研究生课程考试成绩单
（试卷封面）
院
系
自动化学院
专业
控制工程
学生姓名
何硕彦
学号
220131398
课程名称
H ∞控制理论与应用
课程编号
授课时间
2013 年 9 月至 2014 年 1 月
周学时
学分
简
要
评
语
总评成绩
（含平时成绩）
备注
任课教师签名：
日期：
注：1. 以论文或大作业为考核方式的课程必须填此表，综合考试可不填。“简要评语
缺填无效。
2. 任课教师填写后与试卷一起送院系研究生教务员处。
3. 学位课总评成绩以百分制计分。
在 LMI 框架下为一类非线性不确定系统设计鲁棒 MPC 控制器
摘要
本文为一类连续时间非线性不确定系统提出了一种在线性矩阵不等式框架下设计鲁棒
模型预测控制。这个控制器设计是用“最坏情况”目标函数在无限时间滚动窗口下的最优控
制问题。一个充分的状态反馈综合条件是提供 LMI 的优化形式并且在每一个时间步上都被
在线解决。一个仿真例子显示了提出的方法的效果。
关键词—LMI，Robust Model Predictive Control，Uncertain nonlinear systems
前言
模型预测控制（MPC）技术已经在工业和学术界上被广泛接受。然而，由于处理过程中
不确定参数或结构的存在，闭环系统的鲁棒性和性能可能不能满足要求。一般来说，在一些
文献中凸多面体结构被最早用来描述这种不确定性模型，然后这种控制器设计的特点是“最
坏情况”无限窗目标函数有控制输入和设备输出的约束条件。基于提出的描述，一个基于
MPC 算法线性矩阵不等式被应用并且被调整去为这样有约束条件的处理过程设计鲁棒控制
器。闭环系统的鲁棒稳定性可以被保证，为了解决可行性问题和保证系统性能，提出了一些
LMI 条件。一些最新成果将在下面被回顾。
在[1-5]算法被提出用来解决带凸多面体不确定的状态反馈鲁棒 MPC 技术，控制输入的
约束条件被处理时通过增加另外一个 LMI 给 LMI 设定的。在[1]中不变椭圆渐进稳定和 LMI
的概念 被用到去发展一种高效的在线制定带约束条件的鲁棒 MPC 算法。在[2]中干扰模型
被包括到控制器设计中为了增强 MPC 的鲁棒性，达到无差跟踪控制。同时，一些著名的预
测控制的成功应用有抗积分饱和补偿器的永磁同步电机[3]，耦合槽系统[4]，倒立摆系统[5]，
双质点速度控制系统[6]，连续搅拌槽式反应器问题[7-8]，带模型不确定的集成系统[9]，和
过程时滞不确定系统例如典型的空气处理单元的温度控制，基于扩展的卡尔曼滤波器和基于
递归神经网络。
值得一提的是大多数工作者都考虑从线性系统方程去发展自己的鲁棒模型预测控制。
[1-5]。在[13]，我们把这些结果扩展到带离散时间的不确定非线性系统。这篇论文为一类连
续时间非线性不确定系统提出了一个 LMI 框架去设计鲁棒 MPC 控制。控制器的设计特点是
作为一个在无限时间滚动窗的“最坏情况下”的目标函数优化问题。一个充分的状态反馈综
合条件是提供 LMI 的优化形式并且在每一个时间步上都被在线解决。一个仿真例子显示了
提出的方法的效果。
论文剩下部分组织如下。在第二部分，介绍了一些数学预备知识。主要结果在第三部分
被单独提出。为了表明这个方法的有效性，在第四部分提出了些数值例子。第五部分提供了
结论。
2 数学预备知识
这个部分介绍了 3 个有用的引理，他们将在下部分用到。
引理 1（Barbalat 引理）：假设  ：R  R 是一个一阶连续函数。在 0，  。假设
t
lim   ( )d 存在并且有界。那么当 t   ,  （t）  0。
t 
0
引理 2（Schur 补引理）：对任意 3 个矩阵函数 Q（x），S(x)和 R(x)，下面不等式是
等价的：
 Q(x)
 T
 S ( x)
R( x)  0 Q( x)  S ( x) R 1 ( x) S T ( x)  0
S ( x) 

  0  OR
R( x) 
Q( x)  0 R ( x)  S T ( x)Q 1 ( x) S ( x)  0

(1)
引理 3：下面条件是等价的：
a. 存在一个对称矩阵 P>0，满足 A PA  P  0
T
b. 存在一个对称矩阵 P 和一个矩阵 G，满足
(2)
P
 T
G A

0
G+G T -P 
ATG
Ⅲ 连续时间不确定系统的鲁棒 MPC
一个非线性不确定系统描述如下 x(t )  Ax(t )  f ( x(t ))  Bu (t )
(4)
x(t )  R n 是系统的状态，U(t)  R m 是控制信号和非线性项 f(x(t))满足 Lipschitz 条
件
f ( x(t ))  f (( z(t ))  L x(t )  z(t )
(5)
其中 L 是已知正实数并且 f(0)=0
假设 1：（A，B）通过状态反馈控制规律被稳定。（存在矩阵 K 使得 A+BK 是个稳定矩
阵）。
现在我们可以把非线性项 f(x(t))作为模型不确定因素。这个想法可以用来把系统方
程式再表述为一个模型不确定系统的方程。
让 x(kT   , kT ) 和 u (kT   , kT ),  0 表示预测的状态和在 kT 时间的控制行为，然
后一个无限窗的成本二次函数可以给出如下形式：
Jk  

0
 x(kT   , kT )T Q1 x(kT   , kT ) 

d
T
 u (kT   , kT ) Ru (kT   , kT ) 
(6)
Qn*n 和 Rm*m 是两个正定的状态和控制权重。
我们的目的是获得最优控制结果 u (kT   , kT ) 使得服从于不确定模型的 J k 最小，并使
u(kT   , kT ) 2  umax
(7)
同时的一个状态反馈控制规律是如下形式
u (kT   , kT )  Kx(kT   , kT )
(8)
在（4）中系统二次型李雅谱诺夫函数 V ( x(t ))  x (t ) Px(t ) 。根据李雅谱诺夫稳定性理
T
论，状态 x(t)渐进的收敛于 0 当且仅当
1. 函数 V（x(t)）是正定的
2.
dV ( x (t ))
是负定的
dt
对于所有 x(t)。这些条件为我们的问题建立起稳定性限制。
一个基于依赖参数的李雅谱诺夫函数在下面的定理中被提出。
定理 1：一个连续时间系统（4），和 x(kT)是指 kT 采样时间的测量状态。在方程式（8）
如果下面的服从与 LMI 约束条件的最优化问题被解决，则存在一个状态反馈控制规律满
足稳定性约束条件和在每个采样时间的输入约束条件。
min 
 ,Q ,Y
 1
满足 
 x(kT )
x(kT )T 
0
Q

(9)
(9a)
2
umax
I Y
0
 T
Q
Y


(9b)
QAT  AQ  Y T BT  BY  2 LQ Q
YT 


Q
- Q1-1
0 0


Y
0 - R -1 

(9 c)
Q,Y 和非奇异阵 Q1 是适当维数的矩阵和在每个时间 K=YQ
-1
。
证明：
考虑二次型函数 V ( x(t ))  x (t ) Px(t ) ，P>0
T
(10)
在采样时间 Kt 时刻，假设 V(x(t))满足 x (t ) Px(t )  
T
(11)
 x(kT   , kT )T Q1 x(kT   , kT ) 
dV ( x(t ))
 
 u (kT   , kT )T Ru (kT   , kT ) 
dt


(12)
T
对于所有 x(kT   , kT ) , x (t ) Px(t )   u (kT   , kT ) 和  。由于鲁棒性，目标
函数必须有界，我们必须使 x(, kT )  0 ，因此 V ( x(, kT ))  0 。
从  =0 到  整合考虑不等式（12）的两边，我们可以得到 J k  V ( x(kT ))
它给出了鲁棒性指标的上界。鲁棒 MPC 算法的目标被简化为综合一个最小化
V(x(kT))上限的反馈控制规律。在下一个采样时间，x((k+1)T)状态被测量，并且重复
这个最优问题。然后最小化 V ( x(t ))  x (t ) Px(t ) ，P>0 等价于
T
min 
 ,P
满足
(13)
和
xT (t ) Px(t )  
定义 Q   P 和使用舒尔补，我们得到它等价于 min
1
 ,Q
 满足
 1
x(kT )T 

  0 ,确定了（9a）。 还有待于证明(9b)和(9c)。根据（7）
Q 
 x(kT )
和（8），可以简单的得到（9b）。二次型函数 V 要满足稳定性的约束条件。我们现在
可以写成这样
dV ( x(t )) T
=x (t ) Px(t )+xT (t ) Px(t ) （x(
- t )T Qx(
t ) +u( t )T Ru( t ) ）
1
dt
t =kT+ 在kT时刻， >0
根据（8），我们有：
dV ( x(t ))
 x(t )T (( A  BK )T P  P( A  BK )) x(t )  f ( x(t ))T Px(t )  x(t )T Pf ( x(t ))
dt
用 lipschitz 不等式(5)：
dV ( x(t ))
 x(t )T (( A  LI  BK )T P  P( A  LI  BK )) x(t ) （x(
- t )T Qx(
t ) +u( t )T Ru( t ) ）
1
dt
可以得出： x(t ) (( A  LI  BK ) P  P( A  LI  BK )+Q1  K RK）x (t )  0
T
T
T
和
( A  LI  BK )T P  P( A  LI  BK )+Q1  K T RK )  0
1
替换 P   Q ，Q  0 和 Y  KQ 得到
( A  LI  BYQ 1 )T  Q 1   Q 1 ( A  LI  BYQ 1 )+Q1  (YQ 1 )T RYQ 1 )  0 和
AT Q 1   2 LQ 1  Q 1Y T BT  Q 1   Q 1 A   Q 1BYQ 1  Q1 +Q 1YT RYQ 1  0
前后都乘以 Q
(QAT  Y T BT  AQ  BY  2 LQ)  QQ1Q  Y T RY  0 用舒尔补，我们可以看
到上面不等式等价于
QAT  Y T BT  AQ  BY  2 LQ
Q

Q
 Q11


Y
0

YT 

0 0
 R 1 
完成证明。
（非线性时变系统情形）
以一个连续时间凸多面体不确定系统为例
x(t )  A(t ) x(t )  f ( x(t ))  B(t )u (t )
x(t )   (t ) t  [d 0]
[ A(t ) B(t )]  
(14)
  col{[ A1 B1 ],[ A2 B2 ],[ A3 B3 ],……，
[A m Bm ]}
 表示凸壳和  Ai , Bi  为凸壳的顶点。数学上，  可以写为
m
m
i 1
i 1
 A(k), B(k )   i (k )[ Ai , Bi ] 满足条件  i (k )  1 和 i (k )  0
i  1, 2,……，m 。
定理 2：以一个连续时变系统（14）为例，x(kT)为 kT 采样时刻的状态测量值。
如果下面的满足 LMI 约束条件的最优化问题被解决，则在（8）中存在状态反馈控制，
在每个采样时间满足稳定性约束条件和（7）中输入约束条件：
min 
(15)
 ,Q ,Y
 1
满足 
 x(kT )
x(kT )T 
0
Q 
2
umax
I Y
0
 T
Q 
Y
(15a)
(15b)
QAj T  Aj Q  Y T B j T  B jY  2LQ Q
YT 


Q
- Q1-1
0 0


Y
0
- R -1 

j  1, 2,……m
定理的证明跟定义 1 证明类似。
(15c)
IV
仿真结果
为了显示提出方法的有效性，我们以连续时间动力学系统（4），线性项是
0 1
A

 1 2 
0 
B 
1 
非线性项 f(x(t))被当作模型不确定并且为了仿真目的有下面形式：
 0 
f(x(t))=  x1 


1  x12 
可以得出当 L=0.1,Lipschitz 条件满足。
系统的初始状态为 x0  [1 1] 。在成本函数中，权重系数选择为
T
Q  I 2*2 , R  1 。在这个例子中，类似一个 LQR 问题，权重 R，Q 是设计参数并
可以被选择以满足最好相应的获取。控制输入相应在图 1-3 中分别被显示。
V 结论
本文为一类连续时间非线性不确定系统提出了一种在线性矩阵不等式框架
下设计鲁棒模型预测控制。这个控制器设计是用“最坏情况”目标函数在无限时
间滚动窗口下的最优控制问题。一个充分的状态反馈综合条件是提供 LMI 的优化
形式并且在每一个时间步上都被在线解决。一个仿真例子显示了提出的方法的效
果
图 1 控制输入
图 2 第一次状态响应
图3
第二次状态响应
参考文献
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