Homeworks #2 (Solutions) Please include both the process solving and the answers. (풀이과정과 답을 모 두 포함하여야 함.) 1. 푸리에 변환의 의미와 사용 목적에 대해서 기술하라. - 의미: 푸리에 변환(Fourier transform, FT)은 시간이나 공간에 대한 함수를 시간 또는 공간 주파수 성분으로 분해하는 변환을 말한다. 종종 이 변환으로 나타난 주파수 영역에서 함 수를 표현한 결과물을 가리키는 용어로도 사용된다. ➔ 푸리에 급수와는 다른 개념 (5번 참조) - 목적 또는 활용: 신호의 주파수 특성을 쉽게 구할 목적으로 사용된다. 예를 들어 통신시 스템에서 신호의 변조 해석에 사용됨. 2. 다음 신호의 푸리에 변환을 구하시오. 𝑡 (a) 𝑔(𝑡) = 𝐴𝑟𝑒𝑐𝑡( ) 𝑇 강의2-2참조: 𝐺(𝑓) = 𝐴𝑇 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑓𝑇) (b) 𝑔(𝑡) = exp(−𝑎𝑡) 𝑢(𝑡) 강의2-2참조: 𝐺(𝑓) = 1 𝑎+𝑗2𝜋𝑓 (c) 𝑔(𝑡) = exp(𝑎𝑡) 𝑢(−𝑡) 강의2-2참조: 𝐺(𝑓) = 1 𝑎−𝑗2𝜋𝑓 𝑡 (d) 𝑔(𝑡) = 𝑟𝑒𝑐𝑡( )cos (2𝜋𝑓𝑐 𝑡) 𝑇 1 강의2-3참조: 𝐺(𝑓) = {𝑠𝑖𝑛𝑐[𝑇(𝑓 − 𝑓𝑐 )] + 𝑠𝑖𝑛𝑐[𝑇(𝑓 + 𝑓𝑐 )]} 2 (e) 𝑔(𝑡) = exp(−𝜋𝑡 2 ) 강의2-4참조: 𝐺(𝑓) = exp(−𝜋𝑓 2 ) (f) 𝑔(𝑡) 가 복소수인 경우 ( g(t)=Re[g(t)]+j Im[g(t)] ), 𝑅𝑒[𝑔(𝑡)] 강의2-4참조: 1 2 {𝐺(𝑓) + 𝐺 ∗ (𝑓)} (g) 𝑔(𝑡) 가 복소수인 경우 ( g(t)=Re[g(t)]+j Im[g(t)] ), 𝐼𝑚[𝑔(𝑡)] 강의2-4참조: 1 2 {𝐺(𝑓) − 𝐺 ∗ (𝑓)} (h) 𝐷𝑖𝑟𝑎𝑐 𝐷𝑒𝑙𝑡𝑎 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛, 𝑔(𝑡) = δ(𝑡) 강의2-5참조: 𝐺(𝑓) = 1 (i) 𝑔(𝑡) = exp(𝑗2𝜋𝑓𝑐 𝑡) 강의2-5참조: 𝐺(𝑓) = 𝛿(𝑓 − 𝑓𝑐) (j) 𝑔(𝑡) = 1 강의2-5참조: 𝐺(𝑓) = 𝛿(𝑓) (k) 𝑔(𝑡) = cos (2𝜋𝑓𝑐 𝑡) 1 강의2-5참조: 𝐺(𝑓) = [𝛿(𝑓 − 𝑓𝑐) + 𝛿(𝑓 + 𝑓𝑐)] 2 (l) 𝑔(𝑡) = sin (2𝜋𝑓𝑐 𝑡) 강의2-5참조: 𝐺(𝑓) = 1 2𝑗 [𝛿(𝑓 − 𝑓𝑐) − 𝛿(𝑓 + 𝑓𝑐)] (m) 𝑆𝑖𝑔𝑛𝑢𝑚 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛, 𝑔(𝑡) = 𝑠𝑔𝑛(𝑡) 강의2-5참조: 𝐺(𝑓) = 1 𝑗𝜋𝑓 (n) 𝑈𝑛𝑖𝑡 𝑆𝑡𝑒𝑝 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛, 𝑔(𝑡) = 𝑢(𝑡) 강의2-5참조: 𝐺(𝑓) = 1 𝑗2𝜋𝑓 1 + 𝛿(𝑓) 2 𝑡 (o) 𝑔(𝑡) = 𝐴( ) 𝑇 강의5-3참조: 𝐺(𝑓) = 𝐴𝑇 2 sinc 2 (𝑓𝑇) 3. 다음의 푸리에 변환 성질에 대해서 각각 설명하시오. (a) Linearity (선형성): 강의2-3참조 (b) Dialation (확장): 강의2-3참조 (c) Conjugation Rule (켤레규칙): 강의2-3참조 (d) Duality (쌍관관계): 강의2-3참조 (e) Time Shifting (시간이동): 강의2-3참조 (f) Frequency Shifting (주파수이동): 강의2-3참조 (g) Area under g(t) (g(t)의 면적): 강의2-4참조 (h) Area under G(f) (G(f)의 면적): 강의2-4참조 (i) Differentiation in the time domain (시간영역에서의 미분): 강의2-4참조 (j) Differentiation in the frequency domain (주파수영역에서의 미분): 강의2-4참조 (k) Modulation Theorem (변조이론): 강의2-4참조 (l) Convolution Theorem (컨볼루션 이론): 강의2-4참조 (m) Correlation Theorem (상관이론): 강의2-4참조 (n) Rayleigh’s Energy Theorem (레일리의 에너지 이론) 또는 Parseval Theorem (파스발 이론) : 강의2-4참조 4. 푸리에 변환 성질을 이용하는 목적에 대해서 기술하라. - 수식적으로 풀기 어려운 푸리에 변환에 대해 성질을 이용하여 쉽고 빠르게 푸리에 변환 을 수행할 수 있고, 푸리에 변환 특성을 이용하여 직관적인 주파수 해석이 가능함. 5. 푸리에 급수의 의미와 사용 목적에 대해서 기술하라. - 의미: '주기적인 연속 함수'(periodic continuous function)를 정현파 함수 (sinusoidal function)들의 합으로 나타낸 것. 정현파의 함수는 sine/cosine 또는 exponential 지수 함 수로 표현가능. ➔ 푸리에 변환과는 다른 개념 (1번 참조) - 목적 또는 활용: 주기함수는 에너지 함수가 아니어서 디리클레 조건에 맞지 않는다 (직접 푸리에 변환 불가능). 따라서 주기함수를 정현파 함수 (sine/cosine 또는 exponential)로 표현 할 수 있는 푸리에 급수를 적용한 후 푸리에 변환을 하여 주파수 해석을 할 수 있 다. 6. 푸리에 급수의 두가지 표현 방법에 대해서 기술하라. - Sine/cosine 함수를 사용한 표현방법: 3-2강의 참조 - Exponential 함수를 사용한 표현방법: 3-2강의 참조 7. 다음의 시간 영역의 두 가지 신호에 대해서 주파수 영역에서의 해석을 위한 방법에 대해서 기술하라. x (t) x (t) t t 1 1 ... t 0 ... −T / −T 2 0 cn X (f ) (a) t / T 2 t T t /To (b) ➔ 3-4강의 참조 1 (a)1 T = T o t t <Fourier Transform> <Fourier Series> f 0 0 fo x (t) x (t) f 1 1 ... t 0 −T −T / 2 ... cn 0 T cn X (f ) / 2 t T t/T /2To o (b) T =2 T o (a) T = T o 1 0 0 f 1 1 t f / fo 2 0 fo cn /2To 1 (b) T =2 T o f 0 fo 8. / 2 선형 시불변 시스템 (Linear Time-Invaiant (LTI) System)의 성질에 대해서 각각 설명하시오. (a) Linearity (선형성): 4-1강의 참조 (b) Time invariant (시불변) : 4-1강의 참조 (c) Causal (인과) 및 Noncausal (비인과) : 4-1강의 참조 (d) Stable / Unstable System: 4-1강의 참조 (e) Frequency Response (주파수 응답) : 4-1강의 참조 f 9. 무왜곡 전송 조건에 대해서 기술하고, 이상적인 저역필터(Low-pass filter), 고역필터(High-pass filter), 및 대역필터(Band-pass filter)에 대해서 기술하시오. ➔ 4-2강의 참조 ❑ 무왜곡 전송 ❑ 무왜곡 전송의 조건 10. 다음에 대해서 기술하시오 (a) 에너지신호 (Energy signal): 2-1/4-3 강의 참조 (b) 에너지 스펙트럼 밀도 (Energy Spectral Density, ESD): 4-3 강의 참조 (c) 에너지신호와 에너지 스펙트럼 밀도와의 관계: 4-3 강의 참조 (d) 에너지신호의 자기상관함수 (Autocorrelation) 및 상호상관함수 (Crosscorrelation): 4-3 강 의 참조 (e) 전력신호 (Power signal): 2-1/4-4 강의 참조 (f) 전력 스펙트럼 밀도 (Power Spectral Density, PSD): 4-4 강의 참조 (g) 전력신호와 전력 스펙트럼 밀도와의 관계: 4-4 강의 참조 (h) 전력신호의 자기상관함수 (Autocorrelation) : 4-4 강의 참조