Veri Yapıları ve Algoritmalar
Graf veri yapısı
(Graph data structure)
Graf veri yapısı
1
Genel Bakış
Graf veri yapısı
Graf veri yapısı
Temel kavramlar
Grafların bellekte tutulma biçimleri
2
Graf veri yapısı
Graf :Düğümlerden ve kenarlardan oluşan doğrusal
olmayan bir veri yapısıdır.
Graf veri yapısı
3
Graf veri yapısı
Kenarların birleştiği köşe(vertex), düğüm olarak isimlendirilir.
Köşeleri, birbirine birleştiren bağlantılara kenar(edge) adı
verilir.
D düğümler kümesi,
K kenarlar kümesi ise,
Graf, G=(D, K), boş olmayan sonlu D ve K elemanları
kümesidir.
Graf veri yapısı
4
Graf veri yapısı
Sonlu graf: Düğüm kümesi ve kenar kümesi sonlu olan bir graf
sonlu graf olarak adlandırılır.
Sonlu bir grafta;
D(G) = {d0,d1,d2,d3,…,dn-1} düğüm kümesi olmak üzere |D(G)|= n
değerine grafın mertebesi denir.
K(G) = {k0,k1,k2,k3,…,km-1} kenar kümesi olmak üzere |K(G)|= m
değerine grafın boyutu denir.
G grafında bir düğümü yine kendisiyle birleştiren kenara
kendine döngü yada ilmek denir.
Aynı iki düğümü birleştiren iki ya da daha fazla kenara çoklu
kenar denir.
Bir graf çoklu kenar ve aynı zamanda ilmek içermiyorsa basit
graf, aksi duruma ise çoklu graf denir.
Graf veri yapısı
5
Graf veri yapısı
Bir G grafında herhangi iki düğüm di ve dj olsun, eğer kenarlar
kümesinde bu iki düğümü birleştiren bir kenar varsa bu iki
düğüme komşu düğümler adı verilir.
Graf veri yapısı
6
Graf veri yapısı
Gdd = Gdüğümdüğüm , Gdk = Gdüğümkenar olsun,
Bir G grafı;
Komşuluk ilişkisi ile ifade ediliyorsa,
Gdd = {(di, dj)} şeklinde gösterilir.
Gdd = {(A, B),(A,C),(A,D),(C,D),(B,D),(B,B)}
Eğer bitişiklik ilişkisi ile gösteriliyorsa Gdk = {(di, kj)} şeklinde
gösterilir.
Gdk = {(A, k0),(A, k1),(A, k2), (B, k0), (B, k4),
(B, k5), (C, k2), (C, k3), (D, k1), (D, k3), (D, k4) }
Graf veri yapısı
7
Graf veri yapısı
Maliyetli graf: Bir G grafında her kenara bir maliyet veya ağırlık
değeri verilmiş ise bu graf maliyetli graf (weighted graph) olarak
adlandırılır ve gösterimde maliyet bilgisi de belirtilir.
Gdd = {(A, B:4),(A,C:2),(A,D:5),(C,D:3),(B,D:7)}
Graf veri yapısı
8
Graf veri yapısı
Bir G grafında kenarların yönü de olabilir. Eğer kenarların
yönü varsa bu tür graflara yönlü graf adı verilir.
Gdd = {<A,C>,<B,A>,<C,D>,<D,A>,<D,B>,<D,C>}
Graf veri yapısı
9
Graf veri yapısı
Tam graf: Bir G grafında eğer her bir düğümün diğer bütün
düğümlerle arasında bir kenar varsa buna tam graf adı verilir.
Çoklu graf: Bir G grafında herhangi iki düğüm arasında birden
fazla kenar veya bir düğüm döngü içeriyorsa buna çoklu graf
adı verilir.
Graf veri yapısı
10
Graf veri yapısı
Düğüm Derecesi: Bir G grafında, bir düğüme bağlı olan toplam
kenar sayısına o düğümün derecesi adı verilir. Eğer kendine
döngülü kenarlar varsa bunlar aynı düğüme hem giriş hem de
çıkış olduğu için bunlar dereceyi iki fazlalaştırırlar.
Eğer G grafı yönlü bir graf ise, düğüm derecesi giriş derecesi
ve çıkış derecesi olarak ayrı ayrı ifade edilir.
Graf veri yapısı
11
Graf veri yapısı
Komşuluk matrisi: Düğümler arası ilişkiyi gösteren bir kare
matristir; komşuluk matrisinin elemanları kenar
değerlerinden oluşur. Komşuluk matrisi Gdd‘ nin matris olarak
gösterilmesi ile oluşur.
Komşuluk matrisi Gdd = [aij] ise,
1, eğer (di, dj) Є K ise
Yönlü-maliyetsiz graflar için; aij =
0, diğer durumlarda
1, eğer (di, dj) Є K veya (dj, di) Є K ise
Basit graflar için; aij =
0 , diğer durumlarda
Graf veri yapısı
12
Graf veri yapısı
Komşuluk matrisleri :
Graf veri yapısı
13
Graf veri yapısı
Bitişiklik matrisi: Düğümler ile kenarlar arasındaki bitişiklik
ilişkisini gösteren bir matristir; matrisin satır sayısı düğüm, sütun
sayısı kenar sayısıdır. Yani matris satır x kenar boyutundadır.
Bitişiklik matrisi Gdk = [mij] ise,
1, eğer (di, kj) ilişkili ise
Maliyetsiz graflar için;
mij =
0, diğer durumlarda
Graf veri yapısı
14
Graf veri yapısı
Bitişiklik matrisleri :
Graf veri yapısı
15
Graf veri yapısı
Grafların bellekte saklanma biçimleri:
Matris üzerinde
İki dizi üzerinde
Bağlantılı liste ile
Dizi üzerinden bağlantılı liste ile
Graf veri yapısı
16
Graf veri yapısı
Grafların bellekte saklanma biçimleri:
Bir grafın komşuluk matrisi üzerinden bellekte matris olarak tutulması
int G[n][n];
int G[4][4]={{0,1,1,1}, {1,0,0,1}, {1,0,0,1}, {1,1,1,0}};
Graf veri yapısı
17
Graf veri yapısı
Grafların bellekte saklanma biçimleri:
Bir grafın komşuluk matrisi üzerinden bellekte matris olarak tutulması
int G[n][n];
int G[4][4]={{-32768,4,2,5}, {4,-32768,-32768,7}, {2,-32768,-32768,3}, {5,7,3,-32768}};
Graf veri yapısı
18
Graf veri yapısı
Grafların bellekte saklanma biçimleri:
Bir grafın bitişiklik matrisi üzerinden bellekte matris olarak tutulması
int G[n][m];
int G[4][5]={{4,5,2,-32768,-32768}, {4 ,-32768,-32768,-32768,7}, {-32768 ,-32768,2,3 ,-32768},
{-32768,5,-32768,3,7}};
Bellekmaliyeti = veri tipi uzunluğu * (n * n)
(komşuluk matrisi üzerinden)
Bellekmaliyeti = veri tipi uzunluğu * (n * m)
(bitişiklik matrisi üzerinden)
Graf veri yapısı
19
Graf veri yapısı
Grafların bellekte saklanma biçimleri:
G grafınının bitişiklik matrisi üzerinden bellekte matris olarak tutulması için basit C dili programı
Graf veri yapısı
20
Graf veri yapısı
Grafların bellekte saklanma biçimleri:
Bir grafın iki dizi üzerinde bellekte tutulması
Graf veri yapısı
21
Graf veri yapısı
Grafların bellekte saklanma biçimleri:
Bir grafın bağlı liste üzerinde bellekte tutulması
Graf veri yapısı
22
Graf veri yapısı
Grafların bellekte saklanma biçimleri:
Bir grafın dizili bağlı liste üzerinde bellekte tutulması
Bellekmaliyeti = dugum veri tipi uzunluğu * (n+2 * m)
Graf veri yapısı
23
Veri Yapıları ve Algoritmalar
Kaynakça
Dr. Rifat ÇÖLKESEN, Veri Yapıları ve Algoritmalar, Papatya
yayıncılık, 2014, 10. basım.(Ders kitabı)
Graf veri yapısı
Dr. Öğr. Üyesi Aydın CARUS - 2020
24