ALJABAR BOOLE







Aljabar Boole sangat berguna dalam mengombinasikan
secara sistimatis rangkaian AND, OR dan NOT.
Ada tiga macam operasi di sini, yaitu :
Dua deret A dan B dapat dijumlahkan dengan cara
memperlakukan A dan B seperti apa yang dikerjakan
rangkaian OR. Hasilnya disebut (A + B).
Misalnya :
A 0011
B 0101
A+B 0111
ALJABAR BOOLE






Seperti tampak dalam contoh di atas, tiap kolom (tiap
pasang nilai input) dijumlahkan secara terpisah,
sehingga :
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=1
Inilah fakta-fakta dasar mengenai penjumlahan dalam
aljabar Boole. Rangkaian OR merupakan
implementasi listrik untuk operasi penjumlahan Boole
ini. Dalam hal ini digunakan istilah OR dan tanda (+)
untuk maksud yang sama.
ALJABAR BOOLE





Dua deret A dan B dapat dikalikan dengan cara
memperlakukan A dan B seperti apa yang
dikerjakan rangkaian AND. Hasilnya disebut (AB).
Misalnya :
A 0011
B 0101
AB 0 0 0 1
ALJABAR BOOLE






Seperti tampak dalam contoh di atas, tiap kolom (tiap
pasang nilai input) dikalikan secara terpisah,
sehingga :
0x0=0
0x1=0
1x0=0
1x1=1
Inilah fakta-fakta dasar mengenai perkalian dalam
aljabar Boole. Rangkaian AND merupakan
implementasi listrik untuk operasi perkalian Boole ini.
Dalam hal ini digunakan istilah AND dan tanda (x)
untuk maksud yang sama.
ALJABAR BOOLE


Suatu deret dapat diinversikan dengan mengganti 0
dengan 1 dan sebaliknya. Hal ini sama seperti apa
yang dilakukan rangkaian NOT. Invers deret A akan
disebut ¬A. Operasi invers dapat disimpulkan dalam
dua fakta invers dasar, yaitu :
• ¬0 = 1
• ¬1 = 0
Ketiga operasi di atas membentuk dasar bagi
aljabar Boole.
ALJABAR BOOLE





Contoh :
Diketahui deret A = 1010101
Jadi : A + B
= 1010111
AB
= 0000001
¬A
= 0101010
B = 0000011
ALJABAR BOOLE
Teori Aljabar Boole

Ada beberapa teorema yang menyatakan sifat yang dimiliki
suatu deret nilai.
Misalnya :

Ø (dibaca : OH) : menyatakan suatu deret yang seluruhnya
berisi nilai 0.

I : menyatakan suatu deret yang seluruhnya berisi nilai 1

Jika suatu deret nilai dikalikan dengan Ø, maka hasil
perkaliannya adalah deret Ø.

Misalnya diketahui deret nilai A = 0 1 dan Ø = 0 0, maka :
A
0 1
Ø
0 0
AxØ
0 0
ALJABAR BOOLE






Hasil di atas membuktikan suatu teorema bahwa
deret A berapapun nilainya apabila dikalikan dengan
Ø, maka hasilnya adalah Ø.
Jadi teoremanya : A Ø = Ø ..........(1)
Teorema-teorema lain yang berlaku satu deret nila A
dalam aljbar Boole ini antara lain :
Teorema (2) : A + I = I
Teorema (3) : A + Ø = A
Teorema (4) : AI = A
ALJABAR BOOLE
Bukti teorema : A
•
I
•
A+I
•
AI
Teorema (5) : A+A = A
Teorema (6) : AA = A
0
1
1
0
1
1
1
1
Bukti teorema :
A
A
AA
A+A
(= I )
(= A)
0
0
0
0
1
1
1
1
A
0 1
Ø
0 0
A+Ø 0 1
(= A)
(= A)
(=A)
ALJABAR BOOLE
Teorema
Teorema
Teorema
Teorema
(7) :
(8) :
(9) :
(10)
¬ Ø = I, ¬I = Ø
¬(¬A) = A
A + (¬ A) = I
: A(¬A) = Ø
Bukti teorema :




A
¬A
¬(¬A)
A + (¬A)
A(¬A)
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
( = A )  teorema (8)
( = I )  teorema (9)
( = Ø )  teorema (10)
ALJABAR BOOLE









Teorema lain yang agak lebih kompleks menyatakan
sifat dari sepasang deret, misalnya :
diketahui A = 0011 dan B = 0101. Maka hitunglah
deret ¬(A+B) dan A(¬B)!
Penye. : A
0011
B
0101
A+B
0111
¬(A + B)
¬A
¬B
1000
1100
1010
¬A¬B 1 0 0 0
ALJABAR BOOLE
Hasil di atas menunjukkan kedua deret A dan B adalaha sama
sehingga berlakulah teorema : ¬(A + B) = ¬A¬B ...... (11)
 Teorema-teorema lain yang berlaku dua deret nila A dalam aljbar
Boole ini antara lain :
 Teorema (12) : ¬A¬B = ¬A + ¬B
 Teorema (13) : A + B = B + A
 Teorema (14) : AB = BA
 Teorema (15) : AB + A¬B = A
 Teorema (16) : A + AB = A
 Teorema (17) : A + B = AB + A¬B + ¬AB
 Teorema (18) : ¬AB + ¬A¬B = ¬A
 Teorema (19) : AB + A¬B + ¬A¬B = I
 Teorema (20) : (A + B) (¬A + ¬B) = A¬B + ¬AB
 Teorema (21) : (A + B) ¬(AB) = A¬B + ¬AB
ALJABAR BOOLE







Bukti teorema (11) dan teorema (12) :
Seperti yang disarankan, teorema yang melibatkan
dua deret A dan B dapat dibuktikan dengan memilih
A = 0011 dan B = 0101. Dengan demikian dapat
dihitung seperti berikut ini:
A
B
A+B
¬(A+B)
¬A ¬B
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
¬A
¬B
AB
¬(AB)
¬A + ¬B
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
ALJABAR BOOLE



Kedua teorema telah diuji kebenarannya. Yang
pertama biasanya diartikan sebagai ”Invers suatu
jumlah semua dengan hasil perkalian masingmasing invers”.
Sedang yang kedua dapat diartikan ”Invers suatu
hasil perkalian sama dengan jumlah masingmasing invers”. Perhatikan pemunculan jmlah dan
hasil perkalian yang bergantian.
Pada umumnya :
¬(A+B) ≠ ¬A + ¬B dan ¬(AB) ≠ ¬A ¬B
ALJABAR BOOLE
Bukti teorema (13) dan teorema (14) :
Perhatikan
 A
 B
 A + B
 AB

deretan nilai berikut ini :
0 0 1 1
B
0 1 0 1
A
0 1 1 1
B+A
0 0 0 1
BA
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
Pada dasarnya kedua teorema ini benar karena 0 + 1
dan 1 + 0 keduanya menghasilkan 1 dan 0 x 1 dan 1 x 0
keduanya menghasilkan 0.
ALJABAR BOOLE
Bukti teorema (15) dan teorema (16) :
A
B
¬A
¬B
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
AB
A(¬B)
(¬A)B
¬A¬B
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
ALJABAR BOOLE
 Penjumlahan AB + A¬B = 0011, ini adalah A sendiri.
Jadi eorema (15) terbukti.
 Penjumlahan AB + A(¬B )+ (¬A)B = 0111, ini adalah
A + B, sehingga teorema (18) terbukti.
 Penjumlahan keempat hasil perkalian memberikan
hasil 1111 yang merupakan isi teorema (20).
 Berikut A + AB menghasilkan 0011 yang adalah A
dan dengan demikian membuktikan teorema (16).
Dua teorema lainnya dapat dibuktikan dengan cara
yang sama dan cukup mudah untuk dikerjakan
dalam pikiran.
ALJABAR BOOLE
Bukti teorema (21) dan teorema (22) :
 Dengan meninjau kembali deret nilai A dan B di atas,
teorema ini bisa dibuktikan sebagai berikut :




A+B
(¬A + ¬B)
(A + B) (¬A+ ¬B)
A¬B + ¬AB
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
Dengan mengganti ¬A + ¬B dengan ¬(AB), yang oleh
teorema (12) dijamin sama, maka diperoleh teorema
(22) dari teorema (21).
ALJABAR BOOLE
Beberapa teorema yang berlaku untuk
tiga deret sembarang A, B, dan C
tampak sebagai berikut :
Teorema
(22)
Teorema (23)
Teorema (24)
Teorema (25)
A
A
A
A
(B + C) = AB + AC
+ BC = (A + B) (A + C)
+ ( B + C) = (A + B) + C
(BC) = (AB) C
TERIMA KASIH
ATAS PERHATIAN ANDA
WASSALAAM
ke awal
Contoh Penyederhanaan Logika
ALJABAR BOOLE