BAB 9: PEMBEZAAN
SPM 1993
1. Diberi bahawa
f ( x) 
Cari f '(x)
1  2x
,
4x  3
2
SPM 1994
SPM 1997
16
dy
, cari
if x  2 .
4
dx
x
16
Seterusnya, anggarkan nilai
1.984
SPM 1995
1. Diberi
f ( x) 
dy
dalam sebutan x
dx
c) perubahan hampir nilai y diberi x
menyusut daripada 2 kepada 1.98
d  1 


dx  2 x  1 
2. Diberi y 
3
p2
Carikan
a) kadar perubahan nilai x diberi p
berubah dengan kadar 3 unit sesaat
b)
dy
1. (a) Diberi y  3x  5 , cari
dx
2
(b) Cari
4. Diberi p  2 x  3 dan y  
1  2x3
cari f ' (x)
x 1
lim  n 2  4 


1. (a) Carikan nilai
n  2  n  2 
f ( x)  (2 x  3) 5 cari f  (x)
4
2. Bezakan y   3 terhadap x
x
(b) Diberi
3. a)
2. Diberi y  x(3  x) , ungkapkan
y
d2y
dy
 x  12 dalam sebutan x.
2
dx
dx
Seterusnya, cari nilai x yang
memenuhi persamaan
y
d2y
dy
 x  12  0
2
dx
dx
3. Cari koordinat pada lengkung
y  (2 x  5) 2 di mana kecerunan
1
normal bagi lengkung ialah
4
SPM 1996
1. Bezakan
x 4 (1  3x) 7 terhadap x
3. Kecerunan lengkung y  hx 


pada titik   1,
k
x2
7
 ialah 2. Cari
2
nilai h dan nilai k
Rajah di aats menunjukkan sebuah
bekas minyak wangi berbentuk
pyramid. Tapak pyramid itu bebrbentuk
segi empat sama yang luasnya 36 cm2
dan tinggi pyramid ialah 4 cm. Minyak
wangi dituang ke dalam bekas itu
dengan keadaan luas permukaannya
yang berbentuk segi empat sama ialah
4p2 cm2 dan tingginya dari bucu
pyramid itu ialah h cm.
(i) Tunjukkan bahawa isi padu ruangan
di dalam bekas itu yang tidak terisi
minyak wangi ialah V 
3
(64  h 3 )
4
(ii) Jika kadar perubahan tinggi minyak
wangi itu ialah 0.2 cm s-1,
hitungkan kadar perubahan isi
padu ruangan yang tidak berisi
minyak wangi apabila h = 2 cm
[5m]
(b)
c) Diberi luas permukaan bongkah itu
berubah dengan kadar 42  cm s .
Carikan kadar perubahan jejari
ketika jejarinya 4 cm.
[2m]
d) Diberi jejari silinder itu menokok
daripada 4 cm kepada 4.003 cm.
Carikan penghampiran bagi tokokan
luas permukaan bongkah itu.
[2m]
SPM 1999
2
Rajah di atas menunjukkan sebuah
segi empat tepat JKLM yang terterap
dalam sebuah bualatan. Diberi JK = x
cm dan KL = 6 cm
a) Tunjukkan bahawa luas rantau
berlorek, A cm2, diberi oleh
A
x 2
4
f ( x) 
x
 2
, cari f ' (0)
1  3x
2
5
[4m]
y  t  2t 2 dan x  4t  1
dy
(a)Carikan
, dalam sebutan x
dx
2. Diberi
 6 x  9
(b) Hitungkan nilai x supaya luas
rantau berlorek minimum
[5m]
SPM 1998
1. Diberi
1. Diberi
1
f ( x)  4 x(2 x  1) 5 , cari f ' ( x)
(b) Jika x bertambah daripada 3
kepada 3.01, carikan tokokan
kecil yang sepadan bagi t.
[2m]
3 (a)
2.
Rajah di atas menunjukkan sebuah
bongkah yang terdiri sebuah kon di
atas sebuah silinder berjejari x cm.
Diberi panjang sendeng kon itu ialah 2x
cm dan isi padu silinder itu ialah 24 
cm
3
a) Buktikan bahawa jumlah luas
3
V cm , diberi oleh persamaan
2
permukaan bongkah itu, A cm ,
diberi oleh persamaan


A = 4  x 
2
Rajah di atas menunjukkan sebuah
kotak dengan keratan rentas seragam
ABCDE . Diberi AB = ED = (30-6x) cm,
BC = 3x cm, CD = 4x dan AF = 2 cm
i) Tunjukkan bahawa isi padu kotak itu,
12 

x
[3m]
b)Hitungkan nilai minimum bagi luas
permukaan bongkah itu
[3m]
V  300 x  48 x 2
ii) Hitungkan
a) nilai x yang menjadikan V
maksimum
b) nilai maksimum V
(b) Seutas dawai yang
panjangnya 60 cm
dibengkokkan untuk
membentuk sebuah bulatan.
Apabila dawai tersebut
dipanaskan panjangnya
bertambah dengan kadar
1
0.1 cm s
(Gunakan
(i)
(ii)
  3.142 )
Hitungkan kadar
perubahan bagi jejari
bulatan itu
Seterusnya, hitungkan
jejari bulatan itu selepas
4 saat
SPM 2000
1. Bezakan setiap ungkapan yang
berikut terhadap x
(a)
(b)
1  3x 4
[2m]
2x  5
x4  3
[2m]
2. Carikan persaman tangen
kepada lengkung
y  2x 2  r
pada titik x  k . Jika tangen
tersebut melalui titik (2,0),
carikan r dalam sebutan k
3. (a) Garis lurus 4 y  x  k ialah
normal kepada lengkung
y  2 x  1  3 pada titik A.
b) Rajah di atas menunjukkan sejenis
alat permainan berbentuk
semibulatan berpusat O. Diameter
AB boleh dilaraskan supaya titik C
yang berada di lilitan bulatan
tersebut boleh bergerak dengan
keadaan AC + CB = 40 cm. Diberi
bahawa AC = x cm dan luas segi tiga
ABC ialah L cm, Carikan ungkapan
bagi
dL
dalam sebutan x dan
dx
seterusnya, carikan nilai maksimum
yang mungkin bagi luas segi tiga
tersebut
SPM 2001
4  3r
, Carikan nilai
5  2r
had bagi f (r ) apabila r  
1. Diberi f ( r ) 
2. Diberi bahawa graf fungsi
k
mempunyai fungsi
x2
96
2
kecerunan f ' ( x)  3 x  3 dengan
x
f ( x)  hx 3 
keadaan h dan k ialah pemalar,
Carikan
i) nilai h dan nilai k
ii) koordinat x bagi titik pemusingan
graf fungsi itu
2
(i)
(ii)
Carikan
Koordinat titik A dan nilai k
2. (a)
Persamaan tangen pada titik
A
Rajah di atas menunjukkan sebuah
bulatan yang terterap dalam segi empat
tepat ABCD dengan keadaan bulatan
itu sentiasa bersentuhan dengan dua
sisi segi empat tepat itu. Diberi
perimeter ABCD ialah 40 cm
i) Tunjukkan bahawa luas rantau
4
 4
berlorek A = 20 y  
(b) Setitik dakwat yang dijatuhkan ke
atas sekeping kertas mengembang
dalam bentuk bulatan.
 2
y

ii) Dengan menggunakan   3.142 ,
carikan panjang dan lebar segiempat
tepat tersebut yang menjadikan luas
rantau berlorek maksimum
y  2 x 3  5x 2  7 , carikan
dy
nilai bagi
pada titik (2, 3)
dx
b) Diberi
(i) Jika jejari bulatan dakwat itu
bertambah dengan kadar malar
sebanyak 18 mm dalam masa 6 saat,
carikan kadar perubahan luas
bulatan itu pada ketika jejarinya
ialah 5 mm
(ii) Dengan menggunakan kaedah
pembezaan, carikan nilai hampir
bagi luas kawasan dakwat itu pada
ketika jejarinya ialah 5.02 mm
Seterusnya, carikan
SPM 2003
i) perubahan kecil bagi x, apabila y
menyusut dari 3 kepada 2.98
ii) kadar perubahan bagi y, pada ketika
x = 2 kadar perubahan bagi x ialah
0.6 saat
[5m]
1. Diberi y  14 x(5  x) ,
hitungkan
(a) nilai x apabila y adalah
maksimum
b) nilai maksimum bagi y
[3m]
SPM 2002
2. Diberi y  x  5 x , gunakan kaedah
pembezaan untuk mencari
perubahan kecil bagi y apabila x
menokok daripada 3 kepada 3.01
[3m]
2
5 2
dp
1. Diberi p  (1  t )  t , Cari
2
dt
3
dan seterusnya carikan nilai-nilai t
dengan keadaan
dp
7
dt
paper2(section A)
2.
dy
 2 x  2 dan
dx
y  6 apabila x  1 , carikan y
3. (a) Diberi
dalam sebutan x
[3m]
(b) Seterusnya, carikan nilai x jika
y = 2x – x2
x2
d2y
dy
 ( x  1)  y  8
2
dx
dx
[4m]
(a) Rajah menunjukkan lengkung
y  2 x  x 2 yang melalui asalan.
Diberi garis lurus AB dan PQ
masing-masing menyentuh lengkung
pada titik O dan titik R, dengan
keadaan AB dan PQ berserenjang
antara satu sama lain. Carikan
koordinat titik R
[4m]
paper2(sectionB)
4. (a) Rajah menunjukkan sebuah
bekas berbentuk kon dengan
diameter 0.6 m dan tinggi 0.5 m.
Air dituangkan ke dalam bekas itu
dengan kadar malar 0.2 m3 s-1
2. Isipadu air, V cm3, dalam satu bekas
diberi oleh V 
1 3
h  8h , dengan
3
keadaan h cm ialah tinggi air dalam
bekas itu. Air dituang ke dalam
bekas itu dengan kadar 10 cm3 s-1.
Carikan kadar perubahan tinggi air,
dalam cm s-1, pada ketika tingginya
ialah 2 cm
[3m]
paper2(sectionA)
3. Suatu lengkung mempunyai fungsi
kecerunan px  4 x , dengan
keadaan p adalah pemalar. Tangen
kepada lengkung itu pada titik (1,3)
adalah selari dengan garis lurus
2
Hitungkan kadar perubahan tinggi
paras air pada ketika tinggi paras air
itu ialah 0.4 m
(gunakan  = 3.142;
1 2
Isipadu kon = r h )
3
[4m]
SPM 2004
3x (2 x  5) terhadap x
2
1. Bezakan
4
[3m]
2. Dua pembolehubah x dan y
dihubungkan oleh persamaan
y  3x 
2
. Diberi bahawa y
x
bertambah dengan kadar malar 4
unit per saat, carikan kadar
perubahan x apabila x = 2
[3m]
paper 2(section B)
3. Fungsi kecerunan bagi suatu
lengkung yang melalui A(1, -12)
ialah 3 x  6 x .
Carikan
(a) persamaan lengkung itu
[3m]
(b) Koordinat titik-titik pusingan
lengkung itu dan tentukan sama
ada titik-titik pusingan itu adalah
maksimum atau minimum
[5m]
SPM 2005
2
1. Diberi h( x) 
1
3x  52
Nilaikan h" (1)
,
[4m]
y  x5  0
Carikan
(a) nilai p
(b) persamaan lengkung itu
SPM 2006
Paper 1
1. Titik P terletak pada lengkung
y  ( x  5) 2 . Diberi bahawa
kecerunan normal pada P ialah 
1
4
Cari koordinat P
[3m]
2 7
u , dengan
3
dy
keadaan u  3x  5 . Cari
dalam
dx
2. Diberi bahawa y 
sebutan x
[4m]
y  3x  x  4
dy
(a)cari nilai bagi
apabila x =1
dx
3. Diberi
2
(b) ungkapkan perubahan kecil bagi
y, dalam sebutan p, apabila x
berubah daripada 1 kepada 1 + p,
dengan keadaan p ialah nilai yang
kecil
[4m]
SPM 2007
Paper 2 bahagian A
1. Suatu lengkung dengan fungsi
kecerunan 2 x 
2
mempunyai titik
x2
pusingan di (k, 8)
(a) Cari nilai k
[3 m]
(b) Tentukan sama ada titik pusingan
ini adalah titik maksimum atau
minimum
[2 m]
( c) Cari persamaan lengkung itu
[3 m]
SPM 2007
Paper 1
1. Suatu lengkung y  f (x) adalah
dengan keadaan
dy
= 3kx  5 , k
dx
ialah pemalar. Kecerunan lengkung
itu di x  2 ialah 9
Cari nilai k
[2 m]
2. Lengkung y  x  32 x  64
mempunyai titik minimum di x  p ,
dengan keadaan p ialah pemalar.
Cari nilai p
[3 m]
SPM 2008
Paper 1
2
1. Dua pembolehubah x dan y,
dihubungkan oleh persamaan
y
16
.
x2
Ungkapkan, dalam sebutan h,
perubahan kecil bagi y apabila x
berubah daripada 4 kepada 4 + h,
dengan keadaan h ialah satu nilai
kecil
[3m]
2. Garis normal kepada lengkung
y  x 2  5 x pada titik P adalah selari
dengan garis lurus y   x  12 .
Cari persamaan garis normal kepada
lengkung itu pada titik P.
[4m]
SPM 2009
Paper 1
1. Seketul ais berbentuk kubus dengan
sisi x cm, mencair pada kadar 9.72
3
cm per minit
Cari kadar perubahan x pada ketika
x = 12cm
[3m]
SPM 2009
Paper 2 bahagian A
1. Fungsi kecerunan suatu lengkung
ialah hx  kx , dengan keadaan h
dan k ialah pemalar. Lengkung itu
mempunyai titik pusingan pada
(3,-4). Kecerunan tangen kepada
lengkung itu pada titik x = -1 ialah 8.
Cari
a)
nilai h dan nilai k
[5m]
2
b)
persamaan lengkung itu
[3m]
SPM 2010
Paper 1
1. Diberi y = 2x(x - 6), find
a)
dy
,
dx
b) nilai x apabila y adalah minimum
c) nilai minimum bagi y
[3m]
2. Isipadu sebuah sfera bertambah
dengan kadar tetap 12.8  cm s
Cari jejari sfera itu pada ketika jejari
3
1
bertambah dengan kadar 0.2 cm s
[Isipadu sfera, V 
1
4 3
r ]
3
[3m]
Paper 2
1. Diberi g ' ( x)  2 x  8 , cari g(x)
dalam sebutan x
[3m]
SPM 2011
Paper 1
1. Diberi bahawa y  10 
12
x
Cari perubahan kecil dalam x, dalam
sebutan p, apabila nilai y berubah
daripada 4 kepada 4 + p.
[3m]
SPM 2012
Paper 1
SPM 2013, Paper 1
1. Titik P(1, -5) terletak pada lengkung
1. Diberi fungsi
cari
a)
h( x)  kx3  4 x 2  5 x ,
'
h ( x)
b) Nilai k jika
h '' (1)  4
[4m]
2. Kecerunan tangen kepada lengkung
y  3x 2  8 x
cari
a) kecerunan tangen kepada lengkung
itu di titik P
b) persamaan normal kepada lengkung
itu di titik P
[4m]
y  x 2 (2  px) di x = -2 ialah 7
Cari nilai p
[3m]
SPM 2012
Paper 2 bahagian A
1. Suatu lengkung mempunyai fungsi
kecerunan kx-6, dengan keadaan k
ialah pemalar. Diberi titik minimum
bagi lengkung itu ialah (3,-5), cari
a) Nilai k
b) Pintasan-y bagi lengkung itu
[3m]
Paper 2 bahagian B
2. Lengkung y  x  6 x  9 x  1
melalui titik A(2, 3) dan mempunyai
dua titik pusingan, P(3, 1) dan Q.
Cari
a) Kecerunan lengkung itu pada
titik A
[3m]
b) Persamaan normal kepada
lengkung itu pada A
[3m]
c) Koordinat Q dan tentukan sama
ada Q adalah titik maksimum
atau titik minimum
[4m]
3
2
SPM 2013
Paper 2 bahagian A
2
1. a)
 4(2 x  1)( x  1)
(4 x  3) 2
b) 6.4

dy
had  y 

   6x
dx x  0  x 
2
b)
( 2 x  1) 2
dy
16
 2 ,
2.
=1.04
dx
(1.98) 4
1. a)
Spm 1995
1.
f ' ( x) 
 4x3  6x 2  1
( x  1) 2
2. -3x+12; x = 4
Spm 1996
1.
3. (2,1)
x 3 (1  3x) 6 (4  33x)
4. a)
1
2
a) Cari fungsi kecerunan bagi lengkung
itu
[2m]
b) Cari koordinat titik-titik pusingan
[3m]
c) Seterusnya, tentukan samaada setiap
titik pusingan itu adalah maksimum
atau minimum
[3m]
@
20.11
Spm 1994
3. k= 
1
,
2
h=3
1. Diberi persamaan suatu lengkung
ialah: y  x (3  x) 
Answer (DIFFERENTATION)
Spm 1993
3
2
b)
12
( 2 x  3) 3
c) -0.24
Spm 1997
80(2 x  3) 3
dy
lim y

2.
dx x  0 x
4
 2
x
1. a) 4
b)
3. a) i) showed ii) -1.8
a) showed
ii)
12

Spm 1998
1. 4(2 x  1)
2. a) proved
4
(12 x  1)
b) 36 
c) 2
d) 0.063 
Spm 1999
Spm 2004
dy
 6 x(6 x  5)( 2 x  5) 3
dx
8
2. dx
dt 
5
3
2
3. a) y  x  3x  10
f (0)  96
dy 1
 (2  x) b) t  0.0025
2. a)
dx 4
2
3. a) i) v  300 x  48 x ii) a) 25
8
1.
b) 468.75
b) i) 0.01591
spm 2000
(integration)
b) (0,-10) max point
(2,-14) min point
Spm 2005
'
1.
1. a)
6 x (1  3x )
3
4
2.

1
2
1.
 6 x  20 x  6
( x 4  3) 2
4
b)
ii) 9.612
3
3. a) p=3
f ( x)  x  2 x  4
dl
 20  x ,
dx
max value= 200
spm 2001
2
b)
3
3. i) h=1,
k=48 ii) x = 2
4. a) i) showed ii) width=5.601,
lenght=14.399
a) i) x  0.005
spm 2002
ii) 2.4
dp
1
7,
t  or -4
dt
3
 5 15 
2. a) R  ,

 4 16 
1.
b) i) 30 
Spm 2003
ii) 25.2 
5
2
2. y  0.11
1. a) x 
b) y 
3. a) y  x  2 x  7
(integration)
2
3
b) x 
or x = -1
5
dh
 1.105
4. a)
dt
2
Spm 2006
1. P(7,4)
3. a) i) A (1,-2), k=-7 ii) y = 4x – 6
3
1. a)
2
b)
3
y  4kx  2k 2  r ,
2k 2  8k  r
b)
27
2. 0.8333
8
175
2
2.
dy
 14(3x  5) 6
dx
3. a) 7 b) y  7 p
Spm 2007
Paper 2
1. a) k= 1 b)turning point(1,8)
is minimum point
c) y  x 
2
2
5
x
paper 1
1. k 
2
3
2. p=16
Spm 2008
Paper 1
1.
1
2
y   h
2. y   x  3
Spm 2009
Paper 1
1.
dx
 0.0225
dt
Paper 2
1. a) h=2, k=6
2.
y
2 3
x  3x 2  5
3
Spm 2010, Paper 1
1. a)
dy
 4 x  12
dx
b) x = 3
c) -18
2. r=4
paper 2
1. g ( x)  x
Spm 2011
Paper 1
1.
2
 8x  7
p
3
Spm 2012
Paper 1
1. a) h ( x)  3kx
b) k=2
'
2.
p
2
 8x  5
5
4
Paper 2
1. a) k=2
b) 4
2. a) -3
b) 3y=x+7
c) Q(1, 5)
Q adalah titik maksimum