Homeworks #2 (Solutions)
Please include both the process solving and the answers. (풀이과정과 답을 모
두 포함하여야 함.)
1.
푸리에 변환의 의미와 사용 목적에 대해서 기술하라.
-
의미: 푸리에 변환(Fourier transform, FT)은 시간이나 공간에 대한 함수를 시간 또는 공간
주파수 성분으로 분해하는 변환을 말한다. 종종 이 변환으로 나타난 주파수 영역에서 함
수를 표현한 결과물을 가리키는 용어로도 사용된다.
➔ 푸리에 급수와는 다른 개념 (5번 참조)
-
목적 또는 활용: 신호의 주파수 특성을 쉽게 구할 목적으로 사용된다. 예를 들어 통신시
스템에서 신호의 변조 해석에 사용됨.
2.
다음 신호의 푸리에 변환을 구하시오.
𝑡
(a) 𝑔(𝑡) = 𝐴𝑟𝑒𝑐𝑡( )
𝑇
강의2-2참조: 𝐺(𝑓) = 𝐴𝑇 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑓𝑇)
(b) 𝑔(𝑡) = exp(−𝑎𝑡) 𝑢(𝑡)
강의2-2참조: 𝐺(𝑓) =
1
𝑎+𝑗2𝜋𝑓
(c) 𝑔(𝑡) = exp(𝑎𝑡) 𝑢(−𝑡)
강의2-2참조: 𝐺(𝑓) =
1
𝑎−𝑗2𝜋𝑓
𝑡
(d) 𝑔(𝑡) = 𝑟𝑒𝑐𝑡( )cos (2𝜋𝑓𝑐 𝑡)
𝑇
1
강의2-3참조: 𝐺(𝑓) = {𝑠𝑖𝑛𝑐[𝑇(𝑓 − 𝑓𝑐 )] + 𝑠𝑖𝑛𝑐[𝑇(𝑓 + 𝑓𝑐 )]}
2
(e) 𝑔(𝑡) = exp(−𝜋𝑡 2 )
강의2-4참조: 𝐺(𝑓) = exp(−𝜋𝑓 2 )
(f) 𝑔(𝑡) 가 복소수인 경우 ( g(t)=Re[g(t)]+j Im[g(t)] ), 𝑅𝑒[𝑔(𝑡)]
강의2-4참조:
1
2
{𝐺(𝑓) + 𝐺 ∗ (𝑓)}
(g) 𝑔(𝑡) 가 복소수인 경우 ( g(t)=Re[g(t)]+j Im[g(t)] ), 𝐼𝑚[𝑔(𝑡)]
강의2-4참조:
1
2
{𝐺(𝑓) − 𝐺 ∗ (𝑓)}
(h) 𝐷𝑖𝑟𝑎𝑐 𝐷𝑒𝑙𝑡𝑎 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛, 𝑔(𝑡) = δ(𝑡)
강의2-5참조: 𝐺(𝑓) = 1
(i) 𝑔(𝑡) = exp(𝑗2𝜋𝑓𝑐 𝑡)
강의2-5참조: 𝐺(𝑓) = 𝛿(𝑓 − 𝑓𝑐)
(j) 𝑔(𝑡) = 1
강의2-5참조: 𝐺(𝑓) = 𝛿(𝑓)
(k) 𝑔(𝑡) = cos (2𝜋𝑓𝑐 𝑡)
1
강의2-5참조: 𝐺(𝑓) = [𝛿(𝑓 − 𝑓𝑐) + 𝛿(𝑓 + 𝑓𝑐)]
2
(l) 𝑔(𝑡) = sin (2𝜋𝑓𝑐 𝑡)
강의2-5참조: 𝐺(𝑓) =
1
2𝑗
[𝛿(𝑓 − 𝑓𝑐) − 𝛿(𝑓 + 𝑓𝑐)]
(m) 𝑆𝑖𝑔𝑛𝑢𝑚 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛, 𝑔(𝑡) = 𝑠𝑔𝑛(𝑡)
강의2-5참조: 𝐺(𝑓) =
1
𝑗𝜋𝑓
(n) 𝑈𝑛𝑖𝑡 𝑆𝑡𝑒𝑝 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛, 𝑔(𝑡) = 𝑢(𝑡)
강의2-5참조: 𝐺(𝑓) =
1
𝑗2𝜋𝑓
1
+ 𝛿(𝑓)
2
𝑡
(o) 𝑔(𝑡) = 𝐴( )
𝑇
강의5-3참조: 𝐺(𝑓) = 𝐴𝑇 2 sinc 2 (𝑓𝑇)
3.
다음의 푸리에 변환 성질에 대해서 각각 설명하시오.
(a) Linearity (선형성): 강의2-3참조
(b) Dialation (확장): 강의2-3참조
(c) Conjugation Rule (켤레규칙): 강의2-3참조
(d) Duality (쌍관관계): 강의2-3참조
(e) Time Shifting (시간이동): 강의2-3참조
(f) Frequency Shifting (주파수이동): 강의2-3참조
(g) Area under g(t) (g(t)의 면적): 강의2-4참조
(h) Area under G(f) (G(f)의 면적): 강의2-4참조
(i) Differentiation in the time domain (시간영역에서의 미분): 강의2-4참조
(j) Differentiation in the frequency domain (주파수영역에서의 미분): 강의2-4참조
(k) Modulation Theorem (변조이론): 강의2-4참조
(l) Convolution Theorem (컨볼루션 이론): 강의2-4참조
(m) Correlation Theorem (상관이론): 강의2-4참조
(n) Rayleigh’s Energy Theorem (레일리의 에너지 이론) 또는 Parseval Theorem (파스발 이론) :
강의2-4참조
4.
푸리에 변환 성질을 이용하는 목적에 대해서 기술하라.
-
수식적으로 풀기 어려운 푸리에 변환에 대해 성질을 이용하여 쉽고 빠르게 푸리에 변환
을 수행할 수 있고, 푸리에 변환 특성을 이용하여 직관적인 주파수 해석이 가능함.
5.
푸리에 급수의 의미와 사용 목적에 대해서 기술하라.
-
의미: '주기적인 연속 함수'(periodic continuous function)를 정현파 함수 (sinusoidal
function)들의 합으로 나타낸 것. 정현파의 함수는 sine/cosine 또는 exponential 지수 함
수로 표현가능.
➔ 푸리에 변환과는 다른 개념 (1번 참조)
-
목적 또는 활용: 주기함수는 에너지 함수가 아니어서 디리클레 조건에 맞지 않는다 (직접
푸리에 변환 불가능). 따라서 주기함수를 정현파 함수 (sine/cosine 또는 exponential)로
표현 할 수 있는 푸리에 급수를 적용한 후 푸리에 변환을 하여 주파수 해석을 할 수 있
다.
6.
푸리에 급수의 두가지 표현 방법에 대해서 기술하라.
-
Sine/cosine 함수를 사용한 표현방법: 3-2강의 참조
-
Exponential 함수를 사용한 표현방법: 3-2강의 참조
7.
다음의 시간 영역의 두 가지 신호에 대해서 주파수 영역에서의 해석을 위한 방법에 대해서
기술하라.
x (t)
x (t)
t
t
1
1
...
t
0
...
−T
/
−T
2
0
cn
X (f )
(a) t
/
T
2
t
T
t /To
(b)
➔ 3-4강의 참조
1
(a)1 T = T o
t
t
<Fourier Transform>
<Fourier
Series>
f
0
0
fo
x (t)
x (t)
f
1
1
...
t
0
−T
−T
/
2
...
cn
0
T
cn
X (f )
/
2
t
T
t/T /2To
o
(b) T =2 T o
(a) T = T o
1
0
0
f
1
1
t
f
/
fo
2
0
fo
cn
/2To
1
(b) T =2 T o
f
0
fo
8.
/
2
선형 시불변 시스템 (Linear Time-Invaiant (LTI) System)의 성질에 대해서 각각 설명하시오.
(a) Linearity (선형성): 4-1강의 참조
(b) Time invariant (시불변) : 4-1강의 참조
(c) Causal (인과) 및 Noncausal (비인과) : 4-1강의 참조
(d) Stable / Unstable System: 4-1강의 참조
(e) Frequency Response (주파수 응답) : 4-1강의 참조
f
9.
무왜곡 전송 조건에 대해서 기술하고, 이상적인 저역필터(Low-pass filter), 고역필터(High-pass
filter), 및 대역필터(Band-pass filter)에 대해서 기술하시오.
➔ 4-2강의 참조
❑
무왜곡 전송
❑
무왜곡 전송의 조건
10. 다음에 대해서 기술하시오
(a) 에너지신호 (Energy signal): 2-1/4-3 강의 참조
(b) 에너지 스펙트럼 밀도 (Energy Spectral Density, ESD): 4-3 강의 참조
(c) 에너지신호와 에너지 스펙트럼 밀도와의 관계: 4-3 강의 참조
(d) 에너지신호의 자기상관함수 (Autocorrelation) 및 상호상관함수 (Crosscorrelation): 4-3 강
의 참조
(e) 전력신호 (Power signal): 2-1/4-4 강의 참조
(f) 전력 스펙트럼 밀도 (Power Spectral Density, PSD): 4-4 강의 참조
(g) 전력신호와 전력 스펙트럼 밀도와의 관계: 4-4 강의 참조
(h) 전력신호의 자기상관함수 (Autocorrelation) : 4-4 강의 참조