Niels Laukens
Fysica - Deel 2 - Golven
2003-12-07
(Fishbane H14-15)
H1. Algemene begrippen
A. Woordenschat
1. Convectie – conductie
Conductie: overdracht van informatie zonder dat er macroscopisch transport gebeurt:
brand blussen: op een rij staan, emmers doorgeven.
Convectie: overdracht van macroscopische elementen: brand blussen: af- en aanlopen met
een emmer.
2. Definitie golf
is een storing van een fysische grootheid (druk, dichtgeid, hoogte, ...) ten opzichte van
een referentiewaarde die zich zonder macroscopisch massatransport (conductie)
voortplant.
De voortplantingssnelheid van de golf is afhankelijk van het milieu dat de golf draagt.
3. Vier soorten golven
•
•
•
•
Mechanische: geluid, zeegolven
Electromagnetische: radio, tv (bestaan ook in vacuum)
Materie: “de Broglie”
Gravitationele (experimenteel)
4. Longtitudinale – transversale golven
longitudinale: perturbatie gebeurt langs de voortplantingsrichting
transversale: perturbatie gebeurt loodrecht op de voortplantigsrichting
5. Golffunctie
( )
f r, t
B. Veronderstellingen
1. Het milieu dat de golf draagt is “constant”: homogeen, isotroop, stationair
homogeen:
eigenschappen van het milieu zijn invariant voor translaties
isotroop:
rotaties
stationair:
tijdstranslaties
2. golf is lineair
De voortplantingssnelheid van de golf is functie van het ongestoord milieu: ν = C te
Superpositie principe: lineaire combinatie van 2 golven is weer een golf
3. Het milieu is niet dissipatief: geen energieoverdracht tussen golf – milieu
Besluit:
In deze cursus gaan we ons interesseren in golven (lineair, ideaal milieu):
Een golf is een perturbatie van een fysische grootheid die zich met constante snelheid en
zonder vormverandering in de ruimte voortplant.
G:\data\mijn documenten\archief\Collegejaar 2002-2003\Fysica\Deel 2 - Golven.doc
p1/11
Niels Laukens
Fysica - Deel 2 - Golven
2003-12-07
H2. Vlakke Monochromatisch Golven (VMG)
A. Vlakke golf
( )
Voor f r , t geldt dat de meetkundige plaats van constante waarden evenwijdige vlakken
vormen (reductie tot 1D).
B. Monochromatische golf
Één enkele pulsatie ω
Op een vaste plaats evolueert een golf als f ( t ) als een HO
∂2
f r , t = −ω 2 f r , t
2
∂t
( )
( )
C. Bepaling van de golffunctie van een VMG
Voor x = 0 : f ( 0, t ) = D sin (ωt )
Voor t = 0 : f ( x, 0 ) = D sin ( kx + ϕ )
De golf beweegt zich met een constante snelheid voort door de ruimte. We kunnen dus
een referentie stelsel vinden waarin de golf stilstaat:
f ( x ', t ) = D sin ( kx '+ ϕ )
Galileo-transformatie:
D sin ( kx '+ ϕ ) = D sin ( k ( x − vt ) + ϕ ) = D sin ( kx − kvt + ϕ ) waarbij kv = ω
Besluit: Een VMG wordt beschreven door een golffunctie f ( x, t ) = D sin ( kx − kvt + ϕ )
Waarbij v de voortplantingssnelheid of fasesnelheid is van de golf. v
ω
k
H3. De Golfbetrekking
= bewegingsvergelijking
A. Opstellen voor een VMG
∂2
Z = −ω 2 Z : een HO in de tijd met pulsatie ω .
2
∂t
∂2
Beschouw 2 Z = − k 2 Z : een HO in de ruimte met ruimtelijke pulsatie of golfgetal k.
∂x
2
ω
1
1 ∂2Z
− k 2 Z = − 2 Z = 2 ( −ω 2 Z ) = 2 2
v
v
v ∂t
Beschouw
Besluit:
∂2Z 1 ∂2Z
−
= 0 met v constant.
∂x 2 v 2 ∂t 2
Algemene vorm van een golfbetrekking in een “ideale ruimte”
B. Algemene oplossing?
Stap 1: veranderen van veranderlijke: transformatie van Leibnitz:
G:\data\mijn documenten\archief\Collegejaar 2002-2003\Fysica\Deel 2 - Golven.doc
p2/11
Niels Laukens
α
β
Fysica - Deel 2 - Golven
2003-12-07
x − vt
x + vt
Dan kunnen we Z ( x, t ) herschrijven als f (α , β ) .
Stap 2: kettingregel:
∂
∂f ∂α ∂f ∂β ∂f ∂f
f (α , β ) =
+
=
+
∂x
∂α ∂x ∂β ∂x ∂α ∂β
∂2 f
∂ ∂f ∂ 2 f
∂2 f
∂2 f
∂2 f ∂2 f
∂2 f
∂2 f
=
=
+
+
+
=
+
+
2
∂x 2 ∂x ∂x ∂α 2 ∂α∂β ∂β ∂α ∂β 2 ∂α 2
∂α∂β ∂β 2
∂
∂f ∂α ∂f ∂β
∂f
∂f
f (α , β ) =
+
= −v
+v
∂t
∂α ∂t ∂β ∂t
∂α
∂β
(1)
2
2
2
∂2 f
∂ ∂f
2 ∂ f
2 ∂ f
2 ∂ f
2
=
=
v
−
v
+
v
∂t 2 ∂t ∂t
∂α 2
∂α∂β
∂β 2
⇔
1 ∂2 f ∂2 f
∂2 f
∂2 f
=
−
2
+
v 2 ∂t 2 ∂α 2
∂α∂β ∂β 2
(1)-(2) = 4
(2)
∂2 f
=0
∂α∂β
∂2 f
= 0 equivalent met de golfbetrekking
∂α∂β
Stap 4: oplossen:
∂g ( x )
= 0 ⇒ g ( x ) = C te
∂x
Dus:
∂  ∂f 
OF

 = 0 ⇒ f (α , β ) = g1 ( β )
∂α  ∂β 
∂  ∂f 

 = 0 ⇒ f (α , β ) = g 2 (α )
∂β  ∂α 
Stap 5: Besluit
f (α , β ) = g1 ( β ) + g 2 (α )
OF
Z ( x, t ) = F1 ( x − vt ) + F2 ( x + vt ) met F1 en F2 willekeurige functies
Bespreking:
Wat is F1 ( x − vt ) ?
Het is een signaal dat zich zonder wijziging van vorm voortplant langs de positieve x-as
met snelheid v.
Wat is F2 ( x + vt ) ?
Het is een signaal dat zich zonder wijziging van vorm voortplant langs de negatieve x-as
met snelheid v.
C. Slotopmerking
1. De golfbetrekking bevat alleen maar het begrip voortplanting in een bepaalde zin met
een bepaalde snelheid.
G:\data\mijn documenten\archief\Collegejaar 2002-2003\Fysica\Deel 2 - Golven.doc
p3/11
Niels Laukens
Fysica - Deel 2 - Golven
2003-12-07
Niet de golfvorm, energie-inhoud, pulstatie, .... Deze worden opgelegd door de
randvoorwaarden (bron).
2. De golfvergelijking is lineair:
∂2Z1 1 ∂2Z1
−
=0
∂x 2 v 2 ∂t 2
Hieruit volgt dat het superpositieprincipe geldt: twee golven optellen blijft een golf.
H4. Staande Golven
A. Algemeen
Beschouw Z1 = A sin ( kx − ωt )
Beschouw Z 2 = A sin ( kx + ωt )
Z = Z1 + Z 2 = A ( sin ( kx − ωt ) + sin ( kx + ωt ) )
= 2 A sin ( kx ) cos (ωt )
Bespreking
Knopen of nodes: plaatsen waar de golf 0 is en 0 blijft.
Buiken of anti-nodes: plaatsen waar de golf maximaal/minimaal is: evolueert in de tijd als
een HO.
Positie van de knopen
Z ( x, t ) = 0 en dat ∀t
Oplossen geeft:
sin ( kx ) = 0 ⇔ xknoop = n
Vermits k =
2π
λ
π
k
is xn =
Positie van de buiken
π
sin ( kx ) = ±1 ⇒ xB =
en weer xBn =
λ
4
2k
met n ∈
λ
2
n
( 2n + 1)
met n ∈
( 2n + 1)
G:\data\mijn documenten\archief\Collegejaar 2002-2003\Fysica\Deel 2 - Golven.doc
p4/11
Niels Laukens
Fysica - Deel 2 - Golven
2003-12-07
Besluit:
Bij knopen hebben we destructieve interferentie van de golven: tegenfase
Bij buiken hebben we constructieve interferentie van de golven: fase
B. Resonante staande golven
Vb: Bij snaar gespannen tussen 2 vaste punten (VMG)
Z = 2 A sin ( kt ) cos (ωt )
de twee vaste punten moeten vast blijven en zijn dus verplicht knopen:
Z ( 0, t ) = Z ( l , t ) = 0 en dit ∀t
Aangezien de knooppunten liggen op ±
λ
2
kennen, hebben we een beperking op λ .
,±
2λ 3λ
, ± ,... en we de lengte van de resonator
2
2
Besluit
Er treed quantisatie op van λ , dus ook van k , van ω en van f :
λ1 : fundamentele mode, grondtoon, 1°
harmonische
λ1 = 2 L
2π π
=
k1 =
λ1 L
π
ω1 = k1v = v
Algemeen:
2L
λi =
i
ki = i
ωi = i
L
1
ω
f1 = 1 =
v
2π 2 L
π
L
π
v
L
1
fi =
vi
2L
H5. Zwevingen
A. Hoe?
 Z1 = A sin ( k1 x − ω1t )
ω ω
met v = 1 = 2

k1 k2
 Z 2 = A sin ( k2 x − ω2t )
 k = K + ∆k
ω = Ω + ∆ω
∆k
en  1
met
Onderstel dat  1
K
 k 2 = K − ∆k
ω2 = Ω − ∆ω
G:\data\mijn documenten\archief\Collegejaar 2002-2003\Fysica\Deel 2 - Golven.doc
1 en
∆ω
Ω
1
p5/11
Niels Laukens
Fysica - Deel 2 - Golven
2003-12-07
B. Superpositie
Z = Z1 + Z 2 = A ( sin ( k1 x − ω1t ) + sin ( k2 x − ω2t ) )
ω + ω2   k1 − k2
ω − ω2 
k +k
t  cos 
x− 1
t
= 2 A sin  1 2 x − 1
2
2
 2

 2

= 2 A sin ( Kx − Ωt ) cos ( ∆kx − ∆ωt )
= 2 A cos ( ∆kx − ∆ωt ) sin ( Kx − Ωt )
Amplitude in x en t
Voorbeeld:
rad
rad


Ω = 100 s
 K = 100 m
en 

∆ω = 1 rad
∆k = 1 rad


s
m
Zie ook Fishbane 15-6
H6. Voorbeeld van een transversale mechanische golf
A. Probleem
1. Voldoet deze permutatie aan de golfbetrekking?
2. Wat is dan de snelheid van voortplanting?
B. Bepalen van de voortplantingssnelheid met dimensie analyse
Parameters van het probleem?
• Massa van de snaar Æ µ : massa per lengteeenheid
• Spanning op de draad: T
• Lengte van de draad
Dimensie analyse geeft: v = κ T α m β l γ
1 −1
LT
= ( LMT −2 ) M β Lγ
α
= Lα +γ M α + β T −2α
Dit levert een stelsel op:
α = 12
1 = α + γ


1
−1 = −2α ⇔  β = − 2
0 = α + β
γ = 1


2
De formule wordt dus: v = κ
Tl
T
=κ
m
µ
G:\data\mijn documenten\archief\Collegejaar 2002-2003\Fysica\Deel 2 - Golven.doc
p6/11
Niels Laukens
Fysica - Deel 2 - Golven
2003-12-07
C. Opstellen van de golfbetrekking
Onderstel dat de spanning T voor en tijdens de
perturbatie gelijk zijn.
θ is de hoek die TL maakt met de horizontale
θ + ∆θ is de hoek die TR maakt met de horizontale
Onderstel θ en θ + ∆θ klein zodat sin θ ≈ θ ≈ tan θ
De wet van Newton leert ons dat:
∂2Z
∂2Z
m 2 = µ∆x 2 = FtotaalZ
∂t
∂t
= T sin (θ + ∆θ ) − T sin (θ )
≈ T tan (θ + ∆θ ) − T tan (θ )
 ∂Z ( x + ∆x ) ∂Z ( x ) 
=T
−

∂x
∂x 

∂
= T ( Z ( x + ∆x ) − Z ( x ) )
∂x
2
∂ Z
∂ ∂Z
∂2Z
⇔ µ 2 ≈T
=T 2
∂t
∂x ∂x
∂x
2
2
∂ z µ∂ Z
⇔ 2 =
T ∂t 2
∂x
T
∂2Z 1 ∂2Z
⇔ 2 − 2 2 = 0 met v =
∂x
v ∂t
µ
D. Energietransport van de golf op de snaar
Hoeveel energie wordt er door de golf gedragen?
dEt = dKE + dU
2
 ∂Z 
dKE = 12 mv 2 = 12 µ dx 
 is de kinetische energie van een klein segmentje dx
 ∂t 
dU = T ( dl − dx )
=T
(
dx 2 + dZ 2 − dx
)


∂Z 2
= T  dx 1 + 2 − dx 


∂x


2


∂Z
dU = Tdx 1 + 12 2 − 1 (ontwikkeling volgens binomium van newton: (1 + a ) n = 1 + na + ... )
∂x


2
∂Z
dU = 12 Tdx 2
∂x
Optellen geeft:
2
dEt µ  ∂Z  T  ∂Z 
= 
 + 

dx 2  ∂t 
2  ∂x 
2
G:\data\mijn documenten\archief\Collegejaar 2002-2003\Fysica\Deel 2 - Golven.doc
p7/11
Niels Laukens
Fysica - Deel 2 - Golven
2003-12-07
E. Energie van een VMG
Z ( x, t ) = A sin ( kx − ωt )
∂Z
= −ω A cos ( kx − ωt )
∂t
∂Z
= kA cos ( kx − ωt )
∂x
dEt
= Energie die de golf draagt per lengteeenheid
dx
= 12 µω 2 A2 cos 2 ( kx − ωt ) + 12 Tk 2 A2 cos 2 ( kx − ωt )

k2 
= 12 A2ω 2 cos 2 ( kx − ωt )  µ + T 2 
ω 

1

= 12 A2ω 2 cos 2 ( kx − ωt )  µ + T 2 
v 

µ

= 12 A2ω 2 cos 2 ( kx − ωt )  µ + T 
T

dEt
= A2ω 2 cos 2 ( kx − ωt ) µ
dx
Bespreking
•
•
•
dEt
ω
T
is een golffunctie met v = =
dx
µ
k
Amplitude (energie) is evenredig met:
o A2 : altijd
o ω 2 : altijd bij mechanische golven
o µ : altijd bij mechanische golven
t0 + topname dE (τ )
dEt
1
t
dτ
∫
t
0
dx
topname
dx
Toestellen met ‘lange’ responsietijd ( topname
voor VMG:
dEt
= 12 A2ω 2 µ
dx
2π
ω
) meten altijd de gemiddelde energie,
F. Slotopmerking
We werken in een niet dissipatief medium: de energie blijft dus constant!
1
Voor sferische golven (steen in water): Etotaal = C te ∼ A2 2π r dus is A ∼
r
1
Voor volume golven (geluid): Etotaal = C te ∼ A2 4π r 2 en is A ∼
r
G:\data\mijn documenten\archief\Collegejaar 2002-2003\Fysica\Deel 2 - Golven.doc
p8/11
Niels Laukens
Fysica - Deel 2 - Golven
2003-12-07
H7. Een voorbeeld van een longitudinale mechanische golf: geluid
A. Setting the scene
1. Wat?
Pulsatie van de druk binnen het medium.
N
δ p = p ( x ) − p0 met p0 ≈ 105 Pa = 105 2
m
N
δ p ≈ 1Pa = 1 2
m
2. Snelheid
Zie ook 2° kan BI: δ p ( x, t ) voldoet aan de golfbetrekking
v =κ
p0
ρ0
met ρ0 de massadichtheid van het medium
N
k BT
k BT
m
=κ
= 330 (in lucht)
v =κ V
N
mdeeltje
s
mdeeltje
V
m
v in water is 1402
s
3. Besluit:
Hoe dichter het milieu, hoe sneller de geluidsgolven zicht voortplanten.
4. Monochromatische geluidsgolven
Hoorbare golven:
Infrasoon – 20Hz – 20kHz – ultrasoon
B. Intensiteit
I
P
W
J
in 2 = 2
S
m
sm
p0 2
Voor akoestische golven: I = I gemiddeld =
2 ρ 0v
W
W
W
Wij horen van 10−12 2 tot 100 2 = 1 2
m
m
m
 I 
De decibel (dB): β 10 log 

 I0 
Geluidsintensiteit die hoorbaar zijn: 0dB ≤ β ≤ 120dB
Typische geluidssterkten:
Fluisteren van de bladeren
Gewoon gesprek
Finale van de 9° symfonie van Beethoven
Popconcert in KK
10dB
60dB
95dB
100dB
G:\data\mijn documenten\archief\Collegejaar 2002-2003\Fysica\Deel 2 - Golven.doc
p9/11
Niels Laukens
Fysica - Deel 2 - Golven
2003-12-07
H8. Het Doppler effect
A. Wat?
De frequentie (toon/kleur) van een monochromatisch signaal zoals waargenomen door een
detector hangt af van:
• de snelheid van de bron
• de snelheid van de waarnemer
als deze ten opzichte van elkaar bewegen
Ze hangt niet af de voortplantingssnelheid van het milieu
Geheugensteuntje: [auto]
• bron/waarnemer gaat weg
Æ roodverschuiving/redshift
[rode achterlichten]
• bron/waarnemer komen naar elkaar toe Æ blauwverschuivinf/blueshift
[wit-blauwe voorlichten]
Woordenschat uit de optica (elektromagnetische golven):
Golflengte:
UV – 350nm, blauw – 750nm, rood – IR
c
Frequentie: f =
λ
IR – 400THz, rood – 850THz, blauw – UV
B. Niet relativistisch Doppler effect: geval 1
Bron beweegt naar waarnemer toe
Gegeven:
vr = 0
vs > 0
De bron zendt monochromatische golven uit met golflengte λ0 en frequentie f 0 met
λ0 f 0 = v
De eigenlijke golflengte hangt af van de snelheid:
1
λ = λ0 − vsτ 0 met τ 0 = = de periode van 1 golf
f0
v
v − vs
 v 
λ = λ0 − s λ0 = λ0 1 − s  = λ0
v
v
v

De frequentie wordt gegeven door
v
v
v
= f0
f = =
λ λ v − vs
v − vs
0
v
C. Geval 2
Bron beweegt van waarnemer weg
Zelfde als vorig geval, maar met vs ' = −vs
v + vs '
v
en f = f 0
λ = λ0
v
v + vs '
G:\data\mijn documenten\archief\Collegejaar 2002-2003\Fysica\Deel 2 - Golven.doc
p10/11
Niels Laukens
Fysica - Deel 2 - Golven
2003-12-07
D. Geval 3
Waarnemer beweegt naar bron toe
vs = 0
vr > 0
De golflengte is hier wel dezelfde als de bron zendt, maar de voortplantingssnelheid is
veranderd: v = v + vr . De frequentie is dan:
v
v + vr
v ' v + vr
v v
f = =
= + r = f0 + r f0 = f0
λ
λ0
λ0 λ0
v
v
E. Geval 4
Waarnemer beweegt van bron weg
Zelfde als vorig geval maar met vr ' = −vr
v − vr '
f = f0
v
F. Geval 5
Bron en waarnemer in rust, medium in beweging
v ' = v + vm
Dus is λ ' = λ + vmτ met τ =
1
f
vm
v λ
= λ + m want λ f = v
f
v
 v 
en dus λ ' = λ 1 + m 
v 

λ'=λ+
De frequentie blijft echter wel constant: f ' =
v'
=
λ'
v + vm
v
= = f
 v + vm  λ
λ

 v 
Er treed dus geen Doppler verschuiving op.
G. Schokgolf
Als de bron naar de waarnemer toe beweegt, wordt de frequentie gegeven door
fv
. Als vs nu v benadert, dan nadert de frequentie tot oneindig en de golflengte
f '=
v − vs
tot nul.
cos θ =
Als vs
vt2
v
=
vs t2 vs
v dan word de schokgolf een dunnere kegel.
G:\data\mijn documenten\archief\Collegejaar 2002-2003\Fysica\Deel 2 - Golven.doc
p11/11