OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
MIRZO ULUG’BEK NOMIDAGI O’ZBEKISTON MILLIY
UNIVERSITETI
MEXANIKA-MATEMATIKA FAKULTETI
GEOMETRIYA KAFEDRASI
DIFFERENSIALLANUVCHI FUNKSIYALAR
GRADIYENT CHIZIQLARI
mavzusidagi
BITIRUV MALAKAVIY ISHI
Bajardi: “Matematika” ta’lim
yo’nalishi bitiruvchi 4-kurs talabasi
RO’ZIYEVA DILNOZA
Ilmiy rahbar: f.-m.f.n. BAYTURAYEV A.
Taqrizchi: f.-m.f.d. BESHIMOV R.B.
Bitiruv malakaviy ishi kafedradan dastlabki himoyadan o’tdi.
2014-yil 8-may kuni 18-sonli bayonnoma.
TOSHKENT-2014
2
MUNDARIJA
KIRISH ............................................................................................................
I Differensiallanuvchi funksiyalar………………………………………….
1-§. Bir va ko’p o’zgaruvchili differensiallanuvchi funksiyalar………………
2-§. Sirtda silliq akslantirishlar……………………………………………..
II. Funksiya gradiyent chiziqlari va xossalari…………………………….
1-§. Differensiallanuvchi funksiya gradiyenti va misollar ……………………
2-§. Funksiya gradiyentining xossalari ……………………………………….
3-§. Funksiyaning gradiyent chiziqlari va misollar…………………………...
XULOSA..........................................................................................................
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR........................................................
3
KIRISH
“Xalqning boy intelektual merosi va umumbashariy qadriyatlar asosida
zamonaviy madaniyat, iqtisodiyot, fan, texnika texnologiyalarning yutuqlari asosida
kadrlar tayyorlashning mukammal tizimini shakllantirish O’zbekiston taraqqiyotining
muhim shartidir”.
“Kadrlar tayyorlash milliy dasturi”dan.
Ushbu
malakaviy
bitiruv
ishi
referativ
xarakterga
bo’lib,
unda
differensiallanuvchi funksiyalar gradiyent chiziqlarining xossalari va ularning tadbiqi
o’rganilgan.
Differensial geometriya va matematik analiz kursida differensiallanuvchi
funksiyalar gradiyenti va gradiyent chiziqlarining xossalari muhim hisolanadi.
Funksiya sath sirtlari va gradiyent chiziqlari orasidagi bog’lanish, shuningdek boshqa
xossalri differensiallanuvchi funksiyalar sath sirtlari hosil qiluvchi geometrik
ob’ektlarning xossalarini o’rganishda qo’llaniladi. Shu sababli bitiruv malakaviy ishi
uchun shu mavzu tanlandi.
Malakaviy bitiruv ishining birinchi bobida bir va ko’p o’zgaruvchili
funksiyalar differensiallanuvchiligi va sirtdagi silliq akslantirishlar keltirilgan
Ikkinchi bob uchta paragrafdan iborat bo’lib, birinchi paragrafda funksiya gradiyenti
tushunchasi kiritilgan va misollar keltirilgan. Ikkinchi paragrafda differensiallanuvchi
funksiya gradiyenti xossalar o’rganilgan. Uchinchi paragraf asosiy qism bo’lib, unda
differensiallanuvchi funksiyalar gradiyent chiziqlarining xossalari o’rganilgan.
Xossalar tadbiqi bir nechta misollarda ko’rsatilgan.
4
I bob
Differensiallanuvchi funksiyalar
1-§. Bir o’zgaruvchili funksiya differensiali
f ( x)
funksiya ( a, b) intervalda aniqlangan, x0  (a, b) , x0  x  (a, b) bo’lsin. U
holda f ( x) funksiya ham x0 nuqtada y  f ( x0  x)  f ( x0 ) orttirmaga ega bo’ladi.
Ta’rif-1. Agar f ( x) funksiyaning x0  (a, b) nuqtadagi orttirmasi  y ni
y  Ax  x
(1) ko’rinishda ifodalash mumkin bo’lsa, f ( x) funksiya x0 nuqtada
differensiallanuvchi deyiladi, bunda A – x ga bog’liq bo’lmagan o’zgarmas,  esa
x ga bog’liq va x  0 da    (x)  0 .
Agar x  0 da   x   (x)x  0(x) ekanini e’tiborga olsak, u holda
yuqoridagi (1) ifoda ushbu y  Ax  0(x) ko’rinishni oladi.Funksiya orttirmasi
uchun (1) formulada Ax ifoda orttirmaning bosh qismi deb yuritiladi.
Teorema-1. f ( x) funksiyaning x  (a, b) nuqtada differensiallanuvchi bo’lishi
uchun uning shu nuqtada chekli hosilaga ega bo’lishi zarur va yetarli.
Isboti. Zarurligi. f ( x) funksiya x  (a, b) nuqtada differensiallanuvchi bo’lsin.
Unda y  Ax  0(x) ,
Demak,
y
y
0(x)
0( x)
bo’lib, lim  lim( A 
 A
)  A bo’ladi.

x

0

x

0
x
x
x
x
f '( x )  A .
Yetarliligi. f ( x) funksiya x  (a, b) nuqtada chekli f ( x) hosilaga ega bo’lsin:
y
f ( x  x)  f ( x)
.
 lim
x 0 x
x 0
x
f ( x)  lim
Agar
y
 f ( x)   deb olsak, undan y  f ( x)x  x ekanini topamiz. Bu
x
tenglikdagi  miqdor x ga bog’liq va x  0 da   0 . Demak, f ( x) funksiya
x  ( a, b)
nuqtada differensiallanuvchi bo’lib, A  f ( x) bo’ladi.
Isbot etilgan teorema f ( x) funksiyaning x  (a, b) nuqtada chekli f ( x) hosilaga
ega bo’lishi bilan uning shu nuqtada differensiallanuvchi bo’[lishi ekvivalent ekanini
ko’rsatadi.
5
Funksiya differensiali va uning geometrik ma’nosi
f ( x)
funksiya x  (a, b) nuqtada differensiallanuvchi bo’lsin. y  Ax  0(x)
bunda, A  f ( x) bo’ladi. Bu tenglikda funksiya orttirmasi  y ikki qo’shiluvchi,
argument orttirmasi x ga nisbatan chiziqli Ax hamda x ga nisbatan yuqori tartibli
( x  0 ) cheksiz kichik miqdorlar yig’indisidan iborat ekani ko’rinadi.
Ta’rif-2. f ( x) funksiya orttirmasi  y ning x ga nisbatan chiziqli bosh qismi
Ax  f ( x )x berilgan f ( x) funksiyaning x
Funksiyaning
differensiali
dy  df ( x)  A  x  f ( x)x .
nuqtadagi differensiali deb ataladi.
dy
yoki
df ( x)
kabi
belgilanadi:
Endi x  (a, b) nuqtada differensiallanuvchi bo’lgan
f ( x)
funksiyaning grafigi chizmada ko’rsatilgan chiziqni ifodalasin deylik.
y
x
Bu chiziqning  x, f ( x )  ,  x  x, f ( x  x)  nuqtalari mos ravishda F va B bilan
belgilaylik.
Unda
bo’ladi. f ( x) funksiya x  (a, b)
FC  x BC  y
nuqtada
differensiallanuvchi bo’lgani uchun u x nuqtada chekli f ( x) hosilaga ega. Demak,
f ( x)
funksiya grafigiga uning F  x, f  x   nuqtasida o’tkazilgan FL urinma mavjud va
bu urinmaning burchak koeffitsienti
tg  f   x 
shu FL urinmaning BC bilan
kesishgan nuqtasini D bilan belgilaylik. Ravshanki, FDC dan
DC  tg  FC  f   x   x
ekani kelib chiqadi.
DC
 tg va undan
FC
6
Demak, f  x  funksiyaning
grafigiga
F  x, f  x  
x
nuqtadagi differensiali dy  f   x  x funksiya
DC ni  DC  dy 
nuqtada o’tkazilgan urinma orttirmasi
ifodalaydi.
Ko’p o’zgaruvchili funksiya differensiali
y  f  x  funksiya
ochiq M  M  Rm  to’plamda berilgan bo’lib, bu to’plamning
x0
nuqtasida differensillanuvchi bo’lsin. Ta’rifga ko’ra, u holda f  x  funksiyaning
x0
nuqtadagi orttirmasi f  x0   A1x1  A2 x2  ...  Am xm  0    (2) bo’lib, bunda
Ai 
f  x 0 
xi
,  i  1, 2,..., m  va x1  0, x2  0,..., xm  0 va   0 bo’ladi. (2)
tenglikning o’ng tomoni ikki qismdan
1). x1 , x2 ,..., xm orttirmalarga nisbatan chiziqli ifoda A1x1  A2x2  ...  Amxm
dan
2). x1  0, x2  0,..., xm  0 da, ya’ni   0 da  ga nisbatan yuqori tartibli
cheksiz kichik miqdor 0    dan iborat.
Shuningdek, (2) munosabatdan   0 da A1x1  A2x2  ...  Amxm - cheksiz
kichik miqdor, f  x 0  - cheksiz kichik miqdorning bosh qismi ekanligini payqaymiz.
Ta’rif-3. f ( x) funksiya orttirmasi f  x 0  ning x1 , x2 ,..., xm larga nisbatan
chiziqli bosh qismi
A1x1  A2 x2  ...  Am xm 
f  x  funksiyaning x 0
df  x0 
.
0
1
0
2
0
m
x1
x1 
f  x0 
x2
df  x10 , x20 ,..., xm0 
  A x  A x
1
x2  ... 
f  x0 
xm
xm .
nuqtadagi differensiali (to’liq differensiali) deb ataladi va
yoki
df ( x )  df  x , x ,..., x
0
f  x0 
1
2
2
 ...  Am xm 
kabi
f  x0 
x1
x1 
f  x0 
x2
belgilanadi.
x2  ... 
f  x0 
xm
xm
7
Agar x1 , x2 ,..., xm erkli o’zgaruvchilarning ixtiyoriy orttirmalari x1 , x2 ,..., xm lar
mos ravishda bu o’zgaruvchilarning differensiallari dx1 , dx2 ,..., dxm ga teng ekanligini
e’tiborga olsak, unda f  x  funksiyaning differensiali quyidagi
df  x
0

f  x0 
x1
dx1 
f  x0 
x2
dx2  ... 
f  x 0 
xm
dxm (2)
ko’rinishga keladi.
Odatda
f
f
f
dx1 ,
dx2 ,...,
dxm lar f  x  funksiyaning xususiy differensiallari
x1
x2
xm
deb ataladi va ular mos ravishda dx1 f , dx2 f ,..., dxm f kabi belgilanadi:
dx1 f 
f
f
f
dx1 , dx2 f 
dx2 ,..., dxm f 
dxm .
x1
x2
xm
Demak, f  x  funksiyaning x 0 nuqtadagi differensiali, uning shu nuqtadagi
xususiy differensiallari yig’indisidan iborat.
Shuni ta’kidlash lozimki, f  x1 , x2 ,..., xm  funksiyaning differensiali  x10 , x20 ,..., xm0 
nuqtaga
bog’liq
bo’lishi
bilan
birga
bu
o’zgaruvchilarning
orttirmalari
x1  dx1 , x2  dx2 ,..., xm  dxm larga ham bog’liqdir.
Funksiya differensiali soda geometrik ma’noga ega.Quyida uni
keltiramiz. y  f  x   f  x1 , x2 ,..., xm  funksiya ochiq M to’plamda berilgan
bo’lib, x0   x10 , x20 ,..., xm0  nuqtada  x0  M  differensiallanuvchi bo’lsin. Demak, bu
funksiyaning x 0 nuqtadagi orttirmasi
f  x0   f  x10  x, x20  x,..., xm0  x   f  x10 , x20 ,..., xm0  uchun
f  x0   f x1  x0  x1  x10   f x2  x0   x2  x20   ...  f xm  x0   xm  xm0   0   
bo’ladi.
Faraz qilaylik, y  f  x  funksiyaning grafigi R m 1 fazodagi ushbu
 S    x1 , x2 ,..., xm ; y  :  x1, x2 ,..., xm   R m , y  R sirtdan iborat bo’lsin.Geometriyadan
ma’lumki, bu sirtning  x10 , x20 ,..., xm0 ; y0  nuqtasidan  y0  f  x10 , x20 ,..., xm0  o’tuvchi hamda
Oy
o’qiga parallel bo’lmagan tekisliklarning umumiy tenglamasi
Y  y0  f x1  x 0  x1  x10   f x2  x0   x2  x20   ...  f xm  x0   xm  xm0  (4)
8
 x , x ,..., x
tekislik esa  S  sirtga
0
1
0
2
0
m
; y0  nuqtasida o’tkazilgan urinma tekislik
deb ataladi.Agar
x1  x10  dx1 , x2  x20  dx2 ,..., xm  xm0  dxm
deyilsa, unda (4) urinma tekislik
Y  y0  f x1  x 0  dx1  f x2  x0  dx2  ...  f xm  x0  dxm  df  x 0 
ko’rinishga keladi.
Natijada
quyidagiga
kelamiz:
y  f  x1 , x2 ,..., xm  funksiya
argumentlari x1 , x2 ,..., xm larning x1  x10 , x2  x20 ,..., xm  xm0 qiymatlariga mos ravishda
orttirma beraylik.
U holda funksiyaning mos orttirmasi
f  x0   f  x10  x, x20  x,..., xm0  x   f  x10 , x20 ,..., xm0   y  y0  S  sirt
 x , x ,..., x
0
1
0
2
0
m
; y0  va  x10  x1 , x20  x2 ,..., xm0  xm ;Y 
nuqtalarning oxirgi, y koordinatasi olgan orttirmani bildiradi.
Funksiyaning shu nuqtadagi differensiali esa df  x0   Y  y0 ga teng.
2-§. Sirtdagi silliq akslantirishlar.
-
regulyar sirt va G :   R m akslantirish berilgan. p -sirtning biror nuqtasi
bo’lsin.
Ta’rif-4.  sirtning p nuqta atrofida ixtiyoriy silliq  f , G  parametrlash usuli
uchun g  f : G  R m silliq akslantirish bo’lsa, g -akslantirish p nuqtada silliq
akslantirish deyiladi. [3].
r r
Agar  f , G  parametrlash usuli r  r  u , v  tenglama bilan berilgan bo’lsa, g  f
akslantirish g akslantirishning egri chiziqli  u , v  koordinatalardagi ifodasi deyiladi.
Izoh.Ta’rifga ko’ra g silliq akslantirish bo’lishi uchun sirtning p nuqta
atrofidagi ixtiyoriy  f , G  parametrlash usuli uchun, g  f : G  R m akslantirish
differensiallanuvchi bo’lishi kerak. Bu yerda G -  u , v  tekislikdagi elementar soha
bo’lganligi uchun g  f akslantirish m ta
9
y1  g1  u , v 
y2  g 2  u , v 
K
ym  g m  u , v 
funksiyalar differensiallanuvchi bo’lishi kerak, lekin quyidagi teorema
ko’rsatadiki, g silliq akslantirish bo’lishi uchun birorta regulyar  f , G  parametrlash
usuli uchun g  f ning differensiallanuvchi bo’lishi yetarlidir.
Teorema-2. Berilgan g :   R m akslantirish p nuqtada silliq akslantirish
bo’lishi uchun  sirtning p nuqta atrofidagi birorta regulyar  f1 , G  parametrlash
usuli uchun g  f1 : G1  R m akslantirishning differensiallanuvchi bo’lishi zarur va
yetarlidir.[3]
Isbot.Tabiiyki, bu yerda faqat yetarlilik qismini isbotlash lozimdir.Demak, biz
ixtiyoriy silliq parametrlash usuli  f , G  -uchun g  f : G  R m akslantirishning
differensiallanuvchi ekanligini ko’rsatishimiz kerak. p nuqtaning  f1 , G1  parametrlash
usulidagi koordinatalari  w0 , s 0  ,  f , G  -parametrlash usulidagi koordinatalari  u0 , v0 
va W  f (G ) I f1  G1  bo’lsin. Shunda U  f 1 W  to’plam  u0 , v0  nuqtaning atrofi
bo’ladi va bu atrofda g  f   g  f1    f11  f  tenglik o’rinli. Teorema shartiga ko’ra,
g  f1
differensiallanuvchi
akslantirishdir.Shuning
uchun,
biz
f11  f : U  G1
akslantirishning differensiallanuvchi ekanligini ko’rsatishimiz kerak. Regulyar
parametrlash usuli  f1 , G1  differensiallanuvchi
 x  x  w, s 

 y  y  w, s 

 z  z  w, s 
x
y
z 
Funksiyalar yordamida beriladi va rank  w w w   2 tenglik o’rinlidir.
 xs y s z s 
Faraz qilaylik,
xw
yw
xs
ys
 0 bo’lsin. Teskari funksiya haqidagi teoremani

 x  x  w, s  x0  x  w0 , s0 


 y  y  w, s  y0  y  w0 , s0 
10
sistemaga qo’llaymiz.Shunda silliq w  w  x, y  , s  s  x, y  funksiyalar mavjud
bo’lib,
x  x  w  x, y  , s  x, y   w0  w  x0 , y0 
y  y  w  x, y  , s  x, y   s0  s  x0 , y0 
tengliklar
o’rinli
z  z  w  x, y  , s  x, y      x, y  x, y
bo’ladi.
Uchinchi
koordinatamiz
larning funksiyasi bo’ladi.
Demak, p nuqta atrofida  x, y  lar ichki koordinatalar bo’lib, sirt z    x, y 
funksiya
grafigidan
iborat
bo’ladi.
Shunda
 :  x, y , z    x, y 
proyeksiya
va w  w  x, y  , s  s  x, y  funksiyalar yordamida berilgan f%:  x, y    w, s  akslantirish
differensiallanuvchi
bo’lganligi
uchun
f11  x, y, z   f%
  x, y, z 
akslantirish
differensiallanuvchidir. Demak, f11  f ham differensiallanuvchidir.
Misol.
U , r  parametrlash usuli S sirtda berilgan bo’lsin. Shunda
r 1 : r U   R 2
silliq
bo’ladi.
Agar S1 , S2  R3 da 2ta sirt berilgan bo’lsin. F : S1  R3 akslantirish orqali
F : S1  S2 akslantirish qandayligini tushunish mumkin, chunki S2  R3 . Aniqki, i  F
ko’rinishdagi akslantirish mavjud bo’ladi, qachonki i : S2  R 3 akslantirish ochiq
bo’lsa.
Ta’rif-5. F : S1  S2 akslantirish silliq deyiladi, agar F : S1  R3 silliq akslantirish
unga tegishli bo’lsa. R3 da S1 sirt va G : R 3  R 3 -diffeomorfizm berilgan bo’lsin.
Shunda S 2  G  S1  -sirtda ham G |S : S1  S2 akslantirish silliq.Ko’rinib turibdiki, har
1
bir silliq akslantirish uzluksiz ham bo’ladi.[3]
Ta’rif-6. F : S1  S2 akslantirish diffeomorfizm deyiladi, agar F -biyektiv va F
va F 1 akslantirishlar silliq bo’lsa.[3]
Bizga 1 ,  2 sirtlar va g : 1  R3 akslantirish berilib, g   1    2 bo’lsa,
g : 1   2 akslantirish berilgan deyiladi.
11
g : 1  R3
Tabiiyki,
differensiallanuvchi
bo’lsa,
g : 1   2
differensiallanuvchi deyiladi.Agar g differensiallanuvchi bo’lsa, 1 sirtdagi silliq
egri chiziqning obrazi  2 sirtda silliq egri chiziq bo’ladi.
Ta’rif-7. 1 sirtdagi ixtiyoriy  egri chiziqning p nuqtadagi urinma vektorini
g  
egri
g  p
chiziqning
Tp 1  Tg  p   2 akslantirish g
dg  p 
nuqtadagi
urinma
vektoriga
o’tkazuvchi
akslantirishning p nuqtadagi differensial deb ataladi va
ko’rinishda belgilanadi. [3]
Bizga g : R3  R3 differensiallanuvchi akslantirish berilgan va  2  g  1  bo’lsa,
dg  p 
- g akslantirishning p nuqtadagi Yakobi matritsasi bilan ustma-ust tushishini
ko’rsataylik.
r
r
1 sirt p nuqta atrofida r  r  u , v  (3) tenglama bilan berilgan va  2 sirt
g  p  nuqta
r
r
atrofida     u , v  (4) tenglama bilan
r
berilgan bo’lsa,   u, v 
vektor g  x  u , v  , y  u , v  , z  u , v   -nuqtaning radius vektoridir. Endi   u0 , v0  -nuqtadan
u  u  t 
o’tuvchi  egri chiziq ichki koordinatalarda 

v  v  t 
va u0  u  t0  , v0  v  t0  bo’lsa,
r r
r
a  ru u   t0   rv v  t0 
 chiziqning
p
chiziqning
g  p
(5) tenglamalar bilan berilgan
nuqtadagi
urinma
vektori
nuqtada
urinma
vektori
vektordir.
 2 sirtda g   
egri
r r
r
b  u u  t0   v v  t0  (6) vektordir.
Agar
g  x, y, z    g1  x, y, z  , g 2  x, y, z  , g 3  x, y, z  va x0  x  u0 , v0  , y0  y  u0 , v0  , z0  z  u0 , v0 
r
r
bo’lsa, b  I  g  x0 , y0 , z0   a tenglik o’rinlidir. Bu yerda
 g1x  x0 , y0 , z0  g x2  x0 , y0 , z0  g x3  x0 , y0 , z0  


I  g  x0 , y0 , z0    g 1y  x0 , y0 , z0  g y2  x0 , y0 , z0  g 3y  x0 , y0 , z0  
 1

2
3
 g z  x0 , y0 , z0  g z  x0 , y0 , z0  g z  x0 , y0 , z0  
g akslantirishning p nuqtadagi Yakobi matritsasidir.
Teorema-3. dg  p  chiziqli akslantirishdir.
12
r
Isboti. (6) formuladan ko’rinib turibdiki, agar a vektor Tp 1 fazoda a1 , a2
r
koordinatalarga ega bo’lsa, b vektor ham Tg  p   2 fazoda xuddi shu koordinatalarga
ega bo’ladi. Koordinatalarning chiziqliligidan dg  p  akslantirishning chiziqli
ekanligi kelib chiqadi.
Silliq akslantirishga misollar.
1). Doimiy f : S  R k : a  A0 , A0  R k akslantirish silliq bo’ladi, egri chiziqli
koordinata koeffitsienti f r  u , v   A0 shaklida ifodalansa.
2). Ochiq akslantirish i : S  R3 : a  a silliq, agarda f r  i or  r bo’lsa.
Sirtda differensial silliq akslantirishlar.
Akslantirish hosilasi uchun geometrik interperetatsiya quramiz.
G : B  R 3 silliq
akslantirish berilgan, B  R3 da ochiq qism to’plam va
G  x, y, z    g1  x, y , z  , g 2  x, y , z  , g 3  x, y , z   .
r
r
Shunda har bir a   x0 , y0 , z0   B nuqta uchun G  a  : Ra3  RG3  a  akslantirish
hosilasi chiziqli akslantirish bo’ladi, Yakobi matritsasi mavjud bo’ladi:
D  g1 , g 2 , g3 
D  x, y, z 
  ij  ,1  i, j  3 .
 x0 , y0 , z0 
Belgilash kiritamiz:
1 g 
g
g
g
, 2 g 
, 3 g 
x
y
z
shunda  ij   j gi  x0 , y0 , z0  bo’ladi. Har bir h  R3 vektor uchun h1 , h2 , h3 

3
3
3

j 1
j 1

koordinatalar bo’ladi, G  a  h  vektorning koordinatalari  1 j h j ,  2 j h j ,   3 j h j  t0
 j 1
nuqtada   t    x  t  , y  t  , z  t   yo’llar urinma vektori - h vektor berilgan,    t0   h .
t0 nuqtada  G o   t  yo’lining urinma vektori G  a  h  vektor bo’lishini ko’rsatamiz.
Buning uchun quyidagi ayniyatni differensiallaymiz:
G o  t    g1  x t  , y t  , z t  , g2  x t  , y t  , z t  , g3  x t  , y t  , z t 
h1 , h2 , h3    x  t0  , y  t0  , z   t0 
bo’lganda,
13
uuuuuuur

3
3

k 1
k 1

 G o    t0     k g1  x0 , y0 , z0  hk ,   k g 2  x0 , y0 , z0  hk ,   k g3  x0 , y0 , z0  hk  
3
 k 1
3
3
3

 1k hk ,  2 k hk ,   3k hk  bo’ladi.
k 1
k 1
 k 1

Keyingi kiritmaga kelamiz: G   a  akslantirish hosilasi   t  yo’l urinma
vektorini  G o   t yo’l urinma vektoriga ko’chiradi.
Izoh. Qurilgan interpretatsiya ixtiyoriy o’lchamdagi fazolarni silliq akslantirish
uchun ham o’rinli bo’ladi.
F : S1  S2 sirtda silliq akslantirish va a  S1 berilgan bo’lsin. Shunda S1 sirtlar
har qanday  I ,   silliq yo’llarga muvofiq S 2 sirtlarda  I , F o   silliq yo’l, agar   t 
yo’l a nuqta orqali t  t0 yoniga o’tadi.
Ta’rif-8. Ta S1  TF ( a ) S2 akslantirish S1 sirtda yotuvchi   t  yo’lning    t0 
urinma vektoriga (   t0   a ) F o  yo’lning t0 nuqtadagi urinma vektori  F o    t0  ni
uuuuur
mos qo’ysa, F : S1  S2 akslantirishning a nuqtadagi differensiali deyiladi va dF  a 
bilan belgilanadi.
Dastlab akslantirish to’g’riligini tekshiramiz. Buning uchun quyidagini
ko’rsatishimiz lozim, agar   t  va 1  t  2ta yo’llarki, S1 sirtda yotadilar,
uuuuuur uuuuuur
1  t0   1  s0  umumiy urinma vektor bo’ladi, qachonki,   t0   1  s0   a1 , F o  va
F o 1 yo’llar t0 va s0 nuqta tegishli bo’lgan umumiy urinma vektor bo’ladi.
Haqiqatdan ham  u , r  r  u , v   parametrlash usuli S1 sirtda a nuqtaning atrofi,
u  u  t  , v  v  t  va u  u1  s  , v  v1  s 
ichki berilish  va 1 yo’lga tegishli. U holda
quyidagi lemmaga ko’ra,
Lemma.     t  yo’l berilgan, S1 sirtda yotadi, U , r  parametrlash usulining
ichki berilish tenglamalari u  u  t  , v  v  t  bo’lsin. U holda
r
  t   u   t   u r  v  t   v r .
Tabiiy reper  u r  u0 , v0  ,  v r  u 0 , v0  koordinatalari u   to  , v  t0  va
uur
   t0  va 1  s0  urinma vektorlarga tegishli bo’ladi.[3]
u1  s0  , v1  s0  .
14
F o  va F o 1
yo’llar urinma vektori topiladi, u quyidagi munosabat
differensialiga tegishli
 F o   t   Fr  u  t  , v  t   va  F o 1  s   Fr  u  s  , v  s  
qachonki Fr  F or F uchun koordinat ifoda.
Murakkab funksiyani differensiallash qoidasiga ko’ra:
 F o   t    F u , v  u t    F u , v  v t 
uuuuuur
uuuur
uuuur
 F o    s    F u , v  u  s    F u , v  v  s  .
uuuuur
1
uuuur
uuuur
0
u
r
0
0
0
v
r
0
0
0
0
u
r
0
0
0
v
r
0
0
0
Bu formuladan kuchli tenglik kelib chiqadi:
u  t0   u1  s0  , v  t0   v1  s0 
 F o   t    F o    s  .
uuuuur
uuuuuur
0
1
0
Teorema-4. dF : Ta S1  TF  a  S2 akslantirish chiziqli akslantirish bo’ladi.
Aytaylik, M n o’lchamli silliq ko’pxillik, U ,   - M dagi lokal karta,
f :M  R
dagi funksiya bo’lsin.
Ta’rif-9. f funksiyaning U ,   lokal kartaga nisbatan koordinatalik qiymati
deb, f o 1 :  U   R funksiyaga aytiladi. [3]
Ta’rif-10. f : M  R funksiya silliq deyiladi, agar M dagi har qanday U ,  
lokal karta uchun f o 1 koordinatalik qiymat silliiq funksiya bo’lsa, ya’ni barcha
tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga ega.
Xuddi shu kabi M dan olingan ochiq to’plamostida aniqlangan funksiyaning
silliqligi aniqlanadi.
Teorema-5. f : M  R funksiya silliq bo’ladi, faqat va faqat shundaki,
qachonki x U va f o 1 munosabat   x  nuqtada silliq bo’ladigan har qanday
x  M nuqta uchun M da U ,   lokal karta mavjud bo’lsa.
Isboti. Teoremaning zarurligi aniq.
15
Yetarliligi. V ,  M da ixtiyoriy karta bo’lsin. f o 1 : V   R funksiyaning
silliqligini isbot qilishimiz kerak. Buning uchun uning ixtiyoriy   x   V  , x V
nuqtada silliqligini isbot qilish yetarli.
M da shunday U ,   karta topamizki, u teoremada keltirilgan. U holda   x 
nuqta atrofida f o 1 funksiyani f o 1   f o 1  o o 1  ko’rinishda ifodalash
mumkin. Shartga ko’ra, f o 1 funksiya   x  nuqtada silliq .  o 1 akslantirish   x 
nuqtada kartalarning silliq bog’langanliligiga asosan silliq bo’ladi. Demak, f o 1
funksiya silliq akslantirishlar kompozitsiyasi sifatida silliq bo’ladi.
Har qanday silliq
f
akslantirishlar kompozitsiyasi f
funksiya M
U
da uzluksiz, chunki uni uzluksiz
  f o 1  o sifatida lokal ifodalash mumkin.
Natija. Funksiyaning sillioqlik sharti lokaldir, ya’ni f funksiyaning silliqligi
uchun har qanday x nuqta uchun uning shunday U ochiq atrofi mavjud bo’lsaki, f
U
silliq bo’ladi.
Misol. Aytaylik, M da U ,   lokal karta berilgan bo’lsin. xi : U  R, 1  i  n
funksiyani qaraymiz, u a U nuqtada   a   u1   a   ,..., u n   a   nuqtaning i 
koordinatasini mos qo’yadi, ya’ni xi a  ui   a   . Ko’rilgan
x i : U  R funksiyalar
koordinatlik deyiladi. Biz koordinatlik funksiyalarni silliq deb ta’kidlaymiz. Buning
uchun teoremaga asosan,
 x o  b  x  b  u   b  u b 
i
1
i
1
i
1
i
b  U 
funksiyalar  U  : u i  b1 ,..., bn   bi dagi oddiy koordinatlik funksiyalar bilan
ustma-ust tushishini ko’rsatish yetarli.
16
II bob
Funksiya gradiyenti va uning xossalari
1-§. Gradiyent ta’rifi va misollar
uuur  F F F 
uuur F
F
F
F  ,
,  yoki F 
i
j
k
x
y
z
 x y z 
bu vektor F  x, y, z  skalyar funksiyaning gradiyent vektori deyilib, “nable ef”
uuur
deb o’qiladi. Shartga ko’ra F  0 bo’lib, sirtning har bir oddiy nuqtasida tayin
gradiyent vektor bordir.
Ta’rif-11. u  F  x, y , z  maydon funksiyasi yordamida aniqlangan skalyar
maydonning P  x, y , z  nuqtasida aniqlangan ushbu
r
r
r
Fx  x, y, z   i  Fy  x, y, z   j  Fz  x, y, z   k
vektorga skalyar maydon gradiyenti deyiladi va grad F  x, y, z  kabi yoki qisqacha
grad u :
u r u r u r
i   j  k
x
y
z
kabi belgilanadi.[6]
Gradiyent tushunchasini skalyar maydonga bevosita aloqador ekanini
ko’rsataylik.Buning uchun bir nuqtadan ikkinchi nuqtaga o’tganida U  x, y, z  ning
qanday o’zgarishini tekshirib ko’ramiz.
Skalyar maydondagi biror M nuqta orqali ma’lum bir l yo’nalishli  l  to’g’ri
chiziq o’tkazaylik.
U
funksiyaning shu nuqtadagi qiymati U  M  bo’lib,  L  to’g’ri chiziqning
M ga yaqin M  nuqtadagi qiymati U  M   bo’lsin. Ushbu
U  M   U  M 
nisbatning
MM 
M   M dagi limiti U  M  funksiyaning l yo’nalish bo’ylab olingan hosilasi deyiladi
va
U  M 
simvol bilan belgilanadi ya’ni
l
U  M 
U  M   U  M 
.
 lim
M  M
l
MM 
Bu hosila U  M  funksiyaning M nuqtada l yo’nalish bo’yicha o’zgarish
suratini aniqlaydi. M nuqtadan xohlagancha to’g’ri chiziq o’tkazish mumkin. Shuning
17
uchun U funksiya berilgan nuqtada cheksiz ko’p yo’nalishlar bo’yicha hosilalarga
l vektorni bir-biriga tik uchta  i, j , k  yo’nalish bo’yicha yoyish mumkinligi
egadir.
sababli U hosilani shu uch yo’nalish bo’yicha olingan hosilalar orqali ifodalash
l
mumkin:
U  M  U
U
U

cos  l , x  
cos  l , y  
cos  l , z  .
l
x
y
z
Endi  l  to’g’ri chiziq o’rniga M nuqtadan o’tuvchi biror  L  chiziqni olib,
U  M   U  M 
M  M
ј 
MM
lim
ni qaraylik. Bu limit U  x, y, z  funksiyadan  L  chiziqning S yoyi bo’yicha
olingan hosilasi bo’lib, uni biz
U  M   U  M 
U
U
bilan belgilaymiz:
.
 lim
ј 
s M M
s
MM
Bu hosila U ning  L  chiziq bo’yicha hosilasi deyiladi.
Murakkab funksiyani differensiallash qoidasiga muvofiq:
U U dx U dy U dz



s
x ds y ds z ds
 L  chiziq uchun
(7)
dx dy dz
hosilalar uning M nuqtadagi urinmasining birlik
,
,
ds ds ds
vektori  ning koordinatalaridir (yo’naltiruvchi kosinuslari)   , ,  . Agar M
 ds ds ds 
dx dy dz
nuqta ma’lum bo’lsa,
U U U
hosilalar tezda topiladi, demak, U funksiyaning
,
,
x y z
chiziq bo’ylab olingan hosilasi, shu chiziqning M nuqtadagi urinmasi yo’nalishi
bo’ylab olingan hosilasiga teng ekan.
U U U
hosilalar M nuqtadan o’tuvchi ekvipotensial U  C sirtning shu
,
,
x y z
nuqtadagi gradiyent vektorining koordinatalari ekani va bu gradiyentning shu sirt
normali bo’ylab yo’nalganligi bizga ma’lum. Demak,
 U U U  U
U
U
,
,
i
j
k (8)


y
z
 x y z  x
ni eslasak, (7)ni skalyar ko’paytma shaklida yoza olamiz:
18
dU
 grad U
ds
(9) bu formula ikki vektorning skalyar ko’paytmasini ifodalaydi, ulardan biri
  birlik vektordir, demak,
r
dU
ni gradU ning  yo’nalishdagi proyeksiyasi deb
ds
qarash mumkin:
dU
 grad  U (10).
ds
Skalyar maydonning gradiyent vektor maydonni tashkil etadi.[4]
(10) formuladan muhim natijalar keltirib chiqarish mumkin:
1. Berilgan maydonning berilgan M nuqtasida U dan biror  L  yo’nalish
bo’yicha olingan hosila faqat shu yo’nalishga bog’liq bo’lib,  L  chiziqning
tanlanishiga bog’liq emas, chunki berilgan yo’nalishga M nuqtada urinuvchi
chiziqlar ko’p;[4]
2. Har qanday vektorni o’z yo’nalishidagi to’g’ri chiziqqa proyeksiyalaganda,


є
proyeksiya absolyut qiymat jihatidan eng kata qiymatga erishadi prl a  a cos  al
 .
shuning uchun
dU
hosila gradiyent yo’nalishida eng katta qiymatga erishadi, ya’ni
ds
U maydonning eng zo’r sur’atda o’zgarishi grad U yo’nalishida bo’lib, bu eng katta
“tezlik”  grad U  ga tengdir; maydon qancha tez o’zgarsa, bu modul shuncha katta.
Misol, uydagi pechkadan tarqalgan temperatura maydonini olsak, uning gradiyent
pechka tomon yo’nalgan bo’ladi.
2
 U 
U
U
3. (8) dan grad U          demak, faqat
 x   y   z 
2
2
U
U
U
 0,
 0,
 0 (11)
x
y
z
bo’lgandagina gradiyent nolga teng bo’ladi. Ammo, o’zgaruvchan bo’lsa-da,
maydonning ayrim nuqtalarida (11) shart yuz berishi mumkin.Biz bunday nuqtalarni
maydonning maxsus nuqtalari deb ataymiz. Ularda grad U  0 .[4]
4. Keltirilgan xossalardan gradiyent sof fizik miqdor bo’lib, u koordinatalar
sistemasini tanlab olishga bog’liq emasligi kelib chiqadi.[4]
19
Misollar.
1). Quyidagi maydon gradientlarini toping.
grad u 
u u
u
i
j k
x
y
z
a). u  x2  y 2  z 2 javob: grad u  i  j  k
b). u  x2  2 y 2  3z 2  xz  yz  xy
yechish:
u
u
u
 2 x  z  y,
 4 y  z  x,
 6z  x  y
x
y
z
javob: grad u   2 x  z  y  i   4 y  z  x  j   6 z  x  y  k
2). u  x2  2 y 2  3z 2  xy  3x  2 y  6 z skalyar maydonning O  0, 0, 0  va A  2, 0,1
nuqtalardagi gradiyenti topilsin.
Yechish. grad u   2 x  y  3 i   4 y  x  2  j   6 z  6  k .
Berilgan nuqtalardagi gradiyentlarini esa quyidagicha topamiz:
grad u  0, 0, 0   3i  2 j  6k
grad u  2, 0,1  7i
2-§. Differensiallanuvchi funksiyalar gradiyentining xossalari
Biz bu paragrafda evklid fazosida aniqlangan differensiallanuvchi funksiyalar
gradiyentining ba’zi xossalarini o’rganamiz.
1.
Ikkita
skalyar
funksiya
yig’indisining
grad  u  v   grad u  grad v .
Bu xossa gradiyent ta’rifidan kelib chiqadi, chunki
grad U 
2.
grad  u  v   u grad v  v grad u .
U
U
U
i
j
k.
x
y
z
gradiyenti
20
Haqiqatdan,
grad x  u  v  
  u, v 
u
v
 v u
x
x
x
boshqa koordinatalar uchun ham shunga o’xshash tengliklarni yozsak, aytilgan
xossa isbot bo’ladi.
3.
grad c 
grad c  0, c  const . Ta’rifdan foydalanamiz:
c c
c
i
j  k  0i  0 j  0 k
x y
z
4.
gradcu 
5.
 grad c  0
grad  cu   cgrad u , c  const
ta’rifdan:
 u u
cu cu
cu
u
u
u
u 
i
j
k  c ic
j c k  c i 
j  k   cgradu .
x
y
z
x
y
z
y
z 
 x
 u  vgradu  ugradv
grad   
v2
v
u
u
u
   
 
v u  u v v y u  u y v
v u  u v
v
v
v
u
grad      i    j    k  x 2 x i 
j z 2 z k 
2
x
y
z
v
v
v
v




1
1
v xu  u x v  i   v yu  u y v  j   v zu  u z v  k  2 v   xui   yuj   zuk   u   xvi   y vj   z vk  
2 
v
v
1
vgradu  ugradv
.
 2  vgradu  ugradv  
v
v2

6.
grad f  u   f   u  gradu
grad f  u   f x
7.
grad u n 
8.
quyidagicha
isbotlaymiz:
u
u
u
i  f y
j  f z k  f   u  gradu .
x
y
z
grad u n  nu n1 gradu
 u u
u n 1 u n 1 u n 1
u 
nu i  nu j  nu k  nu n 1  i 
j  k   nu n 1gradu .
x
y
z
y
z 
 x
Skalyar maydonda berilgan f  u , v, w  funksiya (egri chiziqli ortogonal
koordinatada) gradiyentini topish formulasini keltirib chiqaring.[5]
Yechish. eu , ev , ew - ko’chma chiziqli bog’lanmagan vektorlar berilgan. eu , ev vektorlar tekislikda yotadi, w  const sirt koordinatalariga urinma, ew vektor bu
tekislikka orthogonal va, demak,
skalyar gradientga kolleniar.
w  const sirt koordinalariga ortogonal, w vektor
21
ew  k3 grad w (14)
Bu yerda, k3 -biror ko’paytuvchi.
u  u s,v  v s, w  ws
chiziqlarni qaraymiz.
r  r u  s  , v  s  , w  s 
differensial radius vektorni hosilasini olamiz:
dr
du
du
du
.
 ru
 rv
 rw
ds
ds
ds
ds
grad w skalyar orqali ifodalaymiz.
dw dw

rw  grad w .
ds ds
rw  grad w  1
Agar
rw  k3
rw  rw ew
va
(14)dan
k3 grad w  1 u  const v  const
grad f  u, v, w 
9.
bo’lsa,
eu f ev f ew f
1
1
1


k1  ru 
k2  rv 
k3  rw 
k1 u k2 v k3 w
grad u
grad v
grad w
Silindrik koordinatalar sistemasida berilgan maydon uchun gradiyent
topish formulasini keltirib chiqaring.[5]
Yechish. Silindrik koordinatalar sistemasi koordinatalari:
 x   cos 

 y   sin  .
z  z

8-misoldan foydalanamiz: u  f  r ,  , z 
k1 
k2 
1
1
1


1
2
2
2
2
grad r
cos   sin 2 
 x   y   z 
     
 r   r   r 
1
1


2
2
2
grad 
 x   y   z 
          

 
 

1
 sin    cos 
2
2
2
2

1

22
k3 
1
1

1
2
2
2
grad z
 x   y   z 
     
 z   z   z 
grad u 
10.
javob:
u
1 u
u
er 
e  ez .
r
r 
z
Sferik koordinatalar sistemasida berilgan maydon uchun gradiyent topish
formulasini keltirib chiqaring.
Yechish. Sferik koordinatalar sistemasi koordinatalari:
 x   cos  cos 

 y   sin  cos 
 z   sin 

.
8-misoldan foydalanamiz: u  f  r , ,  
k1 
k2 
1
1
1


1
2
2
2
2
2
grad r
cos  cos   sin 2  cos 2   sin 2 
 x   y   z 
     
 r   r   r 
1
1


2
2
2
grad 
 x   y   z 

 
 

        
k3 
1
 2 cos 2  sin 2    2 sin 2  sin 2    2 cos 2 
1
1


2
2
2
grad 
 x   y   z 
          

 
 

javob: grad u 
1
 2 sin 2  cos2    2 cos2  cos2 


1

1
 cos 
u
1 u
1
u
e 
e 
e .

 
 cos   
3-§. Differensiallanuvchi funksiyalarning gradiyent chiziqlari
Bizga
n-o’lchamli
Evklid
fazosida
aniqlangan
y  f  x1 , x2 ,..., xn 
differensiallanuvchi funksiya berilgan bo’lsin.
Ta’rif-12. x& grad f  x  gradiyent sistema yechimlarining integral chiziqlari
berilgan funksiyaning gradiyent chiziqlari deyiladi.
23
Berilgan maydonning P0  x0 , y0 , z0  nuqtasidagi grad U  grad F  x, y , z  vektori va
P0 nuqtadan o’tuvchi sath sirtlarini qanday joylashganligini aniqlashdan boshlaymiz.
Aytaylik, P0 nuqtadan o’tuvchi sath sirti
F  x, y , z   c0
yoki F  x, y, z   c0  0 (12)
bo’lsin. l egri chiziq esa (12) sirtda yotuvchi va P0 nuqtadan o’tuvchi egri chiziq
bo’lib, uning tenglamasi
 x  x t 

 y  y  t  parametrik ko’rinishda berilgan bo’lsin. Bunda

 z  z t 
x t  , y t  , z t 
–
differensiallanuvchi funksiyalar va x0  x  t0  , y0  y  t0  , z0  z  t0  . Bu chiziq sirtda
yotgani uchun F  x  t  , y  t  , z  t   c0  0 bo’ladi. Bu tenglikda t parametr bo’yicha
differensiallab, quyidagini hosil qilamiz:
F
F
F
 x  t  
y  t  
z  t   0 .
x
y
z
Agar t  t0 desak, unda
Fx  x0 , y0 , z0   x  t0   Fy  x0 , y0 , z0   y  t0   Fz  x0 , y0 , z0   z   t0   0
bo’ladi. Bu tenglikni chap tomoni ikkita
r
r
r
grad F  P0   Fx  x0 , y0 , z0   i  Fy  x0 , y0 , z0   j  Fz  x0 , y0 , z0   k
va
ur
r
r
r
r  t0   x  t0   i  y  t0   j  z t0   k
vektorlarning skalyar ko’paytmasiga teng.
ur
r   t0  vektor L egri chiziqning urinmasi bo’ylab yo’nalgan.
24
ur
Demak, grad u  P0   r t0   0 (13). Agar grad u  P0   0 bo’lsa, unda (13)ur
tenglikka ko’ra grad u  P0   r   t0  bo’ladi.Egri chiziq ixtiyoriy bo’lgani uchun
grad u  P0 
vektor sirtning sath sirti ustidagi P0 nuqtasiga o’tkazilgan barcha
urinmalariga perpendikulyar bo’ladi.[6]
Demak, biz quyidagi teoremani isbotladik.
Teorema-6. Tekislikda aniqlangan differensiallanuvchi funksiyalar gradiyent
chiziqlari sath chiziqlariga perpendikulyar bo’ladi.
Ta’rif-13. Funksiyaning gradiyent vektorining uzunligi har bir sath sirtida
o’zgarmas bo’lsa, bu funksiya metrik funksiya deyiladi.
Misol. Ushbu f  x, y   x 2  y 2 qoida bilan aniqlangan f : R2  R1 funksiyani
qaraymiz. Funksiyaning sath sirti x2  y 2  c dan iborat. Bu funksiya metrik funksiya
bo’ladi, chunki grad f  2 x, 2 y . Bundan
grad f
2
 4x2  4 y 2  2 x2  y 2  2 c
o’zgarmas bo’ladi.
Teorema-7. Aytaylik,
f :   R1
metrik funksiya bo’lsin. U holda bu
funksiyaning har bir gradiyent chizig’i  sirtda yotuvchi geodezik chiziq bo’ladi.
Teorema-8. Metrik funksiyalar har bir gradiyent chizig’ining egriligi nolga
teng bo’ladi.
Natija. Agar f metrik funksiya kritik nuqtalarga ega bo’lmasa, u holda har
bir gradiyent chiziq to’g’ri chiziq bo’ladi.
Endi biz differensiallanuvchi funksiyalarning gradiyent chiziqlarini topamiz va
ularning grafiklarini chizamiz.
1-misol.
u  x, y   x 2  y 2
chiziqlarini toping.
differensiallanuvchi
funksiyaning
gradiyent
25
Yechish. Bu funksiyaning gradiyentlarini topamiz va quyidagi sistemani tuzib
 x& 2 x
dx
dx
olamiz: 
sistemani yechimini topamiz:
 2x 
 2dt  ln x  2t  x 0
dt
x
 y& 2 y
 x  x0et
y
 y  0 x.

t
x0
 y  y0e
Demak, bu funksiyaning gradiyent chiziqlari y 
ekan. Agar k 
y0
x chiziqlar oilasidan iborat
x0
y0
deb belgilash kiritsak, berilgan funksiyaning gradiyent chiziqlari
x0
koordinatalar boshidan o’tuvchi y = kx to’g’ri chiziqlarda yotuvchi to’g’ri chiziq
qismlaridan iborat bo’ladi.
2-misol. Quyidagi differensiallanuvchi funksiyaning gradiyent chiziqlarini toping:
u( x, y)  x 2  y 2 . Bu misolni ham yuqoridagi tartibda bajaramiz:
2t

 x& 2 x
x y
 x  e x0
 
 y 0 0 .


2
t
x
 y& 2 y

 y  e y0
Bu funksiya gradiyent chiziqlari
y
x0 y0
x
tenglama bilan aniqlanadigan
chiziqlar oilasidan iborat.
3-misol. Quyidagi differensiallanuvchi funksiyaning gradiyent chiziqlarini
toping:
u ( x, y) 
y
.
x2
Buning uchun gradiyent sistemani tuzib olamiz va uni yechamiz:
2y

 x&  x 3

 y& 1

x2
dy 1
x3
x
 2

dx x  2 y 
2y
1
y2
x2
y 2 x2
ydy   xdx 
  C    C
2
2
4
2
4
26
Javob: funksiya gradiyenti y 2 
oilasidan iborat.
x2
 C tenglama bilan aniqlanadigan chiziqlar
2
27
XULOSA
Differensial geometriya kursida chiziqlar va sirtlarning lokal xossalari
differensiallanuvchi
funksiyalar
yordamida
o’rganiladi.
O’z
navbatida
funksiyalarning sath sirtlari va gradiyent chiziqlari sirtlar geometriyasini o’rganishda
muhim
rol
o’ynaydi.
Mazkur
bitiruv
malakaviy
ishi
differensiallanuvchi
funksiyalarning gradiyent chiziqlarining xossalarini o’rganishga bag’ishlangan. Unda
funksiya differensiallanuvchi funksiyalar sath sirtlari va gradiyent chiziqlari orasidagi
bog’lanish, ixtiyoriy metrik funksiyaning gradiyent chiziqlarining egriligi nolga teng
bo’lishi va boshqa xossalari o’rganilgan, hamda misollar orqali batafsil yoritilgan.
28
Foydalanilgan adabiyotlar.
1.
И. А. Каримов “Юксак маънавият-енгилмас куч”, Тошкент-2009
2.
И. А. Каримов
“Баркамол авлод- Узбекистон тараккиетининг
пойдевори”, Тошкент-2009
3.
И. В. Белко, А. А. Бурдун “Дифференциальная геометрия” Москва
“Наука”
4.
М. А. Собиров ва А. Е. Юсупов “Дифференциал геометрия курси”.
Тошкент-1965
5.
А. С. Феденко “Сборник задач по дифференциальной геометрии”
Москва “Наука”-1979
6.
Т.Т.Туйчиев,
А.С.Бедарев
“Анализнинг
танланган
Тошкент-2010
7.
А.Я.Нарманов “Дифференциал геометрия” Тошкент-2003
боблари”