Gotas de Matemática
Prof. Marcos Paizante
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Motivação
A gota de matemática de hoje será sobre um assunto muito importante na matemática elementar, as
inequações do segundo grau. Saber os intervalos onde a função do segundo grau é positiva ou negativa
pode ser muito útil em diversos problemas matemáticos ou fı́sicos. Uma aplicação importante é na
análise do sinal da segunda derivada de funções polinomiais do quarto grau.
A regra para o sinal da função do segundo grau é bem simples e pode ser enunciada da seguinte forma:
A função do segundo grau assume o sinal de a para valores externos às raı́zes.
(1)
Portanto:
Nas imagens a seguir vereremos melhor o significado dessa afirmativa.
Note que na figura da equerda o sinal de a é positivo, portanto a função será positiva nos intervalos
onde os valores de x são menores que a menor raı́z e onde os valores de x sã maiores que a maior raı́z.
Já na imagem da direita temos o contrário, temos que a é negativo, portanto a função é negativa para
valores externos às raı́zes e postiva para valores entre as raı́zes.
Vejamos um exemplo.
1
Exercı́cio Resolvido 1
Estude o sinal da função
y = x2 − 2x − 3.
Solução:
O primeiro passo é, obviamente, encontrar as raı́zes da função, então para esta função temos


a = 1
b = −2 ⇒ ∆ = (−2)2 − 4 · 1 · (−3) ⇒ ∆ = 16


c = −3
√
2±4
−(−2) ± 16
⇒ x=
⇒ x1 = −1 e x2 = 3.
x=
2·1
2
Agora vamos marcar as raı́zes sob a reta real (ver figura 1) e usar a regra dada em (1).
Eta função do segundo grau será positiva (teráo sinal de a) para valores externos às raı́zes,
portanto para os valores de x menores que −1 ou maiores que 3, e será negativa para valores de
x entre −1 e 3.
Resumindo
• f (x) > 0
se
x < −1 ou x > 3;
• f (x) < 0
se
x < −1 ou x > 3;
No gráfico abaixo temos a representação da variação do sinal desta função.
Figure 1:
2
Já para resolver uma inequação do segundo devemos proceder do seguinte modo:
1. Marar as raı́zes da função na reta real;
2. Fazer a análise do sinal;
3. Escolher os intervalos onde a função é positiva ou negativa de acordo com o sinal da desigualdade se for do tipo
• ax2 + bx + c ≥ 0, escolhemos o(s) intervalo(s) onde a função é positiva;
• axe + bx + c ≤ 0, escolhemos o(s) intervalo(s) onde a função é negativa.
Vamos a um exemplo.
Exercı́cio Resolvido 1
Resolva a inequação
−x2 + 5x − 4 ≥ 0
Solução:
Calculando as raı́zes dessa função temos
x1 = 1
e x2 = 4.
Após marcar estas raı́zes sob a reta real vamos fazer usar a regra dada em (1) temos o seguinte
diagramas de sinal na figura abaixo. Portanto a função do segundo grau desta inequação será
positiva para valores de x entre 1 e 4 e será negativa (tera o sinal de a) para valores de x menores
que 1 ou maiores que 4, portanto o conjunto solução desta inequação será:
S = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 4}
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