Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht)
Biên soạn Phạm Thế Hiền
TÓM TẮT NGẮN GỌN PHẦN LÝ THUYẾT TOÁN KINH TẾ 1
I. Mô hình cân đối liên ngành (Mô hình Input – Ouput của Leontief) :
1) Khái niệm :
Giả sử một nền kinh tế gồm n ngành sản xuất, ngành 1, 2,3, , n . Gọi xi là giá trị tổng cầu về sản
phẩm của ngành i  i  1, n  (Tổng giá trị sản phẩm ngành i ), bi là giá trị cầu cuối cùng (Cầu về
sản phẩm ngành i từ phía các hộ tiêu dùng và các nhà xuất khẩu), xik là giá trị cầu trung gian
(Cầu về sản phẩm ngành i từ phía ngành k hay nói một cách khác là số tiền mà ngành k bỏ ra
mua sản phẩm ngành i làm nguyên liệu đầu vào).
Từ đó, ta có :
Công thức tổng cầu về sản phẩm hàng hóa của ngành i  i  1, n  là xi  xi1  xi 2  xi 3    xik  bi (1) .
Công thức tỷ phần chi phí đầu vào của ngành k đối với sản phẩm i là aik 
xik
(0  aik  1) (Được
xk
giả thiết là ổn định đối với mỗi ngành sản xuất và trong suốt quá trình sản xuất).
Ý nghĩa aik (còn gọi là hệ số đầu vào hay gọi là hệ số kỹ thuật) : Để ngành k sản xuất ra được 1
đơn vị (đồng) giá trị sản phẩm của mình thì nó phải bỏ ra là aik đơn vị (đồng) giá trị sản phẩm
để mua sản phẩm của ngành i để làm nguyên liệu đầu vào.
Ví dụ : Giả sử a12  0, 2 có nghĩa là để sản xuất ra 1 đồng giá trị sản phẩm thì ngành 2 đã phải
chi 0, 2 đồng để mua sản phẩm của ngành 1 làm nguyên liệu đầu vào cho quá trình sản xuất.
Nếu đặt A   aik n
 a11 a12

 a21 a22
  a31 a32


 
a
 n1 an 2
a13  a1n 

a23  a2 n 
a33  a3n  (Hàng là biểu diễn cho dữ liệu đầu vào, cột là biểu

   
an 3  ann 
 x1 
 
 x2 
diễn cho dữ liệu đầu ra) là ma trận hệ số kỹ thuật (ma trận hệ số chi phí đầu vào), X   x3  là
 
 
x 
 n
 b1 
 
 b2 
ma trận tổng cầu, b   b3  (hay b  (b1 , b2 , b3 , , bn ) là vector cầu cuối) là ma trận cầu cuối cùng thì
 

b 
 n
từ phương trình (1) ta thay xik  aik .xk ta được : xi  ai1 x1  ai2 x2    ain xn  bi , i  1, n .
Hay biểu diễn dưới dạng phương trình ma trận là X  AX  b (2) , tức là :
1
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lưu hành nội bộ cá nhân
Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht)
 x1   a11
  
 x2   a21
 x3    a31
  
   
x  a
 n   n1
a12
a22
a32

an 2
Biên soạn Phạm Thế Hiền
a13  a1n   x1   b1 
   
a23  a2 n   x2   b2 
a33  a3n   x3    b3  .
   
        
an 3  ann   xn   bn 
2) Bài toán :
Cho ma trận hệ số kỹ thuật A và ma trận cầu cuối b . Vấn đề đặt ra ở đây là cách tìm ma trận
tổng cầu như thế nào?
1
Từ (2) ta suy ra X  AX  b  IX  AX  b   I  A X  B  X   I  A  b (Trong đó I là ma trận
đơn vị cùng cấp với A và I  A là ma trận không suy biến, tức là det  I  A   0 ).
 0,3 0, 2 0, 3 
 10 


Ví dụ 1 : Cho ma trận hệ số kỹ thuật A   0, 4 0,3 0, 2  và ma trận cầu cuối b   20  .
 0,1 0, 2 0, 4 
 30 


 
a) Hãy giải thích ý nghĩa kinh tế của số 0,1 trong ma trận A .
Để ngành 1 sản xuất ra được 1 đơn vị giá trị sản phẩm của mình thì nó phải bỏ ra 0,1 giá trị sản
phẩm để mua sản phẩm ngành 3 làm nguyên liệu đầu vào.
b) Tính ma trận tổng cầu X .
 1 0 0   0, 3 0, 2 0,3   0, 7 0, 2 0,3 
Ta có : I  A   0 1 0    0, 4 0,3 0, 2    0, 4 0, 7 0, 2  (Ma trận Loentief)
 0 0 1   0,1 0, 2 0, 4   0,1 0, 2 0,6 

 
 

0, 7 0, 2 0,3
0, 7 0, 2
0, 4 0, 2
0, 4 0, 7
 det  I  A   0, 4 0, 7 0, 2  0, 7
  0, 2 
  0,3
0, 2 0, 6
0,1 0, 6
0,1 0, 2
0,1 0, 2 0, 6
det  I  A   0, 7  0, 42  0, 04   0, 2  0, 24  0, 02   0,3  0, 08  0, 07   0,169  0 .
 0, 7 0, 2
0, 2 0, 3
0, 2 0,3 



0, 2 0, 6
0, 7 0, 2 
 0, 2 0, 6
 0,38 0,18 0, 25 
0, 7 0, 3
0, 7 0,3 
1  0, 4 0, 2
1 
1




0, 26 0,39 0, 26  .
 I  A 
0,1 0, 6
0, 4 0, 2  0,169 
0,169  0,1 0, 6

 0,15 0,16 0, 41 



0,
4
0,
7
0,7

0,
2
0,
7

0,
2



 0,1 0, 2
0,1 0, 2
0, 4 0, 7 

 0,38 0,18 0, 25   10 
 3,8  3, 6  7, 5 
 14,9   88,16568 
1 
1 
1 
1
 

 

X   I  A b 
0, 26 0,39 0, 26   20  
2, 6  7,8  7,8  
18, 2    107, 6923  .



0,169 
   0,169 1,5  3, 2  12,3  0,169  17, 0   100,5917 
 0,15 0,16 0, 41   30 



 

Ví dụ 2 : Xét mô hình input – output mở (tức là giá trị tổng các số ở mỗi cột nhỏ hơn 1 ) gồm 3
2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lưu hành nội bộ cá nhân
Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht)
Biên soạn Phạm Thế Hiền
 0, 2 0, 3 0, 2 
ngành với ma trận hệ số đầu vào là A   0,1 0, 2 0,1  và giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm
 0,3 0, 4 0, 2 


 50 
của từng ngành là  60  (đơn vị tính tỷ đồng). Hãy xác định giá trị tổng cầu của từng ngành sản
 40 
 
xuất.
 1 0 0   0, 2 0,3 0, 2   0,8 0,3 0, 2 
Ta có : I  A   0 1 0    0,1 0, 2 0,1    0,1 0,8 0,1 
 0 0 1   0,3 0, 4 0, 2   0,3 0, 4 0,8 

 
 

0,8 0,3 0, 2
0,8 0,1
0,1 0,1
0,1 0,8
det  I  A   0,1 0,8 0,1  0,8
  0,3
  0, 2 
0, 4 0,8
0,3 0,8
0,3 0, 4
0,3 0, 4 0,8
det  I  A   0,8  0, 64  0,04   0,3  0, 08  003  0, 2  0, 04  0, 24   0,391  0 .
 0,8 0,1
0,3 0, 2
0,3 0, 2 



0, 4 0,8
0,8 0,1 
 0, 4 0,8
 0, 60 0,32 0,19 
0,8 0, 2
0,8 0, 2 
1  0,1 0,1
1 
1




0,11 0,58 0,10  .
 I  A 

0,3 0,8
0,1 0,1  0,391 
0,391  0,3 0,8

 0, 28 0, 41 0, 61


0,8 0,3
0,8 0,3 
 0,1 0,8
 0,3 0, 4  0,3 0, 4
0,1 0,8 

 0, 60 0, 32 0,19   50 
 30, 0  19, 2  7, 6 
 56,8   145, 2685 
1 
1 
1 
1
 

 

X   I  A b 
0,11 0,58 0,10   60  
5,5  34,8  4, 0  
44,3    113, 2992  .



0,391 
   0,391  14, 0  24, 6  24, 4  0,391  63, 0   161,1253 
 0, 28 0, 41 0, 61  40 



 

Vậy giá trị tổng cầu của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là x1  145, 2685 (tỷ đồng), x2  113, 2992 (tỷ
đồng) và x3  161,1253 (tỷ đồng).
Ví dụ 3 : Xét mô hình input – output mở (tức là giá trị tổng của mỗi cột nhỏ hơn 1 ) gồm 3
 0, 4 0, 2 0, 2 
ngành với ma trận hệ số đầu vào là A   0, 2 0,3 0,1  và vector cầu cuối cùng đối với sản
 0,3 0, 4 0, 2 


phẩm của từng ngành là b  100, 300, 500  .
a) Tìm sản lượng của 3 ngành kinh tế.
 1 0 0   0, 4 0, 2 0, 2   0, 6 0, 2 0, 2 
Ta có : I  A   0 1 0    0, 2 0,3 0,1    0, 2 0, 7 0,1  .
 0 0 1   0, 3 0, 4 0, 2   0,3 0, 4 0,8 

 
 

3
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lưu hành nội bộ cá nhân
Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht)
0, 6
Biên soạn Phạm Thế Hiền
0, 2 0, 2
 det  I  A   0, 2 0, 7
0,3 0, 4
0, 7 0,1
0, 2 0,1
0, 2 0, 7
0,1  0, 6
  0, 2 
  0, 2 
0, 4 0,8
0,3 0,8
0,3 0, 4
0,8
det  I  A   0, 6  0,56  0, 04   0, 2  0,16  0, 03  0, 2  0, 08  0, 21  0, 216  0 .
 I  A
1
 0,52 0, 24 0,16 
1 


0,19 0, 42 0,10  .

0, 216 

 0, 29 0,30 0,38 
X   I  A
1
 0,52 0, 24 0,16  100 
 52  72  80 
 204   944, 4444 
1 
1 
1 



 

b
0,19 0, 42 0,10  300  
19  126  50  
195    902, 7778  .



0, 216 

 0, 216  29  90  190  0, 216  309   1430,5560 
 0, 29 0, 30 0,38  500 



 

Vậy mức sản lượng của các ngành kinh tế 1, 2, 3 lần lượt là x1  944, 4444 , x2  902, 7778 và
x3  1430,5560 .
b) Tìm mức sản lượng của 3 ngành với điều kiện ngành 2 tiết kiệm 25% nguyên liệu lấy từ
ngành 3 (do cải tiến kỹ thuật) và với ma trận cầu cuối đối với 3 ngành trên là 120, 400, 650  .
Do cải tiến kỹ thuật ngành 2 nên nguyên liệu lấy từ ngành 3 để cung cấp cho ngành 2 giảm
2 5 % . Như vậy a 3 2  0 , 4 (Tức là hàng 3 và cột 2 ) lúc đầu chưa cải tiến, sau khi cải tiến kỹ
thuật nên ta có a 3 2  0 , 4  0 , 4  2 5 %  0 , 4  0 , 1  0 , 3 . Từ đó ta có ma trận hệ số đầu vào
 0, 4 0, 2
mới là A   0, 2 0,3
 0,3 0,3

1 0
Ta có : I  A   0 1
0 0

0, 2 

0,1  .
0, 2 
0   0, 4 0, 2 0, 2   0, 6 0, 2 0, 2 
 
 

0    0, 2 0,3 0,1    0, 2 0, 7 0,1  .
1   0, 3 0,3 0, 2   0,3 0,3 0,8 
0, 6 0, 2 0, 2
0, 7 0,1
0, 2 0,1
0, 2 0, 7
 det  I  A   0, 2 0, 7 0,1  0, 6
  0, 2 
  0, 2 
0,3 0,8
0,3 0,8
0,3 0,3
0,3 0,3 0,8
det  I  A   0, 6  0,56  0, 03   0, 2  0,16  0, 03  0, 2  0, 06  0, 21  0, 226  0 .
 0,53 0, 22 0,16 
1 

0,19 0, 42 0,10  .
 I  A 

0, 226 

 0, 27 0, 24 0, 38 
 0,53 0, 22 0,16   120 
 63, 6  88  104 
 255, 6   1130,973 
1 
1 
1 
1



 

X   I  A b 
0,19 0, 42 0,10   400  
22,8  168  65  
255,8    1131,858  .



0, 226 

 0, 226  32, 4  96  247  0, 226  375, 4   1661, 062 
 0, 27 0, 24 0,38   650 



 

Vậy mức sản lượng của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là x1  1130,973 , x2  1131,858 và x3  1661, 062 .
1
4
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lưu hành nội bộ cá nhân
Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht)
Biên soạn Phạm Thế Hiền
II. Mô hình cân bằng thị trường :
1) Mô hình cân bằng thị trường 1 loại hàng hóa :
Giả sử P là giá của 1 loại hàng hóa. Ký hiệu QD  D( P) (Giảm) là lượng cầu, QS  S ( P) (Tăng) là
lượng cung.
Ví dụ : QD  120  3P hàm giảm, QS  2 P  100 hàm tăng.
Biểu thức P  D 1 (QD ) được gọi là hàm cầu đảo, P  S 1 (QS ) là hàm cung đảo.
P
D 1 (QD )
P  S 1 (QS )
E
P
Q
0

Q

QS  QD  E Q, P là điểm cân bằng cung cầu (Điểm cân bằng thị trường).
Ví dụ :
a) QD  60  3P  P  D 1 (QD )  20 
Q
QD
, QS  4 P  100  P  S 1 (QS )  25  S .
3
4
b) Cho QD  120  2 P, QS  4 P  60 . Tìm giá, lượng khi cân bằng thị trường.
Ta có : QD  QS  120  2 P  4 P  60  6 P  180  P  30  Q  60 .
2) Mô hình cân bằng thị trường n loại hàng hóa :
Giả sử P1 , P2 , P3 , , Pn là giá của n hàng hóa có liên quan. Ký hiệu QD  Di  P1 , P2 , P3 , , Pn  là
lượng cầu hàng hóa i và QS  Si  P1 , P2 , P3 , , Pn  là lượng cung hàng hóa i . Khi đó mô hình cân
i
i
bằng thị trường n hàng hóa là QD  QS , i  1, n . Bộ P   P1 , P2 , P2 , , P2  được gọi là bộ giá cân
i
i
bằng thị trường, bộ Q   Q1 , Q2 , Q3 , , Qn  được gọi là lượng cân bằng thị trường.
Ví dụ :
a) Cho biết hàm cung, hàm cầu của thị trường ba loại hàng hóa như sau : QS  20  P1  P2  3P3 ,
QD  40  3P2  P3 , QS  20  P1  2 P3 , QD  70  P2  P3 , QS  90  2 P1  P3 , QD  20  3P2  3P3 . Khi thị
trường cân bằng hãy thiết lập hệ phương trình tuyến tính với ẩn số là P1 , P2 , P3 .
Thiết lập hệ phương trình :
1
1
2
2
QS1  QD1
20  P1  P2  3P3


QS2  QD2   20  P1  2 P3

 90  2 P  P
1
3

QS3  QD3
3
3
 P1  2 P2  2 P3

 70  P2  P3   P1  P2  P3
2 P  3P  2 P
 20  3P2  3P3
1
2
3


40  3P2  P3
 20
 50 .
 70
b) Cho biết hàm cung, hàm cầu của thị trường ba loại hàng hóa như sau : QS  30  P1  2 P2  P3 ,
QD  40  P2  3P3 , QS  20  2 P1  2 P3 , QD  70  3P2  3P3 , QS  90  3P1  3P3 , QD  50  2 P2  P3 . Khi thị
1
1
2
2
3
3
5
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lưu hành nội bộ cá nhân
Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht)
Biên soạn Phạm Thế Hiền
trường cân bằng hãy thiết lập hệ phương trình tuyến tính với ẩn số là P1 , P2 , P3 . Sau đó sử dụng
qui tắc Cramer (Phương pháp định thức) xác định giá và lượng cân bằng thị trường của ba mặt
hàng.
Thiết lập hệ phương trình :
QS1  QD1
30  P1  2 P2  P3


QS2  QD2   20  2 P1  2 P3


 90  3P1  3P3
QS3  QD3
 P1  P2  2 P3

 70  3P2  3P3   2 P1  3P2  5P3

 50  2 P2  P3
3P1  2 P2  4 P3

40  P2  3P3
a b
a b
 ad  cb, d e
Qui tắc Cramer :
c d
g h
a
ax  by  cz  d

ex  fy  gz  h  D  e
ix  jy  kz  l
i

b
f
j
c
d
g , Dx  h
k
l
1 1 2
c
e
f a
h
i
b
f
j
f
d
b
i
g
 50 .
 40
f
d
c
i
g
c
a d
g , Dy  e h
k
i l
10 1 2
 10
e
.
h
c
a
g , Dz  e
k
i
b
f
j
1 10 2
Dx

x  D
d

Dy

h  y 
, D 0.
D

l
Dz

z  D

1 1 10
Ta có : D  2 3 5  1, DP  50 3 5  20, DP  2 50 5  70, DP  2 3 50  40 .
1
3 2 4
2
40 2 4
3
3 40 4
3 2 40
Vậy : Bộ giá cân bằng thị trường là P   20, 70, 40  tương ứng với bộ lượng cân bằng thị trường
là Q   230,  20, 150  .
c) Cho biết hàm cung, hàm cầu của thị trường ba loại hàng hóa như sau : QS  2 P1  3P3  20 ,
QD  10  P1  2 P2 , QS  30  2 P1  3P3 , QD  80  5P2  4 P3 , QS  P1  2 P3  30, QD  40  P2  2 P3 . Khi thị
trường cân bằng hãy thiết lập hệ phương trình tuyến tính với ẩn số là P1 , P2 , P3 . Sau đó bằng
phương pháp ma trận nghịch đảo hãy xác định bộ giá và lượng cân bằng thị trường của ba mặt
hàng.
Thiết lập hệ phương trình :
1
1
2
2
3
QS1  QD1
2 P1  3P3  20  10  P1  2 P2
 P1  P2  2 P3



QS2  QD2  30  2 P1  3P3  80  5 P2  4 P3  2 P1  5 P2  7 P3



 P1  2 P3  30  40  P2  2 P3
 P1  P2  4 P3
QS3  QD3
3
 30
 50 .
 70
Phương pháp ma trận nghịch đảo :
a b
det( A)  d
g
e
h
c
f   aei  bfg  cdh    ceg  bdi  ahf   0  A1 .
i
6
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lưu hành nội bộ cá nhân
Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht)
 e

 h
1  d

A1 
det( A)  g

 d
 g

Biên soạn Phạm Thế Hiền
c 

f 
f
a c
a c 
.

i
d i
d f 

e
a b
a b 

h
d h
d e 
 x1 
 a b c   b1   x1   ab1  bb2  cb3   x1  ab1  bb2  cb3
1 
 
    
 
1
AX  B  X  A B   x2  
d  e f    b2    x2    d b1  eb2  f b3    x2  d b1  eb2  f b3

 x  det( A)  g  h i   b   x   g b  hb  ib   x  g b  hb  ib
2
3 
 3

 3   3   1
1
2
3
 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
 1 2 3 
h3  h3  h2
h2  h2  2 h1


Ta có : A   2 5 7   det( A)  2 5 7 h h  h 0 1 1  0 1 1  1 (1)  2  2  0 .
3
3
1
 1 1 4 
1 1 4
0 1 1
0 0 2


 13 5 1   P1 
 13 5 1  30   P1 
 70   P1  35
1 
   1 
    1 
 
1
 A 
1 1 1   P2  
1 1 1 50    P2  
50    P2  25 .



2 
   2  3 1 1 70   P  2  30   P  15
 3 1 1  P3 

   3 

  3
Vậy : Bộ giá cân bằng thị trường là P   35, 25, 15  tương ứng với bộ lượng cân bằng thị trường
f
i

b c
h i
b
e
là Q   95, 145, 35 .
3) Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân :
a) Thị trường đóng :
Ta gọi Y là tổng thu nhập quốc dân, G là chi tiêu chính phủ, I là đầu tư chính phủ và C là chi
tiêu hộ gia đình. Khi đó tổng thu nhập quốc dân được tính bằng công thức Y  G  I  C , trong
đó giả thiết chi tiêu chính phủ và đầu tư là cố định ( G  G0 , I  I 0 ), còn chi tiêu hộ gia đình là
C  aYd  b (0  a  1, b  0), Yd  Y  tY  (1  t )Y , Yd là thu nhập sau thuế, t là thuế suất thu nhập.
Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân là một hệ phương trình gồm 2 hai phương trình và 2 ẩn là
Y và C . Cụ thể là :
 Y C

 aY  C
 G0  I 0
Y C

(Mô hình không chịu thuế). 

b
 a(1  t )Y  C
 G0  I 0
(Mô hình chịu thuế).

b
Ta có :
1
1
a
1
 1  a  0  0  a  1 , DY 
G0  I 0
1
b
1
1
G0  I 0
 b  a (G0  I 0 ) .
a
b
G  I b
D
b  a(G0  I 0 )
D
Vậy : Y  Y  0 0
(Thu nhập quốc dân cân bằng), C  C 
(Chi tiêu cân
D
1 a
D
1 a
D
 G0  I 0  b, DC 
bằng).
Ví dụ : Cho C  0, 6Yd  300, G  G0 , I  I 0 , Yd  (1  t )Y .
*) Sử dụng qui tắc Cramer , hãy xác định mức thu nhập quốc dân và chi tiêu cân bằng.
Ta có :
7
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lưu hành nội bộ cá nhân
Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht)
Y C
Y  G0  I 0  C



0, 6(1  t )Y  C
C  0, 6Yd  300
Biên soạn Phạm Thế Hiền
 G0  I 0
1
1
D
 1  0, 6(1  t ) .

300
0, 6(1  t ) 1
G0  I 0 1
1
G0  I 0
 G0  I 0  300, DC 
 300  0, 6(1  t )(G0  I 0 ) .
300
1
0, 6(1  t )
300
G  I  300
D
300  0, 6(1  t )(G0  I 0 )
D
, C C 
Vậy : Y  Y  0 0
.
D 1  0, 6(1  t )
D
1  0, 6(1  t )
**) Tính thu nhập quốc dân và chi tiêu cân bằng với I 0  200, G0  500 (tỷ đồng) và
DY 
t  0,15 (15%) .
Với G0  500, I 0  200, t  0,15 thì ta có :
Y
D
DY 500  200  300 1000
300  0, 6(1  0,15)(500  200) 657


 2040,816; C  C 

 1340,816 .
D 1  0, 6(1  0,15) 0, 49
D
1  0, 6(1  0,15)
0, 49
b) Thị trường mở :
Ta gọi Y là tổng thu nhập quốc dân, G là chi tiêu chính phủ, I là đầu tư chính phủ và C là chi
tiêu hộ gia đình, X là xuất khẩu, N (hay IM (Y ) ) là nhập khẩu. Khi đó tổng thu nhập quốc dân
được tính bằng công thức Y  G  I  C  X  N , trong đó giả thiết chi tiêu chính phủ và đầu tư là
cố định ( G  G0 , I  I 0 ), còn chi tiêu hộ gia đình là C  aYd  b (0  a  1, b  0), Yd  Y  tY  (1  t )Y ,
Yd là thu nhập sau thuế, t là thuế suất thu nhập, N   (1  t )Y , 0    1 .
Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân là một hệ phương trình gồm 2 hai phương trình và 2 ẩn là
Y C
 G0  I 0  X  N
Y  G0  I 0  X  N

.

Y và C . Cụ thể là : 
a (1  t )Y  b
b
C 
 a(1  t )Y  C 
1
1
G  I  X  N 1
 1  a (1  t )  0, DY  0 0
 G0  I 0  X  N  b
Ta có : D 
 a(1  t ) 1
b
1
1
G0  I 0  X  N
 b  a(1  t )(G0  I 0  X  N ) .
 a(1  t )
b
G  I  X  N b
D
b  a (1  t )(G0  I 0  X  N )
D
Vậy : Y  Y  0 0
.
, C C 
D
1  a(1  t )
D
1  a (1  t )
Ví dụ : Cho C  0,8Yd  250, G  G0 , I  I 0 , Yd  (1  t )Y , N  0,3(1  t )Y , X  X 0 .
DC 
*) Sử dụng qui tắc Cramer , hãy xác định mức thu nhập quốc dân và chi tiêu cân bằng.
1  0,3(1  t )  Y  C  G0  I 0  X 0
Y  G0  I 0  C  X 0  N
.


250
C  0,8Yd  250
 0,8(1  t )Y  C
1  0,3(1  t ) 1
G  I  X 0 1
D
 1  0,3(1  t )  0,8(1  t )  0, 5(1  t ), DY  0 0
 G0  I 0  X 0  250
0,8(1  t ) 1
250
1
1
G0  I 0  X 0
DC 
 250  0,8(1  t )(G0  I 0  X 0 ) .
0,8(1  t )
250
G  I  X 0  250
D
250  0,8(1  t )(G0  I 0  X 0 )
D
, C C 
Vậy : Y  Y  0 0
.
D
0,5(1  t )
D
0,5(1  t )
Ta có : 
8
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lưu hành nội bộ cá nhân
Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht)
Biên soạn Phạm Thế Hiền
**) Tính thu nhập quốc dân và chi tiêu cân bằng với I 0  150, G0  300, X 0  80 (tỷ đồng),   0, 2
và t  0, 65 (65%) .
Với G0  300, I 0  150, t  0, 65,   0, 2, X 0  80 thì ta có :
DY 300  150  80  250
780


 945, 4545 (tỷ đồng).
D
0, 5(1  0, 65)
0,825
D
250  0,8(1  0, 65)(300  150  80) 398, 4
C C 

 482,9091 (tỷ đồng).
D
0,5(1  0,65)
0,825
Y
4) Mô hình IS – LM :
Xét thu nhập quốc dân với G  G0 chi tiêu chính phủ, C  aY  b (0  a  1, b  0) chi tiêu hộ gia
đình (hay C  a (1  t )Y  b , t là thuế suất thu nhập), I  k  lr ( k , l  0 , r là lãi xuất) đầu tư chính
phủ. Khi đó phương trình cần bằng của thu nhập quốc dân là :
Y  G0  I  C  G0  k  lr  aY  b  (1  a)Y  lr  G0  k  b (1) ((1) là phương trình đường IS).
Xét thị trường tiền tệ với L  L(Y , r )  mY  nr (m, n  0) lượng cầu tiền và M  M 0 (được tính
trước) là lượng cung tiền. Khi đó phương trình cân bằng của thị trường tiền tệ là :
L  M  mY  nr  M 0 (2) ((2) là phương trình đường LM).
Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng là một hệ phương trình gồm 2 hai
phương trình và 2 ẩn là Y và C . Cụ thể là :
(1  a)Y  lr  G0  k  b
.


M0
 mY  nr
G k b l
1 a l
 n(1  a)  lm  0, DY  0
  n(G0  k  b)  lM 0
Ta có : D 
M0
n
m n
Dr 
1  a G0  k  b
m
M0
 (1  a ) M 0  m(G0  k  b) .
Vậy mức thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng là :
Y
(1  a) M 0  m(G0  k  b)
DY n(G0  k  b)  lM 0
D
.

, r r 
D
n(1  a )  lm
D
n(1  a )  lm
Ví dụ :
a) Cho C  0,8Y  65, I  95  r , G  G0 , L  7Y  60r , M  M 0 .
*) Sử dụng qui tắc Cramer xác định mức thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng.
Ta có :
+ Phương trình đường IS : Y  C  I  G0  0, 6Y  65  95  r  G0  0, 4Y  r  160  G0 .
+ Phương trình đường LM : L  M 0  8Y  80r  M 0 .
 0, 4Y  r
 160  G0
+
8Y  80r 
Dr 
0, 4 160  G0
8
M0
M0
D
160  G0
0, 4 1
 40, DY 
M0
8 80
1
80
 112800  80G0  M 0 ,
 0, 4 M 0  1280  8G0 .
9
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lưu hành nội bộ cá nhân
Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht)
Biên soạn Phạm Thế Hiền
DY 112800  80G0  M 0
D 0, 4 M 0  1280  8G0

, r r 
.
D
40
D
40
**) Tính thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng khi M 0  1200, G0  60 (tỷ đồng).
Vậy : Y 
Với M 0  1200, G0  60 , ta có :
DY 112800  80.60  1200 106800


 2670 (tỷ đồng).
D
40
40
D
0, 4.1200  1280  8.60 1280
r r 

 32% .
D
40
40
b) Cho C  a (1  t )Y  b  lr , I  I 0 , G  G0 , L  mY  nr , M  M 0 , 0  a  1, 0  t  1, b  0, l  0, m  0, n  0 .
Y
*) Thiết lập mô hình IS – LM.
+ Phương trình đường IS : Y  I 0  G0  C  I 0  G0  a(1  t )Y  b  lr  1  a(1  t )Y  lr  I 0  G0  b .
+ Phương trình đường LM : L  M 0  mY  nr  M 0 .
1  a(1  t ) Y  lr  I 0  G0  b
.
mY  nr

M0

Mô hình IS – LM là : 
**) Giải mô hình bằng qui tắc Cramer :
Ta có : D 
Dr 
I  G0  b l
1  a (1  t ) l
  n 1  a(1  t )   lm  0, DY  0
  n( I 0  G0  b)  lM 0 ,
M0
n
m
n
1  a(1  t ) I 0  G0  b
m
Vậy : Y 
M0
 M 0 1  a (1  t )   m( I 0  G0  b) .
M 1  a (1  t )  m( I 0  G0  b)
DY  n( I 0  G0  b)  lM 0
D

, r r  0
.
D
 n 1  a (1  t )  lm
D
n 1  a (1  t )  lm
***) Tính Y , r khi G0  200, I 0  120, M 0  300, t  0, 2, n  25, m  12, b  40, a  0,5, l  5 .
Y
DY 25(120  200  40)  5.300 10500


 140 .
D
25 1  0,5(1  0, 2)  5.12
75
r
Dr 300 1  0,5(1  0, 2)  12(120  200  40) 4500


 60 .
D
25 1  0, 5(1  0, 2)   5.12
75
III. Một số hàm trong phân tích kinh tế :
1) Hàm sản xuất : Q  f ( L) , trong đó L  0 là lao động, Q là sản lượng.
Ví dụ : Q  120 L2  L3 , L  0 .
2) Hàm chi phí – Tổng chi phí : C ( L)  PL .L  C0 (TC  C1  C2  C3 ) , trong đó C0 là chi phí cố
định, PL là giá thành một đơn vị lao động.
C  C (Q), Q  0 . Nếu Q  0 thì C (0)  FC (Fix cost) là chi phí cố định, VC (a )  C ( a)  FC là chi
phí khả biến.
Ví dụ :
a) C ( L)  3L  150 , trong đó PL  3, C0  150 .
b) C (Q)  3Q 2  7Q  243 .
10
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lưu hành nội bộ cá nhân
Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht)
Biên soạn Phạm Thế Hiền
3) Hàm doanh thu – Tổng doanh thu : R  PQ  Pf ( L)  R( L), TR  R1  R2  R3  .
2
2
Ví dụ : R  240 L3 , trong đó Q  120 L3 , P  2 .
4) Hàm lợi nhuận – Tổng lợi nhuận :   R  C , T    1  2  .
Ví dụ :
2
3
a)  ( L)  240 L  3L  C0 , L  0 .
b)  (Q)  0,035Q 3  15Q  0, 7Q 2  100 .
5) Hàm chi phí : C (Y )  aY  b, 0  a  1, b  0, Y là thu nhập.
Ví dụ : C  0, 6Y  150 .
6) Hàm tiết kiệm : S  S (Y ) (Phụ thuộc vào thu nhập).
1
2
Ví dụ : S (Y )  0, 7Y  0, 2Y  300 .
IV. Đạo hàm cấp 1 và giá trị cận biên :
1) Khái niệm : Cho y  f ( x), x, y là biến kinh tế, M y  f ( x) là hàm cận biên, x0  D f , M y ( x0 ) là
giá trị y cận biên tại x0 .
2) Ý nghĩa : Tại x0 , nếu giá trị của đối số x thay đổi 1 đơn vị thì giá trị hàm số y  f ( x) sẽ thay
đổi 1 lượng xấp xỉ bằng M y ( x0 ) .
Nếu M y  0 thì y thay đổi cùng chiều với x , nếu M y  0 thì y thay đổi ngược chiều với x .
3) Ví dụ :
2
3
a) Cho Q  120 L , MPL  Q là hàm sản phẩm biên của lao động. Tại L0  125 , nếu lao động L
tăng thêm 1 đơn vị thì sản lượng Q thay đổi như thế nào?

2

2
3

Ta có : MPL  Q  120 L3   120. .L
1
3

80
80
80
 MPL(125)  3

 16  0 .
L
125 5
3


Vậy, khi lao động L tăng 1 đơn vị thì sản lượng Q tăng thêm 16 đơn vị.
b) Cho R(Q)  1200Q  Q 2 . Tại Q0  610 , nếu sản lượng Q tăng thêm 1 đơn vị thì doanh thu R
thay đổi như thế nào?
Ta có : MR(Q)  1200Q  Q 2   1200  2Q  MR(610)  1200  2.610  20  0 .
Vậy, khi sản lượng Q tăng thêm 1 đơn vị thì doanh thu R giảm thêm 20 đơn vị.
c) Cho C  10Q 2  20Q  50 . Tại Q0  10 , nếu sản lượng Q tăng thêm 1 đơn vị thì chi phí C thay
đổi như thế nào?
Ta có : MC (Q)  10Q 2  20Q  50   20Q  20  MC (10)  200  20  220  0 .
Vậy, khi sản lượng Q tăng thêm 1 đơn vị thì chi phí C tăng thêm 220 đơn vị.
d) Cho   1800Q  5Q 2  100 . Tại Q0  20 , nếu sản lượng Q tăng thêm 1 đơn vị thì lợi nhuận 
thay đổi như thế nào?
11
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lưu hành nội bộ cá nhân
Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht)
Biên soạn Phạm Thế Hiền
Ta có : M  (Q)  1800Q  5Q 2  100   1800  10Q  M  (20)  1800  200  1600  0 .
Vậy, khi sản lượng Q tăng thêm 1 đơn vị thì lợi nhuận  tăng thêm 1600 đơn vị.
V. Đạo hàm cấp 1 và hệ số co giãn :
1) Khái niệm : Cho y  f ( x) , x, y là biến kinh tế, E yx ( x0 )   yx ( x0 ) 
y( x0 )
.x0 , x0  D f là hệ số co
y ( x0 )
giãn của y theo x tại x0 .
2) Ý nghĩa : Tại x0 , nếu giá trị của đối số x thay đổi 1% thì giá hàm số y  f ( x) sẽ thay đổi một
lượng  yx ( x0 ) % .
3) Ví dụ :
a) Cho Q  aL (a  0, 0    1) . Nêu ý nghĩa kinh tế của  .
Ta có :  QL 
Q
a L 1
L
L   0.
Q
aL
Tại với mọi mức sử dụng lao động, nếu lao động L thay đổi 1% thì sản lượng sẽ thay đổi cùng
chiều  % .
2
3
b) Cho Q  120 L . Nếu lao động L tăng 15% thì sản lượng tăng Q bao nhiêu % ?
Ta có : 1%   %, k %  k  % .
1
 QL
2 3
120.
.L
Q
2
3
 L
L  0.
2
Q
3
120 L3
2
3
Vậy, nếu lao động L tăng 15% thì sản lượng Q tăng 15. %  10% .
c) Cho D  D( P ) . Tại thời điểm P  P0 . Ta có ED ( P0 )   D ( P0 ) 
P
P
D( P0 )
P0 là hệ số co giãn của cầu
D( P0 )
theo giá P tại mức giá P0 .
Nếu  D  1 thì không co giãn (tức là giá thay đổi không ảnh hưởng đến lượng cầu).
P
Nếu  D  1 thì tương đối co giãn (tức là giá thay đổi có ảnh hưởng đến lượng cầu).
VI. Đạo hàm cấp 2 và qui luật lợi ích biên giảm dần :
1) Khái niệm : Cho y  f ( x) . Khi giá trị của đối số x đủ lớn, nếu x tăng thì M y giảm, tức là
( M y )  0 hay y  0 . Đó là biểu thị toán học của lợi ích biên giảm dần.
2) Ví dụ :
a) Cho R(Q)  1000Q  Q 2 . Ta có R(Q)  1000  2Q, R(Q)  2  0 . Từ đó suy ra doanh thu R tuân
theo qui luật lợi ích biên giảm dần.
b) Cho Q  aL (a  0,   0) . Ta có : Q  a L 1 , Q  a (  1) L  2  0    1  0    1 .
VII. Khảo sát hàm bình quân :
1) Khái niệm :
P
12
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lưu hành nội bộ cá nhân
Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht)
Cho y  f ( x) . Khi đó hàm bình quân là Ay 
Biên soạn Phạm Thế Hiền
y
( x  0) , hàm cận biên là M y  f ( x) .
x
Ví dụ :
R(Q)
là hàm doanh thu bình quân.
Q
C (Q)
b) Cho Q  0, C  C (Q) . Khi đó AC ( Q ) 
là hàm chi phí bình quân.
Q
Q
c) Cho L  0, Q  f ( L) . Khi đó APL  là hàm sản phẩm bình quân của lao động.
L
a) Cho Q  0, R  R(Q) . Khi đó AR ( Q ) 
2) Mối liên hệ giữa hàm cận biên và hàm bình quân :
Cho Ay 
y

( x  0) . Ta có :  Ay   
x

y

y

y  yx  xy
x  M y  Ay ( x  0) .


x 
x2
x
x
Nhận xét :
a) Nếu Ay tăng (tức là  Ay   0 ) thì M y  Ay .
Trong khoảng hàm bình quân tăng thì đường cận biên nằm trên đường bình quân.
b) Nếu Ay giảm (tức là  Ay   0 ) thì M y  Ay .
Trong khoảng hàm bình quân giảm thì đường cận biên nằm dưới đường bình quân.
c) Nếu Ay đạt cực trị (tức là  Ay   0 ) thì M y  Ay  0  M y  Ay .
Đường cận biên gặp đường bình quân tại điểm mà đường bình quân đạt cực trị.
VII. Bài toán tối ưu 1 biến :
1) Khái niệm : Cho y  f ( x) .
Hàm số y  f ( x) được gọi là đạt cực trị tại x0 nếu f ( x0 )  0 và đổi dấu qua nghiệm đó.
Nếu f ( x0 )  0 thì hàm số y  f ( x) đạt cực tiểu tại x  x0  yCT  f ( x0 ) .
Nếu f ( x0 )  0 thì hàm số y  f ( x) đạt cực đại tại x  x0  yCD  f ( x0 ) .
2) Ví dụ :
a) Cho Q  120 L2  2 L3 , ( L  0) . Tìm lao động L sao cho sản lượng Q đạt giá trị cao nhất.
Ta có : Q  240 L  6 L2  0  6 L(40  L)  0  40  L  0  L  40  Q  104000 (Vì L  0 nên loại
L  0 ).
Q  240  12 L  Q(40)  240  12.40  240  0 .
Vậy, sản lượng Q đạt giá trị cao nhất khi L  40 .
2
3
b) Cho Q  60 L , ( L  0) . Giá thuê 1 đơn vị lao động là PL  4 , chi phí cố định là C0  0 , giá sản
phẩm là P  2 . Tìm lao động L sao cho sản lượng Q đạt giá trị cực đại và lợi nhuận  đạt cực
đại.
2
2
Ta có :   R  C  PQ  ( PL L  C0 )  2.60 L3  4 L  C0  120 L3  4 L  C0 .
13
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lưu hành nội bộ cá nhân
Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht)
Biên soạn Phạm Thế Hiền
1
1


2  13
4
1
3

  ( L)  120. L  80 L  4  0  L 3 

 L  (20)3  8000 .
3
80 20
4
4
1

 1 
 1
  ( L)  80    L 3   (8000)  80     8000  3  
 0.
3.2000
 3
 3
Vậy, sản lượng và lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất khi L  8000 .
c) Cho C (Q)  4Q3  5Q 2  500 (Q  0) và hàm cầu là Q  19680  P . Hãy xác định mức sản lượng Q
để cho lợi nhuận đạt được tối đa.
Ta có :   R  C  PQ   4Q 3  5Q 2  500   (19680  Q)Q  4Q 3  5Q 2  500  4Q3  6Q 2  19680Q  500 .
 (Q)  12Q 2  12Q  19680  0  Q 2  Q  1640  0  Q  30   (Q)  476500 .
 (Q)   12Q 2  12Q  19680   24Q  12   (30)  24.30  12  732  0 .
Vậy, lợi nhuận đạt tối đa khi sản lượng Q  30 .
d) Giả sử hàm lợi nhuận  của một xí nghiệp đối với một loại sản phẩm là   R  C  T , R  PQ ,
C  cQ  f , T  tQ , P  a  bQ (a, b  0) , trong đó R là doanh thu, P là giá sản phẩm, C là chi phí
gồm định phí f (độc lập với sản lượng) và biến phí cQ ( c là biến phí đơn vị trên 1 đơn vị sản
phẩm, Q là sản lượng), t là thuế trên một đơn vị sản phẩm, T là tổng thuế. Hãy xác định mức
sản lượng Q(t ) để lợi nhuận  đạt cực đại và định mức thuế t tổng thuế T đạt cực đại.
Ta có :  (Q)  (a  c  t )Q  bQ 2  f   (Q)  a  c  t  2bQ  0  Q 
act
2b
(Vì Q  0, b  0 nên
a  c  t  0  0  t  a  c )   (Q )  2b  0 (Vì b  0 ).
1
a  c  t (a  c)t  t 2
a  c  2t
ac
. T (t )   0 (vì b  0 ).

 T (t ) 
0t 
b
2b
2b
2b
2
a c t
ac
Vậy, lợi nhuận  đạt cực đại khi Q 
và tổng thuế T đạt cực đại khi t 
.
2b
2
e) Giả sử hàm lợi nhuận  của một xí nghiệp đối với một loại sản phẩm là   R  C  T ,
R  PQ , C  4Q  1, T  tQ , P  12  3Q . Hãy xác định mức sản lượng Q (t ) để lợi nhuận  đạt cực
đại và định mức thuế t tổng thuế T đạt cực đại.
8t
1
,  (Q)    0 .
Ta có :  (Q)  3Q 2  (8  t )Q  1   (Q)  6Q  8  t  0  Q 
6
6
2
8  t 8t  t
8  2t
1
T (t )  t.

 T (t ) 
 0  t  4, T (t ) 
0.
6
6
6
3
8t
Vậy, lợi nhuận  đạt cực đại khi Q 
và tổng thuế T đạt cực đại khi t  4 .
6
T (t )  tQ  T (t )  t.
VIII. Tích phân và tìm hàm doanh thu khi biết hàm cận biên :
1) Khái niệm : Cho F ( x) là nguyên hàm của f ( x) (tức là F ( x)  f ( x) ) và C là hằng số. Khi đó
ta có :  f ( x)dx  F ( x)  C .
u  1
Công thức :  u.u dx 
 C ,   1, u  u ( x) .
 1

14
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lưu hành nội bộ cá nhân
Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht)
Biên soạn Phạm Thế Hiền
2) Bài toán : Cho hàm cận biên M y  f ( x) . Hãy tìm hàm số y  f ( x) .
Ta có : y  f ( x)   M y dx   f ( x)dx .
3) Ví dụ :

1
a) Cho hàm cận biên MPL  90 L 3 . Hãy tìm Q  f ( L) biết Q(125)  100000 .
1
 1
3
2
L
3
 C  135 L  C  135 3 L2  C .
Ta có : Q  f ( L)   MPLdL   90 L dL  90
1
 1
3

1
3
Q(125)  100000  135 3 (125) 2  C  100000  C  100000  135.52  96625 .
Vậy : Q( L)  135 3 L2  96625 .
b) Cho hàm cận biên MC (Q)  4Q3  12Q 2  25 . Tìm C (Q ) biết FC  4000 (chi phí cố định).
Ta có : C (Q)   MC (Q)dQ    5Q 4  12Q 2  25 dQ  Q5  4Q3  25Q  H .
FC  C (0)  05  4.03  25.0  H  4000  H  4000 .
Vậy : C (Q)  Q 5  4Q 3  25Q  4000 .
c) Cho hàm cận biên MR(Q)  450  12Q . Tìm hàm tổng doanh thu R(Q) .
Ta có : R(Q)   MR(Q)dQ    450  12Q  dQ  450Q  6Q 2  C .

1
d) Cho hàm cận biên MPC (Y )  0, 6  0, 4Y 3 . Tìm hàm tiêu dùng C ( y ) biết mức tiêu dùng dự định
bằng 200 .


1
2

Ta có : C (Y )   MPC (Y )dY    0, 6  0, 4Y 3  dY  0, 6Y  0, 6Y 3  H .


2
3
C (0)  0, 6.0  0, 6.0  H  200  H  200 .
Vậy : C (Y )  0, 6Y  0, 6 3 Y 2  200 .
IX. Tìm hàm giữ vốn khi biết hàm đầu tư :
1) Khái niệm : Cho hàm giữ vốn K  K (t ) , hàm đầu tư I (t ) , t là thời gian. Khi đó I (t )  K (t ) ,
K (t )   K (t )dt   I (t )dt .
Lượng đầu tư tại thời điểm t biểu thị tốc độ tăng vốn tại thời điểm t .
2) Ví dụ :
2
Cho hàm đầu tư I (t )  30t 3 ( t là năm). Tìm hàm giữ vốn K (t ) biết K (1)  8000 và xác định lượng
vốn tích lũy được từ năm thứ 2 đến năm thứ 7 .
2
2
3
1
5
t3
 C  18t 3  C .
Ta có : K (t )   K (t )dt   I (t )dt   30t dt  30
2
1
3
5
3
5
3
K (1)  18.1  C  8000  C  8000  18  7982  K (t )  18t  7982 .
15
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lưu hành nội bộ cá nhân
Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht)
5
3
5
3
K (7)  K (2)  18.7  7982  18.2  7982  18

3
Biên soạn Phạm Thế Hiền

7 5  3 25 .
X. Đạo hàm riêng và cực trị của hàm nhiều biến :
1) Đạo hàm riêng : Cho hàm số z  f ( x, y ) hay u  f ( x, y, z ) .
a) Đạo hàm riêng cấp 1 : zx 
z
z
u
u
u
hay ux  , uy  , uz  .
, z y 
x
y
x
y
z
2 z
2 z
2 z
2 z
 2u
 2u





,
z



z
,
z

u

,
u


hay
xy
yx
yy
xx
xy
x 2
xy yx
y 2
x 2
xy
 2u
 2u
 2u
 2u
 2u
 2u
 2u
 uyx , uxz 

 uzx , uyz 

 uzy , uyy  2 , uzz  2 .
yx
xz zx
yz zy
y
z
b) Đạo hàm riêng cấp 2 : zxx 
2) Cực trị của hàm nhiều biến :
a) Hai biến : Cho hàm số z  f ( x, y ) .
 z  0
* Tìm điểm nghi ngờ cực trị :  x
 M 0 ( x0 , y0 ) .
 z y  0
**) Tính : a11  zxx , a12  z xy , a22  zyy , a21  zyx , D 
a11 a12
 a11  a22  a21  a12 .
a21 a22
+ Nếu D  0 thì hàm số z không đạt cực trị tại M 0 ( x0 , y0 ) .
D  0
+ Nếu 
thì hàm số z đạt cực tiểu tại M 0 ( x0 , y0 )  zmin ( M 0 ) .
a11  0
D  0
+ Nếu 
thì hàm số z đạt cực đại tại M 0 ( x0 , y0 )  zmax ( M 0 ) .
a

0
 11
b) Ba biến : Cho hàm số u  f ( x, y, z ) .
ux  0

* Tìm điểm nghi ngờ cực trị : uy  0  M 0 ( x0 , y0 , z0 ) .
 
u z  0
**) Tính : a11  uxx , a12  u xy , a13  uxz , a21  uyx , a22  uyy , a23  uyz , a31  uzx , a32  uzy , a33  uzz .
D11  a11 , D2 
a11 a12
 a11  a22  a21  a12
a21 a22
a11
a12
a13
D3  a21
a31
a22
a32
a23   a11a22 a33  a12 a23 a31  a13 a21a32    a11a23a32  a12 a21a33  a13 a22 a31  .
a33
+ Nếu D1.D3  0 hoặc D2  0 thì hàm số u không đạt cực trị tại M 0 ( x0 , y0 , z0 ) .
+ Nếu D1  0, D2  0, D3  0 thì hàm số u đạt cực tiểu tại M 0 ( x0 , y0 , z0 )  umin ( M 0 ) .
+ Nếu D1  0, D2  0, D3  0 thì hàm số u đạt cực đại tại M 0 ( x0 , y0 , z0 )  umax ( M 0 ) .
c) Ví dụ :
16
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lưu hành nội bộ cá nhân
Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht)
Biên soạn Phạm Thế Hiền
* Cho Q   K 3  8L3  3KL  100 ( K , L  0) . Tìm K , L để Q đạt giá trị cực đại.
+ Tìm điểm nghi ngờ cực trị.
1

2
L


L

K

QK  0
3K  3L  0
 L  K


4 M 1,1

 4



0
 (Loại K  0, L  0 ).
3
2
2 4
8 K  K  0
QL  0
24 L  3K  0
 K 8 K  1
K  1

2
6 K
3
  6 K , a12  QKL
  3, a21  QLK
  3, a22  QLL
  48 L, D 
+ Tính : a11  QKK
 288KL  9 .
3
48L
2
2

1
1 1

1 1
Xét tại M 0  ,  . Ta có : a11  6.  3  0 và D  288. .  9  36  9  27  0 .
2
2 4
2 4
1 1
801
Vậy Q đạt cực đại tại M 0  ,   Qmax  M 0  
.
8
2 4
* Một công ty độc quyền sản xuất một loại mặt hàng nhưng tiêu thụ ở hai thị trường với hàm
cầu Q1  100  P1 , Q2  60 
P2
và hàm chi phí kết hợp là C (Q1 , Q2 )  20(Q1  Q2 ) . Hãy xác định lượng
2
cung và giá trị bán ở từng thị trường để công ty thu được lợi nhuận lớn nhất.
Ta có :


  R  C  R1  R2  C  PQ
1 1  P2 Q2  20(Q1  Q2 )  P1 (100  P1 )  P2  60 
  120 P1  P12  70 P2 
P2 
P2 

  20 100  P1  60   .
2
2

P22
 3200 .
2
+ Tìm điểm nghi ngờ cực trị.
120  2 P1  0
 P  60
 P1  0

 1
 M 0 (60, 70) .

 P2  0
70  P2  0
 P2  70
+ Tính : a11   P P  2, a12   P P  0, a21   P P  0, a22   P P  1, D 
1 1
1 2
2 1
2 2
2 0
 2.
0 1
Vì a11  2  0 và D  2  0 nên công ty thu được lợi nhuận lớn nhất khi P1  60, Q1  40, P2  70 ,
Q2  25   max  2850 .
P1
P
, Q2  20  2 , C  Q12  4Q1Q2  Q22  50 . Tìm Q1 , Q2 sao cho  (Q1 , Q2 ) đạt cực đại.
2
3
2
2
Ta có :   R  C  R1  R2  C  PQ
1 1  P2 Q2  C  (60  2Q1 )Q1  (60  3Q2 )Q2  Q1  4Q1Q2  Q2  50 .
* Cho Q1  30 

2
1

2
2
  60Q1  3Q  60Q2  4Q  4Q1Q2  50 .
+ Tìm điểm nghi ngờ cực trị.
60  6Q1  4Q2  0
Q  Q2  10
Q  10  Q2
Q  5
 Q 1  0

 1
 1
 1
 M 0 (5,5) .

 Q 2  0
60  8Q2  4Q1  0
Q1  2Q2  15 Q2  5
Q2  5
6 4
 48  16  32  0 .
+ Tính : a11   Q1Q1  6, a12   Q1Q2  4, a21   Q2Q1  4, a22   Q2Q2  8, D 
4 8
17
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lưu hành nội bộ cá nhân
Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht)
Biên soạn Phạm Thế Hiền
Vì a11  6  0 và D  32  0 nên công ty thu được lợi nhuận lớn nhất khi Q1  5, P1  50, Q2  5 ,
P2  45   max  275 .
Một Số Đề Bài Luyện Tập Toán Kinh Tế 1
Bài số 01
1  2e x2  cos(2 Ax)

Câu 1 : Xét sự liên tục của hàm số f ( x)   x 2  ln(1  3 x 4 ) , khi x  0 .

2A  9
, khi x  0

Câu 2 :
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y 
x2  4 x  4
.
x2  4x
2) Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm. Biết hàm cầu hai loại sản phẩm trên là :
QD  120  2 P1  P2 , QD  200  P1  P2 và hàm tổng chi phí là C  60Q1  20Q2  80 . Tìm mức sản
lượng của từng loại sản phẩm để xí nghiệp có lợi nhuận đối đa.
Câu 3 : Biện luận hệ phương trình sau theo tham số m, n .
1
2
 x1
 2x
 1

 x1
mx1
x2

x3

 mx2
 x2
 2 x2
 mx4
 2 x3
 mx3
 x3
4 x4
x4
5 x4




1
 m
.
 m
 n
Câu 4 : Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau bằng thuật toán đơn hình.
f
 2 x1
 x1
 x
 1


2 x1


 x2
 3 x3
 4 x4
x2
x2
2 x2
 2 x2
 x3
 2 x3
 x3
 x3




x4
x4
x4
x4

,
j


xj
0
 5 x5




x5
x5
x5
x5
 min




2
3
4.
5
 1, 5
Bài số 02
Câu 1 : Tìm điều kiện của A  R để hàm số f ( x) sau có đạo hàm cấp 1 tại x  2 .


 sin 2 e A( x  2)  1

, khi x  2
f ( x)  
.
ln(3  x)
 3
2
 x  2 x  5 x  10, khi x  2
Câu 2 :
1) Khảo sát sự biến và vẽ đồ thị hàm số y 
18 x
.
x2  9
5
3
2) Tìm cực trị của hàm số z  x3  3x 2 y  5 y 2 x  32 x  y 3  13 .
Câu 3 : Xét mô hình input – output mở gồm ba ngành với ma trận hệ số đầu vào là
18
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lưu hành nội bộ cá nhân
Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht)
Biên soạn Phạm Thế Hiền
 0, 6 0, 2 0,1 
 5000 




A   0, 2 0, 4 0, 2  và giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của từng ngành là  6000  (đơn vị
 0,1 0, 2 0, 6 
 4000 




tính tỷ đồng).
1) Giải thích ý nghĩa của hệ số a23 .
2) Hãy xác định giá trị tổng cầu của từng ngành sản xuất.
Câu 4 : Giải bài toán vận tải sau theo phương pháp cực tiểu cước phí.
bj
30
ai
60
40
70
3
4
6
5
1
2
7
8
9
10
12
11
80
70
50
Phương án tìm được có duy nhất không? Tại sao?
Bài số 03
Câu 1 : Xác định A để hàm số f ( x) sau liên tục trên R .
ln 1 3 A2 

2
2
x
 3e  2  x  ln 13 x2 

, khi x  0 .
f ( x)   x 2  1 




2A  3
, khi x  0
Câu 2 :
1) Tính đạo hàm cấp n của hàm số f ( x)  ( x  5)e 6 x . Từ đó suy ra công thức Maclaurin của hàm
số f ( x) đến cấp n .

2) Tính

1
ln 3
2
1  e2 x
dx .
e2 x
Câu 3 : Tùy theo tham số m, n tìm hạng của ma trận sau :
 1 1 1 m 1


1 m 1 1 m 

.
A
 2 2 m 4 m


 m 1 2 3 n 
19
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lưu hành nội bộ cá nhân
Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht)
Biên soạn Phạm Thế Hiền
Câu 4 : Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau bằng thuật toán đơn hình.
f
 3 x1
 2 x2
 x1
 x  x
2
 1
x
 1  x2
 x1  2 x2

xj

x3

 4 x4
 x3
 2 x3
 x3
 x3
 2 x4
 x4
 x4
 2 x4

,
0
j
 5 x5
 x5
 x5
 2 x5
 x5
 max




3
2
1.
3
 1,5
Bài số 04
Ax
 2e  1  cos 2 x
, khi x  0
Câu 1 : Cho hàm số f ( x)  
.
x  x3

A2  8
, khi x  0

1) Xác định A để hàm số f ( x) liên tục trên R .
2) Với các giá trị A vừa tìm được ở trên hàm số f ( x) có đạo hàm cấp 1 tại x  0 hay không?
Câu 2 : Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm. Biết hàm cầu hai loại sản phẩm
trên là : QD  200  2 P1 , QD  120  P2 và hàm tổng chi phí là C  Q 2  40Q  30 . Tìm mức sản lượng
của từng loại sản phẩm để xí nghiệp có lợi nhuận đối đa.
1
2
n
 1 0 1 
1 2


Câu 3 : Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình ma trận  0 1 0  X   1 1  .
 0 2 1 
2 1




Câu 4 : Giải bài toán vận tải sau theo phương pháp cực đại cước phí.
bj
80
ai
90
60
40
30
3
5
4
6
2
1
7
2
11
3
9
2
10
7
6
5
8
1
9
12
70
80
50
100
Bài số 05
Câu 1 : Xác định A để hàm số f ( x) sau liên tục trên R .
20
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lưu hành nội bộ cá nhân
Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht)
Biên soạn Phạm Thế Hiền
ln 17  2 A2 

 2e x2  cos 2 x  x 2  ln 1 x2 


, khi x  0 .
f ( x)  

x2  1



A3
, khi x  0

Câu 2 :
x2
.
x  4x  3
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y 
0
2) Tính

 ln 2
2
  dx .
e2 x .arcsin e x
1  e2 x
Câu 3 : Cho hệ phương trình sau :
 x1  x2  x3  x4  1
2 x  3 x  3 x  mx  1
 1
2
3
4
( m, n là tham số).

 x1  2 x2  mx3  3x4  0
 x1  mx2  2 x3  2 x4  n
1) Biện luận theo m, n số nghiệm của hệ phương trình trên.
2) Giải hệ trên khi m  1, n  5 .
Câu 4 : Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau bằng thuật toán đơn hình.
f
 4 x1
 x1
 2 x
1

 x
 1
 x1


 2 x2
 2 x2
 x2
 x2
 x2
xj
 3 x3
 5 x4
 x3
 x3
 2 x3
 3x3
 2 x4
 2 x4
 x4
 2 x4

,
0
j
 4 x5
 x5
 x5
 x5
 2 x5
 min
 3
 4
 2 .
 5
 1,5
Bài số 06
Câu 1 :
1) Tính đạo hàm cấp n của hàm số f ( x) 
6x 1
2
 3x  2   3 x  1
2
. Từ đó suy ra công thức Maclaurin
của hàm số f ( x) đến cấp n .
2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y 
x2  2 x  3
.
x2  2 x  3
Câu 2 : Xét mô hình input – output mở gồm ba ngành với ma trận hệ số đầu vào là
 0, 6 0,1 0,1 
 4500 




A   0, 2 0, 7 0,1  và giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của từng ngành là  6500  (đơn vị
 0,1 0,1 0, 7 
 3000 




tính tỷ đồng).
1) Hãy xác định giá trị tổng cầu của từng ngành sản xuất.
21
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lưu hành nội bộ cá nhân
Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht)
Biên soạn Phạm Thế Hiền
2) Do cải tiến kỹ thuật ngành 1 nên nguyên liệu ngành 2 giảm 25% . Tìm mức sản lượng của ba
 2500 
ngành kinh tế trên với giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của từng ngành là  3500  (đơn vị
 4000 


tỷ đồng).
Câu 3 : Tìm nghiệm thực hoặc phức của phương trình sau :
x2  2 0
1
x2  2
2x 1
5
3x
0
0
1
1
1
2
2 x2  2 2 x  2
4  0 .
2
1 2x 1 x 1
6
3
5
2 x  3 x2  6
Câu 4 : Giải bài toán vận tải sau theo phương pháp cực tiểu cước phí.
bj
60
ai
50
80
10
8
4
12
1
5
3
11
6
7
10
2
9
90
70
40
Bài số 07
Câu 1 : Xét sự liên tục của hàm số sau :


 ln 3e2 x 2  2 cos Ax

, khi x  0
.
f ( x)   x 2  sin 2 e x2  1


6A  2
, khi x  0


Câu 2 : Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm. Biết hàm cầu hai loại sản phẩm
trên là : QD  120 
1
P1
P
, QD2  100  2 và hàm tổng chi phí là C  2Q 2  40Q  50 . Tìm mức sản
2
3
lượng của từng loại sản phẩm để xí nghiệp có lợi nhuận đối đa.
Câu 3 :

1) Tính

1
ln 3
2
ex
dx .
e4 x  4e 2 x  3
22
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lưu hành nội bộ cá nhân
Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht)
Biên soạn Phạm Thế Hiền
2) Với điều kiện nào của a ( a là tham số thực hoặc phức) thì ma trận A sau khả nghịch?
1
1
1
1 
1


a2
2
3a  2
2 
2
A   1 2a  1 a 2  1 2a  1
9  .


2
2
9 
 1 a  1 2a  1 a  1
 2 2a  2
6
2a  2 a 2  2 

Câu 4 :
1) Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau bằng phương pháp hình học.
f  x  2 y  min(max)
 x  y  3
 x y  3

2x  y  9 .
 x
 0

 0
 y
2) Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau bằng thuật toán đơn hình.
f
  x1 
 3x1
 2x
 1
 3 x
 1


x2



x2
2 x2
3 x2
xj

 2 x3
 2 x4
 x3
 x3
 2 x3
 2 x4
 x4
 x4
0
j
,

 min



3
2
.
5
1, 4
Bài số 08
Câu 1 : Xác định A để hàm số f ( x) sau liên tục trên R .
 4 2e x2  cos 2 x  cos Ax

, khi x  0
.
f ( x)  
x 2  ln 1  3x 4

A5
, khi x  0



Câu 2 :
x2  8
.
x2  4
2) Tìm cực trị của hàm số z  x 3  y 3  2 x 2 y  2 y 2 x  9 x  9 y  25 .
Câu 3 : Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình ma trận sau :
1) Khảo sát sự biên thiên và vẽ đồ thị hàm số y 
n
n
 1 1 0   1 0 2 

 

X  0 1 2    0 1 0  .
0 0 1  0 1 1

 

Câu 4 :
1) Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau bằng phương pháp hình học.
f  x  2 y  min(max)
23
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lưu hành nội bộ cá nhân
Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht)
 x y
x  2 y


 x y
 y
Biên soạn Phạm Thế Hiền
 4
 4
.
 8
 0
2) Giải bài toán vận tải sau theo phương pháp cực đại cước phí.
bj
40
ai
30
60
70
2
5
7
4
11
12
1
8
9
6
10
3
70
80
50
Bài số 09


 e5 x  e4 x ln  3  2 cos Ax 
, khi x  0 .
Câu 1 : Xét sự liên tục của hàm số f ( x)  
4 x 3  6 x5

2A  3
, khi x  0

Câu 2 :
1) Tính đạo hàm cấp n của hàm số f ( x) 
1
. Từ đó suy ra công thức Maclaurin của hàm
5
4x  5
số f ( x) đến cấp n .
2) Tìm cực trị của hàm số z  x 3  x 2 y  y 2 x  9 x  2 .
Câu 3 :
1) Xét mô hình input – output mở gồm ba ngành với ma trận hệ số đầu vào là
 0,3 0,1 0, 2 
 500 




A   0,1 0, 2 0,3  và giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của từng ngành là  800  (đơn vị
 0,1 0,3 0, 2 
 300 




tính tỷ đồng). Hãy xác định giá trị tổng cầu của từng ngành sản xuất.
2) Tùy theo tham số m, n tìm hạng của ma trận sau :
1 1 2 m 2 


1 2 3 1 3

.
A
2 3 m 6 m


 1 m 6 3 n 
24
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lưu hành nội bộ cá nhân
Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht)
Biên soạn Phạm Thế Hiền
Câu 4 :
1) Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau bằng phương pháp hình học.
f  2 x  y  min(max)
x  y  2
x  y  2

 0.
 x
 y
 0

 4
 y
2) Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau bằng thuật toán đơn hình.
f
 4 x1

x2
 x1  2 x2
 x  x
2
 1
 2 x  3x
2
 1
 x1  x2

xj

 3 x3
 2 x4
 2 x3
 2 x3
 x3
 x3
 x4
 2 x4
 x4
 x4

,
0
 3 x5

j
x5
 max
 2
 3
 3 .
 1
 1,5
Bài số 10


 ln 2 3e A( x  2)  2

, khi x  2
Câu 1 : Xác định A  R để hàm số f ( x)   x 3  2 x 2  5 x  10
có đạo hàm cấp 1 tại x  2 .
x 2

sin e  1 , khi  2



Câu 2 :
1) Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm. Biết hàm cầu hai loại sản phẩm trên là :
QD  80  2 P1  P2 , QD  90  P1  P2 và hàm tổng chi phí là C  30Q1  20Q2  30 . Tìm mức sản lượng
của từng loại sản phẩm để xí nghiệp có lợi nhuận đối đa.
1
2

2) Tính

1
ln 3
2
ex
1  e 
2x
3
dx .
Câu 3 : Với điều kiện nào của a, b ( a, b  R ) thì hệ phương trình sau là hệ Cramer?
 x1
2 x
 1
 x1
x
 1
 ax1
x2
ax2



x2
 (a  1) x2

2 x2
 x3
 2 x3



ax3
x3
x3
x4
ax4
 ax5
 4 x5


 x4
 2 x4
 2 x4
 x5
 x5
 5 x5
 a2.
 a4

b


1
2
Câu 4 : Giải bài toán vận tải sau theo phương pháp cực tiểu cước phí.
bj
ai
60
50
20
70
25
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lưu hành nội bộ cá nhân
Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht)
Biên soạn Phạm Thế Hiền
2
5
7
4
11
12
1
8
9
6
10
3
90
70
40
Bài số 11


 sin 2 e A( x 2)  1  ln 3  2 cos  2( x  2)  

 , khi x  2

Câu 1 : Xét sự liên tục của hàm số f ( x)  
.
x 4  4 x3  6 x 2  8 x  8

x2
A cos( x  2)  2e
, khi  2

Câu 2 :
1) Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm. Biết hàm cầu hai loại sản phẩm trên là :
QD  120  4 P1  2 P2 , QD  360  2 P1  2 P2 và hàm tổng chi phí là C  40Q1  120Q2  70 . Tìm mức sản
lượng của từng loại sản phẩm để xí nghiệp có lợi nhuận đối đa.
1
2

2) Tính

1
ln 3
4
  dx .

e4 x arctan e2 x
1  e
4x
3
Câu 3 : Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình ma trận sau :
n
n
1 0 2
1 2 1  2 2 3



 

0 1 0 X 0 1 0  0 2 0 .
0 1 1
0 2 1 0 3 2



 

Câu 4 : Giải bài toán vận tải sau theo phương pháp cực đại cước phí.
bj
40
ai
70
80
60
90
30
60
70
100
1
6
2
8
7
3
5
4
10
11
7
1
8
6
9
2
12
7
10
4
26
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lưu hành nội bộ cá nhân
Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht)
Biên soạn Phạm Thế Hiền
Mười bài tập của phần làm bài tập lớn
Bài số 01
 3e 2 x2  2 cos Ax  cos 2 x

, khi x  0
Câu 1 : Xét sự liên tục của hàm số f ( x)  
x 2  3x 4

3 A cos 2 x  5 x 2
, khi x  0

 A R .
Câu 2 :
x2  2 x  3
.
x2  2 x
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y 
2) Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ trên hai thị trường riêng
biệt. Biết hàm cầu trên hai thị trường là : QD  100 
1
P1
P
, QD2  120  2 và hàm tổng chi phí là
4
2
C  2Q 2  40Q  250 , với Q  Q1  Q2 . Tìm mức sản lượng của xí nghiệp cung cấp cho các thị
trường để có lợi nhuận đối đa.
2 
1 2 1 m


1 m 1 2
m 

Câu 3 : Tùy theo tham số m, n  R tìm hạng của ma trận A 
.
 1 2 m 1 m  1


n 
m 4 1 0
Câu 4 :
1) Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau bằng thuật toán đơn hình.
f
 2 x1
 x1
 x
 1
 x
 1
2 x1



x2
 x2
 2 x2
 2 x2
 x2
xj

x3
 3 x4
 x3
 x3
 2 x3
 x3




x4
x4
x4
x4

,
j
0
 2 x5




x5
x5
x5
x5
 min
 4
 3
 5 .
 6
 1,5
Phương án tối ưu có duy nhất không? Vì sao?
2) Giải bài toán giao thông vận tải sau theo phương pháp cực đại cước phí.
bj
80
ai
50
60
20
40
70
1
3
6
8
9
50
10
13
7
15
2
80
4
16
12
20
17
50
18
14
19
5
11
Phương án tìm được có duy nhất không? Vì sao?
27
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lưu hành nội bộ cá nhân
Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht)
Biên soạn Phạm Thế Hiền
Bài số 02
  3e x2  2 cos Ax 
 ln 


2 x2  1
 
 
 , khi x  0
Câu 1 : Xác định A  R để hàm số f ( x)  
liên tục trên R .
2
4
x  3x

 A cos 2 x  7
, khi x  0

x2  2
Câu 2 :
1) Tính đạo hàm cấp n của hàm số y  f ( x)   2 x  3 e 2 x . Từ đó suy ra công thức Maclaurin của
số y  f ( x) đến cấp n .
2) Tìm cực trị của hàm số z  2 x3  6 y 2 x  30 x  24 y  1 .
Câu 3 : Cho biết hàm cung, hàm cầu của thị trường ba loại hàng hóa là QS  20  P1  2 P2  P3 ,
1
QD1  30  2 P1  3P2  P3 , QS2  40  P1  P2  2 P3 , QD2  60  2 P1  P2  P3 , QS3  60  P1  2 P2  2 P3 ,
QD3  70  P1  P2  P3 . Khi thị trường cân bằng hãy thiết lập hệ phương trình tuyến tính với ẩn số
là P1 , P2 , P3 . Sau đó bằng phương pháp ma trận nghịch đảo hãy xác định bộ giá và lượng cân
bằng thị trường của ba mặt hàng trên.
Câu 4 :
1) Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau bằng thuật toán đơn hình.
f

x1
 x2
 x1  2 x2
 x  x
2
 1
 x  2 x
2
 1
 x1  x2

xj

 3 x3
 2 x4
 x3
 2 x3
 x3
 x3
 2 x4
 x4
 2 x4
 x4

,
0
j
 5 x5
 x5
 x5
 x5
 2 x5
 max
 3
 2
 4 .
 5
 1,5
Phương án tối ưu có duy nhất không? Vì sao?
2) Giải bài toán giao thông vận tải sau theo phương pháp cực tiểu cước phí.
bj
20
ai
60
50
80
40
60
12
5
3
8
4
40
9
17
14
2
11
70
20
13
7
15
6
80
1
18
19
10
16
Phương án tìm được có duy nhất không? Vì sao?
28
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lưu hành nội bộ cá nhân
Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht)
Biên soạn Phạm Thế Hiền
Bài số 03
3 A x  2 
 2e
 1  cos 2  x  2 
, khi x  2

Câu 1 : Cho hàm số f ( x)  
.
x2

A2  3  x   4 x
, khi x  2

1) Xác định A  R để hàm số f ( x) trên liên tục trên R .
2) Với các giá trị A  R vừa tìm được ở trên hàm số f ( x) có đạo hàm cấp 1 tại x  2 hay không?
Câu 2 :
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y 
x3
.
x  6x  8
2
2) Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm. Biết hàm cầu hai loại sản phẩm trên là :
16QD  330  3P1  P2 , 16QD  1170  P1  3P2 và hàm tổng chi phí là C  30Q1  40Q2  150 . Tìm mức
sản lượng của từng loại sản phẩm để xí nghiệp có lợi nhuận đối đa.
1
2
 1 10 3 
Câu 3 : Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình ma trận AX  A , với A   0 1 0  .
 0 4 1 


n
Câu 4 :
1) Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau bằng thuật toán đơn hình.
f
 3 x1
 x1 
x
 1 
2x 
 1
 x1 


 2 x2

x3
 2 x4

x5
 min
x2

x3

x4
 2 x5

x2
x2
x2
 x3
 x3
 2 x3



x4
x4
x4
 x5
 2 x5
 x5
 2
 4 .
 5
xj

,
j
 1,5
0
3
Phương án tối ưu có duy nhất không? Vì sao?
2) Giải bài toán giao thông vận tải sau theo phương pháp cực đại cước phí.
bj
30
ai
60
80
70
50
4
1
14
8
70
9
6
7
3
16
12
2
11
10
15
13
5
90
40
Phương án tìm được có duy nhất không? Vì sao?
29
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lưu hành nội bộ cá nhân
Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht)
Biên soạn Phạm Thế Hiền
Bài số 04
2
 3e
 1  2 cos 6  x  2 

, khi x  2
3
Câu 1 : Tìm A để hàm số f ( x)  
có đạo hàm cấp 1 tại x  2 .
x  2 x2  2 x  4

2
, khi x  2
 3 Ax  2 1  3 A  x  4
2  A x  2  
Câu 2 :
2
2
1) Dùng vi phân tính gần đúng giá trị của biểu thức A  ln  3   3, 99984    3, 00008  .


2) Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ trên hai thị trường riêng
biệt. Biết hàm cầu trên hai thị trường là : QD  140 
1
P1
P
, QD2  160  2 và hàm tổng chi phí là
2
3
C  2Q 2  40Q  350 , với Q  Q1  Q2 . Tìm mức sản lượng của xí nghiệp cung cấp cho các thị
trường để có lợi nhuận đối đa.
Câu 3 : Biện luận theo tham số m, n  R số nghiệm của hệ phương trình sau:
 x1
 x
 1

 x1
mx1

2 x2
 mx2
 2 x2
 2 x2
x3

 x3
 mx3
 x3
 mx4




2 x4
x4
5 x4
1
 m 1
.

m

n
Câu 4 :
1) Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau bằng thuật toán đơn hình.
f
 2 x1
 x1
x
 1
x
 1
 x1


 3 x2
 2 x2
 x2
 x2
 2 x2
xj
 4 x3
 5 x4
 x3
 x3
 x3
 2 x3
 x4
 2 x4
 x4
 2 x4

,
0
 x5
 x5
 2 x5
 x5
 x5
j
 max
 6
 3
 4 .
 7
 1,5
Phương án tối ưu có duy nhất không? Vì sao?
2) Giải bài toán giao thông vận tải sau theo phương pháp cực tiểu cước phí.
bj
30
ai
70
90
60
60
7
11
5
9
80
2
10
15
6
40
1
8
4
14
50
12
16
3
13
30
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lưu hành nội bộ cá nhân
Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht)
Biên soạn Phạm Thế Hiền
Phương án tìm được có duy nhất không? Vì sao?
Bài số 05
 ln 3e 2 A x  2 2  2 cos 3  x  2  
 
 , khi x  2
2
Câu 1 : Xét sự liên tục của hàm số f ( x)  
.
ln  3  x 

2
 A cos 2  x  2   8 x  1 , khi  2
Câu 2 :
1) Tính đạo hàm cấp n của hàm số f ( x) 
4x 1
2
 4 x  3  4 x  1
2
. Từ đó suy ra công thức Maclaurin
của hàm số f ( x) đến cấp n .
2) Tìm cực trị của hàm số z  x 3  3x 2 y  12 y 3  144 y  1 .
Câu 3 : Xét mô hình input – output mở gồm ba ngành với ma trận hệ số đầu vào là
 0, 4 0, 2 0,1 
 100 




A   0, 2 0, 6 0, 2  và giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của từng ngành là  200  (đơn vị
 0,3 0,1 0, 6 
 650 




tính tỷ đồng). Hãy xác định giá trị tổng cầu của từng ngành sản xuất.
Câu 4 :
1) Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau bằng thuật toán đơn hình.
f
 4 x1
2 x1
 2x
 1
 2 x
1

  x1


 2 x2




 3 x3
 4 x4
x2
x2
x2
x2
 2 x3
 x3
 x3
 x3
 x4
 x4
 2 x4
 x4
xj

,
0
j

x5
 x5
 x5
 2 x5
 x5
 min
 3
 8
 4 .
 2
 1,5
Phương án tối ưu có duy nhất không? Vì sao?
2) Giải bài toán giao thông vận tải sau theo phương pháp cực tiểu cước phí. Với yêu cầu A2
không phát hàng cho B3 và B4 nhận đủ hàng.
bj
60
ai
80
40
70
50
100
11
5
8
12
15
90
4
13
17
9
18
70
19
3
2
6
10
30
1
20
7
14
16
31
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lưu hành nội bộ cá nhân
Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht)
Biên soạn Phạm Thế Hiền
Phương án tìm được có duy nhất không? Vì sao?
Bài số 06
  3e x2  2 cos Ax 
 ln 

2 x 2  1 
 
, khi x  0 liên tục trên R .
Câu 1 : Xác định A để hàm số f ( x)  
2
4
x

2
x

5 A 2e x 2  1  4 cos 2 x, khi x  0

x
Câu 2 : Cho hàm số f ( x, y )  y ln   .
 y
1
1) Chứng minh rằng : .zx  yzy  zxx  x.zxy  y.zyy  z  y .
x
2) Tính d 2 f (2,1) .


Câu 3 : Cho biết hàm cung, hàm cầu của thị trường ba loại hàng hóa là QS  70  2 P1  P2  2 P3 ,
1
QD1  30  P1  P2  P3 , QS2  120  P1  3P2  P3 , QD2  20  P1  2 P2  4 P3 , QS3  140  2 P1  P2  P3 ,
QD3  60  P1  2 P2  2 P3 . Khi thị trường cân bằng hãy thiết lập hệ phương trình tuyến tính với ẩn số
là P1 , P2 , P3 . Sau đó sử dụng qui tắc Cramer (Phương pháp định thức) xác định giá và lượng cân
bằng thị trường của ba mặt hàng trên.
Câu 4 :
1) Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau bằng thuật toán đơn hình.
f
 7 x1
 6 x2
 3x3
 4 x4

 2 x
1

 x
 1
 x1


 x2
 2 x2
 x2
 2 x2




x3
x3
x3
x3
 x4
 2 x4
 x4
 x4
xj

0
,
j
 3x5
 x5
 x5
 2 x5
 x5
 max




5
7
4.
3
 1,5
Phương án tối ưu có duy nhất không? Vì sao?
2) Giải bài toán giao thông vận tải sau theo phương pháp cực tiểu cước phí.
bj
40
ai
50
70
80
10
70
2
12
9
8
4
30
3
8
6
5
1
90
10
11
13
9
7
60
16
4
14
6
15
32
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lưu hành nội bộ cá nhân
Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht)
Biên soạn Phạm Thế Hiền
Phương án tìm được có duy nhất không? Vì sao?
Bài số 07


 ln 3e2 A( x 1)2  2 cos 6  x  1

, khi x  1
Câu 1 : Xác định A để hàm số f ( x)  
có đạo hàm cấp 1 tại
x3  x2  x  3
 3 2
2
2
 x A  4  x A  2  2 x, khi x  1
x 1.




Câu 2 :
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y 
x2  4 x  1
.
x2  4 x  3
4
3
2) Tìm cực trị của hàm số z  x 3  6 x 2 y  9 y 2 x  y 3  324 y  1 .
Câu 3 : Xét mô hình input – output mở gồm ba ngành với ma trận hệ số đầu vào là
 0,5 0, 2 0, 2 
 100 




A   0,1 0, 6 0, 2  và giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của từng ngành là  100  (đơn vị
 0, 2 0,1 0, 4 
 300 




tính tỷ đồng). Hãy xác định giá trị tổng cầu của từng ngành sản xuất.
Câu 4 :
1) Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau bằng thuật toán đơn hình.
f
 2 x1
 3 x2
 x1 
2x 
 1
 x 
 1
 x1 


 4 x3
 4 x4
x2
x2
x2
x2




x3
x3
x3
x3
 2 x4
 x4
 x4
 x4
xj

0
,
j
 3x5
 x5
 2 x5
 x5
 x5
 min
 4
 7
 3 .
 6
 1,5
Phương án tối ưu có duy nhất không? Vì sao?
2) Giải bài toán giao thông vận tải sau theo phương pháp cực đại cước phí. Với yêu cầu A2 phát
hết hàng, B1 không nhận hàng của A2 và B3 không nhận hàng của A4 .
bj
60
ai
40
90
70
30
70
5
3
1
9
11
80
4
15
12
1
4
100
2
7
2
8
6
50
4
10
7
14
16
33
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lưu hành nội bộ cá nhân
Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht)
Biên soạn Phạm Thế Hiền
Phương án tìm được có duy nhất không? Vì sao?
Bài số 08


 sin 2 e A x  2  1  ln  3  2 cos 2  x  2  

, khi x  2
Câu 1 : Xét sự liên tục của hàm f ( x)  
.
ln 2  3  x 

3 Ax  x 2  4 x
, khi x  2

Câu 2 :

1) Xét sự hội tụ của tích phân
x
xdx
.
 4x2  3
4
2
2) Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm. Biết hàm cầu hai loại sản phẩm trên là :
5QD  420  3P1  2 P2 , 5QD  70  2 P1  3P2 và hàm tổng chi phí là C  40Q1  30Q2  250 . Tìm mức
sản lượng của từng loại sản phẩm để xí nghiệp có lợi nhuận đối đa.
Câu 3 : Tùy theo tham số m, n  R số nghiệm của hệ phương trình sau :
1
2
 x1
 x
 1

mx1
 x1
x2

2 x3

 mx2
 x2
 x2
 mx4
 2 x3
 4 x3
 mx3
x4
5 x4
4 x4




1

m
.
 m 1

n
Câu 4 :
1) Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau bằng thuật toán đơn hình.
f
 2 x1
 3 x2
 x1 
 x 
 1
x
 1 
 2 x1 


 x3
 3x4
 2 x5
x2
x2
x2
x2
 x3
 x3
 2 x3
 x3




x4
x4
x4
x4
 x5
 2 x5
 x5
 2 x5
xj

,
j
 1,5
0
 min




2
3
1.
4
Phương án tối ưu có duy nhất không? Vì sao?
2) Giải bài toán giao thông vận tải sau theo phương pháp cực tiểu cước phí.
bj
60
ai
80
70
40
70
4
9
8
6
40
12
2
7
8
90
3
11
5
1
30
10
1
9
4
Phương án tìm được có duy nhất không? Vì sao?
34
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lưu hành nội bộ cá nhân
Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht)
Biên soạn Phạm Thế Hiền
Bài số 09
Câu 1 :
 3  2cos Ax  cos 2 x
, khi x  0

x2  2x4
1) Xác định A để hàm số f ( x)  
liên tục trên R .
 A x 2  2 x  3  2 , khi x  0

5x
3 x
e  e  4sin 2 x
2) Tính lim
.
x 0
2 x 2  cos 4 x  1


Câu 2 :
9 x  18
.
x2  x  7
2) Tìm cực trị của hàm số z  x 3  2 x 2 y  2 y 2 x  y 3  9 x  9 y  1 .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y 
x2  2
0
3x
0
2x
x2  2
2x
6
Câu 3 : Tìm nghiệm thực hoặc phức của phương trình 2
0.
2
x  2 2x  2 x  2
8
2x
6
2x
x2  2
Câu 4 :
1) Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau bằng thuật toán đơn hình.
f
 3 x1
 4 x2
 2 x1  2 x2
2x  2x
2
 1
 x  x
2
 1
 x1  x2

xj

 5 x3
 6 x4
 7 x5
 2 x3
 x3
 x3
 2 x3




x4
x4
x4
x4
 2 x5
 x5
 x5
 x5

,
j
 1, 5
0
 min




4
5
3.
7
Phương án tối ưu có duy nhất không? Vì sao?
2) Giải bài toán giao thông vận tải sau theo phương pháp cực đại cước phí. Với yêu cầu A2 phát
hết hàng, A1 không phát hàng cho B4 và A5 không phát hàng cho B2 .
bj
70
ai
100
50
70
60
7
17
5
9
80
15
13
19
12
90
11
6
3
16
30
4
20
8
10
40
13
3
12
18
35
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lưu hành nội bộ cá nhân
Phần tóm tắt toán kinh tế 1 (Đại học – Cao đẳng – 4đvht)
Biên soạn Phạm Thế Hiền
Phương án tìm được có duy nhất không? Vì sao?
Bài số 10


 sin 2 e 2 x  1  ln  3  2 cos Ax 

, khi x  0
Câu 1 : Xét sự liên tục của hàm số f ( x)  
.
2 x 2  ln 1  3x 4

3  A  x   2  x  1
, khi x  0



Câu 2 :
1) Tính đạo hàm cấp n của hàm số f ( x) 
1
5
 4 x  3
. Từ đó suy ra công thức Maclaurin của hàm
số f ( x) đến cấp n .
2) Tìm cực trị của hàm số z  x 3  3 y 2 x  30 x  18 y  1 .
1 1 1 m

2 m 2 4
Câu 3 : Tùy theo tham số m, n  R tìm hạng của ma trận A  
1 1 m 1

 m 2 1 1
1

m
.
m

n
Câu 4 :
1) Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau bằng thuật toán đơn hình.
f
 5 x1  3x2
 x1
 x
 1
x
 1
 x1






 4 x3
 2 x4
x2
x2
x2
x2




x3
x3
x3
x3
 x4
 2 x4
 x4
 x4
xj

0
,
j
 3 x5
 3 x5
 2 x5
 2 x5
 x5
 max




4
3
7.
8
 1,5
Phương án tối ưu có duy nhất không? Vì sao?
2) Giải bài toán giao thông vận tải sau theo phương pháp cực đại cước phí.
bj
70
ai
80
30
60
120
90
40
100
4
1
8
6
9
11
3
4
6
1
10
7
2
9
12
8
Phương án tìm được có duy nhất không? Vì sao?
36
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lưu hành nội bộ cá nhân