一階 ODE 習題
類型 01 可分離變數型
01. 求解： y′ = − 2 x 。
y
(101 中山環工-1)
解答： y 2 + 2 x 2 =
K
02. 求解： xy 2 y′ = y + 1; y (3e 2 ) = 2 。
2
解答： y − y + ln y + 1 = ln x − 2
2
03. 求解： xy′ + y = y 2 。
解答： y − 1 = Cx
y
(general solution) ; Singular solution: y = 0
04. 求解： xy′ + y + 4 =
0 。(104 北科能源及冷凍-1a)
解答： x( y + 4) =
K
05.=
求解： y′ y=
e ; y (1) 4 。(102 北科能源及冷凍-1a)
2 −x
解答： y −1 = e − x + 1 − 1 。
4 e
06. 求解： x sin( y ) y′ = cos( y ) 。
解答： sec( y ) = Cx
07. 求解： y′ ln( y x ) = 3x 2 y; y (2) = e3 。
解答： (ln y )2 = 3 x 2 − 3
1
08. 求解： dy =
。(107 中山環工-1)
dx 10 x 2 − 19 x + 6
1
−1
解答：
ln 5 x − 2 + ln 2 x − 3 + C
=
y
11
11
2
09. 求解： dy = x( y + 1) 。(108 中山環工-1)
dx y ( x 2 − 1)
解答： y 2 +=
1 K ( x − 1)( x + 1)
1
類型 02 一階線性型
01. 求解： xy′ − 3 y = x 2 。
解答： y = − x 2 + Cx 3
02. 求解： y′ + 1 y = e x 。(104 台大環工-1(1))
x +1
x
解答： y = xe + C
x +1 x +1
03. 求解： y′ + 2 y = 3; y (0) = 5 。
x +1
解答： y = ( x + 1) + 4 ( x + 1) 2
04. 求解： y′ + x−1 2 y = 3 x; y (3) = 4 。
解答： y ( x) = x 2 − x − 2
05. 已知： xy′ + y = xe x ; y (1) = 0 ，求解 y (2) 。 (100 中央環工-4)
解答： y ( x=
) e x − e x x ，故 y (2) = e 2 − e 2 2 。
06. 求解： xy′ − 2 y = x3 cos(4 x) 。 (100 中山環工-2)
解答： y 1 x 2 sin(4 x) + Cx 2
=
4
07. 求解： xy′ + 4 y = 8 x 4 ;
y (1) = 2 。 (103 台聯大-1(a))
解答： y = x 4 + x −4
2
類型 03 正合型
01. 求解： (6 x + 1) y 2 y′ + 3 x 2 + 2 y 3 = 0 。
3
解答： x3 + 2 xy 3 + y = C
3
02. 求解： ( y cos( xy ) + x ) dx + ( y + x cos( xy ) )dy = 0 。
2
2
解答： y + x + sin( xy ) = C
2
2
03. 求解： 1x + y + (3 y 2 + x) y′ = 0 。
解答： ln | x | + xy + y 3 = C
04. 求解： (3 x 2 y 2 + e y ) y′ + 2(xy 3 + 1) = 0 。
解答： x 2 y 3 + 2 x + e y = C
05. 求解： e y + ( xe y − 1) y′ = 0;
y (5) = 0 。
解答： xe y − y = 5
06. 求解： 3 x 2 y dx + x 3 dy = 0 。(101 中山環工-2)
解答： x 3 y = C
07. 請問常數 A, B, C 及 D 滿足何種條件時以下微分方程式： ( Ax + By ) dx + (Cx + Dy ) dy = 0 為正合(exact)?求
解此一正合方程式。(99 中興環工-1)
解答：當 B = C 時，該 ODE 為正合； A x 2 + D y 2 = K
2
2
08. 求解： (3x 2 + y cos x )dx + (sin x − 4 y 2 )dy = 0 。(106 中央環工-1(b))
解答： x 3 + y sin x − 4 y 3 = C
3
09. 求解： y′ = y − x , y (−5) = −5 。(106 台大環工-1(1))
y − x −1
2
2
解答： x − xy + y − y = 5
2
2
10. 求解： ( x3 + 3 xy 2 ) dx + ( 3x 2 y + y 3 ) dy =
0 。(105 北科大能源與冷凍空調-1a)
解答： 1 x 4 + 1 y 4 + 3 x 2 y 2 =
C
4
4
2
3
類型 04 積分因子型
2
x
01. 求解： y′ = − 2 y + y x + e (1 + 1 x ) 。(99 第一科大-5)
x + 2y
解答： x 2 y + xy 2 + xe x = C
02. 求解： (x 3 + y 4 )dx − xy 2 (2 y + x 2 )dy = 0 。
4
3
解答： − 1 y − y + x = C
2
2 x
03. 求解：
(x
2
3
)
+ y 2 − x dx − ydy =
0 。(107 中興環工-1(1))
解答： −1 y 2 e −2 x + x 2 e −2 x =
C
2
04. 求解： y (x y + 2)dx + x(2 − 2 x y )dy = 0 。 (101 中山環工-3)
2
2
2
2
解答：通解為： − 1 + ln | x | −2 ln | y |= C , 奇解為： y = 0
x2 y2
05. 求解： ( 4 x + 3 y 2 ) dx + 2 xydy =
0 。 (105 北科大能源與空調-1b)
解答： x3 y 2 + x 4 =
C
06. 求解： y ( x + y + 1) dx + ( x + 2 y )dy =
0 。 (107 中興機械-1)
解答： xye x + y 2 e x =
C
07. 求解： ( 2 xy 3 + 2 xy 2 ) dx + ( 2 x 2 y − 3x 2 y 3 ) dy =
0。
解答： x 2 y 3e −3 y + x 2 y 2 e −3 y =
C
08. 求解： 3xy ( x + y ) dx − x3dy =
0。
3
2
解答： x + 3x =
C
y
2
4
類型 05 一階齊性、Bernouli 與 Riccati 型
01. 求解： xy′ = x cos( xy ) + y 。
y

解答：
=
x C  sec + tan
x

y

x
y2
02. 求解： xy
=′
+ y 。(102 北科能源及冷凍-1c)
x
解答： x = Ce
−
x
y
03. 求解： x 2 y′ = x 2 + y 2 。
解答： ln | x | + K = 2 3 tan −1  2 3 y − 3 
 3 x
3
3 

04. 求解： y′ − 2x y = − 1x y 2 。
解答： y = 1 x + Cx −1
2
05. 求解： y′ + 1x y =
1
x4
−3
y4 。
解答： y 7 4 = − 7 x − 3 + Cx − 7 4
5
06. 求解： xy′ − ( x + 1) y = xy 2 。 (105 成大環工-1(A))
解答： 1 y = −(1 − 1 x ) + C xe x
07. 求解： y′ + 1 y = 4 x 2 y 3 。(106 中山環工-2)
x
解答： y = v −1 2 =
1
− 8 x + Cx 2
3
08. 求解： xy′ + y =
x 2 y 2 。(107 成大環工-1A)
−1
解答： y ( =
x) v=
− x3
2
1
+ cx
09. 求解： 3 xy′ + y + x 2 y 4 =
0 。(107 中興環工-3(1))
解答： y 3 ( x 2 + cx ) =
1
10. 求解： y′ = −e − x y 2 + y + e x 。
解答：
− 1 −x
1
=
e + Ce x
y − ex
2
5
類型 06 其他
01. 求解： e y y′ = 3(x + e y ) − 1; y (0) = 1 。
解答： I.C. e y =− x + e3 x +1
02. 設 u (x) 滿足 u ( x) + (1 + 2 x)
∫
t=x
t =0
u (t ) dt = e − x ,
2
x ≥ 0 ，試求 ∫
t =1
t =0
u (t ) dt 。(102 中央環工-1)
解答：
∫
t =1
t =0
u(t ) dt = y (1) = e −1 − e −2
03. 求解： y ′ + y = e − x cos 2 θ ; where θ = ye x , y (0) = 0 。(102 中央環工-2)
解答： tan( ye x ) = x
04. 求解： y′ − 2 xy =x 2 + y 2 。(104 北科大能源與冷凍-1b)
解答： y= tan( x + C ) − x
05. 求解： xdy − ydx = (4 x 2 + y 2 )dy 。(107 中興環工-1(2))
解答： y −1 tan −1  2 x  + C
=
 
2
 y 
06. 求解：
( 2x
2
)
+ 3 y 2 − 7 xdx − (3 x 2 + 2 y 2 − 8) ydy =
0 。(106 中央環工-1(1))
2
4
2
4
解答： x − 7 x − y + 4 y 2 + 3  y  =
  C
2
2
2
2 x 
07. 求解：
(x
2
)
+ y 2 − x dx − ydy =
0 。(107 中興環工-1(2))
1
解答：=
x
ln x 2 + y 2 + C
2
6