PROBABILIDAD II
Grado en Matemáticas
Tema 1
Repaso de teorı́a de la medida
Jesús Munárriz
Departamento de Matemáticas
Universidad Autónoma de Madrid
jesus.munarriz@uam.es
Probabilidad II. Tema 1: Repaso teorı́a de la medida
Jesús Munárriz
1
Tema 1: Repaso de teorı́a de la medida
1. σ-álgebras
2. Espacios de medida
3. Teorema de extensión
4. Medida de Lebesgue y Borel-Stieljes
5. Funciones medibles
6. Integrales
7. Paso al lı́mite bajo signo integral
8. Continuidad absoluta de medidas
9. El Teorema de Radon-Nikodym
10. Espacios Lp . Desigualdades importantes.
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2
σ-álgebras
Sea Ω un conjunto no vacı́o. Una colección de conjuntos
F ⊂ P(Ω) (partes de Ω) se dice que es una σ-álgebra si
(1) Ω ∈ F.
(2) F es cerrada o estable para la complementación:
Si A ∈ F, entonces Ac ∈ F.
(3) F es estable para la unión numerable:
∞
Si {Ai }∞
i=1 ⊂ F, entonces ∪i=1 Ai ∈ F.
El par (Ω, F) se denomina espacio medible y los elementos de F
conjuntos medibles.
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3
σ-álgebras
Si
T {Fi }i∈I ⊂ P(Ω) es una colección de σ-álgebras, entonces
i∈I Fi es σ-álgebra.
Dado C ⊂ P(Ω), se define
\
σ(C) = {F : F ⊃ C y F σ-álgebra}.
F
El conjunto C se denomina generador de la σ-álgebra σ(C).
Si (Ω, τ ) es un espacio topológico, a la σ-álgebra σ(τ ) se
denomina σ-álgebra Boreliana o de Borel asociada a τ .
De interés especial para nosotros serán:
• Ω = R ó R, τ = τu (topologı́a usual).
• Ω = Rk ó Rk , τ = τu (topologı́a usual).
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Espacios de medida
Sea (Ω, F) un espacio medible. Se dice que µ es una medida
(positiva) en Ω si µ : F −→ [0, ∞] satisface:
(1) µ(∅) = 0.
(2) σ-aditividad o aditividad numerable: si {Ai }∞
i=1 ⊂ F es una
colección de conjuntos disjuntos dos a dos (i.e., Ai ∩ Aj = ∅,
i 6= j), entonces:
!
∞
∞
[
X
µ
Ai =
µ(Ai ).
i=1
i=1
El triplete (Ω, F, µ) se llama espacio de medida.
(Ω, F, µ) es un espacio de medida finita si µ(Ω) < ∞.
(Ω, F, µ) es S
un espacio de medida σ-finita si existe {Ai }∞
i=1 ⊂ F
∞
tal que Ω = i=1 Ai y µ(Ai ) < ∞, para todo i.
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5
Propiedades de la medida
Si {Ai }∞
An crece hasta A, An ↑ A, si
i=1 ⊂ F, decimos que
S∞
A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ · · · y A = i=1 Ai .
Si {Ai }∞
i=1 ⊂ F, decimos que
TAn decrece hasta A, An ↓ A, si
A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ · · · y A = ∞
i=1 Ai .
1
2
3
{Ai }∞
i=1 ⊂ F y An ↑ A, entonces µ(An ) ↑ µ(A).
{Ai }∞
i=1 ⊂ F con An ↓ A y µ(A1 ) < ∞, entonces
µ(An ) ↓ µ(A).
P∞
∞
{Ai }∞
i=1 µ(Ai ).
i=1 ⊂ F, µ(∪i=1 Ai ) ≤
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6
Medidas sobre álgebras
Una colección A ⊂ P(Ω) se dice que es una álgebra si
(1) Ω ∈ A.
(2) Si A ∈ A, entonces Ac ∈ A.
(3) Si A, B ∈ A, entonces A ∪ B ∈ A.
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Teorema de extensión
Teorema de extensión de Caratheodory (1948)
Sea µ0 : A −→ [0, ∞] una medida sobre el álgebra A. Existe una
medida µ : σ(A) −→ [0, ∞] que es una extensión de µ0 , es decir,
µ|A = µ0 .
Los conjuntos B ∈ F con µ(B) = 0 se llaman conjuntos µ-nulos
Un espacio de medida se dice completo si para todo conjunto
µ-nulo B y para todo A ⊂ B, se tiene que A ∈ F.
Teorema de completación
Sea (Ω, F, µ) un espacio de medida. Existe un espacio medida
(Ω, F, µ) completo tal que F ⊂ F y µ es una extensión de µ.
Además, este espacio de medida (Ω, F, µ) es único y se dice que es
la completación de (Ω, F, µ).
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Ejemplo: Medidas de Borel-Stieljes
Medida de Borel-Stieljes asociada a g
Sea I ⊂ R (intervalo) y g : I −→ R funcion no decreciente y
continua por la derecha.
Existe una única medida mg : B(I ) −→ [0, ∞] tal que mg ((a, b]) =
g (b)−g (a). A mg se le llama la medida de Borel-Stieljes asociada
a g.
Nota: Se tiene mg ({x0 }) = g (x0 ) − g (x0− ).
Nota: Si g , h son dos funciones continuas por la derecha y no
decrecientes tales que mg = mh , entonces g − h =constante.
Función de distribución de una medida
Dada µ : B(I ) −→ [0, ∞] medida finita, existe g no decreciente y
continua por la derecha tal que µ = µg . Además, podemos tomar
g (x) = µ(I ∩ (−∞, x]) que se llama función de distribución de µ.
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Funciones medibles y funciones simples
Sean (Ω, F), (Ω0 , F 0 ) dos espacios medibles. Se dice que una
función f : (Ω, F) −→ (Ω0 , F 0 ) es F − F 0 -medible si para todo
A ∈ F 0 , se tiene que f −1 (A) ∈ F.
f −1 (A) = {ω ∈ Ω : f (ω) ∈ A} (pre-imagen de A por f ).
Si f : Ω −→ Ω0 es constante, entonces es medible.
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Funciones medibles y funciones simples
Sea K = R ó C, con F 0 los respectivos conjuntos de Borel.
Si A ⊂ Ω, el indicador (o función indicatriz) de A es
1A : Ω −→ {0, 1}, definida como 1A (ω) = 1 si ω ∈ A y 1A (ω) = 0
si ω ∈
/ A.
• ¿Cuándo es 1A una función medible?
Una función f : (Ω, F) −→ R se dice simple si es medible y f (Ω)
es finito.
P
Nota: f : (Ω, F) −→ R es simple si y solo si f = ki=1 ai 1Ai , con
Ai ∈ F disjuntos.
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Integral de una función medible
P
Sea (Ω, F, µ) un espacio de medida. Si s = ni=1 ai 1Ai es función
simple positiva (es decir, no no negativa), se define la integral de
s con respecto a la medida µ como
Z
s dµ :=
Ω
n
X
ai µ(Ai ).
i=1
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Integral de una función medible
Si f : (Ω, F) −→ [0, ∞] es medible, entonces existe una sucesión
{sn }∞
n=1 simples con 0 ≤ sn ↑ f . Se define la integral de f con
respecto a la medida µ como
Z
Z
Z
f dµ = lı́m
sn dµ =
sup
s dµ.
Ω
n→∞ Ω
0≤s≤f , s simple Ω
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Integral de una función medible
Si f : (Ω, F) −→R[−∞, ∞] es medible,
R −entonces podemos escribir
+
−
+
f = f − f . Si Ω f dµ < ∞ ó Ω f dµ < ∞, definimos la
integral de f como
Z
Z
Z
f dµ :=
f + dµ −
f − dµ.
Ω
Ω
Ω
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Integral de una función medible
Si f : (Ω, F) −→ C es medible, entonces podemos
escribir
R
fR = f1 + if2 , donde f1 , f2 : (Ω, F) −→ R. Si Ω f1 dµ < ∞ y
Ω f2 dµ < ∞, definimos
Z
Z
Z
f dµ :=
f1 dµ + i
f2 dµ.
Ω
Si
R
Ω |f | dµ
Ω
Ω
< ∞, f se dice µ-integrable (f ∈ L1 (µ)).
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Propiedades de la integral
Para f , g ∈ L1 (µ), a, b ∈ K, se tiene:
1
Linealidad: af + bg ∈ L1 (µ) y
Z
Z
Z
(af + bg ) dµ = a
f dµ + b
g dµ.
Ω
2
4
Ω
Positividad: Si f ≥ 0 entonces Ω f dµ ≥ 0; o
equivalentemente, si f ≤ g (luego f y g toman valores reales)
entonces
Z
Z
Z
Z
f dµ ≤
g dµ
en particular,
f dµ ≤
|f | dµ. .
Ω
3
Ω
R
Ω
Ω
Ω
R
Ω |f | dµ
= 0 si y solo si f = 0 en casi todo punto.
R
Si f ≥ 0 y Ω f dµ < ∞, entonces
µ({ω ∈ Ω : f (ω) = ∞}) = 0, es decir, f 6= ∞ c.s.
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Integral
Dada f medible, para A ∈ F se define
Z
Z
f dµ :=
f 1A dµ.
A
Ω
Proposición: Sea f : (Ω, F) −→ [0, ∞] medible. La aplicación
ν : F −→ [0, ∞]
Z
A 7−→ ν(A) =
f dµ,
A
es una medida sobre (Ω, F). Se denota dν = f dµ.
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Paso al lı́mite bajo el signo integral
Teorema de la convergencia monótona
Hacia arriba: Si fn ↑ f y existe k tal que fk− ∈ L1 (µ), entonces
Z
Z
f dµ = lı́m
fn dµ.
Ω
n→∞ Ω
Hacia abajo: Si fn ↓ f y existe k tal que fk+ ∈ L1 (µ), entonces
Z
Z
f dµ = lı́m
fn dµ.
Ω
n→∞ Ω
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18
Paso al lı́mite bajo el signo integral
Lema de Fatou-Lebesgue
(a) Si fn ≤ f y f + ∈ L1 (µ), entonces
Z
Z
lı́m sup fn dµ ≥ lı́m sup fn dµ.
Ω n→∞
(b) Si fn ≥ f y
f−
∈
L1 (µ),
n→∞
Ω
entonces
Z
Z
lı́m inf fn dµ ≤ lı́m inf
Ω n→∞
n→∞
fn dµ.
Ω
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Paso al lı́mite bajo el signo integral
Teorema de la convergencia dominada
Si fn → f en casi todo punto, y existe g ∈ L1 (µ) tal que |fn | ≤ g
para todo n, entonces
Z
Z
f dµ = lı́m
fn dµ.
Ω
n→∞ Ω
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Continuidad absoluta de medidas
Sea (Ω, F) un espacio medible y ν, µ dos medidas. Se dice que ν
es absolutamente continua con respecto a µ y se denota
ν << µ si para todo A ∈ F tal que µ(A) = 0, entonces ν(A) = 0.
Una medida µ se dice que se concentra en un conjunto A ∈ F si
µ(Ac ) = 0, o equivalentemente, si para todo B ∈ F, se tiene que
µ(B) = µ(A ∩ B).
Se dice que ν es singular con respecto a µ y se denota ν ⊥ µ si
existe A ∈ F tal que µ(A) = 0 y ν se concentra en A.
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Descomposición de medidas
Teorema de descomposición de Lebesgue
Sean ν, µ dos medidas σ-finitas sobre (Ω, F). Existen dos únicas
medidas νa , νs tales que νa << µ y νs ⊥ µ con ν = νa + νs . Esta
descomposición se denomina descomposición de Lebesgue de la
medida ν (con respecto a µ).
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Medidas reales y complejas
Sean µ y ν dos medidas (positivas) finitas. Decimos que τ es una
medida con valores reales o con signo si es de la forma τ = µ − ν.
Escribimos τ = τ + − τ − , donde τ + = µ y τ − = ν. Decimos que γ
es una medida con valores complejos si es de la forma
γ = τ1 + iτ2 , donde τ1 y τ2 son medidas reales.
En el caso de las medidas con signo, se puede admitir que una de
las medidas sea infinita. Supondremos que la parte negativa es
finita.
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23
El Teorema de Radon-Nikodym
Teorema de Radon-Nikodym
Sean ν, µ dos medidas σ-finitas con signo, sobre (Ω, F), tales que
ν << µ. Existe una única función medible f : (Ω, F) −→ (−∞, ∞]
tal que
Z
ν(A) =
f dµ,
A ∈ F.
A
Es decir, dν = fdµ.
dν
se le llama la derivada de Radon-Nikodym
A la función f = dµ
de ν con respecto a µ (f es la µ-densidad de ν.)
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24
Espacios Lp , 1 ≤ p ≤ ∞
Espacios Lp , 1 ≤ p ≤ ∞: Sea (Ω, F, µ) un espacio de medida.
Definimos
Z
medible
p
Lp = f
: Ω −→ K :
|f | dµ < ∞
Ω
si 1 ≤ p < ∞, y
L∞ = {f medible : Ω −→ K : ∃a ≥ 0 tal que µ(|f |−1 (a, ∞)) = 0}.
Es decir, son funciones acotadas en casi todo
Puede demostrarse que los espacios Lp son espacios vectoriales.
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25
Espacios Lp , 1 ≤ p ≤ ∞
Definimos, para 1 ≤ p < ∞,
Z
kf kp =
p
|f | dµ
1/p
,
Ω
y
kf k∞ = ess sup |f | := mı́n{a ≥ 0 tal que µ(|f |−1 (a, ∞)) = 0}.
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26
Espacios Lp , 1 ≤ p ≤ ∞
Como
1
kf + g kp ≤ kf kp + kg kp (desigualdad triangular o de
Minkowski).
2
kλf kp = |λ|kf kp .
tenemos que k · kp es una seminorma. No es una norma ya que
kf kp = 0 cuando f = 0 c. p. t.
Definiendo la relación de equivalencia “f ∼ g si y solo si f = g en
casi todo punto”, tenemos que Lp / ∼ = Lp es un espacio vectorial
normado y completo (toda sucesión de Cauchy es convergente). En
otras palabras, los espacios Lp para 1 ≤ p ≤ ∞ son espacios de
Banach.
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Desigualdad de Jensen
Funciones convexas
Definición: Sea I un intervalo. Una función f : I −→ R se dice
convexa si para todo u, v ∈ I , para todo λ ∈ [0, 1], se tiene que
f (λu + (1 − λ)v ) ≤ λf (u) + (1 − λ)f (v ).
u
x
v
Ejemplos: f (x) = e x ; f (x) = |x|α , α ≥ 1; f (x) = 1/x (x > 0).
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28
Desigualdad de Jensen
Propiedades de las funciones convexas
1
Sea f : I −→ R derivable. f es convexa si y sólo si f 0 es no
decreciente.
2
Sea f : I −→ R dos veces derivable. f es convexa si y sólo si
f 00 ≥ 0.
3
Si f convexa, entonces f es continua salvo quizá en ∂I
(extremos del intervalo I ).
4
Si f es convexa, para todo (u, f (u)) tal que u ∈ I ◦ , existe (al
menos) una recta que pasa por (u, f (u)) (recta soporte) tal
que su gráfica está totalmente por debajo de f . Es decir,
∀u ∈ I ◦ , ∃a ∈ R
:
a(x − u) + f (u) ≤ f (x),
∀x ∈ I .
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29
Desigualdad de Jensen
Teorema: Desigualdad de Jensen
Sea I un intervalo, y sea (Ω, F, µ) un espacio de medida con µ(Ω) =
1. Si f : Ω −→ I pertenece a L1 (Ω, F, µ) y ϕ : I −→ R es convexa,
entonces
Z
Z
ϕ
fdµ
Ω
≤
ϕ(f )dµ.
Ω
Consecuencia: ϕ es convexa si y sólo si para todos los puntos
u1 , . . . , un ∈ I , y para todos los pesos λ1 , . . . , λn ≥ 0 con
λ1 + · · · + λn = 1, se tiene que
ϕ(λ1 u1 + · · · + λn un ) ≤ λ1 ϕ(u1 ) + · · · + λn ϕ(un ).
Nota: Una función ϕ es cóncava si −ϕ esZconvexa.
La
Z desigualdad
de Jensen para funciones cóncavas es ϕ
fdµ ≥
ϕ(f )dµ.
Ω
Ω
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30
Desigualdades de Hölder y Minkowski
Se dice que p y q son exponentes conjugados si 1/p + 1/q = 1, o
equivalentemente, si q = p/(p − 1). El conjugado de 1 es ∞.
El siguiente lema es un caso especial de la desigualdad
aritmético-geométrica; con frecuencia se le denomina “desigualdad
de Young”.
Lema: Sean p, q > 1 tales que 1/p + 1/q = 1. Entonces para todo
a, b ≥ 0 se tiene que
a·b ≤
bq
ap
+ .
p
q
En general, en las demostraciones los casos p = 1 y p = ∞ deben
tratarse aparte. Pero suelen ser triviales.
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Desigualdad de Hölder
Teorema: Desigualdad de Hölder
Sean p, q ≥ 1 tales que 1/p + 1/q = 1. Entonces
kfg k1 ≤ kf kp kg kq .
Por tanto, fg ∈ L1 si f ∈ Lp y g ∈ Lq .
Corolario: Desigualdad de Cauchy-Schwarz
Si f , g ∈ L2 y , entonces kfg k1 ≤ kf k2 kg k2 .
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32
Desigualdad de Minkowski
Corolario
Si f ∈ Lp , entonces kf kp = sup{g :kg kq =1}
R
fg .
Teorema: Desigualdad de Minkowski
Sea 1 ≤ p ≤ ∞. Si f , g ∈ Lp , entonces kf + g kp ≤ kf kp + kg kp .
Dem: Por el corolario anterior.
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Desigualdad Jensen o de Hölder, y espacios de probabilidad
• En espacios de probabilidad, y más generalmente en espacios de
medida finita, la desigualdad de Jensen, o la de Hölder, implican
que cuanto mayor es el exponente p, más pequeño es el espacio.
Teorema
Sean 0 < r < s ≤ ∞, y sea (Ω, F, P) un espacio de probabilidad.
Entonces para toda variable aleatoria X se verifica que
kX kr ≤ kX ks .
Por tanto, Ls ⊂ Lr .
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Desigualdad Jensen o de Hölder, y espacios de probabilidad
Dem: El caso s = ∞ es trivial. Si s < ∞, o bien escribimos
1 = s/s y usamos Jensen, o bien escribimos X = X 1Ω , tomamos
p = s/r > 1, y sabiendo que 1Ω ∈ Lq , usamos Hölder.
1/r
R
| · |r
no satisface
Comentario: cuando 0 < r < 1, k · kr :=
la desigualdad triangular, luego no es una norma (puede
demostrarse que es una cuasi norma).
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Desigualdad de Markov
Teorema: Desigualdad de Markov
Sea (Ω, F, µ) un espacio de medida, y sea f ≥ 0 medible. Entonces
para todo t > 0 se verifican las desigualdades
Z
Z
1
1
µ{f ≥ t} ≤
fdµ ≤
fdµ.
t {f ≥t}
t Ω
Dem: trivial.
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