5
5
b) Von einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ist Folgendes bekannt:
v xN 1 ist die Nullstelle der Funktion.
v Sy(0 \ 1) ist Sattelpunkt des Graphen.
Geben Sie ein lineares Gleichungssystem an, mit dem man die Koeffizienten dieser
ganzrationalen Funktion dritten Grades ermitteln kann.
Hinweis: Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt, in dem eine zur x-Achse parallele
Tangente existiert.
Teil 2 – Analytische Geometrie
a) Die Gerade g verläuft durch die Punkte P(1 \ 1 \ 1) und Q(2 \ 2 \ 2).
Geben Sie eine Gleichung der Geraden g an.
Ermitteln Sie eine Gleichung einer Geraden h, die die Gerade g im Mittelpunkt der
Strecke PQ orthogonal schneidet.
2016-1
5
Teil 3 – Stochastik
a) Das nebenstehende Baumdiagramm gehört zum Zufallsexperiment „Zweimaliges, unabhängiges Werfen mit einem fairen
Würfel“.
Übertragen Sie das Baumdiagramm auf Ihr Arbeitsblatt.
Ergänzen Sie die fehlenden Wahrscheinlichkeiten.
Geben Sie P A (B) und P(B) an.
Formulieren Sie mögliche Ereignisse A und B.
hat ein Schüler den Innenwinkel des
5
⎛ 2 ⎞ ⎛ 3⎞
⎜ 3⎟ ⎜ 4 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 1⎠ ⎝ 1⎠
⎛ 2⎞
⎛ 3⎞
⎜ 3⎟ – ⎜ 4 ⎟
⎜ 1⎟
⎜ 1⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Dreiecks ABC mit dem Scheitelpunkt A korrekt berechnet.
Geben Sie für die Punkte B und C mögliche Koordinaten an.
Mit der Gleichung cos( BAC) b) In einer Ebene E liegen die Punkte P(4 \ – 6 \ 3) und Q(9 \ 12 \ 4) sowie das Dreieck
ABC mit dem Punkt A(0 \ 0 \ 1).
Ermitteln Sie eine Parametergleichung der Ebene E.
5
BE
Teil 1 – Analysis
a) Geben Sie je eine reelle Zahl für die Parameter a, b und c an, sodass die Funktionen Fa, Gb und Hc Stammfunktionen der Funktionen f, g und h sind.
f : f (x) 2x 3 4x 1
Fa : Fa (x) 0,5x 4 ax 2 x 3
3
2
G b : G b (x) (x 4) 2
g: g(x) x 4
b
h: h(x) 4e 2x 1 e
H c : H c (x) c – e 2x 1 ex e
Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion von f, deren Graph die y-Achse im Punkt
Sy(0 \ –1) schneidet.
Brandenburg – Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau
2016 – Aufgabe 1: hilfsmittelfreier Teil
2016-2
b) An der Vorbereitung einer Abiturfeier sind insgesamt 30 Mädchen und 25 Jungen
beteiligt.
Man betrachtet das Ereignis
T: Auf dem Titelbild für die Einladung sind genau a Jungen und b Mädchen abgebildet.
⎛ 30 ⎞ ⎛ 25 ⎞
⎜ 3 ⎟–⎜ 2 ⎟
Geben Sie a und b an, wenn P(T) mithilfe des Terms ⎝ ⎛⎠55⎝⎞ ⎠ korrekt berechnet
⎜5⎟
werden kann.
⎝ ⎠
Auf dem Titelbild sollen die ausgewählten a Jungen und b Mädchen so in einer
Reihe angeordnet werden, dass ein Junge stets zwischen zwei Mädchen steht.
Ermitteln Sie die Anzahl der Möglichkeiten für die Anordnung auf dem Titelbild.
5
30
3
b
1 ⇒ b 3
2016-4
b) Es handelt sich um eine ganzrationale Funktion f(x) 3. Grades.
f(x) ax3 + bx2 + cx + d
Da xN 1 eine Nullstelle von f(x) ist, gilt:
f(1) 0
⇒ I 0a+b+c+d
F(0) 1 ⇒ 1 C
F(x) 0,5x 4 2x 2 x 1
Mit dem Punkt Sy(0 \ –1) ergibt sich:
Man kennt bereits eine Stammfunktion zu f(x):
F2 (x) 0,5x 4 2x 2 x 3
Die verschiedenen Stammfunktionen zu f(x) unterscheiden sich nur durch eine Konstante.
F(x) 0,5x 4 2x 2 x C
Der Koeffizientenvergleich liefert: 2c 4 ⇒ c 2
H 'c (x) h(x)
H c (x) c – e 2x 1 ex e
H 'c (x) 2c – e 2x 1 e
h(x) 4 – e 2x 1 e
Der Koeffizientenvergleich liefert:
g(x) x 4
G b (x) 3
2
(x 4) 2
b
1
2 3
G 'b (x) – (x 4) 2
b 2
3
x 4
b
G 'b (x) g(x)
a) Bestimmung der Parameter a, b und c:
Fa' (x) f (x)
Fa (x) 0,5x 4 ax 2 x 3
Fa' (x) 2x 3 2ax 1
f (x) 2x 3 4x 1
Der Koeffizientenvergleich liefert: 2a 4 ⇒ a 2
Teil 1 – Analysis
Lösungen zu Aufgabe 1
r
r
⎛ 1⎞
⎛1,5 ⎞
h: x ⎜1,5 ⎟ t – ⎜ 1⎟ mit t  0
⎜1,5 ⎟
⎜ 0⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
2016-5
Da das Gleichungssystem unterbestimmt ist (3 Variablen, 1 Gleichung), kann man 2 Variablen frei wählen, z. B. a 1, b –1 ⇒ c 0.
⎛ a ⎞ ⎛ 1⎞
⎜ b ⎟ ⎜ 1⎟ 0
⎜ c ⎟ ⎜ 1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
a b c0
2 1 2 1 2 1⎞
M ⎛⎜
⎟ M(1,5 \ 1,5 \ 1,5)
⎝ 2
2
2 ⎠
Da der Mittelpunkt M der Schnittpunkt der beiden Geraden ist, verwendet man diesen als
Stützpunkt für die Geradengleichung. Zur Bestimmung des Richtungsvektors verwendet
man die Orthogonalität zur Geraden g.
Die Koordinaten des Mittelpunktes M ergeben sich jeweils über das arithmetische Mittel
der Koordinaten der Punkte P und Q.
Mittelpunkt von PQ:
Teil 2 – Analytische Geometrie
a) Die Gleichung für die Gerade g lautet:
⎛ 2 1⎞ ⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
⎛1⎞
g: x OP s – PQ ⎜1⎟ s – ⎜ 2 1⎟ ⎜1⎟ s – ⎜1⎟ mit s  0
⎜ 1⎟
⎜ 2 1⎟ ⎜ 1⎟
⎜ 1⎟
⎝ ⎠
⎝
⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
Damit lautet das lineare Gleichungssystem:
I
0a b c d
II 1 d
III 0 c
IV 0 2b
Sy(0 \ 1) ist Wendepunkt von f(x).
f ''(x) 0
f ''(x) 6ax + 2b
Mit f ''(0) 0,
⇒ IV 0 2b.
Sy(0 \ 1) ist Punkt des Graphen von f(x).
f(0) 1
⇒ II 1 d
Da der Punkt Sy(0 \ 1) Sattelpunkt ist, existiert eine zur x-Achse parallele Tangente, d. h,
die Steigung (1. Ableitung) an der Stelle x 0 ist null.
f '(x) 3ax2 + 2bx + c
Mit f '(0) 0,
⇒ III 0 c.
bx 2
⇒ by 3
bz 2
⎛ 2 ⎞ ⎛ 3⎞
⎜ 3⎟ ⎜ 4 ⎟
⎜ 1⎟ ⎜ 1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 2⎞
⎛ 3⎞
⎜ 3⎟ – ⎜ 4 ⎟
⎜ 1⎟
⎜ 1⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Teil 3 – Stochastik
a)
2016-6
Begründung:
P(A) P(A) 1
PA (B) PA (B) 1
Die Koordinaten der gesuchten Punkte lauten B(2 \ 3 \ 2) und C(3 \ 4 \ 2).
3 cx 0
cx 3
4 cy 0 ⇒ cy 4
1 cz 1
cz 2
⎛ 3 ⎞ ⎛ c x 0 ⎞
AC ⎜ 4 ⎟ ⎜ c y 0 ⎟
⎜ 1⎟ ⎜
⎟
⎝ ⎠ ⎝ c z 1⎠
2 bx 0
3 by 0
1 bz 1
⎛ 2 ⎞ ⎛ b x 0 ⎞
AB ⎜ 3 ⎟ ⎜ b y 0 ⎟
⎜ 1⎟ ⎜
⎟
⎝ ⎠ ⎝ b z 1⎠
AB AC
cos( BAC) ⏐AB⏐–⏐AC⏐
Aus der Definition des Skalarprodukts erhält man:
r b) Als Beispiel ist hier die Ebenengleichung mit A als Stützpunkt und den zugehörigen
Spannvektoren aufgeführt. Prinzipiell könnte man auch P oder Q als Stützpunkt und die
r
entsprechenden Spannvektoren verwenden.
r
E: x OA s – AP t – AQ
⎛ 0⎞
⎛ 4 0⎞
⎛ 9 0⎞
⎜ 0 ⎟ s – ⎜ 6 0 ⎟ t – ⎜12 0 ⎟
⎜ 1⎟
⎜ 3 1⎟
⎜ 4 1⎟
⎝ ⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛ 0⎞
⎛ 4⎞
⎛ 9⎞
⎜ 0 ⎟ s – ⎜ 6 ⎟ t – ⎜12 ⎟ mit s, t  0
⎜ 1⎟
⎜ 2⎟
⎜ 3⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
1 1
–
2 3
1 1 1
– 2 3 6
1 1
6 3
30b – 25a 303 – 252
30a b25 555
⇒ a 2 und b 3
2016-7
Anz 3 – 2 – 2 – 1 – 1 12
Die Anzahl der Möglichkeiten für die Anordnung auf dem Titelbild beträgt 12.
Für die Wahl von Mi gibt es 3 Möglichkeiten.
Für die Wahl von Jk gibt es 2 Möglichkeiten.
Für die Wahl von M; gibt es (3 – 1) 2 Möglichkeiten.
Für die Wahl von Jn gibt es (2 – 1) 1 Möglichkeit.
Für die Wahl von Mp gibt es (3 – 1 – 1) 1 Möglichkeit.
Folgende Anordnung von 2 Jungen und 3 Mädchen ist möglich:
Mi Jk M; Jn Mp
Auf dem Titelbild für die Einladung sind genau 2 Jungen und 3 Mädchen.
P(T) b) Für das Ereignis T werden a Jungen „ohne Zurücklegen“ und b Mädchen „ohne Zurücklegen“ gezogen.
Mögliche Ereignisse für B sind z. B.:
Werfen einer Zahl, die kleiner als drei ist.
oder
Werfen einer Zahl, die größer als vier ist.
Mögliche Ereignisse für A sind z. B.:
Werfen einer geraden Zahl.
oder
Werfen einer ungeraden Zahl.
oder
Werfen einer Primzahl.
P(B) Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten lassen sich direkt vom Baumdiagramm ablesen.
2
P A (B) 3
5
9
c) Die Graphen G1 und K schließen im Intervall
[–1; 1] eine Fläche ein, die als Schablone für
das Wappen einer Stadt genutzt werden soll.
Berechnen Sie den zugehörigen Flächeninhalt.
d) Der Punkt P liegt im I. Quadranten auf G1
(siehe Abbildung). P ist Eckpunkt eines
Rechtecks, dessen Seiten achsenparallel
verlaufen und dessen weitere Eckpunkte auf
den Begrenzungslinien des Wappens liegen.
Innerhalb dieses Rechtecks soll das Wappentier abgebildet werden.
Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt eines solchen Rechtecks mit der Gleichung
A(x) 2x5 – 8x3 + 6x berechnet werden kann, und ermitteln Sie den maximalen
Flächeninhalt des Rechtecks. Auf den Nachweis des Maximums wird verzichtet.
2016-8
5
40
12
b) Bestimmen Sie die Koordinaten und die Art der lokalen Extrempunkte von Ga in
Abhängigkeit von a.
Für jeden Parameterwert a mit a > 0 sind die drei lokalen Extrempunkte Eckpunkte
eines Dreiecks. Wenn der Parameterwert a verdoppelt wird, vervielfacht sich der
Flächeninhalt des ursprünglichen Dreiecks A$.
Das neue Dreieck hat den Flächeninhalt Aneu v – A$.
Ermitteln Sie den Faktor v.
e) Die untere Begrenzung des Stadtwappens soll statt durch die quadratische Parabel K mithilfe einer anderen quadratischen Parabel modelliert werden. Dabei
sollen die Symmetrie des Wappens sowie die Schnittpunkte S1(–1 \ 0) und S2(1 \ 0)
mit G1 zwar erhalten bleiben, sich aber die Fläche des Wappens um 2 FE vergrößern.
Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung der neuen Parabel.
9
BE
a) Weisen Sie nach, dass alle Graphen Ga achsensymmetrisch zur y-Achse verlaufen.
Ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von Ga mit den beiden Koordinatenachsen.
Stadtwappen
Gegeben sind die Funktionenschar fa mit fa(x) x4 – 2ax2 + a2; a  0, a x 0 und die
Funktion g mit g(x) 2x2 – 2. Die Graphen der Schar fa sind Ga und der Graph der
Funktion g ist K.
Brandenburg – Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau
2016 – Aufgabe 2.1: Analysis
r
r
2016-10
Ein Produkt ist immer dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist.
Die notwendige Bedingung für Extremstellen lautet:
f a' (x) 0
3
4x 4ax 0
(4x 2 4a)x 0
b) Extrempunkte von Ga
Zur Bestimmung der Extremstellen berechnet man zunächst die 1. und 2. Ableitung.
f a (x) x 4 2ax 2 a 2
f a' (x) 4x 3 4ax
f a'' (x) 12x 2 4a
Für a  0, a x 0 ist S y (0 \ a 2 ) der Schnittpunkt mit der y-Achse.
f a (0) 0 4 2a – 0 2 a 2 a 2
Für den Schnittpunkt mit der y-Achse berechnet man:
a \ 0) mit der x-Achse existieren nur für a > 0.
a , für a > 0
Die Schnittpunkte S x1 ( a \ 0) und S x 2 (
⇒ x 01 a und x 0 2 z1; 2 a
z1; 2 a p a 2 a 2
z 2 2az a 2 0
Mit der p-q-Formel erhält man:
Man verwendet die Substitution x2 z.
Für einen Schnittpunkt mit der x-Achse muss die folgende Bedingung erfüllt sein:
f a (x) 0
x 4 2ax 2 a 2 0
⇒ f a (x) ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
f a ( x) f a (x)
f a ( x) ( x) 4 2a( x) 2 a 2
x 4 2ax 2 a 2 f a (x)
Für Achsensymmetrie zur y-Achse muss gelten:
a) Folgende Funktionenschar ist gegeben:
fa(x) x4 – 2ax2 + a2; a  0; a x 0
Lösungen zu Aufgabe 2.1
r
a für a > 0
4a
x2 a
4x 2
4a 0
a ) nicht definiert
nicht definiert
a ) 0 ⇒ lokales Minimum Pmin 2 (
a \ 0)
⇒ lokales Minimum Pmin1 ( a \ 0)
2016-11
c) Die Gleichungen der beiden Funktionen lauten:
G1: f1(x) x4 – 2x2 + 1
K:
g(x) 2x2 – 2
Für den Faktor ergibt sich v 32.
v – A$
32 – a 5 32 – A $
(2a) 5 32 – a 5
A neu (a neu ) 5
Dreiecksfläche
Wie aus der Skizze ersichtlich, ergibt sich für den
Flächeninhalt des Dreiecks Pmin 2 Pmin1 Pmax :
1
A$ – g – h
2
5
1
– 2 a – a2 a 2 a5
2
Für Aneu gilt: aneu 2a
Die zugehörigen y-Koordinaten der Extrempunkte sind aus Teilaufgabe a bekannt.
f a'' (
f a'' ( a ) 0
f a'' (0) 0 ⇒ lokales Maximum Pmax (0 \ a 2 )
Für a > 0:
f a'' (
f a'' ( a )
f a'' (0) 0 ⇒ lokales Minimum Pmin (0 \ a 2 )
Für a < 0:
f a'' ( a ) 12a 4a 8a
f a'' ( a ) 12a 4a 8a
f a'' (0) 4a
Hinreichende Bedingung für Extremstellen:
x E 2 a und x E 3 ⇒ x E1 0 oder 4x 2
r
r
x1
∫ (f1 (x)
x2
g(x))dx
∫ (x 4
∫ (x 4
2–
2–
4x 2 3) dx
1
4
3
56
3 0 ⎞⎟ ⎠ 15
2) dx
2016-12
Der Flächeninhalt, den die beiden Graphen einschließen, beträgt A 1
2 – ⎛⎜
⎝5
1
1
2 – ⎡⎢ x 5 4 – x 3 3x ⎤⎥
⎣5
⎦0
3
0
0
1
0
1
2x 2 1) (2x 2 2))dx
g(x)) dx
2x 2 1 2x 2
∫ ((x 4
2–
0
1
∫ (f1 (x)
A 2–
1
56
.
15
Dabei verläuft der Graph von f1 oberhalb des Graphen von g. x1 und x2 sind die Schnittstellen der beiden Graphen.
Aufgrund der Achsensymmetrie zur y-Achse beider Funktionen genügt es, das Integral
über dem Intervall [0; 1] zu berechnen und anschließend mit 2 zu multiplizieren.
A
Beide Funktionen schneiden sich demzufolge in den Nullstellen x1 1 und x2 –1.
Der Flächeninhalt einer von zwei Funktionen eingeschlossenen Fläche berechnet sich wie
folgt:
g(x) 0
2x 2 2 0
2x 2 2
x1; 2 p1
Aufgrund der Ergebnisse aus den vorigen Aufgaben sind von G1 folgende Eigenschaften
bekannt:
G1 ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Die Extrempunkte sind Pmax (0 \ 1), Pmin1 (1 \ 0) und Pmin 2 ( 1 \ 0).
Die Extremstellen bei x1 1 und x2 –1 sind zugleich Nullstellen.
g(x) ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt S K (0 \ 2) und somit auch achsensymmetrisch
zur y-Achse.
Für g(x) erhält man folgende Nullstellen:
r
r
r
p(x) ax2 – a
2016-13
e) Aufgrund gleichbleibender Symmetrie zur y-Achse gilt für die gesuchte Parabel allgemein:
p(x) ax2 + b.
Durch Einsetzen der Schnittpunkte S1(–1 \ 0) und S2(1 \ 0) ergibt sich:
p(1) 0
a b 0 ⇒ b a (analog für p( 1))
Der maximale Flächeninhalt des Rechtecks ist ungefähr 2,07 FE.
A R max z 2 – 0,535 8 – 0,533 6 – 0,53 z 2,07
z1; 2 6
36 15
p
5
25 25
6 1
z1 21 z 2,116 ⇒ x1; 2 z p1, 45
5 5
6 1
z2 21 z 0, 283 ⇒ x 3; 4 z p 0,53
5 5
Da der Punkt P im I. Quadranten und innerhalb des Stadtwappens liegt, gilt 0 b x b 1 und
daher ist x z 0,53 die einzige Lösung.
Auf den Nachweis des Maximums kann laut Aufgabenstellung verzichtet werden.
0 z2
12
3
z
5
5
Mit der p-q-Formel erhält man:
⏐:10
0 10x 4 24x 2 6
12
3
0 x4
x2
5
5
Man verwendet die Substitution x2 z.
A 'R (x) 10x 4 24x 2 6
AR a – b
2x(x 4 4x 2 3) 2x 5 8x 3 6x
Da g(x) < 0 für den Rechteckbereich, rechnet man mit –g(x).
d) Allgemein gilt für den Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b:
AR a – b
P  G1 hat folgende Koordinaten:
P(x \ x4 – 2x2 + 1)
Der Eckpunkt R  K unterhalb von Punkt P hat folgende Koordinaten:
R(x \ 2x2 – 2)
Die Seitenlängen des Rechtecks erhält man über die x- und y-Koordinaten der Punkte P
und R.
a 2x
b x 4 2x 2 1 (2x 2 2) x 4 4x 2 3
1
0
∫ (ax 2
0
2–
1
a)dx 2 –
∫ p(x)dx
2
1
2) dx
2
2
2
2016-14
⎡ 2 2 0⎤
⎢⎣ 3
⎥⎦
⎡ 2 x 3 2x ⎤
⎢⎣ 3
⎥⎦ 0
0
∫ (2x 2
0
1
∫ g(x)dx
1
A neu A alt
a
2 – ⎡ x 3 ax ⎤ 2 –
⎢⎣ 3
⎥⎦ 0
a
2 – ⎡⎢
a 0 ⎤⎥ 2 –
⎣3
⎦
2 ⎤
8
⎡
2– ⎢
a ⎣ 3 ⎥⎦
3
4
14
a
3
3
7
a
2
7 2 7
⇒ p(x) x
2
2
2–
2–
1
2
2
Die Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen G1 von f1(x) im Intervall [–1; 1]
ändert sich durch die neue Parabel nicht. Deshalb ist die Fläche zwischen der x-Achse und
dem Graphen der neuen Parabel p(x) um 2 FE größer als die zwischen x-Achse und dem
Graphen K von g(x) zuvor.
Skizze des neuen Sachverhalts
2016-15
e) Der Produzent der Bremsschuhe möchte auf der Querschnittsfläche des Bremsschuhs sein rechteckiges Firmenlogo mit den Seitenlängen 5 cm und 15 cm so
einstanzen lassen, dass die längere der beiden Seiten parallel zur x-Achse verläuft.
Untersuchen Sie, ob das möglich ist.
d) Ermitteln Sie die Größe des Winkels, den G1 und g im Punkt A 0 1
schließen.
ein-
5
40
5
13
c) Der Graph G1 und die Gerade g mit der
Gleichung y 4x 1 1e begrenzen
gemeinsam mit der x-Achse eine Fläche, die dem Querschnitt eines Bremsschuhs entspricht, der das Wegrollen
von Fahrzeugen verhindert
(1 LE 25 cm).
Die „Tiefe“ des Bremsschuhs beträgt
20 cm.
Zeigen Sie, dass sich G1 und g auf der
y-Achse schneiden.
Berechnen Sie das Volumen eines
solchen Bremsschuhs.
1
e
11
b) Jeder Graph Ga hat im Punkt Ea(– a – ln 2 \ fa(– a – ln 2)) eine zur x-Achse parallele
Tangente. Zur Ermittlung des x-Wertes dieses Punktes hat ein Schüler den folgenden Lösungsweg korrekt angegeben:
(1) f a' (x) e x a 2e 2x
(2) 0 e x a 2e 2x š e x a 2e 2x
(3) e x a 2
(4) x a ln 2
Geben Sie drei Regeln an, die beim Ableiten des Funktionsterms von fa genutzt
worden sind, und begründen Sie die Umformung von Gleichung (2) zu Gleichung (3).
Zeigen Sie, dass für a 0 der Punkt E0 ein lokaler Extrempunkt von G0 ist.
Bestimmen Sie dessen Koordinaten sowie die Art des Extremums.
6
BE
a) Ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von Ga mit den beiden Koordinatenachsen in Abhängigkeit von a.
Geben Sie das Verhalten der Funktionswerte von f1 für x m + d und x m – d an.
Bremsschuh
Gegeben ist die Funktionenschar fa mit fa(x) – e x – a + e2x; a  0.
Die Graphen der Schar fa sind Ga.
Brandenburg – Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau
2016 – Aufgabe 2.2: Analysis
a
e 2x
a
a
= e 2x
e 2x 0
ex
⏐ln
⏐ ex
a
1
a
a
1
2e 2x
e 2x
xm d
1
e 2x ) lim (e x ( e
xmd
e 2x ) lim (e x ( e
1
2016-17
e x )) 0 – 0 0
e x )) d – d d
Folgende Regeln wurden zum Ableiten genutzt:
Faktorregel:
(a – f (x)) ' a – f '(x) mit
a 1 und f (x) e x a
Kettenregel:
f (g(x)) ' f '(g(x)) – g '(x) mit
g(x) 2x und f (g(x)) e 2x
Summenregel:
(f (x) g(x)) ' f '(x) g '(x) mit
f (x) e x a und g(x) e 2x
f a' (x) e x
b) Ableitungsregeln
f a (x) e x
lim ( e x
xm d
xmd
lim ( e x
Verhalten von f1(x) im Unendlichen:
f1(x) e x 1 e 2x
f a (0) e 0 a e 2 – 0 e a 1
Der Schnittpunkt mit der y-Achse hat die Koordinaten S y (0 \ e
Für den Schnittpunkt mit der y-Achse gilt: x 0
a
x a 2x
⏐ x
ax
Der Schnittpunkt mit der x-Achse hat die Koordinaten S x ( a \ 0).
ex
Für Schnittpunkte mit der x-Achse gilt:
f a (x) 0
f a (x) e x
a) Gegeben ist die Funktionenschar mit a  0:
Lösungen zu Aufgabe 2.2
1).
r
r
ex
e
ex
a
x
a
2x
e 2x
a
a
ex
2
2
2
= 2e 2x
0 ex
a
2e 2x
4e 2x
e
=
2e 2x
x
=2
x ln 2
x ln 2
ex
2e 2x 0
⏐ln
⏐: e 2x
⏐ ex
a
1
4e
2ln 2
1
e2 – 0 e
1
1
1
11
e
e
1⎞
⇒ S y ⎛⎜ 0 1
⎟
⎝
e⎠
e0 1
1
1
e
e
1⎞
⇒ S y ⎛⎜ 0 1
⎟
⎝
e⎠
2016-18
Da beide Funktionen den gleichen Schnittpunkt mit der y-Achse haben, ist dies auch der
Schnittpunkt der beiden Graphen.
f1 (0) e 0
y g(0) 4 – 0 1
e 2x
1
g:
y 4x 1
e
Man berechnet zunächst für beide Graphen die Schnittpunkte mit der y-Achse:
ln 2
G 1: f1 (x) e x
c) Schnittpunkt
f 0'' ( ln 2) e
1
0 ⇒ lokales Minimum
2
1
f 0 ( ln 2) e ln 2 e 2ln 2 4
1⎞
Der gesuchte Punkt hat die Koordinaten E 0 ⎛⎜ ln 2
⎟ und ist ein lokales Minimum.
⎝
4⎠
Da aus der Aufgabenstellung die x-Koordinate für E0 bereits bekannt ist, kann man auch
einfach zeigen, dass f 0' ( ln 2) e ln 2 2e 2ln 2 0.
ex
f 0' (x) 0
Für mögliche Extremstellen gilt:
f 0' (x) e x
f 0'' (x) e x
⏐: e 2x
2e 2x ⏐ e x
Bestimmung des Extrempunktes E0
(3)
(2)
Umformung der Gleichung (2) in Gleichung (3)
r
r
r
1
∫
0
0
1
1
e
( ex
1 2x ⎤
e ⎥
⎦
2
1
∫
0
1
1
1 1
– g S – h g S ⎛⎜
2
2⎝ 4
⎛ e
⎜
⎝
2
1 ⎞ ⎛ 1⎞
⎟ – ⎜1
⎟ z 0,05
4e ⎠ ⎝ e ⎠
2016-19
A G A1 A 2 z 0, 20 0,05 0, 25
A2 1⎞
1
S y ⎛⎜ 0 1
⎟ ⇒ h gS 1
⎝
e⎠
e
Für die Länge der Grundseite berechnet
man den Schnittpunkt der Geraden g mit
der x-Achse.
Schnittpunkt mit der x-Achse:
1
y 4x 1
e
1
0 4x 1
e
1
1 4x
e
1 1
x g S (Grundseite)
4e 4
1 0
e
2
e 2x ) dx
A2 ist eine Dreiecksfläche. Allgemein
gilt:
1
A 2 – gS – h gS
2
Die hier gewählte Höhe lässt sich direkt
vom zuvor bestimmten Schnittpunkt Sy
ablesen (siehe Skizze).
1
f1 (x) dx ⎢⎡ e x
⎣
z 0, 20
A1 Für A1 folgt:
1
e
2
⎟
⎠
2⎞
Die durch den Graphen G1, die Gerade g und die Koordinatenachsen eingeschlossene
Fläche AG kann man in zwei Teilflächen zerlegen:
A1 ist die von f1(x) und den Koordinatenachsen eingeschlossene Fläche und A2 ist die von
der Geraden g und den Koordinatenachsen eingeschlossene Fläche.
A G A1 A 2
Volumen des Bremsschuhs
Der Bremsschuh hat das Volumen:
V AG – h
Bemerkung: Die übliche Vorgehensweise zur Berechnung eines Schnittpunktes durch
Gleichsetzen beider Funktionen führt in diesem Fall zu einer schwer lösbaren Gleichung.
Daher erfolgt die Berechnung über die Schnittpunkte mit der y-Achse.
r
r
1
2e 2x
1(
\ A g \ z 58,50o 75,96o
4) z 75,96o
2016-20
134, 46o
Da der Tangens jeweils den Winkel zwischen
der Tangente der Funktion im Punkt A und der
x-Achse liefert, ist der gesuchte Winkel der
Nebenwinkel des bisher berechneten.
A z 180o 134, 46o 45,54o
Der Winkel, den G1 und g im Punkt A miteinander einschließen, beträgt etwa 45,54o.
⇒ B A f1
A g tan
Steigungswinkel von g im Punkt A:
2 ⎞⎟
⎠
2e 0
Steigungswinkel von f1 im Punkt A:
1
A f1 tan 1 (m f1 (0)) tan 1 ⎛⎜
⎝ e
z 58,50o
1
m g m g (0) 4
f1' (0) e 0 1 2e 2 – 0 e
1
2 m f1 (0)
e
f1' (x) e x
d) Anstieg von g im Punkt A:
1
g: y 4x 1
⇒
e
Anstieg von f1 im Punkt A:
Der Bremsschuh hat ein Volumen von rund 3125 cm 3 .
V A G – h z 0, 25 – (25 cm) 2 – 20 cm 3125 cm 3
Weil 1 LE 25 cm entspricht, muss der Wert der Fläche AG mit (25 cm)2 multipliziert
werden.
2016-21
Das Logo kann so nicht eingestanzt werden.
Damit das Logo auf die Querschnittsfläche passt, muss gelten:
f1 (w) r 0, 2
f1 ( 0, 492) z e 0,492 1 e 2( 0,492)
z 0,1489 0, 2
Nun geht man um die Länge des Logos nach links (in negativer x-Richtung) und erhält die
Stelle w:
w z 0,1080 0,6 0, 492
e) Mögliche Lage des Firmenlogos
Schiebt man das Firmenlogo so weit wie möglich nach rechts (in x-Richtung), dann erhält
man die Stelle u. Wie aus der Skizze ersichtlich, liegt dort der obere rechte Eckpunkt des
Rechtecks auf der Geraden g.
Weil 1 LE 25 cm entspricht, gilt:
5 cm 0, 2 LE
15 cm 0,6 LE
1
y 4x 1
(Gerade g)
e
1
0, 2 4u 1
e
1
1 0, 2 4u
e
1
0,8 4u
e
1
0, 2
u
4e
u z 0,1080
39 ⎞
y⎟
5 ⎟⎠
auf das Hausdach.
2016-29
d) Im Innern des Hauses ist auf dem Fußboden EFGH des Dachraumes im Punkt
P(1 \ 5 \ 4) ein 4 m langer, senkrecht stehender Mast für eine Satellitenantenne
montiert. Dieser Mast ragt durch das Dach ins Freie.
Ermitteln Sie die Länge des Teiles dieses Mastes, der sich außerhalb des Hauses
befindet.
Berechnen Sie den Abstand der Mastspitze S zur Ebene E*.
c) Ein Drittel der Dachfläche FGKJ wird mit Solarzellen bestückt.
Ermitteln Sie die Größe dieser Fläche.
Die Solarzellen können sowohl in der Dachfläche montiert werden als auch in Ebenen Fa, die parallel zur Dachfläche liegen. Dabei darf der Abstand der Ebenen Fa
zur Dachfläche maximal 20 cm betragen.
Entwickeln Sie unter Verwendung des Parameters a eine Gleichung für die Ebenen Fa und geben Sie ein Intervall für die Einschränkung des Parameters a an.
Bestimmen Sie einen möglichen Wert für y so, dass der Winkel zwischen der
Richtung der Lichtstrahlen und der Dachfläche FGKJ 30o beträgt.
⎜
⎝
⎛
b) Paralleles Licht fällt in Richtung v ⎜
a) Geben Sie die Koordinaten der
Punkte K und E an.
Bestimmen Sie eine Gleichung
der Ebene E*, in der die Dachfläche FGKJ liegt, in Koordinatenform.
[Kontrollergebnis:
E*: 3y + 4z 40]
Berechnen Sie den Neigungswinkel der Dachfläche FGKJ gegenüber einer horizontalen Ebene.
Haus
Die Abbildung zeigt ein Haus.
Das Koordinatensystem wird so
gewählt, dass sich die rechteckige
Grundfläche des Hauses achsenparallel in der x-y-Ebene befindet.
Gegeben sind die Koordinaten der
Punkte D(0 \ 0 \ 0), F(10 \ 8 \ 4),
G(0 \ 8 \ 4) und J(10 \ 4 \ 7).
Es gilt: 1 LE 1 m.
Brandenburg – Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau
2016 – Aufgabe 3.1: Analytische Geometrie
9
30
7
5
9
BE
r
r
r
r
r
2016-31
⎛ 10 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜ 0 ⎟ s ⎜ 4 ⎟ ⎜ 30 ⎟
⎜ 0 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 40 ⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Dieser Vektor ist kollinear zu dem Ergebnis 1. Weg.
2. Weg
n wird über das Vektorprodukt beider Richtungsvektoren errechnet.
Die zweite Gleichung ist unterbestimmt (1 Gleichung und 2 Variablen). Deshalb kann man
eine Variable frei wählen. Man wählt z. B. z 4.
4y 3 – 4 0
y3
Für einen Normalenvektor ergibt sich:
⎛ 0⎞
n ⎜ 3⎟
⎜ 4⎟
⎝ ⎠
1. Weg
Der Normalenvektor n muss auf beiden Richtungsvektoren senkrecht stehen.
⎛ 10 ⎞
⎛ 0⎞
n ⎜ 0 ⎟ 0 und n ⎜ 4 ⎟ 0
⎜ 0⎟
⎜ 3⎟
⎝
⎠
⎝ ⎠
10x 0 und 4y 3z 0
x0
Statt F hätte man auch G, K oder J als Stützpunkt und die zugehörigen Richtungsvektoren
zum Aufstellen der Ebenengleichung verwenden können.
Es gibt 2 Wege, einen Normalenvektor zu bestimmen.
⎛10 ⎞
⎛ 10 ⎞
⎛ 0⎞
⎜ 8⎟ r – ⎜ 0⎟ s – ⎜ 4⎟
⎜ 4⎟
⎜ 0⎟
⎜ 3⎟
⎝ ⎠
⎝
⎠
⎝ ⎠
mit r, s 0
Ebenengleichung
E* E FGKJ
E*: x OF r – FG s – FJ
a) Koordinaten der Punkte K und E
Da das Haus achsenparallel liegt, folgt:
xK xG ,
yK yJ ,
zK zJ
xE xF ,
yE yD ,
zE zF
Die Koordinaten der Punkte sind
K(0 \ 4 \ 7) und E(10 \ 0 \ 4).
Lösungen zu Aufgabe 3.1
r
r
r
r
12 – 32
⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞
⎜ 0 ⎟ ⎜ 3⎟
⎜ 1⎟ ⎜ 4 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
42
4
⇒ A z 36,9o
5
1
2
\ 3y 20 \
1
=
2 5 – 64 y 2
folgt:
5–
2
5 – 64 y 2
\ 3y 20 \
2016-32
Ein Produkt ist null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist.
⏐ 1 600 25y 2
⏐quadrieren
1 600 25y 2 36y 2 480y 1 600
0 11y 2 480y
Ausklammern von y:
0 y – (11y 480)
y 2 ( 5) 2
39 ⎞
y⎟
5 ⎟⎠
⏐– 10 – 64 y 2
39
⎛ 0⎞ ⎛
⎜ 3⎟ ⎜
⎜ 4⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝
Man wendet eine binomische Formel an.
5 – 64 y 2 \ 6y 40 \
25 – (64 y 2 ) (6y 40) 2
Mit sin 30o nv
sin A ⏐n⏐–⏐v⏐
b) Der Winkel A zwischen dem Richtungsvektor v und der Ebene E* des Hausdaches wird
berechnet über den Sinus des Winkels zwischen einem Normalenvektor der Ebene und v.
Der Neigungswinkel der Dachfläche gegenüber einer horizontalen Ebene beträgt
ca. A 36,9o.
n n
cos A H ⏐n H⏐–⏐n⏐
⎝ 1⎠
Winkelberechnung
Der Winkel zwischen 2 Ebenen entspricht dem Winkel zwischen den beiden zugehörigen
Normalenvektoren.
⎛ 0⎞
Ein Normalenvektor zur horizontalen Ebene ist n H ⎜⎜ 0 ⎟⎟ .
⎛ ⎛10 ⎞ ⎞ ⎛ 0 ⎞
E*: ⎜ x ⎜ 8 ⎟ ⎟ ⎜ 3 ⎟ 0
⎜ 4⎟⎟ ⎜ 4⎟
⎜
⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎠
⎝
Durch Ausmultiplizieren kommt man zur Koordinatenform der Ebenengleichung.
3y 4z (24 16) 0
E*: 3y 4z 40
Die Normalenform der Ebenengleichung von E* lautet:
r
r
⎛
⎜
⎜
⎝
39 ⎞
0⎟
5 ⎟⎠
⎜
⎝
⎛
oder ⎜⎜
5 ⎟⎠
39 ⎞
480 ⎟
11 ⎟
sein, um in einem Winkel
1
– 10 – 5 z 16,67 [m 2 ]
3
Für a gilt somit –1 b a b 1.
2016-33
1
(3y 4z 40 a) b 0, 2
⏐– 5
5
\ 3y 4z 40 a \ b Durch Einsetzen der Koordinaten des Punktes F erhält man den Abstand zur Ebene Fa.
\ 3 – 8 4 – 4 40 a \ b 1
\ 24 16 40 a \ b 1
\ a\ b
Der Abstand von E* zu Fa ist gleich dem Abstand des Punktes F (bzw. eines anderen
Punktes der Ebene E* wie J, K oder G) zu Fa.
Abstände von Punkten zu Ebenen berechnet man mithilfe der Hesse’schen Normalenform.
Dazu wird der Normalenvektor normiert.
Der normierte Normalenvektor lautet:
1 n 0 – n (Länge siehe Teilaufgabe a)
5
Für die Hesse’sche Normalenform der Ebenen Fa folgt:
1
– (3y 4z 40 a) 0
5
Die Bedingung ist, dass der Abstand maximal 20 cm beträgt (1 LE 1 m).
Gleichung der Ebenen Fa
Fa sind parallel zu E*.
Die Ebenengleichungen paralleler Ebenen unterscheiden sich nur in ihren Konstanten.
Daher erhält man die Ebenengleichung für Fa durch Addition eines konstanten Terms zur
Ebenengleichung von E*.
Fa: 3y 4z 40 a
Der mit Solarzellen bestückte Teil der Dachfläche beträgt ungefähr 16,67 m 2 .
A gesucht ⎛ 0⎞
⏐JF⏐ ⎜ 4 ⎟ 4 2 ( 3) 2 5 [m]
⎜ 3⎟
⎝ ⎠
c) Größe der Dachfläche
Die gesuchte Dachfläche ist ein Rechteck mit den Seitenkanten FG und JF.
FG 10 m kann direkt an den x-Koordinaten der Punkte F und G abgelesen werden.
Der Richtungsvektor v des Lichtes muss
von 30° auf die Dachfläche zu treffen.
⇒ y1 0 oder 11y 2 480 0
480
y2 11
r
r
r
r
d(S; E*) 2016-34
1
1
(3 – 5 4 – 8 40) – 7 1, 4
5
5
Die Mastspitze S ist 1, 4 m von der Dachfläche E* entfernt.
Abstand der Mastspitze S zur Ebene
Den Abstand der Mastspitze zur Ebene erhält man über das Lot vom Punkt S auf die
Ebene E*.
Daher werden die Koordinaten von S in die Hesse’sche Normalenform von E* eingesetzt.
Hesse’sche Normalenform von E*:
1
– (3y 4z 40) 0 ( siehe Teilaufgabe c)
5
d) Länge des Mastes außerhalb des Hauses
Da der Punkt S 4 m höher direkt senkrecht über
P(1 \ 5 \ 4) liegt, sind seine Koordinaten S(1 \ 5 \ 8).
Es wird die Geradengleichung g durch P parallel zur
z-Achse aufgestellt, um die Koordinaten des Schnittpunktes mit der Dachfläche E* zu berechnen.
⎛ 0⎞
⎛ 1⎞
g: x ⎜ 5 ⎟ k – ⎜ 0 ⎟ mit k  0
⎜ 4⎟
⎜ 1⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Die Koordinatenbedingungen der Geraden werden in die Koordinatenform der Ebene E*
eingesetzt.
3 – 5 4 – (4 k) 40
15 16 4k 40
4k 9
9
k
4
Durch Einsetzen in die Geradengleichung g erhält man die Koordinaten des Schnittpunktes. Der Schnittpunkt hat die Koordinaten Q(1 \ 5 \ 6,25).
Die Höhe von S beträgt 8 m über dem Erdboden und die Höhe von Q 6,25 m.
Die Satellitenantenne ragt 8 m 6, 25 m 1,75 m aus dem Dach.
Die Solarzellen sind nur außerhalb des Hauses sinnvoll und werden demnach nur oberhalb
von E* angebracht.
Da die Solarzellen nur oberhalb von E* angebracht werden, gilt 0 b a b 1.
8
3
c) Unter allen Bundesbürgern liegt der Anteil der Männer bei 48,88 % (Zensus 2011).
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Sportfan ein Mann ist.
Bestimmen Sie den Anteil der Sportfans unter den Frauen.
d) In einem Sportstudio trainieren 25 Bundesbürger, von denen genau acht zur
Gruppe der Sportfans gehören. Es werden zufällig sieben Personen „ohne Zurücklegen“ ausgewählt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E, dass sich unter den
sieben ausgewählten Personen genau drei Sportfans befinden.
2016-35
4
30
4
b) Bestimmen Sie die Anzahl der Bundesbürger, die mindestens befragt werden
müssten, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,96 wenigstens einen
zu entdecken, der Sportfan ist.
e) In einem Kochkurs befindet sich unter den n Kursteilnehmern genau ein Sportfan.
Es werden zehn der Kursteilnehmer zufällig nacheinander und „ohne Zurücklegen“
ausgewählt. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Sportfan unter den ausgewählten Kursteilnehmern befindet, soll mindestens 80 % betragen.
Bestimmen Sie für diesen Fall die maximale Anzahl n der Kursteilnehmer.
11
BE
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
A: Nur der zweite und sechste von zehn zufällig ausgewählten Bundesbürgern
sind Sportfans.
B: Unter 20 zufällig ausgewählten männlichen Bundesbürgern befinden sich
genau drei Sportfans.
C: Unter zehn zufällig ausgewählten Bundesbürgern befindet sich höchstens ein
Sportfan.
D: Von 100 zufällig ausgewählten Bundesbürgern gehören mindestens 70 und
weniger als 79 Personen zu denjenigen, die keine Sportfans sind.
Sportfan
Gemäß einer „Studie zur Gesundheit Erwachsener in Deutschland“ zeigt sich in
Deutschland ein Trend zu mehr sportlicher Aktivität.
Ein Viertel der Erwachsenen treibt regelmäßig mindestens zwei Stunden Sport pro
Woche (Sportfans), wobei der Anteil der Sportfans unter den Männern mit 29,3 %
etwas höher ist als unter den Frauen.
Alle anderen Bundesbürger werden hier als „keine Sportfans“ bezeichnet.
Brandenburg – Mathematik auf erhöhtem Anforderungsniveau
2016 – Aufgabe 3.2: Stochastik
n
100
n
k
k
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
p
1326
4033
6767
8590
9492
9845
9959
9991
9998
9999
0,02
0,95
0059
0371
1183
2578
4360
6160
7660
8720
9369
9718
9885
9957
9985
9995
9999
0,05
0,90
9954
9980
9992
9997
9999
0003
0019
0078
0237
0576
1172
2061
3209
4513
5832
7030
8018
8761
9274
9601
9794
9900
0,10
5
6
6965
7803
8481
8998
9370
9621
9783
9881
9938
9969
9985
9993
9997
9999
0001
0004
0013
0038
0095
0231
0427
0777
1297
2000
2874
3877
4942
5994
1
6
0,75
9973
9986
9993
9997
9999
9999
0630
0995
1488
2114
2864
3711
4617
5535
6417
7224
7925
8505
8962
9307
9554
9723
9836
9906
9948
0001
0004
0010
0025
0054
0111
0211
0376
0,25
2016-36
0,80
3621
4602
5595
6540
7389
8109
8686
9125
9442
9658
9800
9888
9939
9969
9985
9993
9997
9999
9999
0001
0003
0009
0023
0057
0126
0253
0469
0804
1285
1923
2712
0,20
0,70
9470
9660
9790
9875
9928
9960
9979
9989
9995
9997
9999
9999
0045
0089
0165
0288
0479
0755
1136
1631
2244
2964
3768
4623
5491
6331
7107
7793
8371
8839
9201
0001
0002
0004
0010
0022
0,30
2
3
8123
8630
9034
9341
9566
9724
9831
9900
9943
9969
9983
9991
9996
9998
9999
0005
0011
0024
0048
0091
0164
0281
0458
0715
1066
1524
2093
2766
3525
4344
5188
6019
6803
7511
0001
0002
1
3
p
62
61
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
81
80
79
78
77
76
75
74
73
72
71
70
69
68
67
66
65
64
63
99
98
97
96
95
94
93
92
91
90
89
88
87
86
85
84
83
82
k
k
Summierte Binomialverteilungen
Gerundet auf vier Nachkommastellen, weggelassen ist „0,“, alle freien Plätze links unten
enthalten 1,0000, rechts oben 0,0000.
Wird die Tabelle „von unten“ gelesen (p > 0,5), ist der richtige Wert 1 – (abgelesener Wert).
r
r
r
9
101 – 0, 25 – 0,75 z 0, 244
2016-38
Es müssen mindestens 12 Bundesbürger befragt werden, um die Bedingung zu erfüllen.
ln 0,04
bn
ln 0,75
n r 11,19
Da ln 0,75 negativ ist, drehen sich die Größenbeziehungen um (Inversionsgesetz).
ln 0,04 r n – ln 0,75 ⏐: ln 0,75
Nutzen Sie das logarithmische Rechengesetz: ln ab b – ln a
0,04 ≥ 0,75 n ⏐ln
b) X siehe unter Teilaufgabe a.
Gesucht ist die Länge n der Bernoulli-Kette.
P(X r 1) r 0,96
1 P(X 0) r 0,96
1 0,75 n r 0,96
Beachten Sie beim Ablesen der Tabellenwerte, dass p > 0,5 ist.
Man schreibt den Ausdruck entsprechend um, um die beigefügte Liste der summierten
Binomialverteilungen nutzen zu können.
P(D) P(Y b 78) P(Y b 69)
(1 0, 2114) (1 0,8962) 0,6848
Berechnung von P(D)
Y sei die Anzahl der Bundesbürger, die keine Sportfans sind.
P(D) P(70 b Y 79) P(70 b Y b 78)
0,7510
Berechnung von P(B)
Das Ereignis B ist eine Bernoulli-Kette der Länge 20 nur unter männlichen Bundesbürgern.
P(B) B(20; 0, 293; 3) 20 – 0, 2933 – 0,70717 z 0,079
3
Berechnung von P(C)
X sei die Anzahl der Sportfans unter den Bundesbürgern.
P(C) P(X 0) P(X 1)
a) SF stehe für Sportfan.
P(SF) 0, 25, P(SF) 0,75, PMänner (SF) 0, 293
Berechnung von P(A)
Das Ereignis A wird durch genau einen Ast des Baumdiagramms beschrieben, bei dem an
zweiter und sechster Stelle SF steht und sonst SF.
P(A) 0, 25 2 – 0,758 z 0,0063
Lösungen zu Aufgabe 3.2
0, 4888 – 0, 293
z 0,5729
0, 25
⎛ 8 ⎞ ⎛17 ⎞
⎜ 3⎟ – ⎜ 4 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 25 ⎞
⎜7⎟
⎝ ⎠
z 0, 2773
⎛ 1⎞ ⎛ n 1⎞
⎜ 1⎟ – ⎜ 9 ⎟
⎝ ⎠ ⎝
⎠
⎛n⎞
⎜10 ⎟
⎝ ⎠
r 0,8
2016-39
e) Die Aufgabe lässt sich mit dem Lottomodell lösen.
Von den n Teilnehmern werden 10 ausgewählt. Der einzige Sportfan soll unter den
ausgewählten Personen sein.
Mit ca. 27,73 % befinden sich unter den 7 ausgewählten Bürgern genau 3 Sportfans.
P(E) d) Die gesuchte Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E ist mit dem Lottomodell zu lösen.
Die Sportfans sind die gezogenen Lottozahlen. Die Gesamtzahl der Bürger ist 25, von
denen 7 ausgewählt werden. Von den 8 Sportfans werden 3 ausgewählt und von den
übrigen 17 Bürgern 4.
PF (SF) 0, 25 0, 4888 – 0, 293
z 0, 2089
0,5112
Der Anteil der Sportfans unter den Frauen beträgt ca. 20,89 %.
0, 25 0, 4888 – 0, 293 0,5112 – PF (SF)
Anteil der Sportfans unter Frauen
Gesucht ist PF(SF).
Über die totale Wahrscheinlichkeit für SF lässt sich folgende Gleichung aufstellen:
P(SF) P(M) – PM (SF) P(F) – PF (SF)
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Sportfan ein Mann ist, beträgt
ungefähr 57, 29 %.
PSF (M) 0, 25 – PSF (M) 0, 4888 – 0, 293
c) M stehe für Mann und F stehe für Frau.
P(M) 0,4888
Gegenwahrscheinlichkeit
P(F) 0,5112
(siehe Teilaufgabe a)
P(SF) 0,25
PM(SF) 0,293 (siehe Teilaufgabe a)
Sportfan ist ein Mann
Gesucht ist PSF(M).
P(SF † M) ist sowohl über den Baumweg P(SF) – PSF (M) als auch über P(M) – PM (SF) zu
berechnen.
P(SF) – PSF (M) P(M) – PM (SF)
gilt:
n
k
n!
k! – (n k)!
r 0,8
2016-40
Der Kochkurs hat insgesamt maximal 12 Teilnehmer.
10
r 0,8
n
10
rn
0,8
n b 12,5
Kürzen durch (n – 10)!, (n – 1)! und 9!:
(n 1)! – 10! – (n 10)!
r 0,8
9! – (n 10)! – n!
(n 1)!
9! – (n 10)!
n!
10! – (n 10)!
Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.
n
k
r
Für
r
r
r