Chapitre 1
Primitives :séance 1
1
Introduction
On commence cette séance par la question suivante : Etant donnée une
fonction f définie sur un intervalle I, est-ce qu’on peut trouver une fonction
F telle que F 0 = f , si la réponse est oui, une telle fonction s’appelle primitive
de f sur I :
derivee
F −→ f,
F ←− f .
primitive
2
Définitions et propriétés
Définition 2.1. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle
primitive de f sur I, toute fonction F : I −→ R dérivable sur I, telle que
F 0 (x) = f (x), ∀x ∈ I.
Exemple 2.1. Soit f (x) = 3x, alors F (x) =
I = R car F 0 (x) = 3x = f (x), ∀x ∈ I.
3x2
2
est une primitive de f sur
Exemple 2.2. Soit f (x) = x1 alors F1 (x) = ln(x) est une primitive de f sur
I1 =]0, +∞[ et F2 (x) = ln(−x) est une primitive de f sur I2 =] − ∞, 0[.
Remarque 2.1. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et F une
primitive de f sur I.
1. Alors F +c, est une primitive de f sur I.(c est une constante arbitraire)
C’est à dire pour une fonction f , nous avons plusieurs primitives.
2. Si H est une primitive de f sur I, alors il existe une constante k ∈ R
tel que : H(x) = F (x) + k, ∀x ∈ I. C’est à dire deux primitives d’une
même fonction ne diffèrent que d’une constante k.
1
Exemple 2.3. Soit f (x) = 2x, alors les fonctions x2 , x2 +1, x2 +2020, ..., x2 +c
sont des primitives de f et deux parmi eux ne diffèrent que d’une constante.
Z
Remarque 2.2. Une primitive de f sera notée f (x)dx par exemple :
Z
x3
2
+ c sur R.
1. f (x) = x −→ x2 dx =
3
Z
2. f (x) = cos(x) −→ cos(x)dx = sin(x) + c sur R.
Z
Remarque 2.3.
f 0 (x)dx = f (x) + c. C’est à dire la primitive de la dérivée
d’une fonction c’est la fonction elle même.
Proposition 2.1. Soient λ, µ ∈ R. Si f Zet g possèdent des primitives
Z sur I
Z
alors λf +µg admet une primitive sur I et (λf (x) + µg(x))dx = λ f (x)dx + µ g(x)dx.
Z
Exemple 2.4.
Z
(2 cos(x) − 4x)dx = 2
Z
!
Faites attention :
Z
cos(x)dx − 4
xdx = 2 sin(x) − 2x2 + c.
Z
Z
f (x)g(x)dx 6= ( f (x)dx)( g(x)dx).
Remarque 2.4. Une question naturelle qui se pose, est-ce que toute fonction
f définie sur I, admet nécessairement une primitive sur I ? La réponse est
non, en effet : Soit f (x) = E(x) où E(x) est la partie entière de x, f est bien
définie sur I = R. Si f possède une primitive sur I alors il existe une fonction
F dérivable sur I telle que F 0 (x) = E(x) sur I, mais E(x) = 0 sur [0, 1[ et
E(x) = 1 sur [1, 2[ donc F 0 (x) = 0 sur [0, 1[ et F 0 (x) = 1 sur [1, 2[ et par
conséquent F (x) = c1 sur [0, 1[ et F (x) = x + c2 sur [1, 2[, ceci implique que
la fonction F n’est pas dérivable en 1, ce qui est impossible. Donc F n’existe
pas et par conséquent la fonction f (x) = E(x) n’admet pas une primitive sur
R.
Le théorème suivant donne une condition suffisante pour l’existence d’une
primitive :
Théorème 2.1. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Si f est
continue sur I alors f possède une primitive sur I.
2
3
Primitives des fonctions usuelles
En pratique, pour calculer une primitive d’une fonction donnée, on la
ramène à un catalogue de primitives usuelles. Ces primitives, que l’on doit
connaı̂tre, sont rassemblées dans le tableau ci-dessous.
Fonction
primitive
domaine de validité
C= Constante
Cx
R
xn , n ∈ N
xn+1
n+1
R
x−1 =
1
x
xα , α ∈ R, α 6= −1
1
a
cos(ax), a 6= 0
ln(x)
]0, +∞[
xα+1
α+1
]0, +∞[
sin(ax)
R
− a1 cos(ax)
sin(ax), a 6= 0
1
cos2 (x)
]−
tan(x)
1 αx
e
α
eαx , α 6= 0
R
π
2
+ kπ, π2 + kπ[, k ∈ Z
R
cosh(ax), a 6= 0
1
a
sinh(ax)
R
sinh(ax), a 6= 0
1
a
cosh(ax)
R
√ 1
1−x2
√ 1
,
a2 −x2
arcsin(x)
] − 1, 1[
arcsin( xa )
] − |a|, |a|[
arctan(x)
R
a 6= 0
1
1+x2
1
,
a2 +x2
a 6= 0
1
a
1
,
x2 −a2
a 6= 0
1
2a
√ 1
,
x2 +k
k 6= 0
arctan( xa )
ln |
ln | x +
3
x−a
x+a
√
|
x2 + k |
R
|x| > |a|
Z
Exemple 3.1. Calculer
Z
sin(3x)dx,
dx
,
25 + x2
Z
dx
,
2
x −4
Z
dx
√
,
3 − x2
Solution
:
Z
1
1.
sin(3x)dx = − cos(3x) + c
3
Z
Z
dx
dx
x
1
2.
arctan(
)+c
=
=
25 + x2
52 + x2
5
5
Z
Z
dx
x−2
dx
1
=
=
ln
3.
+ c.
x2 − 4
x2 − 22
4
x+2
Z
Z
dx
dx
x
√
q√
4.
=
= arcsin( √ ) + c
3 − x2
3
( 3)2 − x2
Z
√
dx
√
= ln x + x2 − 8 + c
5.
x2 − 8
4
4.1
Les Méthodes générales
Changement de variable
Le changement de variable est un procédé d’intégration qui consiste à
considérer une nouvelle variable d’intégration, pour remplacer une fonction
de la variable d’intégration initiale. Ce procédé est l’un des outils principaux
pour le calcul d’intégrales. Plus présicement nous avons le théorème suivant :
Théorème 4.1. Soit f : I −→ R
Z une fonction continue
Z et u : J −→ I une
fonction de classe C 1 sur J alors : f (u(x))u0 (x)dx = f (t)dt, avec t = u(x).
Z
Exemple 4.1.
Z
1
et dt =
I=
2
I=
2
xex dx. Posons t = x2 ⇒ dt = (x2 )0 dx = 2xdx, donc
1 2
1 t
e + c = ex + c.
2
2
Z
Exemple 4.2. J = sin4 (x) cos(x)dx. Posons t = sin(x) ⇒ dt = (sin(x))0 dx =
Z
t5
sin5 (x)
4
cos(x)dx, donc J = t dt = + c =
+ c.
5
5
Z
Z
sin(x)
Exemple 4.3. K = tan(x)dx =
dx. Posons t = cos(x) ⇒ dt =
Zcos(x)
Z
− sin(x)dx
dt
0
(cos(x)) dx = − sin(x)dx, donc K = −
=−
= − ln |t| + c =
cos(x)
t
− ln | cos(x)| + c.
4
Z
√
dx
x2 − 8
4.2
Intégration par parties :
Cette méthode est utile pour calculer les primitives d’un produit de deux
facteurs. On fera apparaı̂tre
l’un des facteurs
comme une dérivée v 0 , et on
Z
Z
ramènera le calcul de
uv 0 à celui de
vu0 . Plus pécisement nous avons le
théorème suivant :
Théorème 4.2. Soit u et v deux fonctions dérivables sur l’intervalle I. Si
vu0 admet une primitive sur cet intervalle, alors uv 0 admet également une
primitive et :
Z
Z
0
u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − v(x)u0 (x)dx
telle est la formule d’intégration par parties.
Z
Exemple 4.4. Calculer I = ln(x)dx.
Prenons u = ln(x) et v 0 = 1 ⇒ u0 = x1 et v = x, par une intégration par
parties, on obtient
que :
Z
1
xdx = x ln(x) − x + c.
I = x ln(x) −
x
Z
Exemple 4.5. Calculer J = xe−x dx.
Prenons u = x et v 0 = e−x ⇒ u0 = 1 et v = −e−x , par une intégration par
parties, on obtient
que :
Z
J = −xe−x +
e−x dx = −xe−x − e−x + c.
Z
Exemple 4.6. Calculer K =
x2 e−x dx.
Là il faut intégrer deux fois par parties : Prenons u = x2 et v 0 = e−x ⇒ u0 =
2x et v = −e−x ,Zpar une intégration par parties, on obtient que :
K = −x2 e−x +
2xe−x dx = −x2 e−x + 2J + c.
J est déjà calculé en intégrant par parties, donc K = −x2 e−x − 2xe−x −
2e−x + c.
5