MECÁNICA DE FLUIDOS
V SEMESTRE
Dr. Ing. Alejandro Hidalgo Valdivia
Escuela Profesional de Ingeniería Civil
1
SEGUNDA UNIDAD: ESTÁTICA DE LOS FLUIDOS – PARTE 3
ESTABILIDAD DE LOS CUERPOS SUMERGIDOS, FLOTANTES.
EQUILIBRIO RELATIVO
MECÁNICA DE FLUIDOS (V SEMESTRE)
Docente: Dr. Ing. Alejandro Hidalgo Valdivia
ahidalgo@ucsm.edu.pe
2-2
2
1
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EN CONCORDANCIA CON LO DISPUESTO POR LA LEGISLACIÓN SOBRE DERECHOS DE
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D.L. N° 822. MODIFICADO POR EL ARTÍCULO ÚNICO DE LA LEY N° 30276
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indirectamente fines de lucro”.
2-3
3
2.12 ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES Y SUMERGIDOS
a) Estabilidad
E
C
G
La estabilidad de un cuerpo parcialmente o totalmente sumergido es de dos tipos:
ESTABILIDAD LINEAL:
➢ Inicialmente está en equilibrio
➢ Se pone de manifiesto cuando desplazamos el cuerpo verticalmente hacia
arriba o hacia abajo.
➢ Si el bloque es desplazado verticalmente hacia abajo debido a la acción de
una fuerza F, aumenta el empuje (fuerza de flotación) en la misma
proporción que aumenta el volumen sumergido.
➢ Como se rompe el equilibrio existente entre la fuerza de flotación y el peso
del cuerpo (FB ≠W), aparece una fuerza restauradora de dirección vertical y
sentido hacia arriba, que hace que el cuerpo regrese a su posición original,
restableciendo así el equilibrio. Esto al dejar de actuar F.
➢ En este caso el centro de gravedad y el de flotación permanecen en la misma
línea vertical.
➢ Lo mismo ocurre si la Fuerza F actúa hacia arriba.
W
TAMBURRINO A., NIÑO Y. “CI3101 Mecánica de Fluidos” UNIVERSIDAD DE CHILE. DPTO. DE ING. CIVIL. DIVISIÓN DE RECURSOS HÍDRICOSY MEDIO AMBIENTE.
https://www.google.com.pe/webhp?ie=UTF-8&rct=j#q=estabilidad+de+cuerpos+sumergidos&*
2-4
4
2
a) Estabilidad
La estabilidad de un cuerpo parcialmente o totalmente sumergido es de dos tipos:
ESTABILIDAD ROTACIONAL: este tipo de estabilidad se pone de manifiesto cuando el cuerpo sufre
un desplazamiento angular. En este caso, el centro de flotación y el centro de gravedad no permanecen
sobre la misma línea vertical, por lo que la fuerza de flotación y el peso no son colineales provocando la
aparición de un par de fuerzas restauradoras. El efecto que tiene dicho par de fuerzas sobre la posición del
cuerpo determinara el tipo de equilibrio del sistema.
MOTT, R. (1996). Mecánica de Fluidos Aplicada. Cuarta edición. México: Ed. Perason S.A. ítem 5.4 p. 125
MOTT, R., UNTENER J. (2015). Mecánica de Fluidos Aplicada. Séptima edición. México: Ed. Perason S.A. ítem 5.4 p. 102
2-5
5
a) Estabilidad de cuerpos sumergidos
La estabilidad de un cuerpo totalmente sumergido es de tres tipos:
Equilibrio estable: cuando el par de fuerzas restauradoras devuelve el cuerpo a su posición original.
Esto se produce cuando el cuerpo tiene mayor densidad en la parte inferior del mismo, de manera que el
centro de gravedad se encuentra por debajo del centro de flotación.
Equilibrio Estable
 CF ubicado sobre CG
2-6
http://fcm.ens.uabc.mx/~fisica/FISICA_II/APUNTES/ESTABILIDAD.htm
6
3
b) Estabilidad de cuerpos sumergidos
Equilibrio inestable: cuando el par de fuerzas tiende a aumentar el desplazamiento angular producido.
Esto ocurre cuando el cuerpo tiene mayor densidad en la parte superior del cuerpo, de manera que el
centro de gravedad se encuentra por encima del centro de flotación.
Equilibrio Inestable
 CG ubicado sobre CF
2-7
http://fcm.ens.uabc.mx/~fisica/FISICA_II/APUNTES/ESTABILIDAD.htm
7
b) Estabilidad de cuerpos sumergidos
Equilibrio neutro: cuando no aparece ningún par de fuerzas restauradoras a pesar de haberse producido
un desplazamiento angular. Podemos encontrar este tipo de equilibrio en cuerpos cuya distribución de
masas es homogénea, de manera que el centro de gravedad y el centro de flotación coinciden.
Equilibrio Neutro  CF coincide con CG
2-8
http://fcm.ens.uabc.mx/~fisica/FISICA_II/APUNTES/ESTABILIDAD.htm
8
4
c) Estabilidad de cuerpos flotantes
1. La posición inicial de flotación se calcula con la Ec. 2,36 (FB = γ (Volumen Desplazado)). Se calculan asimismo el centro
de gravedad G y el de flotación B.
2. Se desvía al cuerpo un pequeño ángulo Δθ apareciendo una nueva línea de flotación. Se calcula el nuevo centro de
flotación B´. La vertical trazada desde B´ corta a la línea de simetría en M, denominado METACENTRO.
3. Sí M está por encima de G, es decir MG = altura metacéntrica es > 0 es ESTABLE
Sí M está por debajo de G, es decir MG = altura metacéntrica es < 0 es INESTABLE
Sí M coincide con G, es decir MG = altura metacéntrica es = 0 es INDIFERENTE
2-9
WHITE Frank M. (2008). Mecánica de Fluidos. Sexta edición. España: McGraw Hill /Interamericana.A. pp. 92-95
9
Rotación alrededor del eje y, balanceo y
rotación alrededor del eje x cabeceo.
Δ
θ
c
o
d
G
w
X
e
Línea de flotación
F
Centroide en
el eje y
XG =0
B
Volúmenes iguales y
centroides iguales c/r al eje
Y (+ XG= +X - XG = -X)
VOLUMEN SUMERGIDO ES
aobdea = codea + obd - coa
2 - 10
WHITE Frank M. (2008). Mecánica de Fluidos. Sexta edición. España: McGraw Hill /Interamericana.A. pp. 93-94
10
5
c) Estabilidad de cuerpos flotantes
Línea de flotación
Rotación alrededor
del eje y, balanceo y
rotación alrededor
del eje x cabeceo.
Distancia que se traslada FB
SISTEMA FUERZA (FB) – PAR (C)
Como FB es ┴ a C se reduce a una sóla FB, actúa en B´
2 - 11
SHAMES, Irving H. (1997). Mecánica de Fluidos. Colombia: McGraw Hill Interamericana, S.A. Cap. 3 pp. 84-87
11
2 - 12
12
6
MB = MG + BG
Por geometría y trigonometría
MG = MB - BG
❖ Si M se localiza encima de G, se genera un par que rota en sentido horario y la rotación Δθ es sentido
antihorario, es decir, se genera un PAR RESTAURADOR, es ESTABLE.
❖ El par restaurador está en función de MG (altura metacéntrica), entonces ésta distancia define un criterio de
estabilidad.
❖ La distancia entre BG, se obtiene geométricamente.
❖ Debemos encontrar el valor de la distancia MB, que es una función de δ y a su vez es una función de C
FB  − C = 0
Distancia que se traslada FB
 =
C
FB
2 - 13
SHAMES, Irving H. (1997). Mecánica de Fluidos. Colombia: McGraw Hill Interamericana, S.A. Cap. 3 pp. 84-87
13
Cálculo de “C”
❖ El par “C” puede determinarse tomando momentos con respecto al eje Y, como una distribución de fuerzas
extendida a toda la sección transversal al nivel de la superficie libre (línea de flotación), designando al área
de ésta sección com ASL.
C =  x df =  x ( d) =  x ( x  dA) =

x 2  dA =  
ASL
x
2
dA
C =   I Y
=
C   I Y
=
W
W
MB =
MB =

sen
 IY
W
=
 IY

W sen
lim  → 0

=1
sen
Δθ → 0, Significa que el barco vuelve a su posición original
2 - 14
SHAMES, Irving H. (1997). Mecánica de Fluidos. Colombia: McGraw Hill Interamericana, S.A. Cap. 3 pp. 84-87
14
7
c) Estabilidad de cuerpos flotantes
En resumen, cuando el Metacentro:
෍ 𝐹𝑉 = 0
𝑊 = 𝐹𝑏 = 𝛾 𝑉𝑠𝑢𝑚𝑒𝑟𝑔𝑖𝑑𝑜
𝑊
𝑉𝑠𝑢𝑚𝑒𝑟𝑔𝑖𝑑𝑜 =
𝛾
𝐼𝑌
𝛾 𝐼𝑌
𝑀𝐵 =
=
𝑉𝑠𝑢𝑚𝑒𝑟𝑔𝑖𝑑𝑜
𝑊
1. M se encuentra por encima del centro de gravedad CG, el
cuerpo presenta equilibrio estable.
2. M se encuentra por debajo de CG el equilibrio es inestable,
3. coincide con CG, esta en equilibrio neutro.
MG = MB − BG
 IYY
MG =
−l
W
Sí MG < 0, es inestable
MG: la distancia entre el metacentro y el centro de gravedad se
conoce como "ALTURA METACENTRICA" y es una
medida directa de la estabilidad del cuerpo.
IY: es el momento de inercia de la sección horizontal del cuerpo
flotante (S.T. a nivel de superficie libre)
Sí MG > 0, es estable
Sí MG = 0, es neutro
2 - 15
SHAMES, Irving H. (1997). Mecánica de Fluidos. Colombia: McGraw Hill Interamericana, S.A. Cap. 3 pp. 84-87
15
2 - 16
WHITE Frank M. (2009). Mecánica de Fluidos. Septima edición. España: McGraw Hill /Interamericana.A. p. 96
16
8
2 - 17
SHAMES, Irving H. (1997). Mecánica de Fluidos. Colombia: McGraw Hill Interamericana, S.A. Cap. 3 p. 87
17
2 - 18
SHAMES, Irving H. (1997). Mecánica de Fluidos. Colombia: McGraw Hill Interamericana, S.A. Cap. 3 p. 87
18
9
2 - 19
SHAMES, Irving H. (1997). Mecánica de Fluidos. Colombia: McGraw Hill Interamericana, S.A. Cap. 3 p. 87
19
2.13 EQUILIBRIO RELATIVO. DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES EN MOVIMIENTO COMO SÓLIDO RÍGIDO
E1 movimiento de un fluido como un cuerpo rígido, comporta que éste se mueva
en todo su conjunto sin deformación, por tanto si no existe deformación no actúan
fuerzas superficiales de corte (o tangenciales), por lo que el único tipo de fuerza
superficial que existe son las fuerzas normales o fuerzas de presión.
→
→
f = f
→
pres
→
→
+ f grav + f visc =  a

Fuerzas que componenF :
• Fuerzas superficiales; debidas a presión

• Fuerzas másicas;debidas a campof m
Para el caso de condición hidrostática, los esfuerzos viscosos y la aceleración
son nulos
→
f
→
→
visc
=0
→
- P +  g =  a
Ec. del movimiento
→
f
→
pres
= − P ;
→
→
f grav =  g
→
→
→
 → →
P=  g − a = g − a 


P → P → P →
i+
j+
k=
x
y
z
→
→


 g − a
2 - 20
WHITE Frank M. (2008). Mecánica de Fluidos. Sexta edición. España: McGraw Hill /Interamericana.A. pp. 95-103
20
10
→
 → →
P=  g − a 




❖ El gradiente de presiones actúa en la “g-a” y las líneas de presión constante (incluyendo la superficie libre,
de existir) son perpendiculares a ésta dirección.
❖ Los fluidos rara vez presentan movimiento como sólidos rígidos, a no ser que permanezcan confinados por
paredes durante largo tiempo.
❖ Si el agua tiene un movimiento acelerado como sólido rígido, por lo menos podemos saber la distribución de
presiones en el depósito.
❖ En este tema se discutirá acerca de la distribución de presiones en depósitos que se aceleran.
2 - 21
WHITE Frank M. (2008). Mecánica de Fluidos. Sexta edición. España: McGraw Hill /Interamericana.A. p. 96
21
→
 → →
P=  g − a 




2 - 22
WHITE Frank M. (2008). Mecánica de Fluidos. Sexta edición. España: McGraw Hill /Interamericana.A. p. 96
22
11
Fluido con aceleración lineal uniforme
Es un caso particular de un movimiento de un
fluido como un sólido rígido. Es el caso que
tengamos un fluido sometido a una aceleración
constante en una dirección cualquiera.
Es decir:
a = (ax , ay , az = 0) , g = (0, -g , 0)
→
P=  g− a
→
→
→
 P=− g j −  a
→
→
→
P → P → P →
i +
j+
k =− g j −  a i −  a j
x
y
x
y
z
P
= −a
x
x
P


= − g −  a =−  g +a 
y
y
y

 P 
 P 
 P 
dp =   dx +   dy +   dz

y
 x 
 z 
 
(
dp = −  a
)




x dx +  −   g + a y   dy


x dx −   g + a y  dy
a 


y

p = − a x −  1 +
 y + c
x

g
g


dp = −  a
2 - 23
STREETER, Víctor y Otros (2000). Mecánica de Fluidos. Novena edición. P. 71 - 72
23
Fluido con aceleración lineal uniforme
p=−

a x −
g x
a 

y

1 + g  y + c


Para determinar la constante “ c “, ubicamos el origen de coordenadas dentro del fluido, x = 0, y = 0 y p = p1
p = p1 −

a x −
g x
STREETER, Víctor y Otros (2000). Mecánica de Fluidos. Novena edición. P. 71 - 72
a 

y

1
+

 y
g


2 - 24
24
12
Fluido con aceleración lineal uniforme
Por otra parte cuando p = 0, significa que no hay variación de presión; por lo tanto nos indicarán las líneas de
isopresión :
a 


y

0 = p1 − a x −  1 +
y

x


g
g 

 a

y =− x  x +
 ay + g 


p1

a 

y

1 + g 


 a

m = tg  = −  x 
 ay + g 


Esto significa que las superficies
de isopresión son rectas y tienen
como pendiente.
2 - 25
STREETER, Víctor y Otros (2000). Mecánica de Fluidos. Novena edición. P. 71 - 72
25
Fluido con velocidad angular constante: Rotación
→
P=  g− a
→
→
→
 P=− g j −  a
Otro caso particular es el de un recipiente
con líquido que gira a una velocidad
angular constante.
Si el movimiento dura algún tiempo, el
fluido gira como un sólido rígido.
Es decir: a = (ar , aθ , az = 0)= (- ω2 r, 0, 0)
→
→
→
P → P → P →
ur +
u +
j =− g j −  a u −  a u
r
r


r

y
P
P
= −  a = −  (− 2r ) =   2r
= 0
r
r

P
= − g
y
Z
 P 
 P 
 P 
dp =   dr +   d +   dy

r


 
 
 y 
h
1
1

  2r dr −  g dy

dp =  2r dr −  dy
dp =
r
En algunos textos se
considera el eje vertical
Z, implica sólo cambiar
STREETER, Víctor y Otros (2000). Mecánica de Fluidos. Novena edición. P. 74 a 76
g
p=

2g
 2r 2 −  y + c
2 - 26
26
13
Fluido con velocidad angular constante
p=

2g
 2r 2 −  y + c
Para determinar la constante “ c “, ubicamos el origen de coordenadas dentro
del fluido, r = 0, y = 0 y p = p1
1
p = p1 +
r

2g
 2r 2 −  y
Si en particular se selecciona el plano horizontal pase por el punto mas bajo de la superficie libre, y = 0 y p 1 = 0, es
decir medir la presión a partir del eje r hasta la S.L., lo que indica una altura de presión
p=
r
p


2g
 2r 2
=h=
 2r 2
2g
2 - 27
STREETER, Víctor y Otros (2000). Mecánica de Fluidos. Novena edición. P. 74 a 76
27
Fluido con velocidad angular constante
Líneas de presión
cero
p

Z
h

r
2r 2

=h=
2g
La altura de presión varía con el
cuadrado del radio, resultando
así que las superficies de
isopresión son Paraboloides de
Revolución
Si en particular se selecciona el plano horizontal pase por el punto mas bajo de la superficie libre, y = 0 y p 1 = 0,
es decir medir la presión a partir del eje r hasta la S.L., lo que indica una altura de presión
STREETER, Víctor y Otros (2000). Mecánica de Fluidos. Novena edición. P. 74 a 76
2 - 28
28
14
Caso de un fluido dentro de un recipiente en movimiento rotativo
h
ho
C
B
D
A
h1
Volumen constante
Volumen constante
O
R
R
En el caso de un líquido que presente una superficie libre dentro de un
recipiente en movimiento rotativo, el volumen de fluido bajo la superficie
libre en forma de paraboloide de revolución es igual al volumen que se
tenía cuando no existía movimiento,
La forma (concavidad) del paraboloide depende únicamente de la velocidad
angular.
2 - 29
29
Caso de un fluido dentro de un recipiente en movimiento rotativo
De acuerdo a la anotación anterior se tiene:
Volumen inicial = Vo = π R2 ho
Volumen Bajo la Superficie Libre = VCDABOC = V1
Pero:
V1 = Volumen Cilindro – Volumen Paraboloide
V1 = π R2 h – ½ π R2 h = ½ π R2 h
Vo = V1
π R2 ho = ½ π R2 h
ho = ½ h
h = ho + h1
h1 = ½ h
Resulta entonces que el líquido asciende por la pared del cilindro la misma distancia que el centro se deprime,
pudiéndose ubicar el vértice una vez conocidos ω, R y el nivel original del líquido
2 - 30
30
15
Ejemplo 2.16 y 2.17
STREETER, Víctor y Otros (2000). Mecánica de Fluidos. Novena edición. pp. 73 - 74
2 - 31
31
STREETER, Víctor y Otros (2000). Mecánica de Fluidos. Novena edición. pp. 73 - 74
2 - 32
32
16
Ejemplo 2.18
STREETER, Víctor y Otros (2000). Mecánica de Fluidos. Novena edición. pp. 76 - 77
2 - 33
33
STREETER, Víctor y Otros (2000). Mecánica de Fluidos. Novena edición. pp. 76 - 77
2 - 34
34
17
STREETER, Víctor y Otros (2000). Mecánica de Fluidos. Novena edición. pp. 77
2 - 35
35
2 - 36
WHITE Frank M. (2008). Mecánica de Fluidos. Sexta edición. España: McGraw Hill /Interamericana.A. pp. 96-97
36
18
2 - 37
WHITE Frank M. (2008). Mecánica de Fluidos. Sexta edición. España: McGraw Hill /Interamericana.A. pp. 99-100
37
2 - 38
WHITE Frank M. (2008). Mecánica de Fluidos. Sexta edición. España: McGraw Hill /Interamericana.A. pp. 99-100
38
19
2 - 39
WHITE Frank M. (2008). Mecánica de Fluidos. Sexta edición. España: McGraw Hill /Interamericana.A. pp. 100-101
39
2 - 40
WHITE Frank M. (2008). Mecánica de Fluidos. Sexta edición. España: McGraw Hill /Interamericana.A. pp. 100-101
40
20