DERIVADAS
1
𝑑𝑐
=0
𝑑𝑣
14
𝑑
𝑑𝑣
(sin 𝑣) = cos 𝑣
𝑑𝑥
𝑑𝑥
2
𝑑𝑥
=1
𝑑𝑥
15
𝑑
𝑑𝑣
(cos 𝑣) = − sin 𝑣
𝑑𝑥
𝑑𝑥
3
𝑑
𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑤
(𝑢 + 𝑣 − 𝑤) =
+
−
𝑑𝑥
𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥
16
𝑑
𝑑𝑣
(tan 𝑣) = sec 2 𝑣
𝑑𝑥
𝑑𝑥
4
𝑑
𝑑𝑣
(𝑐𝑣) = 𝑐
𝑑𝑥
𝑑𝑥
17
𝑑
𝑑𝑣
(cot 𝑣) = − csc 2 𝑣
𝑑𝑥
𝑑𝑥
5
𝑑
𝑑𝑣
𝑑𝑢
(𝑢𝑣) = 𝑢
+𝑣
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
18
𝑑
𝑑𝑣
(sec 𝑣) = sec 𝑣 tan 𝑣
𝑑𝑥
𝑑𝑥
6
𝑑 𝑛
𝑑𝑣
(𝑣 ) = 𝑣 𝑛−1
𝑑𝑥
𝑑𝑥
19
7
𝑑 𝑛
(𝑥 ) = 𝑛𝑥 𝑛−1
𝑑𝑥
20
𝑑
𝑑𝑣
(csc 𝑣) = − csc 𝑣 cot 𝑣
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑣
𝑑
𝑑𝑥
−1
(sin 𝑣) =
𝑑𝑥
√1 − 𝑣 2
𝑑𝑣
𝑑
−1
(cos 𝑣) = − 𝑑𝑥
𝑑𝑥
√1 − 𝑣 2
𝑑𝑣
𝑑
−1
(tan 𝑣) = 𝑑𝑥 2
𝑑𝑥
1+𝑣
𝑑𝑣
𝑑
𝑑𝑥
−1
(cot 𝑣) = −
𝑑𝑥
(1 + 𝑣 2 )
𝑑𝑣
𝑑
𝑑𝑥
−1
(sec 𝑣) =
𝑑𝑥
𝑣√𝑣 2 − 1
𝑑𝑣
𝑑
𝑑𝑥
−1
(csc 𝑣) = −
𝑑𝑥
𝑣√𝑣 2 − 1
8
9
10
11
𝑑𝑢
𝑑𝑣
𝑣
−𝑢
𝑑 𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑥 ,
( )=
𝑣≠0
𝑑𝑥 𝑣
𝑣2
𝑑𝑣
𝑑
1 𝑑𝑣
(ln 𝑣) = 𝑑𝑥 =
𝑑𝑥
𝑣
𝑣 𝑑𝑥
𝑑
log 𝑒 𝑑𝑣
(log 𝑣) =
𝑑𝑥
𝑣 𝑑𝑥
𝑑 𝑣
𝑑𝑣
(𝑎 ) = 𝑎𝑣 ln 𝑎
,
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑎>0
12
𝑑 𝑣
𝑑𝑣
(𝑒 ) = 𝑒 𝑣
𝑑𝑥
𝑑𝑥
13
𝑑 𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑣
(𝑢 ) = 𝑣𝑢𝑣−1
+ ln(𝑢) 𝑢𝑣
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
SI 𝑆 = 𝑓(𝑡): 𝑉 = 𝑓 ′ (𝑆), 𝑎 = 𝑓′(𝑉)
V=Velocidad a=aceleración
21
22
23
24
25
Pendiente de la recta tangente:
𝑑𝑦 ′
𝑓 (𝑥) = 𝑚 𝑇
𝑑𝑥
INTEGRALES
1
∫(𝑑𝑢 + 𝑑𝑣 − 𝑑𝑤) = ∫ 𝑑𝑢 + ∫ 𝑑𝑣 − ∫ 𝑑𝑤
15
∫ tan 𝑣 𝑑𝑣 = − ln|cos 𝑣| + 𝐶 = ln|sec 𝑣| + 𝐶
2
∫ 𝑐 𝑑𝑣 = 𝑐 ∫ 𝑑𝑣
16
∫ cot 𝑣 𝑑𝑣 = ln|sin 𝑣| + 𝐶
17
∫ sec 𝑣 𝑑𝑣 = ln|sec 𝑣 + tan 𝑣| + 𝐶
3
∫
𝑑
(𝐹(𝑥)) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶
𝑑𝑥
4
∫ 𝑑𝑣 = 𝑣 + 𝐶
18
∫ csc 𝑣 𝑑𝑣 = ln|csc 𝑣 − cot 𝑣| + 𝐶
5
𝑣 𝑛+1
∫ 𝑣 𝑑𝑣 =
+𝐶
𝑛+1
19
𝑑𝑣
1
𝑣
= tan−1 + 𝐶
2
+𝑎
𝑎
𝑎
𝑑𝑣
1
𝑣−𝑎
∫ 2
=
ln |
|+𝐶
2
𝑣 −𝑎
2𝑎
𝑣+𝑎
𝑑𝑣
1
𝑎+𝑣
∫ 2
=
ln |
|+𝐶
2
𝑎 −𝑣
2𝑎
𝑎−𝑣
𝑑𝑣
1
𝑣
∫
= sec −1 + 𝐶
2
2
𝑎
𝑎
𝑣√𝑣 − 𝑎
𝑑𝑣
𝑣
∫
= sin−1 + 𝐶
2
2
𝑎
√𝑎 − 𝑣
𝑑𝑣
∫
= ln |𝑣 + √𝑣 2 + 𝑎2 | + 𝐶
2
√𝑣 + 𝑎2
𝑑𝑣
∫
= ln |𝑣 + √𝑣 2 − 𝑎2 | + 𝐶
2
√𝑣 − 𝑎2
𝑣
𝑎2
𝑣
∫ √𝑎2 − 𝑣 2 𝑑𝑣 = √𝑎2 − 𝑣 2 + sin−1 + 𝐶
2
2
𝑎
6
7
𝑛
∫
𝑑𝑣
= ln|𝑣| + 𝐶 = ln|𝑣| + ln|𝐶|
𝑣
𝑎𝑣
𝑎>0
∫ 𝑎𝑣 𝑑𝑣 =
+ 𝐶,
ln 𝑎
𝑎≠1
20
21
∫
𝑣2
8
∫ 𝑒 𝑣 𝑑𝑣 = 𝑒 𝑣 + 𝐶
22
9
∫ sin 𝑣 𝑑𝑣 = − cos 𝑣 + 𝐶
23
10
∫ cos 𝑣 𝑑𝑣 = sin 𝑣 + 𝐶
24
11
∫ sec 2 𝑣 𝑑𝑣 = tan 𝑣 + 𝐶
25
12
∫ csc 2 𝑣 𝑑𝑣 = − cot 𝑣 + 𝐶
26
13
∫ sec 𝑣 tan 𝑣 𝑑𝑣 = sec 𝑣 + 𝐶
27 ∫ √𝑣 2 + 𝑎2 𝑑𝑣 = √𝑣 2 + 𝑎2 +
14
∫ csc 𝑣 cot 𝑣 𝑑𝑣 = − csc 𝑣 + 𝐶
28 ∫ √𝑣 2 − 𝑎2 𝑑𝑣 = √𝑣 2 − 𝑎2 −
Integración por partes:
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
𝑣
2
𝑎2
ln |𝑣 + √𝑣 2 + 𝑎2 | + 𝐶
2
𝑣
2
𝑎2
ln |𝑣 + √𝑣 2 − 𝑎2 | + 𝐶
2
Integral definida:
𝑏
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑎
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
1
cos 𝛼 sec 𝛼 = 1
2
sin 𝛼 csc 𝛼 = 1
3
tan 𝛼 cot 𝛼 = 1
sin 𝛼
tan 𝛼 =
cos 𝛼
cos 𝛼
cot 𝛼 =
sin 𝛼
4
5
17
cos 2𝛼 = cos 2 𝛼 − sin2 𝛼
cos 2𝛼 = 2 cos 2 𝛼 − 1
cos 2𝛼 = 1 − 2 sin2 𝛼
18
sin 2𝛼 = 2 sin 𝛼 cos 𝛼
19
tan 2𝛼 =
2 tan 𝛼
1 − tan2 𝛼
6
sin2 𝛼 + cos 2 𝛼 = 1
20
𝛼
1 + cos 𝛼
|cos | = √
2
2
7
1 + tan2 𝛼 = sec 2 𝛼
21
𝛼
1 + cos 𝛼
|sin | = √
2
2
8
1 + cot 2 𝛼 = csc 2 𝛼
22
𝛼
1 − cos 𝛼
|tan | = √
2
1 + cos 𝛼
9
cos(𝛼 + 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽
23
2 sin 𝛼 cos 𝛽 = sin(𝛼 + 𝛽) + sin(𝛼 − 𝛽)
10
cos(𝛼 − 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 + sin 𝛼 sin 𝛽
24
2 cos 𝛼 cos 𝛽 = cos(𝛼 + 𝛽) + cos(𝛼 − 𝛽)
11
sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽
25
−2 sin 𝛼 sin 𝛽 = cos(𝛼 + 𝛽) − cos(𝛼 − 𝛽)
12
sin(𝛼 − 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 − cos 𝛼 sin 𝛽
26
𝛼+𝛽
𝛼−𝛽
cos
2
2
𝛼+𝛽
𝛼−𝛽
sin 𝛼 − sin 𝛽 = 2 cos
sin
2
2
𝛼+𝛽
𝛼−𝛽
cos 𝛼 + cos 𝛽 = 2 cos
cos
2
2
13
14
15
16
tan 𝛼 ± tan 𝛽
1 ∓ tan 𝛼 tan 𝛽
cot 𝛼 cot 𝛽 ∓ 1
cot(𝛼 ± 𝛽) =
cot 𝛼 ± cot 𝛽
2
sin 𝛼 = 1 − cos2 𝛼
1 1
sin2 𝛼 = − cos 2𝛼
2 2
cos 2 𝛼 = 1 − sin2 𝛼
1 1
cos2 𝛼 = + cos 2𝛼
2 2
𝜋 = 3.141592 … = 3.14 rad
𝑒 = 2.718281 …
𝜋 rad = 180°
1 rad = 57°17′ 44′′ = 57.29578°
tan(𝛼 ± 𝛽) =
27
28
29
sin 𝛼 + sin 𝛽 = 2 sin
cos 𝛼 − cos 𝛽 = −2 sin
𝛼+𝛽
𝛼−𝛽
sin
2
2
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴
𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐 cos 𝐵
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶
𝑎
𝑏
𝑐
=
=
sin 𝐴 sin 𝐵 sin 𝐶
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 ,
FUNCIÓN EXPONENCIAL
𝑎>0
𝑎≠1
𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥
1
1
(0,1),
(1, 𝑎),
(1, )
(1, 0),
(𝑎, 1),
( , 1)
𝑎
𝑎
SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
EXPRESIÓN
SUSTITUCIÓN
IDENTIDAD
2
2
𝑥 = 𝑎 sin 𝜃
𝑎 −𝑥
1 − sin2 𝜃 = cos2 𝜃
𝑥 = 𝑎 tan 𝜃
𝑎2 + 𝑥 2
1 + tan 𝜃 = sec 2 𝜃
2
2
𝑥 = 𝑎 sec 𝜃
𝑥 −𝑎
sec 2 𝜃 − 1 = tan2 𝜃
ÁREA ENTRE CURVAS
INTEGRALES IMPROPIAS
1
1
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎(𝑠) = ∫ [𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)] 𝑑𝑥,
𝑎
𝑐→0 𝑐
0
∞
𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥)
𝑏
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
VOLÚMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
𝑎
𝑏→∞ 𝑎
VALOR MEDIO
𝑏
𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑓 2 (𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
1
𝐴(𝑓) =
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏−𝑎 𝑎
𝑎
𝑏
𝑉 = 𝜋 ∫ [𝑔2 (𝑥) − 𝑓 2 (𝑥)] 𝑑𝑥 ,
𝑎
𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥)
𝑏
𝐴(𝑓) =
𝑏
𝑉 = 2𝜋 ∫ 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
∫ 𝑤(𝑥) 𝑑𝑥 ≠ 0
𝑉 = ∫ 𝑥 [𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)] 𝑑𝑥
𝑎
LONGITUD DE ARCO
𝑏
𝑏
𝑙(𝛼) = ∫ √[𝑥 ′ (𝑡)]2 + [𝑦 ′ (𝑡)]2 𝑑𝑥
𝑎
𝑎>0
𝑎≠0
log 𝑎 (𝑥 ∙ 𝑦) = log 𝑎 𝑥 + log 𝑎 𝑦
𝑥
log 𝑎 ( ) = log 𝑎 𝑥 − log 𝑎 𝑦
𝑦
log 𝑎 𝑥 𝑛 = 𝑛 log 𝑎 𝑥
log 𝑏 𝑥 ln 𝑥
log 𝑎 𝑥 =
=
log 𝑏 𝑎 ln 𝑎
log 𝑎 𝑥 = 𝑦 ∴ 𝑎 𝑦 = 𝑥,
𝑏
∫𝑎 𝑤(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑎
∫𝑎 𝑤(𝑥)𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
LOGARITMOS
𝑙(𝛼) = ∫ √1 + [𝑓 ′ (𝑥)]2 𝑑𝑥
𝑎
∄ log −𝑎 𝑥
∄ log 𝑎 −𝑥
∄ log 𝑎 0
log 𝑎 1 = 0
log 𝑎 𝑎 = 1
log 𝑎 𝑎𝑛 = 𝑛