Escola de Verão 2012
da
PGMAT-UFBA
Teoria dos Conjuntos e Aplicações – 2012.1
Curso de Verão – Professores João Paulo e Samuel
Teorema de Indução Transfinita sobre um ordinal e
a demonstração do Teorema de Recursão sobre ω
na 2a. forma
Corolário 5.36 (Indução Transfinita sobre um ordinal). Sejam α um
ordinal e b ⊆ α. Suponha que
∀ β < α (β ⊆ b → β ∈ b).
Então, b = α
Teorema 5.45 (Recursão sobre ω, 2a. forma). Sejam a um conjunto e
F : <ω a → a uma função. Então, existe uma única sequência g : ω → a
tal que
∀ n ∈ ω (g(n) = F (g n))
(i.e.,
g(0) = F (g 0) = F (g ∅) = F (∅) e
g(n+ ) = F (g n+ ) = F (g {0, 1, . . . , n}) =
= F (hg(0), g(1), . . . , g(n)i), para cada n ∈ ω).
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Demonstração:
(Unicidade): Sejam g e h sequências em a tais que
∀ n ∈ ω ((g(n) = F (g n)) e ∀ n ∈ ω (h(n) = F (h n)).
Considere o conjunto b :≡ {n ∈ ω : g(n) = h(n)}. Seja n ∈ ω tal que
n ⊆ b. Então, para cada m < n, tem-se que m ∈ b. Logo,
∀ m < n (g(m) = h(m)).
Por conseguinte, g(n) = F (g n) = F (g {m : m < n}) =
= F (hg(m)im<n ) = F (hh(m)im<n ) =
= F (h {m : m < n}) = F (h n) = h(n),
o que implica que n ∈ b. Portanto, por indução finita na 2a. forma
(i.e., Corolário 5.36 aplicado a α = ω), conclui-se que b = ω, i.e., que
g = h.
(Existência): Sejam n ∈ ω e f ∈ <ω a quaisquer. Dizemos que f é
uma (n, F )-aproximação (em a) se valer as seguintes condições:
(i) dom(f ) = n.
(ii) ∀ m < n (f (m) = F (f m)).
Considere então os seguintes conjuntos:
A :≡ {f ∈ <ω a : ∃ n ∈ ω (f é uma (n, F )-aproximação)} e g :≡
Afirmamos que:
(1) im(g) ⊆ a.
(2) dom(g) = ω.
(3) g é uma função.
(4) ∀ n ∈ ω (g(n) = F (g n)).
Com efeito:
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S
A.
(1) : Tome um y ∈ im(g) qualquer. Então, pode-se fixar uma
f ∈ A e um m ∈ dom(f ) tais que y = f (m) = F (f m).
Logo, y ∈ a.
(2) : É claro que, para cada x ∈ dom(g), existe uma f ∈ A tal que
x ∈ dom(f ), o que implica que x ∈ ω. Se provarmos que
(†) ∀ n ∈ ω ∃ f ∈ <ω a (f é uma (n, F )-aproximação),
então: para cada m ∈ ω, existirá uma (m+ , F )-aproximação
f em a, i.e., uma f ∈ A tal que dom(f ) = m+ . Logo, para
cada m ∈ ω, tem-se que m ∈ dom(g) (já que m ∈ m+ ).
Provemos então (†): como a referida asserção é equivalente a
afirmar que ω é igual ao conjunto
c :≡ {n ∈ ω : ∃ f ∈ <ω a (f é uma (n, F )-aproximação)},
basta então verificar que c é indutivo (visto que ω é o único
subconjunto indutivo de si mesmo).
Verifiquemos isto:
(2.1) Por vacuidade, temos o seguinte: dom(∅) = im(∅) = 0
e ∀ m < 0 (hm, F (∅ m)i ∈ ∅). Então, a função ∅ é uma
(0, F )-aproximação em a. Logo, 0 ∈ c.
(2.2) Tome n ∈ c qualquer e fixe uma (n, F )-aproximação f
em a. Afirmamos que a relação f∗ :≡ f ∪ {hn, F (f )i} é uma
(n+ , F )-aproximação em a. De fato:
• dom(f∗ ) = dom(f ) ∪ dom({hn, F (f )i}) = n ∪ {n} = n+ e
im(f∗ ) = im(f ) ∪ im({hn, F (f )i}) ⊆ a ∪ a = a.
• Como dom(f ) = n, então n 6∈ dom(f ). Disso, e de f ser
uma função, segue que f∗ é uma função.
• Fixe um m < n+ qualquer. Suponha que m < n. Como
n = dom(f ), temos que ∀ l < m (l ∈ dom(f )). Logo,
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f∗ (m) = f (m) = F (f m) = F (f {l : l < m}) =
= F (hf (l)il<m ) = F (hf∗ (l)il<m ) =
= F (f∗ {l : l < m}) = F (f∗ m).
Caso seja m = n, é claro que f∗ (m) = F (f ) = F (f∗ m).
Consequentemente, conclui-se que n+ ∈ c.
(3) : Como A é uma famı́lia de funções, para concluir que g é uma
função, é suficiente mostrar que:
∀ h0 , h1 ∈ A ∀ n ∈ dom(h0 ) ∩ dom(h1 ) (h0 (n) = h1 (n)).
Para mostrarmos isto, fixe h0 , h1 ∈ A quaisquer. Já que
dom(h0 ), dom(h1 ) ∈ ω, tome então
m0,1 :≡ min{dom(h0 ), dom(h1 )}.
É fácil ver que m0,1 = dom(h0 ) ∩ dom(h1 ). Agora, considere
o conjunto d :≡ {n ∈ m0,1 : h0 (n) = h1 (n)}. Utilizando
argumentação análoga a que foi dada para mostrar que b = ω
(mas aplicando o Corolário 5.36 a α = m0,1 ), conclui-se que
d = m0,1 , i.e., que:
∀ n ∈ m0,1 (h0 (n) = h1 (n)).
(4) : Fixe um m ∈ ω qualquer. Por (2), temos que ω = dom(g).
Logo, podemos fixar uma função f ⊆ g tal que dom(f ) ∈ ω,
m ∈ dom(f ) (i.e., m ⊂ dom(f )) e f (m) = F (f m). Disso,
segue que f m = g m e que:
g(m) = f (m) = F (f m) = F (g m).
Portanto, concluı́mos que g é a única sequência em a tal que
∀ n ∈ ω (g(n) = F (g n)).
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