UNIVERSIDAD NACION AL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA PROPAGACION Y RADIACION ELECTROMAGNETICA II EE524M GUIAS DE ONDAS ING. ARMANDO ALBERTO CAJAHUARINGA CAMACO LIMA – PERU 2018 GUIAS DE ONDAS - INTRODUCCION Un tipo de línea de trasmisión es una guía de onda, un tubo cilíndrico conductor hueco, considerada inicialmente como un conductor perfecto, tal como se muestra en la figura 3.1. El material del cilindro puede ser cobre, aluminio o bronce. La sección transversal de dicho cilindro puede ser, figura 3.2: Figura 3.1 Figura 3.2. Las guías de ondas son apropiadas para frecuencia 1 GHz < f < 300 GHz, de longitudes de onda de 1 mm < π < 300 mm. En este tipo de línea de trasmisión se propagan modos TE y TM, mas no TEM. ¿Por qué? GUIAS DE ONDAS - INTRODUCCION Una guía de onda con un sistema de referencia cartesiano se muestra en la figura 3.3. Se observa: S: superficie de la sección Figura 3.3 transversal C: contorno de la sección transversal π: vector unitario a la superficie lateral π: vector unitario en la dirección axial del cilindro π: vector unitario tangencial a la superficie lateral Una guía de onda es cualquier estructura física que guía ondas electromagnéticas. El medio dieléctrico en el que esta propagación se produce está limitado, ya sea por u material conductor (microondas y radiofrecuencia) o por otro dieléctrico (para frecuencias ópticas). GUIAS DE ONDAS - INTRODUCCION La primera guía de onda fue propuesta por Joseph John Thomson en 1893 y experimentalmente verificada por O. J. Lodge en 1894. El análisis matemático de los modos de propagación de un cilindro metálico hueco fue realizado por primera vez por Lord Rayleigh en 1897. Dado que la energía se transporta por ondas electromagnéticas, las características de las guías de onda tales como impedancia, potencia y atenuación se obtienen de los campos eléctricos y magnéticos de una onda electromagnética, es decir, empleando la teoría electromagnética (ecuaciones de Maxwell y condiciones de frontera). Algunos sistemas de telecomunicaciones utilizan la propagación de ondas en el espacio libre, sin embargo también se puede transmitir información mediante el confinamiento de las ondas en cables o guías. GUIAS DE ONDAS - INTRODUCCION En altas frecuencias las líneas de transmisión que propagan modos TEM, entre ellos los cables coaxiales, presentan atenuaciones muy elevadas por lo que impiden que la transmisión de la información sea la adecuada, son imprácticos para aplicaciones en HF (alta frecuencia) o de bajo consumo de potencia, especialmente en el caso de las señales cuyas longitudes de onda son del orden de centímetros, esto es, microondas. La transmisión de señales por guías de onda reduce la disipación de energía, es por ello que se utilizan en las frecuencias denominadas de microondas con el mismo propósito que las líneas de transmisión en frecuencias más bajas, ya que se presentan poca atenuación para el manejo de señales de alta frecuencia. GUIAS DE ONDAS – BANDAS DE FRECUENCIA GUIAS DE ONDAS – BANDAS DE FRECUENCIA GUIAS DE ONDAS – BANDAS DE FRECUENCIA GUIAS DE ONDAS – ONDAS TRANSVERSALES Y AXIALES Al igual que los campos electromagnéticos TEM ideales estudiados en el capitulo anterior, que tenían un termino de propagación, π±ππ·π , indicando la propagación en la dirección βz; por analogía, las ondas que se propagan en una guía de onda en la dirección βz, también tendrán un termino de propagación π±ππ·π π , siendo π· π desconocido, a determinarse mas adelante, al aplicar las condiciones de frontera. Así, los campos eléctrico y magnético solo dependerán de las variables transversales: (x, y) en coordenadas cartesianas y (r, ο¦) en coordenadas cilíndricas. Para analizar las ondas TE y TM que se propagan dentro de la guía de onda, es conveniente descomponer los campos eléctrico y magnético de los modos TE y TM en componente transversal y componente axial. π¬ π, π, π = π¬π π, π, π + π¬π π, π, π π¬ π, π, π = ππ π, π π−ππ·ππ + ππ π, π π−ππ·ππ π π π π΅ = π΅ π + π΅π = π΅π + ππ ; π΅π = π΅ππ + π΅ππ = π΅ππ + π ππ ππ 3.1 3.2 GUIAS DE ONDAS – ONDAS TRANSVERSALES Y AXIALES Las ecuaciones de maxwell, para un medio vacío y libre de fuentes: π΅ππ¬ = −ππππ― π΅ππ― = ππππ¬ π΅. π© = π π΅. π« = π π© = ππ―; π« = ππ¬ 3.3 3.4 3.5 3.6 ππππ πππ πππ ππππππππ La ecuación de onda de Helmholtz, para E y H; al que denotaremos por π: π΅π πΏ + π²π πΏ = π Usaremos las identidades vectoriales: π΅π π³ π = π΅π³ππ + π³ π΅ππ π΅. π³ π = π΅π³. π + π³ π΅. π 3.7 GUIAS DE ONDAS – ONDAS TRANSVERSALES Y AXIALES π΅π + π΅π × ππ + ππ π−ππ·π π = −πππ ππ + ππ π−ππ·ππ π−ππ·π π π΅π × ππ + ππ + ππ + ππ × π΅π π−ππ·ππ = −πππ ππ + ππ π−ππ·π π π−ππ·π π π΅π × ππ + ππ + ππ + ππ × (−ππ·π π−ππ·ππ ππ ) = −πππ ππ + ππ π−ππ·ππ [π΅π × ππ + π΅π ππ × ππ ] + ππ × (−ππ·π ππ ) = −πππ ππ + ππ De la ultima expresión, obtendremos dos expresiones, una transversal y otra axial, de la primera ec. de Maxwell π΅π × ππ = −πππππ ; ππ × [π΅π ππ + ππ·π ππ ] = πππππ De forma análoga, obtendremos dos expresiones, una transversal y otra axial de la segunda ec. De Maxwell. π΅π × ππ = πππππ ; ππ × π΅π ππ + ππ·π ππ = −πππππ GUIAS DE ONDAS – ONDAS TRANSVERSALES Y AXIALES Para la tercera ecuación de Maxwell, remplazando (3.1) en (3.5) tendremos: π π΅π + π΅π β ππ + ππ π−ππ·ππ = π π−ππ·ππ π΅π β ππ + ππ + ππ + ππ β π΅π π−ππ·ππ =0 π−ππ·ππ π΅π β ππ + ππ β −ππ·π π−ππ·ππ ππ = π βΉ π΅π β ππ = ππ·π ππ Para la cuarta ecuación de Maxwell, remplazando (3.1) en (3.6) tendremos: π΅π β ππ = ππ·π ππ Para las ecuaciones de onda de Helmholtz (3.7), remplazando (3.1), tendremos, para πΏ = ππ , ππ , ππ , ππ : π΅ππ πΏπ + π²ππ πΏπ = π π π΅ππ πΏπ + π²ππ πΏπ = π; π²ππ = π·ππ − π²π π²π es el numero de onda de corte (matemáticamente, el valor propio), que se determina al resolver la ecuación de onda. GUIAS DE ONDAS – ONDAS TRANSVERSALES Y AXIALES Resumiendo, las ecuaciones de Maxwell, considerando componentes transversales y axiales son: π΅π × ππ = −πππππ 3.8 ππ × [π΅π ππ + ππ·π ππ ] = πππππ 3.9 π΅π × ππ = πππππ 3.10 ππ × π΅π ππ + ππ·π ππ = −πππππ 3.11 π΅π β ππ = ππ·π ππ 3.12 π΅π β ππ = ππ·π ππ 3.13 π΅ππ πΏπ + π²ππ πΏπ = π 3.14 π΅ππ πΏπ + π²ππ πΏπ = π 3.15 GUIAS DE ONDAS – CONDICIONES DE CONTORNO Para terminar de formular el marco teórico para el análisis de la propagación de los modos TE y TM, definiremos las condiciones de frontera (C.F.) aplicado a estructuras cilíndricas. Partimos de las condiciones de frontera de campos E y H frente a planos conductores perfectos. Ver figuras 3.4 y 3.5 GUIAS DE ONDAS – ONDAS TEM Aplicaremos la formulación anterior para los siguientes casos: Ondas TEM (ππ = π π ππ = π) Para este caso, π΅π × ππ = π, campo irrotacional, por lo que ππ = −π΅π π½, que remplazando en (3.13) se tiene πππ π½ = π, es decir, se tiene que resolver la ecuación de Laplace, como en los procesos estáticos. También se tiene que π²π = π, lo que implica que π² = π·π = π·. Veamos un caso practico, cable coaxial de diámetros a y b (b>a), llena de un dieléctrico ππ , hecha de un material conductor perfecto. Como π½ π = π½ π, π = π½ π , debido a la simetría circunferencial o axial. Así, la ecuación de Laplace se reduce a: π π ππ½ π =π π ππ ππ βΉ π½ = πͺπ + πͺπ ln π La condición de frontera para la componente transversal es: π β ππ π±ππ·π π β −ππ½ |πππ. = π, |πππ. =π ππππ πππ π ππππππ π βΉ ππ½ ππ |πππ Nota: De la ec. De onda de Helmholtz para ππ : π΅π π΅ππ π± + π²π − π·ππ π± = π =π βΉ π² = π·π = π· π π΅ππ π± = π GUIAS DE ONDAS – CABLE COAXIAL Considerando que las superficies laterales cilíndricas están a un potencial : i) π±= π½π ππ π π =ππ π±=− π½π π ππ π = π; π ii) π± = π½π ππ π = π π π± = π ππ π = π; Se tiene como resultado de aplicar las condición de frontera: πͺπ + πͺπ π₯π§ π = − π½π ; π πͺπ +πͺπ ππ π = π½π βΉ π πͺπ = π½π π₯π§ π π Así, tenemos la solución determinada hasta una constante πͺπ : π½ π± = πͺπ + ππ ππ π π₯π§ π, entonces el campo transversal será: π½π π½π ππ± ππ π π ππ π π −ππ·π ππ = −π΅π± = − = ππ βΉ π¬π = ππ π−ππ·π = π ππ ππ π π De (3.9) se tiene el campo ππ : π½π π π½π π π· ππ π π ππ π π ππ = ππ × ππ·ππ = ππ × ππ = ππ ; πππ ππ π π π―π = ππ π−ππ·π = π π½π ππ π π π π−ππ·π ππ ; β€: πππππ πππππ ππππππππππ π π ππ πππ π π»π¬π΄ GUIAS DE ONDAS – CABLE COAXIAL Como la línea de transmisión que propaga modos TEM no tienen perdidas, calcularemos la potencia que lleva en cualquier plano perpendicular a su eje axial. π π ∗ π¬π × π―∗π = π¬π × πππ × π¬π π π π π π π πΊ= π¬π β π¬∗π ππ − π¬π β ππ π¬∗π = π¬π ππ = ππ π ππ π π π πΊ= π·= πΊ β π π¨ = π π· = ππ π π π π π π½π ππ π π π ππ π ππ β π π¨ππ = π π ππ π π π¨ π ππ π π π½ππ π π·= ππ π π Para el caso de propagación de ondas TEM, se puede definir una onda escalar de corriente, considerando que existe corriente superficial π±ππ |π=π = ππ × π―π y π±ππ |π=π = −π±ππ |π=π . Así, para el contorno ππ tendremos: π°= π―π β π π΅ = ππ ππ π π½π π π½π ππ π π −ππ·π π ππ β ππ πππ = ππ π−ππ·π = π°π π−ππ·π π ππ π π GUIAS DE ONDAS – CABLE COAXIAL Analogamente, podemos definir una onda de diferencia de tensión escalar π½, cuya expresión no depende de la trayectoria perpendicular ππ entre las superficies r=a y r=b. π π½= π π¬π β π β = π π π½π ππ π π −ππ·π π ππ β π πππ = π½π π−ππ·π π La potencia que transporta estas ondas de tensión y corriente están dadas por: π π π π π½π ∗ π· = π½ β π° = π½π β π°π = π½π β ππ π π π ππ π π π π½ππ π π·= ππ π π Expresión que es la misma que la calculada por campos electromagnéticos. Finalmente, para una línea de transmisión se define su impedancia característica como: π½+ π½− π½π β€π = + = − − = = π° π° π°π π½π β€ = ππ π π π π½π ππ ππ ππ π π ππ β€π = ππ π π ππ GUIAS DE ONDAS – CABLE COAXIAL Resolver la ecuación de onda para el caso de π finita, es complicado, pero existe un método alternativo cuyos resultados concuerdan aceptablemente con las mediciones realizadas. Considerando que la superficie conductora de r=b tiene un espesor en donde reside π±π , lo que genera perdidas por efecto Joule, medio conductor π ππ caracterizado por su resistencia superficial πΉπ = = ππ . Si bien π±π reside ππΉ dentro del medio conductor, este será calculado considerando conductor perfecto. Así, la potencia a lo largo de su eje axial, esta dado por la siguiente expresión: π· = π·π π−ππΆπ Perdida de potencia por unidad de longitud: βΉ πΆπ = − π·π΅π , ππ· πππ π·π΅π = πΉπ π π·π΅π = π π±π π π΅ , ππ· ππ = −ππΆπ π· πππ π ππ ππππππππ. π Aplicaremos estas expresiones para el calculo de πΆπ . En la superficie r=a, π±ππ π π = ππ y en r=b, π±ππ π = ππ π = π±ππ π GUIAS DE ONDAS – CABLE COAXIAL La expresión de la potencia P que transporta la onda, ya ha sido calculada; quedando por calcular π·π΅π : π·π΅π = π·π΅π πΉπ π πΉπ = π π π±π π π΅ = π ππ π=π π·π΅π = ππ πΉπ π πΉπ π π π±ππ π π΅ + ππ πΉπ ππ π + π π π½π ππ π π π ππ π=π π + ππ πΉπ π πΉπ π π π±ππ π π΅ ; πππ π π΅ = ππ π ππ πΉπ ππ π = π π π½π ππ π π π π π½π ππ π π π π πΉπ πππ + π π π½π ππ π π π π πππ π = π πΉπ π π½π ππ π π π π π + π π Finalmente: πΆπ = π·π΅π ππ· = π π½π π π π π πΉπ ππ π π + π π π π½π π πππ ππ π πΆπ = π ππΉπ ππ π π β π+π ππ Recordar que las perdidas son de 2 tipos: material de los cilindros y perdidas en el dieléctrico, caracterizado por una permeabilidad compleja π = π′ − ππ′′ con π′π β« π′′ π . Calcularemos la atenuación πΆπ debido a perdidas en el dieléctrico. GUIAS DE ONDAS – CABLE COAXIAL Las perdidas en el dieléctrico, se pueden calcular mediante dos métodos: i) Calculamos la densidad de corriente volumétrica π± (A/m2) y luego la potencia disipada, y π π·π = π π·ππ π±β π¬∗π π π½ π½ ππ′′ = π π¬π π π½ ππ′′ π π½ = π ππ π π½ π π·π ππ′′ π½π = = π΅ π ππ π π ππ π π ππ = ππ′′ ππ′′ π π½ = π π½ π½ππ π ππ π π π½π ππ π π π π ππ π π π π΅ π·ππ ππ′′ βΉ πΆπ = = ππ· ππ ii) Remplazando π en la constante de propagación, ππ· = ππΈ = ππ ππ = ππ π ππΈ = πΆπ + ππ· βΉ π′ − ππ′′ = ππ ππ′ ′′ ′′ π ππ πΆπ = π ππ′ ′ = ππ ππ π′′ π−π ′ π π/π ≅ ππ ππ′ π′′ π−π ′ ππ GUIAS DE ONDAS – MODOS TE Ondas TE (ππ = π π ππ ≠ π) Las ondas TE son denominadas así por que no existe componente axial del campo eléctrico, pero si el campo axial del campo magnético (que hace de fuente para generar todos los campos). Formularemos un procedimiento para determinar las ondas TE. Requeriremos: a) Obtener la ecuación de onda para ππ y resolverla usando las condiciones de frontera en el cilindro. b) Determinar el valor característico π²ππ = π²π − π·ππ , al resolver ππ . c) Conocido π²π , que es función de la geometría de la sección transversal, obtener la función propia ππ π π·π . d) Calcular la componente ππ . e) Calcular la componente ππ . f) Obtener expresiones para ππ , ππ , ππ , π·π π β€π g) Obtener la expresión para calcular la potencia de una onda TE. h) Obtener las expresiones para calcular la atenuación debido a la conductividad grande pero finita del cilindro; y debido a perdidas en el dieléctrico, caracterizado por π = π′ − ππ′′ . GUIAS DE ONDAS – MODOS TE Las ecuaciones de Maxwell y las ec. de onda para TE se convierten en: π΅π × ππ = −πππππ 3.16 π΅π β ππ = ππ·π ππ 3.20 ππ × [π + ππ·π ππ ] = πππππ 3.17 π΅π β ππ = π 3.21 π΅π × ππ = π 3.18 π΅ππ ππ + π²ππ ππ = π 3.22 ππ × π΅π ππ + ππ·π ππ = −πππππ 3.19 π΅ππ ππ + π²ππ ππ = π 3.23 NOTA: La expresión (3.23) se obtiene de: De (3.17) ππ × ππ = ππ π π·π π De (3.19) ππ × ππ × π΅π ππ + ππ·π ππ = −πππππ × ππ βΉ π΅π ππ + ππ·π ππ = πππππ × ππ Tomando la divergencia a la ultima expresión y remplazando ππ × ππ : π΅π β π΅π ππ + ππ·π π΅π β ππ = ππππ΅π β πππ ππ − π·ππ ππ + ππ ππππ = π πππ π²ππ = ππ ππ − π·ππ ; ππ π π·π π βΉ πππ ππ + ππ·π ππ·π ππ = −ππ ππππ βΉ πππ ππ + π²ππ ππ = π; π²ππ = π²π − π·ππ GUIAS DE ONDAS – MODOS TE Obtenido ππ , ahora calcularemos las otros componentes. De (3.18): ππ ππ β ππ − πππ ππ = π βΉ ππ·π ππ ππ + π²ππ ππ = π βΉ ππ = −π π·π π²ππ ππ ππ De (3.17), tomando el rotacional a ambos lados, y utilizando identidades vectoriales: ππ ππ = − π × ππ ; βΉ π·π π ππ = −β€π»π¬ ππ × ππ Al igual que para los modos TEM, se define la impedancia de las componentes transversales, β€π»π¬ = β€π»π¬ = β€π»π¬ ππ π·π = ππ ππ = π²π −π²ππ π² π− ππ π π ππ π − π π ππ ππ = =− ; ππ ππ π ππ = π− π ππ π π/π π²π π π² π π/π . πΊπ π²π = ππ ππ = ππ ππ ππ; π² = ππ π ππ π π = π π− π π π π/π ; πΊπ, π²ππ = π²π − π·ππ βΉ π = π− ππ π π π/π . βΉ β€π»π¬ = ππ ππ π β€π ππ π π− π π ππ = π π π π/π ππ − ππ π βΉ π πππ = π π + ππ πππ GUIAS DE ONDAS – MODOS TE π·ππ π πππππππππ: ππ = π = π·π π π²π − π²ππ = π π² π² π− π π² π = π π π ππ π − π π ; π ππ = π ππ π π− π π π ππ π ππ = = , πππ π·ππ = π²π − π²ππ ; βΉ π·π = ππ ππ − πππ = ππ ππ − πππ ππ·π ππ·π ππ Ahora aplicaremos las condiciones de frontera de un dieléctrico-conductor ideal, a una guía de onda cilíndrica, cuya sección transversal se muestra en la figura 3.6. La normal indicada, es a la superficie lateral del cilindro. Para campo magnético: π·π ±ππ·π π π β ππ + ππ |πππ. π = π βΉ π β ππ |πππ. = π; ππππ ππ = − π ππ ππ π²π π·π πππ π β − π ππ ππ = π βΉ π β ππ ππ |πππ. = π βΉ =π ππ |πππ. π²π Obtendremos la expresión para calcular la potencia media ∗ π π ∗ ∗ π ∗ π π πΊ = πΉπ π¬π × π―π + π―π = πΉπ π¬π × π―π = πΉπ ππ × ππ = πΉπ β€π»π¬ ππ ππ π π π π β€π»π¬ π·ππ β€π»π¬ π·ππ β€π»π¬ π·ππ π π π πΊ= ππ ππ ππ ; π· = πΊ β π π¨ = ππ ππ π π¨ = π²π ππ π π π¨ π π π ππ²π ππ²π ππ²π π·= β€π»π¬ π·ππ ππ²ππ ππ π π π¨ PROCEDIMIENTO PARA OBTENER ONDAS TE En resumen, tenemos para las ondas TE en una GO cilíndrica: 1)Resolver la ecuación de onda para ππ y calcular π²π usando las C.F. πππ ππ + π²ππ ππ πππ + πͺ. π. = π; ππ |πππ. =π π²ππ = π²π − π·ππ ; π²ππ = ππ ππ − π·ππ ; 2) Calcular las otras dos componentes: ππ = −π π·π π²ππ ππ ππ ; ππ = −β€π»π¬ ππ × ππ 3) Calcular los parámetros de la guía de onda π·ππ = π²π − π²ππ ; β€π»π¬ = ππ = βΉ β€π ππ π π− π π π π ππ π π− π π ; π ; π/π π·π = ππ ππ − πππ = ππ ππ − πππ ; ππ = π π π− ππ π ; π/π ππ π ππ = = ; ππ·π ππ·π ππ ππ π·π = π ππ π − π ππ = π·= π π π π− π π β€π»π¬ π·ππ ππ²ππ π π/π ππ π π π¨ GUIAS DE ONDAS – MODOS TM Ondas TM (ππ ≠ π π ππ = π) Las ondas TM son denominadas así por que no existe componente axial del campo magnético, pero si el campo axial del campo eléctrico (que hace de fuente para generar todos los campos). Formularemos un procedimiento para determinar las ondas TM. Requeriremos: a) Obtener la ecuación de onda para ππ y resolverla usando las condiciones de frontera en el cilindro. b) Determinar el valor característico π²ππ = π²π − π·ππ , al resolver ππ . c) Conocido π²π , que es función de la geometría de la sección transversal, obtener la función propia ππ π π·π . d) Calcular la componente ππ . e) Calcular la componente ππ . f) Obtener expresiones para ππ , ππ , ππ , π·π π β€π g) Obtener la expresión para calcular la potencia de una onda TM. h) Obtener las expresiones para calcular la atenuación debido a la conductividad grande pero finita del cilindro; y debido a perdidas en el dieléctrico, caracterizado por π = π′ − ππ′′ . PROCEDIMIENTO PARA OBTENER ONDAS TM En resumen, tenemos para las ondas TM en una GO cilíndrica: 1)Resolver la ecuación de onda para ππ y calcular π²π usando las C.F. πππ ππ + π²ππ ππ = π π²ππ = π²π − π·ππ ; + πͺ. π. ππ |πππ. = π; π²ππ = ππ ππ − π·ππ ; 2) Calcular las otras dos componentes: ππ = −π π·π π²ππ ππ ππ ; ππ = ππ»π΄ ππ × ππ 3) Calcular los parámetros de la guía de onda π·ππ = π²π − π²ππ ; β€π»π΄ = ππ = βΉ β€π ππ π− ππ π π ππ π π− π π ; π π·π = ππ ππ − πππ = ππ ππ − πππ ; π π/π ; π ππ = π− π ππ π ; π/π ππ π ππ = = ; ππ·π ππ·π ππ ππ π·π = π ππ π − π ππ = π·= π π π π− π π ππ»π΄ π·ππ ππ²ππ π π/π ππ π π π¨ GUIAS DE ONDAS – CONDICIONES DE CONTORNO