arama ağaçlarına eklenecektir.
Ağaç Veri Yapısı
29
İkili Arama Ağacı

Çalışma soruları 3

Örnek olarak kodları sizlere verilen düğüm bağlantısı ile ikili arama ağacı
uygulamalarını, indis bağlantısı ile ikili arama ağacı uygulamaları haline
dönüştürebilirsiniz.
Ağaç Veri Yapısı
30
Veri Yapıları ve Algoritmalar
Kaynakça

Dr. Rifat ÇÖLKESEN, Veri Yapıları ve Algoritmalar, Papatya
yayıncılık, 2014, 10. basım.(Ders kitabı)

http://www.algolist.net/Data_structures/Binary_search_tr
ee
Ağaç Veri Yapısı
Dr. Öğr. Üyesi Aydın CARUS - 2020
31