МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное
образовательное учреждение высшего образования
«Национальный исследовательский
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»
Е.В. Круглов
Е.А. Таланова
Основные методы вычисления интегралов
Учебно-методическое пособие
Рекомендовано методической комиссией института экономики и
предпринимательства для студентов ННГУ, обучающихся по направлению
подготовки 38.03.05 «Бизнес-информатика» (бакалавриат).
Нижний Новгород
2019
УДК 517
ББК 22.161.1
К 84
К 84 Круглов Е.В., Таланова Е.А. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
ИНТЕГРАЛОВ: Учебно-методическое пособие. – Нижний Новгород:
Нижегородский госуниверситет, 2019. –50 с.
Рецензент: д.ф.-м.н., доцент А.В.Калинин
Учебно-методическое пособие, раскрывающее тему «Интегральное исчисление
функции одного переменного» дисциплины «Математический анализ»,
предназначено для студентов института экономики и предпринимательства
ННГУ, обучающихся по направлению подготовки бакалавриата
38.03.05 «Бизнес-информатика»
Ответственный за выпуск:
председатель методической комиссии ИЭП ННГУ,
к.э.н., доцент Едемская С.В..
УДК 517
ББК 22.161.1
© Национальный исследовательский
Нижегородский государственный
университет им. Н.И. Лобачевского,
2019
Содержание
Введение
5
1. Справочные сведения
6
1.1. Первообразная и неопределенный интеграл
1.2. Свойства неопределенного интеграла
1.3. Таблица основных интегралов
2. Основные методы интегрирования
6
7
9
11
2.1. Непосредственное интегрирование
2.2. Интегрирование методом замены переменной
(метод подстановки)
2.3. Интегрирование по частям
2.4. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
2.5. Интегрирование рациональных выражений
2.6. Интегрирование некоторых иррациональных выражений
2.7. Интегрирование тригонометрических выражений
3. Определенный интеграл
11
13
15
19
22
27
29
32
3.1. Задача о площади криволинейной трапеции
3.2. Понятие определѐнного интеграла
3.3. Некоторые свойства определѐнного интеграла
3.4. Замена переменной в определенном интеграле
3.5. Применение определенного интеграла
3.5.1. Площадь плоской фигуры
3.5.2. Вычисление объемов тел вращения
3.5.3. Длина дуги кривой
32
33
34
35
36
36
39
41
4. Вопросы для самоконтроля
43
5. Задания для контрольных работ
44
5.1. Задания к контрольной работе №1
5.2. Задания к контрольной работе №2
3
44
45
5.3. Задания к контрольной работе №3
46
5.4. Литература
49
4
Введение
Данное учебно-методическое пособие предназначено для студентов
очной формы обучения, изучающих математику по учебной программе
дисциплины «Математический анализ», составленной в соответствии с
требованиями ФГОС ВО с учетом рекомендаций и ОПОП ВО по направлению
«Бизнес-информатика». Пособие направлено на формирование компетенции
ПК-18 «Способность использовать соответствующий математический аппарат и
инструментальные средства для обработки, анализа и систематизации
информации по теме исследования».
В учебном пособии рассматриваются приемы и методы интегрирования и
содержатся основные теоретические сведения: понятия, определения и
теоремы, необходимые для вычисления интегралов. В данном пособии имеется
достаточное количество как разобранных примеров, так и примеров для
самостоятельного решения. Завершают материал задания для контрольных
работ по теме «Интегралы».
5
1. Справочные сведения
1.1.Первообразная и неопределенный интеграл.
Одной из основных задач дифференциального исчисления является
нахождение производной или дифференциала от заданной функции
F x0  x   F x0 
 f ( x) или dF ( x)  F ( x)dx  f ( x)dx.
x 0
x
F x0   lim
В интегральном исчислении основной является обратная задача – отыскание
функции F (x) по заданной еѐ производной f (x) или дифференциалу f ( x)dx . То
есть, для данной функции f (x) надо найти такую функцию F (x) , что
F ( x)  f ( x) или dF ( x)  f ( x)dx.
Определение 1. Пусть в некотором промежутке X задана функция f (x) .
Функция F (x) , производная которой во всех точках промежутка X равна f (x) ,
то есть F ( x)  f ( x) (или, что то же самое, dF ( x)  f ( x)dx ), называется
первообразной по отношению к f (x) на промежутке X.
Примеры:
1) для функции f ( x)  2 x первообразной является функция F ( x )  x 2 ;
2) для функции f ( x)  cos x первообразной является функция F ( x)  sin x .
Однако функция F ( x)  x 2  3 также будет первообразной для функции
f ( x)  2 x , а F ( x)  sin x  100 будет первообразной для f ( x)  cos x .
В связи с этими рассуждениями возникают следующие вопросы:
1) всегда ли можно найти первообразную; 2) сколько их; 3) как их находить?
Ответ на первый вопрос дает
Теорема. Всякая непрерывная на промежутке X функция f (x) имеет
первообразную.
Эта теорема доказана, например, в книге [8].
На второй вопрос отвечает
Лемма (основная лемма интегрального исчисления). 1) Если F (x) есть какая-то
первообразная для функции f (x) на промежутке X , то при любой постоянной
C все функции F ( x)  C также являются первообразными, причем
2) любая другая первообразная той же функции Ф(x) отличается от F (x) на
некоторую постоянную C , то есть Ф( x)  F ( x)  C .
Доказательство.
6
1) Так как F ( x)  f ( x) , то ( F ( x)  С )  F ( x)  C   f ( x) .
2) пусть Ф(x) тоже является первообразной для f (x) , то есть Ф( x)  f ( x).
Имеем:
(Ф( x)  F ( x))  Ф( x)  F ( x)  f ( x)  f ( x)  0.
Следовательно (Ф( x)  F ( x)  C  const , так что Ф( x)  F ( x)  C .
Определение 2.Выражение F ( x)  C , C  const , содержащее все функции,
производные которых совпадают с f (x) на промежутке X , называется
неопределенным интегралом от функции f (x) на промежутке X и
обозначается символом  f ( x)dx.
Таким образом, по определению  f ( x)dx  F ( x)  C , где F ( x)  f ( x) ,
x  XC  const.
При этом f (x) называется подынтегральной функцией, f ( x)dx
подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, символ –
знаком интеграла.
Подчеркнем, что неопределенный интеграл - это не функция, а множество
(семейство) функций F ( x)  C ; они отличаются друг от друга на постоянное
слагаемое. Поэтому иногда возникают недоразумения, когда при разных
способах вычисления интеграла получаются разные выражения, а
произвольную постоянную обозначают одной и той же буквой. То есть, если
f ( x)  g ( x) , то нельзя утверждать, что для их первообразных F (x) и G(x)
сохраняется F ( x)  G( x) , где G(x) - первообразная для g (x) ; однако,
существует C1  const такая, что G( x)  F ( x)  C1 . При этом
 f ( x)dx   g ( x)dx - это есть равенство (совпадение) двух множеств функций:
C , C2 , такая, что F ( x)  C  G( x)  C2 или наоборот C2 , C .
Употребляется также запись   ( x)u ( x)dx    ( x)d (u( x)) . В этом случае
говорят, что здесь произведено "внесение функции под знак дифференциала":
u( x)dx  d (u( x)) . Например, 1 dx  d (ln x) x  0 или sin xdx  d (cos x) .
x
Нахождение первообразной и вместе с тем неопределенного интеграла от
данной функции f (x) называется интегрированием функции f (x) . Это есть
операция, обратная дифференцированию. Следовательно, результат
интегрирования можем проверить дифференцированием.
1.2.Свойства неопределенного интеграла
Исходя из определения, получаем следующие простейшие свойства
неопределенных интегралов, которые позволяют их вычислять:
7



1. Если функция f (x) имеет первообразную, то  f ( x)dx  f ( x)
d
 f ( x)dx  f ( x) dx
.
2. Если f (x) – дифференцируемая функция, то
 d f ( x )  f ( x)  C
,а
 f ( x)dx  f ( x)  C.
.
3. Если функции f (x) и g (x) имеют первообразные на некотором
промежутке, то функция f ( x)  g ( x) также имеет первообразную на этом
промежутке, причем   f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx.
4. Если f (x) имеет первообразную, и
a R , то функция af (x) также
имеет первообразную, причем при a  0 верно равенство  a f ( x)  a  f ( x)dx .
5.   Af ( x)  Bg( x)dx  A   f ( x)dx  B   g ( x)dx, A  B  0.
Доказательство третьего и четвертого свойств основано непосредственно на
определении 2.
Пусть F (x) и G(x) - первообразные для функций соответственно f (x)
и g (x) : F ( x)  f ( x) , G( x)  g ( x) . Тогда
F ( x)  G( x)  F ( x)  G( x)  f ( x)  g ( x)

и aF ( x)  aF ( x)  af ( x) . Поэтому:
а)   f ( x)  g ( x)dx  F ( x)  G( x)  C , C  const ,
 f ( x)dx   g ( x)dx  F ( x)  C1   G( x)  C2   F ( x)  G( x)  C , где
C  C1  C2 - произвольная постоянная (вместе с C1 и C 2 ). Результаты
совпадают.
б) аналогично:
 a f ( x)  aF ( x)  C , C  const ,
a  f ( x)  a( F ( x)  C1 )  aF ( x)  C , C  aC1 - произвольная постоянная
(вместе с C1 ), так как a  0 .
Свойство 5 называется свойством линейности. Оно следует из свойств 3 и 4,
которые, в свою очередь, являются его частными случаями.
6. Если  f ( x)dx  F ( x)  C и u  u(x) - какая-либо непрерывно
дифференцируемая функция от x , то
 f (u( x))u( x)dx  F (u( x))  C
,
(1.2.1)
то есть
 f (u( x))d (u( x))   f (u)du
.
(1.2.2)
8
Доказательство.
Дано: F ( x)  f ( x) . По правилу дифференцирования сложной функции имеем
F (u( x))  Fu(u( x))  u( x)  f (u( x))  u( x) - это есть подынтегральная функция в
формуле (1.2.1), а F (u( x)) - еѐ первообразная. Следовательно, формула верна.
Говорят: в интегралах, стоящих слева в формулах (1.2.1) и (1.2.2), произвели
замену переменной интегрирования по формуле u  u (x) , приводящей к
интегралу в правой части формулы (2), который равен F (u)  C .
1.3.Таблица основных интегралов
Пользуясь сказанным выше, составим таблицу неопределенных интегралов.
Для нижеследующих пунктов 1-10 это означает всего лишь «обратить»
таблицу производных.
Пусть u  u(x) - какая-либо функция от x , в частности, возможно u  x (то
есть u – независимая переменная)
1.
 0  du  С .
n
2. а)  u du 
3.
du
u
u n 1
 С n  1 ;
n 1
 ln | u | С .
au
 С , a  0, a  1 ;
4. а)  a du 
ln a
u
5.
6.
б)  du  u  С .

u
u
б) e du  e  С .
 sin udu   cosu  С .
 cosudu  sin u  С .
du
 cos2 u  tg u  С .
du
  ctg u  С .
8. 
sin 2 u
du
 arcsin u  С ;
9. а) 
2
1 u
7.
б) 
du
u
 arcsin  С , a  0 .
a
a2  u2
10.а)
du
du
1
u

arctg
u

С

arctg
;
б)
 u2 1
 u 2  a 2 a a  С, a  0 .
11.
u
2
du
1 ua

ln
 С, a  0 .
2
2a u  a
a
9
du
12.

13.
 tgudu   ln cosu  С .
 ctgudu  ln sin u  С .
14.
15.
16.
17.
18.
u a
2
2
 ln u  u 2  a 2  С , a  0 .
 shudu  chu  С .
 chudu  shu  С .
du
 ch2u  thu  С .
du
 sh 2u  cthu  С .
10
2. Основные методы интегрирования
2.1. Непосредственное интегрирование
Метод непосредственного интегрирования связан с приведением
подынтегрального выражения к табличной форме путем преобразований и
применения свойств неопределѐнного интеграла.
Примеры
x4
x3
3
2
3
2
1)  5 x  4 x  7 dx  5 x dx  4 x dx  7  dx 5  4  7 x  C.
4
3
5
4
x  5x  2 x
2

dx
dx    x 3  5 x 2  dx   x3dx  5 x 2 dx  2 
2) 
2
x
x
x

1
5
 x 4  x 3  2 ln x  C.
4
3
6 
3

1/ 2
3
3
3)   3 x  3  2 dx  3 x dx  6 x dx  2 dx 2 x  2  2 x  C .
x
x




x2
x 2 1 1
1 
dx

dx   1  2 dx   dx   2  x  arctgx  C.
4)  2 dx   2
x 1
x 1
x 1
 x 1
1
dx
2
 dx  tgx  x  C .
5)  tg xdx   ( 2  1)dx  
cos x
cos2 x 

3 sin x
6) найти e
cos xdx
Решение:
Умножим и разделим на 3, чтобы использовать внесение под дифференциал.
Запишем подробно.
1 3 sin x
1 3 sin x
e

3

cos
xdx

e d (3sin x) u  3sin x 


3
3
1
1
1
  eu du  eu  C  e3 sin x  C .
3
3
3
Функцию u  3 sin x внесли здесь под знак дифференциала.
7) найти  cos15xdx
3 sin x
 e cos xdx 
Решение:
Воспользуемся снова внесением под знак дифференциала. Для этого умножим
и разделим интеграл на 15.
1
1
1
 cos15xdx  15 15 cos15xdx  15  cos15xd (15x)  15 sin15x  C .
8)найти
cos x
 2 x dx
Решение:
11
Вспомним, что

1
2 x
dx  d ( x ) . Тогда
cos x
dx   cos x d ( x )  sin x  C .
2 x
9) найти
2 x  1dx
x
2
 x 1
Решение:
Заметим, что числитель дроби равен дифференциалу знаменателя.
2 x  1dx  d ( x 2  x  1)  ln x 2  x  1  C
Следовательно  2
.
x  x  1  x2  x  1
arctgx3 dx  arctgx3d (arctgx)  arctgx4  C
10) 
.

x2  1
4
Примеры для самостоятельного решения:
3
 3
x

1)   x x   dx ;
3 

5
 2
x 2 

dx
2)   x x 
 ;
4


2 5 
 3
 ex  x2 1 



3
dx
 dx ;
 ; 5)  
4)  
2
4
x2
1 x x x 


1  x2
dx ;
7) 
1  x2
2 x
10)  2 cos dx ;
2
3
sin x  8
dx ;
13) 
sin 2 x
cos 2 xdx
16) 
;
sin 2 x  cos2 x
dx
19)  2
;
2 x  5x  7
3  2 x  dx ;
8)  sin x  cos x  dx ;
2
11)
 tgx  ctgx dx ;
2
2  x2
dx ;
14) 
1  x2

25)  2
28)
x
5 x 2 1
x dx ;
 3  2x
7
dx ;
6)

2 x  32 dx
x2
;
sin 3 x  1
dx ;
9) 
sin 2 x
dx
12) 
;
2
sin x  cos2 x
15) 
2x  7
dx ;
x2  9
2
x
 x
18)   sin  cos  dx ;
2
 2
xdx
x3  4x  5
dx ;
20) 
21)  2
;
2
x 4
x 1
x2  3
dx ;
17)  2
x 1
7
22)
 2
5 2
  3  dx ;
3)  
2
 1 x x x 
23)
 e
ex
x
2
dx ;
3

e x 2
dx ;
26) 
2 x
sin x
29)  5 dx ;
cos x
12
24)
27)

x 3 dx
3
2x 4  7
;
dx
 x2 ln x  1 ;
30)
dx
 xln x  6 .
2.2. Интегрирование методом замены переменной (метод подстановки)
Часто бывает так, что предлагаемый для вычисления интеграл не содержится в
таблице интегралов и не сводится к табличным интегралам. Тогда
применяются другие методы интегрирования, одним из которых является
метод замены переменной.
Пусть имеет место неопределенный интеграл  f  ( x)   х dх , где
подынтегральная функция непрерывна. Применив подстановку t   (x) и
вычислив дифференциал dt    х dх , получим
 f  ( x) хdх   f (t) dt
формулу замены переменной в неопределѐнном интеграле.
От выбора удачной подстановки для замены переменной зависит его
сведение к табличному. Общее правило для выбора хорошей подстановки дать
невозможно, но некоторые частные правила для важнейших типов интегралов
даются ниже.
Примеры:
dx
1) 
.
7x  5
Решение:
Обозначим 7 x  5  t . Дифференцируя обе части этого равенства, найдѐм, чему
dt
равно dx , т.е. 7dx  dt  dx  .
7
dx
dt 1 dt 1
1
     ln t  C  ln 7 x  5  C .
Тогда 
7x  5
7t 7 t 7
7
dx
2)  2
.
x  6 x  13
Решение:
Выделим в знаменателе подынтегрального выражения x2  6x  13 полный
квадрат, получим
x2  6 x  13  x2  2  3x  32  32  13  x  32  9  13  x  32  4 , тогда
1
1
x 3  t
dx
dx
dt

arctg
t

C

arctgx  3  C .




 x 2  6x  13  x  32  4 dx  dt t 2  4 2
2
dx
3) 
.
x 1 x
Решение:
13
x t
dx

= x  t2
x 1 x
4) 
2 xdx
.
x4  5
dx  2t dt
=
2t dt
t 1 t
 2
2
dt
1 t
2
 2 arcsint  C  2 arcsin x  C.
Решение:
x2  t
2 xdx
dt
1
t
1
x2
 x 4  5  2 xdx  dt   t 2  5  5 arctg 5  C  5 arctg 5  C.
sin xdx
5) 
.
1  2 cos x
Решение:
1  2 cos x  t
1
1
sin xdx
 2 sin xdx  dt   1 dt   1 t  2 dt   1  2t 2  C  C  t 

 1  2 cos x
1
2 t
2
2
sin x dx   t dt
2
 C  1  2 cos x .


9
4
5
6)  x 2 x  17 dx.
Решение:
2 x 5  17  t

10
5
10 x 4 dx  dt  t 9  1 dt  1 t 9 dt  t  C  2 x  17
x
2
x

17
dx


 10 10 
100
100
1
4
x dx  dt
10
4

5

9
Примеры для самостоятельного решения:
1)  cos2  x  dx ;
4)
e x
 4 x dx ;
7)
dx
1  2 x 3

;
x
2
e 3 dx ;
2)  x 2 sin2 x3 1dx ;
3)
5)  5x  64 dx ;
6)  2  5sin x5 cos xdx ;
8)
e x dx
 7e
x

3
6
;
9)
14


dx
x
sin
7
2
;

10
.
dx
10) 
x
cos
3
;
2
13)  tgx dx ;
16)  e
19) 
sin x
e
cos x dx ;
tgx
cos 2 x
22)  e x
dx ;
e x 1 dx ;


12) 
14)  ctgx dx ;
15)  e x
17) 
3x 2  7
x3  7 x  5
20) 
23)  x
dx ;
dx
;
x ln x
3
x 2  1 dx ;
xdx
;
x 1
dx
ex
; 29) 
dx ;
2x
1  x 2 arctg 2 x
1 e

ex
11)  x  3 x dx ;
25)  cos x sin x 1 dx ; 26) 
28)

4 2
3

1 e
18) 
2x
2 x
dx ;
2x  1dx ;
arcsin 5 x
dx ;
1 x
ln 4 x
dx ;
21) 
x
2
24)  cos5 x  sin x dx ;
dx
27) 
;
x  x  1
30)

sin x
cos4 x
dx .
2.3. Интегрирование по частям
Пусть функции u  u(x) и v  v(x) дифференцируемы м имеют непрерывную
производную на промежутке X . Известно правило дифференцирования
произведения двух функций: (u  v)  u   v  u  v . Тогда u  v  (u  v)  v  u  и
 u  vdx   (u  v)dx   v  udx . Таким образом,
 u  dv  u  v   vdu
(2.3.1)
(произвольная постоянная входит в состав последнего интеграла).
Формула (2.3.1) называется формулой интегрирования по частям. Иногда
бывает, что новый интеграл в правой части формулы (2.3.1) проще исходного.
При этом надо удачно определить, что взять за u и, соответственно, все
остальное за dv .
Необходимо отметить также следующий факт. Несмотря на то, что по
дифференциалу dv  vdx восстанавливается бесконечно много функций, и все
они имеют вид v  A , постоянная A в конечный результат не входит. Это легко
проверить, подставляя v  A в (1), поэтому примем A  0 .
Укажем некоторые группы интегралов, берущихся с помощью формулы
интегрирования по частям.
I группа
ax
Если имеем интегралы вида:  Pn ( x) sin axdx ,  Pn ( x) cos axdx ,  Pn ( x)e dx ,
15
 P ( x)b
n
ax
dx , где Pn (x) - многочлен степени n, то за функцию
u принимаем
многочлен Pn (x) , за dv – оставшееся выражение. Метод интегрирования
применяется n раз.
Примеры:
1)  x sin xdx .
Решение:
Так как данный интеграл относится к группе I, то имеем в предлагаемом
интеграле u  x   x ; тогда dv x   sin xdx , du  x   dx , vx   sin xdx   cos x  C .
Из всей совокупности полученных функций v x  выберем какую-нибудь одну;
пусть, например, C  0 . Тогда
 x sin xdx   x cos x   cos xdx   x cos x  sin x  C .
2)  x e dx .
Решение:
2
x
x
Положим u  x   x , dvx   e dx . Тогда dux   2 xdx , v x   e . По формуле (1)
2 x
имеем
x e
2 x
dx  x 2 e x  2 xe x dx . В правой части равенства содержится
интеграл, который снова нужно брать по частям. Пусть u  x , dv  e x dx .
Тогда du  dx , v x   e x . По той же формуле (1) получим
2 xe x dx  2( xe x   e x dx)  2 xe x  2e x  C . Поэтому  x 2 e x dx  x 2 e x  2 xe x  2e x  C .
II группа
Если имеем интегралы вида:
 P ( x) ln axdx ,  P ( x) log
n
n
b
 P ( x) arccosaxdx ,  P ( x) arcsin axdx
axdx ,  P ( x)arctgax dx ,  P ( x)arcctgax dx , то
n
n
n
n
dv( x)  Pn ( x) dx , а за функцию u (x ) принимаем оставшуюся функцию arccos x ,
arcsin x , ln x , arctg x , arcctg x . В случае если Pn ( x )  1 , то dv( x)  dx .
Пример.
Найти интеграл  x ln x dx .
Решение:
Так как данный интеграл относится к группе II, то u  x   ln x , тогда
2
x
dx
 C . Из всей совокупности
dv x   xdx , dux  
, v x    xdx 
x
2
полученных функций v x  выберем какую-нибудь одну; пусть, например,
C  0 . Тогда
x2
x 2 dx x 2
1
x2
x2
 x ln xdx  2  ln x   2  x  2  ln x  2  xdx  2  ln x  4  C .
16
Иногда удается взять интеграл, комбинируя метод интегрирования
подстановкой и по частям.
Пример.
Найти интеграл  cos x dx .
Решение:
x t
 cos xdx  x  t 2  2 t costdt  u  t, dv  cos tdt, du  dt, v  sin t  
dx  2t dt
 2(t sin t   sin tdt)  2(t sin t  cost )  C  2( x sin x  cos x )  C .
Обратим также внимание на так называемые циклические интегралы, такие, как
A   eax cosbx dx , B   eax sin bx dx . После двукратного применения формулы
интегрирования по частям они могут быть найдены из алгебраического
1 ax
уравнения. Пусть dv  e ax dx , v  e . Тогда
a
1
b
1
A   e ax cosbx dx  e ax cosbx   e ax sin bxdx  e ax cosbx 
a
a
a
b1
b

  e ax sin bx   e ax cos bx dx   C.
aa
a

Приравнивая левую и правую части, получим уравнение относительно
интеграла A. Из него находим A, затем B :
b sin bx  a cosbx ax
ax
e
cos
bx
dx

e  C1 ,

a 2  b2
a sin bx  b cosbx ax
ax
e
sin
bx
dx

e  C2 .

a 2  b2
При вычислении интегралов A и B можно было брать dv  cosbxdx или
dv  sin bxdx .
Аналогично можно найти  sin(ln x) dx,  cos(lnx)dx.
Пример.
1
x
Найти интеграл  e cos x dx .
2
Решение:
1
x
Так как под знаком интеграла присутствуют и e , и cos x , то, на первый
2
взгляд, можно в качестве u взять любую их этих функций. Пусть, например,
1
1
x  x
x
u  e  x , dv  cos xdx . Тогда du  e  x dx , v   cos x dx  2 cos d    2 sin .
2
2 2
2
2
По формуле (2.3.1) имеем
17
1
x
x
I   e  x cos x dx  2e  x sin  2 e  x sin dx .
(2.3.2)
2
2
2
x
Обозначим I1   e  x sin dx и тоже применим к нему интегрирование по
2
x
x
частям. Полагая u  e , dv  sin dx , получим du  e  x dx ,
2
x
x  x
x
v   sin dx  2 sin d    2 cos . Тогда
2
2 2
2
x
x
x
x
I1   e  x sin dx  2e  x cos  2 e  x cos dx  2e  x cos  2 I .
2
2
2
2
Подставляя этот результат в (2.3.2), получим уравнение с неизвестным
интегралом I :
x 
x

I  2e  x sin  2  2e  x cos  2 I  , откуда находим
2 
2

x
x
2
x 4
x
5I  2e  x sin  4e  x cos , I  e  x sin  e  x cos  C .
5
2 5
2
2
2
x
Замечание. Если в процессе решения при поиске I1 выбрать u  sin ,
2
1
x
x
dv  e  x dx , то получим du  cos dx , v  e , откуда
2
2
x 1
x
x 1
I1  e  x sin   e  x cos dx   e  x sin  I .
2 2
2
2 2
Тогда, подставляя I1 в равенство (2), получим бесполезное тождество
x 
x 1 
I  2e  x sin  2  e  x sin  I  , 0  0 .
2 
2 2 
Таким образом, только при удачном выборе частей и повторном
интегрировании по частям из уравнения можно легко найти I .
Примеры для самостоятельного решения:
1)  ( x  3) e 5 x dx ;
2)  (4 x  3) sin 3x dx ;
3)  (5 x  2) cos 7 x dx ;
4)  arctg x dx ;
5)  arcsin x dx ;
6)  (2 x  1) ln xdx ;
7)  x 2 e 2 x dx ;
8)  sin 2 x  e 5 x dx ;
9)  cos 3x  e 4 x dx ;
dx ;
11)  arctg x dx ;
12)
x dx ;
14)  e x sin 3x dx ;
15)  e 2 x cos5x dx ;
10)
13)
16)
ln x
x
 xtg
 log
3
2
5
x dx ;
17)  arctg2 x dx ;
18)
18
 x ln
2
x
2
x dx ;
sin 2 x dx ;
19)

x 2  4 dx ;
22)  sin(ln x) dx ;
20)

21)  x 2  3 dx
1  x 2 dx ;
23)  cos(ln x)dx ;
24)  e 2 x sin 4 x dx .
2.4. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
При вычислении интегралов вида 

Mx  N
dx ,
ax 2  bx  c

Mx  N
ax 2  bx  c
dx ,
ax 2  bx  c dx главным преобразованием является выделение полного
квадрата. Напомним, как это делается:
2

c
b 
c b2 
 2 b
ax  bx  c  a x  x    a  x 
   2.
a
a
2a 
a 4a 


2
b
. После этого
2a
применяют рассмотренные ранее методы интегрирования и формулы.
Примеры:
x2t
x3
x3
t 1
t
dt
dx  
dx  x  t  2   2
dt   2
dt   2

1)  2
2
x  4x 1
t

5
t

5
t

5
x  2  5
dx  dt
Затем чаще всего нужно сделать замену переменной t  x 

1 d (t 2  5)
dt
1 2
1
t 5
1
1
x2 5
2


ln
t

5

ln

C

ln
x

4
x

1

ln
 C.
2
2
 t 5 2
2  t 5
2
2 5 t 5
2 5 x2 5
x3  2x 2  x 1
dx
2) 
3  2x  x 2
Подынтегральная дробь неправильная (то есть степень знаменателя не больше
степени числителя). В этом случае выделяют целую часть делением числителя
на знаменатель (например, «уголком»):
x3  2 x 2  x  1
4x


x

;
3  2x  x2
3  2x  x2
4x
4 xdx
x2


   x  3  2 x  x 2 dx    xdx   3  2 x  x 2   2  4 I ,
где I  
xdx
4   x  12
. Найдем интеграл I .
19
x 1  t
xdx
(t  1)dt
t 1
t
I 
 x  t 1  
  2
dt    2
dt 
2
2
4

t
t

4
t

4
4   x  1
dx  dt
1 d (t 2  4) 1 t  2
1
1 t2
1
 ln
  ln t 2  4  ln
C 
  2
dt    2
2
t 4
4 t2
2
4 t2
t 4
1 x3
  ln x 2  2 x  3  ln
C.
4
x 1
x2
1
x3  2x 2  x 1
 ln x 2  2 x  3  ln
dx  C 
Следовательно, 
2
2
4
3  2x  x
1
dx
dx
1
dx
x t 



3) 
 1 2
3
3  4  1 2
1  2 x  3x 2
2
dx

dt
3  x  x 
x  
3 3

9  3
x3
.
x 1
1
3

dt

4 2
t
9
1
3t
1
3x  1
arcsin  C 
arcsin
C .
2
2
3
3
2
4)  x  2 x  1 dx  
x  12  2dx 
x 1  t
dx  dt


t 2  2 dt 


t
t
dt 
 u  t 2  2 , dv  dt , du 
dt , v  t   t t 2  2   t
2
2
t 2
t 2


t t 2 
2
t2  2 2
t 2
2
dt  t t 2  2   t 2  2 dt  
2
t 2
2


dt  I   t 2  2dt 
 t t 2  2  I  2 ln t  t 2  2 .
2
2
Получаем уравнение I  t t  2  I  2 ln t  t  2 .
2I  t t 2  2  2 ln t  t 2  2  2C.
t 2
t  2  ln t  t 2  2  C.
2
С учетом того, что t  x 1 , получаем
x 1 2
I
x  2 x  1  ln x  1  x 2  2 x  1  C.
2
I
Отметим, что выражения, содержащие a 2  x 2 или x 2  a 2 , можно
интегрировать и с помощью так называемых тригонометрических подстановок.
a 2  x 2 , то применяется подстановка x  a sin t или
x  a cost ; если содержится x 2  a 2 , то делают подстановку x  a  tgt или
Если содержится
20
x  a , то используют x 
x  a  ctgt ; если же содержится
2
2
a
или
sin t
a
. Рассмотрим применение одной из этих подстановок в следующем
cost
примере.
x
2
4)  21  4 x  x dx   25  x  2 dx 
2
x2t
  25  t 2 dt.
dx  dt
Применим тригонометрическую подстановку t  5 sin z , dt  5 cos zdz .
1  cos2 z
25
2
2
2
 25  t dt   25  25sin z  5 cos zdz  25 cos zdz  25 2 dz  2  dz 
25
25
25
25
25
  cos 2 zdz   dz   cos 2 zd 2 z   z  sin 2 z  C  I .
2
2
4
2
4
Перейдем к старым переменным sin z 
t
t
, z  arcsin .
5
5
t
t2
sin 2 z  2 sin z  cos z  2 sin z 1  sin z  2 1  . Тогда
5
25
2
25
t 5
t2
arcsin  t 1   C.
2
5 2
25
Учитывая, что t  x  2 , получаем
25
x2 1
I  arcsin
 x  2 21  4 x  x 2  C.
2
5
2
I
Если интеграл  f ( x)dx выражается в конечном виде через элементарные
функции, то он называется берущимся интегралом, в противном случае x2
неберущимся. К числу неберущихся интегралов относятся, например,  e dx ;
x
e
sin x
cos x
dx
dx
dx
sin(
x
)
dx
cos(
x
)
dx
e

dx
;
;
;
;
;
 x dx ;  ln x и
 x
 x



др. Первообразные для подынтегральных функций неберущихся интегралов не
являются элементарными функциями; это некие новые функции, которые
реально существуют и играют важную роль в соответствующих приложениях.
x2
2
2
Примеры для самостоятельного решения:
1)
x
4) 
2
2x  3
dx ;
 2x  5
4dx
;
3x  8 x  2
2
2)
xdx
 9  8x  x
5) 
2
2x 1
dx ;
2
 3x
x2  4x  2
dx ;
6)  2
x  3x  4
;
3)
1 x
dx ;
x  x2
21
x
dx
7) 
;
x 2  3x
x 1
dx ;
10)  2
x  2x  5
x 1
dx ;
13)  2
x  4x
16)

19)

x 2  4 x dx ;
dx
x 2  2x  3
22)  x 2  6 x dx ;
; 9) 
x  1dx
;
3  4x  4x 2
2x  x 2
dx
dx
11)  2
; 12)  2
;
x  4x  5
x  6 x  13
dx
x3
dx ;
14) 
;
15)

9x2  6x 1
3  4x  x2
17)
;
( x  3)dx
8) 
x
xdx
;
 x 1
18)
dx
20) 
23)
2
3x 2  2 x  1

4x  5
dx ;
2
5
x
dx
; 21) 
2  x  x 2 dx ; 24)
1 2x  x2

;
3  2 x  x 2 dx .
2.5. Интегрирование рациональных выражений
Дробно-рациональная функция Q ( x ) , где P(x) и Q(x) - многочлены, называется
P( x)
правильной рациональной дробью, если степень числителя меньше степени
знаменателя; старший коэффициент у P(x) будем считать равным единице
(c0  1) - его всегда можно отнести к числителю Q(x) .
1. Основная теоремао разложении правильных дробей на простейшие. Пусть
многочлен P(x) степени n имеет разложение:
P( x)  ( x  a)  ( x  b)    ( x 2  px  q)  ( x 2  rx  s)  ...
Тогда правильная дробь
Q ( x)
может быть однозначно разложена на сумму
P( x)
простейших дробей по формуле
B
Q( x)
A
B2
A2
A
B1
 1 

...



...

 ...

P( x) x  a  x  a 2
x  a  x  b x  b2
x  b
M  x  N
M 2 x  N2
M x  N1
R x  S1



 21
 2 1


2

2
2
x  px  q x  px  q 
x  px  q x  px  q
R x  S 
R2 x  S 2

 ...
 ...,
(2.5.1)
2
x 2  px  q
x 2  px  q
где A1 , A2 ,..., A , B1 , B2 ,... B , M 1 ,..., M  , N1 ,... N  , R1 ,..., R , S1 ,... S  ,... - действительные
числа; их столько же, какова степень многочлена P(x) .
Дроби входящие в это разложение, называются простейшими или
элементарными рациональными дробями, поскольку на более простые дроби их
разложить невозможно.
22
Этапы разложения дробей:
E ( x)
неправильная ( степень числителя больше или равна
P( x)
степени знаменателя), выделим целую часть делением числителя на
знаменатель, представим неправильную дробь в виде суммы целой части и
E ( x)
Q( x)
 R( x) 
правильной рациональной дроби
. Следующие пункты
P( x)
P( x)
алгоритма посвящены разложению правильной дроби.
2. Разложить знаменатель дроби на простейшие множители вида
1. Если дробь



( x  a)  ( x  b)   x 2  px  q , где корни трехчлена комплексные.
3. Представить дробь в виде суммы простейших дробей, в знаменателях
которых стоят всевозможные множители знаменателя, а в числителях
соответствующей
степени
многочлены
с
неопределенными
коэффициентами. При этом множителю знаменателя кратности k будут
соответствовать k простейших дробей, в знаменателях которых будут все
степени множителя.
Проверка. Число неопределенных коэффициентов должно равняться степени
многочлена в знаменателе исходной дроби.
Для фактического вычисления коэффициентов в этом разложении обычно
применяют метод неопределенных коэффициентов. Он состоит в следующем:
Q ( x)
а) пусть дана правильная рациональная дробь
. Знаменатель этой дроби
P( x)
разлагаем на простые действительные множители и по виду этого разложения
пишем для данной дроби разложение с неопределенными коэффициентами
(2.5.1);
б) в правой части этого разложения приводим простые дроби к общему
знаменателю, которым будет P(x) , складываем их, после чего знаменатель P(x)
в левой и правой частях отбрасываем. Получим тождество (2.5.2), в левой части
которого многочлен Q(x) , а в правой многочлен с неопределенными
n 1
n2
коэффициентами Q( x)  an1 x  an2 x  ...  a0 ;
(2.5.2)
в) приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой
частях тождества (2.5.2), получаем систему из n уравнений с n неизвестными.
Решив еѐ, найдем искомые коэффициенты.
Примеры:
1) 
x 1
dx
x  x6
2
Решение:
Данная подынтегральная дробь - правильная. Раскладываем еѐ знаменатель на
простые множители. Знаменатель имеет корни x1  2 и x2  3 , значит
23
x 2  x  6  x  2x  3 .
Запишем разложение подынтегральной дроби с неопределенными
x 1
A
B


коэффициентами 2
.
(2.5.3)
x  x6 x2 x3
Дроби приводим к общему знаменателю и, освободившись от него, находим:
x  1  Ax  3  Bx  2   A  B x  3 A  2B .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой
частях тождества, получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
x
A B 1
0
x
3A  2B  1 ,
1
4
, B .
5
5
Подставляя найденные коэффициенты в равенство (3), получаем искомое
разложение
1
4
x 1
 5  5 .
2
x  x6 x2 x3
Следовательно
откуда A 
1
4
x 1
1
4
4
5
5
 x 2  x  6 dx   x  2 dx   x  3 dx  5 ln x  2  5 ln x  3  ln C  ln C 5 x  2x  3 .
2) 
2x  5
dx
x  3x 2  4
3
Решение:
Разложим знаменатель дроби на простые множители. Заметим, что x  2 3
2
корень знаменателя, поэтому разделив x  3x  4 на x  2 , получим
x 3  3x 2  4  x  2 x 2  x  2 . Трехчлен x 2  x  2 имеет корни x  2 и x  1 .


3
2
Поэтому окончательно имеем x  3 x  4   x  2   x  1 .
Запишем разложение подынтегральной дроби
2x  5
A
A2
B
 1 

.
2
3
2
x  3x  4 x  2 x  2
x 1
Приводим дроби к общему знаменателю и, освободившись от него, находим:
2
2 x  5  A1 x  2x  1  A2 x  1  Bx  2   A1  B x 2   A2  A1  4 B x 
 A2  2 A1  4 B .
Из этого тождества определяем A1 , A2 , B , приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях x слева и справа:
2
x2
A1  B  0
24
x A2  A1  4 B  2
x 0 A2  2 A1  4B  5 ,
7
1
7
, A2   , B   . Окончательно имеем
9
3
9
2x  5
7
1
7



.
2
3
2
x  3x  4 9x  2 3x  2 9x  1
7
dx
1
dx
7
dx
2x  5




dx
Следовательно  3
9   x  2 3   x  22 9  x  1
x  3x 2  4
7
1
7
1
7 x2
 ln x  2 
 ln x  1  C 
 ln
 C.
3 x  2  9
x 1
9
3x  2 9
откуда A1 
x3  x 2  5
dx
3) 
x3  8
Решение:
Подынтегральная дробь неправильная. Выделим целую часть
x3  x 2  5
x2  3
1 3
.
x3  8
x 8
Разложим знаменатель дроби на простые множители:
x 3  8  x  2x 2  2 x  4 .
x2  3
A
Bx  C

 2
Запишем разложение 3
.
x  8 x  2 x  2x  4
2
2
2
Откуда x  3  Ax  2 x  4  Bx  C x  2   A  B x  2 A  2 B  C x  4 A  2C.
Напишем систему уравнений
A B 1
x2
x
x0
2 A  2B  C  0
4 A  2C  3 ,
7
5
1
, B , C .
12
12
3
Окончательно получим
x3  x 2  5
7
5x  4

1


.
x3  8
12 x  2  12 x 2  2 x  4
откуда A 


25
x3  x 2  5
7
dx
1
5x  4
dx   dx  
  2
dx 
Следовательно, 
3
x 8
12 x  2 12 x  2 x  4
7
1
 x  ln x  2  I ;
12
12
(2.5.4)
x 1  t
5x  4
5x  4
5t  9
5t
9
I  2
dx  
dx


dt

dt

x

t

1
 t 2  3  t 2  3  t 2  3 dt 
x  2x  4
x  12  3
dx  dt
5
9
t
5
x 1
 ln t 2  3 
arctg
 C1  ln x 2  2 x  4  3 3arctg
 C1 .
2
2
3
3
3
Подставляя значение I в равенство (2.5.4), получим
7
5
3
x 1
x3  x 2  5
2
 x3  8 dx  x  12 ln x  2  24 ln x  2x  4  4 arctg 3  C.
x3
dx
4)  2
x ( x  2)
Решение:
Подынтегральная дробь правильная, и знаменатель уже разложен на простые
множители. Запишем разложение подынтегральной дроби на простейшие
x3
A
B C

  2.
(2.5.5)
2
x ( x  2) x  2 x x






k
Замечание. Множитель x в знаменателе часто вызывает затруднения при
разложении дроби на простейшие. Обращаем внимание, что в этом случае надо
k
поступать, как с множителем  x  a  , считая, что a  0 .Так как множитель
A
x  a k в знаменателе дает при разложении k штук дробей вида ( x  ia) i , i  1, k ,
Ai
k
то и множитель x даст k штук дробей вида i , i  1, k .
x
Теперь приведем правую часть (2.5.5) к общему знаменателю и затем
отбросим знаменатели
x  3  Ax 2  Bx ( x  2)  C ( x  2)   A  B x 2  2 B  C x  2C.
x2
A B  0
x
2B  C  1
2C  3 ,
x0
26
1
1
3
откуда A  , B   , C  . Тогда получим
4
2
4
x3
1
1
3



.
x 2 ( x  2) 4( x  2) 4 x 2 x 2
x3
1 dx 1 dx 3 dx 1 d ( x  2) 1 dx 3 2
dx  



    x dx 
Значит  2
4 x  2 4  x 2  x2 4  x  2
x ( x  2)
4 x 2
1
1
3
 ln x  2  ln x   C.
4
4
2x
Примеры для самостоятельного решения:
dx
;
2)
x2  2x
3x  2
dx ;
4)  2
2x  x  3
dx
dx
;
3)
 x 4  x 2  x3  4x ;
x2
2x 1
5)  3
;
6)
 x 2  3x  2 ;
x  2x 2  2x
dx
x 2  5x  9
x2
dx ;9)  3 2 ;
dx ;
7)  2
8)  2
x  5x  6
x x
x  3x  4
dx
7 x  15
xdx
dx ;
10)  3
11)  2
; 12) 
2 .
2
x  2 x  5x
x  4x  9
x x  1
1) 
x4  1
13)  3 2 dx ;
x x
x2
dx ;
14) 
x  14
xdx
x2  2x  3
dx ; 17)  2
16)  2
; 18)
2x  6x  5
x  2x 1
x5 1
x2  2x  1
dx
dx
19)  3 2 ;
20)  2
x  2x  1
x x
x 1
xdx
dx ;
22)  3
23)  2
;
2
x  2 x  5x
x  4x  4
15)
 2x
4x  1
;
 x2  x
3
3x  1
 x  1x  2 dx ;
2
xdx
;
2
1
;21)
x
24)
 xx  1
xdx
2
.
2.6. Интегрирование некоторых иррациональных выражений
p
s


q
t
ax

b
ax

b





 ,..., 
 dx ,
Интегралы вида  R  x, 
 cx  d 
 cx  d  


(2.6.1)
где R - рациональная функция, p, q,...,s, t - целые числа, находятся с помощью
подстановки t  m
ax  b
, где m - наименьшее общее кратное чисел q,...,t .
cx  d
27
Рассмотрим два частных случая:
1) если в интеграле (2.6.1) c  0 , то он будет иметь вид
p
s
a
b
 

q ,..., x    t dx , где  

R
x
,

x


,  ;
 

d
a
2) если b  c  0 , a  d  1 , то интеграл (1) примет вид
(2.6.2)
p
s

q
 R  x, x ,..., x t dx .


(2.6.3)
Интегралы вида (2.6.2) или (2.6.3) находятся с помощью подстановки
t  m x   или t  m x .
Примеры:
1)
x
2
x
dx .
x 1
Решение:
x
, откуда
x 1
Это интеграл вида (2.6.1). Применим подстановку t 
 2tdt
t2
x 2
, dx  2
2 . Тогда
t 1
t 1
 
2)





2
t t 2  1 2t


t4 t2 1
2
dt    
x
2
x
1
dx   2
x
x 1
x
dx
x 1
2
2
x 1
2
dt


2
t
dt


C

2
 C.

t2
t
x
x  1 x
dx .
3
1 x
Решение:
Это интеграл вида (2.6.2). Наименьшее кратное показателей корней
подынтегрального выражения m  6 , следовательно применим подстановку
t  6 1  x , откуда x  t 6  1, dx  6t 5dt .
x  1 x
t6 1  t3 5
9
3
6
 3 1  x dx   t 2 6t dt  6 t  t  t dt 
 t10 t 4 t 7 
1
1 x 
2 1 x
  C.
 6
    C  63 1  x  
 

7
10
4
7
 10 4



3)


dx
.
x 4 x
Решение:
4
Это интеграл вида (2.6.3). Применим подстановку t  4 x , откуда x  t ,
dx  4t 3dt . Тогда
28
dx
4t 3dt
t 2 dt
1 



4

4
t

1


dt 
2
 t 1  
t 1
x 4 x  t t

 t2

 4  t  ln t  1  C  2 x  44 x  ln
2


4

x  1  C.
Примеры для самостоятельного решения:
1) 
1  x dx
 ;
1 x x

x 1
dx ;
2x  1
x 1
dx ;
3x  1
4)
7)  3
10)
x
13) 
dx
x 2 1
;
3x  7  5  x
dx ;
3 5 x  4
2)
1 x
dx ;
x

5)
 1
8)

11)
3

14)  3
x
dx ;
x3
dx
;
x x
4
x2 1
dx ;
x2

3) 
4
6)

2
x 3 1  x dx ;
dx
;
2x 1  3 2x 1

2
2
9)  x 4  x dx ;
12)
dx
;
3x  4  3x  4

x 1
dx ;
2x 1
15)

x
dx .
x 4
2.7. Интегрирование тригонометрических выражений
1. Интегралы вида  sin ax cosbxdx ,  sin ax sin bxdx ,  cosax  cosbxdx a  b
находятся с помощью формул
1
sin ax  cosbx  sin a  b x  sin a  b x
2
1
sin ax  sin bx  cosa  b x  cosa  b x
2
1
cosax  cosbx  cosa  b x  cosa  b x
2
Пример:
1
1
1






sin
5

3
x

sin
5

3
x
dx

sin
2
xdx

sin 8 xdx 
sin
5
x

cos
3
x
dx


2
2
2
1 sin 2 x
1 sin 8 x
1
1
d (2 x)  
 d (8 x)   cos2 x  cos8 x  C.

2
2
2
8
4
16
2 n1
2 n 1
xdx ,  cos xdx , n - натуральное число берутся
2. Интегралы вида  sin

внесением под дифференциал (или заменой переменной) множителя sin x
или cos x .
Примеры:
29


2
5
4
2
1)  sin xdx   sin x sin xdx   1  cos x  sin xdx    1  cos x d (cos x) 
2


2 2
1 5
  1  2 cos2 x  cos4 x d (cosx)   cos x  cos x  cos x  C ;
3
5



3
2
2
2) cos xdx   cos x cos xdx  1  sin x cos xdx 
 1  sin xd (sin x) 
2
1
 sin x  sin 3 x  C.
3
3.Для вычисления интегралов вида  sin 2n xdx ,  cos2n xdx удобно пользоваться
1  cos2 x
1  cos2 x
, cos2 x 
, затем заменять переменную (или
2
2
вносить под дифференциал).
Пример:
2
1
1
1
 1  cos2 x 
4
2
 cos xdx    2  dx  4  dx  2  cos2xdx  4  cos 2xdx 
формулами sin 2 x 

1
1
1
1
1 cos2 x
1 1  cos4 x
x 
d ( 2 x)  
dx  x  sin 2 x 
4
4
8
4
2
2
4
2
 1  cos4 xdx 
1
1
1
1
3
1
1
x  sin 2 x  x  sin 4 x  C  x  sin 2 x  sin 4 x  C.
4
4
8
32
8
4
32
Здесь формула понижения степени использовалась дважды.
4. Интегралы вида  sin m x cosn xdx легко вычисляются, если хотя бы одно из

чисел m и n целое нечетное; другое при этом может быть и нецелым.
а) пусть n - нечетное, n  2k  1 . Имеем  sin m x cos2k 1 xdx 


  sin m x cos2k x cos xdx   sin m x 1  sin 2 x d (sin x) ;
k
б) если m - нечетное, m  2l  1 , то получим
2l 1
n
2
n
 sin x cos xdx    1  cos x cos xd cos x .


В обоих случаях идея состояла в том, чтобы функцию sin x или cos x
подвести под знак дифференциала.
в) оба числа m и n - четные неотрицательные, n  2k , m  2l . Тогда под
знаком интеграла находится тригонометрический многочлен степени
n  2(k  l ) ; еѐ можно уменьшить вдвое, используя формулы понижения
степени.
sin 2l x cos2k xdx   1k l (1  cos 2 x)l  (1  cos 2 x) k dx - под знаком интеграла
2
получили многочлен степени (k  l ) . Здесь могут снова представиться все три
случая а), б), в).
г) если m и n - оба четные и хотя бы одно из них отрицательное, то может

30
быть удобна подстановка tgx  t или
дифференциал:
dx
dx
 d (tgx) ,
 d (ctgx) .
2
sin 2 x
cos x
Примеры:

1)  sin x

1

cos3 xdx   sin x
ctgx  t
как результат подведения под
 1  sin xd sin x  2
1
2
sin x 


5
2
sin x  C ;
5
1  cos 2 x
1
sin 2 x 
dx   x 
C ;
2
2
2 
2
sin 2 2 x 1
2
4
2
 1  cos 2 x dx 
3) sin x cos xdx   sin x cos x  cos xdx  
4
2
2
2)  cos xdx  






1
1  cos4 x   2 sin 2 2 x cos2 x dx  1  1  cos4 x dx  1  sin 2 2 xd sin 2 x  

16
16
8
1 1
1 3 
 x  sin 4 x  sin 2 x   C ;
16  4
3

dx
1
dx
1 3
2
4)  4   2  2   1  tg x d (tgx)  tgx  tg x C .
3
cos x
cos x cos x
m
n
5. Интеграл  sin x cos xdx , где m и n - рациональные числа, с помощью



подстановки t  sin x или t  cos x сводится к интегралу от дифференциального
бинома и в зависимости от структуры последнего берется или нет (см.теорему
Чебышева, [7]).
Примеры для самостоятельного решения:
1)  sin 6 xcos xdx ;
x
x
3
2)  cos cos dx ; 3)  sin x cos xdx ;
2
3
cos 2 x
dx ;
4) 
sin x
5)
7)  sin 6 x sin 4 xdx ;
4
10)  cos2 x dx ;
sin x
dx
;
3x cos2 3x
2
16)  sin x dx ;
cos x
13)
 sin
2
dx
 sin
4
; 6)  sin 3 x cos2 xdx .
x
1  cos x
8) 
9)  cos3 x sin xdx ;
dx ;
3
sin x
cos 2 x
dx
11)  4 dx ;
12) 
;
sin x
sin x
cos x
dx
14)  4 dx ;
15)  5 .
sin x
sin x
dx
17)  4 ;
18)  sin 5 x cos2 xdx .
cos x
31
3. Определѐнный интеграл
3.1. Задача о площади криволинейной трапеции
Будем рассматривать непрерывную в каждой точке промежутка x  a, b 
функцию y  f  x  такую, что f  x   0 . Поставим задачу: вычислить площадь
криволинейной трапеции ABCD (см. рис. 1). Для этой цели разобьем
произвольно промежуток a, b  на n частей точками
a  x 0  x1  ...  x n 1  x n  b .
y
y=f(x)
C
B
1 2
3
O a= x 0 x 1 x 2 x 3
n-1
n D
x n-1 x n=b
A
х
Рис.3.1
На каждом интервале (xk-1, xk) выберем произвольную точку k и рассмотрим
прямоугольники, образуемые интервалами (xk-1, xk) по оси Ох и (0, f(k)) по оси
Оу. Фигуру, образованную совокупностью таких прямоугольников, будем
называть ступенчатой фигурой.
Обозначим  длину самого большого из промежутков (xk-1, xk) и будем
называть еѐ мелкостью разбиения отрезка a, b . Очевидно, что чем меньше  ,
тем больше площадь ступенчатой фигуры близка к площади криволинейной
трапеции ABCD. А именно:
S ABCD  S ст.фиг.  f 1 x1  x0   f  2 x2  x1   ... f  k xk  xk 1   ... f  n xn  xn1  
n
  f  k xk  xk 1 .
k 1
Отметим, что суммы, образующиеся в данном соотношении, называются
интегральными суммами.
Пусть мелкость разбиения   0 . Тогда можно показать, что
n
S ABCD  lim  f  k  x k  x k 1 .
 0 k 1
32
3.2. Понятие определѐнного интеграла
Определение 1.Пусть y  f  x  – произвольная, непрерывная в каждой точке
b
n
промежутка x  a, b  функция. Тогда  f x dx  lim  f k xk  xk 1 
 0 k 1
a
называется определѐнным интегралом от функции y  f  x  на отрезке a, b  , а
функция f x  называется интегрируемой на отрезке a, b .
Число a называют нижним пределом интегрирования, b - верхним пределом
интегрирования. Знак  ввел Готфрид Вильгельм Лейбниц – это стилизованная
буква S, начальная буква от латинского Summa. Окончательное обозначение
b
 f ( x)dx ввел французский математик и физик Жозеф Фурье (1768-1830).
a
Заметим, что, в отличие от неопределѐнного интеграла определенный
интеграл по определению является числом.
Теорема 1. (необходимое условие интегрируемости). Если функция f x 
интегрируема на отрезке a, b , то она ограничена на нем.
Доказательство еѐ можно найти, например, в [7].
Теорема 2.(достаточные условия существования определенного интеграла).
1. Если функция f x  непрерывна на отрезке a, b , то она интегрируема.
2. Если функция ограничена и имеет конечное число точек разрыва, то она
интегрируема.
3. Монотонные ограниченные функции интегрируемы.
Легко видеть, что изменение интегрируемой функции в конечном числе
точек не изменяет значения интеграла, поэтому неважно, определена функция в
этих точках или нет. Так, существует, как обычный, определенный интеграл от
1
sin x
dx .
ограниченной функции 
x
0
Для вычисления определенного интеграла от функции y  f  x служит
формула Ньютона-Лейбница:
b
b
a
a
 f ( x)dx  F ( x)
 F (b)  F (a) ,
где y  F  x  – любая из первообразных функции y  f  x .
Таким образом, для того, чтобы вычислить определенный интеграл от функции
f x  на промежутке a, b , необходимо найти любую первообразную функцию и
вычислить разность еѐ значений в верхнем и нижнем пределах интегрирования.
33
3.3.Некоторые свойства определѐнного интеграла
b
b
b
a
a
a
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx;
1)
b
b
a
b
a
c
b
a
a
c
 kf ( x)dx  k  f ( x)dx, k  const;
2)
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx, c  const.
3)
Пример:
2


Вычислить определенные интегралы а)  x  x  2 dx ; б)
3
1
2
 3x  2
3
dx .
1
Решение:
а) По формуле Ньютона-Лейбница получаем:

2
 x4 x2
 2  1 4 22
  1 3 12
5 3
3





 2x  2 
 2  2  1 
 2  1  2   .
 x  x  2 dx  


 4

2
2
2
4 4
1
 4
 1 4
 

б) Введем новую переменную интегрирования с помощью подстановки
1
3x – 2 = t  3dx = dt  dx  dt . Находим новые пределы интегрирования.
3
Подставляя в соотношение 3x – 2 = t значения хн  1и хв  2 ,
соответственно, получим tн  3  1  2  1 и tв  3  2  2  4 .


14 3
1 t4
3
Следовательно,  (3x  2) dx   t dt  
31
3 4
1
2
4

1

Примеры для самостоятельного решения:
 2 x
2
1)
3

 3x  1 dx ;
2
2)
1

4
 2


sin
x
3)  
 dx ;
2
cos
x


0
1
2
3 

dx ;
5)  
2 
2
1 x 
0 1 x
 2

4
x  4 x 3  3 dx ;
1
 4
1
4)
x

 2 dx ;
0
2

6)    x 2 dx ;

1 x
3
34

1 4 4
4  1  15.
12

 3e
3
7)
x

 5 dx ;
2
2
 sin
4
2
3 x
e 2 x dx ;
ctgx
8) 
2
dx ;
x

2
10)  esin x cos x dx ;
9) 

0
6

3
11)  sin x  cos x dx ;
3

13) 
e
0
12)  2 x  17 dx ;
1
2
6
e3
1

2
ln x
dx ;
x
15)  2  4 x  dx ;
3
1
2
3
14) 
sin x
3
0 cos x
dx ;
arctg 2 x
dx
16) 
2
0 1 x
1
3.4. Замена переменной в определенном интеграле
Теорема. Пусть функция f x  непрерывна на промежутке a; b , функция x   t 
имеет непрерывную производную  t  на промежутке  ;  , причем
  a,  (  )  b, сложная функция f  (t )  определена и непрерывна на
промежутке  ;  . Тогда
b

(3.4.1)
 f ( x)dx   f ( (t )) (t )dt.
a

Доказательство.
Пусть F x  есть первообразная для f x  . Тогда в силу непрерывности функции
f x  по формуле Ньютона-Лейбница имеем
b
b
 f ( x)dx  F ( x)  F (b)  F (a) .
a
a
С другой стороны, функция F  (t )  есть первообразная для непрерывной на
 ;   функции f  (t )  t  , так как
dF ( (t )) dF dx
   f ( (t )) t .
dt
dx dt
35
Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница
b

f ( (t ))   (t )dt  F ( (t ))
a


 F ( (  ))  F ( ( ))  F (b)  F (a).
Сравнивая этот результат с формулой Ньютона-Лейбница, убеждаемся в
справедливости равенства (1).
Замечание 1. Преимущество перед соответствующим методом для
неопределенного интеграла в том, что здесь не требуется возвращаться к старой
переменной. Вычислив интеграл в правой части равенства (1), мы тем самым
вычислим интеграл в левой части. На символ dx можно смотреть как на
дифференциал функции x   t  , именно, dx   (t )dt. Поэтому формула (1)
вполне естественно запоминается.
Замечание 2. Новые пределы интегрирования найдутся из уравнений
 t   a, (t )  b.
Замечание 3. Требование "сложная функция f  (t )  определена и непрерывна на
промежутке  ;   " не лишнее, так как значения промежуточного аргумента
x   t  могут выходить за пределы a; b . Пусть они образуют промежуток
A, B  a; b. Тогда данное требование есть требование непрерывности f x  на
a; b. Но это условие можно заменить менее общим: потребовать, чтобы
значения x   t   a; b , в частности, чтобы x   t  была монотонной.
3.5. Применение определенного интеграла
3.5.1. Площадь плоской фигуры
Пусть на отрезке a; b  задана непрерывная
неотрицательная функция y  f  x  (см. рис. 3). Тогда
площадь
фигуры,
ограниченной
непрерывной
функцией y  f  x  , прямыми x  a , x  b и отрезком
у
y=f(x)
а
х
b
b
оси Ох , вычисляется по формуле S   f ( x)dx .
a
Рис.3
Если функция
.5... меняет знак, то получим только алгебраическую сумму
площадей, в которой площади под осью Ох имеют знак минус. Чтобы получить
саму площадь, надо устранить влияние знака функции y  f  x  , и получим
у
b
S   f ( x) dx. А площадь криволинейной фигуры,
y=f(x)
a
а
y   (x )
b
Рис.4
ограниченной двумя непрерывными кривыми
х y  f  x  и y    x , где f ( x)   ( x) и a , b -абсциссы
точек пересечения данных кривых (см. рис. 4),
36
b
вычисляется по формуле S    f ( x)   ( x)  dx .
a
Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой y  x  1 и параболой
y  x2 1
Решение:
1. Построим на плоскости заданные линии:
А) Для построения прямой y  x  1, зададим значения для переменной х и
найдем соответствующие ей значения переменной y
y
x
0
1
y
–1
0
1
Следовательно, прямая проходит через точки
(0; –1) и (1; 0).
1
-1
x
-1
Б) Для построения параболы найдем точки
пересечения ее с осями координат и вершину параболы:
Рис.5
Пересечение с осью Ox , значит y  0 , то есть  x2  1  0 . Решая данное
уравнение, получаем x  1 и x  1 .
Пересечение с осью Oy , значит x  0 , то есть y0  02  1  1 , получили
точку (0; 1), которая совпала в нашем случае с вершиной параболы.
2) Площадь фигуры, ограниченной сверху и снизу непрерывными линиями
y  f  x  и y   (x ) , пресекающимися в точках с абсциссами x  a и x  b ,
b
определяется по формуле S    f ( x)   ( x)  dx
a
Для нахождения точек пересечения линий решаем систему уравнений
 y  x  1,

2
 y   x  1.
Приравняем правые части данных уравнений  x 2  1  x  1 . Перенесем
слагаемые из правой части в левую и приведем подобные, получим
 x2  x  2  0 . Умножим данное уравнение на (–1), получим x 2  x  2  0 .
Решая данное уравнение, найдем корни x  2 и x  1.
Площадь искомой фигуры равна
37
1
 x3 x 2



S    x  1  x  1  dx    x  x  2 dx      2 x 
 3 2
 2
2
2
1


2

1


2
  23  22

13 12
  2 1   

 2   2  4,5


3 2
3
2


Задачи для самостоятельного решения:
1.Вычислить площади фигур ограниченных указанными линиями:
x3
2
2
1) y  4  x и y  5 ;
2) y  x и y 
;
2
2
5
3) y  
и y  x 6;
4) y  и y  3  x ;
x
x
5) y  x 2  4 x и y  0 ;
6) y  x 2  4 x и y  x  4 .
1
2. Найти площадь фигуры, образуемую кривыми y  2 , x  1 , x  3 , y  0 .
x
3. Найти площадь фигуры, образуемую кривыми y  x , x  1, y  0 .
1
4. Найти площадь фигуры, образуемую кривыми y  , x  1 , x  e , y  0 .
x
5. Найти площадь фигуры, образуемую кривыми y  x , x  4 , y  0 .
1
6. Найти площадь фигуры, образуемую кривыми y  2 , x  2 , x  3 , y  0 .
x
7.Найти площадь фигуры, образуемую кривыми y  x ,
3
4
8. Найти площадь фигуры, образуемую кривыми y  x ,
x  1, y  0 .
x  16 , y  0 .
9. Найти площадь, ограниченную кривыми y  x и y  x3 ( x  0 ).
10. Найти площадь фигуры, образуемой линиями y  sin x , y  0 , 0  x   .
3
11. Найти площадь фигуры, образуемую кривыми y  x , x  1, y  0 .
1
12. Найти площадь фигуры, образуемую кривыми y  , x  1 , x  e , y  0 .
x
13. Найти площадь фигуры, образуемую кривыми y  x ,
x  4, y  0.
1
, x 1, x  3, y  0 .
x2
15. Найти площадь фигуры, образуемую кривыми y  4 x , x  16 , y  0 .
14. Найти площадь фигуры, образуемую кривыми y 
16. Найти площадь, ограниченную кривыми
38
y  3 x и y  x3 ( x  0 ).
17. Найти площадь фигуры, образуемую кривыми y  4 x ,
x  81, y  0 .
18.Найти площадь фигуры, образуемую кривыми y  x , x  1, y  0 .
1
2
19.Найти площадь фигуры, образуемую кривыми y  , x  e , x  e , y  0 .
x
20. Найти площадь фигуры, образуемую кривыми y  x , x  27 , y  0 .
3
3.5.2. Вычисление объемов тел вращения
у
y  f (x)
а
0
в
х
Пусть на отрезке a; b  задана непрерывная
знакопостоянная функция y  f  x  . Тогда объем тела,
образованного при вращении вокруг оси абсцисс
криволинейной трапеции, ограниченной линиями
y  f  x  , y  0 , x  a , x  b вычисляется по формуле
b
VOx    f 2 ( x) dx .
Рис.6
a
у
d
x   (y)
с
c; d  задана непрерывная
Пусть на отрезке
знакопостоянная функция x    y  . Тогда объем тела,
образованного при вращении вокруг оси ординат
криволинейной трапеции, ограниченной линиями
x    y , x  0 , y  c , y  d вычисляется по формуле
d
VOy     2 ( y) dy .
х
c
0
Рис.7
Пример.
Вычислить объем тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной
линиями y  e  x , y  0 , x  0 , x  1 вокруг осиОх.
Решение:
у
ye
x
Применим
формулу
тогда искомый объем равен
0
1
х
Рис. 8
39
b
VOx    f 2 ( x) dx ,
a
1
 
VOx    e
0
x 2
 1

dx     e 2 x 
 2

1
 1,36.
0
Задачи для самостоятельного решения:
1. Вычислить объем тела вращения вокруг оси Ox , ограниченного кривой
y  sin x в пределах A0;0 и B  ; 1 .
2

2. Вычислить объем тела вращения вокруг оси Ox , ограниченного кривой


y  cos x в пределах A  ; 0  и B ; 0  .

2

2

3. Вычислить объем тела вращения вокруг оси Ox и оси Oy , ограниченного
дугой параболы y  3  x 2 расположенной в первой четверти.
4. Вычислить объем тела вращения вокруг оси Ox и оси Oy , ограниченного
3
дугой гиперболы y  в пределах A1;3 и B3;1 .
x
5. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры,
расположенной в первом квадранте и ограниченной заданными кривыми и
осью Ox .
5.1. y  2 x 2 ; y  2 x  4.
5.2. y  x 2 ; y   x  2.
1
5.3. y  3x 2 ; y   x  4.
5.4. y  x 2 ; y   x  3.
4
1 2
1
5.5. y  x ; y  3 x  8.
5.6. y  x 2 ; y  3x  12.
2
3
1
1
5.7. y  4 x 2 ; y  2 x  2.
5.8. y  x 2 ; y   x  2.
4
2
2
2
5.9. y  4 x ; y  2 x  6.
5.10. y  x ; y   x  3.
1
5.11. y  2 x 2 ; y  3x  14.
5.12. y  x 2 ; y   x  6.
3
1
5.13. y  3x 2 ; y  2 x  5.
5.14. y  x 2 ; y  2 x  9.
3
1
5.15. y  x 2 ; y  2 x  6.
5.16. y  2 x 2 ; y   x  10.
4
5.17. y  3x 2 ; y  3x  6.
5.18. y  x 2 ; y  2 x  5.
1
y   x  3.
5.19. y  x 2 ;
5.20. y  3x 2 ; y  5x  8.
2
6. Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных
40
графиками функций. Ось вращения Oy .
 x
y  arccos x ;
y  0.
6.1. y  arccos ;
3
 x
6.2. y  arcsin  ;
5
6.3. y  x  1,
y  arcsin x ;
yx,
2
x  0,
y
y  0.
6.4. y 
x  1, y  0 , x  0,5,
x  2,
y  0.
6.5. y  ln x,
6.6. y   x  1 ,
2
6.7. y  x  2,
2
6.8. y  x ,

.
2
y  1.
y 1
y0,
y  1.
y  x3 ,
y  x2.
3
 x
 x
y  arccos  ;
y  0.
6.9. y  arccos ;
3
5
y  0.
y  arccosx ;
6.10. y  arcsin x;
y  0.
x2;
6.11. y  x 2  2 x  1,
y  x.
6.12. y  x ,
y  arccosx ;
6.13. y  arcsin x;
3
x  0.
3.5.3. Длина дуги кривой
Если функция y  f x  непрерывна вместе с f  x  на промежутке a; b , то длина
b
дуги выражается формулой L   1   f ( x)2 dx .
a
3
Пример. Найти длину дуги кривой y  2x 2 , 0  x  11 .
Решение.
Для вычисления длины дуги кривой, заданной в декартовых координатах,

1
 32 
найдем производную. y   2 x   3x 2 .


Поэтому искомая длина дуги равна
11
b
L   1   f ( x) dx  
2
a
0
3
2
11
11
11
2
 12 
1
1  3x  dx   1  9 x dx   1  9 x d (1  9 x)  2 (1  9 x)

9
3
9
 
0
0
0
41
3
2  2 
  100  1  74 .
27 

Задачи для самостоятельного решения:
1
1. Найти длину дуги кривой y  x x ; 0  x  12 .
3
7
9
2.Найти длину дуги кривой y  1  x 2  arcsin x ; 0  x  .
3. Найти длину дуги кривой y  4 
4.Найти длину дуги кривой y 
x2
; 0 x2 2.
2
1
x  1 x  1 ; 0  x  1 .
3
5. Найти длину дуги кривой y  1 ln sin x ;

3
x

2
.
1  e x  ex
6.Найти длину дуги кривой y 
; 0  x  3.
2
1
 x  1.
4
7.Найти длину дуги кривой y  2 x  x 2  1;
8.Найти длину дуги y  ln cos x ; 0  x 

.
4
x
9.Найти длину дуги y  e  13 ; ln 15  x  ln 24 .
e x  e x
 3; 0  x  2.
2
x2
y

1; 0  x  2 .
11.Найти длину дуги
2


12.Найти длину дуги y  ln sin x ;   x  .
10.Найти длину дуги y 
3
2
13.Найти длину дуги y  2  e ; ln 3  x  ln 8 .
x
14.Найти длину дуги y  1 ln sin x ;

3
x

2
.
e 2 x  e 2 x  3
; 0  x  2.
4
1
1
2
16.Найти длину дуги y  ln 1  x ;   x  .
2
2
1
17.Найти длину дуги y  x  1 x  1 ; 0  x  1 .
3
x
18.Найти длину дуги y  e  6 ; ln 8  x  ln 15 .
15.Найти длину дуги y 


42
4. Вопросы для самоконтроля
1. Интегральное исчисление. Первообразная. Неопределѐнный интеграл.
2. Интегрирование – операция, обратная дифференцированию.
3. Классы интегрируемых функций.
4.Четыре свойства и таблица интегралов. Неберущиеся интегралы.
5. Замена переменного. Подведение под знак дифференциала.
6. Интегрирование по частям.
7. Интегрирование дробно-рациональной функции.
8. Некоторые замены в интегралах от тригонометрических функций.
9. Некоторые замены в интегралах отпростейших иррациональностей.
10. Определѐнный интеграл: площадь криволинейной трапеции и
определение определѐнного интеграла.
11. Свойства определѐнного интеграла.
12. Теоремы о среднем, интеграл с переменным верхним пределом, формула
Ньютона-Лейбница.
13. Специальные функции: интегральный синус, функция Лапласа.
14. Площадь криволинейной трапеции.
15. Объѐм тела вращения.
16.Длина дуги плоской кривой.
43
5. Задания для контрольных работ
5.1. Задания к контрольной работе №1
Найти интегралы:
1
4
1. а)  (5 x  4  2)dx ;
x
2. а)  ( x3 
2
3
6
3. а)  ( x 
x2
3
 1)dx ;
 2 x)dx ;
x4
2
4. а)  (6 x  8  1)dx ;
x
5
5. а)  (3x5  4 x5 x  2)dx ;
3
6. а)  (3x 
2
x
 8)dx ;
5
x  2x  4x
dx ;
x
1
8. а)  (3x 2 
 5)dx ;
2 x
7. а) 
3
3
9. а)  (2 x 
3
x4
 1)dx ;
7
5
10. а)  (6 x  7  1)dx ;
x
2
6
3
11. а)  (7 x  5  2 )dx ;
x
б)
xdx
 2 ;
cos x
б)  x 2 ln xdx ;
x 2 dx
в) 
x3  1
в)  3
;
cos x
sin x  2
dx ;
б)  (2 x  1) cos xdx ; в)  cos3 xsin xdx ;
б)  ln 2xdx ;
б)  ( x  1) sin xdx ;
б)  ln( 2 x  1)dx ;
б) 
xdx
2
;
cos x
б)  arcsin xdx ;
б)  ( x  1)e 2 x dx ;
в) 
e 2 x dx
1  3e 2 x
;
e 2 x dx
в) 
;
e 2 x 1
arctgx
в) 
dx ;
1  x2
x
dx ;
x 1
в)  cos5 xdx ;
в) 
3
в)  x3  8 x 2dx ;
б)  (2 x  1) cos xdx ; в)  x x  2dx ;
б) 
sin
x
dx ;
в)  ln 5xdx ;
x
ln x  3
5 3 2
в)  ln( 5x  7)dx ;
4
dx ;
12. а)  ( 4  x  5 x )dx ; б) 
x ln x
x
4
cos x
ln x
13. а)  (2 
 x5 )dx ;
dx ; в) 
б) 
dx ;
x
x2
sin 2 x  3
14. а)  (2 x 2  4 x )dx ;
в)  (2 x  1)e x dx ;
3x
dx ;
б) 
1  32 x
44
4
6
15. а)  (7 x  3  x )dx ;
x
б) 
x2  4 x  3
dx ;
16. а) 
x
б) 
1
3
17. а)  (4 x  5 x  2 )dx ;
x
2
 3 x )dx ;
x
2
19. а)  (4 x  2  3)dx ;
x
1
20. а)  (3x 2 
 7)dx ;
2 x
18. а)  (7 
dx
;
x2  8x  7
в)  x ln xdx ;
dx
;
4  2 x  x2
x 2 dx
б) 
;
1  x6
б) 
cos x
9  sin 2 x
в)  xarctgxdx ;
в) 
dx ;
б)  e 8 x 1dx ;
ln x
2
dx ;
x
в)  (1  x) sin xdx ;
в)  (3x  4) ln xdx ;
3
б)  2 x x2dx 3;
в) 
ln x
( x  1)2
dx ;
5.2. Задания к контрольной работе №2
Найти интегралы:
1. а) 
1  x dx

1 x x
2. а) 
1 x
dx
x
3. а)

4. а)
4

5.а) 

2
x 3 1  x dx
9x2  6x 1
x3
dx
3  4x  x2

7. а)


б) 
x 1
x2  4x
в)  arctg x dx
2x  3
dx
x  2x  5
x
x
в)  cos cos dx
2
3
dx
2
2x 1
dx
x 2  3x
dx
б)  3
x  x2
б) 
dx
6. а)
8. а)

xdx
9  8x  x 2
б) 
x2
dx
б)  2
x  3x  4
7 x  15
dx
б)  3
x  2 x 2  5x
x 2  6 x dx
б) 
dx
2
x x  1
3  2 x  x 2 dx
б) 
dx
x x2  3
9. а)  2  x  x 2 dx
б)



x  5x  9
dx
x 2  5x  6
2
45

в) sin 6 xcos xdx
в)  e 2 x cos5x dx
x
в)  e sin 3x dx
cos 4 x
в)  2 dx
sin x
dx
в) 
sin 4 x
в)  sin 6 x sin 2 xdx
в)  sin 3 x cos3 xdx
10. а) 
11. а) 
12. а)


б)


б) 
15. а)  3  2 x  x 2 dx
16. а) 
17. а)

18. а)
19. а) 
1 x
dx
x

в)  sin 2 x cos3 xdx
x x
2x  5
dx
2
x  4x  8
в)  e 2 x cos x dx
в)  sin 3 x cos xdx
dx
2
x x  2 
в)  sin 3 x cos2 xdx
dx
4
x  3x 2
x2
б)  3
x  4x
в)  e 2 x cos 2 x dx

1  4 x3
cos x
x  5x  4
dx
2x 1  3 2x 1
20. а) 
в)  sin 2 x dx
2
2
x
5
xdx
2x  6x  5
б)  x 2  5 x  9 dx
б) 
x 1
dx
2x  1

в)  cos6 xcos xdx
xdx
 4x  9
2
б) 
x 3 1  x dx
4
2
5
б)  x3  12 dx
2
x 1
dx
2x  1
x
б) 
x 3 1  x dx
4
13. а)
1 x
dx
x
1  x dx

1 x x
в)  3
dx
cos2 x
в)  sin 3 x cos xdx
x2
dx
x  2x2  2x
3x  2
б)  2
dx
x  x3
б) 
dx
sin 3 x
3
в)  sin 3 x cos2 xdx .
5.3.Задания к контрольной работе №3
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.
Сделать чертеж.
y  x2.
y  x  3.
1. y  x 2  2 x;
2. y  x 2  4 x  3;
y  x  1.
3. y  x 2  6 x  10;
4. y  x 2  2 x  1;
y  x.
5. y  x 2  6 x  8;
y  x4.
6. y  x 2  6 x  13;
y  x  3.
7. y  x 2  1;
y  x  1.
8. y  x 2  8x  15;
9. y  3  2 x  x 2 ;
y  1 x .
y  x2.
y  3x  7 .
y  x  1.
10. y  x 2  2 x  3;
y  x  5.
y  3x  1 .
12. y  2 x  x 2 ;
y  x .
14. y  x  4 x  4;
y  x.
y  2 x  18 .
11. y   x 2  10 x  16;
13. y  3x  1;
2
15. y   x 2  1;
17. y  4 x  x 2 ;
19. y   x 2  2 x  7 ;
3
21. y  x  2 ;
2
16. y  x 2  8x  18;
x  y  8  0.
y  x.
18. y   x 2  4 x  4 ;
y  x7.
x  y 1  0.
20. y  x 2  4 x  5 ;
y  x2  2x .
y  4x  8 .
22. y  4  x 2 ;
2. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры,
46
расположенной в первом квадранте и ограниченной заданными параболой,
прямой и осью Ox . Сделать чертеж.
1. y  2 x 2 ; y  2 x  4.
2. y  x 2 ; y   x  2.
1
3. y  3x 2 ; y   x  4.
4. y  x 2 ; y   x  3.
4
1
1
5. y  x 2 ; y  3 x  8.
6. y  x 2 ; y  3x  12.
2
3
1
1
7. y  4 x 2 ; y  2 x  2.
8. y  x 2 ; y   x  2.
4
2
2
2
9. y  4 x ; y  2 x  6.
10. y  x ; y   x  3.
1
11. y  2 x 2 ; y  3x  14.
12. y  x 2 ; y   x  6.
3
3. Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных
графиками функций. Ось вращения Oy .
 x
y  arccos x ;
y  0.
1. y  arccos ;
3
 x
2. y  arcsin  ;
5
3. y  x  1,
y  arcsin x ;
yx,
2
x  0,
4. y 
x  1, y  0 , x  0,5,
x  2,
y  0.
5. y  ln x,
6. y   x  1 ,
2
y 1
7. y  x  2,
y0,
2
8. y  x ,
3
y  x3 ,
y

.
2
y  0.
y  1.
y  1.
y  x2.
 x
 x
y  arccos  ;
y  0.
9. y  arccos ;
3
5
y  0.
y  arccosx ;
10. y  arcsin x;
y  0.
x2;
11. y  x 2  2 x  1,
4. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной
системе координат.
1. y 
1
x  1 x  1 ; 0  x  1 .
3
x
4. y  e  6 ; ln 8  x  ln 15 .
1
x x ; 0  x  12 .
3
3. y 
2. y  ln x ; 3  x  8 .
47
1  e x  ex
5. y 
; 0  x  3.
2
2
6. y  4  x ;  2  x  2 .
7. y  ln
e 2 x  e 2 x  3
15. y 
; 0  x  2.
4

5
; 3x 8.
2x

.
4
x
9. y  e  13 ; ln 15  x  ln 24 .
8. y  ln cos x ; 0  x 
e x  e x
 3; 0  x  2.
10. y 
2
x2
11. y   1 ; 0  x  2 .
2
20. y  4 
x2
; 0 x2 2.
2
21. y  ln x ; 5  x  11 .
1
2
22. y  4x  x  1 ;  x  1 .
8


x .
3
2
x
13. y  2  e ; ln 3  x  ln 8 .
12. y  ln sin x ; 
14. y  1 ln sin x ;

1
1
2
16. y  ln 1  x ;   x  .
2
2
1
2
17. y  2 x  x  1;  x  1 .
4
5
4 4
18. y  x ; 0  x  9 .
5
19. y  4 x  2 ; 2  x  3 .


x .
3
2
48
Литература
1.
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.
Издание 22-е, переработанное.- СПб.: Изд-во «Профессия», 2001. – 432с.
2.
Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического
анализа: Учебник для вузов. 11-е издание, стер. –СПб.: Издательство "Лань",
2005. –736 с.
3.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевников Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах. Ч.1. Издание 4-е, испр. и доп. – М.: Высшая школа,
1986. – 304 с.
4.
Демидович В.П. Задачи и упражнения по математическому анализу
(для втузов). - М., 1972.
5.
Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И.
Сборник задач по математическому анализу. Том 2. Интегралы. Ряды. Учеб.
пособие/ Под ред. Л.Д.Кудрявцева. Издание 2-е, переработанное.– М.: Наука,
ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 504 с.
6.
Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. Руководство к решению задач по
высшей математике, теории вероятностей и математической статистике.
Издание 2-е, испр. и доп. – Минск: Изд-во «Вышэйшая школа», 1969.– 454 с.
7.
Солдатов М.А., Круглова С.С. Математический анализ функции
одного переменного: Учебное пособие. – Нижний Новгород: Изд-во
Нижегородского госуниверситета, 2013. – 309 с.
8.
Щипачев В.С. Высшая математика. Изд. 7-е, стер.–
М.:Высш.шк.,2005.–479с.
49
Евгений Валентинович Круглов
Елена АнатольевнаТаланова
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ
ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ
Учебно-методическое пособие
Федеральное государственное автономное
образовательное учреждение высшего образования
«Национальный исследовательский Нижегородский
государственный университет им. Н.И. Лобачевского».
603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23.
50