Matematică Specială
Laborator nr6
GîRDEI DUMITRU
FCIM - TI - 203
VARIANTA 13
2
lab6_GirdeiD.nb
4)Să se scrie legea de repartiţie a variabilei aleatoare  care reprezintă numărul de
aruncări nereuşite ale unui zar până la prima apariţie a numărului 4. Să se calculeze
probabilitatea ca în timpul aruncărilor cu numerele de ordin de la 5 + k până la 15 + k
numărul 4 nu va apărea, unde k nr variantei
numerele vor fi 18 si 28
NUMERELE VOR FI 18 SI 28
28
In[ ]:=
N  1  6 * (5 / 6)k-1 
k=18
численное
приближение
Out[]=
0.0390069
lab6_GirdeiD.nb
10)Exercițiul 10.
Cantitatea anuală de precipitaţii atmosferice are repartiţie normală.Presupunem
că cantitatea anuală de precipitaţii într - o careva regiune este o variabilă aleatoare de
repartiţie normală de parametrii m = 500 (mm) şi sigma = 150.
1 Care este probabilitatea că la anul viitor cantitatea de precipitaţii va fi cuprinsă
între 400 + 5 n si 500 + 5 n
2 Dacă considerăm că un an este secetos când cantitatea de precipitaţii nu
depăşeşte 300 mm, atunci care este probabilitatea că doi din viitorii zece ani
vor fi secetoşi ?
Rezolvarea :
1 Calculam care este probabilitatea că la anul viitor cantitatea de precipitaţii va fi
cuprinsă între intervalul[465;
565].Calculăm acest exercițiu aplicînd formula
densitatea de repartiţie, Deoarece numerele de Baza sunt 465 si 565
565
In[ ]:=
N
1
*ⅇ
-
x-5002
2*1502
ⅆ x
465 150приближение
* 2*π
численное
Out[]=
0.262873
2) Calculam probabilitatea ca doi ani din viitorii 10 ani vor fi secetosi
In[ ]:=
300
N
1
0
150
* 2*π
численное
приближение
Out[]=
0.231476
-
*ⅇ
x-5002
2*150
2
ⅆ x
3
4
lab6_GirdeiD.nb
exercitiul8
Presupunem că o conversaţie telefonică durează în mediu 5 minute şi este o
variabilă aleatoare  de repartiţie exponenţială.
1 Să se introducă în Sistemul Mathematica densitatea de repartiţie a v.a.c..
2 să se determine funcţia de repartiţie şi să se construiască graficul ei.
3 Dacă vă apropriaţi de o cabină telefonică imediat după ce o persoană a întrat în
ea atunci care este probabilitatea că o să aşteptaţi nu mai mult de 2 + n  3 minute,
n - nr variantei
nuMARUL ESTE 2 + 13 : 3
1 F[x_] := 5 * ⅇ-5 x /; x ⩾ 0;
F[x_] = 0 /; x < 0;
2 Determinăm funcțiea de repartiție și construim graficul ei.
In[ ]:=
F[x_] := 1 - ⅇ-5 x /; x > 0;
F[x_] = 0 /; x ≤ 0;
In[ ]:=
Plot[F[x], {x, 0, 10}]
график функции
1.0000
0.9999
Out[]= 0.9998
0.9997
0.9996
2
4
6
3
In[ ]:=
P = Ne-(2+13/3)×5  // N
численное прибли⋯ численное приближение
1
Out[]=
e95/3
8
10
lab6_GirdeiD.nb
9)Un autobus circulă regulat cu intervalul 30 minute.
1 Să se scrie în Sistemul Mathematica densitatea de repartiţie a v.a.c. care
reprezintă durata aşteptării autobusului de
către un pasager care vine la staţie întrun moment aleator de timp.
2 Să se determine funcţia de repartiţie şi să se construiască graficul ei.
3 Care este probabilitatea că, sosind la staţie, pasagerul va aştepta autobusul nu
mai mult de 10 + n  2 minute , unde n nr variantei.
1)Rezolvarea :
1 Scriem în Sistemul Mathematica densitatea de repartitie a variabilei aleatoare
care reprezinta durata asteptarii autobuzului de către un pasager care vine la
staţie într - un moment aleator de timp.Clcularea exercițiului are loc dupa
formula repartitia uniformă :
In[ ]:=
F[x_] := 0 /; x < 0;
F[x_] := 1  30 /; 0 ⩽ x ⩽ 30;
F[x_] := 1 /; x > 30;
2 Determin funcţia de repartiţie şi construim graficul ei
In[13]:=
Plot[F[x], {x, - 1, 32}]
график функции
0.35
0.30
0.25
0.20
Out[13]=
0.15
0.10
0.05
5
10
15
20
25
30
3 Căutăm probabilitatea casosind la staţie, pasagerul va aştepta autobusul nu
mai mult de 10 + 13  2
5
6
lab6_GirdeiD.nb
16.5
In[ ]:=
N
1
ⅆ x
0
30
численное
приближение
Out[]=
0.55
lab6_GirdeiD.nb
Exercitiul2
Presupunem că probabilitatea statistică ca un copil nou născut să fie in băiat este
0, 51. Se cere : 1 să se determine
seria de repartiţie a variabilei aleatoare  care reprezintă
numărul de băieţi printre 1000 de copii noi născuţi;
2 să se calculeze probabilitatea ca printre 1000 de copii noi născuţi
numărul băieţilor să fie cuprims între 300 + k şi 500 + k.
1
In[ ]:=
Out[]=
Pk = 1000 !  510 ! * 490 ! * 0.51510  * 0.49490 
0.0252301
2 k variaza intre 313 si 513
In[ ]:=
Out[]=
k = 313
313
513
N 
1000 ! * (0.51)k  * (0.49)1000-k 
(k !) * ((1000 - k)) !
численное
приближение
k=313
Out[]=
0.

7
8
lab6_GirdeiD.nb
Exercițiul 3.
Numărul  de particule alfa emise de un gram de o substanţă radioactivă într - o
secundă este o variabilă aleatoare discretă cu legea de repartiţie Poisson cu parametrul
a, unde a este numărul mediu de particule alfa emise într - o secundă şi se determină
experimental pentru fiecare substanţă radioactivă.
a = 1 + 0, 25 * 13 = 4.25
1 Să se determine seria de repartiţie a v.a.d..
2 Să se calculeze probabilităţile evenimentelor :
A = ⟹într - o secundă vor fi emise nu mai mult de două particule alfa⟸
B = ⟹într - o secundă vor fi emise cinci particule alfa.
C = ⟹într - o secundă vor fi emise mai mult de zece particule alfa⟸.
1 Seriea de reapartiție a variabiliei aliatore discretă este următoarea :
00
00
00
00 = 0 0  = 4.25 00  00 ! e - 4.25
Pk = P  00
2 Calculăm evenimentele
A = {într - o secundă vor fi emise nu mai mult de două particule alfa}
In[ ]:=
N
4.250
* ⅇ-4.25 +
4.251
0 ! приближение1 !
численное
Out[]=
* ⅇ-4.25 +
4.252
2!
* ⅇ-4.25 
0.203711
B = într - o secundă vor fi emise cinci particule alfa.
In[ ]:=
N
4.250
* ⅇ-4.25 +
4.251
0 ! приближение1 !
численное
Out[]=
In[ ]:=
* ⅇ-4.25 +
4.252
2!
* ⅇ-4.25 +
4.253
3!
* ⅇ-4.25 +
0.744939
C - într - o secundă vor fi emise mai mult de zece particule alfa
генерируемая константа
∞

k=11
2.5k
k!
ⅇ2.5
Out[]=
C - într - alfa de emise fi mai mult o particule secundă vor zece
Out[]=
0.00914624
4.254
4!
* ⅇ-4.25 +
4.255
5!
* ⅇ-4.25 
lab6_GirdeiD.nb
5) V.a.c.ξ este definită de densitatea sa de repartiţie f (x).Să se determine : 1
reprezentarea v.a.c.ξ în Sistemul Mathematica;
2 linia de repartiţie;
3 funcţia de repartiţie F (x) şi graficul ei
4 valoarea ei medie;
5 dispersia;
6 abaterea medie pătratică;
7 coeficientul de variaţie;
8 momentele iniţiale de ordinele până la 4 inclusiv
9 momentele centrale de ordinele până la 4 inclusiv;
10 asimetria;
11 excesul;
In[ ]:=
F[x_] := x - 2  18 /; 2 ≤ x ≤ 8
F[x_] := 0 /; x > 0
2 Construim linia de repartitie
In[8]:=
F[x_] := x - 2  18 /; 2 ≤ x ≤ 8;
F[x_] := 0 /; x < 0
In[10]:=
Plot[F[x], {x, - 1, 9}]
график функции
0.35
0.30
0.25
0.20
Out[10]=
0.15
0.10
0.05
2
4
6
3 Functia de repartitie si graficul ei
8
9
10
lab6_GirdeiD.nb
x t
In[ ]:=

18
2
1
-
Out[]=
9
- 2
x
+
9
ⅆt
x2
36
F[x_] := 0 /; x < 0;
1 x x2
/; 2 ≤ x ≤ 8;
F[x_] := - +
9 9 36
F[x_] := 1 /; x > 8;
In[11]:=
Plot[F[x], {x, - 1, 9}]
график функции
0.35
0.30
0.25
0.20
Out[11]=
0.15
0.10
0.05
2
4
6
4) determin valoarea medie :
In[ ]:=
8
M= x
x - 2
18
2
Out[]=
ⅆx
6
5) Calculez dispersia
8
In[ ]:=
2
 (x - M)
2
Out[]=
x - 2
18
ⅆx
2
6) Calculez abateria medie patratica :
In[ ]:=
d = N
√
2
численное приближение
Out[]=
1.41421
7) Calculez coeficientul de variatie :
8
lab6_GirdeiD.nb
In[ ]:=
Out[]=
v = d  M
0.235702
8 Calculez momentele iniţiale până la 4 :
8
In[ ]:=
α1 =  x 1 *
x - 2
18
2
Out[]=
6
8
In[ ]:=
α2 =  x 2 *
x - 2
2
Out[]=
18
ⅆx
38
8
In[ ]:=
ⅆx
α3 = N x3 *
x - 2
ⅆ x
2
18
численное
приближение
Out[]=
250.4
8
In[ ]:=
α4 = N x4 *
x - 2
ⅆ x
2
18
численное
приближение
Out[]=
1699.2
9 Calculez momentele centrale până la 4 :
In[ ]:=
8
μ1 =  (x - M)1 *
x - 2
18
2
Out[]=
0
8
In[ ]:=
μ2 =  (x - M)2 *
x - 2
2
Out[]=
18
ⅆx
2
8
In[ ]:=
ⅆx
μ3 = N (x - M)3 *
x - 2
2
18
численное
приближение
Out[]=
- 1.6
8
In[ ]:=
μ4 = N (x - M)4 *
x - 2
2
18
численное
приближение
Out[]=
9.6
10 calculez asimetria :
In[ ]:=
Out[]=
In[ ]:=
Out[]=
ⅆ x
μ3 = - 1.6
- 1.6
d = 1.41421
1.41421
ⅆ x
11
12
lab6_GirdeiD.nb
In[ ]:=
Out[]=
Sk =
μ3
d3
- 0.56569
11 determin excesul :
In[ ]:=
Ex = N
μ4
4
- 3
d
численное
приближение
Out[]=
- 0.599976
lab6_GirdeiD.nb
1) Exercițiul 1.
Este dată seria de repartiţie
variabilei aleatoare discrete c : 
x1 = 3, x2 = 4, x3 = 5, x4 = 6, p1 = 0, 1, p2 = 0, 5, p3 = 0, 3, p4 = 0, 1;
1 să introducă în Sistemul Mathematica v.a.d.c;
2 funcţia de repartiţie şi graficul ei;
3 probabilitatea ca  să primească valori din intervalul[1;
4;
4 speranţa matematică;
5 dispersia;
6 abaterea medie pătratică;
7 momentele p iniţiale de ordine până la 4 inclusiv;
8 momentele centrate de ordine până la 4 inclusiv;
9 aspmetria;
10 excesul.
p = {{3, 4, 5, 6}, {0.1, 0.5, 0.3, 0.1}}
In[ ]:=
Out[]=
In[ ]:=
p = {{3, 4, 5, 6}, {0.1, 0.5, 0.3, 0.1}}
{{3, 4, 5, 6}, {0.1, 0.5, 0.3, 0.1}}
MatrixForm[p]
матричная форма

3
4
5
6 
0.1` 0.5` 0.3` 0.1`
2 Se da funcţia de repartiţie şi graficul ei.
F[x_]
F[x_]
F[x_]
F[x_]
F[x_]
In[ ]:=
:=
:=
:=
:=
:=
0 /; x ≤ 3;
0.1 /; 3 < x ≤ 4;
0.6 /; 4 < x ≤ 5;
0.9 /; 5 < x ≤ 6;
1 /; 6 < x;
Plot[F[x], {x, 0, 9}]
график функции
1.0
0.8
0.6
Out[]=
0.4
0.2
2
4
6
8
13
14
lab6_GirdeiD.nb
3 probabilitatea ca să primească valori din intervalul[1; 4;
In[ ]:=
Out[]=
p 1 ≤
00
00
< 4 = F[4] - F[1]
0
4) Calculez valoarea medie
4
In[ ]:=
mξ =  p[[1, j]] × p[[2, j]]
j=1
Out[]=
4.4
5 Determin dispersia
4
Dξ =  p[[1, j]] - mξ  ^ 2 p[[2, j]]
j=1
0.64
7) calculez momentele initiale :
4
In[ ]:=
α1 =  p[[1, j]] ^ 1 p[[2, j]]
j=1
Out[]=
4.4
4
In[ ]:=
α2 =  p[[1, j]] ^ 2 p[[2, j]]
j=1
Out[]=
20.
4
In[ ]:=
α3 =  p[[1, j]] ^ 3 p[[2, j]]
j=1
Out[]=
93.8
4
In[ ]:=
α4 =  p[[1, j]] ^ 4 p[[2, j]]
j=1
Out[]=
453.2
8 determin momentele centrale
In[ ]:=
4
μ1 =  p[[1, j]] - mξ  ^ 1 p[[2, j]]
j=1
lab6_GirdeiD.nb
In[ ]:=
- 3.3306690738754696`*^-16
4
μ2 =  p[[1, j]] - mξ  ^ 2 p[[2, j]]
j=1
Out[]=
- 3.33067 × 10-16
In[ ]:=
4
μ3 =  p[[1, j]] - mξ  ^ 3 p[[2, j]]
j=1
Out[]=
0.168
In[ ]:=
4
μ4 =  p[[1, j]] - mξ  ^ 4 p[[2, j]]
j=1
Out[]=
1.0912
6) determin abaterea medie
In[ ]:=
σ =
Out[]=
0.8
Dξ
9 Calculez asimetria :
Sk[ξ] = μ3  σξ 3
In[ ]:=
Sk[ξ] = μ3  σξ 3
In[ ]:=
Sk =
0.168
0.83
0.32812499999999994`
10 determin excesu
In[ ]:=
Ex[ξ] = μ4  σξ 4 - 3
Set: Tag Real in (-0.599976)[313] is Protected.
1.0912
In[ ]:=
Out[]=
0.84
2.66406
15
16
lab6_GirdeiD.nb
6.V.a.  are repartiţia normală cu valoarea medie m şi cu abaterea medie pătratică . 1) să se
instaleze
pachetul de programe Statistics`NormalDistribution` ;
2) să se definească (introducă) v.a.c. dată ;
3) să se definească (determine) densitatea de repartiţie ;
4) să se construiască linia de repartiţie ;
5) să se definească (determine) funcţia de repartiţie ;
6) să se construiască graficul funcţiei de repartiţie ;
7) să se construiască
pe acelaşi desen graficele densităţii de repartiţie şi al funcţiei de repartiţie ;
8) să se construiască pe acelaşi
desen gfaficele densităţii de repartiţie şi al funcţiei de repartiţie astfel, ca grosimea graficului
densităţii de
repartiţie să fie egală cu 0,5 din grosimea standard, iar grosimea graficului funcţiei de repartiţie să
fie egală
cu 0,9 din grosimea standard; 9) Să se calculeze probabilitatea ca  să ia valori din intervalul [a, B].
F0
13)m=8, =3, F0
61 =5, 62 =9
9 Să se calculeze probabilitatea ca ξ să ia valori din intervalul [α, β]. Valorile lui m,
σ, α şi β sunt date pe variante.
v8 m = 8, σ = 3, α = 5, β = 9;
1 Instalăm pachetul de programe Statistics`NormalDistribution`.Ne
aflam in Sistemul Mathematica.Instalam pachetul cerut de programe
<< Statistics`NormalDistribution`
2 Instalăm pachetul de programe Statistics`NormalDistribution`.
In[ ]:=
rn = NormalDistribution[3, 5]
нормальное распределение
Out[]=
NormalDistribution[3, 5]
In[ ]:=
NormalDistribution[3, 5]
нормальное распределение
Out[]=
NormalDistribution[3, 5]
3 Definim variabila aleatoare continua și îi dăm numele drn
In[ ]:=
drn = PDF[rn, x]
плотность вероятности
ⅇ
-
1
50
(-3+x)2
Out[]=
5
2π
4) Construim linia densitatii de repartitie drn folosinnd functia Plot.
график функции
lab6_GirdeiD.nb
In[ ]:=
Plot[drn, {x, - 15, 25}]
график функции
0.08
0.06
0.04
Out[]=
0.02
10
-10
20
5) Definim funcțiea de repartiție și îi dăm numele frn
In[ ]:=
frn = CDF[rn, x]
функция распределения
1
Out[]=
2
Erfc
3-x
5

2
6) Construim graficul funcției de repatiție
In[ ]:=
Plot[frn, {x, - 15, 25}]
график функции
1.0
0.8
0.6
Out[]=
0.4
0.2
-10
10
20
7) Construim pe acelaşi desen graficele densităţii de repartiţie şi al funcţiei de repartiţie
17
18
lab6_GirdeiD.nb
In[ ]:=
Plot[{drn, frn}, {x, - 15, 25}]
график функции
1.0
0.8
0.6
Out[]=
0.4
0.2
10
-10
20
8 Construim pe acelaşi desen gfaficele densităţii de repartiţie şi al funcţiei de
repartiţie astfel, ca grosimea graficului densităţii de repartiţie este egală cu 0,
5 din grosimea standardă, iar grosimea graficului funcţiei de repartiţie este egală
cu 0, 9 din grosimea standardă
In[ ]:=
Plot[{drn, frn}, {x , - 15, 25}, PlotStyle → {Hue[0.5], Hue[0.9]}]
график функции
стиль графика
тон
тон
1.0
0.8
0.6
Out[]=
0.4
0.2
-10
In[ ]:=
10
20
N[frn[9] - frn[5]]
численное приближение
Out[]=
- 1. 0.5 Erfc0.141421 3. - 1. x[5.] + 0.5 Erfc0.141421 3. - 1. x[9.]
19
lab6_GirdeiD.nb
7. Înălţimea unui bărbat este o v.a. cu repartiţia normală. Presupunem că această repartiţie are
parametrii
m=175+((-1)^(n))/n cm
σ =6-((-1)^n)/n
/n cm. Să se formeze programul de conficţionate a costumelor bărbăteşti
pentru o fabrică de confecţii care se referă la asigurarea cu costume a bărbaţilor, înălţimile cărora
aparţin
intervalelor: [150, 155), [155, 160), [160, 165), [165, 170), [170, 175), [175, 180), [180, 185), [185, 190),
[190, 195), [195, 200], n fiind numarul variantei, n=1,2,…30.
m=175cm
σ=6cm
Pentru a rezolva această problema folosim formula densității de repartiție: F(x) =
Luăm fiecare caz aparte:
a) Intervalul [150, 155)
b) Intervalul [155, 160)
c) Intervalul [160, 165)
d) Intervalul [165, 170)
e) Intervalul [170, 175)
f) Intervalul [175, 180)
g) Intervalul [180, 185)
h) Intervalul [185, 190)
i) Intervalul [190, 195)
j) Intervalul [195, 200]
In[ ]:=
Out[]=
m = 175
175
In[ ]:=
σ=6
Out[]=
6
a
1
σ* 2*Pi
(x-m)2
*e- 2*σ
2
20
lab6_GirdeiD.nb
154
In[ ]:=
N
1
ⅇ
-
(x-m)2
2*(σ)2
ⅆ x // N
150 σ *приближение
2π
численное
Out[]=
численное приближение
0.000217175
0.00021717478215321773`
b
159
N
1
ⅇ
-
(x-m)2
2*(σ)2
ⅆ x
155 σ *приближение
2π
численное
Out[]=
0.00340132
c
164
In[ ]:=
N
1
ⅇ
-
(x-m)2
2*(σ)2
ⅆ x
160 σ *приближение
2π
численное
0.027166842259041035`
d
169
In[ ]:=
N
1
ⅇ
-
(x-m)2
2*(σ)2
ⅆ x
165 σ *приближение
2π
численное
Out[]=
0.110865
e
174
In[ ]:=
N
1
ⅇ
-
(x-m)2
2*(σ)2
ⅆ x
170 σ *приближение
2π
численное
Out[]=
0.231488
f
179
In[ ]:=
N
1
ⅇ
-
(x-m)2
2*(σ)2
ⅆ x
175 σ *приближение
2π
численное
Out[]=
0.247507
g
184
In[ ]:=
N
1
ⅇ
-
(x-m)2
2*(σ)2
180 σ *приближение
2π
численное
0.13552117969478494`
h
ⅆ x
lab6_GirdeiD.nb
189
In[ ]:=
N
1
ⅇ
-
(x-m)2
2*(σ)2
ⅆ x
185 σ *приближение
2π
численное
0.03797502364416938`
i
194
In[ ]:=
N
1
ⅇ
-
(x-m)2
2*(σ)2
ⅆ x
190 σ *приближение
2π
численное
Out[]=
0.00543868
j
199
In[ ]:=
N
1
ⅇ
-
(x-m)2
2*(σ)2
195 σ *приближение
2π
численное
Out[]=
0.000397389
ⅆ x
21