Dispense del corso di
Sperimentazione di Strutture Aeronautiche
c
Luigi Balis Crema°
c
Franco Mastroddi°
Università degli Studi di Roma La Sapienza
A.A. 2002-2003
Indice
I
Richiami di Teoria della Misura - Strumenti di Misura
1 Cenni di Teoria della Misura - Elaborazione di dati Sperimentali
1
2
1.1
La misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Unità fondamentali e derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Strumenti di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4
Caratteristiche di misura e prorietà metrologiche degli strumenti . . . . . . . . .
7
1.5
Catena di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.6
Classificazione dinamica degli strumenti di misura . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.6.1
Sistemi di ordine zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.6.2
Sistemi del primo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.6.3
Sistemi del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Trattamento a posteriori degli errori nelle misure . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.7.1
Propagazione degli errori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.7.2
Analisi statistica dei dati per la determinazione dell’incertezza nella misura 30
1.7.3
Metodo dei minimi quadrati. Retta di regressione
. . . . . . . . . . . . .
36
1.7.4
Considerazioni conclusive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
Cenni su blocchi speciali delle catene di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
1.8.1
Sistema di acquisizione dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
1.8.2
Sistemi di telemetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1.7
1.8
2 Strumenti di Misura e Trasduttori Elettrici
i
44
2.1
Galvanometro a bobina mobile: misure di corrente, di tensione e di resistenza . .
44
2.2
Oscilloscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
2.3
Trasduttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
2.3.1
Potenziometro o reostato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
2.3.2
Trasformatore differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
2.3.3
Trasduttore capacitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
2.3.4
Trasduttore piezoelettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
2.3.5
Trasduttori fotoelettrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
2.3.6
Trasduttore ad effetto Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
2.3.7
Trasduttore fotovoltaico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
3 Misure Estensimetriche
69
3.1
Estensimetri a resistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.2
Effetto della temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
3.3
Estensimetri a semiconduttore
82
3.4
Il ponte di Wheatstone a tensione costante
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
3.5
Il ponte di Wheatstone a corrente costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
3.6
Effetto dei cavi di collegamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
3.7
Estensimetri impiegati come sensori in trasduttori . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
3.7.1
Cella di carico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
3.7.2
Trasduttore di pressione a membrana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.8
3.9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Misura della deformazione e dello sforzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.8.1
Misura della deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.8.2
Misura dello sforzo e dello scorrimento per materiali isotropi . . . . . . . 108
Misure ottiche di estensimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.9.1
Estensimetro a diffrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.9.2
Estensimetro ad interferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
ii
4 Misure di vibrazione
115
4.1
Considerazioni generali: vibrazioni e comfort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.2
Trasduttore sismico ed accelerometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.3
Accelerometri piezoelettrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.4
Misure di accelerazione angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5 Misure di temperatura
5.1
128
Termometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.1.1
Termometro a liquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.1.2
Termometro a lamina bimetallica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.1.3
Termometro a resistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.1.4
Termistori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.2
Termocoppie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.3
Misura della temperatura da variazioni di frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.4
Misure di temperature molto elevate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6 Misure di pressione ed acustiche
6.1
II
145
Misure manometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.1.1
Manometro Pirani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.1.2
Manometro Knudsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.1.3
Manometro ad ionizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.2
Misure altimetriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.3
Misure acustiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Misure Dinamiche delle Strutture Aeronautiche e Spaziali
7 Modelli Matematici nella Dinamica Strutturale
159
160
7.1
Descrizioni della dinamica di una struttura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.2
Modello ad un solo grado di libertà - SDOF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
iii
7.2.1
7.3
Funzioni di risposta in frequenza per il modello SDOF . . . . . . . . . . . 165
Modello a più gradi di libertà - MDOF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.3.1
Caso non smorzato: vibrazione libera, modi e frequenze proprie di vibrazione168
7.3.2
Caso non smorzato: risposta forzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.3.3
Smorzamento proporzionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.3.4
Smorzamento di isteresi: caso generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.3.5
Smorzamento viscoso: caso generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
8 Dinamica Strutturale Sperimentale - Acquisizione delle FRF
181
8.1
Prove sperimentali di analisi dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.2
Determinazione delle FRF con ingresso di tipo generale . . . . . . . . . . . . . . 183
8.3
8.2.1
Ingresso periodico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.2.2
Ingresso impulsivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
8.2.3
Ingresso random . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Impiego di ingressi diversi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.3.1
Ingresso sinusoidale con variazione discreta di frequenza . . . . . . . . . . 189
8.3.2
Ingresso sinusoidale con variazione continua di frequenza . . . . . . . . . . 189
8.3.3
Ingresso periodico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.3.4
Ingresso random . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.3.5
Ingresso impulsivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.3.6
Il sistema di eccitazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
8.4
Determinazione dei parametri modali dalle FRF: ipotesi di SDOF . . . . . . . . . 194
8.5
Funzioni dell’analizzatore e problemi di analisi del segnale . . . . . . . . . . . . . 200
8.5.1
Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.5.2
Leakage (dispersione) e windowing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.5.3
Zoom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.5.4
Procedimenti di media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.5.5
Un esempio di analizzatore e generatore di segnale . . . . . . . . . . . . . 208
iv
9 Tecniche sperimentali di analisi modale
9.1
211
Confronto tra diverse tecniche di analisi modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
9.1.1
Tecniche di risonanza, appropriazione modale . . . . . . . . . . . . . . . . 212
9.1.2
Tecniche FRF a più ingressi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
9.1.3
Tecniche nel dominio del tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
9.2
Tecnica nel dominio del tempo di Ibrahim, ITD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
9.3
La tecnica del decremento logaritmico, randomdec, RDT∗ . . . . . . . . . . . . . 223
10 Confronto tra Modello Numerico e Sperimentale
227
10.1 Analisi dei dati sperimentali di prove dinamiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
10.2 Verifica dell’ortogonalità dei modi sperimentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
10.3 Verifica della consistenza dei vettori modali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
10.4 Modi sperimentali in campo complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
10.5 Gradi di libertà del modello numerico e sperimentale - Bilanciamento . . . . . . . 232
10.6 Scelta della posizione dei punti di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
10.7 Confronto tra modello numerico e sperimentale: aggiornamento del modello
numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
10.7.1 Confronto dei modelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
10.7.2 Aggiornamento del modello numerico
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
10.8 Analisi di sensibilitá e modifiche strutturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
10.8.1 Valutazione delle caratteristiche modali del modello numerico aggiornato
243
10.8.2 Identificazione del danno con tecniche di analisi modale . . . . . . . . . . 246
11 Analisi Modale Sperimentale di un Velivolo o di una Struttura Spaziale
250
11.1 Fasi principali dell’analisi modale sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
11.1.1 Progetto della prova di analisi modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
11.1.2 Preparazione della strumentazione di misura . . . . . . . . . . . . . . . . 251
11.1.3 Acquisizione dei dati sperimentali
v
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
11.1.4 Analisi dei dati ottenuti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
11.1.5 Particolarità delle prove su di una struttura spaziale . . . . . . . . . . . . 253
11.2 Comportamento in campo non lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
11.3 Identificazione della matrice di rigidezza da prove statiche . . . . . . . . . . . . . 257
11.4 Analisi modale su una struttura libera* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
11.5 Prove sperimentali su tavolo vibrante* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
A Complementi di teoria degli errori
264
A.1 Valore più probabile per una grandezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
A.2 Legge di propagazione degli errori e sue conseguenze . . . . . . . . . . . . . . . . 265
B Richiami di sistemi dinamici lineari per le strutture
268
B.1 Sistemi E.D.O. del I ordine* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
B.1.1 Teoremi* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
B.2 Sistemi dinamici del II ordine per problemi strutturali* . . . . . . . . . . . . . . 271
B.3 Sistemi dinamici per problemi strutturali scritti in forma normale . . . . . . . . . 273
B.4 Osservazioni sui sistemi strutturali: approccio alla “Duncan”* . . . . . . . . . . . 274
C Richiami di teoria dei segnali random
275
C.1 Densità spettrale di potenza e teorema di Wiener-Khintchine . . . . . . . . . . . 275
C.2 Relazioni tra densità spettrali auto e incrociate di ingresso e uscita di sistemi lineari278
D Esperienze di misure dinamiche su strutture elementari in alluminio
280
D.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
D.2 Descrizione dell’apparato sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
D.3 I Parte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
D.3.1 Scelta delle condizioni di vincolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
D.3.2 Scelta del sistema di eccitazione e di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
D.4 II Parte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
vi
D.4.1 Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
D.4.2 Preparazione del sistema di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
D.4.3 Configurazione dell’analizzatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
D.5 III Parte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
Bibliografia
318
vii
Parte I
Richiami di Teoria della Misura Strumenti di Misura
1
Capitolo 1
Cenni di Teoria della Misura Elaborazione di dati Sperimentali
1.1
La misura
Un processo di misura (o misurazione) è costituito da un insieme di operazioni con le quali si
associa ad un generica grandezza, che è appunto l’oggetto della misura, un numero (o misura
della grandezza).
La conoscenza tecnologica e più in generale quella del mondo fisico è basata sul concetto e sulla
possibilità stessa della misura ma, naturalmente, nel processo di misura è anche insita una causa
di perturbazione dell’oggetto della misura stessa.
Al di là del significato speculativo di questa considerazione, che pure è molto importante, consegue che ad ogni misura deve essere associata una stima di errore la cui valutazione è essenziale
per dare un significato pratico alla misura stessa.
Alla base del concetto di misura sta quindi la possibilità di individuare un numero che rappresenta il rapporto tra due grandezze omogenee (si tratta di un numero reale razionale od irrazionale
nel caso in cui le due grandezze siano o meno commensurabili):1
1
Qualora non sia possibile per una grandezza fissare univocamente un campione e stabilire univocamente
relazioni di disuguaglianza (qualitative) e quantitative tra diverse sue determinazioni di misura, tale grandezza
si dice empirica: la durezza dei solidi o la rugosità delle loro superfici sono tipici casi di grandezze empiriche.
Tutte le altre grandezze, le cui misure cioè possono porsi univocamente in relazioni qualitative (disuguaglianza) e
quantitative (uguaglianza) si dicono fisiche. il processo di misura richiede quindi come primo passo la definizione
di opportune grandezze campioni, da considerare come unità di misura.
2
grandezza
nome
simbolo
lunghezza
metro
m
massa
kilogrammo
kg
tempo
secondo
s
intensità di corrente
ampere
A
temperatura
kelvin
K
quantità di sostanza
mole
mol
intensità luminosa
candela
campione
Spazio percorso dalla luce in un 1/299.792.458 di secondo.
Massa del cilindro di platino (D ' 39mm e h ' 39mm)
depositato al museo di Sevres.
Tempo intercorso dopo 9.192.631.770 oscillazioni dell’isotopo
Ce133 .
Intensità di corrente che mantenuta costante in due conduttori
paralleli (infiniti) e distanti un metro e nel vuoto, induce una
forza di scambio pari a 2 10−7 N/m.
1/273,16 della temperatura termodinamica del punto triplo
dell’acqua.
Quantità di sostanza associata a 0.012 Kg dell’isotopo C 12 .
cd
Intensità luminosa relativa ad una prefissata direzione, di una
sorgente monocromatica che emette a 540 1012 Hz e con
intensità di energia pari a 1/683 watt/rad.
Tabella 1.1: unità fondamentali del SI
1.2
Unità fondamentali e derivate
Sono naturalmente possibili scelte diverse per le unità fondamentali e le conseguenti unità
derivate; queste scelte sono legate a problemi pratici, come la realizzazione delle unità campione, ed anche ad aspetti di consuetudine. Nel Sistema Internazionale (SI) sono state scelte
come unità fondamentali in campo meccanico:
lunghezza, massa e tempo
Il Sistema Internazionale è stato definito nel 1976 ed il suo impiego in Italia è stato stabilito
a partire dal 1978. Le unità fondamentali stabilite dal SI che coinvolgono, oltre che il settore
della Meccanica, la Termodinamica, la Chimica, l’Elettromagnetismo e l’Illuminotecnica, sono
riportate in Tab. 1.1.2 La costruzione, il controllo e la gestione dei campioni di misura sono
affidati ad appositi enti internazionali e nazionali.3
2
Sono considerate come unità di misura supplementari il radiante (angolo piano visto da un arco unitario di
circonferenza di raggio unitario) e lo steradiante (angolo solido visto da una porzione unitaria di superficie di una
sfera di raggio unitario).
3
È significativo come nel corso degli ultimi due secoli si sia tesi a salvaguardare le caratteristiche di riproducibilità, indeteriorabilità e minima incertezza dei campioni di misura passando dall’uso di campioni convenzionali (ad es. il metro come la misura di lunghezza di un campione depositato nel museo di Sevres ...) a quello
di campioni naturali (ad es. il metro come la misura di lunghezza pari ad un multiplo definito della lunghezza
d’onda di una predefinita radiazione ...).
3
grandezza
nome
simbolo
espressione
frequenza
hertz
Hz
s−1
forza
newton
N
m kg s−2
pressione
pascal
Pa
m−1 kg s−2
lavoro
joule
J
m2 kg s−2
potenza
watt
W
m2 kg s−3
Tabella 1.2: alcune unità derivate SI
Nella Tabella 1.2 sono riportate alcune unità derivate con le loro espressioni in termini di
unità fondamentali. Le equazioni che consentono il passaggio dalle grandezze fondamentali
alle derivate, tipicamente indotte da leggi fisiche, si dicono equazioni dimensionali. Nella Tabella 1.3 vengono riportati i fattori di conversione alle unità di misura del SI di alcune tra le più
diffuse unità di misura impiegate nel campo tecnico.
1.3
Strumenti di misura
Si definiscono come dirette le misure che consistono in un confronto diretto della grandezza
di misura con un campione scelto come riferimento, mentre si definiscono come indirette le
misure che vengono ottenute attraverso l’impiego di una relazione fisica (equazione dimensionale)
misurando le diverse grandezze che intervengono nella relazione impiegata: tale relazione, detta
pure curva di graduazione dello strumento, è la legge di distribuzione nella scala delle divisioni
(ad es., una funzione di variabile reale y = f (x)). Essa è detta curva di taratura quando è legata
o definita attraverso una rilevazione sperimentale: essa si deve ricavare a partire dai campioni di
misura, o almeno da uno strumento di precisione superiore. Naturalmente la curva di taratura
deve essere ricavata per ogni singolo strumento. In ogni caso, le misure dirette sono dei casi
particolari nel processo di misura anche se offrono il vantaggio di una maggiore semplicità.
Anche gli strumenti di misura si possono classificare in strumenti diretti e strumenti indiretti:
a seconda che la misura sia eseguita senza o con trasformazione della grandezza da misurare
in grandezza di altra natura fisica. Gli strumenti indiretti, che costituiscono naturalmente la
grande maggioranza degli strumenti di misura, si possono ancora classificare come strumenti
4
Tabella 1.3: Tabella di conversione di unità di misura in unità SI
Per convertire
abampere
abcoulomb
abfarad
abhenry
abohm
abvolt
acre (ac)
acre-foot
ampere internazionale (1948)
amperora (Ah)
angolo giro
angstrom (Ȧ)
anker (ank)
anno luce
apostilb (asb)
ara (a)
atmosfera fisica (atm)
atmosfera tecnica (at)
bar
baria
barrel
barrel (dry, U.S.) (bbl)
baud (B)
bes (b)
biot (bi)
board foot (fbm)
british termal unit (BTU) (internatzionale, 1956)
BTU (media)
BTU (39o F)
BTU (60o F)
BTU (termochimica)
bushel (U.S.) (bu)
bushel (U.K.) (bu)
butt
cable
caloria (internazionale) (cal)
caloria (media)
caloria (termochimica)
caloria ( a 15o )
caloria ( a 20o )
candela Hefner (H.K.)
candela internazionale (I.C.P.)
carato metrico
cavallo inglese (HP)
cavallo vapore (CV)
cavallo-ora (CVh)
centigrade heat unit (CHU)
centimetro di mercurio (a 0o C)
(cmHg )
centimetro d’acqua (a 4o C)
(cmH2 O )
centipoise (cP)
chain (survayor’s) (ch)
chain
chaldron
cheval vapeur électrique (chel )
cicero
circular inch
circular mil (cm)
clasius (Cl)
clo
cord (cd)
coulomb internazionale (1948)
cran
cup
curie (Ci)
darcy
denaro (den.)
dez
didot (v. cicero)
dina (dyn)
drachm (U.K., fluid)
drachm (o dram) (dr)
drachm (U.S., fluid)
elettronvolt (eV)
eman
erg
ettaro (ha)
in
moltiplicare per
Per convertire
A
C
F
H
Ω
V
m2
m3
A
C
rad
m
m3
m
cd/m2
m2
Pa
Pa
Pa
Pa
m3
m3
bit/s
kg
A
m3
J
10
10
109
10−9
10−9
10−8
4.046856 103
1.233482 103
0.999835
3.6 103
2π
10−10
45.4609 10−3
9.46055 1015
1/π
100
101.325 103
98.0665 103
105
0.1
0.1589873
0.115628
1
1
10
2.359737 10−3
1055.056
J
J
J
J
m3
m3
m3
m
J
J
J
J
J
cd
cd
kg
W
W
J
J
Pa
1055.87
1059.67
1054.68
1054.35
35.23907 10−3
36.3687 10−3
0.49098
185.2
4.1868
4.19002
4.184
4.1855
4.18190
0.92
1.02
2 10−4
745.7
735.49875
2.64779 106
1.8991
1333.32
Pa
98.0638
farad internazionale (1948)
fathom (fath, fm)
fermi
fermi (F)
Festmeter (Fm)
firkin (beer) (fir)
firkin (butter)
firkin (soap)
flash
foot
foot (U.S. survey)
footcandle
footlambert
fourier
franklin (Fr)
fresnel
frigoria (fg, fr)
furlong (fur)
gal (o galii) (Gal)
gallon (Canada, liquid)
gallon (U.K., liquid) (Imp. gal)
gallon (U.S., dry)
gallon (U.S., liquid) (gal)
gamma
gamma
gauss (G, Gs)
gilbert (Gb)
gill (U.K.) (gi)
gill (U.S.)
giorno solare medio (d)
giorno sidereo
giro
gon (g)
gon quadrato
grado (o )
grado Celsius (o C)
grado Fahrenhait (o F)
grado quadrato
grande caloria (Cal, kcal)
grano
grex
hand
hartley
henry internazionale (1948)
hogshead (hhd)
horsepower (HP)
horsepower (U.K.) (H.P.)
horsepower boiler
horsepower electric
horsepower water
hundredweight, long (cwt)
short (sh. cwt ctl)
hyl
hyla
inch (in)
joule internazionale (1948)
kayser
kilocaloria, 15o (kcal, Cal)
kilocaloria/ora (kcal/h)
kilogrammo forza (kgf)
kilogrammetro (kgm)
kilopond (kp)
kilopound (kip)
kilowattora (kWh)
knot (v. nodo)
ksi
lakdyne
lambert (L)
langley (ly)
league (internazionale, marina)
league, statute
league (U.K. nautical)
libbra (v. pound)
linea marina
Ns /m2
m
m
m3
W
m
m2
m2
J/K
K m2
m3
C
m3
m3
Bq
m2
kg/m
rad
—
N
m3
kg
m3
J
Bq /m3
J
m2
10−3
20.11684
30.48
1.30927
736
4.512 10−3
5.067095 10−4
5.067075 10−10
4.1868
0.2003712
3.62455
0.999835
170.5 10−3
2.365882 10−4
3.7 1010
0.987 10−12
1/9000
0.174533
—
10−5
3.55163 10−6
1.77175 10−3
3.69671 10−6
1.6021892 10−19
3.7 103
10−7
104
a
b
5
TK = TC + 273.15
TK = 95 TF + 253.37
in
F
m
m
m2
m3
m3
kg
kg
s
m
m
lm/m2
cd/m2
W/K
C
Hz
J
m
m/s2
m3
m3
m3
m3
T
A/m
T
amperspira
m3
m3
s
s
rad
rad
sr
rad
K
K
sr
J
kg
kg/m
m
bit
H
m3
W
W
W
W
W
kg
kg
kg
kg
m
J
m−1
J
W
N
J
N
N
J
—
N/m2
N
cd/m2
J/m2
m
m
m
—
rad
moltiplicare per
0.999505
1.8288
10−15
10−28
1
40.9148 10−3
25.4012
28.1227
0.7 1024
0.3048
0.3048006
10.76391
3.426259
1.1163
3.3361 10−10
1012
4.1855 103
201.1684
10−2
4.546122 10−3
4.546087 10−3
4.404884 10−3
3.785412 10−3
10−9
0.795894 10−3
10−4
0.7957747
1.420652 10−4
1.182941 10−4
8.64 104
8.616409 104
2π
0.015708
(π/200)2
π/180
(a )
(b )
(π/180)2
4.1868 103
5 10−5
10−7
0.1016
3.32193
1.000495
0.286795
745.6999
745.7
9.80950 103
746
746.043
50.80235
45.35924
9.80665 10−3
1.00029 103
0.0254
1.000165
100
4.185 103
1.1625
9.80665
9.80665
9.80665
4.448222 103
3.6 106
—
6.894757 106
1
3.183099 103
4.184 104
5.556 103
4.828032 103
5.559522 103
—
π/16
Per convertire
linea (artiglieria) (¯)
line
link (surveyor’s)
link (li)
litro (l)
lusec
lux (lx)
mache (UM)
magn
maxwell (Mx, M)
meru
metro d’acqua (mH2 O )
mho
miglio marino (internazionale)
miglio marino (italiano)
miglio geografico
mil
mile, U.K. nautical
mile, U.S. nautical
mile U.K. statute (mi)
mile U.S. statute
millesimo convenzionale (¨)
millimetro d’acqua (mmH2 O )
millimetro di mercurio (mmHg )
minim (U.K.) (min)
minim (U.S.) (min)
minuto d’angolo (’)
minuto solare medio (min)
minuto sidereo
murgue
nat (o nepit, o nit)
nodo (internazionale) (kt)
nodo (imperial knot)
nodo (admiralty knot)
nodo (U.S. knot)
numero metrico
oersted (Oe)
ohm internazionale
ohm acustico
ohm meccanico
oncia (v. ounce)
ora solare media (h)
ora siderea
ounce (avoirdupois) (oz)
ounce (avoirdupois)
ounce, fluid (U.K.) (fl. oz)
ounce, fluid (U.S.)
ounce (troy, apothecaries)(oz tr)
parsec (pc)
peck (U.K.) (pk)
peck (U.S.)
pennyweight (dwt)
perck (v. rod)
perm (a 0o C)
perm (a 23o C)
perm (pm)
phot (ph)
pica (em)
piede (v. foot)
pieze (pz)
pig
pint (U.K.) (pt)
pint (U.S., dry)
pint (U.S., liquid)
point
poise (P)
pole (v. rod)
pollice (v. inch)
poncelet (p)
pond (p)
pottle
pound (avoirdupois) (lb)
pound (avoirdupois)
pound (troy, apothecaries)
poundal (pdl)
psi
puncheon (punch)
punto (p)
quart (U.S., dry)
quart (U.S., liquid)
quart (U.K.) (qt)
in
rad
m
m
m
m3
W
lm/m2
Bq/m3
F/m
Wb
rad/s
Pa
S
m
m
m
m
m
m
m
m
rad
Pa
Pa
m3
m3
rad
s
s
Pa s/m3
bit
m/s
m/s
m
m/S
m/kg
A/m
Ω
Ns/m5
Ns/m
—
s
s
N
Kg
m3
m3
kg3
m
m3
m3
kg
—
kg/Ns
kg/Ns
m
lm/m2
m
—
Pa
kg
m3
m3
m3
m
Ns/m2
—
—
W
N
m3
N
kg
kg
N
Pa
m3
m
m3
m3
m3
moltiplicare per
Per convertire
π/3200
0.635 10−3
0.3048
0.2011684
10−3
133.322 10−6
1
13.135 1013
8.86 104 /π
10−8
72.9208 106
9.80665 10−3
1
1852
1851.85
1855.4
2.54 10−5
1853.184
1852
1609.344
1609.343
3200/π
9.80665
133.322
58.1939 10−9
61.61189 10−9
2.908882 10−4
60
59.83617
9.80638 10−3
1.44269
0.514444
0.514772
1853.181
0.514791
103
79.57747
1.000495
105
10−3
—
3.6 103
3.590170 103
0.2780139
28.34952 10−3
28.4131 10−6
29.5737 10−6
31.10348 10−3
3.68374 1016
9.09218 10−3
8.809768 10−3
1.555174 10−3
—
5.72135 10−11
5.74525 10−11
10−4
104
4.217518 10−3
—
103
25.4012
0.562861 10−3
0.5506105 10−3
0.4731765 10−3
0.3514598 10−3
0.1
—
—
980.665
9.80665 10−3
2.273043 10−3
4.448222
0.4535924
0.3732417
0.138255
6.894757 103
0.32732
0.376065 10−3
1.101221 10−3
9.463529 10−4
1.1365 10−3
quarter (qr)
quarter
quintale (q)
rad (rd)
Raummeter (Rm)
rayl
rem
rep
reyn
rhe
riga (v. cicero)
rod
rood
röntgen (R)
runlet (run)
rutherford (rd)
sack
scruple
scruple, fluid
secondo d’angolo ()
secondo sidereo
shake
siriometro
slug
span
stack
stat (st)
statampere
statcoulomb
statfarad
stathenry
statohm
statvolt
sthen
sthene (sn)
stero (st. s)
stilb (sb)
stoke (St)
stone (st)
teaspoon
termia (th)
tex (tex)
therm
tierce
titolo inglese
ton (di TNT) (T)
ton (essay)
ton, long (tn)
ton, short (sh. tn)
ton, register
ton, U.S. shipping
ton, U.K. shipping
tonnellata (t)
tonnellata equivalente di petrolio (tep)
torr
township
tun
unit pole
unità astronomica (u.a.)
unità di massa atomica (u)
unità elettrostatica (U.E.S.) di
capacità (v. statfarad)
corrente (v. statampere)
induttanza (v. statherny)
resistenza (v. statohm)
tensione (v. statvolt)
unità
elettromagnetica
(U.E.M.) di
capacità (v. abfarad)
corrente (v. abampere)
induttanza (v. abherny)
resistenza (v. abohm)
tensione (v. abvolt)
unità X (UX)
voltelettrone (v. elettronvolt)
volt internazionale (1948)
watt internazionale (1948)
wattora (Wh)
yard (yd)
6
in
kg
m3
kg
Gy
m3
Ns/m3
Sv
J/kg
Ns/m2
m2 /Ns
—
m
m2
C/kg
m3
Bq
kg
kg
m3
rad
s
s
m
kg
m
m3
Bq
A
C
F
H
Ω
V
N
N
m3
cd/m3
m2 /s
kg
m3
J
kg/m
J
m3
m/kg
J
kg
kg
kg
m3
m3
m3
kg
J
Pa
m2
m3
Wb
m
kg
moltiplicare per
12.700588
0.290950
100
10−2
1
10
10−2
97 10−4
6.8947
10
—
5.0292
1011.7124
2.579760 10−4
81.8296 10−3
106
101.605
1.295978 10−3
1.18388 10−6
4.848137 10−6
0.9972696
10−8
1.49598 1017
14.59390
0.2286
3.0582144
13.431 103
3.33564 10−10
3.33564 10−10
1.11265 10−12
8.987554 1011
8.987554 1011
299.7925
100
103
1
104
10−4
6.350294
4.928922 10−6
4.1855 106
10−6
1.055056 108
0.19093
0.59 103
4.2 109
29.16667 10−3
1.016047 103
0.9071847 103
2.831685
1.1328
1.1894
103
4.1868 1010
133.322
9.323957 107
1.14561
1.256637 10−7
1.49598 1011
1.6605655 10−27
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
m
—
V
W
J
m
—
—
—
—
—
1.00202 10−3
—
1.00033
1.000165
3.6 103
0.9144
analogici e strumenti digitali. Uno strumento analogico presenta l’indicazione della misura con
un indice che si muove con continuità su di una scala entro un campo di misura limitato (essi
possono a loro volta classificarsi come strumenti a lettura diretta, strumenti di zero e strumenti
registratori). Lo strumento digitale presenta invece l’indicazione della misura con incrementi
finiti e direttamente con un numero.
Tutti gli strumenti di misura indiretti eseguono la seguente successione di operazioni:
• rilevazione della grandezza da misurare;
• trattazione del segnale;
• presentazione del risultato.
La prima operazione è compito del sensore, che deve “sentire” la grandezza da misurare ed essere
invece il più possibile insensibile alle altre grandezze presenti; il sensore molto spesso cambia la
natura fisica del segnale (ad es. da una grandezza meccanica ad una differenza di potenziale
elettrico) e viene in questo caso indicato come trasduttore.
Nella seconda operazione il segnale viene modificato, “trattato”, secondo procedure che sono
molto diverse secondo le singole misure, ma un’operazione quasi sempre presente è quella della
amplificazione del segnale.
Nella terza operazione il risultato della misura viene presentato all’utente per la registrazione.
1.4
Caratteristiche di misura e prorietà metrologiche degli strumenti
Le qualità degli strumenti di misura e quindi delle relative misure da essi effettuabili non si
limitano solamente all’incertezza con cui viene ottenuta la misura medesima, ma, oltre questa
(che è la proprietà più intuitiva), anche da altre piuttosto rilevanti che vengono specificate nel
seguito.
• Il campo di misura (o portata) è definito dall’intervallo tra i valori massimo e minimo
della grandezza misurabile; la portata minima è il valore della grandezza da misurare al di
sotto della quale lo strumento non può assicurare la precisione fissata, la portata massima
è relativa al valore massimo che può essere valutato. La portata corrisponde praticamente
alla portata massima, nel caso in cui la portata minima sia molto minore di quella massima.
Si indica invece come sovraccarico nominale il valore massimo della grandezza da misurare
che lo strumento può rilevare senza subire danneggiamenti.
7
• La sensibilità è relativa alla capacità dello strumento di rilevare piccole variazioni della
grandezza di misura e può essere definita come il rapporto tra la variazione della indicazione
dello strumento in corrispondenza di un incremento della grandezza e l’incremento stesso.
La sensibilità è quindi data dalla derivata della curva di graduazione, in generale quindi a
meno del caso ideale di una curva di graduazione lineare la sensibilità varia a seconda del
valore di misura. Se si considera ad esempio la legge quadratica di graduazione:
f (x) = αx2
(1.1)
si ha una sensibilità:
S=
df
= 2αx
dx
(1.2)
che dipende linearmente dal valore di misura.4 Se si considera una legge di graduazione
logaritmica:
f (x) = β log x
(1.3)
si ha una sensibilità:
S=
df
β
=
dx
x
(1.4)
che risulta invece inversamente proporzionale al valore di misura. Si fa anche riferimento
alla soglia di sensibilità (o potere risolutivo dello strumento) che è definita come il minimo
incremento della grandezza da misurare che porta ad uno spostamento valutabile dell’indice
di misura: questa qualità dello strumento dipende dalle sue caratteristiche costruttive e
da perturbazioni esterne.
• La precisione dello strumento rappresenta la sua capacità di individuare il valore “vero”
della grandezza di misura. Ma il valore “vero” è , e rimane dopo la misura, incognito (la
possibilità di valutare il valore “vero” richiede una quantità di informazione infinita che
non è ovviamente possibile) e quindi non è possibile valutare l’errore della misura che è
definito come differenza tra valore misurato e valore vero:
ε = xm − xv
(1.5)
in realtà si definisce una incertezza della misura come variazione stimata della misura
intorno ad un valore di riferimento ed è questa la valutazione della misura che interessa
(v. oltre Par. 1.7). Una possibile classificazione fondamentale degli errori od incertezze:
4
Se si considera la curva di graduazione elementare velocita U∞ - salto di pressione p − p0 di un tubo di Pitot
p − p0 =
1 2
%U∞
2
si ottiene un valore “locale” di sensibilità S = %U∞ .
8
errori sistematici
errori casuali
Nel primo caso si ha una relazione tra l’errore e la grandezza da misurare questa relazione
può e deve essere individuata e quindi l’errore sistematico deve essere eliminato da una
misura corretta. Nel secondo caso invece non è individuabile una relazione tra causa ed
effetto e quindi l’errore casuale non può essere eliminato dalla misura, anche se è possibile
limitarne l’entità con misure ripetute e l’analisi statistica dei dati. Aldilà di tale definizione
che può a volte risultare più scolastica che operativa, si definisce come errore residuo la
somma di tutti gli errori casuali presenti nella misura, la sua valutazione può avvenire
con metodi a posteriori (v. nel Par. 1.7) che sono tipicamente i metodi adottati dagli
utilizzatori della catena di misura i quali non sono interessati a rimuovere l’errore attraverso
la conoscenza delle realizzazioni costruttive o delle leggi che regolano i singoli blocchi della
catena; la valutazione dell’errore residuo può però avvenire pure con metodi a priori che
sono di fatto i metodi utilizzati dal costruttore della catena di misura il quale, analizzando
tale catena come “scatola aperta” deve porsi nella condizione di dichiarare al cliente una
stima (a priori) dell’errore che si può commettere in modo da dare un significato pratico
alla misura stessa.
Si possono classificare diverse origini di errore casuale, tra esse:
– Errore di lettura: esso può presentare diverse cause quali il potere risolutivo dell’occhio umano, errore di parallasse, l’incertezza di interpolazione, il rumore di
fondo.
– Errore di mobilità dovuto all’attrito tra gli elementi mobili dello strumento ed ai
giuochi presenti.
– Errore di isteresi che è legato alla “memoria” dello strumento rispetto alle misure
precedenti.
– Errore di fedeltà che è legato alla riproducibilità della misura e viene valutato con
misure successive delle stessa grandezza mantenuta ad un livello costante.
– Errore di zero che si riferisce in genere a misure di lunga durata e riguarda la possibile
“deriva” durante la misura.
– Errore di taratura: come si è detto l’operazione di taratura riguarda il singolo strumento ed in essa sono possibili diversi errori dovuti alla grandezza campione (v. oltre
errore di riferimento) ed al tracciamento della scala di taratura.
– Errore nella grandezza di riferimento: è l’errore che si compie tarando uno strumento
con un campione già affetto da una certa incertezza. Per strumenti tarati, tale errore
è già incluso in quello di taratura.
9
Avendo fatto una valutazione parzialeqa priori di tutti i precedenti errori εi casuali, potrà
definirsi come errore residuo εres =
P
2
i εi :
quindi, la classe di precisione di uno stru-
mento si definisce allora in base al suo valore di fondo scala: ad esempio l’indicazione di
classe 1 significa che l’errore massimo è dell’1% del fondo scala (ne consegue l’importanza
di eseguire la misura nelle vicinanze del fondo scala, altrimenti l’errore relativo diviene
molto superiore a quello indicato dalla sua classe). Spesso se la classe dello strumento lo
consente non viene fornita la curva di taratura dello strumento ma solo l’indicazione di
una fascia di possibile variazione.
• Finezza: come si è detto la presenza dello strumento di misura perturba la misura stessa
con effetti in molti casi importanti di alterazione della misura; la differenza tra misura
modificata e valore originario rappresenta l’errore di finezza o errore di inserzione. Si
consideri ad esempio il sistema composto da una massa collegata ad un telaio da due molle
in parallelo di rigidezza k1 e k2 ; se viena applicata una forza F sulla massa questa si sposta
di una quantità x e le due molle trasmettono al telaio le forze:
f1 = k1 x
f2 = k2 x
(1.6)
si ha poi:
f1 + f2 = F
(1.7)
(k1 + k2 )x = F
(1.8)
e quindi:
dalle Eqq. 1.6, 1.8 si ha:
f2 =
F k2
k1 + k2
(1.9)
se si vuol misurare la forza f2 si deve impiegare un dinamometro posto tra la molla di
rigidezza k2 ed il telaio. Il dinamometro è costituito da una molla di rigidezza kd per cui
lo schema di misura si modifica e la 1.9 diviene:
f20 =
F k2 kd
F k2
=
k1 k2 + k1 kd + k2 kd
k1 + k2 +
k1 k2
kd
(1.10)
dal confronto delle Eqq. 1.9, 1.10 si può calcolare l’errore di inserzione dovuto alla presenza
del dinamometro che, per disturbare poco la misura deve avere una rigidezza elevata
rispetto a quelle del sistema di partenza. In generale è raccomandabile ai fini della finezza,
che il sistema di misura abbia accoppiamento fisico minimale (nell’esempio, accoppiamento
di tipo meccanico) e che cioè, relativamente alle grandezze in gioco, sia dotato rispetto al
sistema di misura di notevole impedenza (nel caso citato rigidezza elevata).
10
Figura 1.1: risposta qualitativa di un sistema di misura ad un ingresso a gradino.
• Rapidità: è la capacità dello strumento di seguire nel tempo la grandezza da misurare ed
è quindi caratteristica specifica di strumenti che misurano grandezze variabili nel tempo.
Se si fa riferimento ad una grandezza costante si definisce tempo di risposta come il tempo
necessario allo strumento per raggiungere la posizione definitiva corrispondente al valore
della grandezza da misurare; teoricamente il tempo necessario è infinito quindi si definisce
la costante di tempo per rappresentare la rapidità dello strumento. La costante di tempo
è il tempo necessario per raggiungere un livello pari al 63.2 % della grandezza da misurare:
come si vedrà nel seguito, se il sistema è lineare tale valore non dipende dell’entità della
grandezza da misurare.
Una seconda situazione test per valuare qualitativamente la rapidità di uno strumento di
misura è quella descritta nel seguito: si consideri un ingresso a gradino come in Fig. 1.1.
Si definisce come tempo di risposta il tempo che si richiede perchè l’errore dinamico si
riduca ad un valore inferiore ad un limite scelto espresso in frazioni α del percorso di salita
x1 − x0 :
x1 − α(x1 − x0 ) ≤ x ≤ x1 + α(x1 − x0 )
(1.11)
tR = t1 − t0
(1.12)
il tempo di risposta è :
si considera anche una sovraelongazione definita da:
xmax − x1
β=
x1 − x0
11
(1.13)
nel caso di comportamento lineare β è indipendente dall’ampiezza del gradino che si
considera nella misura.
Nel caso di grandezze da misurare che siano funzioni generiche del tempo, si può fare riferimento come “comportamento test”, ad ingressi test elementari di tipo armonico semplice
(ad es., sinusoidali o cosinusoidali) per i motivi illustrati nel seguito: una generica funzione di ingresso dello strumento y(t) può essere decomposta in modo unico in un intervallo
chiuso dei tempi 0 ≤ t ≤ T come nel seguito (teorema di Fourier)
ay
y(t) = 0
2
µ
e cioè definendo ωn :=
y(t) =
¶
µ
¶
µ
¶
2π
2π
2π
+
cos
1t + ay2 cos
2t + ay3 cos
3t + ...
T
T
T
µ
¶
µ
¶
µ
¶
2π
2π
2π
y
y
y
+ b1 sin
1t + b2 sin
2t + b3 sin
3t + ...
T
T
T
ay1
2π
T n,
ay0
2
(1.14)
come
+ ay1 cos (ω1 t) + ay2 cos (ω2 t) + ay3 cos (ω3 t) + ...
+ by1 sin (ω1 t) + by2 sin (ω2 t) + by3 sin (ω3 t) + ...
(1.15)
Una decomposizione analoga potrà naturalmente essere effettuata sulla grandezza in uscita
al sistema di misura (grandezza esibita dallo strumento)
x(t) =
ax0
2
+ ax1 cos (ω1 t) + ax2 cos (ω2 t) + ax3 cos (ω3 t) + ...
+ bx1 sin (ω1 t) + bx2 sin (ω2 t) + bx3 sin (ω3 t) + ...
(1.16)
A motivo dell’unicità di tale decomposizione (nella quale le funzioni seno hanno ruolo di
componenti armoniche della parte antisimmetrica del segnale rispetto la mezzeria dell’intervallo e quelle coseno di componenti armoniche della parte simmetrica), definire punto
per punto nel tempo le funzioni y(t) e x(t) equivale a conoscere rispettivamente il set di
coefficienti ay1 , ay2 , ..., by1 , by2 , ... e ax1 , ax2 , ..., bx1 , bx2 , ...
A conclusione di tali considerazioni, poichè considereremo strumenti di misura a comportamento lineare,5 basterà conoscere, ai fini di una caratterizzazione delle rapidità o dinamica
del sistema, come il sistema è in grado di operare relativamente ad una generica grandezza
armonica elementare di pulsazione ω. Si indichino allora con
x(t) = x0 sin(ωt + φ)
y(t) = y0 sin(ωt)
(1.17)
i segnali di uscita e di ingresso dove ω = 2πf è la pulsazione generica del segnale e φ è lo
sfasamento tra il segnale di ingresso e quello di uscita, si avrà un comportamento ideale
5
Date due costanti reali generiche α e β, dato un ingresso y1 (t) del sistema cui corrisponde l’uscita x1 (t) e dato
un ingresso y2 (t) del sistema cui corrisponde l’uscita x2 (t), il sistema è detto dinamicamente lineare se all’ingresso
αy1 (t) + βy2 (t) corrisponde l’uscita αx1 (t) + βx2 (t).
12
Figura 1.2: modulo e fase ideali per la funzione di risposta in frequenza di un blocco dinamico
di misura.
del sistema di misura se si ha:
x/y = costante rispetto a ω
(1.18)
φ = 0 o φ = ωtr
(1.19)
il che significa che i diagrammi che danno in funzione della frequenza l’andamento di x/y
e di φ sono, nel caso ideale, come in Fig. 1.2: in tal caso infatti si avrebbe che il ritardo
temporale di tutte le armoniche (cioè per ogni valore di ω) è costante (pari a tr in questo
caso) e pertanto non si avrebbe distorsione di fase nel segnale di uscita.
Nel caso reale il diagramma delle ampiezze tende comunque a zero per frequenze che tendono all’infinito e si ha un andamento del tipo di Fig. 1.3.
Si definisce cosı̀ una banda
passante come l’intervallo di frequenze entro il quale la risposta si mantiene entro limiti
fissati. In generale un sistema reale di amplificazione ha una caratteristica in frequenza
del tipo a banda passante come in Fig. 1.4.
Le presenti considerazioni sulla mobilità
dei sistemi di misura saranno ripresi ed approfonditi nel Par. 1.6 caratterizzando il comportamento dinamico di tali sistemi in quanto descritti da equazioni differenziali ordinarie
lineari a coefficienti costanti.
Come commento generale ai comportamenti ideali degli strumenti relativi alle loro proprietà,
si può constatare come assai difficilmente essi possano essere contemporaneamente esibiti dal
medesimo strumento: se si pensa ad esempio al semplice funzionamento di un termometro a
bulbo, si avrà curva di graduazione
V − V0 = αV0 (T − T0 )
13
(1.20)
Figura 1.3: modulo della funzione di risposta in frequenza di un sistema di misura reale.
Figura 1.4: banda passante significativa di un blocco di misura reale.
14
Figura 1.5: schema meccanico di un dinamometro.
essendo V e V0 il volume del fluido dopo e prima dell’espansione termica dovuta al salto di
temperatura T − T0 , ed α il coefficiente di espansione termica del fluido. Ora, poiché V − V0 =
A∆h dove A é la superficie del menisco e h è lo spostamento subito dal menisco a seguito del
salto termico, si ha
∆h =
αV0
(T − T0 )
A
e ne seguirebbe che per migliorare la sensibilità dello strumento S =
(1.21)
αV0
A
basterebbe aumentare il
volume del bulbo V0 e diminuire la superficie del menisco A: questo però è nettamente a sfavore
della precisione poichè la diminuzione della superficie del menisco renderebbe più imprecisa la
lettura; inoltre per l’aumento del volume del bulbo, aumenterebbe il tempo di ritardo necessario
al liquido termometrico per raggiungere la temperatura T .
1.5
Catena di misura
In Figura 1.5 è riportato un esempio elementare di catena di misura relativo ad un dinamometro,
in questo caso la rigidezza K del dinamometro ha le funzioni di amplificazione del sistema,
mentre la forza F viene trasformata in spostamento.
In Figura 1.6 si considera invece la misura di spostamento a partire dalla misura di una accelerazione. Il trasduttore (accelerometro) sente l’accelerazione e la trasforma in un segnale elettrico
(tensione) proporzionale al segnale, nel secondo stadio un dispositivo integratore traduce il segnale in spostamento con una doppia integrazione: accelerazione - velocità - spostamento, un
15
Figura 1.6: schema a blocchi di una catena di misura.
amplificatore porta poi il segnale al livello necessario per la presentazione e nel terzo stadio un
oscilloscopio presenta nel tempo l’andamento del segnale.
Si è fatto riferimento, ad un sistema di misura a catena aperta, ma se la misura viene effettuata
con una funzione di controllo, cioè ad esempio per mantenere l’evoluzione di una certa grandezza
in limiti fissati allora si fa riferimento ad un sistema a catena chiusa, che è tipico nel campo del
controllo automatico come indicato in Fig. 1.7.
1.6
Classificazione dinamica degli strumenti di misura
Un sistema di misura si definisce dinamicamente lineare quando l’equazione differenziale che ne
descrive il comportamento è lineare ed a coefficienti costanti, l’ordine del sistema è pari all’ordine
dell’equazione differenziale.6
Conseguenza della linearità dinamica è che il rapporto tra ampiezza dell’uscita e dell’ingresso e
lo sfasamento relativo sono indipendenti dalla grandezza del segnale in ingresso.
Si ha per un generico sistema di ordine n con y(t) segnale di ingresso e x(t) segnale di uscita:
an
6
dn x
dn−1 x
dm y
dm−1 y
+
a
+
...
+
a
x
=
b
+
b
+ ... + b0 y
n−1
0
m
m−1
dtn
dtn−1
dtm
dtm−1
(1.22)
Questa definizione è in realtà applicabile a tutti i sistemi dinamici lineari a caratteristiche costanti nel tempo.
16
Figura 1.7: schema a blocchi semplificato di una catena di misura con retroreazione.
con m ≤ n per i sistemi che qui si tratteranno (in cui cioè la risposta non è mai “più impulsiva”
dell’ingresso applicato). La soluzione è :
x(t) = x0 (t) + xp (t)
(1.23)
dove x0 (t) rappresenta la risposta per una sollecitazione dovuta a condizioni iniziali non nulle
ed xp (t) è la risposta a regime dovuta all’ingresso y(t).
1.6.1
Sistemi di ordine zero
Come caso particolare si definisce strumento di ordine zero il caso in cui la 1.22 si riduca a:
a0 x = b 0 y
(1.24)
quindi l’uscita è data semplicemente da:
x(t) =
b0
y(t)
a0
(1.25)
Dalla 1.25 si vede come il segnale di uscita segue istantaneamente, senza ritardo, il segnale di
ingresso: si tratta di un comportamento dinamico ideale da un punto di vista della qualità di
mobilità dello strumento di misura.
Come esempio si considera il potenziometro di Fig. 1.8 da cui:
17
Figura 1.8: schema elettrico di un dispositivo reostatico.
µ
V =
E
Y
¶
yi = Kyi
(1.26)
dove K = E/Y è evidentemente la sensibilità dello strumento. È evidente che strumenti di tale
tipo pur avendo caratteristiche assolutamente ideali dal punto di vista della mobilita (la curva
di risposte per ogni valore di ω risulterebbe costante in tutte le armoniche con relativi salti di
fase identicamente nulli), nella pratica non esistono, perché di fatto nella pratica non esistono
circuiti elettrici con componenti puramente resistivi e caratteristiche (tensione e corrente) che
si propagano istantaneamente come quelle citate nell’esempio.
1.6.2
Sistemi del primo ordine
Come esempio di strumento del primo ordine (n = 1 e m = 0)si consideri il sistema di Fig.
1.9, cioè un sistema molla e smorzatore, privo di massa definito dall’equazione (a1 = c, a0 = k,
b0 = 1, y(t) = f (t)):
cẋ + kx = f
(1.27)
• Consideriamo il caso di risposta libera, ovvero assenza di forze di ingresso applicate (f = 0);
se spostato dalla posizione d riposo il sistema tende a tornarvi con velocità proporzionale
allo spostamento x. La velocità iniziale di ritorno è data da
ẋ(0) = −
18
k
x(0)
c
(1.28)
Figura 1.9: sistema meccanico del primo ordine molla-smorzatore.
la velocità dipende dallo spostamento quindi diminuisce all’avvicinarsi alla posizione di
riposo, la situazione è rappresentata in Fig. 1.10, la soluzione della Eq. 1.27 con f = 0
è individuata cercandola con struttura tipo x(t) = cost est con s e cost quantità da
individuare soddisfacendo la Eq. 1.27 e la condizione iniziale per la quale nell’istante
iniziale t = 0 la funzione deve valere x(0). Inserendo la soluzione con la struttura prevista
nella Eq. 1.27 si ha, nel caso di assenza di carico (f = 0)
k
c
0
Poiché, come noto, e ≡ 1, si ha inoltre cost = x(0) e quindi si ha:
sc + k = 0 =⇒ s = −
x(t) = x(0) e−t/λ
(1.29)
(1.30)
dove:
c
(1.31)
k
è la costante di tempo del sistema: infatti dopo un tempo t = λ, la soluzione raggiunge
λ=
un livello relativo rispetto la condizione iniziale imposta x(λ)/x(0) = e−1 ' 0.367879 che
è evidentemente lo stesso per qualsiasi sistema del primo ordine e qualsiasi valore iniziale
x(0).
• Si consideri ora l’applicazione di un ingresso a gradino di ampiezza F0 (condizioni iniziali
nulle), la Eq. 1.27 diviene:
cẋ + kx = F0
19
(1.32)
Figura 1.10: risposta a condizioni iniziali assegnate di un sistema meccanico del primo ordine.
si tende verso la nuova posizione di equilibrio con un andamento esponenziale come visto
precedentemente. La posizione finale xf dell’uscita del sistema, che corrisponde a velocità
nulla, è infatti:
xf =
F0
k
(1.33)
e la soluzione generale del problema, che è la somma della soluzione particolare e dell’omogenea associata cioè di quella precedentemente trovata in condizione di ingresso nullo
(x(t) = coste−t/λ )
x(t) = coste−t/λ +
F0
k
(1.34)
Imponendo ora la condizione iniziale, per t = 0, x(0) = 0, si ottiene cost = −F0 /k, e cioè
x(t) =
come riportato in Fig. 1.11.
´
F0 ³
1 − e−t/λ
k
(1.35)
Ancora una volta per t = λ, si ha che il livello relativo
raggiunto dall’uscita rispetto l’ingresso costante è x(λ)/(F0 /k) = 1 − e−1 ' 0.632120 che,
di nuovo, è lo stesso per qualsiasi sistema del primo ordine e qualsiasi valore iniziale x(0).
• In base alle considerazioni generiche fatte sulla rapidità dei sistemi di misura in termini di
contenuto armonico dell’ingresso e dell’uscita, consideriamo il comportamento dei sistemi
del primo ordine con un ingresso armonico semplice a regime permanente di ampiezza F0
20
Figura 1.11: risposta al gradino di un sistema meccanico del primo ordine.
con condizioni iniziali nulle. Si ha:
cẋ + kx = F0 cos(ωt)
(1.36)
¡
¢
con il carico che può anche scriversi7 F0 cos(ωt) ≡ Re F0 eiωt . La risposta per la linearità
del sistema sarà ancora armonica di pulsazione ω con ampiezza M (ω) e fase φ(ω) in cui è
stata evidenziata la dipendenza di queste grandezze da ω; essa sarà cioè del tipo
x(t) = M (ω) cos(ωt + φ(ω)) ≡ Re(M (ω) ei(ωt+φ(ω)
(1.38)
sostituendo, acquistando in generalità, le espressioni complesse di carico e soluzione nella
Eq. 1.36, si avrà iωcM ei(ωt+φ) + kM ei(ωt+φ) = F0 eiωt , cioè
F0
M eiφ =
iωc + k
In termini della costante di tempo λ, diviene:
(1.39)
F0 /k
(1.40)
iωλ + 1
Il modulo e la fase della 1.40 rappresentano l’ampiezza e la fase del segnale in uscita:
M eiφ =
quindi il rapporto tra i moduli dell’uscita e dell’ingresso M/F0 è dato dalla:
M (ω)
1/k
= A(ω) = √
F0
1 + ω 2 λ2
7
(1.41)
Si rammenta che vale in generale la formula di Eulero
eiωt = cos ωt + sin ωt
21
(1.37)
Figura 1.12: caratteristiche modulo-fase di un sistema del primo ordine.
mentre si ha per la fase, eiφ(ω) =
F0 /k 1−iωλ
M (ω) 1+ω 2 λ2 ,
tan φ(ω) :=
quindi
³
´
¡
¢ = −ωλ
Im eiφ(ω)
Re eiφ(ω)
(1.42)
e cioè
φ(ω) = − tan−1 (ωλ)
(1.43)
I grafici di A e φ in funzione di ω e λ sono adimensionali e rappresentano il comportamento
di tutti i sistemi del primo ordine come indicato in Fig. 1.12.
1.6.3
Sistemi del secondo ordine
Si consideri il particolare sistema del secondo ordine (n = 2, m = 0)
J
d2 θ
dθ
+ D + Kθ = Cm (t)
2
dt
dt
(1.44)
che rappresenta l’equazione dell’equipaggio mobile di un galvanometro8 (v. Par. 2.1), con
θ l’angolo che l’indicatore ancorato con l’equipaggio mobile forma rispetto alla posizione di
8
In realtà sistemi di questo tipo sono caratteristici di svariati blocchi di misura sia meccanici come, ad esempio,
gli accelerometri, che elettrici: di fatti se si considera un classico circuito chiuso con la serie di tre elementi, uno
puramente resistivo, uno induttivo ed uno capacitivo (circuito RLC) e si considera una condizione iniziale as
22
Figura 1.13: schema meccanico di un equipaggio mobile di un galvanometro.
equilibrio (zero), dove il primo termine indica la coppia di inerzia proporzionale al momento di
inerzia polare dell’equipaggio mobile J, il secondo termine indica la coppia di attrito che dipende
dal coefficiente di smorzamento D ed il terzo indica la coppia elastica di richiamo che dipende
dalla rigidezza torsionale K. Nel caso del galvanometro, Fig. 1.13, la coppia motrice è data da:
Cm (t) = B l b N i(t)
(1.46)
dove B è il campo di induzione magnetica, l è la lunghezza del lato attivo della bobina, i è la
corrente, b è il braccio della coppia ed N è il numero delle spire. Naturalmente una equazione
con la stessa struttura della 1.44 si ha per il sistema massa, molla e smorzatore, Fig. 1.14:
m
d2 x
dx
+ Kx = f (t)
+c
dt2
dt
(1.47)
• Facendo riferimento alla equazione 1.44 si considera la risposta del sistema nel caso in cui
Cm = 0 (risposta libera) e quindi il sistema parte da condizioni iniziali di non equilibrio.
Cercando anche in questo caso, come di consueto, soluzioni del tipo θ(t) = Aest (con s e
A di individuare in base alla Eq. 1.44 ed alle condizioni iniziali), si ottiene, sostituendo
nella 1.44, Js2 + Ds + K = 0, e quindi
s1,2 =
−D √
± ∆
2J
(1.48)
esempio con l’elemento capacitivo carico, l’equazione del secondo ordine che fornisce la corrente i(t) è
L
di
1
d2 i
+R + i=0
dt2
dt
C
23
(1.45)
Figura 1.14: sistema del secondo ordine massa-molla-smorzatore.
con:
∆=
D2
K
−
2
4J
J
(1.49)
Allora la soluzione sarà del tipo
θ(t) = A1 es1 t + A2 es2 t
(1.50)
con A1 e A2 costanti (dipendenti dalle condizioni iniziali) in generale complesse coniugate:
in questo modo, la risposta del sistema θ(t) non potrà che essere, come deve, una risposta in
campo reale. Il comportamento del sistema dipende dal valore assunto da ∆, in particolare
dalle condizioni:
∆>0
∆=0
∆<0
(1.51)
a cui corrispondono rispettivamente un moto aperiodico (radici s1 ed s2 reali e negative9
∆ > 0), un moto aperiodico critico (∆ = 0) ed un moto periodico (∆ < 0). Dalla posizione:
D
c := √
2 KJ
(1.52)
dove c ha il significato di coefficiente di smorzamento adimensionale, si vede (∆ =
K
J
³
D2
4KJ
´
−1 =
K
J
¡ 2
¢
c − 1 ) che le condizioni 1.51 si traducono nelle condizioni:
c>1
c=1
c<1
(1.53)
√
9
Infatti la radice s1 = −D
− ∆ è sicuramente negativa in virtù della positività delle costanti. Per la s2 si
2J √
√
D2
K
D2
K
puo verificare che s2 = −D
+ ∆ < 0: infatti ciò implicherebbe −D
< − ∆, cioè 4J
2 > 4J 2 − J , =⇒ 0 > − J
2J
2J
che è sempre vera ancora perchè le costanti sono tutte positive
24
c = 1 indica il caso di moto aperiodico critico e corrisponde al tempo minimo di risposta
per il caso aperiodico. Per comprendere più a fondo queste affermazioni si studia nel
seguito la libera del sistema per c < 1 adimenzionalizzando l’Eq. 1.44 tramite la divisione
per J. Si ha cosı̀
θ̈ + 2cωn θ̇ + ωn2 θ = 0
(1.54)
con
s
K
J
ωn =
D
c := √
2 KJ
(1.55)
Le soluzioni s1,2 possono quindi ricalcolarsi come
p
s1,2 = −cωn ± iωn 1 − c2
(1.56)
Si ha allora dalla Eq. 1.50
θ(t) = Ae(−cωn −iωn
√
1−c2 )t
h
+ A∗ e(−cωn +iωn
³
³
p
√
1−c2 )t
´
³
p
= e−cωn t (AR + iAI ) cos ωn 1 − c2 t + i sin ωn 1 − c2 t
³
³
p
´
³
p
´´
+(AR − iAI ) cos ωn 1 − c2 t − i sin ωn 1 − c2 t
h
³
´
p
³
p
= e−cωn t 2AR cos ωn 1 − c2 t − 2AI sin ωn 1 − c2 t
+
´´i
´i
(1.57)
Dunque la soluzione è evidentemtente una soluzione armonica smorzata con periodo
T =
2π
√
ωn 1 − c2
(1.58)
Come sarà chiaro anche dalle altre considerazioni che seguiranno, la condizione di lavoro
ideale corrisponde proprio ad un moto oscillatorio, quindi con c < 1, ed in genere si sceglie
un moto oscillatorio fortemente smorzato:
0.6 ≤ c ≤ 0.8
(1.59)
• Nel caso in cui sia applicata una coppia costante (risposta al gradino):
Cm (t) = C0
(1.60)
la 1.44 diviene:
J
dθ
d2 θ
+ D + Kθ = C0
dt2
dt
(1.61)
Si deve valutare un integrale particolare del sistema, che è dato da:
θp =
25
C0
K
(1.62)
Figura 1.15: risposta nel tempo al gradino di un sistema del secondo ordine con 0 < c < 1.
e si ritrovano considerazioni analoghe a quelle già viste per i sistemi del primo ordine e
cioè si ritrova, questa volta intorno al valore stazionario a regime, cio che si è trovato
nell’interno dello zero per la risposta alle condizioni iniziali (Eq. 1.57); l’andamento della
risposta è del tipo riportato in Fig. 1.15, si ottiene un comportamento periodico per c < 1
ed un andamento oscillatorio con forti sovraelongazioni per valori piccoli di c (c << 1).
• Nel caso di ingresso sinusoidale del tipo:
³
Cm = C sin ωt = Im Ceiωt
´
(1.63)
si avrà una risposta a regime sinusoidale
³
θp (t) = M sin(ωt + φ) = Im M ei(ωt+φ)
´
(1.64)
e quindi, procedendo in maniera del tutto analoga a quanto fatto per i sistemi del primo
ordine,
M (ω)eiφ(ω) =
(ωn2
C/K
C/J
=
2
+ i2cωn ω − ω )
(1 + i2cα − α2 )
(1.65)
cioè avendo posto
α :=
ω
ωn
(1.66)
la risposta si può esprimere in termini di parametri adimensionali che consentono di definire
una “carta di riferimento”. Si ha allora finalmente per il rapporto dei moduli tra l’uscita
26
Figura 1.16: ampiezza della funzione di risposta in frequenza di un sistema del secondo ordine.
e l’ingresso (modulo della risposta in frequenza):
A(α) :=
M (α)
1
=p
C/K
(1 − α2 )2 + 4c2 α2
(1.67)
e per la fase tra uscita ed ingresso:
µ
φ(α) = −atan−1
2cα
1 − α2
¶
(1.68)
Si ottiene cosı̀ il diagramma “universale” riportato in Fig. 1.16 che consente di valutare la
banda passante di uno strumento una volta fissato l’errore dinamico su A; cosı̀ ad esempio
per un accelerometro con frequenza di risonanza di 10KHz e coefficiente di smorzamento
c = 0.7, che è un valore tipico, e fissato un errore dinamico del 5 % si ha una frequenza utile
di 5KHz, naturalmente la banda aumenta se si accetta un errore più grande su A. Dalla
√
curva di fase, Fig. 1.17, si vede anche che il valore c = 2/2 ' 0.707 è quello che si avvicina
al massimo ad un comportamento ideale e quindi alla condizione di non distorsione di fase
(v. Par. 1.4). Si nota che la caratteristica di smorzamento del sistema, c, può essere
difficilmente valutabile “a priori”, ma è facilmente misurabile in via sperimentale.
27
Figura 1.17: fase della funzione di risposta in frequenza di un sistema del secondo ordine.
1.7
Trattamento a posteriori degli errori nelle misure
1.7.1
Propagazione degli errori
Si consideri una misura che deriva a sua volta dalla misura di più grandezze, ad esempio una
potenza elettrica che è il prodotto di una tensione per una corrente:
P = EI
(1.69)
la misure di tensione e corrente sono naturalmente accompagnate dalle rispettive incertezze, ad
esempio:
E = 100 ± 2 V
(1.70)
I = 10 ± 0.2 A
(1.71)
P = 100 × 10 = 1000W
(1.72)
il valore di riferimento della potenza è :
ma come si può valutare il grado di incertezza da attribuire alla misura? Se si considerano le
due condizioni limite dovute alla incertezze indicate si ha:
Pmax = 102 × 10.2 = 1040.4W
(1.73)
Pmin = 98 × 9.8 = 960.4W
(1.74)
28
e quindi l’incertezza sulla misura derivata è di ±4 %; si tratta evidentemente di una valutazione
conservativa che corrisponde ad una stima massima del grado di incertezza. Se si considera poi
anche un grado di probabilità della valutazione dell’incertezza e si presume che questo grado di
probabilità sia uguale per tutte le incertezze espresse nella misura si può stimare l’incertezza
totale sulla misura a partire dai valori delle incertezze delle singole misure; cosı̀ se la misura R
è funzione di n misure primarie:
R = f (x1 , x2 , ..., xn )
(1.75)
si indica con εR l’incertezza relativa alla misura R e con εx1 , εx2 , ..., εxn le incertezze sulle singole
misure, si ha la relazione (v. App. A.2 per la dimostrazione, Eq. A.19):
s
εR =
µ
∂f
εx
∂x1 1
¶2
µ
+
∂f
εx
∂x2 2
¶2
µ
+ ... +
∂f
εx
∂xn n
¶2
(1.76)
• Se si applica la 1.76 al caso della misura della potenza elettrica si ha:
∂f
=I
∂E
P = EI
∂f
=E
∂I
(1.77)
e quindi:
q
εP =
(IεE )2 + (EεI )2
(1.78)
cioè :
εP =
p
202 + 202
(1.79)
quindi l’errore percentuale diviene:
εP
= 2.83 %
Prif
(1.80)
che è un valore più limitato per l’errore percentuale sulla misura rispetto alla valutazione
del 4 % vista precedentemente considerando una valutazione di massima incertezza. Si
nota come nella valutazione dell’incertezza globale della misura “pesi” di più l’incertezza
più grande sulla singola misura e questo corrisponde all’idea intuitiva che la precisione
sulle misure primarie deve essere dello stesso ordine.
• Si consideri ora la misura di una resistenza definita dalla:
R(T ) = R0 [1 + α(T − T0 )]
(1.81)
dove i valori misurati, con le relative incertezze, sono:
R0 = 120 ± 0.5 Ω
T − T0 = 20 ± 1
α = 0.001 ± 10−5
29
o
C
o
C −1
(1.82)
il valore di riferimento è dato da:
Rrif = 122.4 Ω
(1.83)
Per il calcolo dell’incertezza, si devono valutare:
∂R
= 1 + α(T − T0 ) = 1.02
∂R0
∂R
= R0 α = 0.12 Ω o C −1
∂T
∂R
= R0 (T − T0 ) = 2400 Ω o C
∂α
(1.84)
Applicando la 1.76 si ha:
s
εR =
µ
∂R
εR
∂R0 0
¶2
µ
+
∂R
εα
∂α
¶2
µ
+
∂R
εT
∂T
¶2
(1.85)
e quindi:
εR = 0.5425 Ω
(1.86)
εR
0.5425
=
= 0.428 %
Rrif
122.4
(1.87)
e l’errore percentuale è dato da:
mentre una valutazione di massima incertezza porta ad un errore percentuale di 0.536 %.
1.7.2
Analisi statistica dei dati per la determinazione dell’incertezza nella
misura
Definizioni
Dato un insieme di n dati sperimentali, x1 , ..., xn , si definisce il valore medio dell’insieme
n
X
xm =
xi
i=1
n
(1.88)
Come mostrato in App. A.1, tale valore sulla base del principio dei minimi quadrati (v. Par.
1.7.3) è il valore più probabile per la grandezza x. La deviazione del singolo dato dalla media o
scarto è definita come
di = xi − xm
30
(1.89)
Si nota che la media degli scarti è nulla, infatti si ha:
n
X
dm =
i=1
di
n
X
(xi − xm )
i=1
=
= xm − xm = 0
n
n
Si definisce invece errore relativo alla misura iima :
εi = xi − x∗
(1.90)
(1.91)
in cui si è indicato con x∗ il valore vero della grandezza. Osserviamo che mentre lo scarto è
una quantità valutabile su base sperimentale, l’errore non si conosce (se si conoscesse l’errore
sarebbe noto pure il valore vero x∗ !). Naturalmente la quantità
ε̄ = εi − di = xm − x∗
(1.92)
è una quantità costante ed è detta errore della media.
Distribuzione gaussiana per gli scarti
Consideriamo ora un campione di n scarti di , fissiamo un intervallo di discretizzazione dello scarto
e valutiamo per ogni intervallo di discretizzazione dello scarto quanti elementi del campione si
trovano in quel campo di valori: si definisce frequenza di un evento (in questo caso frequenza
dello scarto) il rapporto tra il numero che indica il verificarsi dell’evento (l’essere lo scarto in
quel campo di valori) ed il numero totale delle prove eseguite:
nk
Fk =
(1.93)
n
la frequenza dell’evento è quindi un dato sperimentale a posteriori: ovviamente deve essere per
definizione
n
X
Fi = 1
(1.94)
i=1
La rappresentazione delle frequenze in funzione dei campi delle grandezze ad esse corrispondenti è detto istogramma. La probabilità di un evento, contrariamente alla frequenza, è una
informazione che si fornisce a priori ed indica il rapporto tra il numero dei casi favorevoli al
verificarsi dell’evento stesso ed il numero dei casi possibili; la probabilità è quindi un modello
statistico astratto di un evento che consente di prevederne il comportamento e si esprime con
un numero compreso tra 0 e 1 con i significati limite10
P =0
evento impossibile
(1.96)
10
Se un certo numero n di eventi indipendenti tra loro, presenta la probabilità singola pi , allora la probabilità
che si presentino tutti gli eventi, ptot , è data dal prodotto delle probabilità dei singoli eventi:
Ptot =
Y
i
31
Pi
(1.95)
P =1
evento certo
(1.97)
Tra il concetto di frequenza e quello di probabilità si colloca la legge empirica del caso: all’aumentare del numero delle osservazioni n la frequenza di un evento tende alla sua probabilità.
Seguendo allora idealmente il precedente processo al limite, gli intervalli di discretizzazione degli
scarti si possono far tendere ad un intervallo infinitesimale dd e l’istogramma tenderà a sua volta
ad una curva continua p(d). Ora, se la serie di misure sperimentali da luogo a scarti di tipo
casuale, e se, nell’ipotesi che esistano cause diverse alla base di questi scarti, gli scarti abbiano
entità uguale e esistano uguali probabilità per gli scarti di segno positivo e negativo, si può
ritenere che gli scarti sulle misure seguano la distribuzione di probabilità di Gauss: tale funzione
dovrà essere una funzione simmetrica rispetto allo zero ed inoltre tale che (v. Eq. 1.94)
Z +∞
−∞
p(d)dd = 1
(1.98)
Una funzione che soddisfa tali specifiche è allora
h
2 2
p(d) = √ e−h d
π
(1.99)
(v. Fig. 1.18) in cui h è detto modulo di precisione e ha le dimensioni dell’inverso di uno
scarto. Tale funzione p(d) è detta densità di probabilità poichè se si indica con d il generico
scarto, p(d) dd fornisce la probabilità che si abbia lo scarto d nell’intervallo dd intorno a d; se
invece si desidera conoscere la probabilità di avere degli scarti dal valore da al valore db questa
è naturalmente data da
P [da , db ] =
Z db
da
p(d)dd
(1.100)
Problema successivo sarà quello di determinare il valore del parametro h (che determina la forma
della gaussiana) in base alle informazioni statistiche disponibili su base sperimentale.
Distribuzione gaussiana per gli errori: valutazione dell’incertezza
Nel paragrafo precedente si è analizzata la distribuzione (normale) degli scarti che è quella poi
teoricamente ricostruibile su base sperimentale: d’altro canto quella a cui si è di fatto interessati
è la distribuzione degli errori di misura εi definiti dall’Eq. 1.91. In realtà dall’Eq. 1.92 ne
consegue pure che
εi = ε̄ + di
(1.101)
e pertanto essendo ε̄ costante, la distribuzione di probabilità degli errori sarà la medesima di
quella degli scarti a meno di una traslazione di ε̄ (che tende a 0 al crescere di n, v. Eq. A.24
32
Figura 1.18: famiglia di gaussiane al variare di h.
App. A.2 per la dimostrazione): ciò implica che la costante h, che determina la forma della
curva di Gauss e che è ancora da determinarsi, dovrà essere la stessa e pertanto sarà pure per
la distribuzione dell’errore:
h
2 2
p(ε) = √ e−h ε
π
(1.102)
Ora definiamo e valutiamo, sulla base dell’ipotesi di distribuzione gaussiana dell’errore, l’errore
medio:
Pn
i=1 |εi |
θ=
(1.103)
n
ed il valor quadratico medio dell’errore o deviazione standard (relativa sempre alla grandezza
“errore”):
σ=
v
u n
uX 2
u
εi
u
t i=1
(1.104)
n
(il cui quadrato è detto pure varianza). Nell’ipotesi di distribuzione normale, Eq. 1.102, le
precedenti si traducono (per n → ∞) nella:
Z +∞
θ=
|ε|p(ε)dε
−∞
Z +∞
−∞
2
=
Z +∞
0
εp(ε)dε
1
p(ε)dε
33
1
= √
h π
(1.105)
e nella:
sZ
σ=
+∞
−∞
1
ε2 p(ε)dε = √
h 2
(1.106)
Queste due grandezze correlate agli errori di misura consentirebbero allora di valutare il coefficiente h della gaussiana.11 Il problema che rimane ancora da risolvere è che gli errori non sono
noti per via sperimentale per poter usare le definizioni 1.103 e 1.104, in realtà solo gli scarti
possono valutarsi per via sperimentale. Allora, tenendo presente le Eqq. 1.101 e 1.104, si ha:
n
X
σ2 =
n
X
(di + ε̄)2
i=1
n
=
d2i + 2ε̄
n
X
i=1
n
X
di + nε̄2
i=1
=
n
d2i
i=1
n
+ ε̄2
(1.107)
Poichè deve valere (v. App. A.2 per la dimostrazione, Eq. A.24):
σ
ε̄ = √
n
(1.108)
dalle Eqq. 1.107 e 1.108 segue finalmente:
σ=
v
uX
u n 2
u
di
u
t i=1
(1.109)
n−1
che è la formula ricercata che correla gli scarti di , misurabili sperimentalmente, con la deviazione
standard dell’errore che, tramite la Eq. 1.106, consente sulla base delle misure di valutare il
coefficiente h della distribuzione gaussiana dell’errore. In maniera analoga si potrebbe mostrare
(usando le Eqq. 1.101 e 1.103 e discutendo tutti i casi della funzione modulo) che vale per
l’errore medio:
n
X
θ=
n
X
|εi |
i=1
n
=
|di |
i=1
(1.110)
n
e pertanto che anch’esso è valutabile sulla base degli scarti consentendo cosı̀, tramite la relazione
σ/θ =
p
π/2, di verificare che la distribuzione di probabilità sia di tipo gaussiano. Dunque in
definitiva la funzione densità di probabilità gaussiana per l’errore, assumendo che per n grande
xm ≡ x∗ , è data da:
1
2
2
√ e−ε /2σ
σ 2π
(1.111)
1
2
2
√ e−(x−xm ) /2σ
σ 2π
(1.112)
p(ε) =
ovvero per la grandezza x:
p(x) =
11
Si noti inoltre dalle precedenti che è un invariante delle distribuzioni gaussiane il rapporto σ/θ =
34
p
π/2 ' 1.25.
Dunque la probabilità che un valore di misura sia compreso all’interno di un certo intervallo di
raggio a nell’intorno del valore medio xm (valor vero x∗ ) è data da:
P (xm ± a) =
Z xm +a −(x−xm )2 /2σ2
e
√
σ 2π
xm −a
dx
(1.113)
Ponendo per semplicità:
η = (x − xm )/σ
ηa = a/σ
(1.114)
la Eq. 1.113 diviene:
P (ηa ) =
Z +ηa −η2 /2
e
√
dη
2π
−ηa
(1.115)
la quale può essere tabulata una volta per tutte per ogni valore di ηa . Ad esempio, le probabilità
che i dati si trovino all’intorno del valore medio con l’incertezza indicata (±σ, ±2σ, ±3σ) sono:
P (xm ± σ) = 0.685
P (xm ± 2σ) = 0.955
(1.116)
P (xm ± 3σ) = 0.997
il che corrisponde all’obiettivo di fornire una valutazione dell’incertezza tramite la stima della
probabilità che si ha (68.5 %, 95.5 % e 99.7 % nei tre casi).
Numero di dati limitato - Criterio di Chauvenet
Come mostrato nei precedenti paragrafi, per passare formalmente dal concetto di valore più
probabile xm al valore vero della misura x∗ e perchè pure tutte le considerazioni anche quantitative fatte sulla stima dell’incertezza abbiano sempre più significato, occorre fare un numero
più possibile elevato di misure e cioè fare in modo che n → ∞. Un approccio alternativo è
quello di fare k serie delle n misure, cioè valutare i k valori medi xm1 , xm2 , ..., xmk e considerare
questo come nuovo insieme statistico su cui ripetere tutte le indagini e considerazioni precedenti.
Avremo in tal caso una media delle medie
k
X
xmm =
xmi
i=1
k
(1.117)
che naturalmente coincide al valore che si otterrebbe mediando direttamente le n × k determinazioni, e naturalmente troveremo una distribuzione gaussiana delle medie caratterizzata del
parametro σm , che è “l’errore quadratico medio delle medie” detto pure deviazione standard
35
del valor medio”. Se si avesse disponibile σm , ripetendo l’analisi fatta precedentemente si otterrebbero gli stessi risultati mostrati alla fine del paragrafo precedente (scambiando σ con
σm ) a patto di una loro diversa interpretazione: ad esempio la Eq. 1.116 che si riscriverebbe
P (xmm ± 2σm ) = 0.955 significherebbe che la probabilità che una ulteriore media su n campioni
vada a trovarsi nell’intervallo xmm ±2σm è del 95.5 %, una previsione che rispetto alla precedente
si basa su un modello statistico più ricco. Il grande vantaggio di questo approccio è che il σm
può esprimersi facilmente in funzione di σ tramite
σ
σm = √
n
(1.118)
che è dimostrata in App. A.2, Eq. A.22. Dunque per conoscere l’errore quadratico medio
della media è sufficiente in realtà una sola serie di misure. Si pone poi anche il problema della
possibilità, ed opportunità, di eliminare i dati sperimentali che appaiano troppo grossolanamente
al di fuori della distribuzione di probabilità e ciò può essere fatto soltanto sulla base di un qualche
criterio. Ad esempio può essere utilizzato il criterio di Chauvenet: esso stabilisce che un dato
sperimentale può essere eliminato da un insieme di dati sperimentali se la probabilità associata
con il dato stesso è superiore ad 1/2n (dove n è il numero dei dati disponibili). Si tratta quindi
di valutare, con tutti gli n dati disponibili, il valore medio xm e la deviazione standard σ ad
esempio con la 1.109: si valuta poi la deviazione dei singoli punti e si confronta con la deviazione
standard secondo la probabilità stabilita dal criterio e si eliminano i punti che sono al di fuori
del limite. Per la presentazione finale dei dati si calcola di nuovo il valore medio xm e la nuova
deviazione standard σ con l’insieme ridotto dei dati; naturalmente si ottiene cosı̀ una σ più
limitata. Non si considera la possibilità di una applicazione successiva del criterio che va usato
una volta sola.
1.7.3
Metodo dei minimi quadrati. Retta di regressione
Il principio dei minimi quadrati enunciato per la prima volta da Legendre (1752-1833) afferma
che il valore più probabile di una grandezza è quello che minimizza la somma dei quadrati degli
errori della misura. Nell’Appendice A.1 si illustra come la semplice applicazione di tale principio
su n determinazioni di misura di una grandezza da luogo al risultato che il valor medio di una
grandezza è il suo valore più probabile. Vediamo ora una seconda applicazione di tale principio.
Si consideri di disporre di una serie di misure (o comunque di dati) relative a due variabili x, y e
di voler determinare una relazione funzionale che li colleghi. Naturalmente il tipo più semplice
di relazione funzionale è quella lineare, il problema è quello di determinare la migliore delle
possibili relazioni lineari che possono collegare x ed y. Si tratta di determinare i coefficienti a e
36
b della
y = ax + b
(1.119)
in modo tale da minimizzare la somma dei quadrati delle deviazioni:
S =
n
X
[yi − (axi + b)]2
(1.120)
i=1
cioè si devono imporre le due condizioni:
∂S
=0
∂a
∂S
=0
∂b
(1.121)
ovvero:
nb + a
n
X
xi =
i=1
n
X
b
xi + a
xi yi −
à n
X
x2i =
xi
n
X
x2i −
!Ã n
X
à n
X
i=1
yi
!Ã n
X
i=1
i=1
!
x2i
i=1
n
X
n
x2i
i=1
n
X
xi yi
(1.122)
i=1
−
−
!
yi
i=1
!2
i=1
n
b =
à n
X
i=1
a =
n
X
i=1
da cui
n
yi
i=1
i=1
n
X
n
X
xi
à n
X
i=1
à n
X
xi yi
!Ã n
X
!2
i=1
!
xi
(1.123)
xi
i=1
Il metodo dei minimi quadrati viene utilizzato per determinare polinomi di diverso ordine per la
ricostruzione dei dati sperimentali; la metodologia è sempre la stessa che è stata indicata, cosı̀
se si vuole determinare la funzione quadratica
y = ax2 + bx + c
(1.124)
si tratta di esprimere la somma dei quadrati delle devianze
S =
n h
X
³
´i2
yi − ax2i + bxi + c
(1.125)
i=1
e quindi si determinano i parametri a, b e c dalle condizioni
∂S
=0
∂a
∂S
=0
∂b
∂S
=0
∂c
(1.126)
Naturalmente si deve tener anche conto dell’effetto legato alla incertezza sulla valutazione
sperimentale delle due serie di dati xi e yi .
37
1.7.4
Considerazioni conclusive
Si riassumono in sintesi i punti principali da seguire in un processo di valutazione di risultati
sperimentali:
• Valutazione del numero dei dati necessari per un’analisi statistica e della sua opportunità.
• Verifica iniziale della consistenza dei dati sperimentali ed eventuale eliminazione di dati.
• Valutazione dell’incertezza della misura.
• Previsione analitica a priori delle misure da compiere.
• Correlazione dei dati sperimentali con le previsioni.
• Confronto con dati sperimentali di bibliografia.
1.8
Cenni su blocchi speciali delle catene di misura
Si danno nel seguito solo dei cenni al sottosistema di acquisizione dati ed al sottosistema di
telemetria appartenenti ad un sistema di misura.
1.8.1
Sistema di acquisizione dati
L’elemento base di un qualunque sistema di acquisizione dati è il trasduttore che ha il compito di
“tradurre” in un segnale elettrico la variabile fisica che si vuole misurare; cosı̀ una termocoppia
traduce una temperatura in una tensione ed un estensimetro traduce una deformazione in una
variazione di resistenza che viena a sua volta “letta” in termini di tensione con l’impiego di un
ponte di Wheatstone. Il sistema di acquisizione raccoglie i dati sperimentali e li presenta in una
forma adatta alla loro interpretazione ed elaborazione numerica; ciò può essere fatto semplicemente con un potenziometro o più in generale attraverso una conversione dal segnale analogico
in un segnale digitale, conversione A/D, il segnale digitale può essere poi “presentato” in forma numerica ed inviato direttamente ad un computer. In tutti i casi il sistema di acquisizione
presenta tre stadi:
• uno stadio di ingresso che comprende il trasduttore ed il sistema che provvede a “condizionare” il segnale e che comprende sempre una operazione di amplificazione e di
filtraggio del segnale;
38
Figura 1.19: schema a blocchi di un sistema di acquisizione dati.
• uno stadio di conversione che esprime il segnale in forma digitale, costituito da un convertitore A/D, che discretizza il segnale presentandolo ad intervalli nel tempo in modo da
pilotare un circuito di conteggio;
• uno stadio di uscita che trasforma il segnale digitale in un dato presentato in forma
numerica che può essere registrato per un sistema di elaborazione di calcolo.
Uno schema generale per un sistema di acquisizione di dati è riportato in Fig. 1.19. In genere
si ha a che fare con un sistema che comprende più canali di misura ed anche se, naturalmente, è
possibile disporre di vie completamente indipendentementi per i diversi canali ciò risulta molto
impegnativo per quanto riguarda il costo complessivo del sistema e quindi in genere viene invece
impiegato un programmatore a scansione (scanner) per ottenere un sistema che si comporta come
multicanale, ma che nella realtà è costituito da un solo canale di misura completo di tutti gli
elementi. Il programmatore a scansione è una apparecchiatura che“campiona” i diversi canali
di ingresso con una successione programmata in modo tale che un solo stadio di conversione
sia sufficiente per tutti i canali di misura che possono essere in numero anche molto elevato,
ad esempio 100 canali. Lo scanner può essere considerato come parte integrante dello stadio di
ingresso del sistema. Naturalmente in molte situazioni di misura i dati sperimentali devono essere
registrati con delle successioni temporali prefissate e quindi il sistema di acquisizione può essere
programmato in modo da compiere automaticamente questa scelta di tempi. Anche l’operazione
di condizionamento del segnale, che nel caso di un solo canale è prevista nel primo stadio, subisce
uno spostamento a valle della operazione di campionamento in maniera da potersi adattare al
39
Figura 1.20: schema a blocchi di un sistema di acquisizione dati con programmmatore scanner.
diverso tipo di misura corrispondente ai singoli canali, Fig. 1.20. La trattazione numerica dei
dati viene, naturalmente, eseguita da un sistema di calcolo che può essere integrato nel sistema
stesso di misura o può essere esterno al sistema di acquisizione ma che rappresenta comunque
un quarto stadio che è praticamente sempre presente nel sistema completo di acquisizione dei
dati, come indicato in Fig. 1.21.
1.8.2
Sistemi di telemetria
In diverse situazioni di misura è necessario trasmettere a distanza i dati che vengono raccolti
localmente, questo può avvenire nel caso di prove di volo di aeroplani e di sistemi spaziali
ma anche molto più semplicemente nel caso in cui non sia possibile il collegamento diretto
con il punto di misura come avviene ad esempio per misure su sistemi rotanti. La distanza di
trasmissione dei dati può quindi variare da pochi metri a distanze interplanetarie nel caso di dati
trasmessi da sistemi spaziali. Per la trasmissione di più canali di misura si utilizzano dei sistemi
che consentono di combinare i diversi segnali provenienti da più trasduttori in un solo segnale
per un solo trasmettitore, questo procedimento viene indicato con il termine multiplexing. Ogni
segnale mantiene le sue informazioni usando un sistema di trasmissione a divisione di frequenza
o a divisione di tempo. Nel sistema a divisione di frequenza si considera come esempio il caso
di tre canali (provenienti da diversi trasduttori) che vengono inviati per la modulazione di tre
sottoportanti; per il primo canale un oscillatore controllato in tensione, V CO, è posto a 400Hz,
con deviazione di ±30Hz, per il secondo l’oscillatore è posto a 560Hz, ±42Hz, e per il terzo
40
Figura 1.21: blocco di misura con blocco di calcolo a posteriori.
l’oscillatore è posto a 730Hz, ±55Hz. I tre canali vengono miscelati, con l’impiego di un mixer
in un segnale con banda di frequenza compresa tra 370 e 785Hz e poi trasmessi ad esempio
su di una frequenza portante di 2200M Hz, che è una frequenza della banda disponibile negli
USA per telemetria, come viene indicato in Fig. 1.22. Nel punto di ricezione, riportato in Fig.
1.23, si segue un percorso inverso rispetto alla trasmissione e con opportuni filtri passa banda si
possono separare i canali ed inviare i rispettivi segnali agli appositi demodulatori. Nel sistema
a divisione di tempo invece tutti i canali di misura usano la stessa banda di frequenza, ma sono
separati nel tempo. Come viene indicato in Fig. 1.24, sempre nel caso di tre canali di misura,
ogni canale viene campionato con una successione temporale da un commutatore per ottenere un
segnale che contiene diversi segnali, tre in questo esempio, separati nel tempo. Naturalmente la
velocità di campionamento nel tempo deve essere scelta in modo corrispondente alla variazione
nel tempo del segnale stesso. Come regola di base la frequenza di campionamento deve essere
almeno pari a cinque volte la componente a frequenza più elevata del segnale. Cosı̀ se nel sistema
a tre canali indicato in Fig. 1.24, la componente a frequenza più elevata è a 100Hz la frequenza
di campionamento per ogni canale deve essere di almeno 500Hz e, trattandosi appunto di tre
canali, il commutatore deve essere in grado di operare con una frequenza di almeno 1500Hz. Nel
punto di ricezione del sistema, come indicato in Fig. 1.25, un decommutatore, che deve operare
con la stessa frequenza del commutatore, provvede a risistemare i segnali nei singoli canali di
misura; come è evidente il punto essenziale di questa operazione sta nel perfetto sincronismo tra
commutazione e decommutazione.
41
Figura 1.22: schema di trasmissione con divisione in frequernza
Figura 1.23: schema di ricezione con divisione in frequenza.
42
Figura 1.24: schema di trasmissione con divisione nel tempo.
Figura 1.25: schema di ricezione con divisione nel tempo.
43
Capitolo 2
Strumenti di Misura e Trasduttori
Elettrici
Si fa riferimento a due tipi di strumenti elettrici di largo impiego nel campo della misura:
• galvanometro a bobina mobile
• oscilloscopio
2.1
Galvanometro a bobina mobile:
tensione e di resistenza
misure di corrente, di
Il galvanometro a bobina mobile è uno strumento del secondo ordine in cui la coppia motrice è
data dalla:
Cm = B l i b N
(2.1)
dove B, l, i, b,N sono stati definiti precedentemente nel par. 1.6.3 e la relazione:
θp =
Cm
K
(2.2)
indica il valore della deflessione in condizioni stazionarie. Se si indica con λ lo spostamento sulla
scala dello strumento e con L la lunghezza dell’ago dell’indicatore analogico si ha:
λ = θp L
(2.3)
(B l b N L)
i
K
(2.4)
e quindi dalle 2.3, 2.2, 2.1 si ottiene:
λ=
44
se si pone :
K
J
(2.5)
(B l b N L)
i
(Jωn2 )
(2.6)
λ = Kp i
(2.7)
ωn2 =
la 2.4 diviene :
λ=
cioè
da cui:
(B l b N L)
(ωn2 J)
Kp =
(2.8)
Kp è la costante del galvanometro e rappresenta la sua sensibilità , infatti si ha:
S=
dλ
= Kp
di
(2.9)
si osserva come per rendere grande la sensibilità del galvanometro bisogna ridurne la risposta
dinamica , cioè limitare il valore di ωn , mentre se è necessaria una elevata sensibilità insieme ad
un valore grande di ωn bisogna lavorare con un flusso magnetico, B, grande perchè un eventuale
aumento di l, b, N porta di conseguenza ad un aumento del momento di inerzia dell’equipaggio
mobile J.
Cosı̀ in genere si ha a che fare con un equipaggio mobile di una sola spira con una bobina piccola,
galvanometro a filo o a riflessione: per esempio con fn = 8000Hz ed una lunghezza L = 292mm
si ha una sensibilità S = .05cm/mA mentre se è necessaria una sensibilità maggiore, a parità
di lunghezza L, si deve limitare la banda passante cosı̀ se si sceglie fn = 335Hz si ottiene una
sensibilità di molto superiore S = .07cm/µA.
Il galvanometro misura direttamente una corrente, deve quindi essere posto nel circuito di misura
in modo da valutare la corrente che lo attraversa e naturalmente c’è il problema dell’errore di
inserimento, per ridurre al minimo questo errore deve essere molto piccola la resistenza interna,
indicata con Rg , della bobina dello strumento. Dalla Fig. 2.1 si ha:
i1 =
Vg
Ri
(2.10)
i1 è la corrente relativa al circuito costituito dal generatore Vg e dalla sua resistenza interna. Quando viene inserito, per effettuare la misura, il galvanometro si ha l’effetto dovuto alla
resistenza Rg del galvanometro e la corrente che circola nel nuovo circuito diviene:
i2 =
Vg
(Ri + Rg )
45
(2.11)
Figura 2.1: circuito per stima dell’influenza sull’errore di inserzione della resistenza del
galvanometro Rg .
dalle 2.10, 2.11 si ha:
Ri
i2
=
i1
(Ri + Rg )
(2.12)
e quindi l’errore di inserzione risulta:
k²ins k =
k(i2 − i1 )k
Rg
Rg
=
'
i1
Ri + Rg
Ri
(2.13)
come è evidente l’errore di inserzione del galvanometro dipende dal rapporto tra la sua resistenza,
che costituisce l’elemento di perturbazione nella misura, e la resistenza del circuito, in altre parole
un galvanometro ideale presenta una resistenza Rg molto piccola, al limite nulla.
Se la corrente da misurare è di intensità elevata e quindi superiore a quella massima consentita
dallo strumento si deve applicare in parallelo al galvanometro una resistenza di “shunt” che
consente di variarne la portata, secondo lo schema di Fig 2.2:
iT OT = ig + iS
RS iS = Rg ig
(2.14)
da cui si ha:
iS
Rg
=
ig
RS
e quindi il rapporto tra la corrente totale e quella che circola nel galvanometro è
46
(2.15)
Figura 2.2: circuito per la stima degli effetti della resistenza di shunt Rs .
iT OT
Rg
=m=1+
ig
RS
(2.16)
si indica con m il potere moltiplicatore dello shunt, che è il valore per il quale deve essere
moltiplicato il fondo scala dello strumento dopo l’inserimento dello shunt.
Dalla 2.16 si può ricavare il valore della resistenza di shunt, che deve essere posta in parallelo
allo strumento, per ottenere il fondo scala desiderato:
RS =
Rg
(m − 1)
(2.17)
come è evidente se si considera intuitivamente il meccanismo fisico dello shunt, che deve far
passare in parallelo la gran parte della corrente lasciando attraversare il galvanometro dalla sola
corrente compatibile con il suo fondo scala.
I valori delle resistenze di shunt devono essere quindi molto piccoli, frazioni della resistenza del
galvanometro: ad esempio se si vuole moltiplicare per un fattore 100 la portata massima di un
galvanometro con una resistenza Rg = 10Ω si deve impiegare una resistenza di shunt data da
RS =
10
= .101Ω
(100 − 1)
(2.18)
Il galvanometro può misurare correnti continue ed anche correnti alternate se la frequenza è
compresa nella banda passante dello strumento; si nota che nel caso di misure del valore efficace
di correnti non sinusoidali è possibile impiegare un galvanometro a termocoppia che valuta dalla
misura della temperatura il valore efficace della corrente non sinusoidale.
47
Figura 2.3: schema elettrico ed effetto di un raddrizzatore a semionda.
Nel caso di andamento sinusoidale si può ricorrere al raddrizzamento della corrente, con dispositivi a diodo, e quindi si possono superare i limiti posti dalla banda passante. In Fig. 2.3
è indicato lo schema di un raddrizzatore ad una semionda ed in Fig. 2.4 lo schema di un raddrizzatore a doppia semionda.
Anche nel caso di misure di tensione si può utilizzare un
galvanometro a cui viene però aggiunta una resistenza molto elevata per ridurre l’errore di inserzione dello strumento: è infatti evidente che il comportamento ideale di uno strumento per
la misura di tensione corrisponde al caso in cui lo strumento presenta una resistenza infinita e
quindi non altera la tensione da misurare.
La tecnica di misura della tensione si basa sulla possibilità di far attraversare il galvanometro da
una corrente, molto piccola, proporzionale alla tensione da misurare. Lo schema è riportato in
Fig. 2.5, con Rv si indica la resistenza del voltmetro che comprende anche la resistenza interna
del galvanometro, in genere questa resistenza Rg è molto piccola rispetto alla resistenza del
voltmetro Rv infatti i valori ideali sono rispettivamente Rg nulla ed Rv infinita; si ha quindi:
Vgen = i(Ri + Rv )
V
i=
Rv
(2.19)
da cui
µ
Vgen =
V
Rv
¶
(Ri + Rv )
48
(2.20)
Figura 2.4: schema elettrico ed effetto di un raddrizzatore a doppia semionda.
Figura 2.5: schema di un misuratore di tensione tiop voltmetro.
49
per l’errore di inserzione si ha
²ins =
(Vgen − V )
Ri
=
V
Rv
(2.21)
quindi l’errore di inserzione del voltmetro è tanto più limitato quanto più è grande la resistenza
del voltmetro rispetto a quella del circuito di misura.
La sensibilità del voltmetro, a parità delle caratteristiche del galvanometro impiegato, può variare
agendo sulla resistenza Rv ed è anche possibile variare la portata di misura con diverse scelte di
Rv ma l’errore di inserzione varia al variare della portata del voltmetro.
Dalla relazione:
imax Rv = 1
(2.22)
si vede come Rv rappresenti il valore della resistenza che è necessario porre in serie al galvanometro perchè nella misura della tensione di 1V esso sia attraversato dalla corrente massima
di fondo scala. Quindi se un voltmetro presenta un valore caratteristico di 20000Ω/V questo
significa che, ponendo una resistenza di 20000Ω lo strumento raggiunge la corrente di fondo
scala, ad esempio 50µA, se si misura la tensione di 1 V .
Il valore caratteristico dello strumento permette di valutare la resistenza Rv che esso presenta
nelle varie scale di misura e l’errore di inserzione che si ha.
Ad esempio per il caso visto se la misura viene compiuta sulla scala di 50V lo strumento presenta
una resistenza Rv che è pari a 50 × 20000Ω, cioè Rv = 1M Ω; se la misura di tensione avviene in
un circuito con resistenza Ri = 100Ω si ha un errore di inserzione, dalla 2.21:
²ins =
Ri
100
= 6 = 10−4
Rv
10
(2.23)
Naturalmente l’entità dell’errore di inserzione dipende dalla portata nel senso che per portate
piccole l’errore è sempre più importante ad esempio per lo stesso strumento, ma per una misura
effettuata sulla scala di 0.1 V si ha un errore di inserzione del 5 %.
Il voltmetro elettronico presenta, rispetto allo strumento tradizionale, dei vantaggi molto importanti, in quanto esso ha una impedenza di ingresso molto elevata, dell’ordine dei megaohm,
che consente una grande riduzione dell’errore di inserzione ed inoltre la sua capacità di avere
forti amplificazioni consente di affrontare misure di tensioni molto piccole dell’ordine dei µV che
sono importanti in vari campi di misura, come ad esempio nel caso di misure di temperatura
con termocoppie (v. Fig. 2.6, v. pure Cap. 5). Anche per le misure di resistenza lo strumento base è il galvanometro e la misura si riconduce a quella di una corrente. Il principio della
misura è basato sullo schema di Fig. 2.7: se si cortocircuitano i capi di ingresso AB e si regola
50
Figura 2.6: schema di misure di temperature con termocoppie basate su voltmetri elettronici.
Figura 2.7: schema di un circuito di misura di una resistenza tramite galvanometro.
51
la resistenza variabile Rv in modo tale che il galvanometro sia attraversato dalla sua corrente
massima di fondo scala si ha:
imax =
E
(Rg + Rv )
(2.24)
se si inserisce ora all’ingresso la resistenza Rx , incognita da misurare, il galvanometro viene
attraversato da una corrente, che è certamente inferiore alla corrente imax di fondo scala, e che
è data da
i=
E
(Rg + Rx + Rv )
(2.25)
la corrente i è inversamente proporzionale alla resistenza Rx da misurare; dalla 2.25 si vede
che la curva di graduazione è iperbolica e che la sensibilità dello strumento di misura varia con
il valore della resistenza da misurare, nel senso che diminuisce all’aumentare del valore della
resistenza Rx .
2.2
Oscilloscopio
È uno strumento di presentazione delle misure che è in grado di “visualizzare” le grandezze
elettriche sia in funzione del loro andamento temporale sia in funzione di un’altra grandezza: ad
esempio è in grado di visualizzare l’andamento della curva σ −ε se, naturalmente, allo strumento
vengono inviati i segnali elettrici corrispondenti agli andamenti dello sforzo e della deformazione.
L’equipaggio mobile è costituito da un fascio di elettroni il che rende possibile la visualizzazione
di segnali con variazioni molto rapide nel tempo, sono valutabili dei tempi di salita di 10−6 µs.
Si consideri ad esempio la forma d’onda di Fig. 2.8 che è caratterizzata dalla sua forma, frequenza, ampiezza e fase. Il segnale può essere presentato da un galvanometro registratore su
carta, se la banda passante è sufficientemente elevata ma anche in questo caso è necessaria una
velocità di scorrimento della carta molto grande : il periodo T ha la durata di .5ms quindi
per ottenere una registrazione su di una lunghezza di qualche centimetro sono necessarie delle
velocità di 50 − 100m/s che non sono praticamente realizzabili.
L’oscilloscopio consente di lavorare con frequenze anche molto elevate, dell’ordine di 100M Hz,
e di presentare “ferma” sullo schermo la forma d’onda che viene cosı̀ “fotografata” nel suo
andamento temporale: è anche possibile presentare diagrammi del tipo y = f (x) se i rispettivi
segnali sono inviati all’ingresso dello oscilloscopio.
Alla base dello strumento è il tubo a raggi catodici, CRT nella sigla di uso, in cui un filamento
f , alimentato da una batteria di accensione, Fig. 2.9, porta il catodo K di materiale alcalino
terroso alla temperatura di lavoro (circa 900o C) ed il catodo è quindi in grado di emettere
52
Figura 2.8: generico segnale periodico nel tempo
elettroni (effetto termoelettrico) che vengono attratti dall’anodo A che si trova a potenziale
positivo rispetto al catodo.
Il flusso elettronico è regolato dalla griglia G che si trova tra
il catodo e l’anodo ed è a potenziale negativo rispetto al catodo; regolando il potenziale della
griglia si regola il flusso elettronico, il che corrisponde alla luminosità della traccia sullo schermo,
l’anodo provvede alla “focalizzazione” del fascio sullo schermo ed alla accelerazione del fascio che
all’uscita dall’anodo non viene più accelerato in quanto gli elementi successivi sono allo stesso
potenziale dell’anodo. Il tubo è tipicamente sotto vuoto in modo che il libero cammino medio
delle particelle sia almeno inferiore alla lunghezza caratteristica del tubo medesimo.
Il fascio elettronico costituisce l’indice dello strumento mentre l’equipaggio mobile è costituito
da due coppie di placchette di deflessione poste sull’asse orizzontale, x, e sull’asse verticale, y,
che hanno lo scopo di deflettere il fascio elettronico a seconda del segnale applicato.
Per una valutazione, almeno indicativa, della sensibilità dello strumento, cioè dello spostamento
che si può ottenere per il fascio elettronico sullo schermo in funzione della tensione applicata si
può valutare, nell’ipotesi di trascurare l’effetto dei bordi sul campo elettrico, che viene quindi
assunto uniforme tra le placchette, e di considerare il moto di un singolo elettrone, la forza
agente su di un elettrone:
F = e E = e Vy /h
(2.26)
a = (e Vy )/(m h)
dove e indica la carica di un elettrone, m la sua massa, h la distanza tra le placchette, E il
campo elettrico, Vy la tensione applicata, a l’accelerazione.
53
Figura 2.9: schema del catodo di un oscilloscopio.
Il tempo di attraversamento delle placchette, tap , è dato da:
tap = l/u
(2.27)
dove l indica la lunghezza delle placchette ed u la velocità dell’elettrone. La velocità acquistata
è
v = atap = (e Vy l)/(m h u)
(2.28)
all’interno del campo delle placchette l’elettrone si muove, Fig. 2.10, secondo una parabola con
vertice in O, punto di ingresso nel campo, all’uscita dal campo l’elettrone si muove di moto
rettilineo uniforme secondo la tangente alla parabola in O0 , punto di uscita dal campo.
Il punto di intersezione della tangente alla parabola in O0 con l’asse orizzontale è il punto P , che
si trova alla metà del segmento ON , si ha:
tan θ = v/u
(2.29)
tan θ = (e Vy l)/(m h u2 )
(2.30)
e quindi:
la deflessione D sullo schermo è data da:
D = L tan θ = (e Vy l L)/(m h u2 )
54
(2.31)
Figura 2.10: schema di funzionamento di un oscillosopio.
si vede quindi come la deflessione sullo schermo sia legata linearmente alla tensione Vy applicata
alle placchette e la sensibilità può essere valutata dalla:
S = dD/dVy = (e l L)/(m h u2 )
(2.32)
ma la velocità u si può ricavare in funzione della tensione di accelerazione VF dalla:
(1/2)mu2 = e VF
(2.33)
S = (e l L m)/(2 m h e VF ) = (l L)/(2 h VF )
(2.34)
e quindi risulta:
se si pone:
L = 500 mm
l/h = 10
(2.35)
VF = 5000 V
si ottiene:
S = (10 × 500)/(2 × 5000) = .5 mm/V
(2.36)
i valori scelti sono realistici e non molto modificabili per strumenti di dimensioni normali, anzi
le ipotesi poste alla base del calcolo della sensibilità non sono verificate e questo in realtà porta
a diminuzioni importanti del valore della sensibilità.
55
La sensibilità stimata dalla 2.36 è bassa, infatti sono necessari segnali di qualche volt per ottenere
uno spostamento sensibile della traccia; quindi sono sempre presenti degli stadi di amplificazione
del segnale prima che esso venga inviato alle placchette in modo da consentire la misura di segnali
anche molto deboli è infatti possibile moltiplicare la sensibilità per fattori dell’ordine di 106 e si
raggiungono valori di sensibilità dell’ordine di 1mm/µV .
Come si è detto non esistono problemi di risposta in frequenza, almeno per quanto riguarda il
campo di frequenze di interesse in campo strutturale, in quanto gli amplificatori di ingresso sono
in grado di lavorare con banda passante dell’ordine di centinaia di M Hz mentre l’altro fattore di
limitazione è legato al tempo che l’elettrone impiega per attraversare lo spazio delle placchette,
l, si ha dalla 2.33:
q
u =
2 e VF / m
(2.37)
e quindi il tempo di attraversamento delle placchette tap è dato dalla:
q
tap = l/u = l m/2eVF
(2.38)
cioè :
p
tap = 1.7 × 10−6 l/ VF
(2.39)
ponendo1
l = 2.5 × 10−3 m
(2.40)
VF = 5000 V
si ottiene:
tap = 6 × 10−11 s
(2.41)
che è un tempo molto ridotto compatibile con bande passanti di alcune centinaia di M Hz.
Se agli ingressi x, y vengono inviati due segnali sinusoidali del tipo:
y(t) = Ay sin ωy t
x(t) = Ax sin(ωx t + φ)
(2.42)
si ottengono le classiche figure di Lissajous: in particolare se si pone:
ωy = ωx
φ = 0
1
Si rammenta che m = 9.1091 10−31Kg ed e = 1.60210 10−19 C.
56
(2.43)
Figura 2.11: figura di Lissajous per ωx = ωy con sfasamento φ fra gli ingressi.
si ha:
y(t)/x(t) = Ay /Ax
(2.44)
e sullo schermo compare una retta che ha una inclinazione che dipende dal rapporto Ax /Ay . Se
φ 6= 0 si hanno casi diversi, in particolare per:
Ay = Ax
φ = π/2
(2.45)
si ottiene un cerchio e più in generale per Ay 6= Ax si ottiene una ellisse. L’impiego delle figure
di Lissajous, che individuano delle configurazioni tipiche di presentazione in corrispondenza
di rapporti diversi tra le frequenze di ingresso orizzontale e verticale, consente di valutare la
frequenza del segnale in ingresso in funzione di una frequenza di riferimento inviata al secondo
ingresso dell’oscilloscopio e consente anche la misura della differenza di fase tra i due segnali,
Fig. 2.11, si ha:
sin φ = B/A
(2.46)
Un altro elemento importante è dato dalla possibilità dello oscilloscopio di “fotografare” in
funzione del tempo, cioè di presentare “fermo”, il segnale y = f (t).
Infatti se si applica alle placchette orizzontali una tensione lineare:
Vx = K t
(2.47)
e si pone Vy = 0 lo schermo viene percorso dalla traccia con velocità costante su tutto il diametro
se K è stato scelto opportunamente in corrispondenza della sensibilità Sx ; indicando con XD il
57
Figura 2.12: segnale in tensione a “dente di sega”.
diametro sullo schermo si ha:
XD = Sx K t
(2.48)
la velocità di spostamento della traccia è data da:
vx = dXD /dt = Sx K
(2.49)
la velocità è costante (nel tempo) e dipende soltanto dal valore scelto per K nella 2.47. L’andamento della tensione Vx è quello classico, Fig. 2.12, a “dente di sega”, simmetrico tra un valore
positivo e negativo, perchè la traccia a riposo si trova al centro dello schermo. Il passaggio dal
valore Vx al valore −Vx avviene idealmente in un tempo nullo e nella realtà in una frazione molto
piccola del tempo di spazzolamento; naturalmente la frequenza del segnale a dente di sega” può
essere scelta in modo da variare la velocità della traccia.
Se si invia alle placchette orizzontali un segnale sinusoidale:
Vy (t) = Y sin ωy t
(2.50)
ed alle placchette verticali un segnale a dente di sega con la stessa pulsazione ωy e si “sincronizza”
in modo che il dente di sega “parta” in coincidenza con il valore Vy (t) = 0 allora sullo schermo
dell’oscilloscopio appare un periodo della sinusoide 2.50 presentata come “ferma” sullo schermo.
Se si varia la pulsazione del segnale di ingresso, mantenendo costante la frequenza del segnale
di sincronismo possono apparire più periodi della sinusoide 2.50 se la frequenza di ingresso è
un multiplo intero di quella di sincronismo, Fig. 2.13.
Con scelte opportune del “tempo di
ritardo” è possibile una sincronizzazione del segnale anche se la frequenza del segnale di ingresso
è inferiore a quella di sincronismo.
In sintesi si può considerare uno schema a blocchi di un oscilloscopio come riportato in Fig.
58
Figura 2.13: presentazione di più periodi della sinusoide sull’oscilloscopio con ingresso multiplo
intero del sincronismo.
Figura 2.14: schema a blocchi dell’oscilloscopio.
59
2.14; si indica con Ax l’amplificatore del segnale che è inviato alle placchette normali all’asse
x, “asse dei tempi”, con Ay l’amplificatore del segnale inviato alle placchette normali all’asse
y, “asse del segnale”, con Sincr il segnale di sincronismo inviato all’asse dei tempi, con Vz il
segnale che può essere impiegato per modulare il fascio elettronico, in particolare il fascio viene
bloccato, per l’interdizione della griglia, durante la semionda negativa ciò consente di valutare
il tempo trascorso tra due punti del segnale V con una precisione superiore a quella ottenibile
facendo riferimento all’asse dei tempi.
Si possono anche ottenere degli strumenti multicanale, come oscilloscopi a due canali seguendo
delle strade diverse.
In un primo approccio l’oscilloscopio ha, in un unico CRT , due canali elettronici separati con
doppie placchette di deflessione e doppi sistemi di amplificazione, mentre le basi dei tempi
possono essere duplicate o anche comuni ai due canali.
Nel secondo caso l’oscilloscopio a “doppia traccia”, presenta nel CRT un solo canale elettronico
ed un sistema di commutazione ad alta velocità provvede a dividere nel tempo i due segnali
sull’unico canale elettronico presente; con questo sistema si possono realizzare, più in generale,
dei sistemi “multitraccia”, ad esempio a quattro tracce.
Naturalmente anche nel caso dell’oscilloscopio la tendenza è di passare dallo “strumento” al
“sistema”, comprendente un microprocessore e sistemi di registrazione, che può presentare sullo
schermo informazioni sulle misure ed elaborazioni dei dati sperimentali misurati.
2.3
Trasduttori
Si tratta in generale di componenti che trasformano un segnale di ingresso che costituisce una
certa variabile fisica, ed è la grandezza da misurare, in un segnale elettrico.
2.3.1
Potenziometro o reostato
È il tipo più comune di trasduttore costituito da una resistenza variabile, il contatto mobile può
rendere possibile un movimento lineare od angolare.
Un potenziometro può presentare caratteristiche diverse, si possono ottenere delle sensibilità
dell’ordine di 5/100 di mm, come spostamento lineare, o di 0.2 gradi come spostamento angolare.
L’errore ed il rumore presenti nella misura dipendono fortemente dalle modalità del contatto: i
potenziometri sono anche molto sensibili agli effetti delle variazioni di temperatura che portano
a variazioni di resistenza. I potenziometri sono essenzialmente usati per misure di spostamento
60
Figura 2.15: circuito ideale per il potenziometro.
ma a questo tipo di misura si possono ricondurre anche misure diverse, come in particolare
misure di forza e di pressione.
In sintesi un potenziometro a resistenza è costituito da un elemento resistivo ed un contatto
mobile, il movimento dell’elemento di contatto può essere uno spostamento lineare, una rotazione
o anche una combinazione dei due movimenti; per potenziometri di spostamento si possono
avere delle corse che vanno da qualche millimetro a 50 centimetri mentre per i potenziometri di
rotazione le corse possono andare da pochi gradi fino a poche decine di giri. L’elemento resistivo
può essere alimentato in continua o in alternata: in condizioni ideali la tensione di uscita è
una funzione lineare dello spostamento in ingresso. Se la relazione resistenza spostamento è
lineare la tensione in uscita seguirà linearmente lo spostamento dell’ingresso se i terminali del
potenziamento vedono un circuito aperto e quindi non scorre corrente nel circuito di uscita.
Naturalmente in realtà i terminali sono collegati ad un dispositivo di misura ed una corrente
circola nel circuito di uscita, in Fig. 2.15 ed in Fig. 2.16 sono indicati i circuiti relativi.
Si
ottiene quindi, sulla base delle caratteristiche del circuito di Fig. 2.16:
e0
=
eex
1
Rp
1/(xi /xt ) +
(1 − xi /xt )
Rm
(2.51)
che, nel caso ideale in cui si ha Rp /Rm = 0, condizione di circuito aperto, diviene:
e0 =
xi
eex
xt
(2.52)
Nel caso ideale la curva ingresso/uscita è una retta, mentre in generale si ha una relazione non
lineare, con un andamento che dipende dai valori relativi di Rp ed Rm ; in Fig. 2.17 viene
61
Figura 2.16: circuito reale per il potenziometro.
indicato l’andamento tipico. L’errore massimo risulta intorno al 12% se Rp = Rm , ma scende
a circa 1.5% se Rp è un decimo di Rm , in generale se Rp è ancora più piccola la posizione del
massimo errore di linearità si trova a circa due terzi del fondo scala e l’errore è 15 Rp /Rm . Si
vede quindi che per ottenere un piccolo errore di linearità, una volta fissata la resistenza dello
strumento di misura, Rm , si deve scegliere un potenziometro di resistenza piccola in modo tale
che il rapporto Rp /Rm sia il più piccolo possibile.
Si osserva come la tensione in uscita e0 dipenda linearmente dalla tensione di alimentazione del
potenziometro eex . In realtà non si può aumentare la sensibilità del potenziometro con l’aumento
illimitato della tensione di alimentazione poichè ci sono dei vincoli legati alla dissipazione del
calore (un valore tipico di potenza dissipabile può essere 5 W alla temperatura ambiente di
20o C).
Quindi una volta fissato il valore di potenza dissipabile, P , e la resistenza del potenziometro,
Rp , (che può variare di molto a seconda delle caratteristiche ad esempio in un campo 100 <
Rp < 100000 ohm) si ottiene la tensione massima di alimentazione del potenziometro:
q
eexmax =
P Rp
(2.53)
e quindi dei valori più piccoli di Rp portano anche a valori piccoli di eex e quindi a valori limitati
di sensibilità.
Dei valori limite di sensibilità possono risultare dell’ordine di 15 V /grado per potenziometri di
rotazione e di 12 V /mm per potenziometri di spostamento (con corsa limitata a 5 mm); dei
valori normali di sensibilità sono inferiori almeno di un ordine di grandezza.
62
Figura 2.17: andamento dell’errore in un potenzoimetro.
Il comportamento dinamico è quello di uno strumento di ordine zero, quindi ideale, in cui l’uscita, la misura della tensione eo , segue istantaneamente l’ingresso, lo spostamento xi , lineare o
angolare, ϑi ). Infatti l’impedenza del circuito potenziometrico, almeno per le frequenze di interesse, può essere considerata come puramente resistiva. Tuttavia sono presenti diversi problemi
legati ai fenomeni di attrito che ne limitano il comportamento.
Si deve poi tener conto di diversi effetti ambientali, come l’impiego a temperature molto elevate
o molto basse, l’impiego in caso di vibrazioni e urti, variazioni di umidità; tutti questi fattori
contribuiscono a limitare le caratteristiche nominali dello strumento.
2.3.2
Trasformatore differenziale
E’ costituito, Fig. 2.18, da induttanze con un nucleo magnetico che si sposta all’interno del campo; la tensione di ingresso Ei è in alternata e la tensione di uscita Eu è funzione della posizione
del nucleo magnetico all’interno del trasduttore. L’uscita è una funzione lineare della posizione
del nucleo con un andamento del tipo riportato in Fig. 2.19, che stabilisce una relazione lineare
almeno all’ interno di un certo campo di spostamento, indicato con il segmento AB in figura; una
situazione di non linearità si ha certamente nell’intorno dello zero, che rappresenta la posizione
di riferimento del nucleo.
La frequenza di funzionamento è limitata dalle caratteristiche di
inerzia del trasduttore e comunque corrisponde, in generale, a circa un decimo della frequenza
utilizzata per l’ingresso Ei .
63
Figura 2.18: schema del trasformatore differenziale.
Figura 2.19: tipica curva di calibrazione caratteristica di un trasformatore differenziale.
64
Figura 2.20: trasduttore capacitivo.
2.3.3
Trasduttore capacitivo
E’ costituito da un condensatore, Fig. 2.20, costituito da un dielettrico e due armature, la cui
capacità è data da:
C = K²
A
d
(2.54)
dove ² indica la costante dielettrica del materiale presente tra le armature, d è la distanza tra
le armature, A è la superficie di sovrapposizione delle armature e K è una costante.
Questo
trasduttore si può utilizzare per valutare la variazione della distanza, d, delle piastre a partire
dalla misura della variazione di capacità , che può essere misurata con un circuito a ponte.
Se è invece fissata la distanza delle piastre si può anche valutare la variazione di A, cioè lo
spostamento relativo delle armature del condensatore. L’impedenza presentata dal trasduttore
è molto elevata:
Z=
1
2πf C
(2.55)
e questa è una caratteristica che può risultare utile nel processo di misura.
2.3.4
Trasduttore piezoelettrico
Si consideri un cristallo piezoelettrico posto tra due piastre conduttrici, come indicato in Fig.
2.21. Se una forza F viene applicata sul cristallo ne consegue uno stato di sforzo e quindi una
65
Figura 2.21: schema di un trasduttore piezoelettrico.
deformazione del cristallo stesso. Per i cristalli piezoelettrici questa deformazione produce una
tensione di uscita, Eu , e la carica q indotta nel cristallo è proporzionale alla forza impressa F
secondo la relazione:
q = Kp F
(2.56)
dove Kp indica la costante piezoelettrica. La tensione in uscita è :
Eu = Sv pt
(2.57)
dove Sv è la sensibilità in tensione, p indica la pressione applicata al cristallo e t indica lo spessore
del cristallo. L’uscita dipende, oltre che dal cristallo scelto, anche dalla orientazione, rispetto agli
assi del cristallo. I cristalli piezoelettrici sono sensibili anche a forze di taglio, ma le relazioni che
legano l’uscita alle forze applicate sono più complesse. I cristalli piezoelettrici sono ampiamente
usati nel campo dei trasduttori di pressione e nel campo delle misure dinamiche. Per un quarzo
con uno spessore t = 1mm una sensibilità in tensione Sv = .055V /m/P a, sottoposto ad una
pressione p = 1M P a si ha una tensione in uscita:
Eu = Sv pt = .055 × 106 × 10−3 = 55V
2.3.5
(2.58)
Trasduttori fotoelettrici
Traducono un fascio luminoso in un segnale elettrico, come indicato in Fig. 2.22, il fascio
luminoso colpisce il catodo che emette elettroni, la sensibilità fotoelettrica è definita dalla
66
Figura 2.22: schema di un trasduttore fotoelettrico.
relazione:
If = Sf φ
(2.59)
dove If è la corrente che si ottiene per effetto fotoelettrico, Sf è la sensibilità e φ è l’intensità
del fascio luminoso che giunge sul catodo. Naturalmente le caratteristiche di sensibilità dipendono dal sensore in particolare dal materiale del catodo: si ottengono diverse caratteristiche
fotoemissive in un campo di lunghezza d’onda compreso tra .2 e .8 µ.
2.3.6
Trasduttore ad effetto Hall
Un elemento conduttore o semiconduttore di spessore t è collegato, Fig. 2.23 in modo da essere
attraversato da una corrente i. In presenza di un campo magnetico B, che agisce in direzione
normale alla superficie della piastra si ha una tensione di uscita data dalla relazione :
B
Eu = KH i
(2.60)
t
dove i è la corrente, in ampere, B il campo magnetico, in gauss, t lo spessore, in cm, e KH è il
coefficiente di Hall espresso in V cm/amp gauss.
2.3.7
Trasduttore fotovoltaico
È costituito da un elemento semiconduttore collegato come indicato in Fig. 2.24. Quando il
fascio luminoso colpisce l’elemento fotovoltaico si ha una tensione in uscita, Eu , il cui valore
67
Figura 2.23: trasduttore ad effetto Hall.
dipende dalla resistenza di carico R. La tensione a circuito aperto ha un andamento di tipo
logaritmico rispetto all’intensità luminosa, questa caratteristica può essere un vantaggio per
alcune applicazioni come ad esempio in campo fotografico, ma si possono ottenere comportamenti
diversi variando i valori della resistenza R.
Figura 2.24: trasduttore fotovoltaico.
68
Capitolo 3
Misure Estensimetriche
3.1
Estensimetri a resistenza
Si consideri un conduttore a filo, costituito da un materiale di resistività ρ, di lunghezza ` e di
sezione A, la sua resistenza è data dalla relazione:
R=
ρ`
A
(3.1)
se si sottopone il conduttore ad una deformazione, ad esempio ad una trazione in modo che
provochi un aumento della sua lunghezza ed una contrazione della sua sezione si ottiene una
variazione di resistenza data dalla:
µ
dR =
¶
∂R
dρ +
∂ρ
µ
¶
∂R
d` +
∂`
µ
¶
∂R
dA
∂A
(3.2)
che diviene:
dR
dρ
d`
dA
=
+
−
R
ρ
`
A
(3.3)
se si indica con r una dimensione caratteristica della sezione del filo, ad esempio il raggio, e si
indica con ν il coefficiente di Poisson del materiale del conduttore si ha:
2dr
2νd`
dA
=
= −
A
r
`
(3.4)
nel caso di un filo con sezione circolare si ha:
A = πr2
(3.5)
dA = 2πr dr
(3.6)
(3.7)
69
e quindi:
dA
2dr
=
A
r
(3.8)
dR
dρ
d`
2νd`
=
+
+
R
ρ
`
`
(3.9)
d`
= εx
`
(3.10)
dR
dρ
=
+ εx (1 + 2ν)
R
ρ
(3.11)
quindi:
e ponendo:
si ottiene:
Se si indica con K il “fattore di taratura” dell’estensimetro, che rappresenta la sensibilità dell’estensimetro, cioè la variazione di resistenza in funzione della deformazione, la 3.11 si può
scrivere come:
dR
= K εx
R
(3.12)
dove:
µ
K = (1 + 2ν) +
1
εx
¶
dρ
ρ
(3.13)
per valutare il valore numerico di K si nota che nel caso in cui non vi sia nessuna variazione di
resistività ρ in funzione della deformazione, dalla 3.13 si ha:
K = 1 + 2ν
(3.14)
La 3.14 definisce dei valori di K compresi tra 1.5 e 2 con un valore tipico intorno a 1.6.
In realtà il valore che si ottiene per un estensimetro a resistenza è più elevato: in genere K è
molto prossimo a 2; il valore di K da impiegare nella misura viene determinato sperimentalmente
e fornito dal costruttore.
Questo aumento del valore di K rispetto a quello proposto dalla 3.14 è dovuto ad una variazione
di resistività che tuttavia è praticamente costante con la deformazione, almeno per un campo di
valori sufficientemente elevato, fino a qualche per cento con un valore limite che può raggiungere
il 4 %. In Tabella 1 sono riportate le caratteristiche di alcune leghe comunemente impiegate per
gli estensimetri a resistenza.
70
materiale
composizione
fattore K
Costantana
Nichelcromo
Karma
Platino tungsteno
45
80
74
92
2.1
2.1
2.0
4.0
Ni, 55 Cu
Ni, 20 Cr
Ni,20 Cr,3 Al,3 Fe
Pt, 8 W
Tabella 1: caratteristiche di leghe per estensimetria
Come si vede dalla 3.12 la variazione di resistenza per effetto della deformazione è molto piccola,
se si pone ad esempio:
R = 120 ohm
εx = 100 µs
(3.15)
K = 2
si ottiene dalla 3.12:
dR = K εx R = 2.4 10−2 ohm
(3.16)
Costruttivamente gli estensimetri possono essere realizzati a “filo” “fotoincisi” : gli estensimetri
a filo hanno della basi di misura relativamente grandi, dell’ordine di qualche mm, ed il diametro
del filo varia tra .01 e
.025 mm.
Gli estensimetri a filo hanno alcuni vantaggi, come la robustezza, e diverse limitazioni, dovute
anche al riscaldamento connesso con l’effetto Joule; oggi sono molto più diffusi gli estensimetri
fotoincisi che permettono di “disegnare” delle griglie con configurazioni molto varie; la dimensione minima della griglia può raggiungere anche .05 mm contro i due 2 mm dell’estensimetro
a filo ed inoltre la sezione non più circolare del conduttore consente una maggiore superficie
radiante e quindi una maggiore dissipazione di calore.
La determinazione sperimentale del fattore di taratura K, che è valida per una certa serie di
estensimetri, viene fatta sottoponendo un elemento strutturale di geometria e caratteristiche
elastiche note ad uno stato di deformazione anche esso noto.
Ad esempio si considera il caso
della trave, sollecitata con le forze F , Fig. 3.1; nel tratto compreso tra gli appoggi essa è
sollecitata da un momento flettente costante dato da:
Mf = F a
(3.17)
e quindi risulta costante la deformazione che si ha sulla superficie della trave dove viene incollato
l’estensimetro. Nota la geometria della trave e le caratteristiche elastiche del materiale è possibile
71
Figura 3.1: prova per la taratura di estensimetri.
valutare il fattore K con la misura sperimentale di dR/R dalla relazione:
µ ¶
K =
1
ε
dR
R
(3.18)
si nota che per effetto dell’incollaggio e dello spessore dell’estensimetro la griglia di misura
si viene in realtà a trovare ad una distanza dall’asse neutro della trave che è diversa dalla
distanza geometrica di riferimento h. In genere questo effetto è trascurabile in quanto lo spessore
aggiuntivo h∗ può essere valutato in qualche centesimo di mm e quindi risulta certamente molto
inferiore ed in genere del tutto trascurabile rispetto alla dimensione geometrica h/2 della trave.
Naturalmente si può valutare K anche con prove diverse da quella indicata, ad esempio con prove
di trazione semplice il che elimina il problema della posizione; in genere l’incertezza con cui viene
fornito dal costruttore il valore di K è dell’uno per cento. Si osserva che l’estensimetro fornisce
dei valori corretti se viene usato nel caso di sollecitazione monoassiale su di un materiale con un
coefficiente di Poisson, ν, uguale a quello di taratura dell’estensimetro, in genere νtar = .285.
Si devono considerare due fattori di taratura, indicati con Ka e Kt , dove i pedici a e t indicano
assiale e trasversale, che corrispondono al caso in cui l’asse dell’estensimetro sia parallelo alla
direzione di deformazione monoassiale ed al caso in cui sia invece ortogonale, si ha quindi:
dR
= Ka εa + Kt εt
R
(3.19)
dove εa , εt indicano le deformazioni nella direzione parallela ed in quella ortogonale all’asse
dell’estensimetro, si ha:
εt
= −νtar
εa
(3.20)
dove νtar indica il coefficiente di Poisson del materiale per il quale è stato tarato l’estensimetro,
72
quindi si ha:
µ
¶
dR
Kt
= Ka εa − Kt νtar εa = Ka 1 − νtar
εa
R
Ka
(3.21)
il fattore di taratura K che compare nella 3.12 è quindi:
µ
K = Ka
1 − νtar
Kt
Ka
¶
(3.22)
Si indica con:
Kt
Ka
St =
(3.23)
il rapporto tra il coefficiente di taratura trasversale e quello assiale dell’estensimetro, esso viene
anche definito “sensibilità trasversale” dell’estensimetro e la 3.22 si può scrivere come:
K = Ka (1 − νtar St )
(3.24)
Si nota che si ha un errore se si impiega la 3.12 con ν 6= νtar a meno che sia St = 0 o che il
campo di deformazione sia uniassiale. L’entità dell’errore si può valutare se si fa riferimento ad
un estensimetro in un campo biassiale con deformazioni assiali e trasversali εa , εt .
Si ha infatti:
µ
¶
·
εt
dR
= Ka 1 + St
εa =
R
εa
K
(1 − νtar St )
¸µ
1 + St
εt
εa
¶
εa
(3.25)
da cui:
·
εa =
¸
(dR/R) (1 − νtar St )
µ
¶
εt
K
1 + St
εa
(3.26)
0
La deformazione εa che si ottiene considerando il solo fattore dell’estensimetro si può ricavare
dalla:
0
εa =
(dR/R)
K
(3.27)
si ha quindi:
h
εa =
i
0
εa (1 − νtar St )
·
µ ¶¸
εt
1 + St
εa
(3.28)
dalla definizione:
³
ηa =
´
0
εa − εa
εa
73
(3.29)
si ottiene che l’errore compiuto dall’estensimetro per effetto della deformazione trasversale è
dato da:
·
ηa =
µ
εt
St
+ νtar
εa
(1 − νtar St )
¶¸
µ
' St
εt
+ νtar
εa
¶
(3.30)
Ad esempio nel caso di un estensimetro incollato su di un provino sollecitato con deformazione
biassiale e εt /εa = −.4 con sensibilità trasversale St = 0.03 si ottiene un errore di circa lo 0.3
per cento.
L’effetto della sensibilità trasversale è importante da un punto di vista generale di misura ma
risulta praticamente trascurabile se la sensibilità trasversale è dell’ordine dell’uno per mille. Cosı̀
per esempio se St = 0.001 nelle stesse condizioni precedenti si ha ηa = 0.0001 che è trascurabile
in quanto risulta compreso nella imprecisione con cui viene definito il valore del fattore K.
Con l’impiego di due estensimetri di misura è possibile ricavare le deformazioni corrette da quelle
misurate, con relazione del tipo:
³
´
³
´
εx = (1 − νtar St ) ε∗x − St ε∗y
εy = (1 − νtar St ) ε∗y − St ε∗x
(3.31)
(3.32)
dove ε∗x , ε∗y indicano le deformazioni
misurate ed εx , εy indicano le deformazioni “corrette” dall’effetto della sensibilità trasversale.
Tuttavia se i valori della sensibilità trasversale St sono di qualche per mille allora questo errore
si può considerare compreso nell’incertezza con cui viene indicato il fattore di taratura K, che
in genere è nell’intorno dell’un per cento.
Le caratteristiche ideali che si richiedono ad un materiale da impiegare per estensimetri sono:
• variazione di resistenza lineare con la deformazione, sia in trazione che in compressione
• fattore di taratura K elevato
• limite elastico elevato
• grande resistenza a fatica
In Tabella 2 sono riportate alcune caratteristiche fondamentali per due materiali normalmente
impiegati in estensimetria.
74
Figura 3.2: curve tipiche del fattore di taratura degli estensimetri in funzione della temperatura.
caratteristica
costantana
karma
fattore di taratura K
resistività (Ωm × 10−4 )
coeff. γ di variaz. di resistenza (∆R/R/ o C × 10−4 )
limite snervamento (M P a)
2.1
48
.3
460
2.1
125
.2
1000
Tabella 2: caratteristiche di materiali per estensimetri
La variazione della temperatura ha un effetto diretto sul comportamento del materiale, ed anche
un effetto indiretto sulle caratteristiche del collegamento, il che porta a variazioni del fattore di
taratura K.
In Fig. 3.2 si riporta l’andamento di ∆K/K in funzione della temperatura; si nota che in un
campo di più o meno 50o C intorno alla temperatura ambiente la variazione di K è limitata
all’interno di una variazione dell’un per cento. Nel caso in cui l’andamento sia lineare si ha:
K(T ) = K (1 + β ∗ (T − T0 ))
ed il coefficiente β ∗ si stima dagli andamenti indicati in Fig. 3.2.
75
(3.33)
3.2
Effetto della temperatura
La variazione di resistenza per effetto della temperatura è data da:
∆R = γ R ∆T
(3.34)
dove ∆T è la variazione di temperatura rispetto ad un valore di riferimento, in genere il riferimento T0 è la temperatura ambiente, e γ è il coefficiente di variazione di resistenza con la
temperatura, espresso in ∆R/R/ o C con valori tipici di 40 × 10−4 per il platino e di 3 × 10−5
per la costantana.
Quindi nel caso di un estensimetro di platino si ha una variazione di resistenza per grado
centigrado pari a:
∆R
= 40 × 10−4 1/ o C
R
(3.35)
a cui corrisponde una deformazione apparente:
εapp = (1/K)∆R/R = 830 µs/ o C
(3.36)
il fattore dell’estensimetro ha infatti nel caso del platino un valore più elevato di quelli tipici per
la costantana, in genere Kpla = 4.8.
Nel caso di un estensimetro in costantana si ha invece:
εapp = 15 µs/ o C
(3.37)
la differenza è molto elevata, circa due ordini di grandezza ed indica una difficoltà importante
per l’impiego dell’estensimetro al platino, tuttavia anche il valore relativamente limitato della
deformazione apparente per l’estensimetro a costantana porta ad un effetto non trascurabile in
molte misure anche per variazioni di temperatura di pochi gradi centigradi.
L’effetto dovuto alla temperatura si può compensare per vie diverse: ad esempio usando due
estensimetri su due rami attivi del ponte di misura, essi vengono portati alla stessa temperatura
ma uno solo viene sollecitato, in questo modo si può eliminare la deformazione apparente dovuta
soltanto alla variazione della temperatura.
Come esempio di autocompensazione si consideri un estensimetro in costantana, con un coefficiente di dilatazione termica di αest = 15 × 10−6 o C −1 posto su di un provino in acciaio, con
αprov = 11 × 10−6 o C −1 che viene riscaldato ad una temperatura T .
Il coefficiente di dilatazione termica della costantana è diverso da quello della struttura, nell’esempio il provino si dilata di meno dell’estensimetro, quindi l’estensimetro, nell’ipotesi che segua
76
totalmente la deformazione del provino, si contrae con una diminuzione di resistenza data da:
∆R
= K εterm
R
(3.38)
εterm = (αprov − αest ) ∆T
(3.39)
ma:
quindi la variazione di resistenza è :
(∆R/R)term = K (αprov − αest ) ∆T
(3.40)
La variazione totale di resistenza, per effetto della variazione di temperatura ∆T , è quindi:
(∆R/R)tot = (γ + K (αprov − αest )) ∆T
(3.41)
da cui la deformazione apparente totale per effetto della temperatura:
εapp = (γ/K + (αprov − αest )) ∆T
(3.42)
si vede che εapp varia linearmente con la temperatura nel caso in cui γ, αprov , αest , K siano
costanti con la temperatura, il che in realtà non avviene. In Tabella 2.1 sono riportati i coefficienti
di dilatazione termica di alcuni materiali.
materiale
α × 10−6 o C −1
Quarzo
Vetro
Titanio
Acciaio
Rame
Alluminio
Magnesio
Resina epossidica
Resina acrilica
.5
9.0
9.3
11.8
17.6
22.5
25.9
90.0
180.0
Tabella 2.1: coefficienti di dilatazione termica
Si osserva che, almeno per un certo intervallo di temperatura è possibile ottenere un effetto di
autocompensazione se:
γ/K + (αprov − αest ) = 0
(3.43)
Quindi per ogni estensimetro e relativamente ad un certo materiale su cui deve venire applicato,
viene fornita una curva di autocompensazione del tipo indicato in Fig. 3.3.
77
la curva di auto-
Figura 3.3: andamento dell’εapp in funzione della temperatura.
compensazione da il valore di εapp in funzione della temperatura e consente quindi la valutazione
di εapp alla temperatura di lavoro si ha infatti:
ε∗ = εmis − εapp
(3.44)
dove ε∗ indica il valore corretto ed εmis il valore effettivamente misurato. Naturalmente la curva
fornisce una compensazione parziale, che non tiene conto ad esempio della variazione del fattore
K dell’estensimetro con la temperatura.
Per tenere conto anche di questo effetto si può porre:
ε∗ = (εmis − εapp ) K/KT
(3.45)
Anche gli effetti ambientali sono importanti in particolare quelli collegati con la umidità atmosferica e con la conseguente necessità di protezione (estensimetri siliconici) che può diventare
molto complessa ad esempio nel caso di esposizione prolungata in condizioni di ambiente salino.
Un effetto importante è anche legato alla pressione che agisce sullo estensimetro, si ha infatti
una deformazione:
εp = −(1 − 2ν)p/E = Kp p
(3.46)
dove Kp indica il fattore di compressibilità ; diversi esperimenti hanno dimostrato che l’effetto
di correzione proposto dalla 3.46 è troppo limitato.
78
Molto importante è il caso di misura estensimetrica in condizioni di sollecitazione ciclica, come
avviene nelle prove di fatica, dove la durata della sollecitazione può essere dell’ordine di milioni
di cicli.
Un primo effetto è collegato alla “deriva” dello zero: nel corso della misura infatti l’estensimetro
sposta il suo riferimento e ne consegue una deformazione apparente di fatica, il costruttore
fornisce un grafico che per un certo livello di deformazione indica la deriva dello zero in funzione
del numero dei cicli; al fenomeno della deriva corrisponde anche il possibile innesco di “cricche”
e quindi la possibile distruzione dell’estensimetro.
I valori tipici della resistenza degli estensimetri commerciali sono: 120, 350, 600 e 1000 ohm in
pratica un valore elevato di resistenza favorisce la sensibilità della misura ma è accompagnato
da problemi pratici ad esempio per quanto riguarda l’isolamento elettrico che deve essere tanto
più alto quanto maggiore è il valore della resistenza base, d’altra parte valori piccoli di resistenza
oltre ad una sensibilità minore presentano dei problemi più grandi per quanto riguarda l’effetto
perturbante dei cavi di collegamento.
Molto importante è anche l’effetto legato alla dissipazione del calore; la potenza dissipata, quando
l’estensimetro viene collegato con il ponte di Wheatstone è data da:
P = V 2 /R = i2 R
(3.47)
dove V è la tensione di alimentazione del ponte ed R è la resistenza dell’estensimetro; fattori
importanti sono:
• dimensioni estensimetro
• configurazione griglia
• tipo di adesivo
• materiale provino
• trattamento protettivo
• ventilazione
per valutare le caratteristiche di dissipazione si definisce una densità di potenza con la relazione:
PD = P/Ae
(3.48)
che definisce il rapporto tra la potenza da dissipare, P , e la superficie dell’estensimetro, Ae .
In Tabella 2.2 sono indicate le PD ammissibili nel caso di collegamento dell’estensimetro con
diversi materiali a cui esso è applicato .
79
materiale
PD (W/mm2 )
Alluminio
Acciaio
Vetro, ceramiche
Plastiche
0.008—0.016
0.003 —0.008
0.0003 —0.0008
0.00003 —0.00008
Tabella 2.2: densità di potenza ammissibili
Se si fa riferimento ad un ponte di Wheatstone con quattro rami attivi uguali la tensione del
ponte VB è legata alla densità di potenza ammissibile dalla:
VB2 = 4 Ae PD R
(3.49)
dalla 3.49 si vede come nel caso di collegamento dell’estensimetro a materiali che consentono
basse dissipazioni di calore sia opportuno ricorrere ad estensimetri ad alta resistenza, visto che
le tensioni di alimentazione usualmente impiegate nel ponte sono dell’ordine di qualche volt.
Infine è importante considerare l’effetto di temperature molto elevate e di temperature molto
basse sulle misure estensimetriche. In caso di alte temperature la resistenza è una funzione della
deformazione, della temperatura e del tempo R = f (ε, T, t).
Si ha quindi:
∆R/R = (1/R)(∂f /∂ε)∆ε + (1/R)(∂f /∂T )∆T + (1/R)(∂f /∂t)∆t
(3.50)
Se si indica con:
K = (1/R)∂f /∂ε
KT = (1/R)∂f /∂T
(3.51)
Kt = (1/R)∂f /∂t
rispettivamente il fattore di taratura dell’estensimetro, la sensibilità alla temperatura e la
sensibilità alla durata temporale, si ha:
∆R/R = K∆ε + KT ∆T + Kt ∆t
(3.52)
Si è visto precedentemente come la sensibilità alle variazioni di temperatura sia minima nel
campo di temperatura compreso tra −20 o C e più 70 o C, ma per valori molto più elevati la
80
Figura 3.4: variazioni percentuale dei fattori degli estensimetri la temperatura.
compensazione non è sufficiente e si devono usare dei fattori correttivi per tener conto della
deformazione apparente.
In generale il karma risulta più adatto della costantana nell’impiego ad alte temperature fino a
260 o C.
Nel caso di temperature molto basse, come ad esempio a −196 o C, si hanno due effetti. Il
primo è legato alla variazione del fattore K con la temperatura, come si vede indicato in Fig.
3.4.
Si tratta di variazioni limitate, circa il - 2 % per la costantana e circa il 4 % per il
karma alla temperatura di −200
o
C. Il secondo effetto, che è invece importante, è legato alla
elevata deformazione apparente in funzione di piccole variazioni di temperatura. Se insieme
con l’estensimetro si impiegano anche sensori di temperatura allora si possono utilizzare le
temperature misurate per valutare le deformazioni apparenti.
In genere le temperature criogeniche si ottengono con azoto liquido, idrogeno liquido, elio liquido:
si tratta di materiali isolanti che non richiedono quindi particolari protezioni tra estensimetro e
liquido criogenico.
Si osserva anche che alle temperature molto basse si hanno delle variazioni importanti delle
caratteristiche meccaniche, ad esempio il modulo elastico per alcuni materiali ha delle variazioni
rilevanti tra il 5 % ed il 20 % di aumento rispetto al valore corrispondente a temperatura
81
ambiente per temperature che giungono fino a −200 o C.
3.3
Estensimetri a semiconduttore
Si tratta di un sensore costituito da un cristallo, ad esempio silicio, che presenta una sensibilità
molto elevata alla deformazione: si possono raggiungere valori del fattore di taratura K molto
grandi dell’ordine di 200 in funzione del tipo e della quantità del “drogaggio”
1
diffuso nel
cristallo. Lo sviluppo commerciale di questo tipo di trasduttori risale agli anni ’60.
Il fattore dell’estensimetro, come si è visto precedentemente nel caso dell’estensimetro a
resistenza ( nell’esempio introduttivo per un conduttore cilindrico ideale ) , è dato dalla:
K = (1 + 2ν) + (1/ε)dρ/ρ
(3.54)
il termine (1+2ν) ha un valore vicino ad 1.6 mentre il termine legato alla variazione di resistività
che nel caso degli estensimetri a resistenza ha valori compresi tra un minimo di .4 ad un massimo
di 2.5 può assumere dei valori molto più elevati, dell’ordine di 100 o 200, per gli estensimetri a
semiconduttore in funzione del tipo e dell’entità del drogaggio che viene scelto.
In pratica si possono ottenere dei valori di K che vanno da valori negativi di -150 a valori positivi
di +175 2 : si tratta di una sensibilità molto più elevata, circa due ordini di grandezza, di quella
degli estensimetri a resistenza; si nota che estensimetri con valori negativi di K possono essere
utilizzati con opportuni collegamenti nel ponte di Wheatstone.
In genere si utilizzano cristalli di silicio, mentre il boro viene impiegato per le impurità di tipo
P , con le quali si ottiene un valore positivo di K, e l’arsenico per le impurità di tipo N con le
quali si ottiene un valore negativo di K.
Il valore molto elevato della resistività del materiale, circa mille volte più della costantana,3
consente di non costruire la “griglia estensimetrica” in quanto un solo elemento è sufficiente per
realizzare un estensimetro ad alta sensibilità, si tratta quindi di sensori che possono “sentire”
deformazioni molto piccole e possono essere impiegati in trasduttori miniaturizzati.
1
La resistività del semiconduttore, per impurità con concentrazioni di 1016 − 1020 atomi/cm3 , può essere
espressa dalla relazione:
ρ = 1/(e N µ)
(3.53)
dove e indica la carica dell’elettrone, che dipende dal tipo di drogaggio, N e µ indicano il numero e la mobilità
delle particelle e dipendono dalla quantità del drogaggio e dalla entità e direzione della deformazione.
2
Si ottengono fattori di estensimetri positivi con drogaggio di tipo P (ad ae. tramite bario) e negativi con
drogaggi di tipo N(ad es. con arsenico)
3
La resistività nel caso di semiconduttori di tipo P è dell’ordine di 500 µΩm, mentre per la costantana si ha
circa 0.5 µΩm.
82
Un cristallo di un semiconduttore risulta anisotropo dal punto di vista elettrico, quindi la relazione tra campo elettrico e densità di corrente viene stabilita in relazione agli assi del cristallo,
indicati con gli indici 1, 2, 3, si ha la relazione matriciale:


 Ec1 

ρ11

E
= ρ21
 c2 
Ec3
ρ31

ρ12
ρ22
ρ32

ρ13  j1 
ρ23  j2
 
ρ33
j3
(3.55)
Nel termine ρij della matrice di resistività il primo pedice indica la componente del campo ed il
secondo pedice indica la componente della corrente. Si ha conduzione isotropa solo se:


 Ec1 



ρ 0 0  j1 

E
= 0 ρ 0  j2
 c2 
 
Ec3
j3
0 0 ρ
(3.56)
La 3.56 è verificata nel caso di un cristallo non sollecitato e in questo caso la 3.55 si riduce alla
relazione:
Ec1 = ρ j1
Ec2 = ρ j2
Ec3 = ρ j3
(3.57)
Quando il cristallo viene sollecitato si ha un effetto piezoresistivo che si può descrivere con la
relazione:
ρij = δij ρ + πijkl σkl
(3.58)
dove i pedici ijkl vanno da 1 a 3 ed il tensore π è una funzione del cristallo e del tipo ed entità
di impurità.
Con opportune ipotesi semplificative che si riferiscono ad un cristallo cubico di silicio,e ponendosi
in un sistema di riferimento intrinseco con il cubo, i coefficienti piezoresistivi si riducono a tre
indipendenti e la matrice π ha la struttura:

π11
 π12

π

π = ρ  12
 0

 0
0
π12
π11
π12
0
0
0
π12
π12
π11
0
0
0
0
0
0
π44
0
0
0
0
0
0
π44
0

0
0 

0 


0 

0 
π44
(3.59)
La 3.59 indica che si hanno le relazioni
π1111 = π2222 = π3333 = ρπ11
ed analoghe che introducono quindi tre coefficienti indipendenti. Si ha allora:
ρ11 = ρ [1 + π11 σ11 + π12 (σ22 + σ33 )]
83
(3.60)
Figura 3.5: geometria di un semiconduttore assiale generico (versore g) nello spazio.
ρ22 = ρ [1 + π11 σ22 + π12 (σ33 + σ11 )]
ρ33 = ρ [1 + π11 σ33 + π12 (σ11 + σ22 )]
ρ12 = ρπ44 σ12
(3.61)
ρ23 = ρπ44 σ23
ρ31 = ρπ44 σ31
Ponendo la 3.61 nella 3.55 si ha:
Ec1 /ρ = j1 [1 + π11 σ11 + π12 (σ22 + σ33 )] + π44 (i2 σ12 + i3 σ31 )
Ec2 /ρ = j2 [1 + π11 σ22 + π12 (σ33 + σ11 )] + π44 (i3 σ23 + i1 σ12 )
(3.62)
Ec3 /ρ = j3 [1 + π11 σ33 + π12 (σ11 + σ33 )] + π44 (i1 σ31 + i2 σ23 )
Queste relazioni mostrano che la tensione sull’elemento dipende dalla densità di corrente, dalla
sollecitazione e dai coefficienti piezoresistivi.
Se si fa ora riferimento ad un elemento in una
posizione arbitraria rispetto agli assi di un cristallo cubico, Fig. 3.5, indicata dal versore g di
coseni direttori l, m, n, si ha, indicando con ig la corrente nell’elemento, la relazione:
j1 = l ig
j2 = m ig
(3.63)
j3 = n ig
analogamente gli sforzi secondo gli assi del cristallo, espressi in termini dello sforzo σg secondo
84
l’elemento sono:4
σ11 = l2 σg ; σ22 = m2 σg ; σ33 = n2 σg
σ12 = l m σg ; σ23 = m n σg ; σ31 = n l σg
(3.64)
E · g = Eg = l Ec1 + m Ec2 + n Ec3
(3.65)
si ha anche:
sostituendo le 3.62, 3.64 nella 3.65 si ha:
h
³
³
Eg /ρ = ig 1 + σg π11 + 2 (π12 + π44 − π11 ) l2 m2 + m2 n2 + n2 l2
´´i
(3.66)
che si può scrivere come:
Eg /ρ = ig (1 + πg σg )
(3.67)
dove πg è la sensibilità dell’elemento alla sollecitazione ed è naturalmente collegata ai coefficienti
piezoresistivi del semiconduttore dalle relazioni:
³
πg = A + B l2 m2 + m2 n2 + n2 l2
con A = π11
´
(3.68)
B = 2 (π12 + π44 − π11 ).
Dalla 3.68 si vede che si può far variare la sensibilità alla sollecitazione πg se si agisce sulla
orientazione del semiconduttore nel cristallo (cioè se si variano i coseni direttori l, m, n) oppure
se si agisce sul livello ed il tipo, P o N , di impurità.
Si possono ottenere le condizioni per ottimizzare la direzione g dal calcolo delle derivate della
sensibilità πg rispetto ai due coseni direttori indipendenti, cioè con le relazioni:
³
∂πg /∂l = l 2 − 4l2 − 2m2
´
³
∂πg /∂m = m 2 − 4m2 − 2l2
= 0
´
= 0
(3.69)
Dalla 3.67 si vede che la differenza di Eg prima e dopo la sollecitazione è data da:
∆Eg /ρ = ig (1 + πg σg ) − ig = ig πg σg
(3.70)
normalizzando la 3.70 rispetto ad Eg = ig ρ si ottiene:
∆Eg /Eg = ∆Rg /Rg = πg σg
4
(3.71)
Se U trasforma le componenti
di #un vettore in un riferimento che ha come terzo asse g in quelle in 1 2 3 allora
"
0, 0, 0
T = UTg UT , essendo Tg = 0, 0, 0 ed U avente ultima colonna pari a (lmn).
0, 0, σg
85
Nel semiconduttore si ha uno stato di sollecitazione uniassiale con:
σg = Es ε
(3.72)
dove Es è il modulo di elasticità del silicio ed ε è la deformazione che viene trasmessa al
semiconduttore dalla struttura in misura si ha quindi, dalle 3.72, 3.71:
∆Rg /Rg = πg Es ε = Ksc ε
(3.73)
dove Ksc può assumere valori molto elevati fino a circa 200. Come si è visto dalla 3.54 il fattore
di taratura dell’estensimetro è dato da
K = (1 + 2ν) + Ksc
(3.74)
dove il termine (1 + 2ν) è dovuto alle variazioni dimensionali ed ha un valore compreso tra 1.6 e
2.0; a causa del valore molto elevato di Ksc il contributo di questo termine è relativamente poco
importante.
La risposta dell’estensimetro a semiconduttore è fortemente non lineare, rispetto alla deformazione stessa ed alla temperatura, si può considerare una relazione del tipo:
K(T, ε) = (T0 /T ) K0 + C1 (T0 /T )2 ε + C2 (T0 /T )3 ε2 + ...
(3.75)
dove K0 indica il fattore dell’estensimetro corrispondente alla temperatura di riferimento, T0 ,
ed a deformazione nulla, T e ε sono rispettivamente la temperatura e la deformazione di lavoro,
C1 , C2 sono delle costanti che dipendono dalle caratteristiche del semiconduttore.
Si può cercare un effetto di compensazione con la temperatura con l’uso di due estensimetri,
sfruttando l’effetto del drogaggio positivo e negativo, si possono ottenere cosi’ dei valori ancora
più elevati di K che può raggiungere anche valori di 250 con una deformazione apparente limitata
a soli 0.5 µs/o C in un campo di temperatura compreso tra 10 e 50 o C.
Dalla 3.75 si vede come la risposta di un estensimetro a semiconduttore dipende in modo non
lineare dalla deformazione; per bassi livelli di concentrazione l’effetto è molto importante mentre
l’andamento è praticamente lineare con una scelta opportuna del valore della concentrazione.
La vita a fatica degli estensimetri a semiconduttore è in genere più limitata rispetto a quella degli
estensimetri a resistenza, e può raggiungere i 107 cicli per un livello di deformazione dell’ordine
di 500 µs; sono disponibili diverse scelte di estensimetri di tipo P con valori di K compresi tra
50 e 150 ed estensimetri di tipo N con valori di K compresi tra -100 e -150. Le dimensioni
sempre molto limitate possono essere comprese in un campo tra .5 mm e qualche millimetro.
Come si è detto gli estensimetri a semiconduttore si possono impiegare nella realizzazione
di diversi trasduttori miniaturizzati, come accelerometri o trasduttori di pressione, che sono
caratterizzati da elevata sensibilità e buona risposta in frequenza.
86
Figura 3.6: schema di un estensimetro a tensione costante.
La massima corrente che può essere applicata all’estensimetro a semiconduttore viene limitata dalla quantità di calore che può essere dissipata; questa quantità dipende dalle dimensioni
dell’elemento, dalle caratteristiche dell’adesivo di collegamento e dalle proprietà della struttura
in prova. Indicativamente la potenza dissipabile per unità di lunghezza è dell’ordine di 4-8
W/m, il che porta ad un valore di potenza dissipabile nel singolo estensimetro a semiconduttore
dell’ordine di 0.01 W .
3.4
Il ponte di Wheatstone a tensione costante
Si consideri, Fig. 3.6, il classico ponte di Wheatstone, nella configurazione con sole resistenze
sui rami del ponte, dove si indica con V la tensione applicata ai capi A C. Si ha:
V R1
R1 + R2
V R4
VAD =
R3 + R4
E ∗ = VBD = VAB − VAD
(R1 R3 − R2 R4 )V
E∗ =
(R1 + R2 )(R3 + R4 )
VAB =
(3.76)
(3.77)
(3.78)
(3.79)
La tensione ai capi BD del ponte, E ∗ , è nulla, e quindi il ponte è in equilibrio, se è verificata
la condizione:
R1 R3 = R2 R4
87
(3.80)
Questa è la condizione di bilanciamento del ponte, che viene impiegata direttamente per misure
statiche di estensimetria ponendo in un ramo del ponte l’estensimetro di misura; il ponte viene
posto in equilibrio prima di applicare la deformazione in modo tale che sia E ∗ = 0 in condizioni
di riposo e si risale poi alla determinazione della deformazione ε applicata all’estensimetro dal
valore della tensione di sbilanciamento del ponte.
Si consideri ora una variazione ∆R1 , ∆R2 , ∆R3 , ∆R4 , delle resistenze, la tensione in uscita dal
ponte si ricava dalla 3.79 tenendo conto della variazioni di resistenza introdotte; si ha:
µ
∆E ∗ =
¶
A
V
B
(3.81)
se si trascurano i termini di secondo ordine5 e di equilibrio del ponte si hanno per i termini
indicati con A e B nella 3.81 le espressioni:
µ
A = R1 R3
µ
B=
∆R1 ∆R2 ∆R3 ∆R4
−
+
−
R1
R2
R3
R4
¶
¶
R1 R3
(R1 + R2 )2
R1 R2
(3.82)
si ha quindi:
∆E ∗ =
R1 R2
(R1 + R2 )2
µ
¶
∆R1 ∆R2 ∆R3 ∆R4
−
+
−
V
R1
R2
R3
R4
(3.83)
se si indica con:
µ
r=
R2
R1
¶
(3.84)
la 3.83 si può scrivere come:
∆E ∗ =
r
(1 + r)2
µ
¶
∆R1 ∆R2 ∆R3 ∆R4
−
+
−
V
R1
R2
R3
R4
(3.85)
la 3.85 è l’equazione fondamentale che viene utilizzata per la misura di deformazioni, purchè la
deformazione sia limitata in un valore massimo di qualche per cento.
5
Una dimostrazione sintetica della 3.85 può ottenersi come qui in seguito: partendo da una configurazione
di equilibrio (R1 R3 = R2 R4 ) e perturbando la resistenza R1 con R1 + ∆R1 si ottiene ∆E ∗ = E − 0 =
(R1 +∆R1 )R3 −R2 R3
∆R1
V = (R1 +∆R1 )(R3 +R
R2 (R3 +R4 ) V .
(R1 +∆R1 +R2 )(R3 +R4 )
4)
R3
+
R3
Considerando inoltre un ponte equilibrato in cui si abbia pure R1 = R2 (cioè, per la condizione di equilibrio,
R3 = R4 ), si avrà ∆E ∗ = V
∆R1
2(R1 +∆R1 )+2R1
∗
=
∆R1
2R1
∆R
2+ R 1
1
. La precedente può essere linearizzata rispetto la variabile
1
.
∆R1 /R1 ottenendo cosı̀ ∆E
= 14 ∆R
V
R1
Se ora si ripetesse la precedente procedura ma relativamente alle resistenze R2 e R4 , si ottengono cose analoghe
∗
2
. Pertanto, avendo linearizzato e potendo cosı̀ considerare
ma con un cambiamento di segno, cioè ∆E
= − 41 ∆R
v
R1
∗
2
3
4
1
tutti gli effetti sovrapposti si avrà complessivamente ∆E
− ∆R
+ ∆R
− ∆R
), che è la 3.85 per r = 1.
= 14 ( ∆R
V
R1
R2
R3
R4
Se poi in generale R1 6= R2 (R3 6= R4 ) si troverebbe in pieno la 3.85.
88
La sensibilità del ponte con collegato l’estensimetro può essere valutata dalla:
∆E ∗
V
r
S=
=
ε
ε (1 + r)2
µ
∆R1 ∆R2 ∆R3 ∆R4
−
+
−
R1
R2
R3
R4
¶
(3.86)
se si considera un ponte con più sensori (n = 1, 2, 3, 4) la cui uscita si somma si ha:
X ∆Rn
n
Rn
=n
∆R
R
(3.87)
se si indica con Kg il fattore del singolo estensimetro, definito dalla:
∆R
= Kg ε
R
(3.88)
la 3.87 diviene:
X ∆Rn
n
Rn
= nKg ε
(3.89)
ponendo la 3.89 nella espressione della sensibilità 3.86 si ottiene:
S=V
r
nKg
(1 + r)2
(3.90)
questa espressione per la sensibilità è valida nel caso in cui la tensione di alimentazione del
ponte sia costante, cioè nel caso in cui la V sia indipendente dalla corrente che attraversa
l’estensimetro. Si vede che la sensibilità dipende dal numero n dei rami attivi del ponte, dal
fattore Kg dell’estensimetro, dalla tensione di alimentazione del ponte V e dal rapporto delle
resistenze r. Dall’andamento del termine r/(1 + r)2 , si vede che si ha il valore massimo di
sensibilità per r = 1 cioè quando R1 = R2 ; in queste condizioni e nel caso di quattro rami attivi
del ponte si ha:
S = Kg V
(3.91)
che è il valore massimo di sensibilità del ponte: questo valore si riduce ad un quarto se si dispone
di un solo ramo attivo del ponte.
Se invece la tensione di alimentazione viene scelta in modo tale da consentire all’estensimetro di
lavorare alla massima potenza dissipabile, la situazione cambia a seconda del numero dei rami
attivi del ponte e della loro posizione.
• Nel caso di un solo elemento attivo nel ramo 1 di resistenza R1 , come avviene per quelle
misure in cui non è necessaria la compensazione con la temperatura, dove R1 = Rg e le altre
tre resistenze possono essere scelte in modo tale da rendere massima la sensibilità purchè
89
la condizione di equilibrio sia rispettata (R1 R3 = R2 R4 ), la tensione di alimentazione
dipende dalla potenza dissipabile Pg e si ha:
q
V = Ig (R1 + R2 ) = Ig Rg (1 + r) = (1 + r) Pg Rg
(3.92)
q
considerando che Ig =
Pg /Rg , si ottiene quindi dalle 3.90 e 3.91:
S=
q
r
Kg Pg Rg
(1 + r)
(3.93)
Il valore della sensibilità dipende dall’efficienza del circuito, r/(1 + r), e dalla scelta delp
l’estensimetro che è rappresentato dal prodotto Kg Pg Rg . L’efficienza del circuito aumenta al crescere di r, ma r non può essere troppo alto per non aumentare eccessivamente
la tensione di alimentazione. Ad esempio per r = 9 (efficienza del circuito del 90%) per
un estensimetro di resistenza Rg = 120Ω e potenza dissipabile Pg = 0.15W si richiede una
tensione di alimentazione del ponte di V = 42.4V .
• Nel caso di un estensimetro attivo nel ramo 1, R1 = Rg , ed un altro estensimetro usato per compensazione di temperatura nel ramo 2, R2 = Rg , il valore della tensione di
alimentazione è dato dalla:
q
V = 2Ig Rg = 2 Pg Rg
(3.94)
Ponendo la 3.94 nella 3.90 con n = 1, r = 1, si ha:
1 q
S = Kg Pg Rg
2
(3.95)
in questo caso l’efficienza del circuito è fissata al valore 0.5 visto che la condizione
R1 = R2 = Rg impone r = 1. È quindi evidente che l’impiego dell’estensimetro per
la compensazione in temperatura vincola la misura ad una efficienza molto limitata: la
p
scelta dell’estensimetro, cioè del prodotto Kg Pg Rg condiziona la sensibilità ottenibile.
• Nel caso di un estensimetro attivo nel ramo 1 , R1 = Rg , e di un estensimetro per
compensazione di temperatura nel ramo 4, R4 = Rg , si ha:
q
V = Ig (R1 + R2 ) = Ig Rg (1 + r) = (1 + r) Pg Rg
(3.96)
Ponendo la 3.96 nella 3.90 si ottiene:
S=
q
r
Kg Pg Rg
(1 + r)
(3.97)
la sensibilità del circuito è uguale a quella ottenuta nel caso di un solo ramo attivo, si può
cosı̀ lavorare con compensazione di temperatura senza una diminuzione della sensibilità
del circuito.
90
• Se si considerano quattro estensimetri attivi uno per ogni ramo del ponte, come può
avvenire ad esempio nel caso in cui gli estensimetri sono posti su di una trave sollecitata
a flessione, i segnali dei singoli estensimetri si sommano ed il valore di n nella 3.90 è pari
a quattro. La tensione di alimentazione è data dalla:
q
V = 2Ig Rg = 2 Pg Rg
(3.98)
la resistenza è uguale per tutti i rami R1 = R2 = R3 = R4 = R e quindi r = 1. Ponendo
la 3.98 nella 3.90 si ha:
p
2 · 4 Kg Pg Rg
S=
(1 + r)2
(3.99)
e quindi
q
S = 2Kg Pg Rg
(3.100)
Nel caso di un ponte con quattro estensimetri attivi la sensibilità risulta più che doppia
di quella di un circuito con un solo elemento attivo e si ottiene anche un effetto di
compensazione con la temperatura.
• Infine nel caso di un circuito con due elementi attivi disposti nei rami 1 e 4 , R1 = R4 = Rg ,
si ha:
q
V = Ig (Rg + R2 ) = Ig Rg (1 + r) = (1 + r) Pg Rg
(3.101)
sostituendo la 3.101 nella 3.90 con n = 2 due elementi attivi si ha:
S=
2rKg q
r
2Kg Ig Rg =
Pg Rg
(1 + r)
(1 + r)
(3.102)
che presenta una sensibilità molto vicina a quella del ponte con quattro elementi attivi.
3.5
Il ponte di Wheatstone a corrente costante
Precedentemente si è fatto riferimento a circuiti a ponte in cui la tensione di alimentazione
rimane costante al variare della resistenza del circuito; come si è visto si ha un effetto di non
linearità se il rapporto ∆R/R è grande e questo effetto non lineare limita grandemente l’impiego
di questo tipo di ponte per estensimetri a semiconduttore che hanno delle sensibilità molto
elevate e quindi valori molto grandi del rapporto ∆R/R.
Una situazione diversa si ha se si impiegano dei circuiti a ponte con generatori a corrente costante,
il cui sviluppo ed impiego è più recente di quello del classico ponte a tensione costante: si tratta
91
Figura 3.7: schema di un estensimetro a corrente costante.
di dispositivi ad alta impedenza ( da 1 a 10 M Ω) che variano la tensione di uscita al variare
della resistenza in modo tale da mantenere costante la corrente, Fig. 3.7. Nel punto A del ponte
si ha:
I = I1 + I2
(3.103)
VAB = I1 R1
(3.104)
VAD = I2 R4
(3.105)
e la tensione ai capi di R1 é:
mentre la tensione ai capi di R4 é:
quindi la tensione ai capi di uscita BD del ponte è data dalla:
E ∗ = VBD = VAB − VAD = I1 R1 − I2 R4
(3.106)
la condizione di equilibrio del ponte è quindi:
I1 R1 = I2 R4
(3.107)
VAC = I1 (R1 + R2 ) = I2 (R3 + R4 )
(3.108)
la tensione VAC è data da:
92
dalla 3.108 si ha:
µ
¶
R3 + R4
I1 =
I2
(3.109)
R1 + R2
ma con la 3.103 è possibile esprimere le correnti I1 ed I2 in funzione della corrente impressa dal
generatore, I, si ha:
R3 + R4
I
(R1 + R2 + R3 + R4 )
R1 + R2
I2 =
I
(R1 + R2 + R3 + R4 )
I1 =
(3.110)
ponendo le 3.110 nella 3.106 si può esprimere la tensione di uscita del ponte in termini della
corrente impressa I:
E∗ =
(R1 R3 − R2 R4 )
I
(R1 + R2 + R3 + R4 )
(3.111)
dalla 3.111 si vede che la condizione di equilibrio del ponte a corrente costante, corrispondente
a tensione di uscita del ponte nulla, è data dalla:
R1 R3 = R2 R4
(3.112)
cioè la stessa condizione che si è determinata nel caso del ponte a tensione costante. Se si
considerano delle possibili variazioni ∆Ri delle resistenze Ri si ha :
(E ∗ + ∆E ∗ ) =
[(R1 + ∆R1 )(R3 + ∆R3 ) − (R2 + ∆R2 )(R4 + ∆R4 )]
I
P4
P4
1 i Ri +
1 i ∆Ri
(3.113)
dalla 3.113, imponendo la condizione di bilanciamento iniziale del ponte si ha (considerando la
relazione di bilanciamento):
·
∆R1 ∆R2 ∆R3 ∆R4
IR1 R3
P
−
+
−
R
+
∆R
R1
R2
R3
R4
i
i i
i
¸
∆R1 ∆R3 ∆R2 ∆R4
−
(3.114)
+
R1 R3
R2 R4
come si vede dalla 3.114 la variazione della tensione di uscita del ponte, ∆E ∗ , in funzione delle
∆E ∗ = P
variazioni delle resistenze ∆Ri è espressa da una relazione in termini non lineari per la presenza
di termini non lineari sia al numeratore che al denominatore. Tuttavia questi effetti non lineari
possono essere ridotti in modo tale che anche in presenza delle grandi variazioni di resistenza
tipiche degli estensimetri a semiconduttore si possa fare riferimento ad una relazione di tipo
lineare.
Si consideri il ponte di Fig. 3.8, nel ramo 1 viene posto un estensimetro attivo e nel ramo 4 un
estensimetro di compensazione, mentre sui rami 3 e 4 sono poste delle resistenze fisse; si ha:
R1 = R4 = Rg
R2 = R3 = rRg
∆R2 = ∆R3 = 0
93
(3.115)
Figura 3.8: schema di compensazione termica.
Se non vi sono variazioni significative di temperatura si ha:
∆R1 = ∆Rg
∆R4 = 0
(3.116)
e la 3.114 diviene:
∆E =
Ã
IRg r
∗
2(1 + r) +
∆Rg
Rg
∆Rg
Rg
!
(3.117)
come si vede la 3.117 è non lineare a causa del termine ∆Rg /Rg nel denominatore, per valutare
l’entità dell’effetto non lineare la 3.117 si può scrivere come:
∆E ∗ =
IRg r ∆Rg
(1 − η)
2(1 + r) Rg
(3.118)
dove il termine non lineare, indicato con η, è dato da:
η=
(∆Rg /Rg )
2(1 + r) +
∆Rg
Rg
=
Kg ε
2(1 + r) + Kg ε
(3.119)
dove Kg è il fattore dell’estensimetro; poichè si fa riferimento ad estensimetri a semiconduttore
il valore di Kg è elevato dell’ordine di 100 o più . Nel caso di estensimetri a semiconduttore la
94
massima deformazione è limitata in un campo che va da 1000µs fino a 2000 µs e si può quindi
valutare l’importanza del termine non lineare η a partire dai valori numerici:
Kg = 100
ε = 2000µs
(3.120)
r = 10
si osserva che r indica il rapporto tra le resistenze “fisse” sui rami 2 e 3 e la resistenza
dell’estensimetro, dalla 3.119 si ha:
η=
0.2
100 × 2 × 10−3
=
= 0.009
2 × 11 + 100 × 2 × 10−3
22 + 0.2
(3.121)
quindi ne consegue un valore del termine non lineare che è inferiore all’uno per cento. In pratica
è η << 1 a meno che sia molto elevato il valore di Kg e molto limitato il valore di r; se si ha
Kg = 250 e r = 1, per ε = 2000 µs si ha η = 0.11.
3.6
Effetto dei cavi di collegamento
A causa dei valori molto limitati di variazioni di resistenza che si devono misurare nell’impiego
degli estensimetri, gli effetti delle variazioni di resistenza legati ad altri elementi del sistema di
misura, come i cavi di collegamento che portano dall’estensimetro sulla struttura al ponte di
Wheatstone, possono essere importanti.
Con riferimento ad un collegamento con un estensimetro attivo sul ramo 1 del ponte si indichi
con Rg la resistenza dell’estensimetro e con 2 Rc la resistenza dei cavi di collegamento, Fig. 3.9.
Si hanno tre conseguenze principali:
1. attenuazione dei segnali
2. effetto sul bilanciamento
3. effetto sulla compensazione in temperatura
Il primo effetto, che porta ad una attenuazione della variazione di resistenza, si valuta con la
posizione R1 = Rg + 2Rc da cui:
∆R1
∆Rg
∆Rg /Rg
∆Rg
=
=
'
R1
Rg + 2Rc
1 + 2Rc /Rg
Rg
Ã
Rc
1−2
Rg
!
(3.122)
Si ha quindi:
∆R1
∆Rg
=
(1 − L)
R1
Rg
95
(3.123)
Figura 3.9: influenza dei cavi.
dove L indica un fattore di attenuazione del segnale per effetto dei cavi di collegamento. Si ha
L=
2Rc /Rg
Rc
'2
1 + 2Rc /Rg
Rg
(3.124)
se 2Rc << Rg . É evidente che per mantenere limitato il fattore di perdita deve essere limitato
il valore delle resistenze dei cavi rispetto al valore della resistenza dell’estensimetro.
Se deve essere L ≤ 0.01, deve essere Rc /Rg ≤ 0.005, quindi se le condizioni della prova richiedono
dei cavi lunghi può essere necessario passare ad esempio da estensimetri con Rg = 120 Ω ad
estensimetri con Rg = 350 Ω. Naturalmente i valori di resistenza di un conduttore dipendono
(oltre che dal materiale) dalle sezioni del cavo (indicativamente si possono avere dei valori di
resistenza per conduttori di rame e lunghezza di 30.5 m (100 f t) che vanno da qualche decimo
a diverse decine di ohm (0.2 ≤ RL,100 ≤ 100 Ω).
Il secondo effetto è legato al bilanciamento del ponte; nel caso in cui:
R1 = Rg + 2Rc
R2 = R3 = rRg
∆R2 = ∆R3 = 0
R4 = Rg
(3.125)
(3.126)
96
la condizione iniziale di bilanciamento R1 R3 = R2 R4 diviene
(Rg + 2Rc ) rRg = rRg Rg
(3.127)
e quindi non è rispettata: il bilanciamento si può ottenere se si dispone di una resistenza variabile
in parallelo a R2 ma se il rapporto Rc /Rg è superiore a qualche percento il bilanciamento del
ponte può non essere possibile.
Il terzo effetto riguarda la compensazione in temperatura ottenuta con un estensimetro sul ramo
4 del ponte; si ha:
∆E ∗ = V
r
(1 + r)2
µ
∆R1 ∆R4
−
R1
R4
¶
(3.128)
Se i due estensimetri sono sottoposti allo stesso ∆T mentre solo l’estensimetro sul ramo 1 viene
sottoposto alla deformazione si ha:
r
∆E ∗ = V
(1 + r)2
"Ã
∆Rg
Rg + 2Rc
!
Ã
+
ε
∆Rg
Rg + 2Rc
!
Ã
+
∆T
2∆Rc
Rg + 2Rc
!
Ã
−
∆T
∆Rg
Rg
!
#
(3.129)
∆T
Si nota come in questa situazione non si ottenga più una compensazione con la temperatura
e ciò avviene per due diversi motivi: intanto i termini 2 e 4 non sono uguali e poi il terzo
termine, dovuto all’effetto della temperatura sulla resistenza dei cavi di collegamento può essere
importante.
Questi effetti possono essere ridotti in maniera molto drastica se si ricorre ad un collegamento
diverso in cui i due estensimetri sui rami 1 e 4 sono posti a distanza con un collegamento del
tipo di Fig. 3.10.
3.7
3.7.1
Estensimetri impiegati come sensori in trasduttori
Cella di carico
Può essere costruita a partire da un elemento a trazione con quattro estensimetri posti come in
Fig. 3.11 e collegati a ponte intero secondo lo schema indicato in Fig. 3.12. Il carico di trazione
applicato al provino porta a delle deformazioni assiali e trasversali date dalle relazioni:
F
Ap E
−νF
εt =
Ap E
εa =
dove Ap è la sezione del provino ed E, ν sono le costanti elastiche del materiale.
97
(3.130)
Con gli
Figura 3.10: schema di compensazione degli effetti dei cavi.
Figura 3.11: schema della cella di carico.
98
Figura 3.12: collegamento a ponte della cella di carico.
estensimetri posti nel ponte come è indicato in Fig. 3.12 si ha r = 1 e la :
∆E ∗
r
=
V
(1 + r)2
µ
∆R1 ∆R2 ∆R3 ∆R4
−
+
−
R1
R2
R3
R4
¶
(3.131)
diviene:
∆E ∗
1
=
V
4
µ
∆R1 ∆R2 ∆R3 ∆R4
−
+
−
R1
R2
R3
R4
¶
(3.132)
se si indica con Kg il fattore dell’estensimetro si ha:
∆R1
∆R3
Kg F
=
= Kg εa =
R1
R3
Ap E
∆R2
∆R4
−νKg F
=
= Kg εt =
R2
R4
Ap E
(3.133)
sostituendo le 3.133 nella 3.132 si ha:
∆E ∗
Kg F
=
(1 + ν) = KF F
V
2Ap E
(3.134)
con:
KF =
1+ν
Kg
(1 + ν) '
2Ap E
Ap E
99
(3.135)
relazione approssimata che vale nel caso in cui Kg ' 2. Dalla 3.134 si vede che l’uscita è
linearmente proporzionale alla forza F applicata al provino, il valore di ∆E ∗ /V dipende dalle
caratteristiche del provino, ma in genere ha un valore intorno a qualche per mille. Il valore della
forza misurabile è dato da:
F = Ap
∆E ∗ E
V (1 + ν)
(3.136)
ed il valore massimo è condizionato anche dal limite di fatica degli estensimetri usati come
sensori. Si ha:
σ=
∆E ∗ E
F
=
Ap
V (1 + ν)
(3.137)
nel caso di un provino in acciaio con E = 210GP a, ν = 0.32 e ∆E ∗ /V = 0.003 dalla 3.137 si ha:
σmax =
0.003 × 210 × 109
= 477M P a
1 + .32
(3.138)
che risulta un valore compatibile con i limiti di fatica dell’acciaio, ma la deformazione assiale
corrispondente:
εmax =
σmax
= 2271µs
E
(3.139)
è un valore elevato per la resistenza a fatica degli estensimetri. Si osserva anche che il posizionamento degli estensimetri sul provino è tale da annullare l’effetto sulla misura di eventuali
momenti flettenti (dovuti ad eccentricità del carico assiale od alla presenza di forze sversali). Si
ha infatti, Fig. 3.13, che le componenti M1 , M2 del momento M applicato portano a variazioni
di resistenza sugli estensimetri:
¯
¯
∆R2 ¯¯
−∆R4 ¯¯
=
¯
R2 M1
R4 ¯M1
¯
¯
∆R3 ¯¯
−∆R1 ¯¯
=
R3 ¯M2
R1 ¯M2
¯
;
;
¯
∆R1 ¯¯
∆R3 ¯¯
=
=0
¯
R1 M1
R3 ¯M1
¯
¯
∆R2 ¯¯
∆R4 ¯¯
=
=0
R2 ¯M2
R4 ¯M2
(3.140)
che quindi non influenzano la misura della forza F . La cella di carico risulta anche praticamente
insensibile all’effetto di eventuali carichi di torsione.
3.7.2
Trasduttore di pressione a membrana
In questo caso si impiega un estensimetro particolare per ottenere la massima sensibilità di
misura. La deformazione sulla membrana, che viene misurata dagli estensimetri, può essere
espressa in termini delle componenti radiale e circonferenziale con le relazioni:
3(1 − ν 2 ) 2
(R0 − 3r2 )p
8Et2
3(1 − ν 2 ) 2
εθ =
(R0 − r2 )p
8Et2
εr =
100
(3.141)
Figura 3.13: compensazione di momenti nella cella di carico.
dove p indica la pressione applicata alla membrana, ed è la grandezza che si deve misurare, t
indica lo spessore della membrana, R0 indica il raggio esterno ed r indica la posizione radiale
dell’estensimetro. Dalla 3.141 si osserva come εθ sia sempre positivo e raggiunge il valore massimo
per r = 0 invece εr ha valori positivi e negativi e raggiunge il massimo valore positivo per r = 0
ed il massimo valore negativo per r = R0 , Fig. 3.14.
L’estensimetro speciale usato in questo
trasduttore viene progettato in modo da sfruttare questa distribuzione di deformazione; il segnale
in uscita risulta quindi:
R2 (1 − ν 2 )
∆E
= αp 0 2
p
V
t E
(3.142)
con αp = .82, vengono realizzati diversi estensimetri speciali per trasduttori di pressione con
diametri che variano da qualche millimetro a qualche centimetro. Naturalmente per effetto della
pressione applicata la membrana del trasduttore si deforma ed il legame pressione deformazione
diviene non lineare; si può considerare che il comportamento sia lineare se lo spostamento centrale
della membrana è limitato. Lo spostamento centrale della membrana è dato da:
wc =
3R04 (1 − ν 2 )
p
16t3 E
(3.143)
se risulta wc /t ≤ 0.25 allora la relazione che esprime la variazione di tensione in funzione della
pressione applicata, 3.142, può essere considerata valida.
101
Figura 3.14: campo di deformazione nella membrana.
Quando il trasduttore di pressione viene utilizzato per misure dinamiche è necessario che la
frequenza naturale della “membrana” sia notevolmente più alta (da cinque a dieci volte) della
frequenza massima che si vuole considerare nell’analisi dinamica.
La pulsazione naturale della membrana può essere valutata dalla:
10.21t
ωn = 2πfn =
R02
s
gE
12(1 − ν 2 )γ
(3.144)
dove γ è la densità del materiale e g è l’accelerazione di gravità. In sintesi si ottengono dei
trasduttori di pressione di costo limitato, di impiego semplice e con frequenza naturale elevata.
3.8
3.8.1
Misura della deformazione e dello sforzo
Misura della deformazione
Si consideri, Fig. 3.15, un sistema di riferimento x, y ed un estensimetro, indicato con OA , di
lunghezza ` posto con un angolo α di inclinazione rispetto all’asse x del sistema di riferimento;
se avviene una deformazione in direzione x cosı̀ che il punto A si porti nella posizione A0 si ha
la deformazione nella direzione α dell’estensimetro:
εα = δ`/`
102
(3.145)
Figura 3.15: geometria nella deformazione piana.
dove :
` cos α = x
(3.146)
δ` = δx cos α
(3.147)
e quindi:
εα = (δx/x) cos α cos α = εx cos2 α
(3.148)
con εx = δx/x.
Naturalmente una considerazione analoga può essere fatta se avviene invece una deformazione
in direzione y cosı̀ che il punto A si porti nella posizione A00 ; si ha:
εα = εy sin2 α
(3.149)
con εx = δy/y; infine se si fa riferimento allo scorrimento γxy si ha
εα = γxy sin α cos α
103
(3.150)
se ora si considerano insieme le due deformazioni e lo scorrimento si ha
6
εα = εx cos2 α + εy sin2 α + γxy sin α cos α
(3.152)
La deformazione εα , relativa alla direzione dell’estensimetro, può essere misurata con l’estensimetro stesso e quindi se si misurano tre deformazioni in corrispondenza di tre angoli diversi,
indicati con α1 ,α2 , α3 si possono calcolare le tre deformazioni incognite, relative al sistema di
riferimento xy, indicate con εx , εy , εxy . Se l’equazione 3.152 viene scritta in funzione dell’angolo 2α, utilizzando le relazioni trigonometriche 2 sin α cos α = sin 2α, sin2 α = 21 (1 − cos 2α),
cos2 α = 12 (1 + cos 2α), si ha:
εα = (εx + εy ) /2 + ((εx − εy ) /2) cos 2α + γxy (sin 2α)/2
(3.153)
e quindi derivando la 3.153 rispetto ad α si ottiene l’angolo, indicato con αp , che definisce gli
assi principali della deformazione; imponendo la condizione:
dεα /dα = 0
(3.154)
tan 2αp = (γxy / (εx − εy ))
(3.155)
si ottiene:
dalla 3.155 si ottiene l’angolo αp e una volta noto questo si ottengono le deformazioni principali
εmax ed εmin che sono date rispettivamente dalla:
εmax = εx cos2 αp + εy sin2 αp + γxy sin αp cos αp
(3.156)
mentre εmin deve essere valutato in corrispondenza di un angolo (αp ± 90◦ ). Dai valori delle
deformazioni principali si ottiene il valore massimo dello scorrimento:
γxymax = εmax − εmin
(3.157)
la direzione del valore massimo dello scorrimento è a 45◦ rispetto a quella degli assi principali.
Si considerino come esempio, tre estensimetri colegati in modo tale da poter misurare la deformazione secondo tre angoli diversi in un punto, come indicato in Fig. 3.16. Si sono ottenute le
6
Si noti che si è indicato con εxy ciò che normalmente si indica con γxy ≡ εxy . Inoltre la 3.152 può essere
ottenuta direttamente utilizzando il tensore di deformazione piano in coordinate cartesiane
·
εx
εxy /2
εxy /2
εy
¸
(3.151)
applicandolo alla generica normale all’estensimetro n = {cos α, sin α}T e successivamente proiettando su ti essa il
vettore ottenuto.
104
Figura 3.16: rosetta estensimetrica.
misure sperimentali:
ε1 = 850µs
(3.158)
ε2 = −100µs
(3.159)
ε3 = 350µs
(3.160)
Se si considera un sistema di riferimento xy tale che l’asse x sia coincidente con l’asse del primo
estensimetro è possibile calcolare le deformazioni εx , εy , εxy dalla 3.152 e la posizione degli assi
principali dalla 3.153.
Si ha allora, nel caso del primo estensimetro:
850 = εx cos2 (0) + εy sin2 (0) + γxy sin(0) cos(0)
(3.161)
εx = 850µs
(3.162)
−100 = 850 cos2 85 + εy sin2 85 + γxy sin 85 cos 85
(3.163)
εy = −107.2 + .08752γxy
(3.164)
da cui:
per il secondo estensimetro:
da cui:
105
per il terzo estensimetro si ha:
350 = 850 cos2 (−75) + εy sin2 (−75) + γxy sin(−75) cos(−75)
(3.165)
εy = 314.2 − .0268γxy
(3.166)
da cui:
si ottiene quindi:
εy = −3.4µs
(3.167)
γxy = 1185µs
(3.168)
dalla 3.153 si ha:
tan 2αp = 1185/853.4 = 1.39
(3.169)
quindi:
2αp = 54.24◦
(3.170)
αp = 27.12◦
(3.171)
dalla 3.156 si può calcolare la εmax e si ha:
εmax = 1153.4µs
(3.172)
si ottiene εmin in corrispondenza dell’angolo:
αmin = αp ± 90◦
(3.173)
εmin = −305.3µs
(3.174)
e quindi:
infine dalla 3.157 si ha il valore massimo dello scorrimento, relativo ad una direzione a 45◦
rispetto gli assi principali:
γxymax = εmax − εmin = 1452.6µs
(3.175)
Se le misure sono state rilevate su di una struttura in lega leggera con le caratteristiche elastiche:
E = 70 GP a
(3.176)
ν = .32
(3.177)
106
dalle relazioni:
σmax = (E/(1 − ν 2 ))(εmax + νεmin )
(3.178)
σmin = (E/(1 − ν 2 ))(εmin + νεmax )
(3.179)
σmax = 82.33M P a
(3.180)
σmin = 4.97M P a
(3.181)
si ha:
e dalla:
σxy = (Eγxy )/(2(1 + ν)) = Gγxy
(3.182)
si ha il valore massimo del taglio, sempre con riferimento ad una direzione a 45◦ rispetto agli
assi principali:
σxymax = 38.55M P a
(3.183)
Si valuta ora l’effetto di un errore di posizionamento ipotizzato di tre gradi degli estensimetri
rispetto alla posizione nominale, a conti fatti si ha:
εx = 850µs
(3.184)
εy = 6.8µs
(3.185)
γxy = 893.6µs
(3.186)
dalla 3.155 si ha:
αp = 23.32◦
(3.187)
dalla 3.156 si ottiene:
εmax = 1042.7µs
(3.188)
εmin = −185.9µs
(3.189)
dalla 3.157 si ha poi:
γxymax = εmax − εmin = 1228.6µs
(3.190)
in corrispondenza a questi nuovi valori di deformazione si ottengono, sempre nel caso di lega
leggera, i valori per gli sforzi:
σmax = 76.67 M P a
(3.191)
σmin = 11.51 M P a
(3.192)
σxy
(3.193)
= 32.58 M P a
107
Come si vede dall’esempio numerico gli effetti dell’errore di posizionamento degli estensimetri
sono notevoli; risulta quindi evidente l’opportunità dell’impiego di “rosette” fotoincise in cui
l’errore della posizione relativa degli estensimetri è praticamente trascurabile.
3.8.2
Misura dello sforzo e dello scorrimento per materiali isotropi
È possibile utilizzare la sensibilità trasversale di un estensimetro, St , per ottenere un sensore
di sforzo. Si tratta di un estensimetro progettato in modo tale, appunto con la scelta di un
valore particolare di St , da avere una uscita proporzionale alla sollecitazione secondo l’asse
dell’estensimetro; infatti:
∆R
= Ka (εa + St εt )
R
(3.194)
St = Kt /Ka
(3.195)
con:
mentre il legame σ − ε nel caso di sforzo piano è dato dalle:
1
(σa − νσt )
E
1
εt = (σt − νσa )
E
εa =
(3.196)
e quindi dalle 3.196, 3.194 si ha:
∆R
Ka
St Ka
=
(σa − νσt ) +
(σt − νσa ) =
R
E
E
σt Ka
σa Ka
(1 − νSt ) +
(St − ν)
=
E
E
(3.197)
(3.198)
si vede quindi che se si pone:
St = ν
(3.199)
si ottiene che la variazione di resistenza dell’estensimetro, ∆R/R, risulta indipendente da σt e
proporzionale soltanto allo sforzo, σa , nella direzione assiale dell’estensimetro. Si ha quindi :
∆R
Ka (1 − ν 2 )
=
σa = Kσ σa
R
E
(3.200)
dove Kσ indica una costante, una volta che è stato fissato il materiale dell’estensimetro e quello
del provino; quindi la variazione di resistenza è proporzionale allo sforzo secondo la direzione
dell’estensimetro.
In genere un sensore di sforzo è costituito da due estensimetri disposti a V. Nel caso generale il
sensore si trova in una posizione generica del campo di deformazione e gli elementi della griglia
108
sono angolati di ϑ rispetto all’asse del sensore. Si può verificare che indicando con εx−ϑ ed εx+ϑ
le deformazioni misurate dai due estensimetri della griglia e se l’angolo ϑ è scelto in modo tale
che sia tan2 ϑ = ν si ha:
E
(εx+ϑ + εx−ϑ )
2(1 − ν)
σxx =
(3.201)
Infatti si ha:
εx+ϑ = εx cos2 ϑ + εy sin2 ϑ + γxy sin ϑ cos ϑ
(3.202)
εx−ϑ = εx cos2 ϑ + εy sin2 ϑ − γxy sin ϑ cos ϑ
(3.203)
quindi
³
´
εx+ϑ + εx−ϑ = 2 εx cos2 ϑ + εy sin2 ϑ
(3.204)
cioè
Ã
εx+ϑ + εx−ϑ
sin2 ϑ
= 2 cos ϑ εx +
εy
cos2 ϑ
!
2
(3.205)
Se si sceglie l’angolo θ tra i due estensimetri in modo tale che sia :
tan2 ϑ = ν
(3.206)
e quindi
cos2 ϑ =
1
1+ν
(3.207)
si ha
εx+ϑ + εx−θ =
2
(εx + νεy )
(1 + ν)
(3.208)
ma
E
(εx + νεy )
(1 − ν 2 )
(3.209)
E
(εx+ϑ + εx−ϑ )
2(1 − ν)
(3.210)
σxx =
e quindi si ha
σxx =
La lettura del sensore fornisce direttamente la semisomma: (εx−ϑ +εx+ϑ )/2 ed è quindi sufficiente
conoscere le caratteristiche elastiche del materiale, E e ν per ricavare direttamente σxx cioè lo
sforzo secondo l’asse del sensore se è verificata la condizione tan2 ϑ = ν. Nel caso in cui ν = 0.3
si ha ϑ ' 30◦ .
109
Figura 3.17: estensimetro a diffrazione.
Naturalmente se la direzione degli sforzi principali è nota si può utilizzare questa informazione
e la misura è possibile anche con un solo estensimetro purchè esso si trovi in una posizione ϑ
particolare corrispondente alla condizione tan2 ϑ = ν; in questo caso infatti, se x indica ora la
direzione principale, si ha:
εx−ϑ = εx+ϑ = εϑ
(3.211)
E
εϑ
(1 − ν)
(3.212)
e quindi:
σxx =
Si fa ora riferimento a due estensimetri, indicati con A, B in Fig. 3.17, posizionati con angoli
ϑA e ϑB rispetto ad un asse x; si ha:
εx + εy
εx − εy
εxy
+
cos 2ϑA +
sin 2ϑA
2
2
2
εx − εy
εxy
εx + εy
+
cos 2ϑB +
sin 2ϑB
εB =
2
2
2
εA =
(3.213)
Si ottiene lo scorrimento, εxy , dalla:
εxy =
2(εA − εB ) − (εx − εy )(cos 2ϑA − cos 2ϑB )
sin 2ϑA − sin 2ϑB
(3.214)
se gli estensimetri sono orientati in modo tale che sia cos(2ϑA ) = cos(2ϑB ) si ha:
εxy =
2(εA − εB )
= Kxy (εA − εB )
sin 2ϑA − sin 2ϑB
110
(3.215)
con:
Kxy =
2
sin 2ϑA − sin 2ϑB
(3.216)
Il coseno è una funzione pari e quindi la condizione ϑA = −ϑB soddisfa la condizione cos(2ϑA ) =
cos(2ϑB ) ed in questo modo lo scorrimento εxy è proporzionale alla differenza tra le deformazioni
εA e εB . L’angolo ϑA = −ϑB può essere qualsiasi ma se si sceglie ϑA = π/4 allora lo scorrimento
è dato semplicemente dalla:
εxy = εA − εB
(3.217)
quindi lo scorrimento può essere misurato direttamente con due estensimetri orientati a ±45o
rispetto all’asse x e collegati opportunamente a due rami di un ponte di Wheatstone. Spesso le
“rosette” per queste misure sono a quattro elementi in modo da poter raddoppiare la sensibilità
con un collegamento a ponte completo.
3.9
Misure ottiche di estensimetria
La diffusione dell’impiego del laser, come sorgente di luce monocromatica, ha portato allo
sviluppo di diversi sistemi ottici di estensimetria.
3.9.1
Estensimetro a diffrazione
L’estensimetro a diffrazione è costituito essenzialmente da due lamine, che sono incollate o
saldate alla struttura, esse sono separate da una distanza, indicata con b, per formare una
apertura e sono fissate al provino su di una base di lunghezza `, come riportato in Fig. 3.18.
Una luce monocromatica, prodotta da una sorgente laser, viene inviata sull’apertura e produce
un effetto di diffrazione su di uno schermo posto a distanza R dall’apertura stessa. Se la distanza
R è molto grande rispetto alla dimensione b dell’ apertura la distribuzione della intensità di luce
per diffrazione è data dalla relazione:
I = A20 sin2 β/β 2
(3.218)
dove A◦ indica l’ampiezza della luce sulla linea centrale, individuata da θ = 0 e β è definito dalla
relazione:
β = (πb/λ) sin θ
(3.219)
dove λ è la lunghezza d’onda della luce monocromatica proveniente dalla sorgente laser e θ è
l’angolo come viene indicato in Fig. 3.18.
111
Figura 3.18: frange di interferenza.
Se l’analisi della diffrazione è limitata a piccole distanze dalla linea centrale, indicate con y in
Fig 3.18, si ha:
sin θ ∼
= y/R
(3.220)
β = (πb/λ)(y/R)
(3.221)
e quindi:
Dalla 3.218 si vede che l’intensità luminosa si annulla se sin β = 0 e quindi per β = 0 o per
β = nπ (con n = 1, 2, ...).
Se si considerano i punti sullo schermo per i quali I = 0 si può ottenere una relazione tra la loro
posizione sulla scala dello schermo e la lunghezza dell’apertura b; si ha infatti:
b = (λRn/y)
(3.222)
dove n è l’ordine di punto nullo relativo al punto che ha posizione y sulla scala. A causa della
deformazione della struttura si ha una variazione della larghezza dell’apertura collegata con la
deformazione stessa dalla relazione:
ε =
∆b
b
112
(3.223)
a questa variazione di apertura corrisponde una variazione della diffrazione.
Se si considera la diffrazione dopo la deformazione si ha:
(b + ∆b) = (λRn∗ /y1 )
(3.224)
mentre prima della deformazione si aveva:
b = (λRn∗ /y0 )
(3.225)
e quindi si può ricavare la deformazione ε dalla relazione:
·
ε = ∆b/b =
¸
y0 (y0 − y1 )
(b + ∆b) − b
=
b
y1 y0
(3.226)
In pratica l’indice di punto nullo a cui riferisce la misura, indicato con n∗ , si sceglie il più alto
possibile, compatibilmente con i vincoli ottici, in modo da ottenere i valori più alti possibile per
le distanze y0 , y1 .
Questo tipo di sensore presenta diversi vantaggi in particolare nel caso di misure ad alta temperatura, infatti risulta compensato in temperatura se le lamine sono dello stesso materiale del
provino.
3.9.2
Estensimetro ad interferenza
Un altro sistema ottico si basa sul fenomeno dell’interferenza che si ha se una luce monocromatica
prodotta da una sorgente laser viene riflessa da due intagli a V situati sulla parete, trattata con
una elevata finitura superficiale, di una struttura, come indicato in Fig. 3.19. Si tratta di intagli
di una profondità di circa 10−3 mm e spaziati di circa un decimo di mm con un angolo di intaglio
di 110◦ . Se gli intagli sono piccoli, rispetto alla lunghezza d’onda, in modo da permettere la
diffrazione della luce e sono anche abbastanza vicini in modo da permettere la sovrapposizione
della diffrazione e provocare un effetto di interferenza l’intensità della luce è data dalla relazione:
I = 4A20 (sin2 β/β 2 ) cos2 φ
dove
β = (πb/λ) sin θ
φ = (πd/λ) sin θ
b = larghezza intaglio
d = distanza tra gli intagli
θ = angolo del raggio centrale
113
(3.227)
Figura 3.19:
La luce viene riflessa dai due lati dell’intaglio e si hanno quindi due fenomeni di interferenza
su due schermi posti in genere ad una distanza di circa 200 mm dagli intagli stessi.
L’intensità luminosa si annulla e si hanno di conseguenza delle striscie nere sullo schermo in
corrispondenza dei valori di β e di φ dati dalle:
β = nπ
(n = 1, 2, ...)
φ = (m + 1)/3π
(m = 0, 1, 2, ...)
(3.228)
(3.229)
Per effetto della deformazione del provino si ha una variazione della distanza, indicata con d,
tra gli intagli ed anche della larghezza b dell’intaglio. Questi effetti producono degli spostamenti
nelle interferenze, cioè nella posizione delle scie nere sullo schermo, che possono essere collegati
alla deformazione tra gli intagli. Si ha:
ε = (∆N1 − ∆N2 )λ/(2d sin α)
(3.230)
dove ∆N1 , ∆N2 indicano le variazioni nell’ordine delle frange delle due situazioni prodotte dalla
deformazione ed α indica l’angolo tra il fascio di luce incidente e quello diffratto che producono
l’interferenza.
Anche questo metodo presenta diversi vantaggi in particolare si può impiegare per misure di
deformazione su strutture in rotazione ed in condizioni ambientali difficili, la compensazione in
temperatura è diretta.
114
Capitolo 4
Misure di vibrazione
4.1
Considerazioni generali: vibrazioni e comfort
Si consideri il caso in cui la vibrazione sia costituita da un moto armonico semplice, di ampiezza
A e pulsazione ω: tra spostamento, x, velocità , ẋ, ed accelerazione, ẍ si hanno le relazioni:
x(t) = A sin(ωt)
ẋ(t) = ωA cos(ωt)
(4.1)
ẍ(t) = −ω 2 A sin(ωt)
si nota che mentre la frequenza rimane immutata si ha uno sfasamento di 90o tra velocità e
spostamento, e tra velocità ed accelerazione.
Le relazioni tra le ampiezze sono collegate tra loro attraverso la pulsazione ω; se si considera
come riferimento l’ampiezza relativa alla velocità, indicata con |Aẋ | = ω|Ax |, si può scrivere:
|Ax | = |Aẋ |/ω → lg Ax = lg Aẋ − lg ω
(4.2)
|Aẍ | = ω|Aẋ | → lg Aẍ = lg Aẋ + lg ω
quindi, con riferimento all’ampiezza in velocità, l’ampiezza in spostamento è inversamente
proporzionale alla pulsazione ω e quella in accelerazione è direttamente proporzionale ad ω.
Per frequenze elevate la misura più facilmente apprezzabile (in ampiezza) da uno strumento di
misura è quella in termini di accelerazione mentre per basse frequenze è quella in termini di
spostamento; si nota anche che in termini di ampiezza in spostamento si ha una attenuazione
delle componenti ad alta frequenza. Un modo classico di presentare spostamento, velocità ed
accelerazione in funzione della frequenza è quello di usare un grafico dove sono riportate in
ascissa, in scala logaritmica, le frequenze ed in ordinate, sempre in scala logaritmica, le velocità
mentre le rette con pendenza a 45◦ (+1) indicano le linee di spostamento costante e quelle con
115
Figura 4.1: curve caratteristiche di soglia per la vibrazione.
pendenza −45◦ (-1) le linee di accelerazione costante come in Fig. 4.1. In generale si può ritenere
che l’indice migliore per la valutazione del possibile danno strutturale dovuto alla vibrazione sia
legato all’ampiezza della velocità , mentre l’ampiezza dell’accelerazione è la caratteristica a cui
risulta più sensibile l’uomo.
La ISO (International Organization for Standardization) definisce uno standard relativo ai livelli
di vibrazione che risultano accettabili in diverse situazioni.
Questi standards sono espressi in termini di valori quadratici medi del segnale x(t), con la
simbologia in uso RMS (Root Mean Square) definiti dalla:
"
xRM S
1
= lim
T →∞ T
Z T
0
#1/2
2
x (t)dt
(4.3)
L’approccio classico per rappresentare questi limiti è con una rappresentazione grafica delle
116
relazioni che legano spostamento, velocità ed accelerazione nel caso di un sistema SDOF (Single
Degree Of Freedom).
Nel diagramma di Fig. 4.1 sono indicati i limiti per la sensibilità umana, il danno strutturale e
la vibrazione di sistemi meccanici.
Come esempio e facendo riferimento alla Fig. 4.1 si valuti l’effetto che una irregolarità al suolo
dell’ordine di 0.2 mm ha su di un velivolo in movimento sul terreno, se questo velivolo viene
rappresentato con un modello SDOF non smorzato dove le caratteristiche del velivolo sono
riportate ad una massa m ed una rigidezza K di valore:
m = 10000Kg
k = 5 × 106 N/m
e se l’altezza della irregolarità viene considerata come il valore quadratico medio dello spostamento.
Per un sistema ed un grado di libertà si ha:
s
s
ω=
f=
K
=
m
5 × 106 √
= 500 = 22.36 rad/s
104
ω
= 356 Hz
2π
Dal diagramma si vede che per questo valore di frequenza ed un’ampiezza di 0.2 mm si ha
un punto che risulta all’interno della zona di percezione per il passeggero con un livello di
accelerazione di circa 0.05m/s.
Si vede che per allontanare il punto di lavoro dalla zona disensibilità per il passeggero, una volta
fissata l’entità della irregolarità al suolo, si deve ridurre la frequenza del sistema: ciò si può
ottenere aumentando la massa, che tuttavia è evidentemente legata alla categoria del velivolo,
o diminuendo la rigidezza, che dipende dalle caratteristiche della sospensione come la pressione
dei pneumatici, cosı̀ ponendo:
m = 10000Kg
K = 1 × 106 N/m
si ha:
s
√
K
= 100 = 10 rad/s
m
f = 1.59 Hz
ω=
Dal diagramma si vede che il punto di lavoro si sposta verso l’esterno della zona di sensibilità
con un livello di accelerazione di circa 0.01m/s2 .
117
Naturalmente questo procedimento è soltanto indicativo del problema, ma il modello SDOF
può essere insufficente per la stima della dinamica del velivolo nel suo movimento al suolo e
la variazione delle caratteristiche di rigidezza della sospensione può risultare incompatibile con
altre del progetto del velivolo.
Per quanto riguarda le ampiezze delle vibrazioni di interesse queste variano di diversi ordini di
grandezza a seconda dei problemi: ad esempio possono essere dell’ordine di 10−4 mm nel caso di
banchi ottici o di strumentazione medica (per frequenza tra .1 ed 1 Hz).
Nel campo delle vibrazioni meccaniche le frequenze di interesse variano tra 10 e 10000 Hz e le
ampiezze vanno tra qualche decimo di millimetro e diversi centimetri.
Riprendiamo il caso del velivolo precedentemente esaminato nel modello SDOF con le caratteristiche:
m = 10000Kg
K = 5 × 106 N/m
a cui si aggiunge un coefficiente di smorzamento viscoso:
c = 105 N s/m
ed il caso di un altro sistema SDOF , che si riferisce al modello di un giradischi, con i seguenti
parametri:
m = 1Kg
K = 500N/m
c = 10N s/m e si valutano le caratteristiche dinamiche dei due sistemi. Per il velivolo si ha:
s
ω1 =
s
K1
=
m1
5 × 106 √
= 500 = 22.36rad/s
104
(4.4)
il coefficiente adimensionale di smorzamento è dato da:
ζ1 =
c1
105
=
= 0.223
2m1 ω1
2 × 104 × 22.36
(4.5)
e la pulsazione smorzata è quindi:
q
ωs1 = ω1 1 − ζ12 = 21.80rad/s
(4.6)
Per il secondo sistema si ha:
s
ω2 =
K2
=
m2
r
500
= 22.36rad/s
1
118
(4.7)
il coefficente adimensionale di smorzamento è dato da:
c2
10
ζ2 =
=
= 0.223
2m2 ω2
2 × 1 × 22.36
e la pulsazione smorzata è quindi:
(4.8)
q
ωs2 = ω2 1 − ζ22 = 21.80rad/s
(4.9)
I due sistemi, fisicamente del tutto diversi, presentano le stesse frequenze naturali e lo stesso
coefficiente di smorzamento: ma i due sistemi, anche se equivalenti da questo punto di vista,
sono invece diversi dal punto di vista della risposta.
L’accelerometro, che è il trasduttore base per la valutazione del comportamento dinamico di un
sistema, permette di individuare le caratteristiche proprie di un sistema strutturale ed il livello
di sollecitazione in un punto della struttura e quindi le caratteristiche di risposta.
4.2
Trasduttore sismico ed accelerometro
La misura delle vibrazioni si può eseguire con un trasduttore sismico: che è costituito da un sistema massa, molla, smorzatore collegato ad una struttura, come indicato in Fig. 4.2, l’equazione
della dinamica risulta in tal caso:
mẍ + c(ẋ − u̇) + k(x − u) = 0
(4.10)
dove m, c, k sono le caratteristiche di massa, smorzamento e rigidezza del sistema, x indica lo
spostamento della massa m ed u indica lo spostamento della base di connessione del sistema alla
struttura,Fig. 4.2.
Se si indica con z = x − u il movimento della massa m dell’accelerometro
relativo alla struttura si ha:
mz̈ + cż + kz = −mü
(4.11)
ma u(t) indica lo spostamento della base di collegamento e nel caso di moto armonico semplice
u(t) = u cos ωt e si ha quindi la classica espressione del sistema smorzato con ingresso armonico.
Si indichi con ζ il coefficiente adimensionale di smorzamento, che è il rapporto tra il coefficiente
di smorzamento c del sistema ed il valore critico di smorzamento, definito dalla:
√
ζ = c/cc = c/2 mk
(4.12)
Procedendo come nei paragrafi 1.6.2 e 1.6.3 (caso di ingresso armonico) si ottiene per la equazione
del sistema 4.10 la soluzione:
|z/u| = r³
(ω/ωn )2
´
2 2
1 − (ω/ωn )
119
+
(4.13)
4ζ 2 (ω/ω
n)
2
Figura 4.2: schema funzionale di un acceleromatro.
con:
h
³
φ = − arctan 2ζ(ω/ωn )/ 1 − (ω/ωn )2
´i
(4.14)
Si ha quindi l’andamento di Fig. 4.3 in cui ζ appare come parametro; |z/u| tende ad 1 all’
aumentare del rapporto ω/ωn e questo per qualunque valore delle caratteristiche di smorzamento
del sistema, che sono rappresentate dal valore del coefficiente adimensionale di smorzamento ζ.
Questo significa che all’aumentare della frequenza di oscillazione, rispetto alla frequenza propria
del sistema di misura, l’uscita z si avvicina al valore, indicato con u, dello spostamento della
struttura in esame.
Se le frequenze in gioco sono legate a problemi strutturali in campo aerospaziale e quindi relativamente basse, ad esempio in un campo di valori compreso tra pochi Hz e qualche centinaio
di Hz, la frequenza propria dello strumento di misura deve essere al massimo di qualche Hz e
quindi la massa dello strumento deve essere relativamente grande con il rischio di perturbare la
misura con errori di inserzione molto grandi.
Anche in conseguenza di tali considerazioni, la misura delle vibrazioni viene in genere condotta
con la misura diretta di accelerazioni e non di spostamenti, come è stato considerato precedentemente, con l’impiego di trasduttori detti accelerometri: ciò consente di utilizzare dei trasduttori
costituiti da masse molto piccole, che non influenzano con la loro presenza il comportamento
stesso della struttura. Per passare poi dalla misura della accelerazione a quella dello spostamento è necessario eseguire una doppia integrazione sul segnale che si preleva dal sensore. Se si
deriva due volte la relazione che fornisce un segnale di ingresso sinusoidale:
u = u∗ cos ωt
120
(4.15)
Figura 4.3: modulo della curva di risposta di un sensore sismico.
si ha:
ü = −u∗ ω 2 cos ωt
(4.16)
e quindi dalla 4.13 si ottiene:
ωn2 |z/ü| = r³
1
1 − (ω/ωn )2
´2
(4.17)
+ 4ζ 2 (ω/ωn )2
da questa relazione si vede che lo spostamento relativo z è di fatto praticamente proporzionale
alla accelerazione ü del corpo sul quale è fissato l’accelerometro.
In Fig. 4.4 viene riportato l’andamento di ωn2 |z/ü| in funzione del rapporto ω/ωn dove ωn indica
la pulsazione propria non smorzata dell’ accelerometro. Si vede che per ω/ωn che tende a zero
si ha il rapporto ωn2 |z/ü| che tende ad uno per qualunque valore di ζ mentre per ω/ωn che tende
all’infinito il rapporto ωn2 |z/ü| tende a zero sempre per qualunque valore di ζ.
Dalla Fig. 4.4
si vede inoltre che z tende al valore di ü quando la pulsazione ω è piu’ piccola di ωn ed il valore
√
più opportuno per il coefficiente adimensionale di smorzamento risulta ζ = 0.707 = 1/ 2.
Si nota che tanto più è elevata la frequenza propria tanto più, a parità di accelerazione, è piccolo
lo spostamento; se si deve ottenere una banda passante molto elevata per il trasduttore bisogna
aumentare la pulsazione propria ωn e quindi si deve diminuire la massa dell’accelerometro ed
aumentare la sua rigidezza (per la pulsazione naturale si ha infatti la relazione ωn =
p
k/m).
Questa situazione riduce l’effetto di perturbazione del trasduttore sulla struttura e limita quindi
121
Figura 4.4: modulo della curva di risposta di un accelerometro.
l’errore di inserzione, ma riduce anche la sensibilità del trasduttore. Gli accelerometri di tipo
piezoelettrico possono presentare delle frequenze naturali molto elevate, ad esempio fn = 105 Hz:
se si considera una banda passante limitata al 20 % di fn si può avere un impiego fino a
fn = 2 × 104 Hz.
4.3
Accelerometri piezoelettrici
Si possono realizzare accelerometri piezoelettrici basati sull’impiego di cristalli che, sollecitati
secondo una direzione presentano delle cariche elettriche che sono proporzionali alla sollecitazione
stessa, ma secondo una direzione diversa da quella di sollecitazione.
Tutti i trasduttori sono composti da una base che viene collegata alla struttura, un cristallo
piezoelettrico, ed una massa che sono contenuti all’interno di un involucro di protezione.
Si consideri, Fig. 4.5, un cristallo di quarzo sollecitato con una forza F , come conseguenza della
applicazione della forza si presentano delle cariche +Q e −Q sulle superfici, diverse da quelle di
sollecitazione, come indicato in figura 4.5:
Q = dij F
(4.18)
dove dij (con valori caratteristici intorno a 10−12 C/N ) indica una costante piezoelettrica che
fornisce la quantità di carica che il quarzo presenta per effetto della sollecitazione.
122
Figura 4.5: schema elementare di un accelerometro piezoelettrico.
Le cariche +Q e −Q che sono provocate dalla presenza della forza F sono separate da un
dielettrico, che è costituito dal cristallo di quarzo stesso, in questo modo si forma un condensatore
definito dalla:
Q=C V
(4.19)
dove C indica la capacità del condensatore data dalla:
C = ²Aq /h
(4.20)
dove Aq è la superficie (carica) del quarzo, h è la distanza tra le armature del condensatore, in
questo caso è lo spessore del quarzo, ed ² è la costante dielettrica. Si ha quindi una tensione:
V =
dij F
hdij m
=
ÿ = Kq ÿ
C
²Aq
(4.21)
dove ÿ indica l’accelerazione lungo la direzione y (F = mÿ) ed m è la massa solidale al cristallo
di quarzo.
Si ottiene quindi che la tensione V è proporzionale alla forza di inerzia della massa m e quindi alla sua accelerazione; ma la tensione V richiede la persistenza delle cariche elettriche che
tendono invece a “scaricarsi” attraverso il condensatore, quindi l’amplificatore che deve rilevare
la tensione V deve presentare una impedenza di ingresso molto elevata. Se si considera allora
la capacità del cristallo di quarzo indicata con Cq , quella dei cavi di collegamento, Cc , e quella
dell’amplificatore, Ca , si ha che la capacità totale è:
CT = Cq + Cc + Ca
123
(4.22)
Figura 4.6: schema equivalente di un accelerometro piezoelettrico.
analogamente per quanto riguarda le resistenze si ha:
1/RT = 1/Rq + 1/Rc + 1/Ra = (Rq Ra + Rq Rc + Rc Ra ) /Rq Ra Rc
(4.23)
e quindi
RT =
Rq Rc Ra
Rq Ra + Rq Rc + Rc Ra
(4.24)
come indicato nei circuiti di Fig. 4.6. Quindi si tratta di un condensatore di capacità CT , data
dalla 4.22, che si scarica su di una resistenza RT data dalla 4.23 e la tensione varia nel tempo
secondo la relazione:
V (t) = V0 e−t/RT CT = V0 e−t/τ
(4.25)
di conseguenza la costante di tempo τ = RT CT deve essere molto più grande del tempo che si
impiega per effettuare la misura, questo ultimo tempo è legato al periodo del segnale. Pertanto
risulterà critica la misura di segnali con periodi molto lunghi, cioè di segnali che sono lentamente
variabili nel tempo.
Naturalmente sono anche da tenere in conto diversi effetti dovuti alle caratteristiche del cavo
di collegamento, che presenta una capacità piccola e variabile con la lunghezza del cavo stesso
ed anche la resistenza può variare a seconda delle condizioni ambientali, come ad esempio la
temperatura.
Le caratteristiche complessive di un accelerometro piezoelettrico sono legate al prodotto della funzione di trasferimento meccanica e di quella dovuta al circuito elettrico. In Fig. 4.7
124
Figura 4.7: banda passante effettiva di un accelerometro piezoelettrico.
viene riportato un andamento indicativo della funzione di trasferimento complessiva, HT (f ), in
funzione della frequenza. Come si vede si possono individuare tre regioni di funzionamento:
• a bassa frequenza fino ad f1 1 dove la risposta è determinata dal circuito elettrico;
• tra le frequenze f1 e f2 dove la risposta è vicina al comportamento ideale e rappresenta la
regione di lavoro dell’accelerometro;
• al di sopra di f2 dove la risposta è determinata dalla funzione di trasferimento meccanica; si
nota il picco di risonanza che corrisponde alla frequenza di risonanza fn dell’accelerometro.
Dalla Fig. 4.7 si osserva che se l’accelerometro invece che piezoelettrico è basato su di un
estensimetro a semiconduttore la risposta a bassa frequenza, nel campo 0 − −f1 , rimane unitaria
fino a frequenza nulla.
I dettagli costruttivi degli accelerometri piezoelettrici variano secondo i costruttori e gli obiettivi
dell’accelerometro. Bisogna tener conto degli effetti secondari che riguardano temperatura,
pressione acustica, flessione della base, campi magnetici, etc.
Il cristallo viene, in genere precaricato in modo da lavorare con caratteristiche lineari e questo
precarico serve anche per poter lavorare con accelerazioni positive e negative ma sempre con il
cristallo in compressione.
1
Il valore di f1 dipende dalle caratteristiche del singolo accelerometro ma è in genere dell’ordine di qualche
Hz.
125
Figura 4.8: schema di un sensore di rotazione.
Lo sviluppo dei microcircuiti ha permesso di incorporare l’amplificatore di carica nell’accelerometro stesso.
Si possono impiegare accelerometri miniaturizzati di dimensioni 3×3×3mm e con massa minore
di mezzo grammo ed accelerometri triassiali di dimensioni 7 × 7 × 7mm con massa inferiore ad
un grammo.
La sensibilità trasversale è relativamente elevata dell’ordine di qualche per cento.
Il collegamento con la struttura di misura può avvenire con cera, con dispositivi magnetici o
meccanici. Il collegamento porta ad una riduzione della frequenza naturale rispetto a quella che
viene indicata per l’accelerometro non collegato, la riduzione può essere dell’ordine del 50%.
4.4
Misure di accelerazione angolare
Per quanto riguarda la misura di accelerazione angolare sono stati proposti diversi metodi, che
sono in parte ancora in sviluppo.
In genere si fa riferimento ad una coppia di accelerometri posti ad una piccola distanza, fissata
e nota, indicata con L in Fig. 4.8.
Dalla misura delle accelerazioni dei punti A e B indicate
con ẍA e ẍB si possono ricavare le accelerazioni ẍ0 e θ̈0 , si ha infatti:
ẍ0 = (ẍA + ẍB ) /2
(4.26)
θ̈0 = (ẍA − ẍB ) /L
(4.27)
Si osserva che la misura di accelerazione angolare richiede la differenza tra due valori di acceler126
azione x¨A e x¨B che sono molto vicini tra loro; in genere questa differenza è di qualche per cento
appena del loro valore (anche soltanto l’uno o il due per cento) e quindi l’errore che si compie
sulla misura di accelerazione angolare è molto grande. Ad esempio la sensibilità alla componente trasversale di accelerazione può essere dello stesso ordine di grandezza della sensibilità
della misura e questo giustifica l’incertezza che è tuttora presente su questo tipo di misura.
Più recentemente si sono sviluppati dei trasduttori, sempre basati su elementi piezoelettrici, che
possono misurare insieme accelerazioni lineari ed angolari con elevata sensibilità (dell’ordine di
1000 mV /g e 50 mV /rad/s) e banda passante da 0.5 a 2000 Hz.
127
Capitolo 5
Misure di temperatura
La temperatura è collegata all’energia cinetica molecolare di un corpo e diverse definizioni sono
state proposte: ad esempio la temperatura è stata definita come la condizione di un corpo per
effetto della quale del calore viene trasferito verso e da altri corpi. Dal punto di vista della misura
della temperatura il concetto base è che la temperatura è un indice della attività molecolare. La
variazione della temperatura in un corpo viene accompagnata da numerosi effetti come:
- variazione dello stato fisico;
- variazione dello stato chimico;
- variazione delle dimensioni fisiche;
- variazione delle proprietà elettriche;
- variazione della capacità di radiazione.
In genere per la misura della temperatura vengono utilizzati gli ultimi tre effetti. Sono utilizzate
diverse scale di temperatura, tra esse le più usuali sono:
• scala centigrada, misurata in gradi centigradi, o C;1
• scala assoluta, misurata in gradi Kelvin, o K;
• scala Fahrenheit, misurata in gradi Fahrenheit, o F .2
1
2
TC = (TF − 32)/1.8.
TF = 32 + 1.8TC .
128
5.1
5.1.1
Termometri
Termometro a liquido
Sono costituiti da un serbatoio, bulbo, che è collegato con un capillare, che ha un diametro nell’intorno del decimo di millimetro, fissato ad una scala graduata. In genere si possono impiegare
mercurio od alcool (quest’ultimo ha il vantaggio di un coefficiente di espansione più elevato del
mercurio, ma ammette un campo di valori più limitato alle basse temperature). I termometri
a mercurio possono raggiungere temperature che vanno da −30 a +300 o C ma è possibile, ad
esempio con l’impiego di un gas inerte, come l’azoto, nel capillare al di sopra del mercurio di
raggiungere anche temperature superiori fino ai 500 o C.
Il funzionamento è legato all’espansione del liquido per effetto della temperatura (molto grande
rispetto al vetro che costituisce bulbo e capillare): il liquido sale nel capillare e l’altezza del liquido misura la temperatura. Questi termometri possono essere ad immersione totale o parziale;
delle formule di conversione permettono di tenere conto di condizioni di misura diverse da quelle
ideali.
5.1.2
Termometro a lamina bimetallica
Si impiegano due lamine di metalli diversi e con diversi coefficienti di espansione termica collegate
insieme; quando la lamina è sottoposta a variazioni di temperatura si inflette verso l’alto o verso
il basso. Si possono definire le relazioni che collegano il raggio di curvatura della lamina, indicato
con r, con la variazione di temperatura, ad esempio:
r=
3m1 + m2
t
6α∗ T ∗ m1
con:
m1 = (1 + m)2
m2 = (1 + mn)(m2 + 1/mn)
α ∗ = α2 − α1
T ∗ = T − T0
dove:
129
(5.1)
t
m
n
α1
α2
T
To
=
=
=
=
=
=
=
spessore complessivo della lamina
rapporto spessori lamina con αmin /αmagg
rapporto moduli di elasticità di αmin /αmagg
coeff. espansione termica minore
coeff. espansione termica maggiore
temperatura di misura
temperatura di riferimento (corrispondente alla temperatura
di costruzione della lamina)
Se, come avviene in genere, si ha m ' 1, n ' 1, (n + 1)/n ' 2, si ha:
r'
2t
3α∗ T ∗
(5.2)
In Tab. 1 si riportano i coefficienti di dilatazione termica e i moduli di elasticità per alcuni
materiali che possono essere utilizzati nei termometri a lamina bimetallica.
α ∗ 10−6 o C −1
E (GP a)
invar
(Fe 64% – Ni 36% )
1.7
150
ottone
20.2
100
monel 400
(Ni 67% – Cu 33% )
13.5
190
inconel 702
12.5
220
acciaio 316
16.0
200
materiale
Tab. 1 - Coefficiente di dilatazione termica e modulo di elasticità
per alcuni materiali di impiego in termometri a lamina bimetallica
Per la scelta dei materiali da usare nella lamina è utile rendere grande α∗ e quindi un materiale
deve avere un α molto piccolo: in genere si usa invar. È anche possibile avere α negativo (ad
es. con compositi in fibre di carbonio).
Cosı̀ per un termometro a lamina bimetallica costituito da due lamine di invar ed acciaio di
spessore uguale e pari a .5mm si può calcolare il raggio di curvatura se la temperatura di
riferimento è T = 20 o C e la temperatura di misura è T = 115 o C; si ha infatti t = 1mm, m = 1,
n = .75, α1 = 1.7, α2 = 20.2 e quindi r = 381.29mm.
130
5.1.3
Termometro a resistenza
Molti materiali possono essere usati come elementi resistivi sensibili alla temperatura con una
relazione che, almeno per un intervallo limitato di temperatura, può essere considerata lineare:
R(T ) = R0 (1 + γ∆T )
(5.3)
dove R0 indica la resistenza alla temperatura di riferimento, γ indica il coefficiente di variazione
della resistenza con la temperatura espresso in o C −1 e ∆T indica la variazione di temperatura
rispetto al valore di riferimento. Se si considerano delle variazioni di temperatura più grandi
allora la relazione non può più essere considerata come lineare, ma del tipo:
R(T ) = R0 (1 + a∆T + b∆T 2 )
(5.4)
dove a e b sono delle costanti che dipendono dal materiale. Naturalmente una particolare
attenzione deve essere posta all’effetto della “temperatura apparente” dovuta a cause diverse di
variazioni di resistenza, come ad esempio l’effetto di sollecitazioni.
Nel caso di un termometro a resistenza al platino si può avere un comportamento lineare (entro
±0.4%) in un campo di temperatura da −180 o C a 150 o C. Ad esempio con una resistenza
R0 = 100Ω, si ha una sensibilità che deriva dalla 5.3:
S=
∂R
= γR0
∂T
(5.5)
che, considerando per γ un valore di 40 × 10−4 o C −1 ed una resistenza R0 = 10 Ω, corrisponde
ad un valore di S = 0.04 Ω/o C. Nel caso dei termometri a resistenza la misura viene effettuata
con un circuito a ponte, in modo del tutto analogo a quanto visto nel caso delle misure di
deformazione con estensimetri a resistenza; vi sono diversi problemi riguardanti la resistenza
dei cavi di collegamento ed in generale la possibile misura di “temperature apparenti” che sono
dovute a variazioni di resistenza collegate a cause diverse dalla variazione di temperatura che si
vuole misurare.
Oltre al classico circuito a ponte si possono anche impiegare delle tecniche di misura diverse.
Cosı̀ con un collegamento del tipo indicato in Fig. 5.1 con l’impiego di un voltmetro ad alta
impedenza ed un circuito a quattro fili si ottiene il vantaggio di rendere trascurabile l’effetto
legato ai cavi di collegamento.
Infatti il generatore di corrente imprime una corrente che è
indipendente dal carico, e non viene influenzata dalle resistenze Rc3 ed Rc4 , mentre la lettura
del voltmetro non dipende dai valori delle resistenze Rc1 ed Rc2 .
La resistenza Ro può variare da 10 a 25000 Ω, i valori più alti di resistenza permettono di ridurre
gli effetti legati alla presenza dei cavi di collegamento ed alle resistenze di contatto.
131
Figura 5.1: schema elettrico per un termometro a resistenza.
5.1.4
Termistori
Si tratta di semiconduttori con un coefficiente di temperatura in genere negativo, la resistenza
presenta una variazione esponenziale con la temperatura del tipo:
³
R(T ) = R0 e
β
´
1
T
− T1
(5.6)
0
dove R0 indica la resistenza alla temperatura di riferimento, T e T0 sono la temperatura di
lavoro e quella di riferimento in gradi K, e β è una costante che dipende dal materiale e dalla
temperatura ed ha un valore numerico nell’intorno di 40000 K;
si può ottenere una risoluzione di .01o C. Se un termistore viene impiegato in un circuito elettrico
la corrente scorre nell’elemento e si ha un effetto di riscaldamento che aumenta la temperatura
del sensore fino a raggiungere una condizione di equilibrio. I termistori sono impiegati per
compensare gli effetti della variazione di temperatura in un circuito, sfruttando la variazione
negativa con la temperatura rispetto alla variazione positiva di altri componenti del circuito. La
sensibilità si ottiene dalla 5.6 come
´
³
βR0 β
∂R
=− 2 e
S=
∂T
T
1
T
− T1
0
(5.7)
Se si valuta il coefficente di resistenza con la:
γ∗ =
∂R 1
−β
= 2
∂T R
T
132
(5.8)
Figura 5.2: schema elementare di una termocoppia.
si ottiene per β = 4000 o K e T = 298o C: γ ∗ = −0.045, un valore che è di un ordine di grandezza
più elevato del coefficiente di resistenza del platino. La resistenza a 25o C può variare da 500Ω a
10M Ω (e più ), il campo di temperatura può variare da -200 a 1000 o C (anche se questo campo
di temperatura non è relativo ad un singolo termistore).
Con semiconduttori al silicio e diverse impurità di boro si possono ottenere dei coefficienti
di temperatura positivi o negativi di valore elevato, ma la relazione resistenza temperatura è
fortemente non lineare.
5.2
Termocoppie
Quando si collegano insieme due metalli diversi indicati con 1 e 2 in Fig. 5.2, si ottiene una
tensione ai capi A e B che dipende dalla temperatura della giunzione T1 e dalla temperatura
della giunzione T2 (effetto Seebeck). Se i morsetti A e B sono chiusi su di un circuito esterno, in
modo che scorra una corrente i, la tensione ai morsetti cambia (effetto Peltier) ed,ancora,se esiste
un gradiente di temperatura sui materiali 1 o 2 la tensione in uscita viene modificata (effetto
Thomson). Quindi esistono tre effetti che influenzano la tensione in un circuito termoelettrico:
di questi l’effetto Seebeck, che collega la tensione di uscita Eu alla temperatura della giunzione di
misura T1 ed a quella della giunzione di riferimento T2 è quello di interesse per quanto riguarda
l’impiego delle termocoppie come trasduttori di temperatura. Si osserva che la presenza di un
terzo materiale nella giunzione di misura, Fig. 5.3, non altera la Eu purchè le due giunzioni T1
133
Figura 5.3: effetto di un terzo materiale sulla termocoppia.
e T10 si trovino alla stessa temperatura. Si osserva anche che se il circuito posto, Fig. 5.4, tra
le temperature T1 e T2 fornisce la tensione E1 e lo stesso circuito posto tra le temperature T2
e T3 fornisce la tensione E3 allora se esso
viene posto tra le temperature T1 e T3 fornisce la
tensione E3 = E1 + E2 . I circuiti a termocoppia richiedono due giunzioni di cui una è posta alla
temperatura di riferimento, che viene indicata come “punto freddo”, e l’altra alla temperatura
di misura. Il punto freddo può essere costituito da ghiaccio fondente posto in un vaso Dewar
per ottenere il riferimento a zero gradi centigradi. Le tabelle standard delle termocoppie fanno
riferimento alla temperatura di zero gradi centigradi. La tensione di uscita è data da una
relazione non lineare che può essere espressa come:
Eu = aT + bT 2 + cT 3
(5.9)
dove le costanti a, b, c dipendono dal materiale. La sensibilità di una termocoppia è data da:
S=
∂Eu
= a + 2bT + 3cT 2
∂T
(5.10)
si possono avere valori diversi di sensibilità, a seconda del tipo di termocoppia, ma in genere la
sensibilità è dell’ordine di qualche decina di µV /o C ed il suo valore è funzione della temperatura.
Nella Tab. 3 sono riportate le sigle di diversi tipi di termocoppie, con i materiali ed il campo di
impiego.
La sensibilità massima si ha per termocoppie di tipo T alla temperatura di 350o C, con un valore
di 60 µV /o C, mentre la sensibilità minima si ha per termocoppie di tipo S alla temperatura di
100o C, con un valore di 6 µV o C.
134
Figura 5.4: schema per la legge della temperatura intermedia.
In Fig. 5.5 viene riportato l’andamento della tensione in funzione della temperatura per diversi
tipi di termocoppie. Cosı̀ ad esempio nel caso di una termocoppia ferro costantana che fornisce
una tensione Eu = 3.59mV con temperatura di riferimento di 24 o C si ha, dalla Tab. 2, E24 =
1.22mV , e quindi rispetto al riferimento a 0 o C:
Ea (T ) = 3.59 + 1.22 = 4.81mV
(5.11)
a cui corrisponde, sempre dalla Tab. 2, una temperatura di 92 o C. Per ottenere una maggiore
sensibilità le termocoppie possono essere collegate in serie, come riportato in Fig. 5.6, in modo
da ottenere una termopila che nel caso di figura con tre giunzioni fornisce in uscita una tensione
che è tre volte quella delle singole termocoppie purchè le temperature T1 e T2 siano uniformi.
Un collegamento in parallelo di termocoppie, come in Fig. 5.7 può essere invece utilizzato per
ottenere il valore medio della temperatura di diversi punti di misura; infatti ogni termocoppia,
se le temperature sono diverse fornisce un valore diverso di tensione e la misura valuta il valore
medio.
135
Figura 5.5: curve caratteristiche di termocoppie.
Figura 5.6: collegamento in serie di termocoppie.
136
Figura 5.7: collegamento in parallelo di termocoppie.
Temp.
◦
F
Ferro
Costantana (J)
Rame
Costantana (J)
-100
-3.49
-2.559
0
-0.89
-0.670
100
1.94
1.517
200
4.91
3.967
300
7.94
6.647
400
11.03
9.525
Tab. 2 - Tabelle di termocoppie riferite a o C
Naturalmente una termocoppia misura la temperatura dell’ultimo punto di contatto elettrico
tra i due materiali che costituiscono la termocoppia, cosı̀ Fig. 5.8 nel caso di un collegamento
accidentale dei due fili della termocoppia la misura si riferisce al punto di contatto accidentale e
non a quello ritenuto di misura. Per le termocoppie vengono utilizzate delle coppie standard di
materiali, come riportato in Tab. 3 insieme con l’indicazione del campo tipico di temperatura.
137
Figura 5.8: collegamento accidentale dei cavi conduttori.
tipo (materiale)
campo di temperatura (o C)
B (Pt, Rh+ ; Pt,Rh− )
870—1700 o C
E (Chromel+ ; Costan− )
-180—870 o C
J (Fe+ ; Costan− )
-150—750 o C
K (Chromel+ ; Alumel− )
0—1260 o C
R (Pt+ ; Rh, Pt− )
0—1480 o C
S (Pt+ ; Rh, Pt− )
0—1480 o C
T (Cu+ ; Costan− )
-250—340 o C
Tab. 3 - Materiali per termocoppie
(Chromel: Ni 90%, Cr 10%;
Alumel: Ni 94%, Mn 3%, Al 2%, Si 1%)
Il circuito di misura base fa riferimento, oltre a quella di misura, ad una seconda giunzione che
si trova ai morsetti dello strumento di misura della tensione di uscita della termocoppia come
138
Figura 5.9: correzione della lettura con temperatura di riferimento.
indicato in Fig. 5.9. Se si accetta l’ipotesi che i morsetti dello strumento di misura siano alla
stessa temperatura e se si è in grado di misurare, con la dovuta precisione, la temperatura dei
morsetti, si può valutare la temperatura misurata con l’impiego delle tabelle della termocoppia.
Cosı̀ ad esempio se per lo schema indicato in Fig. 5.9 si usa una termocoppia di tipo T (rame+ ,
costantana− ) e si legge sullo strumento di misura una tensione Eu = 2.877mV , ma si è misurata
una temperatura ai morsetti pari a 24 o C si può valutare il valore corretto in uscita con la legge
della temperatura intermedia:
Ecu = Eu24 + E24
(5.12)
dove Ecu indica la tensione in uscita “corretta” rispetto alla temperatura di riferimento, posta a
0 o C, e Eu24 indica la tensione misurata rispetto alla temperatura dei morsetti,che per l’esempio
in esame risulta essere di 24 o C, e E24 indica la tensione corrispondente, per la termocoppia
rame costantana, alla temperatura di 24 o C rispetto a quella di riferimento. Si ha quindi, dalla
tabella:
Ecu = 2.877 + .952 = 3.829mV
(5.13)
Sempre dalla tabella si può ricavare la temperatura corrispondente alla tensione Ecu calcolata
con la 5.13, si ottiene:
T = 90 o C
139
(5.14)
Figura 5.10: schema con cavi di collegamento e temperatura controllata.
Il filo che costituisce la termocoppia è notevolmente più costoso del normale cavo elettrico e
quindi quando si tratta di misure a distanza dal sistema di registrazione, è in genere necessario
limitarne l’uso con l’impiego di cavi di collegamento, realizzando uno schema del tipo indicato
in Fig. 5.10.
Naturalmente è necessario che la temperatura T2 delle giunzioni di collegamen-
to, indicate con q1 , q2 in figura, sia uniforme e quindi uguale sulle due giunzioni e misurata
con precisione. Le necessità di misurare la temperatura delle giunzioni di collegamento é, in
particolare per la misura di tipo industriale, un elemento negativo: è quindi possibile evitare
questa misura con l’impiego, al posto di un normale conduttore, di cavi di compensazione (che
si comportano come se fossero costituiti dello stesso materiale della termocoppia). L’impiego
di cavi di compensazione è tipico di misure industriali, ma non viene considerato in misure di
precisione. Nel caso di misura in laboratorio si possono impiegare delle giunzioni di riferimento
con temperatura controllata, ad esempio con un pozzetto a ghiaccio fondente. Per misure di alta
precisione si può utilizzare, nel pozzetto, acqua distillata per eliminare le possibili variazioni di
temperatura dovute alle contaminazioni presenti nell’acqua di uso normale (v. Fig. 5.11).
Si nota che la tensione in uscita di una termocoppia dipende dalle caratteristiche di fabbricazione
ed anche dall’invecchiamento. Quindi nel caso di misure di precisione si richiede un procedimento
di calibrazione iniziale del trasduttore, che può essere eseguito con riferimento a punti di misura
standard o mediante confronti con un sensore calibrato; sono poi necessari dei controlli periodici
di calibrazione.
Nella Fig. 5.12 si presenta uno schema di largo impiego nelle misure. I cavi della termocoppia
140
Figura 5.11: termocoppia con giunto di riferimento.
sono collegati ad un blocco che viene mantenuto ad una temperatura uniforme, ma che varia
seguendo la temperatura ambiente.
Il valore di questa temperatura di riferimento viene
misurato, ad esempio con un termometro a resistenza, e viene poi elaborato da un circuito di
compensazione, che fornisce appunto una tensione di compensazione da inviare al voltmetro di
misura. Nel caso di una una strumentazione “multicanale” al blocco a temperatura uniforme si
possono collegare più termocoppie, anche di tipo diverso, ed il circuito di compensazione elabora
le tensioni di compensazione per i diversi canali.
Per le misure a temperature molto elevate, come nel caso di motori a getto ed a razzo, che
possono richiedere misure di temperatura nel campo da 1000 a 2500o C sono state sviluppate
delle termocoppie di tipo diverso come rodio iridio, tungsteno renio e boro grafite.
Le termocoppie rodio iridio si possono usare fino a 2200o C e presentano una sensibilità di
circa 6µV /o C. Le termocoppie tungsteno renio possono lavorare fino a 2700o C con sensibilità
analoga, mentre con le termocoppie boro grafite si possono ottenere sensibilità maggiori, intorno
141
Figura 5.12: termocoppia con circuito di compensazione.
a 40µV /o C.
5.3
Misura della temperatura da variazioni di frequenza
Un metodo di misura della temperatura di sviluppo recente si basa sulla sensibilità alla temperatura della frequenza di risonanza di un cristallo di quarzo: si può ottenere una relazione lineare
tra frequenza di risonanza e temperatura con una risoluzione in temperatura che può raggiungere il millesimo di grado centigrado. La relazione esistente tra la temperatura e la frequenza di
risonanza di un cristallo di quarzo è stata individuata da molto tempo, ma solo recentemente si
è individuata una nuova orientazione, indicata con il termine “taglio lineare”, che consente una
sensibilità di 1000 Hz/o C con una linearità del .05 % su di un campo di temperatura compreso
tra −40 o C e 230o C (si tratta di un valore di linearità molto più elevato di quello tipico per altri
sensori di temperatura, ad esempio nel caso di un termometro a resistenza di platino la linearità
è soltanto dello 0.55 %).
La frequenza di risonanza nominale è di 28 M Hz e l’uscita del sensore viene confrontata con
una frequenza di 28.208 M Hz fornita da un oscillatore; la differenza in frequenza viene rivelata,
142
convertita in impulsi e trasferita ad un contatore. La costante di tempo è dell’ordine di un
secondo, si possono ottenere delle risoluzioni estremamente elevate, anche dell’ordine di .0001o C
su di un tempo di misura di dieci secondi.
5.4
Misure di temperature molto elevate
Si è visto come le temperature molto elevate possano essere misurate con opportune termocoppie.
Altre tecniche di misura per la temperatura, di particolare interesse nel campo di temperature
molto elevate si basano sulla misura di radiazione (ad esempio misure di temperatura in altiforni). Nel caso del pirometro ottico la valutazione della temperatura di una superficie viene
riportata alla valutazione del colore della radiazione emessa dalla superficie con il confronto della
temperatura del filamento di una lampada.3
Con il termine “pirometria” si indicano le misure di temperatura che si riferiscono ai diversi
tipi di radiazione termica. Tutti i corpi che si trovano ad una temperatura superiore allo zero
assoluto irradiano energia ed anche la ricevono ed assorbono da altri corpi. Tutte le sostanze
emettono ed assorbono energia di radiazione con una intensità che dipende dalla temperatura
e dalle proprietà della sostanza. Le onde che colpiscono la superficie sono assorbite, riflesse e
trasmesse: indicando con α il coefficiente di assorbimento, con ρ il coefficiente di riflessione e
con τ il coefficiente di trasmissione si ha:
α+ρ+τ =1
(5.16)
Nel caso di un “riflettore” ideale, una condizione a cui siavvicina un corpo trattato a specchio
si ha ρ → 1, nel caso di un “trasmettitore” ideale, una condizione a cui si avvicinano alcuni
gas, si ha τ → 1, nel caso di un “assorbitore” ideale, cioè di un corpo nero, si ha α → 1. Ma
un “assorbitore” ideale è anche un radiatore ideale; quando si fa riferimento alla radiazione
distinta dall’assorbimento si definisce un coefficiente di emissività , indicato con ² e si ha ² =
α. Lo scambio di energia tra due radiatori ideali, indicati con A e B, è dato dalla legge di
Stefan-Boltzmann (per ² = 1 )
q = σ(TA4 − TB4 )
3
(5.17)
Per la potenza irradiata in una certa direzione da una sorgente ho in genere un’espressione del tipo (Plank)
c1
³
Lλ =
λ5
e
c2
λT
´
(5.15)
−1
espressa in watt su metro quadro steradiante, in cui le costanti c1 e c2 dipendono dalle caratteristiche della
sorgente. Tale funzione ha un massimo relativo proprio per una lunghezza d’onda λmax = α/T (α = cost) che
quindi fornisce la componente dello spettro luninoso dominante (ad es. visibile) la cui lunghezza d’onda può
dunque essere direttamente correlata con la temperatura.
143
che, tenendo conto delle caratteristiche non ideali dei corpi diviene:
q = σ²CAB (TA4 − TB4 )
(5.18)
dove q indica il flusso di calore (espresso in W/m2 ), CAB indica un fattore geometrico che
tiene conto della posizione e geometria dei corpi A e B, TA e TB indicano le temperature
assolute dei corpi A e B, ed infine σ indica la costante di Stefan-Boltzmann ( che ha il valore di
5.729 10−8 W/m2 K 4 ). Questa relazione è alla base della pirometria a radiazione totale, anche se
naturalmente dal punto di vista pratico diversi problemi, come geometria e posizione dei corpi,
assorbimento del mezzo ..., richiedono diversi procedimenti di calibrazione. La radiazione totale
assorbita dal pirometro viene misurata con sensori di temperatura, in genere delle termocoppie
con disposizione in serie per aumentare la sensibilità.
144
Capitolo 6
Misure di pressione ed acustiche
I valori di pressione di interesse nelle misure delle strutture aeronautiche e spaziali possono
variare in un campo ampio, al di sopra ed al di sotto della pressione atmosferica; naturalmente
si hanno strumenti diversi a seconda del campo di misura, in genere gli strumenti di misura della
pressione si possono suddividere in tre gruppi:
1. per pressioni superiori a quella atmosferica si impiegano manometri che si basano sulla
deformazione di elementi elastici che portano allo spostamento di un indice per effetto
della pressione applicata;
2. per pressioni che sono nell’intorno della pressione atmosferica si impiegano manometri a
colonna di liquido;
3. per pressioni al di sotto di quella atmosferica, in particolare nel caso di pressioni molto
limitate come quelle tipiche dell’ambiente spaziale, gli strumenti di misura sono del tutto
particolari, basati su principi fisici diversi.
6.1
Misure manometriche
Il manometro a tubo di Bourdon è lo strumento di misura più diffuso, si tratta di un tubo a
sezione schiacciata, ad esempio ellittica,1 che costituisce un arco di cerchio, al cui interno si
trova il fluido di cui si deve misurare la pressione, lo spostamento, proporzionale alla pressione,
viene riportato alla rotazione di un indice, come indicato in Fig. 6.1.
Lo spostamento è
direttamente proporzionale alla pressione, anzi alla differenza di pressione tra interno ed esterno
del tubo, all’angolo di sviluppo del tubo ed è inversamente proporzionale al modulo di elasticità
1
La sezione del tubo è non circolare in modo che per effetto della differenza di pressione tra l’interno (a pressione
più alta) e l’esterno si abbia un effetto di distorsione corrispondente al tentativo di assumere una sezione circolare.
145
Figura 6.1: manometro Bourdon
del materiale con cui è costituito il condotto, esso dipende anche dalle caratteristiche geometriche
del condotto stesso: raggio, spessore della parete e dimensioni caratteristiche della sezione.
Lo strumento richiede una operazione di taratura e può essere impiegato in un vasto campo di
misura. Il manometro a membrana impiega come elemento sensibile una membrana metallica,
stretta da flangie che formano una camera inferiore in collegamento con il fluido del quale si
deve misurare la pressione ed una camera superiore aperta che si trova alla pressione atmosferica.
Quindi la membrana viene deformata per effetto della pressione del fluido e dallo spostamento
della membrana si risale alla pressione da misurare; la membrana è corrugata per ottenere una
relazione il più possibile lineare tra spostamento e pressione. Anche in questo caso si richiede
una operazione di taratura.
Il manometro a colonna di liquido, manometro ad U , è costituito da un tubo ad U collegato
rispettivamente alla pressione atmosferica, pa , ed alla pressione da misurare, px . Lo strumento
misura la differenza di pressione tra i due rami, se si indicano con pa e px , rispettivamente la
pressione atmosferica e quella da misurare, con γa e γx i pesi specifici del liquido impiegato nel
manometro e del fluido di cui si deve misurare la pressione, con h, h0 le quote riportate in Fig.
6.2 si ha:
pa + γa h = px + γx h0
146
(6.1)
Figura 6.2: schema elementare di un manometro a colonna di liquido.
Se γx ¿ γa si ha:
px − pa = γ a h
(6.2)
quindi dalla misura di h si può determinare px . Se un ramo del manometro viene invece chiuso
ed all’interno si crea il vuoto spinto nella equazione 6.2 si può porre pa = 0 e quindi il dislivello
h misura la pressione effettiva px :
px = γa h
(6.3)
questa configurazione può essere usata per la misura di pressioni inferiori a quella atmosferica,
in modo da ridurre le dimensioni del manometro.
Si fa ora riferimento alla misura di livelli di pressione molto bassi(vuoto spinto), come sono ad
esempio di interesse nelle camere di simulazione dell’ambiente aerospaziale nelle quali si devono
raggiungere, misurare e mantenere per tutta la durata della prova i livelli di pressione di lavoro
che sono richiesti per i sistemi spaziali.
6.1.1
Manometro Pirani
A livelli molto bassi di pressione la conducibilità termica dei gas diminuisce con la pressione ed
il manometro Pirani si basa su questo principio.Un filamento (riscaldato elettricamente) è posto
147
Figura 6.3: manometro Pirani.
nell’ambiente a pressione Px , molto bassa, da misurare, Fig. 6.3, ed il calore che viene disperso
dal filamento dipende dalla conducibilità termica del gas e dalla temperatura del filamento,
al diminuire della pressione diminuisce la conducibilità termica e quindi la temperatura del
filamento diviene più alta, a parità di energia fornita, Tf = f (px ).
La misura non viene fatta direttamente in termini di temperatura, ad esempio con termocoppie,
ma misurando la variazione di resistenza del filamento, con un circuito a ponte. Naturalmente
la misura dipende anche dalla temperatura ambiente e quindi nella misura si impiegano due
filamenti per tener conto delle variazioni della temperatura ambiente, come indicato in Fig. 6.4.
Il manometro Pirani richiede una calibrazione ed è in grado di misurare pressioni molto basse
con un limite superiore di pressione di circa 1 torr, esso richiede anche un tempo relativamente
elevato per la misura, dell’ordine di alcuni minuti per le pressioni più basse.
6.1.2
Manometro Knudsen
È costituito da due superfici sospese insieme con uno specchio ad un filo. Le due superfici sono di
fronte a due pareti fisse mantenute ad una temperatura T (costante e superiore alla temperatura
del gas) il sistema è racchiuso in una capsula collegata all’ambiente che si trova alla pressione
da misurare, Fig. 6.5.
Dalla teoria cinetica dei gas, assumendo una distribuzione di velocità
delle molecole del gas del tipo di Maxwell-Boltzman si ha:
s
c=
3
RT
M
148
(6.4)
Figura 6.4: collegamento e ponte di compensazione per il manometro Pirani.
Figura 6.5: manometro Knudsen.
149
dove R è la costante dei gas ed M la massa molecolare. Nel gas sono presenti n molecole (massa
m) per unità di volume con velocità c. Si può rappresentare il moto disordinato delle molecole
considerando che, per unità di volume, n/3 si muovono nella direzione x (o y o z). In ogni
direzione n/6 molecole si muovono in un verso (ed n/6 nell’altro); per una superficie unitaria
n
6c
indica il numero di molecole che urta la superficie nel tempo unitario.
Nell’urto elastico la molecola presenta una inversione di moto, quindi la sua velocità varia di 2c;
l’impulso che le
n
6c
molecole esercitano sull’unità di superficie e quindi la pressione è:
px =
n
nm 2
c m 2c =
c
6
3
(6.5)
quindi, utilizzando la 6.4 la pressione si può esprimere:
px =
nm RT
3
3
M
(6.6)
Se la pressione px è tale che il cammino libero medio delle molecole è superiore alla distanza tra
le superfici, allora una molecola proveniente dalla superficie scaldata a temperatura T1 arriva
con velocità:
s
c1 =
urta e rimbalza con velocità:
3RT1
M
(6.7)
3RT
M
(6.8)
s
c=
poichè ha “toccato” il telaio che è a temperatura T . La variazione di velocità è (c + c1 ) e si ha
la pressione:
p1 =
nm
c(c + c1 )
6
(6.9)
Sulla faccia opposta del telaio si ha la pressione px e quindi si crea una differenza di pressione:
∆p = p1 − px =
nm
nm 2
c(c + c1 ) −
2c =
6
6
µ
¶
(6.10)
s
nm 2 c1
px 
=
c
−1 =
6
c
2

T1
− 1
T
(6.11)
quindi note le temperature T1 e T , si ha una dipendenza lineare tra la pressione da misurare
px e la differenza di pressione ∆p che si esercita sulla superficie del telaio che si traduce in una
coppia
C = 2∆p r S
(6.12)
che porta alla deflessione dello specchietto. Lo strumento è adatto per la misura di pressioni
molto basse a livelli inferiori ai 10−3 torr.
150
Figura 6.6: manometro di ionizzazione.
6.1.3
Manometro ad ionizzazione
È uno strumento classico per la misura di alti vuoti dell’ordine di 10−5 torr: si tratta di un
triodo in cui l’ampolla è collegata all’ambiente di cui si deve misurare la pressione. Il filamento
(tungsteno) emette elettroni se riscaldato ad alta temperatura (circa 1000 o C), la placca, Fig.
6.6.
è mantenuta ad un potenziale Vp (ad esempio 150V ) ed attrae gli elettroni emessi dal
filamento dando ad essi l’energia:
1
E = eVp = mc2
2
(6.13)
dove e indica la carica dell’elettrone ed m, c indicano la massa e la velocità dell’elettrone. Se
la tensione di placca Vp è abbastanza elevata l’elettrone acquista una energia sufficiente per
ottenere uno ione positivo che viene richiamato dalla griglia (che si trova a potenziale negativo,
ad esempio Vg = −20V ). Si ottiene cosı̀ una corrente di griglia ig (che è data dalle molecole
ionizzate) ed una corrente di placca ip (che è data dagli elettroni che raggiungono l’anodo). Il
numero di molecole ionizzate corrisponde al numero di urti nell’unità di tempo ed il numero di
elettroni che raggiungono l’anodo corrisponde al numero di elettroni emessi (poichè il numero
di urti è trascurabile rispetto al numero di elettroni emessi) per cui:
numero di urti
`
ig
=
=
ip
numero di elettroni emessi
L
151
(6.14)
dove ` indica il percorso dell’elettrone ed L il libero cammino medio, ma:
L=
k
p
(6.15)
dove k indica una costante di proporzionalità e p indica la pressione da misurare, si ha quindi:
ig
`
= p
ip
k
ig =
`
ip p = K p p
k
(6.16)
con Kp = ip `/k. Si tratta quindi di regolare la corrente di placca ip e di conseguenza la corrente
di griglia, ig , fornisce una indicazione che è proporzionale alla pressione p; come si vede dalla
Eq. 6.16 la misura è proporzionale ad ` (che è il percorso degli elettroni) e quindi lo strumento
è tanto più sensibile quanto maggiore è il cammino percorso dagli elettroni dal filamento di
emissione fino all’anodo. Questo cammino ` può essere aumentato oltre che con il percorso
geometrico anche con l’inversione della tensione tra griglia ed anodo. Un elemento importante
da tener presente è l’impossibilità che lo strumento ha di lavorare a pressioni che non sono molto
basse; in caso di errore, cioè nel caso in cui il manometro a ionizzazione sia esposto a pressioni
troppo elevate, ciò può portare alla distruzione dello strumento perchè , se si trova a pressioni
relativamente elevate, il catodo brucia. Questo strumento viene quindi protetto da circuiti di
“consenso” che abilitano alla misura solo quando la pressione da misurare è all’interno dei livelli
ammissibili. Nel caso del dispositivo a ionizzazione a catodo freddo si impiega un potenziale di
accelerazione molto elevato: gli elettroni si muovono seguendo un percorso elicoidale e si ha una
ionizzazione maggiore, campo di misure da 10−2 a 10−5 torr.
6.2
Misure altimetriche
L’altimetro è uno strumento che misura la quota, ad esempio di un velivolo, rispetto alla superficie terrestre locale o rispetto ad una quota di riferimento, generalmente il livello del mare.
Esistono diversi tipi di altimetro, tra questi:
• l’altimetro a pressione è essenzialmente un misuratore della pressione atmosferica;
• il radio altimetro, misura il tempo necessario ad un impulso ad alta frequenza per spostarsi
dal velivolo al suolo e ritorno;
• il radar altimetro, utilizza un segnale continuo modulato in frequenza.
L’altimetro a pressione consiste in una capsula aneroide, all’interno della quale viene fatto il
vuoto, che si contrae od espande secondo il valore della pressione atmosferica e poiché la pressione
atmosferica diminuisce al crescere della quota ed esiste quindi una relazione precisa tra pressione
152
e quota è possibile misurare la quota a partire dalla misura della pressione. Naturalmente il
valore della pressione a livello del mare varia da punto a punto ed anche nel tempo in funzione
delle condizioni atmosferiche: quindi un altimetro di questo tipo deve essere regolato sulla base
dei valori aggiornati della pressione locale a livello del mare. Il radio altimetro misura la distanza
del velivolo rispetto al suolo mediante la misura del tempo impiegato da un impulso, trasmesso
ad alta frequenza, per raggiungere il suolo locale e tornare indietro: questo tipo di misura è
impiegato nei sistemi di navigazione automatica e nei sistemi di atterraggio strumentale.
Il radar altimetro è un radar di ricerca in cui il “bersaglio” è la terra; il radar utilizza un
segnale ad onda continua che viene modulato in frequenza, questo segnale viene diretto verso la
superficie terrestre e la sua eco viene raccolta in un ricevitore e confrontata in frequenza con il
segnale trasmesso nell’istante di ricezione. Poiché la velocità di variazione in frequenza è nota,
come caratteristica fissata del segnale trasmesso, la differenza in frequenza tra segnale trasmesso
e ricevuto indica il tempo trascorso e quindi la distanza del velivolo dal suolo. Il radar altimetro
richiede una potenza di trasmissione molto limitata, dell’ordine del watt, ed è sufficiente anche
una antenna di piccole dimensioni, perché il bersaglio è molto grande.
6.3
Misure acustiche
Le onde sonore costituiscono un fenomeno di vibrazione e vengono misurate in termini delle
variazioni di pressione che esse producono in un mezzo.
Nelle misure acustiche si fa riferimento, sia per la misura della intensità sonora, I, che della
pressione sonora, p, a dei valori di riferimento, indicati con I0 e p0 , che corrispondono alla
intensità e pressione di un suono debole ma udibile per l’uomo alla frequenza di 1000 Hz; questi
valori di riferimento sono:
I0 = 10−16 watt/cm2
p0 = 2 × 10−5 P a
Intensità e pressione sonora sono misurati in decibel rispetto ai valori di riferimento, si ha quindi:
µ
¶
I
= livello di intensità(db)
I0
µ ¶
p
20 · log
= livello di pressione(db)
p0
10 · log
SP L = Sound P ressure Level =
Una intensità sonora di 90 db può essere considerata come il livello massimo accettabile per
l’uomo nel caso di una esposizione prolungata al suono.
L’orecchio umano presenta una sensibilità “selettiva” rispetto alle diverse frequenze e quindi il
“progetto acustico” di un ambiente ha lo scopo di “filtrare” certe componenti di frequenza o di
isolare, dal punto di vista acustico, l’ambiente stesso.
153
Le misure di livello sonoro sono eseguite con particolari microfoni che forniscono in uscita un
segnale elettrico che dipende dal livello di pressione sonora; in genere questi microfoni vengono
calibrati con una sorgente di riferimento di frequenza ed intensità fissata e si possono raggiungere
precisioni dell’ordine di ±1db.
Alcuni livelli tipici di pressione sonora, relativi a diverse condizioni ambientali, sono indicati in
Tab. 1.
Pressione (db)
0
50
60
70
80
100
110
120
140
160
170
194
Fonte
soglia di udibilità
abitazione, ufficio
conversazione
traffico (medio)
ufficio (macchine), traffico (pesante)
musica rock
lavoro pesante, compressore, martello pneumatico
sorvolo velivolo (150 m)
soglia dolore
boom supersonico
motore a razzo
pressione di una atmosfera
Tab. 1 Livelli tipici di pressione sonora
Si è già osservato che l’orecchio umano risponde in modo diverso alle varie frequenze ed è quindi
necessario conoscere lo “spettro” in frequenza del suono. La risposta (fortemente non lineare)
dell’orecchio è stata stimata con le curve di “sensibilità equivalente” di Fig. 6.7, secondo questo
andamento l’orecchio è molto più sensibile alle frequenze nella parte centrale della banda (da
400 a 6000 Hz) che non alle basse frequenze (< 400 Hz) od alle alte frequenze (> 6000 Hz). In
questo modo è possibile definire le curve di pari “sensibilità uditiva” definendo anche una unità
di misura relativa che è il phon.
La sensibilità uditiva è una misura relativa del suono“giudicato” a seconda della sensibilità di
un ascoltatore medio; il “phon” viene definito in modo che la sensibilità in phon sia uguale in
numero al livello di pressione sonora alla frequenza di 1000 Hz.
Un sistema di misura tipico viene indicato in Fig. 6.8: la pressione sonora di ingresso, pi , viene
tradotta in una tensione di uscita, eo , da un microfono, che è basato su di una membrana sottile
che traduce la fluttuazione della pressione nel moto della membrana e poi traduce il moto della
membrana in un tensione, attraverso un elemento capacitivo o piezoelettrico. La tensione di
uscita dal microfono è , in genere, di livello molto piccolo e quindi deve essere amplificata, dopo
154
Figura 6.7: curve di sensibilità equivalente.
l’amplificatore un circuito “pesa” il segnale secondo diverse opzioni (si tratta di filtri che hanno
lo scopo di pesare la risposta secondo tre livelli, indicati con A (40 phon), B (70 phon) e C (100
phon).
L’uscita viene ulteriormente amplificata ed il segnale può venire presentato con un oscilloscopio
o trattato con un analizzatore di spettro. Se si vuole una valutazione complessiva si misura il
valore quadratico medio, RM S: si procede con un rettificatore e filtraggio (questa procedura
è esatta per un segnale sinusoidale è invece approssimata nel caso di un segnale non armonico
semplice).
La risposta in frequenza di un microfono si riferisce ad una pressione sonora uniforme applicata
al microfono che viene espressa in termini di una tensione in uscita.
Un problema importante è legato all’effetto che la presenza del microfono ha sul campo di
pressione; l’effetto di distorsione (errore di inserzione) dovuto alla presenza del microfono è
diverso in funzione delle dimensioni geometriche del microfono e del valore della frequenza.
Se la lunghezza d’onda della pressione è grande rispetto alle dimensioni del microfono (il che
avviene alle basse frequenze) l’effetto di perturbazione è minimo mentre a frequenze alte quando
la lunghezza d’onda è piccola rispetto alle dimensioni del microfono si ha un effetto di duplicazione; in generale per frequenze intermedie l’effetto è molto complesso. Cosı́ nel caso di un
155
microfono da 1 inch si ha una frequenza passante dell’ordine di 13000 Hz.
Il tipo di impiego classico è il microfono capacitivo: la membrana, una piastra metallica molto
sottile, t < .05mm, presenta le sue frequenze naturali, ma naturalmente soltanto la frequenza
più bassa è importante perchè ne limita la banda passante.
La pressione statica viene compensata rispetto all’esterno con un condotto capillare di comunicazione con l’esterno,quindi il microfono non misura differenze statiche di pressione. Il microfono capacitativo ha una tensione di polarizzazione (spesso intorno ai 200 V) che agisce come
eccitazione e definisce la posizione di riferimento.
La risposta in frequenza parte da una frequenza minima di taglio (in genere compresa tra 1 e 10
Hz) ed arriva ad una frequenza superiore di taglio che può anche essere di 100000 Hz, il valore
della sensibilità , nella zona di lavoro, è generalmente compreso tra 10 e 50mV/Pa.
Come si è visto la risposta umana è diversa nelle varie bande di frequenza: le bande standard
in ottava sono riportate in Tab. 2.
Banda
Campi di frequenza (Hz)
1
fino a 75 Hz
2
75-150 Hz
3
150-300 Hz
4
300-600 Hz
5
600-1200 Hz
6
1200-2400 Hz
7
2400-4800 Hz
8
da 4800 Hz
Tab. 2 Bande standard del filtro in ottave
Un metodo possibile per ridurre e controllare il rumore consiste nell’impiego di materiali in
grado di assorbire il rumore; si definisce un coefficiente di assorbimento sonoro come rapporto
156
Figura 6.8: schema di un sistema tipico di pressione sonora.
tra l’energia sonora che viene assorbita e l’energia sonora che incide sulla superficie:
a=
energia sonora assorbita
energia sonora incidente
(6.17)
Il valore del coefficiente di assorbimento sonoro dipende molto dalla frequenza e dalle caratteristiche della superficie del materiale oltre che dallo spessore e dalla rigidezza. In generale i
materiali caratterizzati da grande rigidezza non sono adatti per l’assorbimento sonoro in quanto
entrano facilmente in vibrazione e tendono quindi a riemettere il suono stesso; il comportamento
migliore dal punto di vista dell’assorbimento del rumore si ottiene con materiali a bassa rigidezza e con un coefficiente di smorzamento molto elevato. Come si è detto le caratteristiche di
assorbimento sonoro di un materiale dipendono in maniera notevole dalla frequenza e quindi si
deve scegliere un procedimento di media che possa dare una indicazione del comportamento del
materiale su tutto il campo di frequenza di interesse. In genere si fa riferimento ad un coefficiente
di riduzione del rumore, indicato con N RC (noise reduction coefficient) che, indicando con a(n)
il valore del coefficiente di assorbimento ad una frequenza di n Hz, viene definito dalla:
N RC =
a(250) + a(500) + a(1000) + a(2000)
4
157
(6.18)
1 atm
=
1.01325 × 105 P a
1 atm
=
760 mmHg
1 torr
=
1 mmHg
10−5 torr
=
1.3332 × 10−3 P a
1 µHg
=
0.132 P a
0.132 P a
=
10−3 torr
1 psi
=
6.894 × 103 P a
Tab. 3 Tabella di conversione di unità di misura di pressione
158
Parte II
Misure Dinamiche delle Strutture
Aeronautiche e Spaziali
159
Capitolo 7
Modelli Matematici nella Dinamica
Strutturale
7.1
Descrizioni della dinamica di una struttura
Nel caso generale il modello dinamico di una struttura è dato da un sistema a più gradi di
libertà; questo modello rappresenta comunque una approssimazione della situazione effettiva
che è quella di una struttura continua e quindi caratterizzata da un numero infinito di gradi di
libertà; per un sistema a più gradi di libertà si ha:1
Mẍ + Cẋ + Kx = f (t)
(7.1)
dove x è un vettore, ad n componenti, che comprende i gradi di libertà scelti per la rappresentazione della struttura (dal punto di vista sperimentale possono essere i punti di misura), f (t)
è il vettore delle forze agenti sulla struttura, M è la matrice, n × n, di massa ed analogamente
C e K sono le matrici, sempre n × n, di smorzamento viscoso e di rigidezza. Il modello definito
dalla 7.1 è il modello spaziale costituito dalle matrici di massa, smorzamento e di rigidezza, ed è
normalmente costruito tramite un procedimento numerico (ad es. con l’impiego del metodo agli
elementi finiti) e non è quindi generalmente accessibile tramite l’approccio sperimentale. Dallo
studio della vibrazione libera, che si può ottenere numericamente determinando gli autovalori
ed autovettori del sistema 7.1 (con f (t) nullo), o dalla sperimentazione, si possono ottenere n
pulsazioni naturali, ωnn , n coefficienti di smorzamento, ζn , ed n deformate modali, φ(n) ; queste

 2
ωn1


h
i
ωn2 2


(1) (2)
(n)
2
matrici di autovettori, Φ = φ |φ |, ..., φ
e di autovalori Ω = 

.
..


ωn2 n
costituiscono invece il modello modale.
1
Nel seguito si rappresenteranno le matrici in caratteri grassetto maiuscolo ed i vettori in caratteri grassetto
minuscolo.
160
Si osserva che da un punto di vista sperimentale esistono forti limitazioni sulla possibilità di
ottenere un numero elevato di modi fondamentali di una struttura ed anche sulla possibilità di
condurre la misura su di un numero molto elevato di punti di misura. Dalla determinazione delle
funzioni di risposta in frequenza della struttura si determina il modello di risposta in frequenza ;
questo viene direttamente ricavato dall’approccio sperimentale ormai classico nell’analisi modale
e può comunque essere ricavato anche dall’approccio numerico.
In sintesi quindi si possono definire tre diversi modelli per lo studio della dinamica di una
struttura:
• spaziale
• modale
• delle funzioni di risposta in frequenza
Essi costituiscono naturalmente dei modi diversi, ma equivalenti, per rappresentare il comportamento dinamico di una struttura e possono essere determinati in via numerica o sperimentale.
Anche il confronto tra i risultati numerici e quelli ottenuti dalla sperimentazione può essere
condotto sulla base di questi modelli.
7.2
Modello ad un solo grado di libertà - SDOF
Il modello ad un solo grado di libertà (Single Degree Of Freedom) non può rappresentare il
comportamento di un elemento strutturale, ma le sue caratteristiche sono importanti poichè da
esse si sviluppano quelle del modello a più gradi di libertà.
Si consideri il sistema caratterizzato da una massa, m, ed una molla di rigidezza k (modello non
smorzato).
• L’equazione del moto nel caso di vibrazione libera è:
mẍ + k x = 0
(7.2)
Se si considera l’equazione caratteristica della precedente, ovvero si cercano soluzioni del
tipo:
x(t) = x∗ est
si ha:
(7.3)
s
(s2 m + k) = 0
−→
161
s1,2 = ±j
k
= ±jωn
m
(7.4)
e si ha allora una risposta libera del tipo x(t) = c1 es1 t + c2 es2 t = x0 cos(ωn t) + ωẋn0 sin(ωn t).
Quindi il “modello modale” consiste in questo caso in un modo di vibrazione la cui
pulsazione naturale è data da:
q
ωn =
k/m
(7.5)
e la deformata modale è data da una costante.
• Nel caso di vibrazione forzata si considera una funzione di ingresso f (t) di tipo armonico
con pulsazione ω scritta:2
f (t) = f ∗ ejωt
(7.6)
x(t) = x∗ ejωt
(7.7)
(−ω 2 m + k)x∗ ejωt = f ∗ ejωt
(7.8)
Se si pone pure per la soluzione:
si ha:
da cui la funzione di risposta in frequenza:
x∗
1
= H(ω)
=
∗
f
k − ω2m
(7.9)
che può interpretarsi come il rapporto tra spostamento e forza di ingresso di tipo armonico e
rappresenta quindi una flessibilità dinamica indicata anche come recettanza o ammettenza;
si nota che la funzione di risposta H(ω) non dipende in realtà dal tipo di funzione di ingresso
e costituisce quindi una caratteristica intrinseca del sistema. Si ottiene quindi il modulo
della H(ω):
1
(k − ω 2 m)2
|H(ω)| = p
(7.10)
Si considera ora anche la presenza di un termine smorzante di tipo viscoso con coefficiente di
smorzamento c.
• L’equazione del moto, per la vibrazione libera è :
mẍ + cẋ + kx = 0
2
(7.11)
Si osserva che se pure la Eq. 7.6 è in realta un’espressione in campo complesso, poichè Re(f ∗ ejωt ) = f ∗ cos(ωt)
e Im(f ∗ ejωt ) = f ∗ sin(ωt) ed il sistema in oggetto è lineare, allora se si considerasse rispettivamente la parte reale
o la parte immaginaria dell’uscita (Eq. 7.7) si otterrebbe rispettivamente la risposta (in campo reale) a regime
permanente all’ingresso f ∗ cos(ωt) e all’ingresso f ∗ sin(ωt).
162
si pone per la ricerca degli esponenti caratteristici:
x(t) = x∗ est
(7.12)
ms2 + cs + k = 0
(7.13)
e si ha:
da cui:
q
s1,2 = −ωn ζ ± iωn 1 − ζ 2
(7.14)
avendo posto:
ωn2 =
k
m
ζ =
c
c
= √
c0
2 km
(7.15)
si ottiene quindi una soluzione del tipo:
0
0
x(t) = c1 es1 t + c2 es2 t = c1 e−σt ejωn t + c2 e−σt e−jωn t
(7.16)
cioè un modo di vibrazione con una frequenza naturale complessa caratterizzata da una
parte immaginaria
q
ωn0 = ωn 1 − ζ 2
(7.17)
σ = ωn ζ
(7.18)
e una parte reale
Si osserva come, per effetto del termine smorzante, si ha una pulsazione ωn0 che è diversa da
quella, ωn , del sistema non smorzato anche se, per elementi strutturali di uso aerospaziale
(nel caso a più gradi di libertà), la differenza in termini numerici è molto limitata in quanto
i valori dei coefficienti adimensionali di smorzamento sono molto limitati, tipicamente
dell’ordine del per cento o più bassi.
Si consideri ora un velivolo dell’aviazione generale rappresentato da un modello SDOF
e con una massa m = 2000 Kg in condizioni di decollo con il solo pilota, mentre nella
configurazione di peso massimo al decollo ha massa m∗ = 3000 Kg, lo spostamento del
sistema elastico del carrello in condizioni di carico con il solo pilota è stato misurato in
x = 0.045 m.
Se si impone che il sistema lavori con un valore del coefficiente di smorzamento ζ = 0.9,3
si valuti il valore del coefficiente di smorzamento viscoso, c. Nel caso statico si ha K x = f
e quindi si ha:
K=
f
2000 × 9.81
=
= 4.36 × 105 N/m
x
0.045
(7.19)
3
Si nota che il coefficiente di smorzamento è in questo caso molto elevato in quanto si vuole ridurre il
comportamento oscillatorio del sistema.
163
si può quindi valutare la pulsazione
s
ω=
e quindi f =
√
K
= 218 = 14.76rad/s
m
(7.20)
ω
= 2.35Hz. Perchè il sistema possa lavorare con ζ = 0.9 deve essere
2π
ζ = c/2ωm
c = 2ωmζ = 2 × 14.76 × 0.9 × 2000 = 5.31 × 104 Kg/s
(7.21)
Nel caso di un velivolo a pieno carico, quindi con valori di rigidezza e di smorzamento
viscoso uguali a quelli precedentemente valutati ma con una massa più grande, si ha:
s
K
= 12.05rad/s
m∗
∗
ω =
(7.22)
Il coefficiente di smorzamento diviene
ζ ∗ = c/2ω ∗ m∗ = 0.734
(7.23)
quindi il velivolo nelle condizioni di pieno carico si comporta diversamente dal velivolo con
il solo pilota e non è possibile ottenere nelle due configurazioni lo stesso comportamento
oscillatorio, cioè lo stesso valore di ζ.
• Nel caso di vibrazione forzata di tipo armonico con pulsazione ω si considera ancora:
f (t) = f ∗ ejωt
(7.24)
(−ω 2 m + jωc + k)x∗ ejωt = f ∗ ejωt
(7.25)
e si ha:
Si ottiene cosı̀ la funzione di risposta in frequenza, flessibilità dinamica, dalla:
H(ω) =
x∗
1
=
∗
2
f
k − ω m + jωc
(7.26)
Si tratta in tal caso di una grandezza complessa, il modulo è dato da:
1
|H(ω)| = p
(k −
ω 2 m)2
+ (ωc)2
(7.27)
e la fase dalla:
tan H(ω) =
−ωc
k − ω2m
(7.28)
Un esame del comportamento effettivo delle strutture suggerisce anche un modello diverso
per rappresentare le caratteristiche di smorzamento; in particolare la dipendenza dalla
164
frequenza delle caratteristiche strutturali può essere rappresentata con uno smorzamento
che varia con la frequenza secondo la:
c=
h
ω
(7.29)
Si tratta del modello di smorzamento strutturale o di isteresi che corrisponde all’equazione
(scritta in una notazione mista tempo-frequenza):
mẍ + (k + jh)x = f (t)
(7.30)
Nel caso di risposta forzata si ha la funzione di risposta in frequenza:
H(ω) =
x∗
1
=
∗
2
f
k − ω m + jh
(7.31)
1/k
1 − (ω/ωn )2 + jh∗
(7.32)
o anche:
H(ω) =
dove h∗ = h/k indica il fattore di perdita strutturale. Si ha quindi per il modulo di H(ω):
1
|H(ω)| = p
(k −
ω 2 m)2
+ h2
(7.33)
Le motivazioni legate all’introduzione di questo tipo di smorzamento sono legate al fatto
che se si considera l’energia dissipata da una forza di un componente viscoelastico fd = cẋ
in un ciclo di un moto armonico con x(t) = sin(ωt) di periodo T = 2π/ω, si ha
Ed =
Z T
0
fd ẋdt =
Z 2π/ω
0
cω 2 cos2 (ωt)dt = πcω
(7.34)
ovvero si ottiene un’energia dissipata linearmente dipendente dalla frequenza del moto,
fatto questo che non ha un’evidenza sperimentale. La caratterizzazione della forza dissipatrice di tipo isteretico come precedentemento introdotta è evidentemente in grado di
superare questo errore di modellizzazione.
7.2.1
Funzioni di risposta in frequenza per il modello SDOF
Si è definita una funzione di risposta in frequenza H(ω) come rapporto tra lo spostamento, x∗ ,
e la forza, f ∗ , ma naturalmente è anche possibile scegliere per descrivere il sistema una funzione
di risposta in frequenza diversa: ad esempio, con riferimento alla velocità v(t) = ẋ(t) = v ∗ ejωt
come grandezza in uscita, si può definire una funzione di risposta in frequenza, indicata con
mobilità, con la:
Y (ω) =
v∗
f∗
165
(7.35)
Se si considerano allora le relazioni:
x(t) = x∗ ejωt
−→
v(t) = ẋ(t) = v ∗ ejωt = jωx∗ ejωt
(7.36)
si ha allora:
Y (ω) = jω
x∗
= jωH(ω)
f∗
(7.37)
con le relazioni per il modulo:
|Y (ω)| = ω|H(ω)|
(7.38)
θY = θH + 90◦
(7.39)
e per la fase:
Si può anche considerare in uscita l’accelerazione a(t) = ẍ(t) = a∗ eωt e si definisce cosı̀ la F RF
indicata come acceleranza
A(ω) =
a∗
= −ω 2 H(ω)
f∗
(7.40)
Come si è detto le F RF sono funzioni complesse e quindi non se ne può avere una rappresentazione diretta su di un piano cartesiano; i tipi classici di rappresentazione sono:
• modulo (espresso normalmente in decibel, dB) in funzione della pulsazione (in decadi
logaritmiche) e fase in funzione della pulsazione (in decadi logaritmiche),diagramma di
Bode;
• parte reale in funzione della frequenza (o pulsazione) e parte immaginaria in funzione della
frequenza (o pulsazione); con riferimento al caso di smorzamento viscoso si ha
Re[H(ω)] =
k − ω2m
−ωc
e Im[H(ω)] =
2
2
2
2
2
(k − ω m) + ω c
(k − ω m)2 + ω 2 c2
(7.41)
con gli andamenti riportati in Fig. 7.1 e Fig. 7.2.
• parte reale e parte immaginaria su di un diagramma polare, con la frequenza come
parametro, diagramma di Argand o di Nyquist.4
4
Si noti come nel caso di smorzamento isteretico, Eq. 7.31, si ha per le funzioni parte reale e parte immaginaria:
HR =
k − ω2 m
(k − ω 2 m)2 + h2
HI =
−h
(k − ω 2 m)2 + h2
da cui si ottiene in forma implicita la curva
2
HR
+ HI2 = −
HI
h
che rappresenta evidentemente una circonferenza passante per l’origine.
166
Figura 7.1: parte reale di una FRF di un sistema ad un grado di libertà.
Figura 7.2: parte immaginaria di una FRF di un sistema ad un grado di libertà.
167
Il diagramma di Argand è molto usato per la sua particolare efficacia nel presentare in dettaglio
la zona della F RF nell’intorno della frequenza di risonanza, mentre i punti che sono lontani
dalla risonanza sono spostati intorno all’origine del diagramma. In particolare se si considera
nel caso della F RF relativa alla velocità Y (ω) il modulo in funzione della frequenza si vede che,
per smorzamento piccolo, si ha un diagramma simmetrico rispetto alla frequenza di risonanza.
I diagrammi di Argand sempre relativi alla F RF di velocità Y (ω) nel caso di smorzamento
viscoso o alla F RF di spostamento H(ω) nel caso di smorzamento strutturale risultano delle
circonferenze: questa caratteristica è molto utile per il procedimento di “curve fitting” che può
essere utilizzato per la valutazione dei parametri modali.
7.3
Modello a più gradi di libertà - MDOF
Si passa ora all’estensione delle considerazioni viste nel caso di un modello ad un solo grado
di libertà, SDOF , al caso, di maggiore interesse pratico, del modello a più gradi di libertà ,
M DOF (Multi Degree of Freedom).
7.3.1
Caso non smorzato: vibrazione libera, modi e frequenze proprie di
vibrazione
Per il modello a più gradi di libertà le equazioni del moto, nel caso non smorzato, sono:
Mẍ(t) + Kx(t) = f (t)
(7.42)
dove M e K sono le matrici di massa e di rigidezza del sistema di dimensioni n × n se n sono i
gradi di libertà che si considerano nel sistema 7.42 ed x(t), f (t) sono i vettori degli spostamenti e
delle forze applicate sempre ad n componenti: la matrice di massa è una matrice definita positiva
e quella di rigidezza semidefinita positiva in virtù delle ben note proprietà delle energie omonime
associabili a tali matrici: in particolare si osserva che per un generico vettore u nonnullo si ha
che
uT Mu > 0
uT Ku ≥ 0
È possibile associare a tali matrici il problema di autovalori
(K − λn M)φ(n) = 0
(7.43)
5
(7.44)
5
Nell’Appendice B i problemi di risposta libera per sistemi a più gradi di libertà vengono affrontati direttamente
da un punto di vista algebrico come naturalmente associati ad un problema standard di autovalori (v. Parr. B.2
e B.3).
168
in cui, come di consueto, gli autovalori sono calcolati risolvendo l’equazione caratteristica
det(K − λ2 M) = 0
(7.45)
e gli autovettori dai corrispondenti problemi omogenei dati dalla Eq. 7.44. Se ora si scrive
la Eq. 7.44 una volta in riferimento all’autovalore n − mo ed una volta a quello m − mo e si
T
T
premoltiplicano le relazioni ottenute rispettivamente per φ(m) e φ(n) si ha
T
T
φ(m) Kφ(n) = λn φ(m) Mφ(n)
(n)T
φ
(n)T
Kφ(m) = λm φ
(7.46)
Mφ(m)
(7.47)
le quali, sottratte tra loro ed in virtù della simmetrie delle due matrici si ha
T
0 = (λn − λm )φ(n) Mφ(m)
(7.48)
T
e cioè, che se gli autovalori λn e λm sono distinti allora deve essere φ(n) Mφ(m) = 0, altrimenti,
T
quando sono uguali, il prodotto φ(m) Mφ(m) per la positività delle matrice darà luogo ad un
numero positivo che si indicherà con mn . Dunque

T
φ(n) Mφ(m) = δmn mn
ovvero

..
.

ΦT MΦ = 

mn
..



(7.49)
.
ove la Φ è la matrice avente per colonne gli autovettori φ(n) .
Se ora invece che la Eq. 7.44 si considera la equivalente
µ
¶
1
K − M φ(n) = 0
λn
(7.50)
e si reitera il ragionamento precedente si ottiene la relazione di ortogonalità

T
φ(n) Kφ(m) = δmn kn
ovvero

..
.

ΦT KΦ = 

kn
..



(7.51)
.
in cui le rigidezze generalizzate kn non potranno che essere positive (o nulle) in virtù della
semi-positività di K.
T
Si osserva inoltre, dalla Eq. 7.44 premoltiplicata per φ(n) che
T
λn =
φ(n) Kφ(n)
T
φ(n) Mφ(n)
= ωn2 > 0
e cioé che l’autovalore λ è positivo e sarà quindi indicato nel seguito con ωn2 .
169
(7.52)
Mostriamo ora come i vettori φ(n) e le costanti ωn appena definite assumano il significato di
modi e frequenze (angolari) prorie di vibrazione. Se cosı̀ fosse, per definizione fisica di frequenza
e modo proprio di vibrazione, il problema libero
Mẍ + Kx = 0
(7.53)
x(0) = φ(m)
(7.54)
ẋ(0) = 0
(7.55)
dovrebbe fornire la soluzione
x(t) = φ(m) cos(ωn t)
(7.56)
Se si utilizza infatti il cambiamento di cordinate x = Φq e si premoltiplica la Eq. 7.53 per ΦT ,
si ottengono una serie di equazioni differenziali ordinarie tutte disaccoppiate la cui ennesima si
presenta come
mn q̈n + kn qn = 0
la cui soluzione è
qn (t) = q0n cos(ωn t) +
q̇0n
sin(ωn t)
ωn
essendo x(0) = Φq0 e ẋ = Φq̇0 . Dunque ricostruendo la soluzione originaria ed in base alle
condizioni inizali del problema 7.54 e 7.55 si ha proprio la Eq. 7.56. Pertanto, nel seguito
si identificheranno le ωn e i φ(n) direttamente come frequenze (angolari) e modi propri della
struttura in esame (sebbene a rigore essi rappresenterebbero, nell’ambito della discretizzazione
agli elementi finiti della struttura a cui si fa riferimento, una discretizzazione dell’originario
concetto fisico).
La soluzione completa del problema è contenuta nelle matrici degli autovalori, indicata con
Ω2 che è un matrice diagonale che contiene sulla diagonale principale le pulsazioni naturali al
quadrato, e degli autovettori, indicata con Φ che contiene, posizionata per colonne, le deformate
modali φ(n) .
Con procedimenti numerici basati sulla risoluzione dell’Eq. 7.44 è possibile passare dalle matrici
spaziali, di massa M e di rigidezza K, alle matrici che rappresentano il modello modale, indicate
con Ω2 e Φ. Si ricorda che la matrice delle pulsazioni naturali, Ω2 , è univocamente determinata
mentre la matrice delle deformate modali, Φ, non lo è , in quanto le singole deformate φ(n) sono
definite a meno di una costante come autosoluzioni del problema omogeneo 7.44.
Si possono utilizzare diversi procedimenti di normalizzazione delle deformate modali, il più significativo è quello di normalizzazione rispetto alla massa; in questo caso gli autovettori, indicati
170
nella matrice Φ∗ , sono definiti dalle relazioni:
Φ∗T MΦ∗ = I
(7.57)
Φ∗T KΦ∗ = Ω2
(7.58)
dove I, Ω2 indicano rispettivamente la matrice diagonale unitaria e la matrice diagonale delle
pulsazioni naturali; la relazione esistente tra il generico modo k normalizzato ed il corrispondente
modo non normalizzato è data dalla:
(k)
φ∗
7.3.2
1
= √ φ(k)
mk
(7.59)
Caso non smorzato: risposta forzata
Consideriamo ora, sempre per il modello non smorzato, il caso forzato, in cui si ha un vettore
di forze di ingresso caratterizzato da componenti tutte alla stessa pulsazione ω, ma con diversa
ampiezza e fase definito dalla:6
f (t) = f ∗ ejωt
(7.63)
In questo caso si pone la soluzione del sistema 7.42 nella forma:
x(t) = x∗ ejωt
(7.64)
dove f ∗ , x∗ sono vettori ad n componenti di ampiezze complesse. L’equazione del moto 7.42
diviene:
(K − ω 2 M)x∗ ejωt = f ∗ ejωt
(7.65)
6
Questo modo di procedere che si è pure usato nei parr. 1.6.2, 1.6.3 e 7.2, è equivalente a considerare la
trasformata di Fourier dell’Eq. 7.42: seguendo tale approccio i vettori x∗ e f ∗ rappresenterebbero rispettivamente
la trasformata di Fourier del vettore delle uscite x(t) e di quello degli ingressi f (t). Infatti se si considerasse ad
Ω
esempio un ingresso sinusoidale (causale) f (t) = sin(Ωt) si avrebbe trasformata di Laplace f˜(s) = s2 +Ω
2 e quindi
si avrebbe risposta
x̃(s) = H(s)
Ω
ρ
ρ∗
=
x̃
(s)
+
x̃
(s)
'
+
s
r
s2 + Ω2
s − jΩ
s + jΩ
(7.60)
in cui x̃s indica la parte di risposta collegata con i poli (stabili) del sistema e x̃r la parte legata all’ingresso
(risposta a regime) che qui si vuole considerare. Se ora si cercano i residui ρ e ρ∗ si otterrebbe
ρ=
H(jΩ)
2j
ρ∗ =
H(−jΩ)
H̄(jΩ)
=
= ρ̄
−2j
−2j
(7.61)
Si avrebbe quindi nel dominio del tempo (H(−jΩ) ≡ H̄(jΩ))
·
xr (t) = L−1
H(jΩ)
H̄(jΩ)
−
2j(s − jΩ)
2j(s + jΩ)
¸
6
³
= |H(jΩ)| sin Ωt + H(jΩ)
6
´
(7.62)
in cui H(jΩ) indica la fase del numero complesso H(jΩ). La precedente si interpreta dicendo che la funzione di
risposta in frequenza H(jω) rappresenta in modulo e fase (complessi) il modulo e la fase della risposta del sistema
ad un ingresso armonico semplice di pulsazione Ω e ampiezza unitaria e fase nulla.
171
si può cosı̀ definire una matrice di flessibilità dinamica, che costituisce un modello di risposta
nel campo delle funzioni di risposta in frequenza, F RF , con la:
H(ω) = (K − ω 2 M)−1
(7.66)
L’elemento generico della matrice di flessibilità dinamica può essere definito dalla:
x∗j
Hjk (ω) = ∗
fk
(7.67)
∗ = 0 per m diverso da k. Come risulta evidente dalla 7.66 è possibile calcolare i
in cui però fm
valori della matrice di flessibilità dinamica, H(ω), per ogni pulsazione ω, se sono note le matrici,
M e K, del modello spaziale. Questo procedimento richiede l’inversione di una matrice, in
genere di grandi dimensioni, per ogni valore di ω ciò presenta diverse limitazioni in quanto
diviene numericamente costoso se il numero dei gradi di libertà è molto alto. Inoltre si deve
calcolare tutta la matrice H(ω) in blocco e non si ottengono informazioni sulle proprietà delle
singole F RF .
Si può impiegare, e risulta generalmente conveniente, un approccio diverso che consente di
calcolare la matrice di flessibilità dinamica H(ω) in funzione del modello modale invece di quello
spaziale. Dalla 7.66 si ha:
(K − ω 2 M) = H(ω)−1
(7.68)
premoltiplicando per la matrice trasposta degli autovettori, normalizzati rispetto alla massa, e
postmoltiplicando per la matrice degli autovettori normalizzati si ha:
Φ∗T (K − ω 2 M)Φ∗ = Φ∗T H(ω)−1 Φ∗
(7.69)
Utilizzando le proprietà di ortogonalità 7.57 e 7.58 la 7.69 diviene:




..

.
ωn2 k − ω 2
..

 = Φ∗T H(ω)−1 Φ∗

(7.70)
.
T
da cui invertendo, premoltiplicando per la matrice Φ∗ e postmoltiplicando per la matrice Φ∗
si ottiene:

.


H(ω) = Φ 

∗

..
1
2
ωnk − ω 2
..

 ∗T
 Φ


(7.71)
.
Dalla relazione 7.71 si vede che la matrice di flessibilità dinamica è una matrice simmetrica,
¡
infatti risulta dal prodotto di una matrice, Φ∗ , per una matrice diagonale, Ω2 − ω 2 I
172
¢−1
per la
T
trasposta della matrice iniziale, Φ∗ , come d’altra parte la matrice H(ω) deve essere simmetrica
in base al principio di reciprocità (teorema di Betti):
Hjk (ω) =
x∗j
x∗k
=
H
(ω)
=
kj
fk∗
fj∗
(7.72)
La 7.71 permette di calcolare il singolo elemento della matrice di flessibilità dinamica dalla:
(r) (r)
n
X
φj φk
Hjk (ω) =
mr (ωn2 r − ω 2 )
r=1
(7.73)
(r)
dove il simbolo φk indica la componente k − sima del modo r − imo; il singolo elemento della
matrice di flessibilità si può quindi anche scrivere sinteticamente come:
Hjk (ω) =
n
X
(r)
Ajk
ω2 − ω2
k=1 nr
(7.74)
(r)
dove con Ajk si indica la costante modale del modo r − imo relativa ai gradi di libertà j e k.
7.3.3
Smorzamento proporzionale
Si fa ora riferimento ad un caso particolare di smorzamento che presenta il vantaggio di una
grande semplicità di analisi: il punto essenziale è che con questo modello di smorzamento i
modi fondamentali da considerare sono praticamente uguali a quelli del modello non smorzato,
infatti le deformate modali sono identiche e le frequenze naturali sono numericamente molto
vicine. Quindi è possibile ricavare le proprietà modali di una struttura rappresentata con uno
smorzamento di tipo proporzionale a partire dallo studio del modello non smorzato.
L’equazione generale del moto in presenza di smorzamento risulta:7
Mẍ + Cẋ + Kx = f (t)
(7.76)
• Se si pone la matrice di smorzamento come proporzionale rispetto alla matrice di rigidezza
si ha:
C = βK
(7.77)
7
Se si assume che l’effetto dello smorzamento sia quello di dissipare l’energia elastica e cinetica posseduta dal
sistema vibrante, allora la Eq. 7.76 scritta nel caso di vibrazione libera e premoltiplicata per xT diviene
d
dt
³
´
1 T
1
ẋ Mẋ + xT Kx = −ẋT Cẋ
2
2
(7.75)
che implica, dovendo l’energia elastica più cinetica comunque dimunuire nel tempo per ogni condizione di stato,
che la matrice C debba essere definita positiva.
173
se si premoltiplica la matrice di smorzamento per la matrice, trasposta, degli autovettori
del sistema non smorzato e si postmoltiplica per la matrice degli autovettori del sistema
non smorzato si ottiene:


..
.

ΦT CΦ = βΦT KΦ = β 


.

kk
..

=
 

..
ck
..
.



(7.78)
.
dove gli elementi ck sono gli smorzamenti dei singoli modi del modello; il fatto che la matrice
che si ottiene con questa operazione sia una matrice diagonale dipende dalla condizione di
proporzionalità, 7.77, ed indica che le deformate modali del sistema non smorzato possono
essere impiegate per il sistema smorzato, con smorzamento proporzionale.
Se si considera il sistema 7.76 nel caso di risposta libera, premoltiplicando per la matrice
trasposta degli autovettori del sistema non smorzato si ha:
ΦT Mẍ + ΦT Cẋ + ΦT Kx = 0
(7.79)
Sostituendo poi alle coordinate fisiche le coordinate modali, q con la posizione:
x=Φq
(7.80)
si ottiene:

.




..
mk

.

..

 q̈ + 



..
ck
.

.

..

 q̇ + 



..
.
kk
..

q = 0

(7.81)
.
in cui ck := βkk e che, scritta per il k-simo modo diviene:
mk q̈k + ck q̇k + kk qk = 0
(7.82)
si tratta dell’equazione di un sistema ad un solo grado di libertà (v. par. 7.3) che ha una
frequenza naturale complessa con una parte oscillatoria data dalla:
ωn0 k = ωnk
q
1 − ζk2
(7.83)
dove ωnk è la pulsazione naturale non smorzata del modo k − imo, data dalla ωn2 k =
kk /mk , e ζk è il coefficiente adimensionale di smorzamento del modo ζk , dato dalla ζk =
√
ck /2 kk mk , e con un decadimento esponenziale dato dalla:
σk = ζk ωnk
174
(7.84)
In analogia alquanto visto per il caso in assenza di smorzamento nel par. 7.3.2, nel caso di
sistema forzato si ottiene per la matrice di flessibilità o matrice delle funzioni di risposta
in frequenza l’espressione:
h
i−1
H(ω) = K + jωC − ω 2 M
(7.85)
e quindi il generico termine della matrice di flessibilità risulta:
n
X
(r)∗ (r)∗
(r) (r)
n
X
φj φk
φj φk
Hjk (ω) =
=
2
2
k − mr ω + jωcr
ω − ω 2 + jωωr ζr
r=1 r
r=1 r
(7.86)
√
con ζr = cr /2 kr mr , che è del tutto simile alla analoga espressione 7.73 ottenuta per il
caso non smorzato, sebbene in questo caso il termine Hjk (ω) risulta complesso.
• Si è considerato un caso particolare di matrice di smorzamento proporzionale alla matrice
di rigidezza, ma in realtà una situazione equivalente si ha se la matrice di smorzamento è
proporzionale rispetto alla matrice di massa del sistema, secondo la:
C = αM
(7.87)
Più in generale nel caso di smorzamento proporzionale si considera che la matrice di
smorzamento possa essere proporzionale rispetto ad una combinazione lineare delle matrici
di massa e di rigidezza con la posizione:
C = βK + αM
(7.88)
ck = βkk + αmk
(7.89)
da cui
ed il sistema smorzato avrà ancora autovalori del tipo 7.83 ed autovettori che sono uguali
a quelli del sistema non smorzato corrispondente. Questo modello di smorzamento proporzionale, oltre al vantaggio della semplicità di trattazione, risulta di interesse pratico in
quanto i meccanismi fisici di smorzamento sono effettivamente collegati con le caratteristiche di rigidezza della struttura, per quanto riguarda lo smorzamento interno del materiale,
e con le caratteristiche di massa, per quanto riguarda lo smorzamento di attrito.
Si osserva comunque che i sopra indicati casi di smorzamento proporzionale a rigidezza e
massa, i poli del sistema smorzato (v. pure App. B.3) sono dati da
q
sn1,2 = −ζn ωn ± jωn 1 − ζn2
(7.90)
√
in cui ζr = (αmr + βkr )/2 kr mr , che è l’espressione per i sistemi ad un grado di libertà
con smorzamento viscoso.
175
• Delle considerazioni del tutto analoghe si possono sviluppare per un modello a più gradi
di libertà, ma con smorzamento di isteresi (v. par. 7.2); l’equazione generale del moto
risulta in tal caso scritta (nella forma mista tempo-frequenza):
Mẍ + (K + jH)x = f
(7.91)
Se si pone la matrice di smorzamento di isteresi H come proporzionale rispetto alle matrici
di massa e di rigidezza:
H = βK + αM
(7.92)
anche in questo caso gli autovettori del sistema smorzato risultano uguali a quelli del
sistema non smorzato e gli autovalori, complessi, risultano con quadrato pari a:
s2k = −ωn2 k (1 + jηk )
(7.93)
dove ωn2 k = kk /mk e per i fattori di perdita ηk = β + α/ωn2 k ; infine, il generico termine
della matrice di flessibilità dinamica risulta:
n
X
(r) (r)
Hjk (ω) =
7.3.4
φj
r=1
kr − ω 2 mr
φk
+ jηr kr
(7.94)
Smorzamento di isteresi: caso generale
Il modello che considera lo smorzamento come proporzionale alla distribuzione di massa e di
rigidezza è un caso particolare, anche se molto importante dal punto di vista pratico; bisogna
quindi considerare anche il caso più generale di smorzamento per poter comprendere meglio
i dati sperimentali che si ottengono dalle prove sulle strutture che, naturalmente, nel loro
comportamento non seguono necessariamente per lo smorzamento il modello di proporzionalità.
Se si fa riferimento al caso generale di smorzamento di isteresi:
Mẍ + Kx + jHx = f
(7.95)
con H matrice simmetrica. Nel caso di risposta libera (f = 0) in cui la soluzione viene posta del
tipo
x(t) = φ eµt
(7.96)
si ha un problema di autosoluzioni rappresentato da due matrici µ2 e Φ che contengono gli
autovalori µn e gli autovettori φ(n) . In questo caso le due matrici sono complesse e le deformate
modali sono rappresentate in forma complessa; il k-simo autovalore può scriversi nella forma:
176
µ2k = −ωn2 k (1 + jηk )
(7.97)
dove ωnk è prossima alla pulsazione naturale del sistema non smorzato ed ηk indica il fattore di
perdita per il k-simo modo; si osserva che la µk che appare nella 7.97 è diversa dalla pulsazione
naturale del modo non smorzato, anche se numericamente i valori sono molto vicini.
Anche le deformate modali φ(k) sono complesse, questo significa che l’ampiezza di ogni grado di
libertà del sistema viene caratterizzata con modulo e fase, mentre nel caso non smorzato o con
smorzamento proporzionale, si ha sempre una fase che può assumere soltanto i valori di 0 o di
180 gradi. Nel caso più generale di smorzamento, e quindi con smorzamento non proporzionale,
si hanno dei modi complessi in cui la fase varia da un grado di libertà all’altro e può assumere
qualsiasi valore.
Nel caso di modi complessi si hanno ancora le proprietà di ortogonalità viste nel caso di modi
reali:


..
.

ΦT MΦ = 

mk

..



(7.98)
.

..
.

ΦT (K + jH) Φ = 

kk
..



(7.99)
.
la massa e la rigidezza generalizzate, mk , kk sono naturalmente complesse e dipendono dal tipo
di normalizzazione che si è scelta per le deformate modali, mentre gli autovalori (v. Eq. 7.97)
sono correlati con le mk e kk dalla
−µ2k = kk /mk
(7.100)
Nel caso di risposta forzata, per eccitazione f = f ∗ ejωt e risposta x = x∗ ejωt armonica,
l’equazione del moto risulta:
(K + jH − ω 2 M)x∗ ejωt = f ∗ ejωt
(7.101)
Dalla 7.101 si ottiene, per la matrice di flessibilità dinamica, l’espressione:
³
´−1
H(ω) = K + jH − ω 2 M
(7.102)
Procedendo in analogia a quanto visto precedentemente nel par. 7.3.2, si può esprimere la
matrice di flessibilità dinamica in termini delle matrici del modello modale, invece che delle
177
matrici del modello spaziale come nella 7.102, e si ottiene:
.




..
H(ω) = Φ 
−µ2k

 T
Φ

1
− ω2
..
(7.103)
.
e per il singolo termine della matrice si ha per il caso generale di masse generalizzate non unitarie:
Hjk (ω) =
(r) (r)
n
X
r=1
mr
¡
φj φk
¢
2
ωnr − ω 2 + jηr ωn2 r
(7.104)
Nella 7.104, a differenza di quanto visto precedentemente, sia il numeratore che il denominatore
risultano complessi, perchè sono complessi gli autovettori ed è appunto questa la differenza
essenziale rispetto al caso in cui si consideri lo smorzamento come proporzionale alle matrici di
massa o di rigidezza.
7.3.5
Smorzamento viscoso: caso generale
L’equazione del moto per un sistema a più gradi di libertà con smorzamento viscoso nel caso di
vibrazione libera risulta:
Mẍ + Cẋ + Kx = 0
(7.105)
con C matrice simmetrica e positiva. Se si ricerca le soluzione sotto la forma:
x(t) = φ est
(7.106)
la 7.105 diviene:
³
´
s2 M + sC + K φ = 0
(7.107)
La soluzione della 7.107 è costituita dalla soluzione di un problema di autovalori nella forma
³
´
s2k M + sk C + K φ(k) = 0
k = 1, 2, ..., n
(7.108)
che è diverso rispetto a quello considerato nel caso di smorzamento di isteresi. Infatti come
mostrato dalla 7.108, vi sono 2n autovalori, se n indica il numero dei gradi di libertà nel sistema
7.105, invece degli N autovalori considerati nel caso di isteresi; ma questi 2n autovalori sono
a coppie complessi coniugati: naturalmente ad ogni autovalore corrisponde un autovettore ed
anche gli autovettori sono complessi coniugati a coppie. Queste considerazioni come pure le altre
che si faranno nel seguito, sono dimostrate nell’App. B (v. parr. B.3 e B.4) su base puramente
algebrica.
178
La soluzione del sistema 7.107 è quindi data da 2n autovalori e da 2n autovettori complessi
(k)
coniugati indicati con sk , s∗k e φ(k) , φ∗
rispettivamente. Gli autovalori si possono scrivere:
µ
¶
q
sk = ωnk −ζk + j 1 − ζk2
(7.109)
dove ωnk indica la pulsazione naturale e ζk lo smorzamento del modo k − simo.
Anche in questo caso vi sono delle proprietà di ortogonalità, ma esse sono diverse da quelle
classiche; autovalori ed autovettori soddisfano l’Eq. 7.108, se si premoltiplica questa relazione
T
per φ(q) si ottiene:
T
φ(q) (s2k M + sk C + K)φ(k) = 0
(7.110)
naturalmente la 7.108 può essere scritta per il q-simo modo:
(s2q M + sq C + K)φ(q) = 0
(7.111)
Se si calcola la trasposta della 7.111, ricordando che le matrici di massa, M, di rigidezza, K, di
smorzamento, C, sono delle matrici simmetriche si ottiene:
T
φ(q) (s2q M + sq C + K) = 0
(7.112)
Se si postmoltiplica questa espressione per φ(k) e si sottrae la relazione cosı̀ ottenuta dalla 7.110
si ottiene:
T
T
(s2k − s2q )φ(q) Mφ(k) + (sk − sq )φ(q) Cφ(k) = 0
(7.113)
Nel caso in cui le due radici sk e sq siano diverse si ottiene da questa espressione una prima
condizione di ortogonalità :
T
T
(sk + sq )φ(q) Mφ(k) + φ(q) Cφ(k) = 0
(7.114)
Una seconda condizione di ortogonalità si può ottenere dalle 7.108 e 7.111 moltiplicando la prima
T
T
per sq φ(q) la seconda per sk φ(k) e sottraendo si ottiene:
T
T
sk sq φ(q) Mφ(k) − φ(q) Kφ(k) = 0
(7.115)
Le condizioni 7.114 e 7.115 sono le condizioni di ortogonalità nel caso generale di smorzamento
viscoso, quando non si fa uso dell’ipotesi di smorzamento proporzionale; come si vede si tratta
di condizioni meno semplici di quelle classiche.
Se si considera ora il caso in cui i modi k e q costituiscono una coppia di modi complessi coniugati
si ha:
µ
q
µ
¶
q
sk = ωnk −ζk + j 1 − ζk2 sq = ωnk −ζk − j 1 − ζk2
179
¶
(7.116)
∗
ed i corrispondenti autovettori risultano complessi coniugati, φ(q) = φ(k) ; considerando queste
posizioni nella prima condizione di ortogonalità , 7.114, si ottiene:
∗T
∗T
−2ωnk ζk φ(k) Mφ(k) + φ(k) Cφ(k) = 0
(7.117)
da cui si ottiene la prima condizione di ortogonalità:
∗T
2ωnk ζk =
φ(k) Cφ(k)
(k)∗T
φ
(k)
Mφ
=
ck
mk
(7.118)
Procedendo in maniera analoga nella seconda condizione di ortogonalità , 7.115, si ottiene:
∗T
∗T
ωn2 k φ(k) Mφ(k) − φ(k) Kφ(k) = 0
(7.119)
da cui la seconda condizione di ortogonalità:
∗T
ωn2 k =
φ(k) Kφ(k)
(k)∗T
φ
(k)
Mφ
=
kk
mk
(7.120)
Le mk , kk , ck che appaiono nelle condizioni 7.118, 7.120 vengono ancora indicate come massa,
rigidezza e smorzamento modali anche se il loro significato è diverso da quello corrispondente al
caso di smorzamento proporzionale.
180
Capitolo 8
Dinamica Strutturale Sperimentale Acquisizione delle FRF
8.1
Prove sperimentali di analisi dinamica
Le prove sperimentali di analisi dinamica, che possono essere condotte su singoli elementi strutturali ed anche su di un velivolo o su di un sistema spaziale completo, si pongono come obiettivo
fondamentale la valutazione della risposta della struttura alle sollecitazioni di lavoro e la possibilità di verificare e, se necessario, di mettere a punto un modello numerico di previsione del
comportamento dinamico della struttura. In genere la sperimentazione viene tuttavia condotta
con delle sollecitazioni di ingresso che non corrispondono ad alcuna situazione tipica di lavoro.
Si indica con il termine di analisi modale il processo sperimentale che ha come scopo quello di
acquisire dei dati che consentono di determinare una descrizione numerica del comportamento
dinamico di una struttura.
Anche se lo scopo fondamentale di una sperimentazione dinamica è sempre quello di ricavare
un modello numerico della struttura vi sono delle differenze, importanti dal punto di vista
sperimentale perchè determinano la precisione che viene richiesta alla sperimentazione e quindi
la “difficoltà” ed in definitiva il “costo”, che sono relative all’impiego che è previsto per il modello
stesso e che si può classificare come:
• convalida del modello numerico della struttura: in questo caso si deve ottenere una valutazione, molto precisa, delle frequenze fondamentali ed una descrizione delle deformate
modali che sia sufficiente ad identificare il tipo di modo; per quanto riguarda i coefficienti
di smorzamento in genere non è possibile un confronto con i valori ottenuti da una previsione numerica ma soltanto con delle stime di massima ottenute mediante analogia di
valori noti per strutture con caratteristiche simili;
181
• ricerca delle cause delle differenze esistenti tra modello numerico e dati sperimentali: si
richiede, in più rispetto al caso precedente, una valutazione accurata delle deformate modali
ed anche l’acquisizione di un numero più elevato, di modi fondamentali;
• identificazione di un modello numerico da utilizzare anche per tecniche di sottostrutturazione, di modifica strutturale, per l’identificazione delle forze che agiscono sulla struttura o per l’identificazione di danni che si presentino durante la vita operativa: in tutti
questi casi si richiede un maggiore livello di precisione nelle misure e la determinazione di
un numero ancora più elevato di modi fondamentali.
Nel caso generale il modello dinamico di una struttura è dato da un sistema discreto a più gradi
di libertà, esso rappresenta una approssimazione della situazione effettiva che è quella di una
struttura continua e quindi caratterizzata da un numero infinito di gradi di libertà; l’equazione
del sistema ad n gradi di libertà, nel caso di smorzamento viscoso, è:
Mẍ + Cẋ + Kx = f (t)
(8.1)
dove x è un vettore, ad n componenti, che comprende i gradi di libertà scelti per la rappresentazione della struttura (dal punto di vista sperimentale sono i punti di misura), f (t) è il vettore
delle forze agenti sulla struttura, M è la matrice, n × n, di massa ed analogamente C e K sono
le matrici, sempre n × n, di smorzamento viscoso e di rigidezza.
Come si è visto nel Cap. 7 si possono definire tre tipi di descrizione dinamica:
• spaziale, matrici K, M, C;
• modale, matrici Φ, Ω2 , Λ2 ;
• delle funzioni di risposta in frequenza, matrice H(ω).
Nel campo della tecnica sperimentale di analisi dinamica si farà essenzialmente riferimento ad
una metodologia che riguarda la determinazione delle funzioni di risposta in frequenza, indicate
con F RF , mediante l’eccitazione della struttura in un solo punto e la rilevazione dell’uscita su di
un altro punto di misura (è anche possibile una situazione diversa in cui sia l’ingresso che l’uscita
possono essere relativi a più punti della struttura); la sperimentazione fornisce direttamente un
modello di risposta in termini delle funzioni di risposta di frequenza. Dalla valutazione di un
numero opportuno di F RF è possibile passare al modello modale o a quello spaziale.
Il segnale di ingresso viene applicato attraverso il collegamento della struttura con uno “shaker”
o più semplicemente con un ingresso impulsivo, in genere ottenuto con un martello dotato di
una cella di carico, mentre il trasduttore generalmente impiegato per la grandezza in uscita è un
182
accelerometro che deve essere connesso con la struttura: esso costituisce quindi una “alterazione”
della struttura stessa e questa alterazione della struttura deve essere ridotta al minimo. Quindi
la massa dell’accelerometro deve essere la più piccola possibile; questa esigenza è, come si è
detto, compatibile con l’impiego di accelerometri piezoelettrici.
Anche nell’applicazione delle forze di eccitazione si ha una alterazione della struttura, in
particolare nel caso dell’impiego di shaker”.
8.2
Determinazione delle FRF con ingresso di tipo generale
Si fa ora riferimento al caso più generale in cui il segnale di ingresso e quindi il segnale di risposta
non sono armonici semplici.
8.2.1
Ingresso periodico
In questo caso il segnale di ingresso è di tipo periodico con periodo T e consideriamo per
semplicità un sistema con un singolo ingresso ed una singola uscita (SISO, Single Input Single
Output); il segnale di ingresso si può esprimere con uno sviluppo in serie di Fourier, infatti una
funzione periodica di periodo T si può sviluppare nella serie con una espressione:1
+∞
X
f (t) =
fk∗ ejωk t
(8.4)
k=−∞
con ωk = 2πk/T .
Il segnale di risposta x(t) si può valutare considerando il significato stesso delle FRF e quindi
utilizzando la FRF calcolata in corrispondenza delle frequenze che sono presenti nel segnale di
ingresso, f (t), come indicato nella 8.4:
+∞
X
x(t) =
x∗k ejωk t =
k=−∞
1
+∞
X
H(ωk )fk∗ ejωk t
(8.5)
k=−∞
La 8.4 è la forma complessa (esponenziale) della serie di Fourier: i coefficienti fk∗ sono forniti dall’espressione
fk∗ =
1
T
Z
T
f (t) e−jωk t dt
(8.2)
0
Esprimendo l’esponenziale complesso con funzioni trigonometriche tramite la formula di Eulero, si perviene
all’espressione della serie di Fourier monolatera
a0 X
[ak cos(ωk t) + bk sin(ωk t)]
+
2
+∞
f (t) =
k=1
183
(8.3)
Naturalmente il segnale di risposta contiene soltanto le frequenze che sono comprese nel segnale
di ingresso: quindi il segnale di risposta x(t) è periodico, con lo stesso periodo T del segnale di
ingresso, ma ha una forma diversa perché la FRF ha valori diversi a secondo della frequenza.
Per determinare la FRF nel caso di ingresso periodico è quindi necessario calcolare gli sviluppi in
serie di Fourier dei segnali di ingresso e di uscita: si ottengono cosı̀ le componenti delle funzioni
di ingresso e di uscita per gli stessi valori discreti di frequenza che sono multipli interi di 2π/T .
Da queste componenti si ricavano le FRF in corrispondenza delle sole frequenze discrete che
sono multiple di 2π/T , e si ottiene:
H(ωk ) =
x∗k
fk∗
(8.6)
dalla 8.6 si possono ricavare le FRF in corrispondenza dei valori di frequenza che corrispondono
ai multipli del periodo del segnale di ingresso. Tale procedimente può naturalmente essere esteso
per sistemi a input ed output multiplo (MIMO, Multiple Input Multiple Output), nel caso cioè
si abbiano più punti di misura. In tale caso la 8.6 si generalizza per il termine generico della
matrice delle FRF
Hij (ωk ) =
x∗ki
fk∗j
(8.7)
in cui l’ingresso periodico deve applicarsi nel punto j − imo e deve essere uguale a zero in tutti
gli altri punti.
8.2.2
Ingresso impulsivo
Consideriamo ancora un sistema ad ingresso ed uscita singoli, SISO. Nel caso in cui il segnale
di ingresso sia di tipo generico (al limite di tipo impulsivo) si può ritenere che venga rispettata
la condizione di Direchlet:
Z ∞
−∞
|f (t)|dt < ∞
(8.8)
ed è quindi possibile definire e calcolare la trasformata di Fourier di tale segnale definita come
(si indicano le grandezze Fourier-trasformate con il simbolo ˜):
f˜(ω) =
Z ∞
−∞
f (t)e−jωt dt
(8.9)
in corrispondenza di ogni pulsazione ω si può scrivere per il segnale di risposta all’ingresso la:
x̃(ω) = H(ω) f˜(ω)
184
(8.10)
dove H(ω) indica la FRF; si può quindi ricavare il segnale di risposta x(t) dalla trasformata
inversa di Fourier della relazione 8.10:
1
2π
x(t) =
Z ∞
−∞
H(ω)f˜(ω)ejωt dω
(8.11)
Quindi si possono ottenere le FRF a partire dalle misure ottenute da prove di analisi dinamica
con eccitazione di tipo impulsivo: si tratta infatti di calcolare le trasformate di Fourier dei segnali
di ingresso e di uscita ed ottenere le FRF come rapporto di queste due funzioni:
H(ω) = x̃(ω)/f˜(ω)
(8.12)
Per sistemi a più ingressi e più uscite si avrà ancora
Hij (ω) =
x̃i (ω)
f˜j (ω)
(8.13)
in cui il vettore trasformata di Fourier dell’ingresso f˜i (ω) (i = 1, 2, ..., n) è non nullo nel solo
punto di misura j − imo. Da un punto di vista numerico si procede al calcolo delle trasformate
di Fourier dei segnali di ingresso e di risposta con la valutazione delle trasformate discrete di
Fourier, con un processo numerico che viene indicato con F F T , Fast Fourier Transform; questo
procedimento numerico implica che il segnale venga forzatamente trattato come un segnale
periodico.
Il caso dell’eccitazione impulsiva si può trattare in maniera diversa valutando la risposta di un
sistema ad un impulso unitario (f (t) = δ(t)), metodo di Duhamel. Se si indica con h(t − τ ) la
funzione di risposta impulsiva nel tempo e si considera una generica funzione di ingresso f (t)
è possibile esprimerla attraverso una combinazione lineare di impulsi f (τ )dτ . La risposta del
sistema è data dalla:
x(t) =
Z ∞
−∞
h(t − τ )f (τ )dτ
(8.14)
dove h(t − τ ) = 0 per t < τ . La trasformata di Fourier di un impulso unitario nell’origine dei
tempi δ(t) risulta:
f˜(ω) =
Z ∞
−∞
f (t)e
−jωt
dt =
Z ∞
−∞
δ(t)e−jωt dt = 1
(8.15)
ponendo la 8.15 nella 8.11 si ha:
x(t)δ
1
= h(t) =
2π
Z ∞
−∞
H(ω)f˜(ω)ejωt dω =
1
2π
Z ∞
−∞
H(ω)ejωt dω
(8.16)
come si vede dalla 8.16 la risposta impulsiva h(t) e la FRF del sistema H(ω) sono una coppia
di trasformate di Fourier; questo significa che la risposta impulsiva del sistema, h(t), si ottiene
dalla anti-trasformata di Fourier della FRF, cioè della H(ω).
185
Da questa corrispondenza tra risposta impulsiva e FRF si vede come risulta possibile esprimere
la funzione di risposta impulsiva con uno sviluppo in serie su base modale, cosı̀ come avviene
per la FRF; infatti dalla:
Hij (ω) =
X
Hijr (ω)
=
X
r
r
(r) (r)
φi φj
−
−mr ω 2 + kr + jωcr
(8.17)
si ha corrispondentemente:
hij (t) =
X
hrij (t)
(8.18)
r
8.2.3
Ingresso random
In questo caso, che è molto importante per le possibilità che offre nella sperimentazione, il segnale
di ingresso e quindi quello di uscita sono di tipo random: non viene rispettata la condizione di
Dirichlet e quindi non è possibile applicare la definizione della trasformata di Fourier per i segnali
di ingresso ed uscita.
Un segnale random è definito con un approccio statistico in quanto il singolo segnale, a differenza
di quanto avviene in campo deterministico, non è significativo. Il carattere random, nell’analisi
modale, si riferisce al fatto che una serie di esperimenti, pur condotti in maniera apparentemente
uguale ed in uguali circostanze, porta a risultati diversi. Quindi il risultato di una singola prova
non è sufficiente a rappresentare la misura, ma si richiede una descrizione statistica dei risultati.
Si devono impiegare dei metodi diversi per la descrizione dei segnali: ciò può essere fatto nel
dominio del tempo attraverso la funzione di correlazione e nel dominio della frequenza con
l’impiego della funzione di densità spettrale, PSD (Power Spectral Density), v. App. C per
richiami teorici sui processi random.
Un segnale random si definisce stazionario se le sue proprietà statistiche, in particolare la media,
non cambiano nel tempo. La media di un segnale random ergodico, cioè con medie temporali
uguali alle medie calcolate sull’insieme dei campioni, e quindi tale che le sue proprietà possono
essere valutate da una sola registrazione di durata sufficientemente grande, viene definita da:
1
x = lim
T →∞ T
Z T
0
x(t)dt
(8.19)
Il valore quadratico medio del segnale random viene definito da:
1
T →∞ T
x2 = lim
Z T
0
x2 (t)dt
(8.20)
Nel caso di segnali random questo valore viene anche indicato come varianza e da una indicazione
dell’entità della variazione del segnale x(t).
186
Una grandezza a questa collegata, è la radice quadrata della varianza, radice quadrata del valore
quadratico medio xrms (root mean square):
xrms =
√
x2
(8.21)
Un altro indice importante nel campo delle variabili random è la misura della variazione nel
tempo del segnale che permette di valutare l’entità del campione statistico del segnale che si
deve raccogliere. La funzione di autocorrelazione indicata con Rxx (τ ) è definita dalla:
1
T →∞ T
Rxx (τ ) = lim
Z T
0
x(t)x(t + τ )dt
(8.22)
essa da, appunto, una indicazione sulla velocità di variazione del segnale x(t) e risulta funzione
soltanto di τ , differenza temporale, nel caso di segnali random stazionari.
La funzione di correlazione tra i segnali f (t) e g(t) (o di autocorrelazione se riferita allo stesso
segnale), ha il significato fisico di valor medio del prodotto della funzione f (t) per una funzione
g(t) traslata nel tempo: f (t) ∗ g(t + τ ); si tratta sempre di una funzione del tempo che risponde
però alle condizioni richieste per definire la sua trasformata di Fourier; ad esempio nel caso di
autocorrelazione per il segnale f (t) si ha:
Rf f (τ ) = E [f (t) f (t + τ )]
(8.23)
in cui il simbolo E [...] sta ad indicare valore atteso della grandezza tra parentesi: nell’ipotesi
che il segnale sia stazionario da un punto di vista statistico (cioè che tutte le caratteristiche di
probabilità siano indipendenti da traslazioni temporali) e sia inoltre ergodico e cioè che le medie
temporali siano uguali alle medie calcolate sull’insieme dei campioni, la 8.23 può esprimersi pure:
1
T →∞ T
Rf f (τ ) = E [f (t) f (t + τ )] = lim
Z T
0
f (t) f (t + τ )dt
(8.24)
e dunque ogni funzione stocastica f (t) è completamente rappresentativa del processo random.
La trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione indicata dalla 8.23 definisce una
funzione di auto-densità spettrale:
Sf f (ω) =
Z ∞
−∞
Rf f (τ )e−jωτ dτ
(8.25)
attraverso questa funzione di densità spettrale si ottiene una descrizione nel dominio della frequenza della funzione del tempo f (t) che per la sua caratteristica di segnale random non permette
di applicare direttamente sulla funzione stessa la definizione classica in termini di trasformata
di Fourier.
Le definizioni riportate nelle 8.23, 8.25 si estendono naturalmente al caso di due funzioni x(t),
f (t) per le quali si definisce una funzione di correlazione o di cross-correlazione:
1
T →∞ T
Rxf (τ ) = E [x(t) f (t + τ )] = lim
187
Z T
0
x(t) f (t + r)dt
(8.26)
e di conseguenza si definisce una funzione di densità spettrale o di cross-densità spettrale:
Sxf (ω) =
Z ∞
−∞
Rxf (τ )e−jωτ dτ
(8.27)
Si osserva che le funzioni di correlazione definite dalle 8.23, 8.26 sono delle funzioni reali2 ed
anche le funzioni di auto-densità spettrale sono funzioni reali mentre le funzioni di cross-densità
spettrale sono, in generale, funzioni complesse ma tali che sia:
Sxf (ω) = Sf∗x (ω)
dove con
∗
(8.28)
si indica il complesso coniugato.
In questo modo si sono definite, attraverso operazioni di correlazione e di trasformate di Fourier
sulle funzioni di correlazione, le funzioni che permettono di trattare i segnali random. Si ha poi
una relazione che collega le funzioni di auto-densità spettrale dei segnali di ingresso ed uscita
con la FRF del sistema :
Sxx (ω) = |H(ω)|2 Sf f (ω)
(8.29)
Questa relazione da sola non è sufficiente per la valutazione della FRF del sistema in quanto
fornisce soltanto delle informazioni sul modulo della H(ω), si devono impiegare quindi delle
ulteriori relazioni che fanno intervenire anche le funzioni di cross-densità spettrale. Come si è
detto, le funzioni di cross-densità spettrale sono complesse e permettono quindi di ricavare le
H(ω) in forma complessa:
Sf x (ω) = H(ω)Sf f (ω)
(8.30)
Sxx (ω) = H(ω)Sxf (ω)
(8.31)
Le relazioni 8.30, 8.31 permettono di ricavare le FRF del sistema a partire da misure sperimentali
condotte con un segnale di ingresso di tipo random; da queste due relazioni si ottengono due
stime possibili per la funzione H(ω) ed inoltre dal confronto di queste due stime diverse si può
valutare anche la qualità dei dati sperimentali ottenuti (v. oltre Sez. 8.3.4).
8.3
Impiego di ingressi diversi
Le prove sperimentali di analisi modale si possono eseguire con diversi tipi di segnali di ingresso;
essi presentano alcuni vantaggi ed alcune limitazioni che vengono discusse nei sottoparagrafi
seguenti.
2
Si osservi che ad esempio, la Rf f definita con la 8.24 è una funzione pari, quindi effettuando la trasformata
8.25 con e−jωt = cos(ωt) − j sin(ωt) si ha come unico integrando non nullo Rf f cos(ωt) che darà luogo ad una Sf f
reale.
188
8.3.1
Ingresso sinusoidale con variazione discreta di frequenza
In questo caso il segnale di ingresso è di tipo armonico semplice con ampiezza e frequenza fissate
e si misura la FRF punto per punto per ogni valore di frequenza che si considera, v. par. 8.2.1.
Quindi per ottenere una singola FRF del sistema si deve variare la frequenza del segnale di
ingresso in modo discreto, naturalmente la misura richiede che si raggiungano condizioni di
stazionarietà nel passaggio da una frequenza all’altra e ciò può richiedere dei tempi lunghi per
la misura. In pratica questo tempo diviene effettivamente critico nell’intorno di una frequenza
di risonanza quando il coefficiente di smorzamento modale è molto basso.
Un vantaggio offerto dall’impiego di questo tipo di ingresso sta nella possibilità di “spaziare” in
frequenza nella misura nella maniera che viene ritenuta più opportuna: cosı̀ si possono raccogliere
pochi punti di misura in frequenza per le frequenze che sono lontane dai punti di risonanza del
sistema e concentrare la massima parte dei punti di misura in frequenza nell’intorno dei punti
di risonanza, ottenendo cosı̀ i dati più significativi per la successiva valutazione dei parametri
modali.
Nella misura con questo tipo di ingresso si tratta di procedere in due fasi:
• una prima esplorazione viene condotta con un intervallo grande di frequenza ed ha lo scopo
di identificare i punti di risonanza;
• la seconda fase viene invece condotta nell’intorno dei picchi di risonanza con incrementi
di frequenza molto piccoli allo scopo di raccogliere i dati più significativi relativi ai singoli
modi.
8.3.2
Ingresso sinusoidale con variazione continua di frequenza
E’ un caso simile al precedente, il segnale di ingresso è ancora di tipo armonico puro, ma la
variazione di frequenza del segnale è di tipo continuo (v. parr. 8.2.1 e 8.2.2); naturalmente si
deve verificare sempre che questa variazione di frequenza sia sufficientemente lenta in modo da
mantenere le condizioni di stazionarietà nella misura.
Infatti una velocità di variazione di frequenza troppo elevata porta a delle distorsioni molto
rilevanti nella valutazione delle FRF, la velocità di variazione ammissibile è condizionata dai
valori del coefficiente di smorzamento modale; apposite norme fissano i valori massimi della
velocità di variazione in frequenza.
Con questo tipo di ingresso si ottiene uno “spazzolamento” continuo in frequenza da un valore
iniziale e finale di frequenza fissato.
189
8.3.3
Ingresso periodico
Nel caso di segnale di ingresso di tipo periodico si ha un insieme discreto di frequenze contenuto
nel segnale stesso, dalla valutazione delle trasformate di Fourier dei segnali di ingresso ed uscita,
che sono periodici (v. par. 8.2.1), si ottiene la FRF del sistema dalle relazioni 8.6 e 8.7. Per
ottenere i segnali di ingresso di tipo periodico si possono usare segnali deterministici, come ad
esempio onde quadre, o segnali di tipo pseudo-random. Un vantaggio importante che viene
offerto da questo tipo di ingresso, rispetto al caso precedente di ingresso armonico semplice, è
dato proprio dalla sua caratteristica di periodicità nel campo di misura che consente di ottenere
da una singola misura le informazioni relative ad un campo, scelto dall’operatore, di frequenze,
con un incremento di frequenza fissato.
8.3.4
Ingresso random
Nel caso di ingresso di tipo random si hanno, come si è visto, tre diverse relazioni che consentono
di valutare la FRF del sistema:
Sxx (ω) = |H(ω)|2 Sf f (ω)
(8.32)
Sf x (ω) = H(ω)Sf f (ω)
(8.33)
Sxx (ω) = H(ω)Sxf (ω)
(8.34)
dove H(ω) indica la FRF del sistema e le funzioni S(ω) indicano le funzioni di densità spettrale,
P SD, precedentemente definite.
Lo strumento di misura base nell’analisi modale, in genere un analizzatore bicanale, è in grado
di calcolare le diverse funzioni che appaiono nelle 8.32, 8.33, 8.34 in forma approssimata con
diversi procedimenti numerici. In tutti i casi le funzioni di densità spettrale non possono essere
valutate esattamente se si dispone, come è ovviamente inevitabile nella misura, di un blocco di
dati di durata temporale finita.
Nel caso di segnale di ingresso random si possono valutare le FRF con diverse stime; infatti se
si indica con H 1 (ω) la FRF ottenuta dalla 8.33 si ha:
H 1 (ω) = Sf x (ω)/Sf f (ω)
(8.35)
e se si indica invece con H 2 (ω) la FRF ottenuta dalla 8.34 si ha:
H 2 (ω) = Sxx (ω)/Sxf (ω)
190
(8.36)
naturalmente le funzioni H 1 (ω), H 2 (ω) che sono calcolate a partire da diversi dati sperimentali
avranno dei valori diversi tra loro e non esattamente eguali come dovrebbero avere dal punto di
vista teorico. Quindi per valutare la affidabilità del processo di misura si definisce una funzione
di coerenza, indicata con gamma, definita dalla:
γ 2 = H 1 (ω)/H 2 (ω) =
Sf x (ω)Sxf (ω)
Sf f (ω)Sxx (ω)
(8.37)
Si può verificare che questa funzione γ deve avere sempre un valore inferiore od al massimo
uguale ad uno e che questa condizione limite di γ = 1 corrisponde alle condizioni ideali di
misura in cui le funzioni di risposta in frequenza H 1 (ω) ed H 2 (ω) sono uguali.
Naturalmente la presenza del rumore in ingresso ed in uscita disturba la misura, nell’intorno
di una frequenza di risonanza l’effetto del rumore è molto importante sul segnale di ingresso e
quindi altera maggiormente la funzione di densità spettrale relativa all’ingresso, Sf f (ω), mentre
nei punti di antirisonanza, in cui il segnale di risposta è ridotto al minimo, il rumore ha un
effetto maggiore sul segnale di risposta e quindi danneggia principalmente la funzione di densità
spettrale del segnale in uscita Sxx (ω).
Quindi nell’intorno dei punti di risonanza è probabile che la funzione H 2 (ω) dia la stima più
affidabile per la misura, mentre al contrario nell’intorno dei punti di antirisonanza è probabile
che sia la funzione H 1 (ω) a fornire la stima migliore.
Si osserva che valori molto bassi per la funzione di coerenza γ, che rendono non accettabile
la misura, possono essere causati da un comportamento non lineare della struttura e quindi
possono essere considerati come un possibile indice di comportamento in campo non lineare;
un’altra causa alla base di valori troppo bassi per la funzione di coerenza è collegata con una
risoluzione di frequenza insufficiente, che dipende dal processo di digitalizzazione e quindi dai
punti di misura in frequenza che sono disponibili, ciò avviene in particolare nell’analisi modale di
strutture che sono caratterizzate da valori dei coefficienti di smorzamento molto piccoli. Questa
seconda osservazione suggerisce una ripetizione della misura con l’impiego di un numero più alto
di punti di campionamento in frequenza.
8.3.5
Ingresso impulsivo
In questo caso il segnale di ingresso può essere ottenuto in maniera diversa, ma fondamentalmente
con:
• una variazione rapida in frequenza di un segnale sinusoidale, che viene indicata con il
termine chirp;
191
• un impulso rettangolare nel tempo.
Nel primo caso, che si ottiene con una eccitazione armonica a frequenza variabile da un valore
minimo, fmin , ad un valore massimo, fmax , si ha la possibilità di ottenere un controllo molto
preciso sia sui limiti delle frequenze contenute nel segnale impulsivo che sulle ampiezze del
segnale ed inoltre è possibile ottenere una energia elevata e quindi un rapporto segnale rumore
molto alto.
Nel secondo caso il segnale impulsivo viene ottenuto con una eccitazione di durata limitata, ad
esempio con l’impiego di un “martello” con una cella di carico che consente di misurare la forza
che viene trasmessa alla struttura: il controllo della banda di frequenza del segnale e della sua
ampiezza è molto meno diretto e preciso che nel caso del chirp, inoltre l’energia disponibile è
limitata, ma si ha il vantaggio di impiegare una strumentazione molto semplice.
Da questa eccitazione di tipo impulsivo si possono calcolare, con l’impiego numerico della FFT,
le trasformate di Fourier per l’ingresso e l’uscita e ricavare le FRF dalle 8.12 e 8.13 ed è anche
possibile, come generalmente viene fatto effettivamente, utilizzare le relazioni precedentemente
definite, 8.30, 8.31 nel caso di ingresso random e quindi passare attraverso il calcolo delle funzioni
di correlazione e delle funzioni di densità spettrale.
Le prove di analisi modale basate sull’impiego dell’ingresso di tipo impulsivo presentano dei
vantaggi sia per quanto riguarda la semplicità e la versatilità della strumentazione che per
quanto riguarda la tecnica di misura, ma presentano anche diverse limitazioni in particolare per
quanto riguarda la precisione, in genere inferiore a quella ottenibile con altri tipi di ingresso, dei
dati misurati e la difficoltà di impiego su strutture di grandi dimensioni.
8.3.6
Il sistema di eccitazione
Il sistema di eccitazione può avere strutture diverse ma fondamentalmente si tratta di uno shaker
(di tipo elettromagnetico o elettroidraulico) o di un martello con cella di carico.
• Nel caso di impiego dello shaker elettromagnetico il segnale di eccitazione può essere di tipo
random, sinusoidale con variazione continua in frequenza e di molti altri tipi. Lo shaker
elettromagnetico è costituito da una bobina posta intorno ad un albero in un campo
magnetico: applicando una corrente alternata si applica una forza all’albero dello shaker
che a sua volta trasferisce la forza alla struttura.
Naturalmente questo sistema di eccitazione deve essere collegato alla struttura in prova e
si ha quindi un effetto di inserzione che può essere rilevante a secondo delle masse in gioco.
Questo effetto viene ridotto collegando lo shaker con la struttura attraverso uno stinger
192
Figura 8.1: ingresso impulsivo nel tempo e sua trasformata di Fourier.
che è costituito da un’asta sottile e corta (spesso costruita di acciaio o nylon): questa asta
isola lo shaker dalla struttura, riduce l’effetto di massa aggiunta e permette di controllare
la direzione di applicazione della forza.
• L’impiego del martello con cella di carico consente di evitare i problemi di massa aggiunta e
consente una sperimentazione molto più rapida. Si tratta di un martello con un trasduttore
di forza sulla sezione di impatto: viene usato per dare alla struttura una eccitazione
impulsiva a larga banda di frequenza utile che è tanto più grande quanto più è limitata
la durata temporale dell’impulso.3 In Fig. 8.1 sono indicati l’andamento nel tempo e
l’andamento in frequenza di un impulso tipico. Il valore di picco della forza dipende dalla
massa del martello e dalla velocità di urto: la cella di carico posta sulla testa di impatto
permette di misurare la forza d’urto.
La durata dell’impulso, il suo contenuto in frequenza e quindi la frequenza massima di
eccitazione, dipendono dalla massa e dalla rigidezza del martello e della struttura in prova.
3
Questa affermazione può essere facilmente provata considerando un “quasi impulso” δb costituito da un
impulso rettangolare centrato nell’origine dei tempi con “base” b e altezza 1/b in modo cioè che venga rispettata
la condizione che anch’esso abbia integrale pari a uno. La sua trasformata di Fourier è pari a:
Z
b/2
F[δb ] =
−b/2
³ ´
¤
1 £ −jωb/2
b
1 −jωt
2
e
dt =
sin ω
e
− ejωb/2 =
b
−jbω
bω
2
(8.38)
La precedente mostra che l’impulso non ideale nel tempo ha uno spettro che è una funzione tipo sin x/x tendenzialmente costante nell’origine e che tende ad attenuarsi sino ad annullarsi in ω = 2π/b che quindi definisce la
banda passante.
193
La frequenza massima di eccitazione diminuisce all’aumentare della massa del martello ed
aumenta all’aumentare della rigidezza della punta di impatto del martello.
Anche se la semplicità di impiego del martello è evidente, può essere impossibile dare ad
una struttura, in particolare se di grandi dimensioni, l’energia sufficiente per l’eccitazione
ed anche la direzione di applicazione della forza può essere incerta.
8.4
Determinazione dei parametri modali dalle FRF: ipotesi di
SDOF
La determinazione dei parametri modali, che sono le frequenze naturali, i coefficienti di smorzamento modale e le deformate modali, a partire dai dati sperimentali, che sono le FRF, richiede
una scelta di base tra un approccio semplice, basato sull’idea che sia possibile isolare nell’intorno della frequenza di risonanza il singolo modo e considerare quindi una ricostruzione modale
fondata sul modello ad un solo grado di libertà (SDOF) ed un approccio più generale, a cui è certamente necessario ricorrere nel caso di modi accoppiati, basato su di una ricostruzione modale
con un modello a più gradi di libertà (MDOF). In altri termini, se si considera l’espressione di
un generico termine della matrice delle F RF in funzione dei parametri modali e nell’ipotesi di
smorzamento viscoso
Hij (ω) =
NX
modi
r=1
(r)
(r)
φ∗i φ∗i
−ω 2 + ωr2 + j2ωωr ζr
(8.39)
si può ritenere, in un intorno di ω prossimo alla risonanza p − ma, che partecipi di fatto la sola
frazione p − ma della Eq. 8.39 (ipotesi SDOF) oppure si debba considerare l’influenza di tutti
gli altri contributi.
L’ipotesi di poter lavorare su di un modello ad un solo grado di libertà richiede che i modi
presenti nel campo di frequenza che viene presentato nelle FRF siano ben separati in frequenza
e non siano fortemente smorzati, perché in questo caso si crea un accoppiamento anche tra
modi che sono relativamente lontani in frequenza. Tuttavia anche la presenza di coefficienti
di smorzamento modale molto bassi porta a dei problemi per la determinazione dei parametri
modali, perché in questo caso si hanno pochi punti significativi nell’intorno della frequenza di
risonanza, mentre per una buona ricostruzione dei parametri modali sarebbe utile la presenza di
un numero elevato di punti (almeno una decina) di misura rilevanti nell’intorno di ogni frequenza
di risonanza.
L’approccio basato sul modello ad un solo grado di libertà è comunque utile almeno per ottenere
una prima stima dei parametri modali che si possono poi valutare con maggiore precisione con
metodi più sofisticati. Si seguono in tal caso le fasi fondamentali.
194
• Si individua la frequenza propria di vibrazione corrispondente al punto di massimo locale
del diagramma del modulo della FRF in funzione della frequenza che viene considerata
come la frequenza naturale del modo, fn ; si osserva che tale valore si ritrova in ogni elemento della F RF ed inoltre può essere individuato anche tramite i punti di attraversamento
dell’asse delle frequenze della parte reale delle F RF oppure tramite i punti in cui la parte
immaginaria ha minimi o massimi relativi propri.
• Per quel che concerne la stima dello smorzamento modale si considerino le seguenti considerazioni: se, come supposto per ipotesi consideriamo il singolo grado di libertà modale,
la potenza media Pm dissipata dalla forza viscosa in un ciclo di moto armonico semplice
indotto da una forzante f (t) = F0 sin(ωt) sarebbe4
1
Pm (ω) :=
T
Z T
0
1
F2
cc ω 2 02 ·
2
k
cẋ2 dt =
³
1−
ζn
ω
ωn
´2 ¸2
+ 4ζn2
³
ω
ωn
´2
(8.42)
nella quale ogni grandezza dinamica ha significato modale e c := ζn cc . Tale potenza media
è massima, come si può facilmente provare cercando la ω per cui dPm (ω)/dω = 0, quando
ω = ωn in cui si ha
1
F2
Pmmax := cc ωn2 0 2
8
ζn k
(8.43)
Se si cercano i valori di ω per cui Pm sia la “metà” (da cui la dizione di punti di mezza
potenza) del suo valore massimo basterà imporre che la Pm (ω) data dalla Eq. 8.42 sia
uguale a Pmmax /2 (v. Eq. 8.43). Cosı̀ procedendo si ottiene
"
µ
1−
ω
ωn
¶2 #2
µ
−
4ζn2
ω
ωn
¶2
µ
=0 →
ω
ωn
µ
¶2
± 2ζn
ω
ωn
¶
−1=0
(8.44)
Ora, le quattro radici della precedente sarebbero, in corrispondenza alle due diverse scelte
per il segno,
µ
ω
ωn
¶
µ
q
1,2
ζn2
= −ζn ±
+1
ω
ωn
¶
q
3,4
= +ζn ±
ζn2 + 1
(8.45)
Tuttavia, dovendo fornire ciascuna equazione di secondo grado una radice positiva ed una
negativa per la natura dei suoi coefficienti (che presentano comunque una variazione ed
4
In tale caso, per significato stesso di F RF sarebbe
£
x(t) = F0 |H(ω)| sin(ωt + ψ)
ẋ(t) = F0 ω |H(ω)| cos(ωt + ψ)
¤
2
(8.40)
con H(ω) = 1/k 1 − (ω/ωn ) + j2 (ω/ωn ) ζn e quindi, come già più volte ricordato
|H(ω)|2 =
1
½h
k2
1−
¡
ω
ωn
¢2 i2
195
+
4ζn2
¡
ω
ωn
¢2
¾
(8.41)
una permanenza di segno), non potrà che eliminarsi per ciascun gruppo di soluzioni la
radice (reale) più piccola rimanendo allora
µ
ω
ωn
¶
q
2,4
= ∓ζn +
ζn2 + 1
(8.46)
Se si rinominano allora queste due radici con ω1 e ω2 , si ottiene facilmente per differenza5
ζn =
ω2 − ω1
2ωn
(8.48)
che rappresenta una stima dello smorzamento viscoso sulla base delle frequenze ω1 e ω2 :
resta ora da dire come valutare ω1 ed ω2 in base alla conoscenza della H(ω). Si presentano
nel seguito due strade possibili: una basata sulla conoscenza del modulo di H(ω) e l’altra
sulla conoscenza della sua parte reale.
– Indicando con |H|2mp il valore assunto dal modulo della F RF in corrispondenza delle
due radici, si ha, considerando la Eq. 8.41 e la prima delle Eq. 8.44,
¯
¯
¯
¯
¯
1
2
¯
(
)
|H|mp =
·
¸
³ ´2 2
³ ´2 ¯¯
¯
k 2 1 − ωωn
+ 4ζn2 ωωn
¯
¯
¯
¯
1
¯
=
³ ´2 ¯
¯
k 2 8ζn2 ωωn ¯
(8.49)
ω=ω1 ,ω2
ω=ω1 ,ω2
Infine, osservando che, dalla Eq. 8.41, |H|2max = |H(ω)|2ω=ωn = 1/4k 2 ζn2 , si ha,
considerando l’Eq. 8.46,
|H|2mp =
1
³
p
´ '
k 2 8ζn2 1 + 2ζn2 ∓ 2ζn ζn2 + 1
2
Hmax
2
(8.50)
in cui si sono trascurati al denominatore i termini di smorzamento di ordine superiore
al secondo. Per cui, partire dal valore massimo del modulo della FRF in funzione
della frequenza, Hmax , si valutano i punti a mezza potenza, di frequenza f1 ed f2 ,
√
corrispondenti ai valori Hmax / 2 a sinistra e a destra del valore di picco; noti i punti
a mezza potenza si può valutare il coefficiente di smorzamento modale utilizzando la
Eq. 8.48 con le relazioni:6
ζn =
5
Df
ηn
'
2
2fn
(8.52)
Si osservi che si ha inolte
ωn2 = ω1 ω2
(8.47)
6
Se non si considerassero le approssimazioni fatte nel trascurare i contributi di ordine più elevato di
smorzamento si sarebbe ottenuto
ζn =
[(f2 + f1 )(f2 − f1 )]
4fn2
196
(8.51)
dove Df indica la larghezza di banda a mezza potenza:
Df = f2 − f1
(8.53)
e dove con ηn si indica il fattore di perdita che è legato al coefficiente di smorzamento
dalla ηn = 2ζn .
– I punti di mezza potenza possono essere determinati pure dalla stima dei punti di
massimo e minimo relativi propri della parte reale di H(ω) (v. Fig. 7.1). Infatti la
parte reale (v. Eq. 7.41) è data da
Re[H(ω)] =
(ωn2 − ω 2 )
m[(ωn2 − ω 2 )2 + 4ζn2 ωn2 ω 2 ]
(8.54)
0 =
dRe[H(ω)]
dω
(8.55)
³
´2
Quindi imponendo
si ottiene l’equazione
0 =
ωn2 − ω 2
− 4ζn2 ωn2
(8.56)
che è identica alla Eq. 8.44 (il che dimostra che le radici trovate sono effettivamente
punti di mezza potenza) e che ha soluzioni ω1 e ω2
ω12 = ωn2 (1 − 2ζn )
per ω 2 < ωn2
(8.57)
ω22 = ωn2 (1 + 2ζn )
per ω 2 > ωn2
(8.58)
Facendo la differenza tra le precedenti si ottiene quindi (v. pure Eq. 8.51 in nota)
ζn =
(ω2 + ω1 )(ω2 − ω1
4ωn2 )
(8.59)
la quale, seguendo l’approssimazione ωn = (ω1 + ω2 )/2 fornisce ancora la stima data
dalla Eq. 8.48.
Si aggiunge infine che se invece della H(ω) (recettanza) si disponesse delle funzione di
risposta in termini di accelerazione Ha (ω) (inertanza) come è nella consuetudine delle
misure basate sull’uso di accelerometri, si avrebbe, ad esempio nel caso dell’approccio con
parte reale
Re[Ha (ω)] =
−ω 2 (ωn2 − ω 2 )
m[(ωn2 − ω 2 )2 + 4ζn2 ωn2 ω 2 ]
197
(8.60)
i cui punti di stazionarietà risulterebbero in tal caso
ωn2
= ωn2 [1 − 2ζn + O(ζn2 )]
1 + 2ζn
ωn2
=
= ωn2 [1 + 2ζn + O(ζn2 )]
1 − 2ζn
ω12 =
(8.61)
ω22
(8.62)
che mostra che, a parte le solite approssimazioni sull’ordine dello smorzamento, si ottengono le stesse radici fornite dalle Eqq. 8.57 e 8.58 sulla base dei punti di stazionarietà
della parte reale della recettanza.
• Per quanto riguarda la stima della r − ima deformata modale nei Nmodi punti di misura
sperimentali nell’ambito delle stesse ipotesi di SDOF, si consideri nota dalle misure una
riga di F RF , ad esempio la prima
H11 (ω) H12 (ω) H13 (ω) ...
H1Nmodi (ω)
(8.63)
Dalla Eq. 8.39, supponenendo noti per il suddetto modo ωnr e ζr , si ha per ω = ωnr
(r)
H11 (ωnr ) '
(r)
φ∗1 φ1∗
j2ωn2 r ζr
(r)
φ1∗
→
=−
2ζr ωn2 r
(r)
φ∗1
HI11 (ωnr )
(8.64)
nella quale si è utilizzato il fatto che in corrispondenza della risonanza la parte reale delle
F RF è nulla. Si possono allora scrivere, applicando analogo ragionamento sugli elementi
della medesima riga della matrice delle F RF ,
(r)
(r)
φ∗ φ∗
H12 (ωnr ) ' 1 2 2
j2ωnr ζr
→
φ∗2
(r)
=−
2ζr ωn2 r
(r)
φ∗1
HI12 (ωnr )
..............
(8.65)
H1Nmodi (ωnr ) '
(r)
(r)
φ∗1 φ∗Nmodi
j2ωn2 r ζr
→
(r)
φ∗Nmodi =
2ζr ωn2 r
−
(r)
φ∗1
HI1Nmodi (ωnr )
(8.66)
Pertanto, si ottiene per le componenti dell’r − mo modo, ponendo cr := −2ζr ωn2 r /φ∗1

(r)

φ1∗


 ∗(r)
φ2

...


 ∗(r)
φ
Nmodi









(r)

HI11 (ωnr ) 

HI12 (ωnr ) 
= cr



...







HI1Nmodi (ωnr )
(8.67)
la quale mostra come, a parte un fattore cr inessenziale ai fini della sua stessa definizione,
le parti immaginarie relative ad una riga della matrice delle F RF valutate in corrispondenza della frequenza di risonanza forniscono una stima delle deformata modale del modo
corrisponente alla risonanza medesima.
198
Si aggiunge inoltre che si possono dedurre le medesime conclusioni se si considerassero
F RF con in uscita accelerazioni,7 cioè se, in luogo dell’Eq. 8.39, si considerasse la
Hij (ω) =
NX
modi
r=1
(r)
(r)
−ω 2 φ∗i φ∗i
−ω 2 + ωr2 + j2ωωr ζr
(8.68)
Ripercorrenndo difatti quanto mostrato in precedenza si perverrebbe naturalmente ad un
risultato analogo dato dalla Eq. 8.67 con la sola differenza che si sarebbe definita come
(r)
costante la cr := 2ζr /φ1∗ .
Osservazioni
Naturalmente questo approccio presenta molte limitazioni: è evidente dalla 8.51 che la stima
del residuo e del fattore di smorzamento modale dipendono dalla valutazione del valore di picco
del modulo della FRF che è stata misurata: in particolare si hanno difficoltà nel caso di modi
poco smorzati a causa del numero molto limitato di punti che si hanno a disposizione all’interno
della larghezza di banda a mezza potenza.
Anche l’ipotesi di base per la quale si considerano come separati i modi presenti nella banda di
frequenza scelta per il segnale non è corretta perché esiste sempre una certa influenza, sensibile
almeno per i modi più vicini, sul comportamento alla risonanza del generico modo di tutti i
modi fondamentali.
Diverse tecniche sono state proposte per la ricostruzione dei parametri modali, esse sono generalmente disponibili su tutti i software specialistici nel campo dell’analisi modale, e consentono,
quando è ritenuto necessario, di utilizzare per la ricostruzione dei parametri modali un modello
a più modi.
Si osserva che si possono ottenere delle valutazioni migliori dei parametri modali dall’esame
separato della parte reale e della parte immaginaria della FRF nell’intorno della risonanza:
ad esempio le frequenze corrispondenti ai punti di massimo della parte reale permettono di
valutare la larghezza di banda a mezza potenza e la frequenza di risonanza con maggiore facilità
anche se rimangono i problemi legati alla risoluzione in frequenza ed al numero limitato di
punti disponibili nella larghezza di banda a mezza potenza. Dal valore di picco della parte
immaginaria in funzione della frequenza è possibile ottenere una stima migliore della ampiezza
della deformata modale.
Come sempre la valutazione delle frequenze di risonanza dei vari modi presenti nella banda di
frequenza misurata è più semplice e precisa mentre maggiori problemi sono legati alla determinazione delle deformate modali, che richiedono un numero elevato di punti di misura e presentano
7
Si noti che tale eventualità è quella che avviene di norma nella pratica delle misure dinamiche a motivo dell’uso
diffuso dei sensori accelerometrici.
199
delle incertezze maggiori, e dei coefficienti di smorzamento modale che, in generale, tendono ad
essere sovrastimati. Si può valutare una imprecisione di qualche per mille per la misura delle
frequenze di risonanza mentre imprecisioni molto più grandi si hanno per la valutazione dei
coefficienti di smorzamento.
8.5
Funzioni dell’analizzatore e problemi di analisi del segnale
Lo strumento base nel campo dell’analisi modale è l’analizzatore di spettro, bicanale nella configurazione più semplice, che si riferisce ad un sistema SISO (Single Input Single Output) ma che
può essere a più canali sia per il segnale di ingresso che per quello di uscita, quando si riferisce
ad un sistema MIMO (Multi Input Multi Output). Questo strumento è in grado di calcolare
diverse caratteristiche dei segnali di ingresso e di uscita a partire dal calcolo della trasformata
discreta di Fourier, FFT, da questa è possibile calcolare le trasformate di Fourier e le funzioni
di densità spettrale che, come si è detto, sono generalmente impiegate per la valutazione delle
FRF.
Il segnale di ingresso viene discretizzato con un convertitore analogico digitale, A/D, e poi
registrato come una successione di N valori intervallati da un tempo di campionamento, Ts , per
un tempo totale di osservazione, indicato con T dove T = N Ts .
Se si accetta l’ipotesi, insita nell’uso della trasformata di fourier discreta, che il segnale osservato
nel tempo T sia periodico proprio con periodo T si può calcolarne la trasformata discreta di
Fourier ed ottenere cosı̀ una stima della trasformata di Fourier stessa.
Vi sono delle relazioni che legano tra loro la durata, T , del tempo di osservazione del segnale,
la pulsazione di campionamento, indicata con ωs , il numero dei dati nel tempo che vengono
considerati nella misura, indicato con N , il campo di pulsazione che si considera per lo spettro
del segnale, determinato da ωmax e la risoluzione in pulsazione usata nell’analisi del segnale
indicata con ∆ω; in particolare si ha:
ωmax = ωs /2 = 2πfs /2 = 2πN/2T = πN/T
∆ω
π2.56
1.28
∆f =
=
=
2π
2πT
T
(8.69)
(8.70)
nelle quali si sono utilizzate la tesi del teorema del campionamento ωs = 2ωmax per evitare
il fenomeno dell’aliasing (v. Par. 8.5.1), l’espressione della risoluzione (o passo) in frequenza
∆ω = ωmax /NR∗ in cui NR∗ è il numero di righe spettrali e cioè i campioni in frequenza della
trasformata forniti dall’algoritmo FFT i quali sono normalmente in numero pari a NR∗ = N/2.56.
Il numero dei dati nel tempo che è opportuno acquisire nella misura, indicato con N , viene fissato,
in genere con la possibilità di scelte diverse a seconda delle caratteristiche dell’analizzatore:
200
questo numero si riferisce quasi sempre a potenze di due e valori tipici sono 1024, 2048, 4096,
8192, 16384, 32768 e quindi il campo di frequenza, ωmax , e la risoluzione in pulsazione, ∆ω,
ed in frequenza, ∆f , sono legati alla durata della misura. Le possibilità offerte dai processori
industriali, tipo lo 80486 ad esempio, consentono ormai di lavorare con N molto elevati e di
ottenere quindi delle risoluzioni in frequenza molto piccole.
Si osserva, dalla 8.70, che in tutti i casi per ottenere dei valori molto piccoli per la risoluzione in
frequenza bisogna lavorare con tempi di osservazione del segnale molto lunghi; se si dispone di un
numero molto alto di punti di misura, N , si ha il vantaggio di acquisire delle misure su di un campo di frequenza molto ampio, ma il tempo di osservazione necessario per ottenere la risoluzione
in frequenza fissata è condizionato soltanto dalla 8.70 e quindi dal tempo di osservazione T .
La necessità di impiegare un tempo di osservazione lungo, per ottenere una buona risoluzione
in frequenza può diventare un punto critico nella sperimentazione in particolare nel caso di
strutture, come quelle tipiche nel campo delle grandi strutture spaziali, che sono caratterizzate
da frequenze proprie molto basse. In questo caso infatti la risoluzione in frequenza necessaria per
la misura diviene molto piccola ed il tempo di osservazione che ne consegue diventa praticamente
impossibile; il problema è reso ancora più difficile nel caso in cui i valori dei coefficienti di
smorzamento modale siano molto bassi, a causa del problema del troncamento del segnale che è
ancora rilevante all’interno del tempo di osservazione.
Diversi aspetti dell’analisi digitale danno luogo a problemi che sono collegati alle approssimazioni
insite nel procedimento di discretizzazione ed alla necessità pratica di osservare il segnale per
un tempo di acquisizione finito e molto limitato.
Le problematiche relative sono legate ai problemi generali della trattazione dei segnali che vanno
molto oltre al campo specifico dell’analisi modale; questi problemi sono di grande importanza
pratica e la loro conoscenza può essere necessaria per giungere all’acquisizione e all’impiego
di dati sperimentali che siano veramente affidabili. Nel seguito si riportano, in forma molto
semplificata, alcune di tali problematiche.
8.5.1
Aliasing
E’ un fenomeno che è legato al processo di discretizzazione del segnale continuo x(t): se la
frequenza usata per il campionamento del segnale ωs è presa
ωs = 2ωmax
201
(8.71)
Figura 8.2: modulo dello spettro teorico di un segnale e sua frequenza di campionamento fissata
ωs .
ma è troppo bassa rispetto alla composizione effettiva in frequenza del segnale8 si ha un effetto
di distorsione che è dovuto alla presenza significativa di frequenze del segnale che sono al di
fuori della banda passante prevista dalla scelta della frequenza di campionamento; questo porta
all’introduzione di componenti “false” a bassa frequenza che derivano in realtà dalle componenti
ad alta frequenza fuori banda che vengono “riflesse” all’interno della banda passante, come
indicato nelle Figg. 8.2 e 8.3. Infatti la frequenza di campionamento, scelta in base alla banda
passante desiderata, non è in grado di ricostruire correttamente i segnali con ω > ωmax che
vengono erroneamente interpretati come segnali a frequenza ω ∗ < ωmax .
La distorsione
nello spettro del segnale si può spiegare con il fatto che le componenti del segnale che sono state
“tagliate”, cioè che si trovano a frequenze superiori alla metà della frequenza di campionamento
vengono ad essere riflesse, da cui il nome “aliasing”, nella banda passante scelta per il segnale,
compresa tra 0 ed ωs /2.
Nella Fig. 8.2 viene indicato lo spettro “vero” del segnale ed in Fig. 8.3 lo spettro distorto,
ottenuto dalla somma delle componenti “vere” e “riflesse”.
La soluzione a questo problema sta nell’impiego di filtri “passa basso” che hanno il compito di
“tagliare” e quindi di eliminare le frequenze presenti nel segnale al di sopra del campo di frequenze
che è stato indicato con la scelta della banda passante. In genere l’impiego dei filtri “anti aliasing”
8
Naturalmente, nel caso di strutture continue che presentano un numero illimitato di frequenze fondamentali,
sono sempre presenti dei modi con ω > ωmax .
202
Figura 8.3: modulo dello spettro teorico di un segnale e quello dello spettro effettivo valutato
campionando il segnale con frequenza ωs .
viene disposto automaticamente con la scelta stessa della banda passante nell’analizzatore in
quanto la presenza di questi filtri è assolutamente necessaria per ottenere dei dati sperimentali
che siano effettivamente utilizzabili nell’analisi modale: questo problema è quindi in genere
“trasparente” per l’operatore che non deve compiere nessuna operazione per eliminare questo
effetto.
8.5.2
Leakage (dispersione) e windowing
E’ un fenomeno che è legato alla durata limitata del tempo di osservazione del segnale ed al fatto
che il segnale, per la valutazione numerica delle F RF con il calcolo delle F F T viene considerato
come periodico con un periodo pari al tempo di osservazione T . Se si considera un segnale
armonico semplice e se la durata del tempo di osservazione è tale da corrispondere esattamente
con il periodo del segnale o con un multiplo intero di periodi, si ottiene lo spettro effettivo, che
nell’esempio riportato in Fig. 8.4 è costituito da una sola riga alla frequenza, f1 , del segnale
armonico semplice. Se invece il tempo di osservazione non corrisponde esattamente al periodo
del segnale, come avviene in generale, si ha una discontinuità nel segnale che viene reso periodico,
ma non ha valore nullo alla fine del periodo e si ha una distorsione nello spettro. Esso si presenta
con più righe, invece della sola riga a frequenza f1 che rappresenta lo spettro “vero” e con una
“diffusione” di energia su altre righe nello spettro che è provocata dalla “discontinuità ” nel
tempo dovuta al processo numerico di periodicizzazione forzata.
203
Figura 8.4: segnali con relativi spettri discreti: effetto della dispersione (da Rif. [9]).
Con questo procedimento si modifica il segnale di interesse con l’impiego di un altro segnale del
tempo prima di eseguire la trasformata di Fourier in modo da ridurre i problemi di “leakage”:
si tratta in sostanza di portare a zero il segnale allo interno del tempo di osservazione in modo
da eliminare la discontinuità nel tempo che si crea per effetto della periodicizzazione.
Se si indica con w(t) la funzione del tempo che costituisce la finestra il segnale che viene analizzato
è dato dal prodotto del segnale allo studio, x(t), e della finestra temporale w(t):
xw (t) = x(t) w(t)
ovvero, nel dominio della frequenza
x̃w (ω) =
Z ∞
−∞
w̃(σ)x̃(ω − σ)dσ
(8.72)
(8.73)
In un analizzatore sono sempre disponibili delle funzioni diverse per le “finestre” temporali, che
possono essere di tipo rettangolare, esponenziale, di Hanning: esse vengono scelte a seconda
del tipo del segnale di ingresso: in alcuni sistemi di misura è anche possibile definire a scelta
dell’operatore delle funzioni del tempo da usare come “finestre” per scopi particolari. In Fig.
8.5 sono riportate alcune funzioni classiche.
Le quattro finestre più comunemente impiegate
sono definite a partire dalla funzione:
w(t) = a0 − a1 cos(ω0 t) + a2 cos(2ω0 t) − a3 cos(3ω0 t) + a4 cos(4ω0 t)
w(t) = 0
per t qualsiasi
per 0 ≤ t ≤ T
(8.74)
Si ottiene cosı̀ (v. Fig. 8.6):
204
Figura 8.5: effetto di diverse finestre su un segnale armonico nel dominio del tempo e della
frequenza (da Rif. [9]).
205
• finestra rettangolare: a0 = 1; a1 = a2 = a3 = a4 = 0;
• finestra di Hanning: a0 = a1 = 1; a2 = a3 = a4 = 0;
• finestra di Kaiser-Bessel: a0 = 1; a1 = 1.298; a2 = 0.244; a3 = .003;a4 = 0;
• finestra Flat top: a0 = 1; a1 = 1.933; a2 = 1.286; a3 = .388; a4 = 0.32;
dove ω0 indica la pulsazione fondamentale ed i coefficienti ak sono scelti in modo che le aree
determinate dalle diverse finestre sono uguali.
E’ ovvio che la finestra rettangolare “pesa” in maniera uguale tutti i dati, mentre le altre finestre
oltre a riportare a zero i valori iniziale e finale danno anche una importanza maggiore ai punti che
sono al centro della finestra di osservazione o ai valori iniziali nel caso della finestra esponenziale.
Per quanto riguarda l’impiego delle diverse finestre a seconda del segnale si ha:
• segnali periodici: particolarmente adatta la finestra di Hanning mentre quella di KaiserBessel è adatta per selettività in frequenza e quella Flat-top per una buona determinazione
in ampiezza.
• segnali impulsivi: particolarmente adatta la finestra rettangolare, insieme a quella esponenziale; in alcuni casi può essere usata quella di Hanning;
• segnali random: viene usata principalmente la finestra di Hanning ed in qualche caso quella
di Kaiser-Bessel.
8.5.3
Zoom
Come si è visto esiste un problema legato alla risoluzione in frequenza, nell’analizzatore si può
lavorare con un certo numero di righe in frequenza, tipicamente 400, 800, 1600, 3200, 6400,
12800 a seconda del numero di dati che si possono acquisire nella misura e la risoluzione in
frequenza è legata al valore massimo della frequenza:
∆f = fmax /NR =
fs
1
N
2.56
= 1.28/T
=
=
=
2NR
2Ts NR
2T NR
2T
(8.75)
dove NR indica il numero di righe in frequenza e T il tempo di osservazione; quindi una volta
fissato NR la risoluzione in frequenza ∆f si riduce all’aumentare della frequenza massima che
si considera per il segnale, cioè all’aumentare della banda di frequenza. Il numero di righe in
frequenza è legato al numero di dati acquisiti dalla relazione: NR = N/2.56, come già detto una
risoluzione molto elevata in frequenza richiede un tempo di osservazione molto lungo.
206
Figura 8.6: finestre rettangolare, Hanning, Kaisler-Bessel e flat-top.
Con lo “zoom” viene offerta la possibilità di traslare la misura nell’intorno della frequenza di
interesse in modo da utilizzare le righe rese disponibili dall’algoritmo trasformata di Fourier
veloce che fornisce comunque i dati dalla frequenza nulla alla frequenza di interesse ed ottenere
cosı̀ una risoluzione molto elevata. Ad esempio se il segnale è di tipo armonico semplice del tipo:
x(t) = A sin(ωt)
(8.76)
e viene moltiplicato per una funzione:
x∗ (t) = cos(ω1 t)
(8.77)
xZ (t) = x(t) x∗ (t) = A sin(ωt) cos(ω1 t)
(8.78)
si ottiene:
che diviene:
xZ (t) =
A
[sin[(ω − ω1 )t] + sin[(ω + ω1 )t]]
2
(8.79)
se si elimina con un filtraggio il termine a frequenza più alta si ottiene una traslazione del segnale
dalla sua pulsazione originaria ω verso una frequenza più bassa con la pulsazione ω1 che si è
scelta con la funzione x∗ (t) e quindi il segnale da “zoommare”, indicato con xZ (t) risulta traslato
sulla pulsazione (ω − ω1 ).
Esistono tecniche diverse per ottenere questo risultato, ma in tutti i casi i tempi necessari per
l’osservazione del segnale si allungano in proporzione al fattore di zoom. Si osserva che una
207
risoluzione in frequenza molto piccola è necessaria nel caso di strutture che abbiano coefficienti
di smorzamento modale molto bassi, in modo da poter ottenere dei dati significativi da più
punti di misura ed anche nel caso in cui siano presenti dei modi strettamente accoppiati, e
naturalmente per strutture con modi fondamentali a frequenze molto basse.
8.5.4
Procedimenti di media
L’effetto del rumore sulla misura viene ridotto con l’impiego di un numero, che può essere anche
molto elevato, di medie successive per la valutazione di una singola misura; il numero di medie
che si sceglie è legato al livello di affidabilità statistica che si vuole ottenere e viene limitato
dal tempo disponibile e quindi dal “costo” della misura. Una indicazione per la valutazione del
numero di medie necessarie si può avere dalla misura della coerenza γ 2 .
Nel caso di impiego di ingresso random viene anche utilizzata una tecnica di sovrapposizione nella
valutazione delle medie in cui le n misure non vengono ottenute con dati completamente diversi e
quindi con un tempo di osservazione totale pari ad nT , se con T si indica il tempo di osservazione
di una singola misura e con n il numero delle medie, ma in un tempo di molto inferiore ad
nT ricorrendo alla sovrapposizione parziale nel tempo della misura. Questo significa che ogni
dato comprende una parte del segnale già utilizzato per la misura precedente riducendo cosı̀ il
tempo totale di misura: il procedimento è naturalmente vantaggioso rispetto alla utilizzazione
sequenziale dei dati disponibili, e consente di impiegare un numero di medie molto elevato.
8.5.5
Un esempio di analizzatore e generatore di segnale
Il sistema DIFA DSA (Dynamic Signal Analyzer) 220 è un sistema di misura basato su microprocessore (si veda pure l’App. D). Può trattare fino a 20 canali di ingresso, ognuno con ICP
(Integrated Circuit Piezoelatric), e due canali di uscita per la generazione dei segnali.
Il D-TAC (Difa Transfer Analysis and Control software) provvede a tutte le funzioni di acquisizione dei dati, trattazione dei segnali e preparazione di file con interfaccia di tipo WIMP
(Windows Icons Menus Pointer).
Il software consente la valutazione e la presentazione delle funzioni di misura nel dominio del
tempo e nel dominio della frequenza con possibilità diverse.
Il sistema DSA 220 prevede 20 canali di ingresso, 2 canali di uscita, 1 ingresso di sincronismo
ed un canale di ingresso/uscita: il processore centrale è un 80486 con 8 MB di RAM e lavora
con il sistema operativo WINDOWS 3.1.
Il sistema DSA comprende tre sezioni
208
Figura 8.7: schema a blocchi del sistema DIFA DSA.
• acquisizione dati: fino a 20 canali di ingresso, ognuno con condizionamento del segnale,
filtraggio anti-aliasing e conversione analogico/digitale, A/D.
• trattazione del segnale: filtraggio del segnale e calcolo delle FFT (Fast Fourier Transforms)
• generazione del segnale: due segnali in uscita dal DSP (Digital Signal Processor), tecniche
di filtraggio analogico e digitale, conversione digitale/analogica, D/A.
Ogni canale di ingresso dispone di un amplificatore con guadagno regolabile e programmabile
per portare la tensione di ingresso fino al livello di 32 Vpp . I trasduttori di tipo ICP si possono
collegare direttamente ai canali di ingresso.
Un filtro ETD (Equal Time Delay) provvede al filtraggio anti-aliasing prima di inviare il segnale
al convertitore analogico digitale ADC (Analog Digital Converter), successivamente il segnale
viene inviato al DSP.
Un ingresso per il sincronismo, SYNC, permette di usare un innesco, trigger, esterno per dare
inizio all’acquisizione dei dati. Il diagramma a blocchi del sistema viene riportato in Fig. 8.7. I
canali di ingresso, attraverso un amplificatore a guadagno regolabile, possono portare la tensione
di uscita tra 100 mV (200mVpp ) e 16 V (32Vpp ): si può aumentare la sensibilità nella misura
di segnali di piccolo livello ed utilizzare in maniera ottimale il convertitore analogico digitale,
ADC.
Un punto essenziale per il funzionamento corretto del sistema è nella capacità di filtraggio anti209
Figura 8.8: condizioni di pre- e post-trigger.
aliasing prima del convertitore analogico digitale. Il filtraggio anti-aliasing del DSA segue le
regole base:
• nessuna attenuazione e risposta lineare in fase nella banda passante, definita allo 80% della
frequenza di Nyquist (che è pari alla metà della frequenza di campionamento);
• attenuazione a −90 dB fuori dalla banda passante, in modo da ottenere una protezione
completa dall’aliasing.
Il sistema di filtraggio anti-aliasing si regola automaticamente con la scelta della banda di misura
e quindi con la scelta del campionamento.
La sezione del DSP (Digital Signal Processor) dispone di due microprocessori dedicati: un
Motorola 56001 per l’acquisizione dei dati ed un Analog Devices 2105 per la generazione dei
segnali. Per dare inizio alla misura il DSA può utilizzare diverse modalità di innesco; non
appena una misura viene iniziata dall’operatore, i dati vengono raccolti dal DSP ed una routine
controlla da questi dati se la condizione di innesco scelta dall’operatore è rispettata: in questo
caso inizia il processo di acquisizione e trattazione dei dati.
Si possono scegliere registrazioni in modalità pre- e post-trigger, con pre-trigger da 0 al 100% e
post-trigger da 0 al 399% del blocco di acquisizione; in Fig. 8.8 sono riportati degli esempi di
condizioni pre- e post-trigger.
210
Capitolo 9
Tecniche sperimentali di analisi
modale
9.1
Confronto tra diverse tecniche di analisi modale
La determinazione sperimentale dei parametri modali, cioè delle frequenze naturali, dei coefficienti di smorzamento modale e delle deformate modali è di grande importanza per diversi aspetti
nello studio dinamico delle strutture aeronautiche e spaziali come nella valutazione della risposta
della struttura, nei problemi di controllo e nella rivelazione di danneggiamenti attraverso l’analisi
modale ripetuta nel tempo della struttura.
Si sono esaminate alcune considerazioni sulle tecniche di analisi modale che sono fondate sulla
determinazione sperimentale delle FRF impiegando un solo punto di sollecitazione. Queste
tecniche offrono la possibilità di operare sperimentalmente con tempi di acquisizione dei dati
che sono molto ridotti rispetto ai metodi classici basati sulla risonanza dei singoli modi della
struttura, che vengono in genere indicati come metodi di appropriazione modale.
Si presentano però diversi problemi sperimentali che sono connessi con la necessità di disporre
di una risoluzione in frequenza molto piccola, con gli effetti del leakage e più in generale con
la difficoltà di ottenere una grande precisione nei dati sperimentali come può invece essere
necessario in diversi casi come ad esempio nello studio di strutture ad alta densità modale.
Si riporta quindi, in forma sintetica, un confronto con le altre tecniche che sono di possibile
impiego nel campo dell’analisi dinamica sperimentale.
211
9.1.1
Tecniche di risonanza, appropriazione modale
Le tecniche che sono basate sulla eccitazione della struttura in condizioni di risonanza sul singolo
modo consentono, in linea di principio, di raggiungere una grande precisione nella valutazione
dei parametri modali ma richiedono una complessità maggiore dell’apparato sperimentale ed un
tempo più lungo per la sperimentazione stessa. Inoltre si possono presentare dei problemi collegati con l’insorgere di non linearità ed anche con possibili danneggiamenti che possono avvenire
nel corso della sperimentazione: in particolare nel caso di strutture che sono caratterizzate da
valori molto piccoli dei coefficienti di smorzamento modale e che possono presentare risposte
molto grandi in condizioni di risonanza.
In questo approccio tutta l’energia disponibile viene impiegata sul singolo modo e si ottiene cosı̀
un rapporto segnale rumore molto favorevole; la complessità della misura è legata alla ricerca
del vettore di eccitazione che consente l’appropriazione corretta del modo, questa ricerca deve
essere fatta per tutti i modi di interesse e può essere aiutata dallo impiego preliminare di tecniche
basate sulla determinazione delle FRF che consentono una prima indicazione sulle deformate
modali.
La complessità dell’apparato sperimentale dipende non solo dalla necessità di impiegare un
numero relativamente elevato di sistemi di eccitazione, ma anche
dal fatto che essi devono essere controllati in ampiezza, frequenza e fase.
Si nota che i coefficienti di smorzamento modale devono essere ottenuti a parte da prove apposite
di decadimento libero: la misura dello smorzamento tende ad essere sovrastimata anche per gli
effetti dovuti alla presenza dei sistemi di eccitazione che sono collegati con la struttura in prova
e quindi ne alterano il comportamento.
Lo studio dinamico del satellite Galileo ha costituito un esempio, di particolare importanza nel
campo aerospaziale, in cui si sono utilizzati diversi metodi di analisi dinamica e rappresenta un
caso molto interessante per considerazioni di confronto tra tecniche diverse di analisi modale.
9.1.2
Tecniche FRF a più ingressi
Anche nell’ambito dell’approccio basato sulla determinazione delle FRF è possibile impiegare
delle tecniche di eccitazione a più ingressi: tra questa si distingue la tecnica che utilizza due
canali di ingresso e che permette di ottenere la misura contemporanea di due colonne della
matrice delle FRF. Questo fatto può aiutare, ad esempio con la combinazione lineare delle
colonne della matrice, a separare i modi e, nel caso di eccitazione simmetrica, permette, con
somme e sottrazioni delle colonne, di mettere in risalto separatamente i modi simmetrici e quelli
212
antisimmetrici.
Nel caso di più canali di eccitazione si può ottenere una distribuzione più uniforme di energia
sulla struttura il che migliora il rapporto segnale rumore in tutti i punti di misura e consente
l’uso di segnali in ingresso anche a livelli molto bassi e quindi limita la presenza di fenomeni
locali di non linearità. Si ottiene cosı̀ la misura contemporanea di due o più colonne della matrice
delle FRF e questo permette, attraverso una combinazione lineare delle colonne della matrice,
di porre in evidenza i singoli modi della struttura.
Questa tecnica promette di unire insieme gli aspetti positivi che sono legati ai metodi di appropriazione modale con eccitazione sinusoidale pura con i vantaggi che sono tipici per le tecniche
di eccitazione a larga banda.
9.1.3
Tecniche nel dominio del tempo
Per superare i limiti che sono propri delle tecniche che operano nel dominio della frequenza si è
rivolta l’attenzione ad un approccio diverso che opera invece nel dominio del tempo, direttamente
sulle funzioni di risposta cosı̀ come vengono registrate nelle prove sperimentali.
L’idea di base è molto semplice, partendo dalle equazioni del moto:
Mẍ + Cẋ + Kx = f (t)
(9.1)
si possono ottenere i parametri modali del sistema se si è in grado di misurare spostamenti,
velocità ed accelerazioni. Cosı̀ la risposta libera del sistema si può esprimere con la:1
x(t) =
2n
X
φ(i) eµi t + n(t)
(9.3)
i=1
dove φ(i) indicano le deformate modali e µi indicano le radici caratteristiche o poli del sistema
meccanico che sono legate alle frequenze naturali ed ai coefficienti di smorzamento, ad esempio
nel caso di smorzamento modellizzabile come smorzamento viscoso, dalla
q
µi = −ζi ωni ± jωni
1
1 − ζi2
(9.4)
In realtà la risposta libera del sistema sarebbe data da
x(t) =
2n
X
ci φ(i) eµi t
(9.2)
i=1
essendo le ci delle costanti complesse dipendenti dalle condizioni iniziali: ora per quello che si dirà nel seguito,
la presenza di queste costanti, che hanno l’unico ruolo di combinare linearmente le risposte impulsive elementari
date dai singoli termini della Eq. 9.1, non cambia i risultati a cui si perverrà nelle successive sezioni 9.2 e 9.3.
213
(v. App. B parr. B.3 e B.4) ed n(t) indica il rumore che è associato alla misura. Il problema
definito dalla 9.3 è quello di valutare µi e φ(i) data la misura nel tempo della risposta libera
x(t).
Si tratta di un problema non lineare in cui l’effetto del rumore sulla misura è molto importante;
anche il numero dei modi che sono effettivamente presenti nella risposta libera che viene misurata
nella sperimentazione è incognito.
Diversi metodi sono stati proposti per la soluzione del problema ma in tutti i casi sono presenti
alcune difficoltà fondamentali:
• il problema è non lineare e richiede quindi l’impiego di algoritmi iterativi per la soluzione;
• il numero dei modi presenti nella risposta libera che viene misurata sperimentalmente è
incognito;
• l’errore dovuto alla presenza del rumore è importante.
Per quanto riguarda l’effetto delle non linearità il metodo di Prony (o metodo degli esponenziali
complessi) ha ricondotto il problema ad uno schema polinomiale i cui coefficienti sono calcolati
dalle risposte del sistema;2 si osserva che la determinazione delle radici di un polinomio presenta
dei problemi numerici in particolare se il polinomio è di ordine elevato e se vi sono delle radici
vicine.
Si nota che con un sovradimensionamento del sistema, cioè con la ricerca di un numero di
modi superiore a quello dei modi effettivamente presenti è possibile ridurre l’effetto dovuto alla
presenza del rumore. L’impiego delle tecniche che operano nel dominio del tempo è rimasto
molto limitato fino agli anni ’70 quando lo sviluppo di nuovi algoritmi ha riportato l’attenzione
su questo approccio. Un interesse particolare, per le sue potenzialità di impiego, è presentato
dalla tecnica proposta da Ibrahim, indicata con la sigla ITD, Ibrahim Time Domain, che viene
esposta in dettaglio nel pargrafo seguente.
2
Il metodo è basato sull’espressione della matrice delle risposte impulsive: se infatti può esprimersi il generico
termine della matrice delle F RF come
Hij =
Nm
X
"
r
(r)
∗(r)
Aij
Aij
+
jω − µr
jω − µ∗r
#
(9.5)
si avrp̀er la matrice delle risposte impulsive
hij =
Nm h
X
∗(r)
(r)
∗
Aij eµr t + Aij eµr t
i
(9.6)
r
equazione nelle quale i dati nel tempo sono termini noti, mentre i residui ed i poli risultano in generale incogniti.
214
9.2
Tecnica nel dominio del tempo di Ibrahim, ITD
Si tratta di un metodo di identificazione strutturale che “lavora” nel dominio del tempo e
consente di determinare, a partire dalla risposta libera della struttura, i parametri modali cioè
le frequenze naturali, gli smorzamenti modali e le deformate modali.
Il metodo può operare anche se il rapporto segnale rumore è basso, infatti si può sovradimensionare” il modello della struttura ed i “modi apparenti” che vengono aggiunti permettono di
“filtrare” l’effetto del rumore.
L’equazione del moto di un sistema non forzato a più gradi di libertà è:
Mẍ + Cẋ + Kx = 0
(9.7)
x(t) = φeµt
(9.8)
Si hanno soluzioni del tipo:
se:
³
´
µ2k M + µk C + K φ(k) = 0
(9.9)
il che si traduce nella condizione:
³
´
det µ2k M + µk C + K = 0
(9.10)
lo sviluppo della 9.10 porta ad una equazione algebrica a coefficienti reali di grado 2n, se n
è il numero dei gradi di libertà dell’equazione del sistema 9.7. Si hanno quindi 2n autovalori
che sono complessi coniugati. Ad ogni autovalore reale corrisponde un autovettore reale e ad
ogni coppia di autovalori complessi coniugati corrisponde una coppia di autovettori complessi
coniugati.
Se si immagina che la risposta libera rilevata sperimentalmente corrisponda alla eccitazione di
m modi, con m ≤ n quindi con un numero di modi effettivamente presenti nella risposta libera
che è inferiore al numero dei gradi di libertà del sistema 9.7, si ha:
2m
X
(k)
xi (t) =
φi eµk t
i = 1, ..., n ; k = 1, ..., 2m
(9.11)
k=1
dove con xi (t) si è indicata la risposta libera che corrisponde allo i-simo punto di misura, cioè
allo i-simo grado di libertà.
Si consideri di poter disporre di 2m punti di misura, quindi un numero di punti di misura pari
al numero dei modi effettivamente presenti nella risposta libera, si ha allora:
xi (tj ) = xij =
2m
X
(k)
φ eµk tj
i
k=1
215
(9.12)
dove con xij si indica la risposta libera relativa allo i-simo punto di misura valutato all’istante
tj .
Si indica poi con N T il numero complessivo di istanti temporali” che si hanno a disposizione
per ogni risposta libera e si definiscono le seguenti matrici.
• Matrice di risposta:


Φx
x1 (t1 )
x1 (t2 ) ... x1 (tN T )
 x2 (t1 )
x
... x2 (tN T ) 
2 (t2 )

= 


...
...
...
...
x2m (t1 ) x2m (t2 ) ... x2m (tN T )
(9.13)
Nella matrice di risposta, indicata con Φx che ha dimensioni 2m, 2m, se N T è pari a 2m,
viene posta la “storia temporale” della risposta libera dei 2m punti di misura che è valutata
negli istanti t1 , ..., tN T .
• Matrice modale:
 (1)
φ
 1
Ψφ =  ...
(1)
(2)
φ2m
φ1
...
(2)
φ2m
(2m)

... φ1

...
... 
(2m)
... φ2m
(9.14)
La matrice modale, indicata con Ψφ , ha dimensioni 2m, 2m e contiene per colonne le
deformate modali quindi la k-sima colonna è relativa al k − simo modo complesso.
• Matrice delle frequenze proprie:


eµ1 t1

Λ =
.
eµ2m t1
eµ1 tN T

.
.
µ
t
. e 2m N T
(9.15)
È una matrice che contiene per righe nei termini esponenziali le frequenze proprie della
struttura.
La risposta libera 9.12 si può quindi scrivere come:
Φx = Ψφ Λ
(9.16)
La risposta libera, registrata sempre negli stessi punti di misura, ma riferita ad istanti temporali
diversi, in quanto spostati nel tempo di un intervallo ∆t1 , si può scrivere come:
xi (t + ∆t1 ) =
2m
X
(k)
φ eµk (t+∆t1 )
i
(9.17)
k=1
che diviene:
xi (t + ∆t1 ) =
2m
X
(k)
φ eµk ∆t1 eµk t
i
k=1
216
(9.18)
Si introducono le matrici:

Φ̂x

x1 (t1 + ∆t1 ) ... x1 (tN T + ∆t1 )

= 
.
.
.
x2m (t1 + ∆t1 ) . x2m (tN T + ∆t1 )
(9.19)
che ha ancora il significato di matrice di risposta, ma, rispetto alla matrice Φx , viene traslata
nel tempo di un intervallo ∆t1 ; e ancora la matrice modale modificata, che rispetto alla matrice
modale Ψφ tiene conto del tempo di ritardo ∆t1 :
 (1)
φ eµ1 ∆t1
 1
Ψ̂φ = 
...
(1)
φ2m eµ1 ∆t1
(2m)

... φ1 eµ2m ∆t1


...
...
(2m)
... φ2m eµ2m ∆t1
(9.20)
Tra le colonne k − ime corrispondenti delle matrici Ψφ e Ψ̂φ si ha la relazione:
(k)
ψ̂φ
(k)
= ψφ eµk ∆t1
(9.21)
quindi l’equazione 9.18 si può esprimere, in forma sintetica, con la relazione matriciale:
Φ̂x = Ψ̂φ Λ
(9.22)
In questo modo si sono costruite due matrici di risposta, indicate con Φx e Φ̂x che contengono
tutta la “storia temporale” relativa ai punti di misura disponibili valutata negli stessi intervalli
temporali ma con una traslazione temporale ∆t1 tra le due matrici di risposta.
Dalle 9.16 ed 9.22 si può scrivere:
Λ = Ψ−1
φ Φx
(9.23)
Φ̂x = Ψ̂φ Ψ−1
φ Φx
(9.24)
La 9.24 è una relazione che collega le due matrici che sono relative ai dati nel tempo che sono
rilevati sperimentalmente; se si introduce una nuova matrice, indicata con A, definita dalla
relazione:
A := Ψ̂φ Ψ−1
−→ Ψφ A − Ψ̂φ = 0
φ
(9.25)
Φ̂x = AΦx −→ A = Φ̂x Φ−1
x
(9.26)
si ha dalla Eq. 9.24:
Naturalmente dalla 9.26 si vede come sia possibile ricavare la matrice A che contiene le incognite
del problema in termini di autovettori ed autovalori, note le due matrici di risposta φx e φ̂x che
sono determinate dai dati sperimentali.
217
Dalla 9.25 si ha:
Ψ̂φ = AΨφ
(9.27)
Ma dalla 9.21, che esprime il legame tra Ψ̂φ e Ψφ , la Eq. matriciale 9.27 scritta per ogni sua
colonna k−ma diviene:
φ(k) eµk ∆t1 = Aφ(k)
(9.28)
da cui:
³
´
A − eµk ∆t1 I φ(k) = 0
k = 1, ..., 2m
(9.29)
Dalla relazione 9.29 si vede come gli autovalori ed autovettori della matrice A sono collegati a
quelli del sistema dinamico nel senso che gli autovettori di A sono coincidenti con le deformate
modali e gli autovalori di A (che sono evidentemente eµk ∆t1 ) sono collegati alle radici µk della
9.9.
Tutti gli elementi della matrice A sono reali, in quanto la matrice A si ottiene a partire da due
matrici reali Φx e Φ̂x , e quindi gli autovalori di A sono reali o complessi coniugati ed anche i
corrispondenti autovettori sono reali o complessi coniugati.
L’autovalore generico di A è complesso:
eµk ∆t1 = ak + jbk
µk = σk + jωk
(9.30)
e quindi:
ak + jbk = eσk ∆t1 [cos(ωk ∆t1 ) + j sin(ωk ∆t1 )]
(9.31)
da cui:
ak = eσk ∆t1 cos(ωk ∆t1 )
bk = eσk ∆t1 sin(ωk ∆t1 )
(9.32)
e in definitiva per smorzamenti e frequenze proprie smorzate si ha:
³
´
1
ln a2k + b2k
2∆t1
1
=
arctan (bk /ak )
∆t1
σk =
ωk
(9.33)
La relazione che permette di costruire la matrice A è la 9.26; se si valuta la trasposta della 9.26
si ha:
ΦTx AT = Φ̂Tx
218
(9.34)
le dimensioni delle matrici ΦTx e Φ̂Tx sono N T × 2m e quindi nel caso in cui N T = 2m si
tratta di matrici quadrate e la relazione 9.34 definisce un sistema di equazioni lineari in cui
ΦTx è la matrice dei coefficienti e Φ̂Tx è la matrice dei termini noti; dalla 9.34 si può ricavare
la matrice AT e quindi la matrice A. Se invece N T > 2m, il che è sempre possibile poiché si
tratta semplicemente di considerare per ogni punto di misura, corrispondente ad un grado di
libertà, un numero sufficientemente grande di istanti di misura, la 9.34 definisce un sistema di
N T equazioni in 2m incognite. Si tratta di un sistema sovradimensionato in cui il numero di
equazioni è maggiore del numero di incognite da determinare. In questo caso si può ricavare una
soluzione ai “minimi quadrati” e la matrice A si ottiene premoltiplicando la 9.34 per la matrice
Φx , cioè dalla relazione:
Φx ΦTx AT = Φx Φ̂Tx
(9.35)
dove Φx ha dimensioni 2m × N T ed il sistema 9.35 è sempre ricondotto ad un sistema di
dimensioni 2m × 2m indipendentemente dalla dimensione di N T (con N T ≥ 2m) e quindi il
sistema 9.35 viene risolto direttamente.
Naturalmente se il numero degli istanti di misura è grande N T > 2m si hanno a disposizione
più dati sperimentali di quelli che sono strettamente necessari per la soluzione del sistema 9.34,
si ottiene di conseguenza una migliore stabilità e precisione nella determinazione della matrice
A e quindi delle caratteristiche modali della struttura che dipendono dalla precisione con cui si
valutano gli autovalori ed autovettori della matrice A.
Si è visto come il metodo ITD si basi sulla costruzione di due matrici di risposta le cui componenti
sono:
φxij = xi (tj )
j = 1, ..., N T
(9.36)
φ̂xij = xi (tj + ∆t1 )
dove xi (tj ) è la risposta libera dello i-simo punto di misura all’istante tj e ∆t1 rappresenta uno
spostamento temporale che può essere scelto arbitrariamente, ma deve essere diverso dal tempo
di campionamento ∆t scelto per la valutazione degli istanti di misura.
Naturalmente se il numero dei punti di misura che sono effettivamente disponibili, indicato con
pm , è inferiore a 2m allora le matrici Φx e Φ̂x sono incomplete, nel senso che si dispone solo di
una parte delle 2m righe necessarie per costruire le matrici stesse (è infatti intuitivo che si debba
disporre di un numero 2m di punti di misura corrispondente al numero di modi della struttura
che sono presenti nella risposta libera). I parametri modali che si devono determinare sono
indipendenti dalle condizioni iniziali e quindi si può pensare di utilizzare degli intervalli diversi
219
delle risposte libere effettivamente misurate per “riempire” le righe “vuote” delle matrici Φx e
Φ̂x ; quindi le (2m − pm ) righe “vuote” si possono completare con dei punti di misura “fittizi”
che sono ottenuti dai segnali registrati nei punti di misura “veri”, ma traslati nel tempo con
intervalli temporali diversi ∆t2 , ..., ∆t(2m−pm ) .
Si consideri allora che la risposta libera venga registrata da pm punti di misura e di procedere
alla identificazione strutturale con un modello a 2m gradi di libertà , con 2m > pm . Le matrici
Φx e Φ̂x hanno dimensioni 2m × N T e la matrice
Φ̂x s ottiene dalla Φx utilizzando le registrazioni della risposta libera della struttura, traslate
di un tempo ∆t1 rispetto a quelle usate per ostruire Φx . Le prime pm righe della matrice
Φx sono “costruite” con le registrazioni sperimentali dei punti di misura disponibili; poi scelto
un intervallo ∆t2 , si costruiscono le (2m − pm ) altre righe con segmenti di segnale traslati
di ∆t2 e multipli; in questo modo, che naturalmente è solo uno dei modi possibili, si può
“sovradimensionare” il modello. Gli intervalli temporali ∆t1 e ∆t2 sono, a volte, espressi in
multipli del tempo di campionamento, ∆t:
∆t1 = N1 ∆t
∆t2 = N2 ∆t
(9.37)
La durata temporale degli intervalli ∆t1 e ∆t2 non è fissata a priori, ma ha un effetto sulla
identificazione e naturalmente gli intervalli temporali devono essere diversi tra loro.
Nel caso limite in cui si dispone di un solo punto di misura è quindi ancora possibile identificare
le diverse frequenze, e smorzamenti modali, presenti nel segnale stesso costruendo dei punti di
misura fittizi con l’impiego di traslazioni temporali del segnale registrato. Si osserva come questa
situazione sia del tutto analoga a quanto avviene nel dominio della frequenza; se si dispone di una
sola funzione di risposta in frequenza αij (ω) è possibile valutare pulsazioni e smorzamenti dei
modi presenti nella banda. Naturalmente con questo procedimento non è possibile la valutazione
delle deformate modali, perché si sta lavorando sempre sullo stesso punto di misura, mentre la
determinazione delle deformate modali richiede le informazioni su punti di misura diversi. In
altre parole le componenti delle deformate modali che si possono ricavare nella misura sono
ovviamente pari al numero di punti di misura “veri” che sono disponibili nella sperimentazione.
Come si è visto la risposta libera è del tipo:
x(t) =
2m
X
φ(k) eµk t
k = 1, ..., 2m
(9.38)
k=1
dove m rappresenta il numero di modi fondamentali; naturalmente in generale il numero di modi
è una incognita del problema ed inoltre la 9.38 è solo una posizione ideale che non tiene conto
220
della presenza del rumore; in realtà quindi si ha:
2m
X
x(t) =
φ(k) eµk t + n(t)
(9.39)
k=1
se anche il rumore si rappresenta attraverso una combinazione lineare di termini esponenziali
complessi si ha:
x(t) =
2m
X
φ(k) eµk t +
k=1
2n
X
n(k) eµk t
k = 1, ...., 2n
(9.40)
k=2m+1
Nella 9.40 si considera una combinazione di 2m modi strutturali e 2(n − m) modi di rumore; le
dimensioni del modello della risposta libera sono “aumentate” rispetto alle dimensioni effettive
del modello dinamico introducendo dei nuovi gradi di libertà e quindi dei nuovi modi che rappresentano il rumore. Dunque è preferibile scegliere un numero molto elevato di modi perché
con questa tecnica si è certi di identificare tutti i modi strutturali effettivamente presenti nella
risposta libera e si possono utilizzare i modi in più per l’identificazione del rumore, anche se a
costo di un tempo di calcolo maggiore.
Naturalmente si pone poi il problema di “distinguere” i modi strutturali dai modi di rumore
il che può essere fatto con la definizione di un indice opportuno indicato con M CF (Modal
Confidence Factor).3
La matrice di risposta Φx viene costruita per le prime m righe con le registrazioni xi (tj ) ottenute
dagli m punti di misura disponibili e per le altre m righe con le registrazioni xi (tj +∆t3 ) di punti
di misura “fittizi” quindi relative agli stessi punti di misura delle prime m righe ma traslate nel
tempo di un intervallo ∆t3 ; si ha:

Φx
...
 ...

 ...

= 
 ...

 ...
...
x1 (tj )
...
xm (tj )
x1 (tj + ∆t3 )
...
xm (tj + ∆t3 )

...
... 

... 


... 

... 
...
j = 1, ..., N T
(9.41)
quindi la risposta libera agli istanti tj e (tj + ∆t3 ) risulta:
x(tj ) =
X
φ(k) eµk tj
k=1
x(tj + ∆t3 ) =
X
(k) µ t
k j
φ̂
e
(9.42)
k=1
3
Il MCF si basa sull’idea di eseguire l’analisi su due segmenti temporali diversi della risposta libera x(t) che
sono spostati nel tempo di un intervallo ∆t3 e verificare se i modi che vengono identificati in un segmento temporale
sono presenti anche nell’altro. Questo procedimento consente di individuare i modi strutturali, che sono tipici del
comportamento della struttura e devono essere evidentemente presenti nei due segmenti temporali, dai modi di
rumore che sono invece casuali e quindi non si devono corrispondere.
221
dove:
φ̂
(k)
= φ(k) eµk ∆t3
(9.43)
Se si considera poi la matrice Λ il cui elemento generico è:
Λij = eµi tj
(9.44)
dalle 9.41, 9.42 si ha:
·
x(tj )
x(tj + ∆t3 )
¸
·
=
Ψφ
Ψ̂φ
¸
Λ
(9.45)
cioè:
Φx = Ψ∗φ Λ
(9.46)
Naturalmente lo stesso procedimento si applica per la matrice Φ̂x e si ritorna alla determinazione
degli autovalori ed autovettori della matrice A definita dalla:
Φ̂x = AΦx
(9.47)
La differenza tra il problema 9.47 e quello definito precedentemente è che, in questo caso, le
incognite hanno la struttura:
h
Ψ∗φ
·
i
=
Ψφ
Ψ̂φ
¸
(9.48)
dove la 9.43 definisce per ogni singolo modo strutturale la relazione esistente tra la componente
(k)
superiore e quella inferiore dei vettori φ∗ .
Si definiscono cosı̀ i valori di “previsione” del k − simo modo da confrontare con quello ottenuto;
si tratta di modi complessi e quindi si hanno due indici, rispettivamente per il modulo e per
la fase e si definisce cosı̀ il fattore MCF in cui il modulo è il rapporto tra i moduli e la fase è
la differenza tra le fasi; il valore ottimale per l’identificazione è di 100 % per il modulo e di 0o
per la fase. Con questo criterio si identificano insieme i modi strutturali ed anche le eventuali
risposte forzate.
Si osserva che la 9.33 determina la frequenza modale, fk = ωk /2π a partire dalla parte reale e
dalla parte immaginaria, ak e bk , del k-simo autovalore della matrice A:
fk = (1/2π∆t1 ) arctan(bk /ak )
dove ∆t1 indica la traslazione temporale tra le matrici di risposta Φx e Φ̂x .
222
(9.49)
Ma la funzione arcotangente è periodica e quindi il campo di valori deve essere limitato tra −π/2
e π/2; quindi la frequenza massima che può essere identificata è data da:
fmax = (1/4∆t1 )
(9.50)
eventuali frequenze superiori ad fmax verranno “tradotte” in frequenze, di fatto inesistenti,
comprese tra 0 e fmax , si introduce cosı̀ un tipico errore di aliasing. Ne consegue:
• la scelta di ∆t1 è legata alla frequenza massima del segnale da analizzare e, naturalmente,
è limitata dal tempo di campionamento ∆t in quanto deve essere ∆t1 ≥ ∆t;
• il segnale deve essere filtrato, coerentemente con la scelta di ∆t1 in modo da “tagliare”
le frequenze superiori al valore di fmax che corrisponde al limite imposto dalla 9.50 ed
eliminare l’errore di aliasing.
Il parametro N T indica il numero totale di istanti temporali che si considerano nella registrazione
del segnale: il valore minimo è 2m; in genere si ha un vantaggio nella precisione dei risultati se
si assume N T > 2m. Il valore scelto per il rapporto N T /2m è importante e si può verificare
che il suo valore ottimo è dato da:
(N T /2m)ott ∼
= 3
(9.51)
Il parametro ∆t3 indica la traslazione temporale tra i dati che si trovano nelle due componenti
della matrice di risposta e permette un confronto tra i modi identificati da due “storie temporali”
traslate di ∆t3 : i modi comuni nelle due storie temporali sono considerati come modi strutturali
e gli altri come modi di rumore. Il parametro ∆t2 definisce invece la traslazione temporale
tra i punti di misura effettivi e quelli “fittizi” che sono introdotti per completare la matrice di
risposta; naturalmente deve essere:
∆t1 6= ∆t2 6= ∆t3
9.3
(9.52)
La tecnica del decremento logaritmico, randomdec, RDT∗
E’ un metodo che consente di separare in un segnale la componente deterministica da quella
random: si può impiegare nei casi in cui il rapporto segnale rumore sia limitato ed in particolare
per identificare la risposta libera di una struttura a partire dalla registrazione della risposta
della struttura ad una sollecitazione random. Questa è la situazione tipica nelle prove di volo di
strutture aeronautiche e spaziali. Questa tecnica si basa sull’ipotesi che il segnale di eccitazione
della risposta registrata sia random, stazionario ed a valor medio nullo e permette l’dentificazione
223
della risposta libera di una struttura, che è necessaria per l’impiego del metodo di Ibrahim, a
partire ad esempio da una prova di volo ottenuta da un ingresso dovuto ad una raffica.
Si indica con x(t) il segnale di risposta che ha un andamento casuale, ma che è costituito da
una parte deterministica, indicata con s(t), e da una parte aleatoria, indicata con a(t), che si
considera stazionaria ed a media nulla:
x(t) = s(t) + a(t)
(9.53)
Si consideri come esempio il caso in cui la parte deterministica s(t) sia data semplicemente da
un gradino di ampiezza So e fissati arbitrariamente n istanti temporali, tutti di eguale durata
indicata con T , si registrano n campioni del segnale:
xk (t) = x(t − tk )
tk = kT
k = 1, 2, ..., n
(9.54)
se si esegue la somma di questi valori e la si divide per il numero n dei campioni si ottiene:
(1/n)
X
xk (t) = (1/n)
X
k
(sk (t − tk ) + ak (t − tk )) = So + (1/n)
k
X
a(t − tk )
(9.55)
k
ma per le ipotesi che si sono fatte sulla componente aleatoria che deve essere random, stazionaria
ed a media nulla, si deve avere:
(1/n)
X
ak (t − tk ) = 0
(9.56)
k
e quindi dalla somma 9.55 si ottiene:
(1/n)
X
xk (t) = So
(9.57)
k
si vede quindi come con questo procedimento di media si sia potuto isolare la componente
deterministica del segnale.
Naturalmente questo esempio è estremamente semplice a causa della natura particolare (gradino)
del segnale da identificare; non esiste un problema di “campionamento” del segnale che riguarda
l’intervallo temporale T scelto nella 9.54 e la valutazione dell’istante di “innesco”. Nel caso della
equazione della dinamica di una struttura si ha:
Mẍ(t) + Cẋ(t) + Kx(t) = f (t)
(9.58)
dove M, C, K sono le matrici di massa, smorzamento e rigidezza della struttura mentre x ed f
sono i vettori degli spostamenti e delle foze agenti sul sistema. Se si pone nella 9.58:
t = tk + τ
k = 1, ..., n
224
(9.59)
si ha:
Mẍ(tk + τ ) + Cẋ(tk + τ ) + Kx(tk + τ ) = f (tk + τ )
(9.60)
Sommando le n equazioni 9.60 e ponendo:
h(τ ) = (1/n)
n
X
x(tk + τ )
(9.61)
k=1
si ha:
Mḧ(τ ) + Cḣ(τ ) + Kh(τ ) = (1/n)
n
X
f (tk + τ )
(9.62)
k=1
ma se il vettore di ingresso f (t) è costituito da forze random, stazionarie ed a media nulla si
deve verificare la condizione:
(1/n)
n
X
f (tk + τ ) = 0
(9.63)
k=1
e quindi dalla 9.64 si ha l’equazione (cambiando nome alla variabile tempo):
Mḧ(t) + Cḣ(t) + Kh(t) = 0
(9.64)
che definisce proprio la risposta libera del sistema 9.58.
La tecnica del decremento logaritmico è basata sull’ipotesi che la risposta di una struttura
sottoposta ad una eccitazione random stazionaria ed a media nulla si possa considerare come
somma di tre componenti:
1. una risposta al gradino, dovuta cioè ad uno spostamento iniziale;
2. una risposta impulsiva, dovuta ad una velocità iniziale;
3. una risposta random, dovuta ad un ingresso random.
La RDT valuta la risposta libera con un procedimento di media eseguito su dei segnali ricavati dal segnale di ingresso con diversi criteri di “innesco”. In particolare i criteri di innesco
generalmente adottati sono:
• scelta basata su di un livello fissato del segnale;
• scelta basata sul passaggio per lo zero.
225
Con il primo criterio si costruisce un segnale indicato con h(t)∗ a partire da ogni istante in cui
si raggiunge il livello scelto e poi i segnali cosı̀ ottenuti vengono sommati e mediati. Il risultato
della somma di questi segnali porta all’annullarsi della risposta all’ingresso random e rimane un
segnale nel tempo che è la risposta libera del sistema corrispondente ad una posizione iniziale
diversa da zero e di entità pari al valore scelto per l’innesco.
Il secondo criterio di triggering porta ad un risultato analogo che si riferisce però ad un valore
iniziale di velocità , che è positivo per i punti di attraversamento per lo zero con derivata positiva
ed è negativo per gli altri; si devono quindi “sommare” con il segno opportuno i segnali ottenuti
per i punti positivi e negativi. Naturalmente quando si ha a che fare con l’identificazione di un
sistema a più gradi di libertà il procedimento di innesco deve essere contemporaneo per tutti i
punti di misura; è quindi evidente che un punto di misura deve essere scelto come “pilota”, cioè
come riferimento per il criterio di innesco in modo da evitare ritardi, e quindi sfasamenti, tra le
diverse risposte.
Si nota come la RDT presenta alcuni vantaggi rispetto ad un procedimento di autocorrelazione
che consente anch’esso di “pulire” il segnale dal rumore. In sintesi la tecnica del decremento
logaritmico permette l’identificazione della risposta impulsiva a partire da un ingresso random
non noto e non misurato e ciò può essere utilizzato sia per prove dinamiche su velivoli in cui ad
esempio il segnale di ingresso è dato dalla raffica, che per prove dinamiche di strutture spaziali, ad
esempio con l’impiego di registrazioni in volo di razzi in cui l’eccitazione è data dalla propulsione
o con registrazioni ottenute in sistemi spaziali abitati in cui l’eccitazione è data dal movimento
stesso dell’equipaggio.
226
Capitolo 10
Confronto tra Modello Numerico e
Sperimentale
10.1
Analisi dei dati sperimentali di prove dinamiche
I dati raccolti dalle prove sperimentali si riferiscono alle F RF che vengono misurate direttamente,
mentre i dati numerici relativi al modello ad elementi finiti della struttura sono espressi in termini
del modello spaziale, cioè come matrici di massa e di rigidezza.
Il passaggio numerico dai dati del modello spaziale a quelli del modello modale ed anche a quelli
del modello delle F RF non pone problemi particolari e quindi la base per un confronto numerico
sperimentale può essere scelta indifferentemente sul modello spaziale, su quello modale ed anche
sul modello di risposta.
Tuttavia il confronto delle singole F RF non offre una grande possibilità diretta per comprendere
i motivi che provocano la eventuale differenza nel comportamento del modello numerico e dei
dati sperimentali; mentre il più tradizionale confronto sulla base del modello modale, cioè degli
autovalori ed autovettori, può offrire delle indicazioni molto più significative.
Come si vedrà anche successivamente dal punto di vista del confronto e dei possibili suggerimenti
che esso fornisce per individuare le cause che sono alla base dei diversi comportamenti numerici
e sperimentali il modello spaziale offre alcuni vantaggi.
In questa prima parte si considerano dei metodi che possono essere utilizzati per una verifica
preliminare della affidabilità dei dati che sono stati ottenuti dalla sperimentazione: il riferimento
viene condotto sulla base del modello modale.
Le frequenze di risonanza possono essere confrontate direttamente, una volta accertato che
corrispondano agli stessi autovettori, mentre le deformate modali possono essere valutate con
227
controlli sulla ortogonalità e sulla consistenza.
Naturalmente il numero dei gradi di libertà che sono stati utilizzati nel modello ad elementi
finiti è molto più grande del numero dei punti di misura che sono effettivamente disponibili nella
sperimentazione e si è quindi di fronte ad un primo problema di scelta se procedere con un
approccio basato sulla riduzione dei dati numerici o sulla espansione dei dati sperimentali.
Per quanto riguarda il grado di precisione nella stima dei parametri modali che si può prevedere
di raggiungere con le prove sperimentali, questo dipende da diversi fattori: come indicazione di
massima si può ritenere che la frequenza naturale dei primi modi dovrebbe essere stimata con
un errore inferiore all’uno per cento, mentre per le deformate modali, il cui andamento deve
essere sostanzialmente corrispondente a quello proposto dal modello numerico, si possono avere
sui singoli punti degli errori superiori al dieci per cento.
Una considerazione a parte richiede la stima dei coefficienti di smorzamento, la valutazione è
sempre molto incerta con una tendenza generale verso una sovrastima che è comune a quasi
tutti i metodi. Diverse tecniche specializzate per la valutazione dei coefficienti di smorzamento
modale sono state proposte, in particolare con un approccio nel dominio del tempo: è opportuno
ricorrere a queste tecniche nel caso in cui sia necessaria una precisione molto elevata nella stima
dei fattori di smorzamento.
10.2
Verifica dell’ortogonalità dei modi sperimentali
Si indica con Φsp la matrice dei modi ottenuti dalle prove sperimentali e con Mnum la matrice
di massa relativa al modello numerico ad elementi finiti e si calcola il prodotto:
ΦTsp Mnum Φsp = Isp
(10.1)
dove la matrice Isp deve essere una matrice unitaria se i modi sperimentali sono normalizzati
a massa generalizzata unitaria e se sono ortogonali rispetto alla matrice di massa del modello
numerico.
In genere è necessario fare riferimento ad un modello ridotto, in modo che il numero dei gradi
di libertà sia compatibile con quello dei modi misurati dalla sperimentazione; se si indica con
MR la matrice di massa ridotta, cioè la matrice di massa relativa ai gradi di libertà che vengono
misurati sperimentalmente, si ha:
ΦTsp MR Φsp = Isp
(10.2)
dove la matrice Isp è idealmente una matrice unitaria; in pratica si tratta di verificare delle
228
condizioni approssimate, ad esempio con i valori:
Iii > 0.95
(10.3)
Iij < 0.05
(10.4)
Un altro metodo per il controllo di ortogonalità fa intervenire anche la matrice di rigidezza del
modello numerico, infatti a partire dalla relazione:
³
´
K − ωr2 M φ(r) = 0
(10.5)
se si considerano le matrici K, M ed il vettore φ(r) partizionati in gradi di libertà principali, p,
e secondari, s, in cui i gradi di libertà principali corrispondono a quelli di misura si ottiene la
relazione:
½·
¸
Kpp
Ksp
·
Kps
Mpp
− ωr2
Kss
Msp
Mps
Mss
¸¾ ( (r) )
φ
p
φ(r)
s
= {0}
(10.6)
dalla 10.6 considerata nella sua partizione inferiore si ottiene:
³
2
φ(r)
s = − Kss − ωr Mss
´−1 ³
´
(r)
Ksp − ωr2 Msp φ(r)
p = Sr φp
(10.7)
e quindi l’autovettore del modo r-simo è dato dalla:
(
(r)
φ
=
φ(r)
p
φ(r)
s
)
·
=
¸
I
(r)
φ(r)
p = Tr φp
Sr
(10.8)
e si ha quindi la condizione relativa al controllo di ortogonalità:
T
φ(r) Mnum φ(q) = δrq
(10.9)
con:
δrq = 1
se r = q
(10.10)
δrq = 0
se r diverso da q
(10.11)
diviene:
T
φ(r)
TTr Mnum Tq φ(q)
p
p = δrq
(10.12)
dove nelle matrici di trasformazione Tr e Tq interviene anche la matrice di rigidezza del modello
numerico. Naturalmente una volta che si sia eseguito il controllo di ortogonalità dei modi, il che
permette di stabilire se la situazione sperimentale è accettabile, è possibile operare per ottenere
un miglioramento delle deformate modali.
229
10.3
Verifica della consistenza dei vettori modali
Un metodo molto semplice per il confronto degli autovettori sperimentali con quelli numerici
è basato sull’idea che se due autovettori descrivono la stessa deformata modale allora devono
essere proporzionali tra loro.
Questo permette di definire un fattore di proporzionalità, in particolare è stato definito un
fattore di scala modale, M SF (Modal Scale Factor), con la relazione:1
³
T
(i)
φ(i)
num Wφsp
M SFi = ³
T
(i)
φ(i)
sp Wφsp
´
´
(10.14)
(i)
dove φnum
indica un modo ottenuto per via numerica, φ(i)
sp indica il modo corrispondente ot-
tenuto sperimentalmente e W indica una matrice definita positiva da utilizzare come peso nella
misura del fattore di scala, se non si hanno motivi per differenziare il “peso” delle componenti
degli autovettori si può usare la matrice unitaria; in alcuni casi si possono utilizzare come “peso”
le matrici di massa o rigidezza.
In modo analogo si può definire un fattore di correlazione indicato con il termine “criterio di
fiducia modale”, M AC (Modal Assurance Criterion), con la relazione:2
³
T
(i)
φ(i)
num φsp
´2
´
M ACi = ³
T
(i)
(i)T (i)
φ(i)
num φnum φsp φsp
(10.16)
questo fattore può assumere valori compresi tra zero ed uno; il valore zero indica che non vi è
nessuna relazione di linearità tra il vettore sperimentale e quello numerico, mentre il valore uno
indica la perfetta proporzionalità dei due vettori.
Si nota che, oltre i vantaggi della semplicità di valutazione degli indici del tipo M SF e M AC,
per ottenere queste indicazioni non è necessario utilizzare le matrici di massa e di rigidezza della
struttura ed è anche possibile confrontare solo delle sottocomponenti dei vettori modali.
1
Si osserva che se sono dati due vettori paralleli, cioé u = αv, proiettando la precedente relazione sul vettore
v, si puó ottenere la costante α come
α=
u·v
v·v
(10.13)
che è proprio la Eq. 10.14.
2
Si osserva ancora che se si indica con β l’angolo compreso tra due vettori u e v nello spazio, dalla u · v =
|u||v| cos β, può esprimersi il quadrato del coseno di tale angolo come
cos2 β =
(u · v)2
|v|2 |u|2
che quindi fornisce un’interpretazione della Eq. 10.16.
230
(10.15)
Più in generale si può definire un M AC modificato in cui si utilizza anche la matrice peso, W,
e si ha:
³
M ACi = ³
10.4
T
(i)
φ(i)
num Wφsp
T
´2
T
(i)
(i)
(i)
φ(i)
num Wφnum φsp Wφsp
´
(10.17)
Modi sperimentali in campo complesso
Come si è visto nel caso di una struttura aeronautica o spaziale il modello di smorzamento
proporzionale, che porta alla definizione di modi in campo reale, non è mai totalmente applicabile
e questo significa che i modi che vengono acquisiti dalle misure sperimentali sono di fatto dei
modi complessi.
In generale quindi esiste un problema per la “traduzione” dei dati sperimentali, che si riferiscono
sempre di fatto a modi complessi, in modi reali.
Il modo più semplice per passare dai dati sperimentale a dei dati interpretabili come modi reali
consiste nel moltiplicare il modulo di ogni componente della deformata modale per il segno del
coseno dell’angolo di fase. Quindi la componente del modo reale è positiva se la fase è compresa
tra −90o e +90o , altrimenti la componente è negativa; questo procedimento fornisce risultati
accettabili se il modo misurato sperimentalmente è “debolmente complesso” e quindi con angoli
di fase delle singole componenti che sono nell’intorno di 0o o di 180o .
Un altro approccio parte dallo scrivere la matrice dei modi reali, da individuare, indicata con
ΦR , in funzione della matrice dei modi complessi, che viene misurata sperimentalmente, indicata
con ΦC , e di una matrice, complessa, di trasformazione, indicata con T, si ha quindi:
ΦR = ΦC T
(10.18)
Indicando poi con il Re ed Im le parti reale ed immaginaria delle matrici complesse ΦC e T si
ha, uguagliando le parti immaginarie della relazione di trasformazione:
Im (ΦC ) Re (T) + Re (ΦC ) Im (T) = 0
(10.19)
si osserva che, almeno in generale, le matrici ΦC e ΦR non sono delle matrici quadrate e quindi
si deve ricorrere alla matrice pseudo inversa di Re (ΦC ) e si ha:
³
´−1
Im (T) = − Re (ΦC )T Re (ΦC )
Re (ΦC )T Im (ΦC ) Re (T)
(10.20)
si ha poi dall’eguaglianza delle parti reali:
ΦR = Re (ΦC ) Re (T) − Im (ΦC ) Im (T)
231
(10.21)
Se si pone che la parte reale della matrice di trasformazione T è uguale alla matrice unitaria, e
quindi rimane come incognita della matrice di trasformazione la sola parte immaginaria:
Re (T) = I
(10.22)
si ha dalla 10.20 e dalla 10.21:
h
i−1
(ΦR ) = Re (ΦC ) + Im (ΦC ) Re (ΦC )T Re (ΦC )
Re (ΦC )T Im (ΦC )
(10.23)
e la matrice dei modi reali si può quindi calcolare a partire dai dati sperimentali in campo
complesso che sono contenuti nelle matrici Re (ΦC ) e Im (ΦC ).
10.5
Gradi di libertà del modello numerico e sperimentale Bilanciamento
Si osserva che in generale il numero dei gradi di libertà disponibili nel modello numerico è
diverso, ed in genere molto superiore al numero dei gradi di libertà che sono accessibili dalle
prove sperimentali. Si ricorda infatti che oltre alla difficoltà di carattere generale di misurare
sperimentalmente un numero molto elevato di modi e le deformate modali in un numero molto
grande di punti, di fatto è molto problematica la misura sperimentale diretta dei gradi di libertà
di rotazione.
Naturalmente questo problema si può affrontare in due modi diversi: cercando di estendere i dati
sperimentali a tutti i gradi di libertà del modello ad elementi finiti o riducendo i gradi di libertà
del modello numerico a quelli che sono effettivamente disponibili dalle prove sperimentali.
Per seguire la prima strada si possono usare tecniche diverse, ad esempio con delle interpolazioni
di tipo geometrico, che sono particolarmente utili nel caso di strutture a geometria semplice.
Un altro approccio, di interesse più generale, si basa sull’impiego del fattore di scala modale
definito dalla 10.14 nel caso in cui non si applichi una funzione peso; infatti se si considera la
10.14 calcolata relativamente ai gradi di libertà disponibili si ha:
³
T
´
φnum1 φsp1
M SF1 = ³
φTsp1 φsp1
´
(10.24)
dove il pedice 1 indica la sottocomponente del vettore delle deformate modali che si riferisce ai
dati sperimentali disponibili; la 10.24 fornisce quindi la costante di proporzionalità esistente tra
il vettore numerico, φnum , e quello sperimentale φsp calcolata in relazione ai gradi di libertà
effettivamente misurabili indicati con il pedice 1.
232
Se si fa l’ipotesi che la costante di proporzionalità ottenuta dalla 10.24 con i dati sperimentali
disponibili possa essere estesa anche a tutti gli altri elementi del vettore sperimentale si ha:
φsp2 =
φnum2
M SF1
(10.25)
dove il pedice 2 indica la sottocomponente dell’autovettore che non è stata misurata sperimentalmente.
Sulla base di questa idea si possono seguire procedure diverse ad esempio calcolando il fattore
M SF con solo alcuni punti che si trovano nell’intorno di quelli da interpolare; è anche possibile
fare intervenire delle funzioni peso per dare una maggiore importanza ad alcuni elementi degli
autovettori.
Se si considerano le equazioni di equilibrio in campo statico, dove al solito il pedice 1 indica
i gradi di libertà che sono disponibili sperimentalmente ed il pedice 2 indica quelli che sono
calcolati numericamente ma non disponibili sperimentalmente, nell’ipotesi che le forze siano
applicate soltanto sul primo gruppo di gradi di libertà si ha:
·
K11
K21
K12
K22
¸½
x1
x2
¾
½
=
F1
F2
¾
½
=
F1
0
¾
(10.26)
dalla seconda delle 10.26 si ottiene:
x2 = −K−1
22 K21 x1
(10.27)
che permette di ricavare gli spostamenti x2 dei gradi di libertà non disponibili sperimentalmente
in funzione di quelli disponibili x1 .
Questo metodo non si può applicare ai modi rigidi della struttura che sono a frequenza nulla.
Nel caso dei modi elastici si può fare una considerazione del tutto analoga, ma in questo caso la
relazione di equilibrio statico 10.26 deve essere sostituita dall’equazione dell’equilibrio dinamico
scritta per la generica frequenza di risonanza:
·
¸
K11
K21
·
K12
M11
− ωr2
K22
M21
M12
M22
¸½
φr1
φr2
¾
½
=
F1
0
¾
(10.28)
dalla 10.28 si ottiene l’espressione di φr2 che è la componente dell’autovettore che non viene
misurata sperimentalmente, in termini della componente misurata φr1 , dalla relazione:
³
φr2 = − K22 − ωr2 M22
´−1 ³
´
K21 − ωr2 M21 φr1 = Sr φr1
(10.29)
Naturalmente la trasformazione definita dalla 10.29 va calcolata per ogni autovettore in corrispondenza della relativa pulsazione naturale.
233
Si consideri ora un altro tipo di trasformazione che collega i dati modali ottenuti dal modello
numerico e quelli misurati sperimentalmente:
φsp1 = Φnum1 T
(10.30)
dove φsp1 indica la componente del vettore modale effettivamente misurata e la matrice Φnum1
contiene i dati numerici che corrispondono ai gradi di libertà misurati, T indica una matrice di
trasformazione che porta dai dati numerici a quelli sperimentali; dalla 10.30 si ha:
T = Φ−1
num1 φsp1
(10.31)
In alcuni casi questo sistema può risultare sovradeterminato; se si impiega allora la matrice
pseudoinversa al posto della matrice inversa della Φnum1 si ottiene una valutazione ai minimi
quadrati della matrice T:
T = Φ+
num1 φsp1
(10.32)
φsp2 = Φnum2 T = Φnum2 Φ−1
num1 φsp1
(10.33)
In analogia alla 10.30 si può scrivere:
Si ottiene quindi:
½
φsp =
φsp1
φsp2
¾
½
=
Φnum1
Φnum2
¾
∗
Φ−1
num1 φsp1 = T φsp1
(10.34)
dove:
½
T∗ =
Φnum1
Φnum2
¾
Φ−1
num1
(10.35)
T∗ è la matrice di trasformazione che permette di estendere il vettore modale dai punti che sono
stati effettivamente misurati, indicati con φsp1 a tutti quelli corrispondenti nel modello numerico;
naturalmente T∗ dipende da tutte le componenti dell’autovettore calcolato numericamente.
10.6
Scelta della posizione dei punti di misura
Naturalmente un elemento molto importante nel confronto tra dati sperimentali e quelli del
modello numerico sta nella scelta della posizione ottimale per i punti di misura: è del tutto
evidente, ad esempio, che nel caso di un modo di vibrazione locale (cioè che interessa solo
una parte molto limitata della struttura) la presenza di almeno qualche trasduttore nella zona
interessata è essenziale per ottenere dei dati sperimentali significativi per quel tipo di modo.
234
Esistono molti metodi per guidare nella scelta delle posizioni dei punti di misura basati su criteri
diversi. La riduzione di Guyan è un metodo che permette di ridurre i gradi di libertà principali
(che sono quelli che devono rimanere dopo il processo di riduzione) ed in gradi di libertà secondari
(che invece non rimangono dopo il processo di riduzione ma vengono espressi in funzione dei
gradi di libertà principali). Il punto essenziale di questo metodo è quello di considerare come
principali quei gradi di libertà in cui le forze di inerzia sono grandi rispetto alle forze elastiche
e naturalmente di considerare come secondari quei gradi di libertà in cui avviene il contrario.
Questa scelta può essere compiuta per via numerica valutando, per lo i−mo grado di libertà,
il rapporto Kii /Mii delle componenti delle matrici di rigidezza e di massa e considerando come
principali i gradi di libertà per i quali questo rapporto è più piccolo (infatti ciò indica che le
forze di inerzia sono grandi rispetto le forze elastiche).
Con questo processo di riduzione si ottiene un nuovo modello agli elementi finiti con dimensioni che possone essere anche molto ridotte rispetto al modello originale e con caratteristiche
dinamiche, almeno per i modi fondamentali e frequenze più basse, molto vicine a quelle del
modello di partenza. Questo criterio per la scelta dei gradi di libertà principali nella riduzione
di Guyan può essere seguito anche per la scelta dei punti di misura sperimentali.
Quindi a partire dal modello ad elementi finiti di grandi dimensioni si procede in una prima fase
ad eliminare tutti i gradi di libertà che presentano delle difficoltà per la misura sperimentale
(come ad esempio per i gradi di libertà di rotazione o difficilmente accessibili) e poi in una
seconda fase in una scelta, alla Guyan, dei gradi di libertà principali da considerare come punti
di misura sperimentali.
Un secondo metodo punta invece a scegliere i punti di misura in modo tale che le deformate
modali che si ottengono dalle misure sperimentali siano le più possibili linearmente indipendenti.
Anche in questo caso si parte dal modello ad elementi finiti di grande dimensione della struttura
e si escludono i gradi di libertà che presentano delle difficoltà per la misura sperimentale.
Il procedimento per la definizione della indipendenza lineare dei modi procede con la costruzione
di una matrice A indicata come matrice di informazione di Fisher, F IM (Fisher Information
Matrix), data da:
A = ΦT Φ
(10.36)
dove Φ è la matrice modale, che è ridotta perchè contiene soltanto alcuni dei modi di vibrazione
della struttura ed è troncata perchè le misure sperimentali riguardano soltanto alcuni dei gradi
di libertà del modello dinamico. Si costruisce poi la matrice:
E = ΦA−1 ΦT
(10.37)
questa matrice ha la proprietà che la sua traccia è pari al suo rango; quindi i termini sulla
235
diagonale di E rappresentano il “contributo” di ogni punto di misura al rango della matrice E
e quindi all’indipendenza lineare dei modi (la matrice E è di rango pieno soltanto se i modi
considerati sono linearmente indipendenti).
Si tratta quindi di valutare gli elementi sulla diagonale di E ed eliminare i gradi di libertà che
corrispondono agli elementi più piccoli che contribuiscono poco alla indipendenza lineare dei
modi e si procede cosı̀ ad eliminare i gradi di libertà che sono meno importanti dal punto di
vista dell’indipendenza lineare dei modi.3 Per una valutazione sulla efficienza nella scelta delle
posizioni dei punti di misura si può procedere con il calcolo del fattore di fiducia modale, M AC,
valutato in corrispondenza dei modi numerici per le componenti scelte come punti di misura.
Nel futuro è ipotizzabile lo sviluppo di microsensori (che sono già allo studio ed in sviluppo
di laboratorio) basati sulla realizzazione di componenti complessi a partire da microwafer al
silicio. In questo modo si può pensare di modificare radicalmente la situazione nel campo delle
misure dinamiche sperimentali. Questi microsensori (ad esempio microaccelerometri) possono
infatti rilevare sperimentalmente i dati su di un numero di punti di misura che corrispondono
totalmente ai gradi di libertà che vengono usati nel modello ad elementi finiti della struttura. Il
carattere particolare di questi microsensori dovrebbe anche consentire la misura di accelerazioni
angolari e superare il problema della accessibilità ai punti “interni” della struttura. In questa
situazione si può accettare l’ipotesi di disporre, per un numer limitato di modi fondamentali con
m << n, dei dati per tutte le componenti delle deformate modali che corrispondono ai gradi di
libertà stessi.
10.7
Confronto tra modello numerico e sperimentale: aggiornamento del modello numerico
A partire da un modello numerico, ad elementi finiti, che rappresenta una struttura continua
con un modello discreto ad n gradi di libertà si possono costruire le matrici spaziali:
Mnum = matrice di massa numerica
Knum = matrice di rigidezza numerica
Cnum = matrice di smorzamento numerica
3
In alternativa si può valutare la SV D (Singular Value Decomposition) della matrice degli autovettori costruita
con i modi e le componenti scelte come punti di misura: si tratta di calcolare i valori singolari di questa matrice ed
in particolare il rapporto tra il valore singolare più grande ed il valore singolare più piccolo e se questo rapporto
è nell’intorno di 1 la scelta dei punti di misura viene considerata valida.
236
anche se sono presenti delle limitazioni sulla possibilità di valutazione della matrice di smorzamento; a partire da queste matrici si possono ottenere gli elementi del modello modale
numerico:
φ(i)
num = i-simo vettore modale
ωnnum
i
= i-sima pulsazione naturale
ζnum i = i-simo smorzamento modale
Il numero di autovettori e autovalori che si possono ottenere dal modello numerico può arrivare
teoricamente fino al numero dei gradi di libertà considerati nel modello, ma soltanto per un
numero limitato di modi si ottengono dei valori di buona precisione che sono in accordo con i
valori della struttura continua che viene rappresentata dal modello numerico.
Dall’analisi sperimentale si ottengono i seguenti dati modali:
ψ (i)
sp = i-simo vettore modale complesso
φ(i)
sp = i-simo vettore modale reale
ωn0 sp
i
= i-sima pulsazione naturale smorzata
ζsp i = i-simo fattore di smorzamento
ωnsp
i
= i-sima pulsazione naturale non smorzata
I dati sperimentali sono, in genere, ottenuti direttamente in termini di funzione di risposta in
frequenza Hij (ω) e, naturalmente, dal modello numerico si possono determinare le corrispondenti
funzioni di risposta in frequenza ma, in generale, il confronto si sviluppa sulla base dei parametri
modali mentre l’aggiornamento del modello numerico cioé la sua modifica sulla base dei dati
sperimentali (v. Sez. 10.7.2) viene condotto sulla base delle matrici di massa e di rigidezza.
10.7.1
Confronto dei modelli
Il numero di modi fondamentali che si può ottenere dall’analisi sperimentale di una struttura
è, in genere, assai limitato e certamente molto più piccolo del numero dei gradi di libertà del
modello numerico mentre il numero delle componenti misurate sul singolo modo può essere anche
pari al numero dei gradi di libertà o, almeno, con procedimenti illustrati nei paragrafi precedenti,
si può riportare al numero dei gradi di libertà del modello numerico o viceversa. Il confronto tra
dati sperimentali e corrispondenti dati numerici si può condurre con l’impiego di alcuni indici
237
di errore. Per il confronto sulla base delle frequenze naturali si può impiegare un indice relativo
alla singola frequenza:
Eωi =
¯
¯
¯
¯
¯ωnnum i − ωnsp i ¯ × 100
ωnnum
(10.38)
i
Per il confronto sulle deformate modali si può usare un indice basato sulla definizione precedentemente richiamata del criterio di fiducia modale, M AC, dato da:
h
M ACi =
10.7.2
T
(i)
φ(i)
num φsp
i2
T
(10.39)
T
(i)
(i)
(i)
(φ(i)
num φnum ) (φsp φsp )
Aggiornamento del modello numerico
Dalle differenze che vengono rilevate nel confronto numerico-sperimentale emerge la necessità di un aggiornamento del modello numerico in modo tale che esso rappresenti al meglio
il comportamento della struttura. Si tratta di identificare delle matrici di correzione tali che sia:
Mu
=
Mnum + ∆M
Ku
=
Knum + ∆K
Cu
=
Cnum + ∆C
(10.40)
dove con il pedice u (update) si indica la matrice aggiornata. Le matrici “corrette” ottenute
dalle 10.40 sono tali da verificare le equazioni:
.


..
Mu Φsp 

ωn2 sp
ΦTsp Mu Φsp
= I
ΦTsp Ku φsp

= 

.
i
..

 = Ku Φsp

(10.41)
.

..
ωn2 sp
i
..



(10.42)
(10.43)
.
nel caso in cui si consideri un modello con modi reali, quindi un modello con caratteristiche di
smorzamento “proporzionali” alle matrici di massa e rigidezza; le equazioni 10.42 e 10.43 sono
relative al caso in cui si impiegano modi fondamentali normalizzati. Nel modello numerico ad
elementi finiti sono certamente presenti delle imprecisioni dovute a cause diverse tra cui:
- rappresentazione delle condizioni di vincolo;
238
- limiti nel processo di discretizzazione;
- valutazione delle caratteristiche dei materiali;
- rappresentazione delle giunzioni.
Anche nelle prove sperimentali sono presenti diverse cause di errori e di limitazioni: il numero
dei punti di misura, anche se relativamente grande, è in genere molto più piccolo del numero dei
gradi di libertà che si considera nel modello numerico ed ancora più limitato è il numero di modi
che può essere identificato nella misura. Inoltre alcuni gradi di libertà della struttura possono
essere praticamente non accessibili ed altri (come ad esempio le rotazioni) non misurabili. Infine
la misura si riferisce in realtà a modi complessi piuttosto che a modi reali come conseguenza del
comportamento dissipativo della struttura che non segue necessariamente il modello ideale di
smorzamento proporzionale. Come si vede i problemi collegati con il procedimento di identificazione e di aggiornamento delle matrici di massa, di rigidezza e di smorzamento sono di natura
diversa ed interessano tutto il campo dell’analisi modale. Nel processo di identificazione si farà
riferimento a due obiettivi:
• localizzazione dell’errore: si tratta di individuare quegli elementi, Mnumij , Knumij , delle
matrici di massa e di rigidezza nel modello numerico che presentano le differenze più
rilevanti rispetto alle indicazioni fornite dai dati sperimentali;
• aggiornamento del modello: si tratta di valutare le matrici ∆M e ∆K da aggiungere
nelle 10.40 al modello numerico iniziale per ottenere il nuovo modello che risponde più
strettamente ai dati sperimentali.
Sono stati proposti diversi metodi per localizzare gli errori nei modelli dinamici agli elementi
finiti; nel metodo della matrice di errore, EM M (Error Matrix Method), si trova, attraverso
239
un’espansione troncata al prim’ordine di Msp attorno a Mnum , una espressione per ∆M:4
³
´
−1
∆M ' Mnum M−1
num − Msp Mnum
(10.46)
dove si ha, considerando l’inversa della relazione di ortogonalità della matrice di massa,
T
M−1
num ' Φnum Φnum
(10.47)
T
M−1
sp ' Φsp Φsp
(10.48)
Ponendo le 10.47, 10.48 nella 10.46 si ha:
³
´
∆M ' Mnum Φnum ΦTnum − Φsp ΦTsp Mnum
(10.49)
Nella equazione 10.49 le matrici ∆M, Mnum sono di dimensioni n × n, mentre la matrice degli
autovettori, sia sperimentali che numerici, è di dimensioni n × r dove r, in genere molto minore
di n, è il numero di modi sperimentali che si possono misurare. Dalle 10.47, 10.48 si nota che se
si dispone di un modello modale incompleto, cioè nel caso r < n in cui i modi siano in numero
inferiore a quello dei gradi di libertà del modello numerico, si può ancora calcolare:
T
M−1
sp ' Φsp Φsp
(10.50)
tuttavia il rango di tale matrice è r anche se la matrice degli autovettori Φsp non è una matrice
quadrata, ma rettangolare n × r. In analogia con la 10.50 si può scrivere;
.

−1
..

K−1
sp ' Φsp 
ωn2 sp
i
..



ΦTsp
(10.51)
.
anche se Φsp è una matrice rettangolare n × r. Le 10.50, 10.51 definiscono delle matrici che sono
indicate come “pseudo matrici inverse” rispettivamente di massa e di rigidezza e possono essere
4
L’obiettivo dell’aggiornamento è ottenere delle matrici aggiornate il più possibile uguali alle sperimentali, cioè
Msp = Mnum + ∆M. Ora, derivando la relazione generica A−1 A = I rispetto ad un generico parametro α, si ha
dA−1
dA
dA−1
dA −1
A + A−1
= 0 −→
= −A−1
A
dα
dα
dα
dα
(10.44)
Se allora si sviluppa in serie nell’intorno del generico parametro α l’inversa della matrice di massa numerica con
l’obiettivo di giungere, con tale espansione, ad una matrice aggiornata che sia proprio la matrice sperimentale, si
ha
¯
M−1
sp
dM−1 ¯¯
∆α + H.O.T.
dα ¯num
=
M−1
num +
=
−1
−1
M−1
num − Mnum ∆M Mnum + H.O.T.
(10.45)
nella quale si usata la Eq. 10.44 e si è considerata una variazione in termini finiti di α. La precedente, troncata
al primo ordine, fornisce la Eq. 10.46. Un procedimento analogo porta naturalmente all Eq. 10.52.
240
costruite con le 10.50, 10.51 anche se si dispone, come caso limite, di un solo modo fondamentale
misurato su n punti. Naturalmente il rango di queste pseudo matrici inverse dipende dal numero
r di modi che sono effettivamente disponibili e quindi non è possibile invertire le pseudo matrici
inverse per determinare direttamente Msp e Ksp a meno che non si disponga di un modello
completo di n modi fondamentali sperimentali. Analogamente alla 10.49 si ha poi una matrice
di errore per la rigidezza data da:






..
.
∆K ' KnumΦnum

.
−1
ωn2 num
i
..

 T

Φ
 num − Φsp
−1 
 T
Φ 
Knum (10.52)
 sp 

..
ωn2 sp
i
.
..
.
Questo approccio richiede che i vettori modali che appaiono nella matrice Φsp siano estesi su
tutti i gradi di libertà del modello ad elementi finiti che si vuole aggiornare; i risultati che
si ottengono dipendono dal numero di modi fondamentali che si possono utilizzare. L’operazione di aggiornamento del modello numerico richiede in ogni modo che vi sia in partenza un
buon “accordo” tra modello ad elementi finiti e dati sperimentali lasciando alla operazione di
aggiornamento il compito di un “perfezionamento” del modello stesso.
Il processo di aggiornamento si basa sull’idea che le matrici aggiornate abbiano un comportamento al limite pari a quelle sperimentali, cioè sulle equazioni:
.

(Mnum + ∆M)Φsp 


..
ωn2 sp
ΦTsp (Mnum
+ ∆M)Φsp = I
ΦTsp (Knum

+ ∆K)Φsp = 

.
i
..

 = (Knum + ∆K)Φsp

(10.53)
.

..
ωn2 sp
i
..



(10.54)
(10.55)
.
la difficoltà insita in questo metodo è legata al fatto che i dati sperimentali disponibili sono
sempre fortemente incompleti. Sono state proposte molte tecniche di identificazione e di aggiornamento che considerano in generale vincoli o equazioni diversi e portano a metodi differenti.
Alcune tecniche impiegano il metodo dei moltiplicatori di Lagrange cioè associano e risolvono il
problema precedente, come un problema di minimo vincolato.
Si procede comunque a partire dalla matrici, calcolate numericamente di massa e di rigidezza,
Mnum e Knum , e dai dati modali, pulsazioni fondamentali ed autovettori, misurati per via
sperimentale, per determinare le matrici aggiornate Mu e Ku .
241
In alcuni casi si pone l’ipotesi che la matrice di massa numerica sia esatta e si ricava sola la
variazione, ∆K, sulla matrice di rigidezza per aggiornare il modello numerico.5 Un metodo,
dovuto a Caesar, parte invece dall’aggiornamento della matrice di massa e poi procede con l’aggiornamento della matrice di rigidezza. Si definisce dapprima una funzione costo da minimizzare
rispetto l’incognita Mu
°
°
°
°
−1/2
J1 = °M−1/2
num (Mu − Mnum ) Mnum °
(10.56)
con le condizioni di vincolo
MTu = Mu
(10.57)
ΦTsp Mu Φsp = I
(10.58)
e risolvendo il precedente problema vincolato tramite matrici di moltiplicatori di Lagrange, si
ottiene la matrice di massa aggiornata dalla
¡
¢
−1
T
Mu = Mnum + Mnum Φsp M̄−1
num I − M̄num M̄num Φsp Mnum
(10.59)
M̄num = ΦTsp Mnum Φsp
(10.60)
dove
Quindi successivamente a partire dalla funzione costo
°
°
°
°
J2 = °Mu−1/2 (Ku − Knum ) M−1/2
°
u
(10.61)
e con le condizioni di vincolo
KTu = Ku
(10.62)
Ku Φsp = Mu Φsp Λ
(10.63)
dove Λ indica la matrice degli autovalori misurati in via sperimentale, si ottiene la matrice di
rigidezza aggiornata:
Ku = Knum − Knum Φsp ΦTsp Mu − Mu Φsp ΦTsp Knum
+Mu Φsp ΦTsp Knum Φsp ΦTsp Mu + Mu Φsp ΛΦTsp Mu
(10.64)
Si osserva che con questi metodi si ottiene un modello aggiornato che riproduce molto accuratamente i dati sperimentali che sono stati usati per l’aggiornamento: questo fatto richiede che i
dati sperimentali siano valutati con grande precisione e, come già visto, le misure sperimentali
5
Questa ipotesi è spesso alla base delle tecniche che impiegano misure di analisi modale per il rilevamento del
danno.
242
di maggiore precisione sono quelle delle frequenze naturali, mentre delle incertezze molto più
elevate accompagnano la misura delle deformate modali.
Un aspetto negativo di queste tecniche sta nel fatto che le matrici aggiornate di massa e di
rigidezza, Mu e Ku , hanno un significato fisico molto ridotto e gli stessi collegamenti tra i nodi
del modello numerico iniziale non vengono conservati nel processo di aggiornamento.
Cosı̀ mentre le matrici Mnum e Knum del modello iniziale sono sparse ed in genere bandate sulla
diagonale principale, le matrici Mu e Ku sono delle matrici piene e possono anche risultare non
definite positive.
10.8
Analisi di sensibilitá e modifiche strutturali
10.8.1
Valutazione delle caratteristiche modali del modello numerico aggiornato
Si considera un sistema a più gradi di libertà non smorzato:
Mẍ + Kx = 0
(10.65)
che con l’impiego dell’approccio modale, indicando con Φ la matrice degli autovettori normalizzati e con q il vettore delle coordinate modali, ponendo:
x = Φq
(10.66)
Iq̈ + Ω2 q = 0
(10.67)
diviene:
a causa delle condizioni di ortonormalità:
ΦT MΦ = I
(10.68)
ΦT KΦ = Ω2
(10.69)
Al solito il modello modale si riferisce ad un numero, m, di coordinate modali q1 , q2 , ..., qm che
è molto più piccolo del numero, n, dei gradi di libertà del sistema di partenza, l’ipotesi è quella
classica di conoscere m modi fondamentali del sistema su tutte le n componenti. Se ora si
immagina di modificare il sistema 10.65 con delle matrici note, ∆M, ∆K che sono delle matrici
di variazione rispetto alle matrici di massa e di rigidezza M, K del sistema iniziale, si ha:
(M + ∆M)ẍ + (K + ∆K)x = 0
243
(10.70)
Questa equazione tradotta in coordinate modali, utilizzando ancora gli autovalori e gli autovettori del sistema iniziale, definito dalle matrici M e K, diviene:
ΦT (M + ∆M)Φq̈ + ΦT (K + ∆K)Φq = 0
(10.71)
con le 10.68, 10.69 si ha:
(I + ΦT ∆MΦ)q̈ + (Ω2 + ΦT ∆KΦ)q = 0
(10.72)
Si ottiene cosı̀ una equazione che ha la stessa struttura della 10.67 se si pone:
Mmod = (I + ΦT ∆MΦ)
(10.73)
Kmod = (Ω2 + ΦT ∆KΦ)
(10.74)
si ha cioè:
Mmod q̈ + Kmod q = 0
(10.75)
Dalla 10.75 si possono valutare frequenze naturali e modi fondamentali del sistema modificato,
ma operando soltanto sugli m gradi di libertà modali del vettore q invece che sulle n componenti
(r)
del vettore x. Se φq è l’r-mo modo calcolato con la Eq. 10.75, tramite sempre la Eq. 10.66 si
(r)
avrà per l’r-mo modo fisico modificato φmod
(r)
(r)
(r)
(m)
φmod = φ1q φ(1) + φ1q φ(1) + ... + φ(r)
mq φ
(10.76)
Questo procedimento permette di valutare l’effetto di possibili modifiche strutturali rappresentate dalle matrici ∆M, ∆K utilizzando ancora i dati modali sperimentali che sono stati ottenuti
sulla struttura originaria. Si tratta quindi di:
• determinare sperimentalmente le matrici degli autovalori ed autovettori della struttura
originaria;
• tradurre le modifiche strutturali proposte in termini delle matrici ∆M, ∆K;
• calcolare con le 10.73, 10.74, 10.75 il nuovo modello del sistema;
• determinare numericamente gli autovalori ed autovettori del sistema 10.75.
In questo modo è possibile, a partire da una analisi modale sperimentale della struttura di
riferimento, valutare gli effetti di modifiche strutturali ∆M, ∆K.
Si possono utilizzare diversi metodi che permettono di valutare, senza richiedere una nuova
analisi dinamica della struttura - neppure semplificata come nel caso appena illustrato - le
244
variazioni che si hanno sulle pulsazioni naturali per effetto delle modifiche strutturali che sono
rappresentate dalle matrici di variazione ∆M, ∆K. Si consideri una variazione, limitata rispetto
ai valori iniziali della matrice di partenza, sulla matrice di rigidezza ∆K e si consideri noto
l’autovettore φ(i) e la pulsazione naturale ωni corrispondente del sistema non modificato, si ha:
(K + ∆K)(φ(i) + ∆φ(i) ) = M(ωn2 i + ∆ωn2 i )(φ(i) + ∆φ(i) )
(10.77)
Se si trascurano i termini del secondo ordine si ha:
(∆K − ∆ωn2 i M)φ(i) + (K − ωn2 i M)∆φ(i) = 0
(10.78)
T
Premoltiplicando per φ(i) ed osservando che dalla soluzione del sistema non modificato si ha:
(K − ωn2 i M)φ(i) = 0
(10.79)
a causa della simmetria delle matrici K, M la 10.79 si può scrivere come:
T
φ(i) (KT − ωn2 i MT ) = 0
(10.80)
che corrisponde alla:
T
φ(i) (K − ωn2 i M) = 0
(10.81)
e quindi la 10.78 diviene:
T
φ(i) (∆K − ∆ωn2 i M)φ(i) = 0
(10.82)
Dalla 10.82 si ottiene la variazione sulla i-sima pulsazione in termini della modifica strutturale
∆K e dell’autovettore Φi della struttura iniziale:
T
∆ωn2 i
=
φ(i) ∆Kφ(i)
(10.83)
T
φ(i) Mφ(i)
La 10.83 permette quindi di ottenere una valutazione della variazione sulla i-sima pulsazione
naturale per effetto di una modifica strutturale, ∆K, senza richiedere una nuova analisi dinamica
della struttura. In maniera analoga si procede nel caso in cui le modifiche strutturali siano
ipotizzate sulle ∆M, ∆K cioè siano dovute insieme a variazioni sulle matrici di massa e rigidezza,
si avrebbe in tal caso:
T
∆ωn2 i
=
T
φ(i) ∆Kφ(i) − ωn2 i φ(i) ∆Mφ(i)
T
φ(i) Mφ(i)
(10.84)
Anche in questo caso entrano in gioco soltanto gli autovalori ed autovettori della struttura non
modificata insieme con le modifiche strutturali ∆M e ∆K.
La 10.84 permette una valutazione, approssimata ma significativa, delle variazioni che si hanno
sulle pulsazioni naturali per effetto delle modifiche strutturali che vengono proposte.
245
10.8.2
Identificazione del danno con tecniche di analisi modale
Il punto di partenza di queste tecniche è basato sul fatto che ad ogni variazione sulle caratteristiche meccaniche di una struttura corrisponde una variazione delle caratteristiche dinamiche sia
in termini di modello modale, cioè di pulsazioni proprie, di deformate modali e di coeffficienti
di smorzamento, sia in termini di modello spaziale, cioè di matrici di massa e di rigidezza, sia
infine di modello di F RF , e quindi di variazioni di Hij (ω).
Naturalmente nel caso della ricerca di una situazione di danno in una struttura complessa, come
è ad esempio un velivolo sottoposto a diverse prove nel tempo di vibrazione al suolo, GVT
(Ground Vibration Test), si parte dalla ipotesi di una situazione di danno molto limitata, sia
come estensione che come entità, in modo che il danno stesso sia difficilmente identificabile
cone tecniche tradizionali di controllo non distruttivo e di conseguenza porti a variazioni molto
limitate nelle caratteristiche dinamiche della struttura.
D’altra parte è anche evidente che la posizione del danno all’interno della struttura sempre
nell’ipotesi di un danno localizzato in un settore molto definito, determini degli effetti molto
diversi sui vari modi fondamentali di vibrazione.
Cosı̀ ad esempio nel caso di una trave a sbalzo un danno di pari entità, ma posto in posizioni
diverse a partire dalla radice verso l’estremo libero porta a variazioni rispettivamente più o meno
sensibili sui primi modi di vibrazione flessionale.
È quindi intuibile che dalla combinazione degli effetti sulle diverse frequenze naturali ed
autovettori si possa risalire alla posizione del danno.
Naturalmente le diverse tecniche proposte si possono basare sulle variazioni in termini di ∆K e
∆M, in questo senso le tecniche di identificazione delle caratteristiche spaziali come il metodo
della matrice di errore, EMM, visto precedentemente possono essere impiegate come tecniche
di rilevazione del danno, oppure sulle variazioni in termini di ∆Hij (ω), questa tecnica sembra
molto promettente in quanto consente di rilevare un numero molto elevato di variazioni, oppure
infine sulle variazioni in termini dei parametri modali, deformate modali, pulsazioni naturali,
coefficienti di smorzamento modale e quindi di ∆φ(k) , ∆ωk e ∆ζk .
Da un punto di vista applicativo è essenziale fare riferimento a delle prove sperimentali relativamente semplici che possano essere effettivamente condotte sulla struttura sul campo (senza
ipotizzare tecniche sofisticate di impiego tipico di laboratorio) risulta quindi evidente che la
misura più rispondente a questa condizione è quella della frequenza naturale, si tratta in realtà
di misurare la differenza nelle frequenze naturali di una numero fissato di modi. Questa è infatti
una misura più robusta rispetto a quella delle deformate modali, che richiede un maggior impegno sperimentale e presenta comunque una incertezza maggiore ed anche rispetto a quella della
246
misura del coefficiente di smorzamento modale ∆ζk che presenta delle incertezze sperimentali
molto notevoli.
Questa considerazione è alla base della varie proposte che sono state proprio indirizzate ad
utilizzare soltanto le differenze in frequenza per determinare la posizione ed entità del danno.
L’elemento essenziale di queste tecniche è basato sulla messa a punto iniziale di un modello della
struttura che, con una tecnica di aggiornamento, viene accordato con i modi fondamentali che
sono misurati sperimentalmente.
In questo modo è possibile individuare un modello numerico della struttura su cui valutare la sensibilità della struttura a delle variazioni locali di rigidezza (o anche di massa, ma una ipotesi naturale nella ricerca del danno è quella di ritenere che il danno stesso sia rappresentabile attraverso
una diminuzione locale di rigidezza mentre la massa anche localmente rimane inalterata).
A partire dalle equazioni del moto:
Mẍ + Kx = 0
(10.85)
che si traduce in un problema di autovalori:
(K − λM) φ = 0
(10.86)
se si considerano come più importanti le variazioni della frequenze naturali rispetto alle variazioni
di deformate modali o dei coefficienti di smorzamento si può scrivere:
Sp = z
(10.87)
dove p indica il vettore delle posizioni di danno, S la matrice di sensibilità e z il vettore delle
variazioni degli autovalori:
zn =
δλn
λn
(10.88)
La matrice di sensibilità (Snk ) ha il significato diretto di variazione della pulsazione naturale
(n−ima) per effetto di una variazione unitaria del parametro di danno (k−imo)
Snk =
zn
pk
(10.89)
Se si indica con p il numero delle posizioni di danno e con n il numero delle frequenze fondamentali
di vibrazione che si misurano la matrice di sensibilità risulta una matrice di dimensioni n × p.
Per ricavare il vettore delle posizioni di danno, p, una volta calcolata la matrice di sensibilità,
S, e valutato dalle misure sperimentali il vettore z, è necessario disporre di un numero di misure
sperimentali di variazione delle frequenze naturali che è pari al numero di posizioni di danno da
247
identificare. Si tratta infatti di un sistema di equazioni algebriche lineari per la cui soluzione
deve essere in generale n = p.
Naturalmente questa condizione, che richiede un numero molto elevato di misure sperimentali
di ∆ωn , se si vuole ottenere una localizzazione non generica della posizione del danno, limita
fortemente l’applicazione di questa tecnica.
Tuttavia se si accetta l’ipotesi della presenza di una situazione di danno singola, o almeno di
una situazione di danno dominante in cui una posizione di danno sia più importante rispetto
alle altre (per effetto della maggiore entità o della posizione stessa), allora diviene possibile una
identificazione del danno anche con la misura sperimentale di un numero di frequenze naturali
molto più piccolo rispetto al numero delle posizioni del danno da identificare.
Cosı̀ ad esempio nel caso di una trave incastrata ad un estremo e suddivisa con un modello ad
elementi finiti in 32 elementi, e quindi con 32 possibili posizioni di danno, dall’analisi della matrice di sensibilità valutata inizialmente sulle prime dodici frequenze naturali e poi gradualmente
ridotta su di un numero più piccolo di autovalori, si vede che è ancora possibile una rilevazione
del danno se si dispone della misura delle prime quattro frequenze flessionali della trave stessa.
Si nota che il calcolo della matrice di sensibilità S della struttura, che valuta l’effetto di una
variazione di riferimento su singolo parametro di danno (ad esempio una diminuzione di 1 %
sulla rigidezza dell’elemento) ha sulle frequenze naturali (o nel caso più generale anche sulle
deformate modali e sui coefficienti di smorzamento modale), non richiede necessariamente una
serie ripetuta di analisi dinamiche della struttura. Si è infatti visto precedentemente come sia
possibile valutare (in forma approssimata) la variazione sulle frequenze fondamentali per effetto
di modifiche strutturali (intese come variazioni di ∆K o ∆M) senza la necessità di una nuova
analisi dinamica della struttura, ma molto più semplicemente con delle operazioni matriciali
definite dalla:
T
∆ωi2
=
T
φ(i) ∆Kφ(i) − ωi2 φ(i) ∆Mφ(i)
T
φ(i) Mφ(i)
(10.90)
che richiamano soltanto la valutazione delle deformate modali, φ(i) , delle pulsazioni naturali ωi
e della matrice di massa, M, della struttura nelle sue condizioni iniziali oltre che naturalmente
la variazione ipotizzata in termini di variazioni di di matrici di massa e di rigidezza, ∆M e ∆K.
L’impegno numerico per la valutazione della matrice di sensibilità relativa ad un numero anche
molto elevato di posizioni di danno, come si deve avere nel caso di una struttura complessa,
viene quindi ad essere relativamente limitato.
Naturalmente diversi aspetti del problema sono incerti: cosı̀ la matrice di sensibilità viene valutata su di un possibile modello di danno (nell’esempio di riferimento il danno viene rappresnetato
248
come una variazione del modulo elastico) che non corrisponde in generale alla situazione del danno effettivo. Questo significa che le indicazioni offerte dalla matrice di sensibilità, che dipendono
ovviamente dal modello di danno scelto, possono essere molto diverse dalle situazioni effettive
quindi possono guidare verso una indicazione errata. Questa difficoltà può essere più importante
per strutture realizzate in materiale composito a causa della maggiore varietà di tipologia nelle
situazioni di danno.
In sintesi si tenta di mettere a punto delle tecniche che richiedono un impegno, per quanto
possibile, ridotto sul lato sperimentale mentre si può contare su di un impegno numerico (da
sviluppare sul modello numerico, dopo una operazione preliminare di aggiornamento con i dati
sperimentali disponibili, della struttura nelle sue condizioni iniziali che costituisce quindi la
struttura di riferimento “non danneggiata”) anche molto rilevante.
249
Capitolo 11
Analisi Modale Sperimentale di un
Velivolo o di una Struttura Spaziale
11.1
Fasi principali dell’analisi modale sperimentale
Nel seguito si riportano le fasi principali relative ad una analisi modale sperimentale condotta
su di un velivolo completo o su di una struttura spaziale a partire dalla fase iniziale relativa al
progetto della prova fino alla fase finale; si possono distinguere i punti seguenti:
• progetto della prova di analisi modale;
• preparazione della strumentazione di misura;
• acquisizione dei dati sperimentali;
• analisi dei dati ottenuti ed esame critico dei risultati.
11.1.1
Progetto della prova di analisi modale
In questa fase si devono individuare gli scopi che si vogliono raggiungere con l’analisi sperimentale
sulla struttura: essi riguardano certamente la messa a punto del modello dinamico numerico
attraverso il confronto tra l’analisi modale sperimentale ed il modello ad elementi finiti che è
stato precedentemente preparato per la struttura stessa. Tuttavia a seconda degli obiettivi da
raggiungere si richiede una diversa complessità e precisione nella sperimentazione.
Un altro elemento fondamentale nel progetto della prova di analisi modale è la definizione delle
configurazioni di prova per la struttura che, ad esempio nel caso di un velivolo dipendono non
solo dalla distribuzione dei pesi ma anche dalle configurazione delle superfici di controllo. Se si
tiene conto del fatto che le prove di analisi modale vengono condotte sul prototipo che è messo
250
a punto per le prove di volo si comprende come il tempo a disposizione per le prove dinamiche
sia molto ridotto e come sia quindi necessario limitare le configurazioni di prova al minimo
indispensabile.
11.1.2
Preparazione della strumentazione di misura
In questa fase si considera la preparazione di tutta la strumentazione che sarà impegnata nella
prova stessa e la preparazione della struttura in prova.
Un primo punto essenziale riguarda le condizioni di vincolo della struttura che spesso devono
simulare la condizione di struttura libera: questo significa che le frequenze di modo rigido, che
idealmente devono essere nulle, dovranno essere nelle condizioni effettive di sperimentazione
almeno inferiori ad un quarto del valore della frequenza del primo modo strutturale. Tra i
diversi metodi che si possono utilizzare per simulare la condizione di struttura libera, nel caso di
un velivolo, si possono considerare: l’appoggio su ruote sgonfie, l’appoggio delle ali su cuscini di
aria, l’appoggio delle ruote su cuscini di aria e la sospensione del velivolo con elementi elastici.
In tutti i casi si deve ottenere una frequenza propria dovuta alle condizioni di vincolo scelte per
la struttura, che sia dell’ordine di qualche decimo di Hertz, ad esempio inferiore a 0.5Hz: spesso
la sospensione con elementi elastici risulta più conveniente anche dal punto di vista dei problemi
posti dal collegamento dei sistemi di eccitazione con la struttura.
I punti di collegamento dei sistemi di eccitazione con la struttura devono essere scelti in modo da
interessare il più possibile i modi globali della struttura, quindi in corrispondenza di irrigidimenti
come, sempre nel caso di un velivolo, longheroni, centine o ordinate (v. Fig. 11.1 per un tipico
posizionamento di sensori accelerometrici e punti di eccitazione per un Ground Vibration Test
(GVT) di un velivolo).
Un altro aspetto importante da tener presente nella preparazione della prova sperimentale è
legato alle difficoltà che si possono incontrare per trasmettere energia a livelli sufficienti su tutta
la struttura.
Per quanto riguarda più direttamente la strumentazione da impiegare si deve scegliere il numero
e le caratteristiche degli accelerometri. Il numero è condizionato dalle caratteristiche della
strumentazione disponibile, dagli obiettivi della misura e dal tempo a disposizione per le prove;
la risposta in frequenza deve riguardare almeno un campo che parte da qualche decimo di Hz
per giungere a qualche centinaio di Hz, la sensibilità può essere dell’ordine di 100mV /g, il
collegamento degli accelerometri alla struttura a seconda delle condizioni delle prove deve essere
realizzato per mezzo di un apposito basamento incollato alla struttura o più semplicemente con
un incollaggio temporaneo.
251
Figura 11.1: Posizionamento degli accelerometri e degli shakers per il Ground Vibration Test
(GVT) del velivolo Boeing DASH8-300A (da Rif. [27])
Le celle di carico devono avere una risposta in frequenza congruente con quella degli accelerometri
ed una sensibilità che può essere nell’ordine di 10 mV /N . Il sistema di eccitazione, costituito
da shaker collegati alla struttura, deve avere un livello di forza non particolarmente elevato, ad
esempio dell’ordine di 100N per una prova su di un velivolo, ma deve consentire uno spostamento
notevole nel caso di collegamento con punti di grande flessibilità, come ad esempio le estremità
alari di un velivolo. Il collegamento dello shaker con la struttura avviene tramite uno stinger
che è costituito da un’asta sottile e flessibile che deve trasmettere la forza secondo la direzione
dell’asta e limitare al massimo le forze laterali.
Per un primo controllo di tutta la catena di misura si procede preliminarmente ad una verifica di
linearità, mediante la misura di almeno tre F RF a diversi livelli di eccitazione, e ad una verifica
di reciprocità con la misura di almeno due F RF relative a punti lontani sulla struttura in cui
il punto di ingresso e di uscita sono scambiati. Si nota l’importanza particolare che assume il
controllo di linearità a causa delle distorsioni importanti che si hanno in campo non lineare dove
252
la struttura potrebbe trovarsi durante la prova per la necessità di impiegare dei livelli elevati di
sollecitazione per ottenere dei valori sufficientemente alti del rapporto segnale rumore.
11.1.3
Acquisizione dei dati sperimentali
Si deve preparare la sperimentazione in modo tale che il tempo necessario per l’acquisizione
dei dati sperimentali sia il più breve possibile. Infatti il tempo impiegato in questa fase è
generalmento quello critico e quindi è importante che si possa avere una prima valutazione sulla
precisione delle misure e quindi sulla loro validità in tempo reale durante la fase di acquisizione
stessa dei dati sperimentali che saranno elaborati successivamente in modo completo.
11.1.4
Analisi dei dati ottenuti
In questa fase si compie l’elaborazione dei dati acquisiti nella sperimentazione, si ottengono cosı̀
i parametri modali caratteristici, come le frequenze fondamentali, i coefficienti di smorzamento
modali e le deformate modali nel campo di frequenza di interesse. Più in generale è possibile un
confronto tra i risultati sperimentali ed i dati numerici corrispondenti ottenuti dal modello ad
elementi finiti della struttura.
Tecniche diverse consentono di condurre il confronto tra risultati sperimentali e numerici anche
sulle base di un confronto sulle matrici di massa e di rigidezza della struttura che si possono
ricostruire a partire dai dati acquisiti sperimentalmente. Attraverso questo tipo di confronto si
possono individuare le “zone della struttura in cui il comportamento previsto dal modello numerico è diverso da quello che si è ottenuto dall’esame dei dati sperimentali. In questo modo si
possono valutare più direttamente le cause che sono alla base delle differenze numerico sperimentali e si possono individuare eventuali cause di errore nel modello numerico o nell’impostazione
delle prove sperimentali.
Si compie poi la valutazione sulla sperimentazione e si verifica se si sono raggiunti gli obiettivi
che si erano posti all’inizio nella fase di progetto della prova. Si deve anche decidere se le prove
sperimentali eseguite sono sufficienti o se si deve richiedere una ulteriore sperimentazione. Infine
si deve valutare l’affidabilità della conclusioni che sono state ottenute dalle prove sperimentali.
11.1.5
Particolarità delle prove su di una struttura spaziale
Nelle considerazioni precedenti si è fatto riferimento alla analisi modale sperimentale di un velivolo: esse sono valide anche nel caso di prove di analisi modale sperimentale su di una struttura
spaziale. Ma in questo caso vi sono degli altri problemi che sono principalmente collegati alla
253
diversità di tipologia e di realizzazione strutturale che caratterizza una struttura spaziale rispetto a quella di un velivolo. Nel caso di una struttura spaziale vi sono delle particolarità nel suo
comportamento dinamico che si possono riassumere nei seguenti punti:
• elevata densità modale;
• frequenze proprie e coefficienti di smorzamento modale molto bassi;
• modi fondamentali strettamente accoppiati;
• carattere ripetitivo della struttura.
Elevata densità modale
In generale sia che si faccia riferimento ad una struttura spaziale classica, cioè relativa ad un
satellite di applicazione tecnologica o di ricerca scientifica, sia che si consideri invece il caso di
una grande struttura spaziale si è sempre in presenza di una tipologia strutturale che presenta
un numero molto elevato di modi in un campo di frequenza limitato.
Nel caso di una grande struttura spaziale si aggiunge anche il problema di avere a che fare con
frequenze fondamentali molto basse dell’ordine dei decimi ed anche dei centesimi di Hz, esse
richiedono l’impiego di sensori particolari e, più in generale, di una strumentazione di misura e
di programmi di elaborazione dei dati sperimentali che sono diversi da quelli impiegati nel caso
delle prove sperimentali su velivoli.
La densità modale molto elevata porta a problemi che sono collegati al forte accoppiamento
tra i modi che sono molto vicini in frequenza ed alla necessità di individuare quei modi che
sono realmente importanti nel modello dinamico della struttura che deve impiegare un numero
abbastanza limitato di modi fondamentali.
Frequenze proprie e coefficienti di smorzamento modale molto bassi
È un altro aspetto tipico delle grandi strutture spaziali e porta alla necessità di impiegare dei
tempi di osservazione molto lunghi. Infatti, come si è visto nella 8.70, il tempo di osservazione, T ,
è inversamente proporzionale alla risoluzione in pulsazione , ∆ω, e quindi per pulsazioni proprie
molto basse sono necessarie delle ∆ω molto piccole e quindi T molto grandi, anche dell’ordine
di minuti, come conseguenza si hanno dei problemi legati al troncamento del segnale.
Diverse tecniche sono state proposte per affrontare questo aspetto del problema; si ricorda
anche, per quanto riguarda la sperimentazione dinamica di una grande struttura spaziale, che
questa sperimentazione non può essere condotta a terra sulla struttura completa. Si deve quindi
254
ricorrere a delle tecniche di sottostrutturazione con la possibilità di compiere prove sperimentali
limitate su elementi singoli della struttura. Naturalmente anche una eventuale prova in volo di
una grande struttura spaziale presenta delle problematiche del tutto particolari.
Modi fondamentali strettamente accoppiati
L’alta densità modale, tipica di una struttura spaziale, favorisce il caso di un forte accoppiamento
modale, cioè della presenza di due o più modi che a causa delle frequenze fondamentali numericamente molto vicine ed a causa dei valori dei coefficienti di smorzamento modale relativamente
elevati risultano “sovrapposti. Questa situazione costituisce sempre un problema sperimentale
molto complesso. Anche in questo campo sono state proposte diverse tecniche di misura che
permettono di rilevare la presenza stessa dei modi accoppiati e di valutare, con errori limitati, le
frequenze naturali, le deformate modali ed i coefficienti di smorzamento modale anche nel caso
di modi strettamente accoppiati.
Carattere ripetitivo della struttura
È tipico nel caso di grandi strutture spaziali in cui il progetto si basa su di un elemento strutturale, che viene ripetuto più volte per costituire la struttura complessiva, “struttura periodica .
La prova sperimentale di analisi modale deve essere prevista su di un solo modulo della struttura.
Mediante l’impiego di tecniche di sottostrutturazione è possibile ricostruire il comportamento
globale di tutta la struttura a partire dai dati numerici o sperimentali che sono stati ottenuti
dallo studio del singolo elemento.
11.2
Comportamento in campo non lineare
Nelle considerazioni di analisi modale sperimentale condotte fino ad ora si è data per scontata
l’ipotesi fondamentale che la struttura in esame risponda alle forze di eccitazione con un comportamento in campo lineare: questo significa che è applicabile il principio di sovrapposizione
degli effetti, quindi la risposta della struttura è legata linearmente all’ampiezza del segnale di
eccitazione e, se l’eccitazione è dovuta a più forze, la risposta globale è pari alla somma delle
risposte che corrispondono alle singole eccitazioni.
Naturalmente questo schema ideale di comportamento lineare è un caso particolare di una situazione più generale: dal punto di vista sperimentale le strutture non presentano mai un comportamento perfettamente lineare e si tratta quindi di valutare, prima delle misure vere e proprie,
se la situazione effettiva si possa considerare come “praticamente lineare”.
255
Le caratteristiche principali di un comportamento in campo non lineare sono:
• le frequenze proprie subiscono delle variazioni importanti se si modifica la posizione e
l’ampiezza del segnale di eccitazione della struttura;
• le F RF della struttura presentano delle distorsioni;
• le misure risultano non ripetibili.
Il modo più semplice per individuare un comportamento non lineare è quello di ripetere la
misura utilizzando ampiezze diverse per il segnale di ingresso: in particolare nell’intorno della
risonanza si tratta di verificare la proporzionalità della risposta rispetto all’ampiezza del segnale
di ingresso ed anche di valutare un eventuale spostamento della frequenza naturale in funzione
dell’ampiezza del segnale di ingresso.
In presenza di un comportamento non lineare si deve ridurre l’ampiezza del segnale di ingresso
fino a che il comportamento della struttura non ritorni in campo “praticamente lineare; si
deve poi curare che tutte le prove sperimentali siano condotte all’interno dei livelli di segnale
precedentemente individuati. Naturalmente la riduzione che viene richiesta per l’ampiezza dei
segnali di ingresso porta ad una riduzione del rapporto segnale rumore che può rendere difficile
l’analisi dei dati sperimentali.
Dall’andamento delle curve di risposta della struttura è possibile valutare il tipo di non linearità
che si è incontrato; si osserva anche che le caratteristiche del segnale di eccitazione che viene
impiegato (sinusoidale, random, impulsivo...) hanno un ruolo importante per il riconoscimento
del comportamento non lineare.
Recentemente è stato proposto un metodo diverso che consente di individuare la presenza di
non linearità direttamente dall’esame delle prove sperimentali condotte in termini di funzioni di
risposta in frequenza.
Questo metodo è basato sull’impiego della trasformata di Hilbert: si tratta di una trasformata
che definisce un passaggio all’interno dello stesso dominio (quindi trasforma una funzione del
tempo in un’altra funzione del tempo, o naturalmente una funzione della frequenza in un’altra
funzione della frequenza) e che può essere calcolata numericamente con i codici di calcolo che
sono normalmente utilizzati per la determinazione della trasformata di Fourier con la Fast Fourier Transform (FFT). Infatti, in generale, una funzione di risposta in frequenza ha la proprietà
che la sua parte reale e quella immaginaria sono collegate tra loro da una trasformazione secondo
Hilbert: è quindi evidente che un controllo di linearità può essere fatto partendo separatamente
dalla parte reale della F RF in esame e dalla sua parte immaginaria. Si tratta di calcolare separatamente la trasformata di Hilbert della parte reale e della parte immaginaria: il confronto di
256
queste stime numeriche con i dati ottenuti sperimentalmente consente di individuare la presenza
di non linearità ed anche di stimare il tipo di non linearità che è presente nelle misure.
11.3
Identificazione della matrice di rigidezza da prove statiche
Un processo di messa a punto e di aggiornamento del modello dinamico di una struttura si può
ottenere anche attraverso l’impiego di prove statiche. Se si considera, infatti, che la distribuzione
delle masse di una struttura, ad esempio con l’uso di una matrice di massa del tipo concentrato,
può essere valutata in modo sostanzialmente preciso, si può ritenere che le incertezze nel modello
riguardano essenzialmente la valutazione della matrice di rigidezza.
Dalla:
Ku = f
(11.1)
dove K indica la matrice di rigidezza della struttura di dimensioni n × n, u indica il vettore, ad
n-componenti, degli spostamenti nodali ed f il vettore, ad n-componenti, delle forze applicate ai
nodi, è possibile valutare K, considerata come matrice incognita, se si effettuano n prove statiche
utilizzando come sollecitazioni n vettori, purchè linearmente indipendenti (il che significa che le
n condizioni di carico devono essere intrinsecamente diverse) e come dati sperimentali le misure
ottenute da n vettori di spostamento nodale corrispondenti alle diverse condizioni di carico.
Indicando con U la matrice costruita con gli n vettori di spostamento nodale e con F la matrice
che comprende gli n vettori di sollecitazione si ha:
KU = F
(11.2)
dove K, U, F sono matrici di dimensioni n × n: K è la matrice incognita, F è la matrice che
corrisponde alle n diverse condizioni di carico ed U viene ottenuta dalle misure degli spostamenti
modali nelle n condizioni di carico; si ottiene:
K = FU−1
(11.3)
Questo processo di identificazione della matrice K è tuttavia pesante dal punto di vista sperimentale se la dimensione del modello numerico n è grande in quanto richiede un numero elevato
di prove sperimentali ed anche la valutazione delle singole risposte per un numero elevato di
punti di misura.
Dall’impiego di un numero più limitato di prove sperimentali si possono ottenere delle indicazioni
dal confronto tra i dati rilevati dalla sperimentazione e quelli previsti dal modello numerico.
257
Se si impiega un processo di riduzione sul modello numerico inizialmente sviluppato si indica con
KR la matrice di rigidezza, da identificare, del modello ridotto e con FR , UR rispettivamente
le matrici dei carichi applicati e degli spostamenti modali relativi al numero ridotto di gradi di
libertà si ha:
KR = FR U−1
R
(11.4)
ma questa volta le prove sperimentali sono in numero R, con R << n, e gli spostamenti nodali
da valutare per ogni singola prova sono in numero di R.
Anche se la matrice KR non è direttamente impiegabile nel modello dinamico della struttura,
essa consente, dal confronto con la matrice di rigidezza ridotta ottenuta in via numerica, di
individuare le eventuali differenze e di valutare la necessità di correzione.
Un’altra possibilità è quella di eseguire un numero molto limitato di prove (cioè di fare riferimento
a poche condizioni di carico), ma di rilevare i dati sperimentali sui gradi di libertà del modello
numerico.
In questo caso il confronto può essere fatto a livello di spostamenti nodali misurati sperimentalmente e di quelli ottenuti dal modello numerico: le differenze possono suggerire delle modifiche
da apportare al modello numerico per “accordarlo” verso i dati sperimentali.
11.4
Analisi modale su una struttura libera*
Nel caso, che è di evidente interesse nel campo aerospaziale, di una struttura libera la matrice di
rigidezza K è una matrice semidefinita positiva: essa ha infatti un certo numero di singolarità,
sei al massimo nel caso tridimensionale, che corrispondono agli spostamenti di insieme o modi
rigidi della struttura. Si tratta di modi ai quali corrisponde una frequenza propria nulla ed una
energia di deformazione nulla; se si indica con ΦR la matrice dei modi rigidi, che è una matrice
rettangolare con un numero di righe pari al numero dei gradi di libertà della struttura ed un
numero di colonne pari al numero di modi rigidi (quindi sei nel caso più generale), si ha:
ΦTR KΦR = 0
(11.5)
Se si considera l’analogo prodotto dei modi rigidi per la matrice di massa della struttura libera
si ha:

Mxx




T
ΦR MΦR = 


 Simm
0
Myy
0
0
Mzz
258
0
pyx
pzx
Ixx
pxy
0
pzy
Ixy
Iyy

pxz
pyz 

0 


Ixz 

Iyz 
Izz
(11.6)
Le relazioni fornite dalla 11.6 costituiscono un mezzo di controllo per valutare le caratteristiche
di inerzia e di massa del modello numerico di una struttura libera ed anche per identificare la
posizione del baricentro del modello che può essere valutata dalle relazioni:
pxy
−pyx
=
Mxx
Myy
pzx
−pxz
=
yG =
Mzz
Mxx
−pzy
pyz
=
xG =
Mxx
Mzz
zG =
(11.7)
Nel caso in cui si possano considerare dei modi rigidi puri, che sono dati da traslazioni e rotazioni
intorno al baricentro, allora la matrice definita dalla 11.6 risulta diagonale ed i termini sulla
diagonale principale sono proprio le masse ed i momenti di inerzia della struttura.
Se si indica con Φ∗R la matrice dei modi rigidi puri, cioè costituiti da traslazioni e rotazioni
attorno al baricentro, si ha:

Mxx




∗T
∗
ΦR MΦR = 


 Simm
0
Myy
0
0
Mzz
0
0
0
Ixx
0
0
0
0
Iyy

0

..
0 

.


0  
=
0 

0 
Izz

mRi
..



(11.8)
.
mentre ovviamente la posizione del baricentro coincide con l’origine del sistema di riferimento.
Sempre nel caso di struttura libera, se si indica con Φ∗R la matrice dei modi rigidi puri e con
ΦE la matrice dei modi elastici si hanno le relazioni di ortogonalità tra modi rigidi puri e modi
elastici:
ΦTE MΦ∗R = 0
ΦTE KΦ∗R = 0
(11.9)
e naturalmente le classiche relazioni di ortogonalità tra modi elastici:


..

.
ΦTE MΦE = 



mEi
..
..



.

.
ΦTE KΦE = 

kEi
..



(11.10)
.
che definiscono le masse e le rigidezze modali della struttura libera; le relazioni 11.9, 11.10
indicando con Φ la matrice che comprende i modi rigidi e quelli elastici
Φ = [Φ∗R |ΦE ]
259
(11.11)
si possono scrivere come
·
0
mR i
0
mEi
·
¸
0 0
T
Φ KΦ =
0 kEi
¸
ΦT MΦ =
(11.12)
Le relazioni definite dalle 11.12 possono essere utilizzate come un controllo del modello numerico
rispetto alle caratteristiche globali di massa e di inerzia della struttura che possono essere anche
misurate sperimentalmente, come avviene per la posizione del baricentro, i momenti di inerzia
e la massa di una struttura aeronautica o spaziale.
E’ anche possibile definire il contributo di un singolo modo elastico rispetto ad un modo rigido,
ad esempio nel caso classico di eccitazione sismica si possono considerare i modi elastici della
struttura vincolata alla base, con la valutazione di un indice del tipo
³
(Mk∗ )j =
(j)T
(j)
T
φR Mφ(k) φ(k) MφR
³
T
φ(k) Mφ(k)
´
´
(11.13)
dove (Mk∗ )j ha il significato fisico del contributo del k − simo modo elastico nella direzione del
(j)
j−simo modo rigido φR .
La 11.13 definisce quindi un indice che permette di valutare il contributo del generico modo
elastico e quindi la sua importanza relativa nel modello ed anche di valutare la “completezza
del modello modale che si considera; si osserva come (Mk∗ )j risulti indipendente dal fattore di
normalizzazione scelto per l’autovettore elastico. Dalla somma dei contributi dovuti ai modi
che si prendono effettivamente in considerazione valutata rispetto al valore noto di massa e di
momenti di inerzia si ha una stima della completezza del modello.
Si può definire infatti:
M∗ =
X
(Mk∗ )j
k = 1, ..., n
(11.14)
k
dove n indica il numero dei modi elastici.
In sintesi perchè il numero dei modi considerati nel modello modale sia sufficiente per una buona
valutazione del comportamento dinamico della struttura si devono rispettare le condizioni:
X
(Mk∗ )x ∼
= Mxx
k
X
(Mk∗ )y ∼
= Myy
k
X
(Mk∗ )z ∼
= Mzz
k
260
(11.15)
X
(Mk∗ )θx ∼
= Ixx
k
X
(Mk∗ )θy ∼
= Iyy
k
X
(Mk∗ )θz ∼
= Izz
k
le 11.15 impongono di “rispettare le condizioni globali di massa e di rigidezza della struttura.
11.5
Prove sperimentali su tavolo vibrante*
Si tratta di un caso particolare di una situazione più generale in cui l’eccitazione del moto
avviene per mezzo di un movimento imposto alla base della struttura (eccitazione sismica). Un
impiego tipico di prove sperimentali condotte su tavolo vibrante si ha nel campo dei sistemi e
delle strutture aerospaziali. Le forze dinamiche di eccitazione della struttura in prova sono le
forze di inerzia corrispondenti al movimento imposto alla base della struttura.
Si consideri, per semplicità , che la base di connessione con la struttura sia infinitamente rigida
in modo che si possa esprimere il moto della base della struttura con l’impiego di un numero r
di gradi di libertà che permettono di determinare gli spostamenti rigidi di tutta la struttura.
Si tratta allora di suddividere il vettore che contiene gli spostamenti x dei gradi di libertà
della struttura in due sottovettori: uno, ad r componenti, è relativo agli r gradi di libertà che
definiscono il moto rigido della base mentre l’altro, ad l componenti, è relativo agli altri gradi
di libertà , che sono indicati come gradi di libertà “interni, essi definiscono i modi elastici della
struttura, e completano il modello della struttura stessa. Quindi il vettore degli spostamenti
viene diviso nelle due componenti xl ed xr :
½
x=
xl
xr
¾
(11.16)
in maniera analoga si possono dividere le matrici di massa e di rigidezza nelle sottomatrici
indicate dalle:
·
Mll Mlr
M=
Mrl Mrr
¸
·
Kll Klr
K=
Krl Krr
¸
(11.17)
ed anche il vettore delle forze esterne si può dividere nelle analoghe componenti:
½
F=
Fl
Fr
¾
½
=
0
Fr
¾
(11.18)
dove Fr indica il vettore delle forze, che sono naturalmente incognite, di reazione sui gradi di
libertà della base, ed Fl indica il vettore delle forze, supposte nulle nelle condizioni di eccitazione
che vengono considerate, che agiscono sui gradi di libertà interni della struttura.
261
Nel caso in cui il moto sia dovuto alla oscillazione della base, come avviene nelle prove sperimentali su “tavolo vibrante, si può esprimerlo come somma del moto rigido, che viene imposto
dal movimento della base, e del moto relativo rispetto alla base, puramente elastico; esso si può
esprimere in termini dei modi fondamentali di vibrazione della struttura che viene considerata
come incastrata alla base di collegamento con il tavolo vibrante. Si ha allora:
h
i
x = Φr xr + Φp η p = Φη
Φ = [Φr |Φp ]
¾
½
xr
η=
ηp
(11.19)
dove Φr è la matrice dei modi rigidi definiti dai gradi di libertà della base e Φp è la matrice dei
modi fondamentali di vibrazione elastici della struttura considerata come incastrata alla base.
Per quanto riguarda la valutazione dei modi rigidi si ha:
½
Φr =
¾
Φlr
I
(11.20)
con (l+r) = n dove n è il numero totale dei gradi di libertà; Φlr indica la matrice componente che
rappresenta le componenti dei modi rigidi relative agli l gradi di libertà elastici della struttura
e può essere valutata direttamente dalla relazione:
KΦr = 0
(11.21)
che deriva dalle proprietà dei modi rigidi; la 11.21 con il partizionamento della matrice K e del
vettore Φr diviene:
·
Kll
Krl
Klr
Krr
¸·
¸
· ¸
0
Φlr
=
I
0
(11.22)
Dalla prime delle 11.22 si ha:
Kll Φlr + Klr = 0
(11.23)
Φlr = −K−1
ll Klr
(11.24)
da cui:
La matrice Φp relativa ai modi propri della struttura, considerata incastrata alla base, si può
indicare con:
·
¸
·
(1)
Φlp
φl
Φp =
=
0
0
(k)
dove i vettori φl
(2)
φl
0
(p) ¸
... φl
...
0
(11.25)
si ottengono dalla soluzione del sistema:
(k)
(Kll − λk Mll ) φl
262
=0
(11.26)
Ponendo la prima delle 11.19 nella:
Mẍ + Cẋ + Kx = f (t)
(11.27)
premoltiplicando per la matrice ΦT = [Φr |Φp ]T e tenendo conto delle proprietà dei modi rigidi:
KΦr = 0
CΦr = 0
(11.28)
che impongono l’annullarsi delle forze elastiche e di dissipazione dovute ai modi rigidi, si ottiene:
·
ΦTr MΦr
ΦTp MΦr
ΦTr MΦp
ΦTp MΦp
¸½
ẍr
η̈ p
¾
·
0
0
+
0 ΦTp CΦp
¸½
ẋr
η̇ p
¾
·
0
0
+
0 ΦTp KΦp
¸½
xr
ηp
¾
½
=
¾
Fr (t)
(11.29)
0
La 11.29 si può scrivere come:
·
mrr
Lpr
LTpr
mp
¸½
ẍr
η̈ p
¾
·
+
0 0
0 cp
¸½
ẋr
η̇ p
¾
·
+
0 0
0 kp
¸½
xr
ηp
¾
½
=
Fr (t)
0
¾
(11.30)
con le posizioni:
mrr = ΦTr MΦr
matrice di massa del corpo rigido
T
matrice di partecipazione modale
T
matrice di massa generalizzata
Lpr = Φp MΦr
mp = Φp MΦp
T
kp = Φp KΦp
T
cp = Φp CΦp
(11.31)
matrice di rigidezza generalizzata
matrice di smorzamento generalizzata
Il sistema 11.30 permette di ricavare le equazioni:
mp η̈ p + cp η̇ p + kp η p = −Lpr ẍr
(11.32)
Fr = mrr ẍr + LTpr η̈ p
(11.33)
L’equazione 11.32 riguarda il moto della struttura rispetto alla base per effetto delle forze inerziali
dovute al movimento che è stato imposto alla base stessa:
fp = −Lpr ẍr
(11.34)
Quindi nella ipotesi di disaccoppiamento dei modi dalla 11.32 si può scrivere per il k-simo modo
elastico:
µ
η̈k + 2ζk ωk η̇k + ωn2 k ηk = −
1
mk
¶
Lkr ẍr
(11.35)
Si tratta della classica equazione modale; dalla sua soluzione si ottiene la risposta, ηk , dovuta
alla eccitazione imposta alla base, indicata con fp , e dalla equazione 11.33 si può calcolare la
forza di reazione alla base indicata con Fr . La misura può essere effettuata con un accelerometro
che viene montato sulla base, considerata rigida, che viene posta in vibrazione (ad esempio con
un movimento di traslazione assiale) mentre la risposta è prelevata da uno, o più accelerometri
posti in punti diversi della struttura.
263
Appendice A
Complementi di teoria degli errori
A.1
Valore più probabile per una grandezza
Si consideri l’applicazione del principio dei minimi quadrati (v. Par. 1.7.3) al caso di n determinazioni sperimentali di una grandezza: si disponga di n valori sperimentali x1 , x2 , ......, xn di
una data grandezza. In tal caso, detto x∗0 il valore più probabile di di tale grandezza, l’errore da
cui è affetta la determinazione xi è dato da:
εi = xi − x∗0
(A.1)
Per trovare x∗0 basterà allora che si minimizzi l’errore quadratico medio
n
X
(xi − x∗0 )2
(A.2)
i=1
Dunque ponendo la condizione di estremalizzazione
n
∂ X
(xi − x∗0 )2 = 0
∂x∗0 i=1
(A.3)
si ricava:
n
X
−2
n
X
xi +
2nx∗0
=0
−→
i=1
x∗0
=
i=1
n
xi
= xm
che dimostra che il valore più probabile di detta grandezza è il suo valor medio.
264
(A.4)
A.2
Legge di propagazione degli errori e sue conseguenze
Consideriamo una grandezza generica f la cui misura è nota dalle misure dirette delle p grandezze
x1 , x2 , ....xj , ....xp , cui f è legata dalla:
f = f (x1 , x2 , ....xj , ....xp )
(A.5)
Si vuole determinare l’errore quadratico medio di f , µf , noti i p errori quadratici medi µxj delle
p misure dirette; si suppone di eseguire n misure di x1 , n misure di x2 , ..., n misure di xp , il che
significa che:
µxj =
v
u n ³
´2
uX
u
xji − xmj
u
t i=1
n
=
v
u n
uX 2
u
εj
u
t i=1 i
n
(A.6)
dove xmj è la media delle n misure xji (i = 1, 2, ..., n) della grandezza j ima . Se si assume per
ogni grandezza xj la media come valore più probabile (v. Par. precedente) allora si assume pure
come valore più probabile per f :
fm = f (xm1 , xm2 , ....xmj , ....xmp )
(A.7)
Siano ora x1i , x2i , ..., xpi i risultati della i-esima serie di misure; essendo
fi = f (x1i , x2i , ....xji , ....xpi )
(A.8)
l’errore della i-esima serie è pari a
εi = fi − fm
(A.9)
In prima approssimazione, confrontando l’errore con una variazione del primo ordine di f , si
può porre:
fi − fm = ∆f =
p
X
Ã
j=1
∂f
∂xj
!
∆xji
(A.10)
ed approssimando ∆xji all’errore della j-esima grandezza, cioè ponendo ∆xji = εji , la A.9
diventa:
εi =
p
X
j=1
Ã
∂f
∂xj
!
εji
(A.11)
in cui le derivate parziali che compaiono nella A.11 vanno calcolate in corrispondenza ai valori
medi delle p grandezze xj (sviluppo in serie di Taylor).
265
Si supponga ora che ognuna delle xj sia distribuita normalmente attorno alla propria media xmj ;
l’errore quadratico medio di f è dato per definizione da:
µf =
e quindi usando la A.11:
Il termine 
p
X
j=1
Ã
∂f
∂xj
(A.12)
n
v

u
! 2
uX
p Ã
u n X ∂f

u
εji 
u
t i=1 j=1 ∂xj
µf =

v
u n
uX 2
u
εi
u
t i=1
(A.13)
n
2
!
εji  comprende termini del tipo:
"Ã
∂f
∂xj
#2
!
(j = 1, 2, ..., p)
εji
(A.14)
e termini del tipo (doppi prodotti):
2
∂f
∂f
εj ·
εh
∂xj i ∂xh i
(h = 1, 2, ...j − 1, j + 1, ....p)
(A.15)
Poichè per i primi:
n
X
i=1
"Ã
∂f
∂xj
#2
!
εji
Ã
=
n
∂f
∂xj
!2 Pn
2
i=1 εji
n
Ã
=
∂f
∂xj
!2
µ2xj
(A.16)
mentre per gli altri1
n
X
i=1
2
∂f
∂f
εj
εh
∂xj i ∂xh i
n
segue che:
=2
n
∂f ∂f X
εji εhi
=0
∂xj ∂xh i=1 n
v
u
!2
p Ã
uX
∂f
u
µf = t
µ2xj
∂xj
j=1
(A.18)
(A.19)
che è la formula ricercata di propagazione dell’errore
1
Nell’ipotesi di distribuzione continua di tipo gaussiano:
n
X
εji εhi
i=1
Z
n
Z
+∞
+∞
=
εj εh p(εj )p(εh )dεj dεh =
−∞
+∞
=
Z
Z
−∞
+∞
εj p(εj )dεj
−∞
εh p(εh )dεh = 0
−∞
poichè integrali di una funzione pari per una funzione dispari su un dominio simmetrico.
266
(A.17)
• Applicando la A.19 alla media di una serie di n misure:
n
X
xm =
xi
i=1
(A.20)
n
essendo in tale caso:
∂xm
1
=
∂xi
n
(A.21)
si ha per l’errore quadratico medio della media o errore standard σm :
µxm
v
u
n
u 1 X
µ
σ
= σm = t 2
µ2i = √ = √
n
i=1
n
n
(A.22)
v
uX
u n
in cui si è usata la definizione σ ≡ µ = t µ2i /n.
i=1
Si osserva infine che dalla definizione di errore della media
ε̄ = x∗ − xm
(A.23)
considerando la distribuzione gaussiana delle medie attorno al valore vero x∗ , si ha allora
che ε̄ = σm con probabilità del 68.5 % (v. Eq. 1.116) e quindi nell’ambito di tale ipotesi
probabilistica può ritenersi pure
σ
ε̄ = √
n
(A.24)
f = x1 + x2 + .... + xj , .... + xp
(A.25)
• Si applichi ora la A.19 ad una somma:
Si ottiene:
µf =
q
µ2x1 + µ2x2 + ... + µ2xp
(A.26)
(l’errore quadratico medio è pari alla radice quadrata della somma dei quadrati degli errori
quadratici medi delle singole misure).
267
Appendice B
Richiami di sistemi dinamici lineari
per le strutture
B.1
Sistemi E.D.O. del I ordine*
Si consideri il sistema di equazioni differenziali ordinarie (EDO) a coefficienti costanti in forma
normale
ẏ = Ay
(B.1)
con condizioni iniziali nell’istante t = 0 y(0) = y0 e con A matrice reale di dimensione N × N ,
e si consideri il problema standard associato di autovalori λi ed autovettori u(n) tali che
(A − λn I)u(n) = 0
n = 1, 2, ..., N
(B.2)
nell’ipotesi che gli autovalori λn siano tutti distinti (in tal caso tutti gli autovettori sono indipendenti). Le N equazioni vettoriali B.2 cui soddisfano gli autovalori λn e gli autovettori u(n)
possono scriversi sinteticamente nella forma matriciale:
AU = UΛ

h
i



dove U = u(1) |u(2) |..u(N ) e Λ = 
(B.3)

λ1
λ2
..


.

.
λN
Ponendo allora
y = Uξ
(e dunque y(0) = y0 = Uξ0 )
268
(B.4)
la B.1, usando la B.3, diventa
Uξ̇ = AUξ → ξ̇ = Λξ
(B.5)
e cioè
ξ˙i = λi ξi
i = 1, 2, ..., N
(B.6)
che è un problema completamente diagonale risolto da
ξi (t) = ξ0i eλi t =⇒ ξ = eΛt ξ0
 λ1 t
e


con eΛt = 

(B.7)

eλ2 t
..


. Quindi usando B.4 e B.7

.
e λN t
³
´
y(t) = UeΛt U−1 y0
(B.8)
La UeΛt U−1 è la matrice di transizione del sistema dinamico e fornisce, quando applicata alle
condizioni iniziali y0 del sistema, lo stato y all’istante (generico) t.
Si noti come se y0 = u(n) , allora la Eq. B.8 porge y(t) = u(n) eλn t . Osservazione
Si noti che la soluzione B.8 del problema lineare dato dalla B.1 può riscriversi in un istante tn+1
successivo ad un istante iniziale tn (∆t = tn+1 − tn ) come
yn+1 = B∆t yn
(B.9)
con ovvio significato dei simboli e dove
B∆t = UeΛ∆t U−1
(B.10)
È ovvio dalla precedente che gli autovalori di B∆t sono ρn = eλn ∆t (le condizioni di stabilità su
λn divengono |ρn | < 1) mentre autovettori di B∆t sono gli stessi di A.
B.1.1
Teoremi*
1. Se A è simmetrica, allora gli autovalori sono reali. Dim. - Per definizione
Au(n) = λn u(n)
(B.11)
Au∗(n) = λ∗n u∗(n)
(B.12)
prendendo il coniugio ( )∗
269
e trasponendo
T(n)
u∗
T(n)
in cui u∗
T(n)
A = λ∗n u∗
T(n)
→ u∗
T(n)
Au(n) = λ∗n u∗
u(n)
(B.13)
u(n) = ||u(n) ||. Ma è pure
T(n)
u∗
Au(n) = λn ||u(n) ||
(B.14)
Sottraendo allora la B.13 e la B.14
(λ∗n − λn ) ||u(n) || = 0
(B.15)
che è vera, essendo ||u(n) || =
6 0, solo se Im(λn ) = 0.
2. Se A è simmetrica, ad autovalori distinti corrispondono autovettori ortogonali, cioè
uT(n) u(m) = 0 per ogni n ed m con n 6= m. Dim. - Siano λm e λn due autovalori
(reali) distinti di A con autovettori u(n) , u(m) . Allora per definizione
Au(n) = λn u(n) → uT(n) A = λn uT(n)
(B.16)
Au(m) = λm u(m)
(B.17)
post- e pre-moltiplicando B.16 e B.17 per u(m) e u(n)
uT(m) Au(m) = λn uT(n) u(m)
(B.18)
uT(n) Au(m) = λm uT(n) u(m)
(B.19)
Sottraendo le precedenti
0 = (λn − λm ) uT(n) u(m) → uT(n) u(m) = 0
che è la tesi.
Osservazione
(B.20)
h
i
Se poi si normalizza u(n) in modo che uT(n) u(n) = 1 e si pone U := u(1) |u(2) |...|u(N ) , si
ha UT U = I e, data l’unicità della matrice inversa, UT = U−1 .
3. A è simmetrica definita positiva se e solo se tutti gli autovalori di A sono positivi.
Dim. - Se A è matrice simmetrica definita positiva, allora per definizione, per ogni x 6= 0
deve essere xT Ax > 0. Preso allora un generico vettore x non nullo può scriversi in
modo unico come combinazione lineare degli autovettori (ortogonali) di A, e cioè x =
PN
n
u(n) x̄ = Ux̄. Allora





λ1
0 < xT Ax = x̄T UT AUx̄ = x̄T 
λ2
..
N

X

x̄2n λn
 x̄ =

n
.
λN
270
(B.21)
che (per x 6= 0) è vera se λn > 0.
Osservazione Se si considerasse B = −A, si mostrerebbe che gli autovalori sono in questo
caso reali negativi.
Per ulteriori approfondimenti sugli aspetti precedenti si rimanda, ad esempio, a Rif. [7].
B.2
Sistemi dinamici del II ordine per problemi strutturali*
Si consideri innanzitutto il sistema dinamico del II ordine
Ip̈ + Bp = 0
(B.22)
con condizioni iniziali p(0) = p0 e ṗ(0) = ṗ0 e con B matrice simmetrica definita positiva.
Si consideri quindi il problema di autovalori associato
[B − λn I] u(n) = 0
n = 1, 2, ...N
(B.23)
in cui allora λn sono ora tutti reali positivi e u(n) sono ortogonali per autovalori distinti.
L’equazione B.23 può scriversi in forma compatta matriciale
BU = UΛ
(B.24)
In virtù dell’ortogonalità degli autovettori
distinti, questi
possono normalizzarsi in modo che


λ1


λ2


U−1 ≡ UT e quindi Λ = UT BU = 
. Tornando al problema B.22, ponendo
.
..


λN
p = Uη
(B.25)
e quindi con le condizioni iniziali
p0 = Uη 0 → η 0 = UT p0
(B.26)
ṗ0 = Uη̇ 0 → η̇ 0 = UT ṗ0
(B.27)
si ha
Iη̈ + Λη = 0
(B.28)
Essendo ora λi > 0 per i = 1, 2, ..., N , si può porre λi = ωi2 e quindi riscrivere la B.28 nella
forma scalare
η̈i + ωi2 ηi = 0
i = 1, 2, ...N
271
(B.29)
che ammette soluzione
ηi (t) = η0i cos(ωi t) +
η̇0i
sin ωi t
ωi
(B.30)
ovvero in forma matriciale
η = Cη 0 + Ω−1 Sη̇ 0
(B.31)
(C = matrice diag. coseni; S = matrice diag. seni). Quindi finalmente
h
p(t) = U CUT p0 + Ω−1 SUT ṗ0
i
(B.32)
Si consideri ora il problema dinamico libero del II ordine nella forma tipica di problemi strutturali
(non smorzati)
Mẍ + Kx = 0
(B.33)
con M e K matrici simmetriche definite positive. Si consideri inoltre il problema di autovalori
associato ad M
(M − νn I)t(n) = 0
(B.34)
con νn > 0 per ogni n. Esso può scriversi nella forma
 matriciale compatta MT = TN, cioè
ν1


ν2


N = TT MT avendo definito N = 
 ed essendo ancora TT ≡ T−1 .
.
..


νN
1
1
1
Allora, essendo i νn tutti reali positivi, si può introdurre una matrice M 2 tale che M 2 M 2 = M,
1
1
1
1
1
1
definendo M 2 = TN 2 TT . Infatti M = TNTT = (TN 2 TT )(TN 2 TT ) = M 2 M 2 .
1
³
1
Di conseguenza sarà pure M− 2 = TN 2 TT
´−1
1
= TN− 2 TT , che è pure una matrice simmetrica
definita positiva. Se quindi si considera la trasformazione lineare
1
x = M− 2 p
(B.35)
la B.33 diventa
1
1
Ip̈ + M− 2 KM− 2 p = 0
(B.36)
Ip̈ + Bp = 0
(B.37)
e cioè
272
1
1
con B = M− 2 KM− 2 pure matrice simmetrica definita positiva,1 che è il problema B.22. Dunque
anche il problema B.33, ovvero
Iẍ + M−1 Kx = 0
(B.38)
può ricondursi con la trasformazione B.35 al problema B.22 avendo medesimi autovalori reali
positivi, quadrati delle pulsazioni naturali, ed autovettori z(n) ancora reali correlati con la Eq.
B.35
1
z(n) = M− 2 u(n)
(B.39)
T
Inoltre dovendo valere, a meno di opportuna normalizzazione, u(n) u(m) = δmn , si ritrovano con
la B.39 le ben note proprietà di ortogonalità del sistema meccanico B.33
T
z(n) Mz(m) = δmn
B.3
(B.40)
Sistemi dinamici per problemi strutturali scritti in forma
normale
Al sistema dinamico non forzato del II ordine per problemi strutturali Iẍ + Bx = 0 è associabile
il problema di autovalori Bu(n) = λn u(n)
(n = 1, 2, ...N ) con B := M−1 K, λn > 0 e u(n)
ortogonali rispetto alle matrici di massa e di rigidezza.
Riscrivendo il sistema in forma normale:
½
ẋ
v̇
¾
·
0
I
=
−B 0
¸½
x
v
¾
½
=A
x
v
¾
(B.41)
si possono considerare gli autovalori µn e gli autovettori v(n) tali che
Av(n) = µn v(n)
con n = 1, 2, ..., (2N )
(B.42)
Sviluppando la B.42 e considerando le partizioni di A si ha
(n)
Bv1
(n)
v2
( (n) )
essendo
v(n)
=
(n)
= −µn v2
(B.43)
(n)
= µn v1
v1
(n) .
v2
Dalla prima delle B.43 sostituendo la seconda
(n)
Bv1
1
1
1
¡
¢
= −µ2n v1 (n)
1
(B.44)
Infatti B = M− 2 KM− 2 = M 2 M−1 K M− 2 , cioè una trasformazione simile di matrici che conserva gli
autovalori.
1
273
che per unicità di autovettori ed autovalori associati ad una matrice porge
½
λn ≡ −µ2n
(n)
u(n) ≡ v1
n = 1, 2, ...N
(B.45)
Quindi se si risolve il problema del II ordine riscritto in forma normale, il problema di autovalori
associato (di dim. 2N ) è correlato con quello associato al problema del II ordine con
p
µn = i λn
½ (n) ¾
u
v(n) =
µn u(n)
(B.46)
n = 1, 2, ...N
(B.47)
più gli altri N autovalori ed autovettori complessi coniugati dei precedenti.
B.4
Osservazioni sui sistemi strutturali: approccio alla “Duncan”*
Consideriamo un sistema meccanico con smorzamento viscoso
Mẍ + Cẋ + Kx = 0
(B.48)
con C matrice simmetrica. Con quanto mostrato sopra la massa può sempre rendersi unitaria
1
1
1
1
1
con la trasformazione x = M− 2 z e quindi M → I, C → M− 2 CM− 2 , K → M− 2 KM− 2 . Si
può porre allora, usando una arbitraria matrice simmetrica Q,
½
·
Qw = Qẋ
Q 0
⇒
Mẇ = −Cw − Kx
0 M
¸½
ẋ
ẇ
¾
·
0
Q
=
−K −C
¸½
x
w
¾
(B.49)
Se si sceglie Q = −K si ottiene un problema del tipo:
A1 ẏ = A0 y
(B.50)
con A1 e A0 simmetriche ma non definite positive. Confrontando gli autovalori di µn A1 v(n) =
A0 v(n) con (p2n M + pn C + K)ψ (n) = 0, si ottiene facilmente procedendo come in precedenza nel
(n)
par. B.3, che pn = µn n = 1, 2, ...2N e v1
(n)
= ψ n e v2
274
(n)
= µn v1
≡ pn ψ (n) .
Appendice C
Richiami di teoria dei segnali
random
C.1
Densità spettrale di potenza e teorema di Wiener-Khintchine
Consideriamo la funzione del tempo x(t): la potenza media associata a tale grandezza in un
tempo teoricamente infinito si definisce come la media
1
T →+∞ T
PM := lim
Z T /2
−T /2
x2 (t)dt
(C.1)
Usando allora la definizione di antitrasformata di Fourier si ha
Z
1 T /2
PM
= lim
x(t)[x(t)]∗ dt
T →+∞ T −T /2
1
T →+∞ T
= lim
1
T →+∞ T
= lim
1
T →+∞ T
= lim
Z T /2 Z ∞
· Z ∞
x̃(f1 )e2πf1 t df1 (
−T /2 −∞
Z T /2 Z +∞
Z
¸∗
dt
x̃∗ (f2 )e−2πf2 t df2 dt
+∞
Z +∞
Z T /2
x̃(f1 )
x̃∗ (f2 )
e2π(f1 −f2 )t dtdf1 df2
−∞
−∞
−T /2
−T /2 −∞
Z +∞
x̃(f1 )e2πf1 t df1
−∞
−∞
x̃(f2 )e2πf2 t df2
nelle quali si è ridefinita la variabile f2 con la sua opposta di segno. Ricordando ora che dalla
teoria delle distribuzioni si ha1
Z ∞
−∞
e±2πat dt = δ(a)
(C.4)
1
La Eq. C.4 può essere giustificata considerando una ‘funzione rettangolare’ del tempo r(t) costante e pari ad
uno nell’intervallo [−b, b]: la sua trasformata di Fourier è paria a
Z
b
F [r(t)] =
1e
−b
−2πjtf
1
dt =
−2πjf
Z
·
b
e
−2πjtf
−b
d (−2πjf ) =
¸
sin(2πbf )
2b
2πbf
(C.2)
che, a meno del fattore 2b, è la funzione sin x/x. Ora per b che tende ad infinito, tale funzione tende nell’origine
ad un valore infinito ed il suo primo zero (per f = 1/2b) tende a spostarsi nell’origine dell’asse delle frequenze:
275
allora
PM
Z ∞
1
= lim
T →+∞ T
=
Z ∞ ·
lim
x̃(f1 )
−∞
¸
x̃∗ x̃
−∞ T →∞
T
Z ∞
−∞
x̃∗ (f2 )δ(f1 − f2 )df2 df1
df
(C.5)
(C.6)
Si osserva subito che l’ultima espressione tra parentesi quadre ha significato di una “densità di
potenza” del segnale rispetto la frequenza f
x̃∗ x̃
T →∞ T
Sxx := lim
(C.7)
La Sxx è allora definita come densità spettrale di potenza (Power Spectral Density) del segnale
x(t).
Dalle precedenti uguaglianze si nota che vale pure per l’energia
Z +∞
−∞
x2 (t)dt =
Z +∞
−∞
Z +∞
x̃∗ x̃df ≡
−∞
kx̃k2 df
(C.8)
nota come teorema di Parseval che dice come il contenuto energetico del segnale sia totalmente
dovuto all’ampiezza del suo spettro.
Definiamo ora funzione di autocorrelazione di un segnale x(t) la funzione
Rxx (τ ) = E [x(t), x(t + τ )]
(C.9)
essendo E [·] la funzione statistica di “valore atteso di ”. Ora per segnali di tipo random che siano
stazionari (cioè che tutte le loro caratteristiche statistiche non varino per traslazioni temporali)
ed ergodici (cioè che le grandezze di media tra campioni diversi di segnali possono ottenersi come
medie temporali dello stesso segnale) vale la importante semplificazione
1
Rxx (τ ) = E [x(t), x(t + τ )] = lim
T →+∞ T
Z T /2
−T /2
x(t)x(t + τ )dt
(C.10)
La relazione C.10 permetterà di ricavare la fondamentale relazione della teoria dei segnali random
nota come relazione di Wiener-Khintchine
Sxx (f ) =
Z ∞
−∞
Rxx (τ )e−2πf τ dτ
(C.11)
che dice sostanzialmente che la densità spettrale di potenza di un segnale è la trasformata di
Fourier della sua funzione di autocorrelazione. Per la dimostrazione procediamo per maniera
dunque tale funzione tenderebbe a comportare a limite come la funzione δ(f ). Pertanto dalla C.2 si ha
Z
∞
e−2πjtf dt = δ(f )
−∞
che è la tesi.
276
(C.3)
inversa, cioè definita la Sxx con la C.11 come la trasformata della Rxx , mostriamo che vale allora
la C.7.
Sxx=
Z ∞
−∞
Z ∞
1
T →+∞ T
= lim
−∞
Z T /2 ·Z ∞
−T /2
−∞
·Z ∞
Z
1 T /2
= lim
T →+∞
= lim
1
T →+∞ T
Rxx (τ )e−2πf τ dτ = e−2πf τ lim
T
−T /2
Z
1 T /2
T →+∞
T
1
T →+∞ T
= lim
−T /2
Z T /2
−T /2
−∞
Z T /2
−T /2
x(t)x(t + τ )dtdτ
¸
x(t)x(t + τ )e−2πf τ dτ dt
¸
x(t)e2πf t x(t + τ )e−2πf (t+τ ) dτ dt
2πf t
x(t)e
·Z ∞
¸
−∞
x(t + τ )e
−2πf (t+τ )
d(t + τ ) dt
x̃∗ x̃
T →∞ T
x(t)e2πf t dt x̃ = lim
in cui si è usata x̃(−f ) = x̃∗ (f ).
Consideriamo ora alcune proprietà della funzione di correlazione:
• La funzione di autocorrelazione è funzione pari:
Rxx (−τ ) =
1
T →+∞ T
=
1
T →+∞ T
lim
lim
Z T /2
−T /2
Z T /2
−T /2
x(t)x(t − τ )dt
x(t̄ + τ )x(t̄)dt̄ = Rxx (τ )
(C.12)
Da ciò e dal precedente teorema di Wiener-Khintchine deriva inoltre che la Sxx è funzione
reale e pure pari.
• Si ha che
1
T →+∞ T
Rxx (0) = lim
Z T /2
−T /2
x(t)2 dt = σx2
(C.13)
rappresenta il valore quadratico medio del segnale (nel caso il segnale sia a media nulla).
Dalla Eq. C.11 segue allora che
Rxx (0) ≡
σx2
=
Z +∞
−∞
Sxx df ≡ PM
(C.14)
• Le funzioni di autodensità spettrali sono reali, infatti in virtù della simmetria di Rxx (τ ) si
ha:
Sxx (ω) =
Z +∞
−∞
Rxx (τ )e
−ωτ
dτ =
Z +∞
−∞
Rxx (τ )[cos ωτ − j sin ωτ ]dτ =
che dimostra la tesi.
277
Z +∞
−∞
Rxx (τ ) cos ωτ dτ
• Si definisce una particolare famiglia di ingressi random detti rumore bianco tale da avere
densità spettrale di potenza costante e funzione di autocorrelazione impulsiva, Rxx (τ ) =
δ(τ ). Per tali segnali risulta evidentemente che in ogni istante di tempo è correlato solo
con esso stesso.
C.2
Relazioni tra densità spettrali auto e incrociate di ingresso
e uscita di sistemi lineari
Consideriamo un sistema SISO lineare con ingresso f (t) ed uscita x(t) e matrice di trasferimento2 H(s): dal teorema della convoluzione si ha per le uscite x(t) e x(t + τ )
x(t) =
Z ∞
0
h(t1 )f (t − t1 )dt1
x(t + τ ) =
Z ∞
0
h(t2 )f (t + τ − t2 )dt2
(C.15)
Quindi dalla definizione di funzione di autocorrelazione
Rxx (τ ) = E[x(t), x(t + τ )] =
Z ∞
=
Z0∞
=
0
h(t1 )
h(t1 )
Z ∞
Z0 ∞
0
Z ∞
0
h(t1 )
Z ∞
0
h(t2 )E[f (t − t1 ), f (t + τ − t2 )]dt1 dt2
h(t2 )E[f (t), f (t + τ + t1 − t2 )]dt1 dt2
h(t2 )Rf f (t1 − t2 + τ )dt1 dt2
(C.16)
Dunque per la densità spettrale dell’uscita si avrà dal teorema di Wiener e dalla precedente
Sxx (ω) =
=
=
Z ∞
−∞
Z ∞
0
Rxx (τ )e−jωτ dτ =
h(t1 )
Z ∞
Z ∞
0
h(t2 )
−∞
½Z ∞
Z ∞
h(t1 )ejωt1 dt1
Z ∞ ½Z ∞
−∞
0
Z ∞
0
¾
h(t2 )Rf f (t1 − t2 + τ )dt1 dt2 e−jωτ dτ
¾
Rf f (t1 − t2 + τ )e−jωτ dτ dt1 dt2
h(t2 )e−jωt2 dt2
0
h(t1 )
Z ∞
Rf f (t1
−∞
0
− t2 + τ )e−jω(t1 −t2 +τ d(t1 − t2 + τ )
= H(−ω)H(ω)Sf f (ω) = H ∗ (ω)H(ω)Sf f (ω)
(C.17)
che dimostra la relazione 8.29.
Se ora si considera la crosscorrelazione Rf x (τ ) si ha:
Rf x (τ ) = E[f (t), x(t + τ )] =
Z ∞
0
h(t1 )E[f (t), f (t + τ − t1 )]dt1 =
Z ∞
0
h(t1 )Rf f (τ − t1 )dt1(C.18)
Quindi, per la densità spettrale incrociata si avrà, dal teorema di Wiener e dalla precedente
Sf x (ω) =
=
Z ∞
−∞
Z ∞
0
Rf x (τ )e−jωτ dτ =
Z
h(t1 )e−jωt1 dt1
Z ∞ ½Z ∞
−∞
∞
−∞
0
¾
h(t1 )Rf f (τ − t1 )dt1 e−jωτ dτ
(C.19)
Rf f (τ − t1 )e−jω(τ −t1 ) d(τ − t1 ) = H(ω)Sf f (ω)
2
Si noti che ogni elemento della matrice delle funzioni di risposta in frequenza ad esempio di un sistema
meccanico M IM O è di fatto una F RF di un sistema SISO quando si fissa come ingrsso un unico punto (indice
di colonna) di applicazione della forza e un punto (indice di riga) per le uscite.
278
la quale dimostrerebbe la Eq. 8.30.
Se ora si considera la crosscorrelazione Rxf (τ ) si ha:
Rxf (τ ) = E[x(t), f (t + τ )] =
Z ∞
0
h(t1 )E[f (t − t1 ), f (t + τ )]dt1 =
Z ∞
0
h(t1 )Rf f (t1 + τ )dt1(C.20)
Quindi, per la densità spettrale incrociata si avrà, dal teorema di Wiener e dalla precedente
Sxf (ω) =
=
Z ∞ Z +∞
−∞ 0
Z ∞
0
h(t1 )e
h(t1 )Rf f (t1 + τ )dt1 e−jωτ dτ
jωt1
dt1
Z +∞
−∞
Rf f (t1 + τ )e−jω(t1 +τ ) d(τ + t1 ) = H ∗ (ω)Sf f (ω)
la quale dimostrerebbe la Eq. 8.30.
Si osserva che confrontando ca C.19 e la C.20 si ottiena la:
Sf x (ω) =
∗
Sxf
(C.21)
che dimostra la Eq. 8.28. Se ora si riscrive la relazione coniugata della giá dimostrata Eq. 8.30
e si utilizza pure la Eq. 8.29, si ha
Sxf (ω) = H ∗ (ω)Sf f (ω) =
H ∗ (ω)
Sxx (ω)
Sxx (ω) =
∗
H (ω)H(ω)
H(ω)
che infine dimostra pure l’Eq. 8.31.
279
(C.22)
Appendice D
Esperienze di misure dinamiche su
strutture elementari in alluminio
La presente appendice è stata curata dal Sig. Gian Mario
Polli nell’ambito della sua attività di borsista di laboratorio
di strutture presso il Dip. Aerospaziale dell’Università degli
studi di Roma “La Sapienza” nell’A.A. 1999/2000.
D.1
Introduzione
Diverse sono le scelte che lo sperimentatore deve compiere per eseguire una prova di analisi
dinamica. Le differenze e i vantaggi delle possibili alternative nella configurazione dell’apparato
sperimentale, disponibile presso il laboratorio del dip. Aerospaziale, sono state illustrate a
partire dalle impostazioni scelte in due casi semplici di acquisizione di FRF ( Frequency Response
Function )
Il lavoro può pensarsi diviso in tre fasi: nella prima si scelgono e si impongono le condizioni
di vincolo da applicare alla struttura e si individuano conseguentemente gli strumenti di eccitazione e di misura più adatti per l’acquisizione delle funzioni di risposta in frequenza. Nella
seconda si impostano opportunamente i parametri del software di acquisizione e si procede con
la registrazione dei segnali. Nella terza si analizzano i risultati attraverso opportuni programmi
d’analisi che devono, a loro volta, essere correttamente configurati. Gli esempi che saranno presi
in considerazione, limitati per l’esiguità delle apparecchiature disponibili presso il laboratorio,
sono comunque in grado di evidenziare le principali difficoltà e scelte tipiche di una prova di
analisi dinamica.
Tali esempi riguardano l’acquisizione delle FRF di una trave d’alluminio incastrata in un intervallo di frequenze compreso tra 0 e 200 Hz e tra 0 e 400 Hz, e di una piastra sempre d’alluminio
280
appesa con degli elastici ad un supporto in modo da simulare una condizione di assenza di vincoli
in un intervallo di frequenze compreso tra 0 e 800 Hz.
D.2
Descrizione dell’apparato sperimentale
Presso il laboratorio del dipartimento d’ingegneria strutturale della Facoltà d’Ingegneria Aerospaziale
sono disponibili diversi apparati di misura:
• 4 accelerometri piezoelettrici ICP
• 2 martelli ICP
• 2 amplificatori di segnale, alimentati a corrente alternata, con guadagno variabile e
regolabile da 1 a 100 con 4 canali di ingresso e altrettanti di uscita
• 1 amplificatore a batteria dedicato con guadagno variabile e regolabile da 1 a 100
• 1 sistema di acquisizione e trattazione dei segnali DIFA DSA 220
• 1 software dedicato all’analisi dei risultati CADA-PC
Le caratteristiche rilevate degli strumenti impiegati nelle misure sono riportate di seguito:
• Un martello PCB (model 086C03) con le seguenti caratteristiche:
Frequency range
8 kHz
Hammer range
2200 N
Hammer sensitivity
2.3 mV /N
Resonant frequency
31 kHz
• Un martello PCB (model 086C80) con le seguenti caratteristiche:
Frequency range
15 kHz
Hammer range
220 N
Hammer sensitivity
22.5 mV /N
Resonant frequency
100 kHz
• Un accelerometro PCB (model 352A10 - n◦ 16214) con le seguenti caratteristiche:
Voltage sensitivity
10.01 mV /g
(1.02 mV /ms− 2)
Range
500 ±g
(4900 ms− 2)
Resolution
0.006 g
(0.0588 ms− 2)
Resonant frequency
79.5 kHz
• Un accelerometro PCB (model 352A10 - n◦ 16213) con le seguenti caratteristiche:
Voltage sensitivity
10.01 mV /g
(1.02 mV /ms− 2)
Range
500 ∓g
(4900 ms− 2)
281
Resolution
0.006 g
(0.0588 ms− 2)
Resonant frequency
79.5 kHz
D.3
I Parte
Prima di realizzare una prova di analisi modale è fondamentale definire gli scopi della prova stessa: la complessità della realizzazione dipende infatti largamente da questi. Importanti domande
a cui è necessario rispondere sono:
• Quali risultati deve produrre l’esperimento? Solo frequenze di risonanza, con o senza
smorzamento? Deformate modali? Un modello modale per un intervallo di frequenze
ampio o stretto?
• Come verranno usati i risultati? Per correlarli con un modello ad elementi finiti? Per
ricostruire un modello numerico sulla base dei risultati sperimentali?
Per verificare
l’evoluzione delle caratteristiche modali della struttura nel tempo?
• Qual è l’accuratezza richiesta? E’ sufficiente una stima rozza? O è necessaria una accuratezza elevata per risolvere problemi critici? Le risposte a queste domande determinano
in gran parte la procedura di misura, l’apparato sperimentale e il costo e stabiliscono il
tipo di sospensione della struttura, il tipo e la collocazione del sistema di eccitazione, il
tipo e la collocazione del sistema di misura, l’intervallo di frequenze, etc.
D.3.1
Scelta delle condizioni di vincolo
La scelta delle condizioni di vincolo da applicare alla struttura dipende dall’obiettivo che si pone
l’esperienza. Prevalentemente si possono incontrare tre situazioni: confronto con un modello ad
elementi finiti della struttura, misura della dinamica nelle normali condizioni operative oppure
misura della dinamica di un componente di una struttura in particolari condizioni di vincolo.
In tutti i casi lo sperimentatore deve cercare di riprodurre il più fedelmente possibile i vincoli e
l’ambiente che sono imposti, nella realtà virtuale del codice ad elementi finiti, come, nella realtà
operativa della struttura.
La difficoltà principale nel riprodurre in laboratorio una condizione di vincolo tipica come l’incastro è rappresentata dall’indisponibilità di supporti sufficientemente pesanti e stabili cui vincolare
la struttura che si vuole misurare, senza che, nell’acquisizione delle FRF, siano misurate frequenze introdotte artificialmente dal vincolo. Analogamente una condizione libera della struttura,
cioè assenza di collegamenti con l’ambiente, potrebbe essere riprodotta appendendo al soffitto la
struttura con delle molle estremamente flessibili o con degli elastici. Per minimizzare l’influenza
della sospensione, i punti di connessione dovrebbero essere posti in corrispondenza dei nodi della
struttura e a questo scopo una preventiva analisi agli elementi finiti dovrebbe fornire utili informazioni. La presenza delle sospensioni morbide dovrebbe spostare le frequenze di risonanza dei
282
modi rigidi dai teorici 0 Hz a dei valori leggermente superiori: per questo i collegamenti devono
essere sufficientemente flessibili da assicurare che queste risonanze stiano ben al di sotto della
prima frequenza fondamentale di deformazione.
Condizioni di vincolo tipiche e facilmente riproducibili in laboratorio sono quelle di incastro e
libera e sono quelle prese in considerazione nei due esperimenti descritti nel seguito.
ESEMPIO 1:
La trave di alluminio usata nell’esperimento è descritta dalle seguenti caratteristiche
geometriche e strutturali:
lunghezza (l)= 51 cm
larghezza (b)=2.5 cm
spessore (h)=0.37 cm
modulo di Young (E)=77.175 109 Pa
densità (ρ)=2700 kg/m3
La struttura è stata incastrata ad una piastra metallica, appoggiata, mediante un
cavalletto, al pavimento, con un momento d’incastro, misurato con una chiave dinamometrica, di 70N m. La lunghezza riportata è la lunghezza effettiva della trave
cioè dalla sezione di incastro all’estremo libero, il vincolo è stato applicato in prossimità dell’incastro del supporto al cavalletto per minimizzare l’effetto delle oscillazioni
della piastra attorno al vincolo sulla misura delle FRF della trave. Si è infatti osservato, dopo un iniziale tentativo d’incastro nella parte centrale della piastra, che ben due
frequenze, in corrispondenza di 15 e 76Hz, erano avvertite in maniera indesiderata
dagli accelerometri posti sulla trave e riconducibili alle vibrazioni del vincolo.
ESEMPIO 2:
La piastra di alluminio usata nel secondo esperimento è descritta dalle seguenti
caratteristiche geometriche e strutturali:
larghezza (l) =25 cm
spessore (s) =0.15 c
modulo di Young (E)= 70 109 Pa
densità (ρ )=2700 kg/m3
La struttura è stata appesa al cavalletto per simulare una condizione libera del
sistema mediante sei elastici legati assieme e collegati a due spigoli della piastra
283
in modo da consentire a questa due modi rigidi” di rotazione attorno ad un asse
parallelo e ad uno ortogonale agli elastici.
D.3.2
Scelta del sistema di eccitazione e di misura
Fondamentalmente esistono due metodi d’eccitazione: con eccitatore elettrodinamico connesso
alla struttura, o con martello. I vantaggi principali di quest’ultimo sistema sono rappresentati
dalla semplicità d’impiego e dall’assenza di alterazioni nella dinamica della struttura, gli svantaggi sono rappresentati dalla concentrazione dell’energia di eccitazione in istanti molto brevi
con conseguenti possibili problemi di non linearità della risposta e della necessità di un numero
elevato di battute per strutture molto grandi. Al contrario lo shaker elettromagnetico consente
un’ampia gamma di possibili segnali d’eccitazione ma è portatore di effetti indesiderati dovuti
all’alterazione della struttura.
Un sistema d’eccitazione a più ingressi consentirebbe di distribuire l’energia d’ingresso su tutta
la struttura e pertanto può considerarsi se disponibile una soluzione altamente ricercabileegin
ESEMPI 1,2:
Per entrambi i casi esaminati in pratica, si è scelto di operare con un martello con
cella di carico di fabbricazione PCB, collegato, attraverso un amplificatore, al sistema
d’acquisizione dati DSA-200. Il martello scelto per le misure è il modello 086C03.
Questa scelta è stata effettuata sulla base della frequenza massima ricercata nelle
misure, 800 Hz; uno spettro di frequenze, quindi, ampiamente coperto dalla banda
passante del martello che arriva a 8000 Hz.
A questo proposito è opportuno ricordare che la frequenza massima di eccitazione diminuisce
all’aumentare della massa del martello ed aumenta all’aumentare della rigidezza della punta di
impatto del martello. Più la forza di impatto approssima un impulso di Dirac e più ampio sarà
lo spettro di frequenza in cui la struttura viene eccitata: martelli pesanti con punte morbide
sono caratterizzate da una durata molto lunga del tempo di impatto e sono pertanto consigliabili
per misure a bassa frequenza.
Il martello impiegato nelle misure è dotato di due punte intercambiabili classificate
come supersoft” (rossa) e soft” (nera). Per gli esperimenti sulla trave è stata utilizzata la punta rossa, mentre per quelli sulla piastra la punta nera, dati i differenti
intervalli di frequenze coinvolti.
Le caratteristiche geometriche ed inerziali del martello usato sono:
284
Massa
0.14 kg
Diametro testina
1.5 cm
Diametro punta
0.63 cm
Data la semplicità delle strutture esaminate non è stato difficile individuare i punti
di battuta che sono andati a coincidere alternativamente con i punti di misura.
La trave è stata idealmente divisa in 10 nodi, equispaziati a partire dalla sezione
di incastro, e il punto di battuta è stato individuato in corrispondenza dell’asse di
simmetria della stessa.
Figura D.1: Scelta dei nodi sulla trave
Sulla piastra sono state individuate due configurazioni. La prima è stata descritta da
9 nodi disposti ai vertici e sugli assi di simmetria; la seconda da 16 nodi equispaziati
in modo da formare un reticolo con quattro righe e altrettante colonne.
La scelta del numero e della collocazione dei punti di misura dipende, come è già stato sottolineato, dagli scopi della sperimentazione; negli esempi esaminati si è in particolare scelto di
far coincidere i punti di misura con i nodi dei modelli agli elementi finiti realizzati in modo
da facilitare la correlazione dei risultati forniti dall’approccio numerico con quello sperimentale.
In generale si ricorda che il numero dei punti di risposta dipende dall’ampiezza della banda di
frequenze di interesse e dal numero di modi che si vogliono analizzare oltre che, naturalmente,
dal numero di trasduttori disponibili e dal tempo a disposizione per le misure. I modi ad alta frequenza sono infatti caratterizzati da lunghezze d’onda relativamente piccole e pertanto
285
Figura D.2: Scelta dei nodi sulla piastra
Figura D.3: Scelta dei nodi sulla piastra
sarebbero richiesti numerosi punti di risposta per un’adeguata descrizione di questi modi. A tal
proposito si ricorda che un numero elevato di trasduttori soprattutto su strutture leggere può
causare significative alterazioni per effetto della massa aggiunta degli stessi.
286
Negli esperimenti condotti in laboratorio è stato impiegato esclusivamente l’accelerometro PCB 352A10 (n◦ 16213) collegato per mezzo di un amplificatore di
segnale al sistema di acquisizione dati. L’accelerometro è stato montato, via via,
nei diversi punti di misura individuati per l’acquisizione delle FRF, attraverso un
sottile strato di cera precedentemente preparato in corrispondenza di detti punti.
Il sistema di montaggio richiede una breve nota di commento. Esistono vari tipi di collegamento
degli accelerometri alle strutture, ma ognuno può essere pensato come una molla che assieme alla
massa dell’accelerometro costituisce un nuovo sistema massa molla. I risultati migliori sono stati
quelli forniti da connessioni estremamente rigide ottenute realizzando degli alloggiamenti nella
struttura e impiegando dei collanti opportuni; tramite questa tecnica sono state riscontrate le più
alte frequenze di risonanza. L’impiego di sottili strati di cera ha in ogni caso portato a dei risultati
ragguardevoli, che, sommati al basso costo e alla facilità d’impiego, li hanno resi preferibili in
assoluto. Altre tecniche riguardano l’uso di magneti (validi solo su superfici ferromagnetiche)
e addirittura delle mani per tenere l’accelerometro in contatto con la superficie della struttura,
ma è forse inutile osservare che, in entrambi i casi, la massima frequenza rilevabile è di molto
inferiore a quella dei primi due sistemi descritti.
D.4
II Parte
D.4.1
Premessa
Se i risultati dell’acquisizione sperimentale verranno manipolati con il software di analisi modale
CADA-PC, è necessario innanzitutto creare un project nel database di questo programma dove
registrare i dati alla fine della procedura di acquisizione.
L’esportazione dei dati è infatti una procedura automatica, che deve essere impostata all’interno
dell’analizzatore D-TAC, assegnando un percorso di destinazione già esistente. Per creare un
nuovo progetto di analisi all’interno del software CADA-PC, è necessario avviare questo pacchetto e selezionare l’icona Project Manager. Dal menu selezionare File ⇒ New Project e
digitare il nome del nuovo progetto.
ESEM P I1 − 2
Per la registrazione dei segnali sono stati creati due directory di progetto:
• GMTRAVE per le prove sulla trave,
• GMPIAS per le prove sulla piastra.
287
Tra le informazioni che devono essere fornite all’analizzatore (nella finestra Setting⇒ Labels )
per trasferire i dati misurati nel formato del database del CADA-PC, ci sono anche le etichette,
cioè i nomi dei punti di battuta e di misura. Queste devono essere assegnate una volta per
tutte costruendo il modello geometrico della struttura, sempre all’interno del software di analisi,
selezionando l’icona Geometry Manager come descritto nella terza parte di questa relazione.
Una volta creata la directory di destinazione dei dati, si può uscire dal CADA-PC e procedere
alla configurazione dell’altro pacchetto software D-TAC (Difa Transfer and Control software ).
D.4.2
Preparazione del sistema di misura
Effettuate le scelte descritte nella prima parte, il lavoro procede con la connessione degli strumenti all’analizzatore di segnali DIFA DSA 220. La connessione può avvenire in due modi
distinti :
1. direttamente ai canali di ingresso e uscita del sistema
2. per il tramite di un amplificatore di segnale regolabile.
Negli esempi nel seguito descritti si è scelto di amplificare sempre il segnale di un fattore 10 sia
per il segnale d’eccitazione che per il segnale di risposta ma possono essere equivalentemente
ripetuti connettendo direttamente gli accelerometri ed il martello ai canali d’ingresso del sistema
di acquisizione.
Si è scelto di assegnare al canale di ingresso input 1 il collegamento col martello e al canale input
2 il segnale di risposta misurato con l’accelerometro; nulla vieta comunque di modificare l’ordine
e soprattutto di aumentare il numero dei canali disponendo più accelerometri sulla struttura ad
ogni singola misura, effettuando in altre parole una prova SIMO invece che SISO.
esempi1 − 2
Si collega un cavo di trasferimento di segnale dal canale di uscita 1 dell’amplificatore
(output 1- nella colonna di destra) al canale di ingresso 1 del difa (in 1); un secondo
cavo collega il canale di uscita 2 dell’amplificatore (output 2- colonna destra) al canale
di ingresso 2 del difa (in 2). Il cavo del martello viene collegato col canale di ingresso
1 dell’amplificatore (input 1- colonna sinistra); il cavo dell’accelerometro terminante
con un adattatore viene collegato col canale di ingresso 2 dell’amplificatore (input 2colonna sinistra).
L’amplificatore viene acceso. Dopo l’accensione si attende circa un minuto perché
l’amplificatore riconosca i canali attivi e spenga il led luminoso relativo; si regola il
288
livello di amplificazione del segnale (scelte possibili 1-10-100) premendo il pulsante
verde dei canali attivi: ad ogni pressione il led giallo si sposta in corrispondenza del
livello indicato di amplificazione.
1 2
D.4.3
Configurazione dell’analizzatore
Una volta avviato, il software d-tac si presenta con una barra superiore di menu e una barra
inferiore di dialogo in cui è riportato lo stato di funzionamento del programma. i più importanti
messaggi visualizzati, che saranno richiamati nel seguito, sono:
status : nop (non operativo = in attesa di istruzioni dall’utente)
update (aggiornamento)
measure (in preparazione della misura)
army (caricamento dei filtri antialiasing)
trigger (in attesa di rilevare i segnali di acquisizione)
calculate (esecuzione delle operazioni sui segnali acquisiti)
exporting (esportazione dei dati sul supporto assegnato)
Impostazione dei parametri di acquisizione e di visualizzazione
La prima impostazione che deve essere assegnata nel software usato riguarda le unità di misura
adottate. Per modificarle selezionare: Difa ⇒ Change units
1. Selezionare la grandezza (quantity) desiderata premendo col mouse sui puntini e scorrendo
la lista delle scelte possibili
2. Selezionare le unità desiderate con la stessa procedura.
ESEMPI 1-2
1
Se non si è interessati all’impiego di un amplificatore è necessario connettere direttamente martello ed
accelerometro ai canali di ingresso del difa.
2
Per evitare che le oscillazioni del cavo di collegamento dell’accelerometro alterino la misura è opportuno individuare sulla struttura o nei suoi pressi un punto di ancoraggio. Ancorare il cavo dell’accelerometro è d’altra
parte fondamentale, per assicurare la sua integrità nel caso in cui sia inavvertitamente staccato dal collegamento
con la struttura.
289
Per entrambi i casi trattati si è scelto di operare con le unità del sistema internazionale (fondamentalmente ms−2 per l’accelerazione e N per la forza).
Successivamente si passa all’assegnazione dei valori di calibrazione degli strumenti di misura che
possono essere rilevati sperimentalmente oppure assunti dalle schede tecniche degli strumenti:
Setting ⇒ Calibration
1. Selezionare la grandezza misurata dai vari canali
ESEMPI 1-2
In base alle connessioni stabilite al passo precedente:
1=force
2=acceleration
2. Indicare la sensibilità degli strumenti eventualmente moltiplicata per il fattore di amplificazione scelto.
ESEMPI 1-2
Dalla lettura delle schede tecniche che accompagnano gli strumenti si ricava:
1 ⇒ 2.3 *10 mV/N = 23 mV/N
2 ⇒ 1.02 *10 mV/ms-2 = 10.2 mV/ms−2
3. Scegliere il fattore di scala (m=10−3 , k=103 , etc.)
ESEMPI 1-2 Dalla lettura delle schede tecniche che accompagnano gli strumenti
si ricava:
1 ⇒ m (millesimi)
2 ⇒ m (millesimi)
4. Verificare la correttezza delle unità impostate espresse in V/Unit.
5. Assegnare un’operazione di integrazione o di derivazione sui segnali misurati sui singoli
canali.
ESEMPI 1-2
In entrambi i casi si è scelto di non effettuare alcun’operazione sui segnali prima di
elaborarli per l’ottenimento delle FRF.
290
A questo punto si può configurare il modo d’esposizione dei risultati. Questo può essere fatto
selezionando i vari tipi di risposta che si vogliono analizzare ([Time]→ risposta nel tempo,
[FFT]→ Fast Fourier Transform, [FRF]→ Funzione di risposta in frequenza, etc): Setting ⇒
Display
1. Selezionare il tipo di risposta (il settaggio può differire da risposta a risposta anche per la
stessa seduta d’analisi)
2. Attivare gli strumenti d’interesse ([Cursor box ⇒ ON/OFF], etc)
3. Definire grandezze sugli assi dei diagrammi:
• AX ⇒ X=ascissa, Y=ordinata
• LABEL⇒ assegnare un nome all’asse selezionato (facoltativo)
• OP⇒ selezionare l’operazione da eseguire sui dati prima di visualizzarli. E’ un’opzione
valida solo per la visualizzazione delle FRF, le principali scelte possibili sono:
(a) H1⇒ H1(f)=(SXF / SF F )
(b) H2⇒ H2(f)=(SXX / SF X )
(c) XP⇒ Crosspower
(d) AP⇒ Autopower
Dove con S si indica la funzione di auto- e cross-densità spettrale e con X ed F i
segnali di risposta e di eccitazione. La prima scelta è preferibile quando si prevede
che il rumore sia presente in prevalenza sul segnale di risposta, la seconda quando il
segnale di ingresso è più disturbato.
3
• SOURCE⇒ selezionare l’argomento dell’asse. Scelte possibili:
(a) *⇒ riporta il tempo o la frequenza a seconda del tipo di campo visualizzato
(b) 1,2,3..⇒ riporta i dati provenienti dai canali 1,2,3,...
(c) v/u⇒ attivo per la visualizzazione delle FRF indica il rapporto tra il segnale di
uscita e quello di ingrasso
3
Sebbene da un punto di vista teorico sembrebbe possibile ricavare la generica funzione di risposta in frequenza
αij (ω) facendo il rapporto tra la trasformata di Fourier della risposta misurata nel nodo i” e la trasformata di
Fourier dell’ingresso applicato nel nodo j”, in realtà la determinazione sperimentale delle FRF avviene dalla misura
delle funzioni di auto e cross densità spettrale dei segnali di ingresso e di uscita. Si può, infatti, dimostrare che
risulta:
Sxi xi (ω) = |αij (ω)|2 Sfj fj
Sfj xi (ω) = αij (ω)Sfj fj = H1 (ω)Sfj fj
Sxi xi (ω) = αij (ω)Sxi fj = H2 (ω)Sfj fj
Se dalla prima delle precedenti relazioni è possibile ricavare soltanto l’ampiezza della FRF le ultime due permettono
di ricavare sia il modulo che la fase.
291
• FORMAT⇒ selezionare il formato di rappresentazione degli assi (Lineare, logaritmico, parte reale, parte immaginaria, etc.)
• WGT⇒ è il peso” assegnato ai dati prima di visualizzarli, in modo da rappresentare
velocità o spostamento a partire dall’accelerazione e viceversa, senza modificare i dati
acquisiti (è valido solo col formato AMPL del campo FRF e FFT).
• SCALE⇒ consente di fissare una scala opportuna per gli assi (la scelta più semplice
è AUTO).
• TYPE⇒ consente di assegnare i colori a piacimento per i vari grafici
Per il trasferimento dei risultati su file esterni all’analizzatore ed in particolare per esportarli
sul software di analisi modale LMS Cada-PC, è necessario assegnare delle etichette ai segnali
misurati dai vari canali. A questo scopo selezionare: Setting ⇒ Labels
• Comp⇒ assegnare il nome della componente, del modello costruito sul CADA, di battuta
o di misura
• Point⇒ assegnare il nome del nodo di battuta o di misura
• Dir⇒ assegnare la direzione di battuta o di misura
• Fixed⇒ attivare i canali da cui prelevare i segnali da esportare
Per dichiarare il canale dal quale proviene il segnale di battuta, il numero delle prove che
costituiscono ogni acquisizione, il tipo di media da eseguire e la destinazione dei dati acquisiti,
premere: Setting ⇒ Measure
• Reference channel ⇒ Indicare il canale dal quale provengono i dati del segnale di battuta (Ref erence in contrapposizione a Response). Dipende dalla scelta dei collegamenti
effettuati nella prima parte.
ESEMPI 1-2
Il canale collegato con il martello è 1
• Display refresh ⇒ E’ un’impostazione che consente di stabilire la frequenza di aggiornamento del segnale visualizzato durante l’acquisizione. Per riconoscere l’effetto della media
ad ogni misura impostare 1.
• Frame acceptance ⇒ Consente di definire tre diverse impostazioni per la visualizzazione
dei segnali:
292
1. Manual : ad ogni misura vengono visualizzati tutti i segnali nel tempo e una finestra
di dialogo consente di accettarli o respingerli in funzione della qualità della stessa (per
esempio nel caso di overload, di doppia battuta del martello sulla struttura, etc.).
2. Accept all : tutti i segnali vengono accettati indistintamente; permette di velocizzare
il procedimento di acquisizione.
3. Semi-auto : vengono accettati tutti i segnali tranne quelli per i quali si sia verificata
una condizione di overloading.
4. Delayed : i segnali vengono accettati indistintamente ma viene visualizzato per un
secondo il loro andamento nel tempo.
• Coherence blanking ⇒ E’ un’opzione valida solo per misure dirette di FRF. Permette
di definire l’ampiezza minima, richiesta per dare in output una valida coerenza, delle componenti in frequenza del segnale di battuta nell’intervallo di frequenze scelto per l’analisi.
4
• Average count ⇒ Indicare il numero di prove che costituiscono ogni singola acquisizione.
Effettuare una media dei segnali permette di ridurre le componenti stocastiche di rumore
nella misura; l’effetto della media può essere riconosciuto osservando come si modifica
l’andamento della risposta al termine di ogni prova.
• Average type ⇒ Indicare il tipo di media da usare per l’acquisizione; sono disponibili
cinque scelte: Norm, Exp, Hold, +Hold, -Hold.
• Average factor ⇒ consente di indicare il fattore di divisione per la media esponenziale.
• Correlation length ⇒ Opzione selezionabile per misure di cross-correlazione.
• Correlation offset ⇒ Opzione selezionabile per misure di cross-correlazione.
• Report ⇒ Consente di generare un resoconto delle opzioni scelte per le misure.
• Destination ⇒ Con questa istruzione si può definire la destinazione finale dei dati. Sono
possibili tre scelte:
1. Delete : i dati vengono mantenuti sulla memoria RAM il tempo necessario alla
verifica dei risultati e all’esecuzione di alcune operazioni con l’impiego del software di
acquisizione per venire poi cancellate.
4
Si ricorda che dette Sf f , Sxx , Sf x , Sxf le funzioni di autodensità e cross densità spettrale dei segnali di battuta
(f) e di risposta (x), si definisce funzione di coerenza la seguente grandezza:
γ 2 = H1 (ω)/H2 (ω) = (Sf x /Sf f ) (Sxx /Sxf )
che fornisce una stima della affidabilità del processo di misura.
293
2. Project : i dati vengono memorizzati in un file di progetto del DIFA, definito
precedentemente all’acquisizione dei segnali.
3. Export: i dati vengono memorizzati su file esterni all’analizzatore (per esempio su
Floppy Disk in formato ASCII o MATLAB, oppure sul database del software di analisi
CADA-PC, etc.), definiti precedentemente all’acquisizione dei segnali.
• Repeat count ⇒ Indica il numero delle misure ripetute, sono selezionabili valori tra 1 e
9999.
Per ridurre i problemi di leakage, si fa ricorso all’uso di finestre temporali che vengono moltiplicate ai segnali misurati prima che questi vengano analizzati. Le finestre, infatti, riducendo le
discontinuità agli estremi dell’intervallo d’acquisizione, limitano l’errore di leakage forzando il
segnale ad essere periodico. Nel sistema D-TAC sono selezionabili diverse finestre separatamente
per il segnale di ingresso e per il segnale di uscita: per assegnarle, premere: Setting ⇒ FFT
Windows .
1. Response window → permette di assegnare una finestra al canale da cui proviene il
segnale di risposta. Le scelte possibili sono:
• No window: corrisponde alla finestra rettangolare di ampiezza unitaria estesa su
tutto l’intervallo di misura
• Hamming: w(t) = 0.54+0.46 cos(2π(t−0.5T )/T ), dove T è il tempo di acquisizione
del segnale
• Hanning: w(t) = 0.5 + 0.5 cos(2π(t − 0.5T )/T )
• Kaiser-Bessel:w(t) = 1 − 1.298 cos(2πt/T ) + 0.244 cos(4πt/T ) − 0.003 cos(6πt/T )
• Flat top: w(t) = 1 − 1.933 cos(2πt/T ) + 1.286 cos(4πt/T ) − 0.388 cos(6πt/T ) +
0.32 cos(8πt/T )
(a/100)
• Exponential: w(t) = exp[ln[ (N/(2∆t))
]t], dove N è il numero totale di campioni
scelti per l’acquisizione, ∆t è l’intervallo di campionamento, cioè la distanza temporale tra un punto di campionamento e l’altro, e a è la velocità di decadimento
che deve essere assegnata nell’apposita riga di comando (Decay rate). Questa finestra, particolarmente consigliata per misure impulsive, è definita in modo che a metà
del tempo d’acquisizione la risposta sia pari all’a% di quella originale. Pur garantendo una notevole riduzione del rumore presenta l’inconveniente di incrementare
artificialmente lo smorzamento della struttura: nella fase di analisi dei segnali sarà
pertanto opportuno indicare questo smorzamento aggiuntivo per evitare di incappare
in scorrette valutazioni dello stesso.
294
2. Reference window→ le scelte selezionabili sono:
• No window: finestra rettangolare di ampiezza unitaria estesa su tutto l’intervallo
di acquisizione.
• Response: assegna al segnale di battuta la stessa finestra scelta per il segnale di
risposta.
• Force: è data da un gradino unitario seguito da una cosinusoide che va a zero in
un quarto del tempo totale di registrazione del segnale. E’ necessario assegnare la
lunghezza del tratto costante della finestra, in percentuale sul tempo totale di azione,
digitando il valore desiderato nell’apposita riga di comando (W idth). Impostare
i valori maggiori equivale ad assegnare una finestra rettangolare che agisce su un
quarto del tempo totale di acquisizione.
• Impact: è una finestra rettangolare di ampiezza unitaria che si estende su un intervallo limitato del tempo di acquisizione. Questo può essere assegnato digitando
il valore desiderato in percentuale del numero totale di campioni nell’apposita riga
di comando (W idth). E’ particolarmente indicata per coprire il rumore dei segnali
impulsivi che si estendono per un tratto molto breve del tempo d’acquisizione.
5
6
ESEMPIO 1
Per le misure delle FRF della trave si è deciso di operare senza finestre, filtrando
il rumore attraverso l’impostazione di tre medie per ogni misura. Questa scelta ha
consentito di lasciare inalterato il livello di smorzamento dedotto dall’analisi dei dati
con il software CADA-PC.
ESEMPIO 2
Per le misure delle FRF della piastra sono state adottate due scelte distinte. Inizialmente non sono state assegnate finestre né sul canale di ingresso, né sul canale
di uscita e si è deciso ancora di filtrare il rumore dalla media di tre prove per ogni
5
Nel definire il tempo di azione delle finestre è necessario considerare l’ampiezza del pre-trigger assegnato
nella misura. In particolare l’impiego delle finestre di Hanning e di Hamming sul segnale di battuta richiede
la definizione di un pre-trigger molto lungo in modo che l’impulso capiti temporalmente in corrispondenza del
punto di massimo delle finestre e non venga quindi tagliato con grave conseguenza sulla affidabilità della misura.
Analogamente la definizione della larghezza della finestra Impact, che come ricordato, è particolarmente adatta
ai segnali impulsivi, non può prescindere dalla conoscenza del pre-trigger assegnato.
6
Quando, nella modalità MANUAL (vd.Frame acceptance ), vengono visualizzati i segnali nel tempo provenienti
dai vari canali, questi non sono stati ancora filtrati dalle finestre e quindi non si deve avere l’impressione che le
finestre non abbiano avuto il loro effetto. Per riconoscerlo, una volta accettata la registrazione, sarà sufficiente
ritornare nel tempo con l’istruzione FFT ⇒ IFFT , valida però solo con misure dirette di FFT.
295
misura; successivamente, riconosciuta la difficoltà di imporre l’impulso per le particolari condizioni di vincolo della struttura, si è deciso di assegnare una finestra Impact
al segnale di battuta con un’ampiezza del 6%, comprensiva del 5% di pre-trigger
scelto, e di effettuare una sola prova per ogni acquisizione. Con quest’ultima scelta
si è ottenuto un risultato decisamente valido, caratterizzato da un basso livello di
rumore su tutto lo spettro.
Si passa ora a descrivere quello che probabilmente è il passo più importante di ogni acquisizione
e che non a caso viene individuato dalla finestra: Setting ⇒ Acquisition:
1. Trigger mode → consente di specificare l’evento che dà inizio alla misura.
Sono
selezionabili diverse opzioni:
• INTERN ↑: la misura inizia quando il segnale proveniente dal canale scelto per il
trigger oltrepassa per la prima volta il livello 1 (TL1) con derivata positiva.
• INTERN↓: la misura inizia quando il segnale proveniente dal canale scelto per il
trigger oltrepassa per la prima volta il livello 1 (TL1) con derivata negativa.
• AUTOMATIC: l’acquisizione subito dopo che è stato eseguito un comando da
Measure.
• WINDOW: vedi pag. 1-13 DIFA
• ALARM: vedi pag. 1-13 DIFA
• SEQUENTIAL: vedi pag. 1-13 DIFA
• EXTERN: l’acquisizione ha inizio a seguito di un comando esterno collegato al
canale SYNC del DSA 220.
2. Trigger channel→ indicare il canale di riferimento per lo svolgimento delle operazioni di
innesco (trigger).
3. Trigger level→ indicare il livello desiderato per l’innesco, in percentuale del valore massimo del segnale. Possono essere fissati due livelli solo con le modalità WINDOW, ALARM
e SEQUENTIAL, nelle modalità INTERN e AUTOMATIC è attivo solo il primo livello
(TL1), il secondo viene automaticamente posto uguale al primo. Sono selezionabili valori
compresi tra −95% e +95%.
4. Number of samples→ consente di assegnare il numero di campioni per la misura. Le
scelte possibili vanno da 256 (28 ) a 32768 (215 ) campioni in potenze di due.
296
5. Pretrigger→ consente di definire l’istante di registrazione dei segnali a partire dalla condizione di innesco. Possono essere assegnate condizioni di pre- e post-trigger in percentuale
sul numero programmato di campioni:
• Post-trigger da 0 a −399% dei campioni
• Pre-trigger da 0 a max % , dove max=(5888 ∗ 100)/(Nc n◦ canali attivi) dipende
evidentemente dal numero di campioni scelti (Nc ) e dal numero di canali attivi.
6. Bandwidth → scegliere la larghezza della banda di interesse nell’intervallo [6.25, 51.2 k]
Hz.
7
7. Time→ indica la durata dell’acquisizione in secondi. Non può essere scelta a piacimento
perché viene definita dalle scelte ai punti (4) e (6) secondo la seguente relazione:
T = Nc /(2fmax )
8. Zoom span→ selezionare OFF/ON per disattivare o impostare la funzione di zoom.
9. Center frequency→ consente di indicare la frequenza centrale della finestra di zoom,
in funzione del fattore di zoom selezionabile e dell’ampiezza dell’intervallo di frequenze
scelto. Se la funzione di zooming è attiva i campioni temporali acquisiti sono moltiplicati
per una funzione coseno, di frequenza pari a quella centrale selezionata, prima di passare
attraverso il filtro digitale.
10. Zoom factor→ consente di assegnare, assieme ai due punti precedenti, le caratteristiche
dello zoom. Il fattore di zoom selezionabile varia al variare dell’ampiezza della banda
scelta.
11. Range→ Indicare il valore massimo consentito ad ogni canale nelle unità corrispondenti.
Questo valore dipende dal livello di sensibilità, dichiarato nella finestra Calibration, che,
come è stato ricordato più volte, può essere aumentata con l’impiego di un amplificatore.
Si possono assegnare valori compresi tra ±0.125 e ±16.0 nelle unità scelte all’inizio.
12. CPL→ consente di specificare l’origine e il tipo dei segnali provenienti dai vari canali attivi
nella misura. Selezionare: AC se il segnale, analogico, proviene da un amplificatore; DC se
il segnale, digitale, è stato generato internamente al sistema di acquisizioni dati ed è quindi
collegato con uno dei canali di uscita del DSA-220; ICP se il segnale proviene direttamente
7
La frequenza di campionamento è pari a due volte la larghezza della banda di frequenze selezionata. A causa
di un’efficienza pari all’80% del filtro passa-basso antialiasing, la banda effettiva è ridotta di un fattore 0.2. Ad
esempio quando una misura effettuata con 1024 campioni nel tempo è trasferita nella frequenza, si ottengono 512
linee spettrali; a causa dell’efficienza del filtro solo 400 linee sono effettive.
297
dagli strumenti di misura, che devono quindi essere dotati di un circuito piezoelettrico
integrato; CAL per effettuare prove di calibrazione con segnali digitali in ingresso; MIC,
MCL, MGN per effettuare prove con segnali audio prelevati da un microfono.
13. SCAN→ consente di dichiarare i canali attivi ai fini dell’elaborazione dei segnali.
ESEMPI 1-2
Per le misure di FRF sulla trave e sulla piastra sono stati impostati i seguenti
parametri di acquisizione:
Trigger mode
Trigger channel
Trigger level (TL1=TL2)
Number of samples
Pretrigger
Bandwidth
Time
Zoom span
Center frequency
Chan
1
2
3
Range
± 0.50 k
±(1.60 k
±1.60 k
Unit
N
M/s2
M/s2
INTERN ↑
1
1%
?
5%
?
?
OFF
.....
CPL
AC
AC
DC
SCAN
Yes
Yes
No
Le uniche differenze tra i vari esempi trattati riguardano il numero dei campioni e l’ampiezza
della banda di interesse, come viene illustrato nel seguito.
ESEMPIO 1 (COP1)P̊er le misure di FRF sulla trave nella prima sessione di misure
si è scelto di assegnare i seguenti parametri di acquisizione:
Number of samples
Bandwidth
Time
4096
200 Hz
10.24 s
ESEMPIO 1 (COP2)
Per le misure di FRF sulla trave nella seconda sessione di misure sono stati impostati
i seguenti parametri di acquisizione:
Number of samples
Bandwidth
Time
298
4096
400 Hz
5.12 s
ESEMPIO 2 (PIASLIB-PIAS2)
Per le misure di FRF sulla piastra sono stati impostati i seguenti parametri di
acquisizione:
Number of samples
Bandwidth
Time
8192
800 Hz
5.12 s
Prima di passare a descrivere la procedura di generazione e registrazione dei segnali è necessario
impostare la destinazione dei dati misurati. Come è stato illustrato nella discussione della
finestra Measure , esistono tre diverse destinazioni dei dati: interna al sistema di acquisizione
(P roject), esterna al sistema di acquisizione (Export), momentanea (Delete). Limitando le
considerazioni seguenti alla destinazione esterna ed in particolare del software di analisi CADAPC, scegliere: File ⇒ Export...
1. Format→ scegliere il formato di trasferimento dei dati tra le seguenti possibili alternative:
ASCII,BIN, SMS, UFF (ASCII), GFS, CADA-PC, CSV, MATLAB
2. Header→ Consente di configurare il file esportato attraverso la dichiarazione delle caratteristiche impostate nelle misure. Questo campo è attivo solo nei formati ASCII, BIN,
CSV.
3. FRF oper→ consente di impostare le operazioni sulle FRF esportate, nello stesso modo
descritto in Setting ⇒ Display→ OP .
4. Weight→ consente di assegnare un peso alle singole misure prima del trasferimento dei
dati, nello stesso modo descritto in Setting⇒ Display→WGT.
5. Drive→ selezionare il drive di destinazione (disco rigido o Floppy).
6. Dir→ selezionare la directory di destinazione.
7. File→ inserire il nome del file di destinazione.
ESEMPI 1-2 I dati di entrambi gli esempi trattati sono stati esportati sul software
di analisi modale. I file per essere aperti dal CADA-PC devono essere memorizzati
nella directory C:\ Cada-db e nel progetto di analisi creato prima dell’acquisizione.
• Esempio 1 (COP1)→C:\Cada-db\gmtrave\cop1
• Esempio 1 (COP2)→C:\Cada-db\gmtrave\cop2
• Esempio 2 (PIASLIB)→C:\Cada-db\gmpias\piaslib
• Esempio 2 (PIAS2)→C:\Cada-db\gmpias\pias2
299
Generazione e registrazione dei segnali
Se lo scopo dell’analisi è quello di acquisire solamente le frequenze fondamentali e gli smorzamenti
della struttura, anche una sola FRF, ottenuta misurando la risposta nell’i-esimo nodo e battendo
nel j-esimo (αij = Xi /Fj ), può essere sufficiente. Ma quando si vuole ricavare un modello modale
più completo ed in particolare i residui e le deformate sperimentali, diventa necessario misurare
un gran numero di FRF, almeno quanti sono i gradi di libertà del modello geometrico costruito:
le FRF misurate a questo scopo devono essere, in particolare, quelle di una riga o di una colonna
completa della matrice delle influenze. Da un punto di vista numerico, infatti, la matrice delle
influenze è una matrice simmetrica per la proprietà di simmetria degli operatori strutturali
sintetizzata dal principio di Betti-Maxwell (αij =αji ). Sperimentalmente, tuttavia, la misura di
una colonna di FRF può risultare più problematica della misura di una riga, vista la necessità di
spostare l’accelerometro di misura (cioè l’indice i della FRF) nei vari nodi mantenendo inalterato
il punto di battuta; nella misura di una riga, invece, viene spostato il punto di battuta (l’indice
j della FRF), mentre la posizione dell’accelerometro resta inalterata. Non sempre comunque
la misura di una riga di FRF è consigliabile; la scelta dipende infatti grandemente dal tipo
di vincolo imposto alla struttura. Per strutture incastrate può risultare estremamente arduo
conferire l’impulso senza rischiare una doppia battuta nei nodi lontani dalla sezione di incastro,
e allora può diventare preferibile imprimere la sollecitazione vicino all’incastro spostando via via
il punto di misura.
ESEMPIO 1
Della trave si sono svolte due sedute di misura, memorizzate nei file COP1 e COP2.
Nella prima si è scelto di misurare direttamente la prima colonna, spostando dunque
l’accelerometro durante le misure e battendo per dieci volte sul primo nodo. Nella
seconda invece si è scelto di misurare la decima riga, spostando dunque il punto di
battuta lungo l’asse della trave e mantenendo inalterato il punto di misura.
ESEMPIO 2Anche della piastra si sono svolte due sedute di misura, memorizzate nei
file PIASLIB e PIAS2, in cui il modello geometrico di riferimento è stato cambiato,
ma in entrambi i casi si è deciso di registrare la prima riga della matrice di influenza,
spostando quindi il solo punto di battuta e lasciando l’accelerometro sul primo nodo.
La registrazione dei segnali ha inizio selezionando il tipo di risposta, che si desidera visualizzare,
nel campo Measure del menu principale. Sono selezionabili diverse opzioni, le principali sono:
• Time: riporta l’andamento nel tempo dei segnali provenienti dai canali attivi del DIFA.
300
• FRF: riporta l’andamento, nel dominio della frequenza, del rapporto tra la trasformata di
Fourier di uno dei segnali di risposta e la trasformata di Fourier del segnale di battuta,
dichiarato nella finestra Setting → Measurealla riga Reference channel.
• FFT: riporta l’andamento, nel dominio della frequenza, della trasformata di Fourier dei
segnali registrati.
Effettuata la scelta, appariranno nell’ordine i seguenti messaggi di stato del sistema: MEASURE → ARMY→ TRIGGER. Quando la scritta TRIGGER sarà apparsa, si potrà conferire l’energia di eccitazione alla struttura battendo col martello in un dei nodi della stessa. Se
la forza impressa è sufficientemente grande da innescare l’acquisizione, si accenderà la luce rossa
del trigger sul pannello anteriore dell’analizzatore, ad indicare che sta avvenendo la registrazione
dei segnali.
Al termine del tempo di acquisizione, definito nella finestra Setting⇒Acquisition , verrà
visualizzata la risposta nel tempo dei segnali, non filtrata con le finestre anti-leakage, e verrà
richiesto all’operatore di accettare o ripetere l’acquisizione [purché sia stato impostato il comando
Manual nella finestra Setting⇒ Measure→ Frame acceptance]. Per accettare la misura è
necessario verificare che non ci siano messaggi di overload e che il martello non abbia battuto più
di una volta sulla struttura. Il messaggio di overload è dato da un quadrato rosso nella casella
dei parametri (Parameter Box, selezionabile con Setting⇒Display→Parameter Box→ ON).
Se è stato deciso di rilevare più prove per ogni misura, questa procedura dovrà essere ripetuta
finché il numero fissato di medie sia stato raggiunto. Ad ogni prova un contatore, nell’angolo in
basso a destra dello schermo, riporterà il numero di prove eseguite e accettate.
Terminata l’acquisizione, l’analizzatore provvederà a filtrare i segnali con le finestre anti-leakage
scelte e ad eseguire le operazioni per la visualizzazione finale richiesta. Durante questa fase verrà
visualizzato lo stato del sistema con i seguenti messaggi: CALCULATE → EXPORTING→
NOP.
Sia nella modalità EXPORT che in quella DELETE (Setting⇒Measure→ Destination), in
cui i dati vengono conservati nella memoria RAM e poi cancellati, è possibile procedere ad una
parziale analisi dei risultati e ad una manipolazione degli stessi al fine, per esempio, di ottenere
indirettamente l’andamento della FRF a partire da una misura diretta della risposta temporale.
Quest’ultima possibilità è particolarmente interessante per visualizzare l’effetto dei filtri che non
viene mostrato nella visualizzazione iniziale della risposta nel tempo. Se è stata fatta una misura
diretta della FFT selezionando FFT⇒IFFTi dati verranno riportati indirettamente nel tempo,
mostrando l’effetto delle finestre anti-leakage impostate. Se invece è stata fatta una misura
diretta della risposta nel tempo, selezionando FFT⇒FFTi dati verranno riportati nel dominio
301
della frequenza con una trasformata veloce di Fourier, oppure selezionando FFT⇒FRFverrà
visualizzata la funzione di trasferimento usando come ingresso il canale indicato come Reference
e come uscita quello indicato come Response.
Nella finestra denominata Cursor Box (preimpostata in Setting⇒Display→Cursor Box →
ON, oppure assegnata al termine dell’acquisizione digitando:Edit⇒Active Display→ Cursor
Box→ ON), posta sulla destra dello schermo, vengono riportati: l’andamento visualizzato (p.e.
Time, FRF 2/1 [3/1,4/1,...], FFT 1 [2,3,...], etc.), il formato nelle unità scelte (p.e. AMPL
m/Ns2 [N, ms−2 , etc.], LEV dB m/Ns2 [N, ms−2 , etc.], PHASE ◦ , etc.), l’ordinata d’intersezione
tra i cursori della visualizzazione e i grafici. L’ascissa d’intersezione, la stessa per tutti i grafici
riportati, viene indicata una sola volta in fondo alla finestra sulla destra. Per spostare i cursori è
sufficiente premere con il tasto sinistro del mouse su un grafico; per ingrandire la visualizzazione
nell’intorno di un punto è necessario premere il tasto ↔ nella finestra dei comandi veloci (Fast
Box) , selezionare l’intervallo di ascisse di interesse spostando il cursore destro verso sinistra e
quello sinistro verso destra, e premere nuovamente il tasto ↔ , un’ulteriore pressione del quale
riporta la visualizzazione allo stato originario.
Ancor prima di passare all’analisi dei dati col software di analisi modale Lms Cada-PC, alcune
interessanti verifiche sui dati possono essere eseguite direttamente con D-TAC.
Selezionando Scalarsul menu principale, si apre una finestra che contiene una lista delle possibili
manipolazioni dei dati. Le principali sono:
• Peaklist: questa istruzione, disponibile solamente nel dominio della frequenza, fornisce
una lista dei picchi dei segnali misurati nelcursor box;
• Max: questa funzione calcola il valore massimo dei segnali nell’intervallo compreso tra i
cursori;
• Mean: questa istruzione calcola il valor medio nell’intervallo compreso tra i cursori, ma
non è disponibile nella visualizzazione di FRF;
• RMS: questa istruzione calcola il valor quadratico medio nell’intervallo compreso tra i
cursori, ma non è disponibile nella visualizzazione di FRF.
D.5
III Parte
Il software di analisi modale LMS CADA-PC consente di ricavare un numero notevole di informazioni dai dati misurati: frequenze fondamentali, smorzamenti, residui, deformate modali,
criteri di affidabilità dei modi (MAC, MSF, etc.), ma, per poterle ottenere, è necessario seguire
302
una procedura piuttosto rigida, che prevede la definizione del progetto, del modello geometrico
della struttura e della definizione dei punti di misura e di battuta, sfruttando il già ricordato
principio di simmetria della matrice di influenza di Betti-Maxwell. Quando è stata misurata
una riga della matrice di influenza, questa deve essere artificialmente sostituita alla colonna corrispondente per poter svolgere l’analisi modale. A questo scopo è necessario ridefinire gli indici
di tutte le FRF che costituiscono la riga misurata.
• Block M anager Dopo aver creato una nuova cartella di test (Project) nel database del
CADA, e dopo aver esportato i dati misurati con l’analizzatore DIFA, l’analisi inizia
con l’apertura e il caricamento dei dati: Block Manager⇒ File→Open, seguito dall’istruzione:Block Manager⇒ BDM→ Disk. A questo punto vengono visualizzati i
dati (blocks) registrati nel file dall’analizzatore. I dati possono essere caricati sulla memoria RAM per essere manipolati e analizzati: selezionare le FRF di interesse e premere
Operations→ Load Selected Blocks... Aprire i dati in memoria: Block Manager⇒
BDM→ Memory e premere Edit→Sequential per ogni blocco di dati. Una finestra
illustrerà le caratteristiche memorizzate dei dati, tra cui il punto di battuta (Reference) e
quello di misura (Response) e il tipo ed il numero di medie che li hanno generati e poi la correzione allo smorzamento, che deve essere assegnata se i segnali sono stati moltiplicati per
una finestra esponenziale, come ricordato nella seconda parte di questo lavoro. Eseguite le
opportune correzioni (scambio di Reference con Response, etc.) i dati devono nuovamente
essere immagazzinati nella memoria di massa eseguendo l’istruzione:Operations→ Store
Selected Blocks to Disk.
• Geometry M anager All’interno del CADA le strutture sono modellizate come dei nodi
raggruppati in componenti e collegati da delle connessioni. Nodi e componenti vengono
descritti assegnando un nome di massimo 4 caratteri (lo stesso assegnato nella finestra
Setting⇒ Labels del DIFA), mentre le connessioni sono individuate dai nomi dei nodi
che connettono. La procedura generale per la creazione di un modello è descritta nei passi
seguenti:
1. Apertura del programma di manipolazione: ⇒ Geometry Manager
2. Creazione di un nuovo modello: Operations⇒New
3. Selezione del sistema di riferimento globale: Gdm⇒ System
4. Creazione di una componente:Gdm⇒ Components→ Edit⇒ Add Component
5. Definizione dei nodi su questa componente:Gdm⇒ Components→Nodes⇒List
First Selected → Edit⇒ Add Node
303
6. Definizione delle connessioni su questa componente: Gdm⇒Connections→Edit⇒Add
Connections
7. Ripetere la procedura per tutte le componenti richieste: ⇒d
8. Definizione delle connessioni tra componenti: Gdm⇒Connections →Edit⇒Add
Connections
9. Memorizzazione del modello: Operations⇒Save
10. Visualizzazione e modifica se necessario del modello geometrico: Geometry Display
• Index T able Selezionando l’icona Index Table, si apre una finestra nella quale vengono
visualizzate, come nella matrice di influenza, tutte le FRF misurate. Per visualizzarle
premere:Edit→New→Last version→OK.
Per procedere alla stima dei parametri modali, essendo stata eseguita un’acquisizione
SISO o al più SIMO, è necessario indicare quale DOF considerare come nodo di eccitazione, ed escludere conseguentemente tutti gli altri; ciò può essere fatto selezionando:
Edit→Reference DOF→Include/Exclude.
Per ricavare i parametri modali si può decidere di lavorare su una singola FRF oppure sulla
somma di tutte quelle disponibili. Quest’ultima possibilità è estremamente utile perché
permette di abbassare ulteriormente il livello di rumore presente nelle misure, ed è la scelta
seguita in tutti gli esempi illustrati.
Per realizzare una somma delle FRF a disposizione dell’analizzatore, premere:Edit→Sum.
Per l’analisi dei dati all’interno del CADA-PC sono impiegabili due approcci distinti. Il
primo, indicato SDOF method, presuppone che i modi siano ben separati in frequenza
e caratterizzati da bassi livelli di smorzamento: ogni singolo picco delle FRF viene approssimato con un modello ad un grado di libertà, rendendo il metodo estremamente
veloce. Il secondo, indicato MDOF method, è basato su un modello più completo del
sistema dinamico, consentendo una migliore precisione nell’identificazione di frequenze e
smorzamenti soprattutto quando molti modi sono racchiusi in un intervallo ristretto di
frequenze.
Se il primo metodo è veloce e poco costoso dal punto di vista computazionale, il secondo,
invece, è molto più lento e richiede l’esecuzione di una procedura complessa. Dal momento
che per l’analisi delle FRF degli esempi trattati è stato impiegato solamente il metodo a
più gradi di libertà, nel seguito verrà descritta solo la procedura relativa al metodo MDOF.
• M DOF monitor Questa sezione del software di analisi consente di stimare i parametri
modali sulla base della FRF scelta nell’Index Table. Per la stima dei poli del sistema
(frequenze e smorzamenti) usa un algoritmo nel dominio del tempo indicato con l’acronimo
304
LSCE (Least Square Complex Exponential method); per il calcolo dei residui una tecnica
305
nel dominio della frequenza indicata LSFD (Least Square Frequency Domain method).
8
8
Scritte le equazioni di equilibrio del sistema nella forma:
Mẍ + Cẋ + Kx = f
(D.1)
dove M è la matrice di massa, C è la matrice di smorzamento, K è la matrice di rigidezza, è noto che è possibile,
passando dal dominio del tempo a quello della frequenza, nell’ipotesi di condizioni iniziali di quiete per il sistema,
risolvere il problema differenziale risolvendo il seguente problema algebrico:
£
¤
s2 M + sC + K x̃ = f̃
£
⇒ x̃ = s2 M + sC + K
¤−1
f̃ = [α(s)] f̃
(D.2)
dove [α(s)] valutata in corrispondenza dell’asse immaginario è la matrice di influenza o matrice delle FRF del
sistema. Si dimostra che ogni componente della matrice delle influenze può essere scritta nella forma:
αij (s) =
Nd ·
X
r=1
∗ ∗
ψir
Lrj
ψir Lrj
+
jω − (σr + jωr )
jω − (σr − jωr )
¸
(D.3)
dove Nd è la dimensione del modello ad elementi finiti considerato, ψir e ψir∗ sono le componenti i-esime dell’resimo autovettore, e del suo coniugato, del sistema omogeneo associato al problema; Lrj è il fattore di partecipazione modale che dipende dal tipo di normalizzazione scelta per il sistema di autovettori, infine σr e ωr sono la
parte reale e quella immaginaria degli autovalori del sistema.
All’interno dell’intervallo di frequenze di interesse la componente (i,j) della matrice di influenza viene
approssimata nel modo seguente dal software di analisi modale:
αij (s) =
Nd ·
X
r=1
¸
∗ ∗
ψir
Lrj
LRij
ψir Lrj
+
+ U Rij −
jω − (σr + jωr )
jω − (σr − jωr )
ω2
(D.4)
dove LRij e U Rij sono chiamati rispettivamente termini residui inferiore e superiore, essi approssimano l’effetto
dei modi sotto e sopra la banda di frequenze selezionata; N è il numero di modi presunti nella banda di frequenze
di interesse. Si supponga, infatti, di valutare la FRF in un intervallo di frequenze compreso tra un certo ωa e
un certo ωb , se le frequenze proprie di vibrazione esterne a questo intervallo sono molto minori di ωa o molto
maggiori di ωb , si può approssimare il contributo dei modi esterni all’intervallo nel modo seguente:
Rrij
Rrij
≈
ω2
ωr2 + 2σr ω − ω 2
Rrij
f (ω) = 2
≈ Rrij
ωr + 2σr ω − ω 2
f (ω) =
se
ωr << ωa
(D.5)
se
ωb << ωr
(D.6)
Esistono dunque (4N+2) incognite da determinare (N ψir ,N Lrj ,N σr , N ωr e i due temini residui) per ogni
FRF misurata. La soluzione può essere cercata risolvendo separatamente il problema della determinazione dei
residui da quello degli autovalori. Infatti risolto quest’ultimo con il metodo LSCE si risolve il primo in maniera
estremamente rapida con il metodo LSFC. Per il calcolo degli autovalori del sistema si scrive la risposta impulsiva
(antitrasformata della FRF), del nodo j dovuta all’applicazione di un impulso nel nodo k, nella forma:
"
hjk (t) = Im
N
X
#
−(σr +iωr )t
ψjr Lrk e
"
= Im
r=1
N
X
#
(r)
Rjk e−λr t
(D.7)
r=1
(r)
Dove Rjk è indicato come residuo dell’r-esimo modo. Indicando con ∆t l’intervallo di campionamento (inverso
della frequenza di campionamento) si può scrivere:
"
hjk (l∆t) = Im
N
X
#
(r)
Rjk e−λr l∆t
"
= Im
r=1
N
X
#
(r)
Rjk xlr
per
l = 0, 1, 2, ..., Nc
(D.8)
r=1
dove si sono introdotte delle nuove incognite xr che contengono le informazioni sugli autovalori del sistema. Tali
incognite si possono ricavare come soluzione di un’equazione algebrica di grado 2N del tipo:
a0 + a1 x + a2 x2 + ... + a2N x2N = 0
⇐⇒
2N
X
l=0
306
al x l = 0
(D.9)
La procedura generale per l’analisi dei dati è la seguente:
in cui i coefficienti al sono da determinarsi. A questo scopo, riscrivendo il sistema di equazioni per l = 0, 1, .., 2N
nella forma:
h
(1)
(2)
(N )
hjk (0) = Im Rjk x01 + Rjk x02 + ... + Rjk x0N
h
(1)
i
(2)
(D.10)
(N )
2N
2N
hjk (2N ∆t) = Im Rjk x2N
1 + Rjk x2 + ... + Rjk xN
i
(D.11)
moltiplicando l’l-esima equazione per al e sommando rispetto all’indice l, si può scrivere:
2N
X
hjk (l∆t)al =
l=0
N
X
"
Im
(r)
Rjk
r=1
2N
X
#
al xlr
=0
(D.12)
l=0
che è una relazione tra i coefficienti al incogniti e i (2N + 1) punti di campionamento della risposta impulsiva.
Posto a2N = 1 si ha infine:
X
2N −1
hjk (l∆t)al = −hjk (2N ∆t)
(D.13)
l=0
Il numero di punti disponibili (Nc ) eccede di molto il numero di punti richiesto (N), pertanto la decisione di
scegliere i nodi di interpolazione può risultare arbitraria, tuttavia l’insieme dei punti più attendibili è normalmente
concentrato all’inizio del blocco dei dati. Per determinare i coefficienti incogniti è sufficiente individuare altri 2N
punti di campionamento per valutare le 2N equazioni seguenti nelle 2N incognite al :
X
2N −1
hjk ((l + p)∆t)al = −hjk ((2N + p)∆t)
per
p = 0, 1, 2, ..., 2N − 1
(D.14)
l=0
che si può scrivere in foma compatta:
Ba = c
(D.15)
dove B è una matrice quadrata (2Nx2N), nota come matrice di Hankel, che ha elementi uguali lungo ogni diagonale
secondaria, mentre c è il vettore dei termini noti.
Calcolati i coefficienti al come soluzione del sistema lineare precedente, le xr si determinano come radici del
polinomio di partenza. I coefficienti di smorzamento e le pulsazioni naturali del sistema si ottengono infine da:
ln xr = −(σr + jωr )∆t
(D.16)
Per la stima dei residui, come già ricordato, il programma di analisi modale fa uso del metodo LSFC, che sfrutta
la conoscenza dei poli del sistema ricavati col metodo appena descritto. Si introduce la seguente definizione di
errore:
(m)
(a)
eij (ωp ) = αij (ωp ) − αij (ωp )
per
p = 0, 1, 2, ..., Nc
(D.17)
differenza tra la FRF misurata e quella approssimata nei vari punti di campionamento del segnale. L’errore
quadratico totale calcolato su tutta la banda di interesse (ω0 , ω1 , ..., ωNc ) si scrive allora:
Eij =
Nc
X
eij (ω)e∗ij (ω)
(D.18)
p=0
Per la stima dei parametri incogniti rk (k = 1, 2, ..., 2N + 2) si risolve il sistema di equazioni che si origina dalla
minimizzazione dell’errore globale:
∂Eij
=0
∂rki
per
k = 1, 2, ..., 2N + 2
307
(D.19)
1. Apertura del programma: ⇒mDOF monitor. Contemporaneamente all’apertura
della finestra del programma, viene aperto anche un secondo programma (Static
Display) in cui è possibile visualizzare la FRF su cui eseguire l’analis
2. Visualizzazione della FRF nello Static Display: Trace→ !!!. Scegliere sum se si
desidera procedere con la somma delle FRF misurate, oppure una delle altre FRF
caricate in memoria.
3. Selezionare Estimate⇒ Poles nella finestra mDOF per avviare la fase di analisi dei
poli del sistema.
4. Selezionare Cursor⇒Double R2 nella finestra Static Display per individuare la
banda di frequenze in cui effettuare la stima dei poli, posizionare i cursori attorno
alla banda di interesse e premere Accept per accettare l’intervallo selezionato.
9
ESEMPIO 2 (PIAS2)
Nella banda di 800 Hz in cui sono state acquisite le FRF della piastra, sono
stati individuati 5 intervalli di frequenze:
(a) 0-12.3 Hz con 64 linee spettrali;
(b) 35.54-235.35 Hz con 1024 linee spettrali;
(c) 300.39-500.2 Hz con 1024 linee spettrali;
(d) 539.26-639.06 Hz con 512 linee spettrali;
(e) 689.45-789.26 Hz con 512 linee spettrali.
5. Premere OK per iniziare il calcolo della matrice covariante.
6. Quando la matrice covariante è stata creata, viene visualizzato un secondo indicatore
che mostra il numero crescente di modi impiegati nell’analisi. Esiste un numero
massimo di modi, pari a 30, che possono essere considerati ma questo numero può
essere ridotto selezionando Options→Method→Max. number of modes nella
finestra del programma mDOF.10
7. Se si interrompe momentaneamente il processo di calcolo premendo il tasto PAUSE
nella finestra di dialogo, diventa possibile visualizzare la carta degli errori quadratici commessi dall’analizzatore durante il processo. Ciò può essere fatto visualizzan9
Gli intervalli selezionabili si distinguono oltre che per gli estremi, anche per il numero di righe spettrali in
essi contenute; questo numero deve essere, per ragioni di calcolo, un multiplo di due. E’ opportuno selezionare
degli intervalli contenenti un numero limitato di modi, previsti o visibili, e assicurarsi che l’effetto dei modi agli
estremi sia trascurabile.
10
Tra le altre opzioni selezionabili riveste particolare importanza la possibilità di imporre od escludere il calcolo
dei residui inferiore e superiore che devono essere calcolati solo agli estremi della banda di frequenze selezionata.
Inoltre è consentito di scegliere tra due tipologie di residui: Complexe Real. Sebbene per la maggior parte delle
applicazioni meccaniche sia lecito attendersi dei residui reali, tuttavia è consigliabile selezionare il tipo complesso
per avere un’indicazione ulteriore sulla correttezza dell’analisi. Infine selezionando Options→Tolerances...è
possibile assegnare la tolleranza associata ad ognuno dei parametri modali calcolati
308
do block 10 nella finestra Static Display. Contestualmente è possibile visualizzare
la mappa di stabilizzazione degli autovalori calcolati durante il processo premendo
Cursor⇒Stabilization nella finestra Static Display già aperta contenente la FRF da
analizzare. Premendo il tasto Continue il processo di calcolo riprenderà aggiornando
continuamente sia la carta degli errori che il diagramma di stabilizzazione consentendo
allo sperimantatore di dispore di un utile strumento per decidere quando interrompere
definitivamente il processo di calcolo senza rischiare di sovradimensionare in eccesso
il modello con inutili perdite di tempo.
8. Quando il più piccolo errore è diminuito sufficientemente e tutti i poli sono stati
stabilizzati, il processo può essere definitivamente interrotto: premere Stop.
9. A questo punto inizia la fase di riconoscimento e accettazione dei modi stabilizzati
dal programma d’analisi. Poichè il modello modale impiegato dall’analizzatore è
usualmente sovradimensionato rispetto alle dimensioni reali del modello nella banda
selezionata, si verificherà un’introduzione di poli matematici” che possono confondere
nella fase di scelta. Non esiste una regola pratica per la scelta dei poli stabili, ma è
opportuno disporre di una stima preventiva, ottenuta per esempio con un modello ad
elementi finiti, delle pulsazioni naturali e degli smorzamenti.
Selezionare i poli stabilizzati che si avvicinano alla previsione numerica e premere
Accept nella finestra Stabilization .
10. Selezionare nella finestra mDOF i poli stabili di cui si vogliono calcolare i residui:
premere Estimate→Residues per iniziare il ciclo di calcolo. Si aprirà una finestra
in cui è necessario specificare la banda di frequenze in cui effettuare la stima dei
residui: la scelta più semplice consiste nel definire gli stessi intervalli di frequenze
usati per il calcolo dei poli.
11. Al termine della procedura di calcolo dei poli e dei residui si può valutare la correttezza dei risultati attraverso la visualizzazione dei modi con il programmaAnimated
Display. All’apertura del programma verrà visualizzato il primo modo relativo alla geometria selezionata all’inizio del processo di analisi; gli altri modi possono essere selezionati utilizzando gli opportuni comandi e opzioni contenute nella barra dei
menu. Per confrontare due modi si può visualizzarli uno accanto all’altro attraverso
l’istruzione: Options→Split Screen. Per selezionare altri modi premere: Mode
shape→Select. Per modificare l’animazione premere: Animation→Settings.
12. Un’altra rapida verifica, della bontà dei risultati ottenuti, consiste nel sintetizzare”
la FRF a partire dai dati appena calcolati. E’ infatti possibile ricostruire la FRF
e confrontarla con quella misurata sperimentalmente. Nella finestra del mDOF selezionare: Operate→Synthesize questa azione apre un’altra finestra di dialogo in
309
cui è necessario definire tra quale coppia di nodi si vuole costruire la FRF. A questo
punto si devono visualizzare nello Static Display entrambe le FRF, quella misurata e
quella sintetizzata, memorizzata nel block 0021 da Data→Trace.
Prima di procedere oltre con la descrizione delle caratteristiche del software di analisi
modale, si riportano i risultati teorici dei due casi presi in considerazione per confrontarli
successivamente con quelli ottenuti per via sperimentale. Nel primo caso si è deciso di
svolgere l’analisi dinamica con l’impiego del metodo delle autofunzioni; nel secondo, invece,
si è scelto di effettuare un’analisi agli elementi finiti, discretizzando la struttura con 100
elementi a piastra.
ESEMPIO 1 (COP1-COP2)
L’analisi dinamica di una trave incastrata ad un estremo e libera dall’altro, può
essere efficacemente condotta applicando il metodo delle autofunzioni. Il teorema
di Betti assicura infatti che ogni operatore strutturale è autoaggiunto e quindi
che i suoi autovalori sono reali e positivi e le sue autofunzioni costituiscono un
sistema di funzioni ortogonali. Scritta l’equazione di equilibrio dinamico della
trave, con le relative condizioni al contorno e iniziali, nella forma:
EIwIV (x, t) + ρAẅ(x, t) = f (x, t)
(D.20)
w(0, t) = wI (x, t) = 0
(D.21)
wII (l, t) = wIII (l, t) = 0
(D.22)
w(x, 0) = w0 (x)
(D.23)
ẇ(x, 0) = ẇ0 (x)
(D.24)
si risolve il problema esprimendo la funzione incognita e il termine noto come
combinazione lineare delle infinite autofunzioni che costituiscono la base dello
spazio vettoriale:
w(x, t) =
f (x, t) =
∞
X
n=0
∞
X
an (t)φn (x)
(D.25)
fn (t)φn (x)
(D.26)
n=0
Si risolve poi il problema di autovalori e autofunzioni associato al sistema
strutturale :
EI IV
φ (ξ) = λn φn (ξ)
ρAl4 n
φn (0) = φIn (0) = 0
=⇒
φIV
n (ξ) = λ̂n φn (ξ) per
ξ ∈ [0, (D.27)
1]
(D.28)
III
φII
n (1) = φn = 0
(D.29)
310
4
x
dove λ̂n = λn ρAl
EI e ξ = l .
Gli autovalori del problema sono le infinite radici della seguente equazione
trascendente:
q
q
4
4
1 + cos( λ̂n ) cosh( λ̂n )
(D.30)
Si riportano gli andamenti delle due funzioni che attraverso le loro intersezioni
definiscono le radici dell’equazione:
1
0.5
4
2
6
8
-0.5
-1
Figura D.4: Radici dell’equazione caratteristica
Le radici sono date da:
q
ω̄n =
4
λ̂n
(D.31)
ω̄1 = 1.87510407 ; ω̄2 = 4.69409113
(D.32)
ω̄3 = 7.85475744 ; ω̄4 = 10.99551073
(D.33)
ω̄n = (2n − 1)π/2 per
(D.34)
n>4
L’ennesima autofunzione del problema è invece data da:
φn (ξ) = (cosh ω̄n ξ − cos ω̄n ξ) −
sinh ω̄n − sin ω̄n
(sinh ω̄n ξ − sin ω̄n(D.35)
ξ)
cosh ω̄n + cos ω̄n
Gli andamenti dei primi tre modi del sistema sono riportati di seguito e possono
essere usati per un confronto con i risultati ottenuti sperimentalmente:
311
2
1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-1
-2
Figura D.5: Deformate modali della trave incastrata
Si noti la posizione dei nodi” delle deformate, cioè dei punti di annullamento
delle stesse: il primo modo non ha nodi lungo l’asse, il secondo ne ha uno in
corrispondenza dell’ 80% dell’asse, il terzo ne ha uno a circa metà ed un altro
all’85% dell’asse. In fase sperimentale gli accelerometri disposti in corrispondenza di tali nodi non dovrebbero rilevare le frequenze corrispondenti a quel
modo; ciò spiega in parte la convenienza di studiare le caratteristiche modali
della struttura a partire da una FRF che sia somma di tutte le FRF misurate
nei vari punti di misura.
Sostituendo lo sviluppo in serie nell’equazione di equilibrio, si riporta il problema alla ricerca della soluzione delle infinite equazioni differenziali ordinarie
disaccoppiate seguenti:
än (t) + λan (t) = fn (t) per
an (0) =
ȧn (0) =
Z 1
0
Z 1
0
n = 1, 2, ..., ∞
(D.36)
w0 (ξ)φ(ξ)dξ
(D.37)
ẇ0 (ξ)φn (ξ)
(D.38)
La cui soluzione è:
p
p
ȧn (0)
an (t) = an (0) cos( λn t) + √
sin( λn t) +
λn
√
Z t
sin( λn (t − τ ))
0
√
λn
fn (τ
(D.39)
)dτ
Imponendo condizioni iniziali di quiete per il sistema e supponendo che la sollecitazione esterna sia data da un impulso unitario applicato all’istante iniziale
312
¯ si ha:
nel punto di ascissa ξ,
Z 1
¯
¯
δ(t)δ(ξ − ξ)φ(ξ)dξ
= δ(t)φ(ξ)
√
√
Z t
sin( λn (t − τ ))
sin( λn t)
¯
¯
√
√
an (t) =
δ(τ )φ(ξ)dτ =
φn (ξ)
λn
λn
0
fn (t) =
0
(D.40)
(D.41)
Da cui la risposta impulsiva si scrive:
w(x, t) =
√
√
λn
∞
X
sin( λn t)
n=1
x̄
x
φn ( )φn ( )
l
l
(D.42)
Le prime quattro frequenze naturali di vibrazione del sistema sono date da:
s
s
√
λn
ω̄n2
EI
ω̄n2 Eh2
=
νn =
=
2π
2π ρAl4
2π 12ρl4
ν1 = 12.29 Hz
(D.44)
ν2 = 76.99 Hz
(D.45)
ν3 = 215.58 Hz
(D.46)
ν4 = 422.46 Hz
(D.47)
(D.43)
in cui, al posto di E, I, l, ρ si sono sostituiti i parametri geometrici e materiali
dichiarati all’inizio di questo lavoro. E’ interessante osservare che le frequenze
proprie del sistema sono ben separate sull’asse reale e che nella banda [0,200] Hz
sono contenute due frequenze proprie, mentre nella banda [0,400] Hz ve ne sono
tre. Considerando solo i primi tre modi nello sviluppo in serie della soluzione,
si riportano l’andamento della risposta impulsiva del sistema ad un impulso
applicato nell’estremo libero per un intervallo di tempo compreso tra l’istante
iniziale e 0.2 secondi:
ESEMPIO 2 (PIASLIB-PIAS2)Lo studio della dinamica di una piastra libera
potrebbe essere svolto nello stesso modo in cui si è risolto il problema precedente,
tuttavia esiste una difficoltà pratica di calcolare i modi propri di vibrazione della
struttura per le particolari condizioni al contorno associate agli estremi liberi.
Pertanto si è deciso di affrontare la soluzione con l’impiego del metodo degli
elemeti finiti. Discretizzando la struttura con 100 elementi a piastra con le
caratteristiche materiali e geometriche assegnate, l’analisi agli elementi finiti
conduce al seguente risultato:
• M ode M anager La verifica della correttezza dei risultati sperimentali può essere eseguita
oltre che con la visualizzazione grafica delle deformate modali fornita da Animated Display
313
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0.05
0.025
0
-0.025
-0.05
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura D.6: Risposta impulsiva
ANSYS 5.3
FEB 7 2001
15:20:11
PLOT NO.
1
DISPLACEMENT
STEP=1
SUB =7
FREQ=76.299
RSYS=0
DMX =5.282
1
DSCA=.002366
XV =.61073
YV =.50399
ZV =.61073
DIST=.172661
XF =.125
YF =.125
A-ZS=-.241E-05
Z-BUFFER
Y
Z
X
Figura D.7: I modo piastra
, anche applicando una varietà di criteri disponibili in questa sezione del software di analisi
modale.
In Mode Manageri dati di ogni Project sono organizzati in sezioni di analisi, che è necessario
definire o richiamare all’inizio del processo. Ciò può essere fatto selezionando Operations
314
⇒ New (Open). Per richiamare i modi di interesse all’interno di ogni sezione di analisi,
premere: Mdm⇒Memory (Disk) . Il primo comando permette di selezionare i modi
correntemente caricati nella memoria dinamica, il secondo di richiamare i dati immagazzinati nella memoria di massa e caricarli sulla memoria dinamica per poterli manipolare
(premere: Operations⇒Load Selected Modes) .
Il caricamento dei dati sulla memoria dinamica è seguito dall’apertura di una finestra in
cui è possibile visualizzare e manipolare le informazioni sui modi selezionati. Si noti che
di ciascun modo vengono riportate la frequenza, lo smorzamento percentuale, il numero
di componenti che costituiscono l’autovettore (pari al numero di gradi di libertà scelti
per discretizzare la struttura), il numero di punti di battuta (Ref DOFs) da cui è stata
impressa l’energia di eccitazione, il metodo di stima dei parametri modali impiegati (MDOF
o SDOF), il tipo di residui calcolati (REAL o COMPLEX).
Si descrivono singolarmente i comandi selezionabili nella barra di menu.
1. Options⇒Settings...
Questo comando consente di specificare il formato di visualizzazione dei dati. In particolare è possibile scegliere il tipo di normalizzazione da effetuuare per gli autovettori
e di convertire i valori dei residui dal formato Displacement over forcea velocity or
acceleration over force.
2. List Estimates⇒List Residues...
Questo comando crea una lista dei residui dei modi selezionati.
3. List Estimates⇒List Mode Shapes...
Questo comando crea una tabella delle componenti degli autovettori dei modi
selezionati.
4. List Estimates⇒List Partecipation Factors...
Questo comando crea una tabella contenente i fattori di partecipazione modale dei
modi selezionati. E’ un indice del contributo del modo alla risposta impulsiva, essendo
definito come la somma di tutti i residui di un modo relativamente ad un fissato punto
di eccitazione. Dal confronto dei fattori di partecipazione modale di un modo relativi
a diversi punti di battuta si può riconoscere quale sia il migliore punto di battuta per
eccitare il modo.
5. List Estimates⇒List Generalized Parameters...
Questo comando crea una tabella contenente i parametri modali generalizzati dei modi selezionati, come la massa modale, lo smorzamento modale e la rigidezza modale,
che dipendono dal tipo di normalizzazione scelta. Questi parametri sono definiti nel
315
modo seguente:
mk =
ψik ψjk
2jωk Rijk
(D.48)
kk = mk ωk2
(D.49)
ck = 2mk ωk ζk
(D.50)
dove ωk è la pulsazione naturale smorzata. Contestualmente si definisce Modal A il
seguente parametro:
Rijk = ak νik νjk
=⇒
ak =
1
2jωk mk
(D.51)
anch’esso viene riportato nella tabella del CADA.
6. Modal Validation⇒Synthesize...
Questo comando consente la generazione di FRF a partire dai modi in memoria per
effettuare un confronto grafico con le FRF misurate. Tra le opzioni selezionabili
compaiono l’intervallo di frequenze, il numero di righe spettrali e la correzione allo
smorzamento, che dipende dalla finestra usata nel processo di acquisizione.
7. Modal Validation⇒Modal Assurance Criterion...
Questo comando genera una tabella contenente i MAC tra i modi selezionati e tutti i
modi in memoria. Il MAC (M ACrs =
(r) (s)
(ψj ψk )2
(r) (r)
(s) (s)
(ψj ψj )(ψk ψk )
) è un indice della correlazione
esistente tra due insiemi di vettori. Abitualmente viene impiegato per valutare la correlazione tra gli autovettori numerici e quelli sperimentali, tuttavia in questo ambito
serve per determinare la correlazione tra gli autovettori identificati da diverse colonne
della matrice delle FRF. Modal Validation⇒Mode Complexity...
A partire dalla considerazione che l’aumento della massa di un sistema provoca
una riduzione delle frequenze naturali di vibrazione, si può stabilire un criterio per
la valutazione della corretezza dell’analisi. Si definisce un indice chiamato Mode
Overcomplexity Value o MOV che è dato per l’r-esimo modo e la k-esima colonna da:
(r)
M OVk
PN
=
(r)2
j=1 ψjk djk
PN
(r)2
j=1 ψjk
(D.52)
(r)
dove N è il numero dei punti di misura; Rjk è la componente j-esimadel residuo
relativo.
8. Modal Validation⇒Phase Collinearity and Scatter...
Nel caso di strutture con smorzamento proporzionale, gli autovettori dovrebbero essere puramente reali. Questo significa che l’angolo tra due diversi coeficienti complessi
dello stesso modo dovrebbe essere 0 o π.
316
9. Modal Validation⇒Phase Scatter...
Questo indice esprime la varianza dell’angolo di fase di tutte le componenti degli
autovettori dal loro valor medio. Valori prossimi a zero indicano che l’autovettore
selezionato è reale e che il modello di smorzamento proporzionale è correttamente
applicabile.
ESEMPIO 1 (COP1-COP2)
Si riportano per i due casi analizzati di dinamica della trave le frequenze e gli smorzamenti calcolati. Si noti che nel primo caso esaminato si sarebbero dovute individuare
soltanto due frequenze fondamentali, ma la valutazione del risposta nell’intervallo
scelto ha condotto ad una errata valutazione del problema.
N
1
2
3
4
5
f
12.49
76.3
77.88
184.71
185.82
ζ
0.26
0.57
0.49
0.11
0.18
∆f
1.63%
-0.896%
1.15%
N
1
2
3
4
f
12.41
75.64
77.84
214.35
ζ
0.34
0.49
0.49
0.12
∆f
0.976%
-1.75%
1.1%
-0.57%
ESEMPIO 2 (PIASLIB-PIAS2)
Si riportano i valori delle frequenze fondamentali di vibrazione e dei coefficienti di smorzamento della piastra. I primi due valori sono introdotti dal vincolo e
corrispondono a due modi rigidi della piastra.
N
1
2
3
4
5
6
f
0.7988
3.00
71.58
148.67
192.71
356.7
ζ
6.78
1.27
0.43
0.41
0.56
0.23
317
∆f
6.18%
8.2%
-2.44%
3.07%
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319