KULIAH 7
Bab 10
Inferens Bagi Populasi:
Penganggaran
Pegenalan
Statistik Inferens ialah proses mendapatkan
maklumat dan membuat kesimpulan berkenaan
populasi dengan menggunakan sampel.
◼
Taburan persampelan akan digunakan untuk
membuat inferens berkenaan parameter populasi yang
tidak diketahui.
◼
Terdapat dua prosedur yang digunakan untuk membuat
inferens iaitu:
◼
◼
Penganggaran
◼
Ujian Hipotesis
Konsep Penganggaran
◼
Penganggar Titik
◼
◼
◼
Penganggar titik merupakan nombor tunggal (single
value/certain value)
Merupakan statistik yang dihitung daripada maklumat
sampel dan digunakan untuk menganggar parameter
populasi.
Contoh: Pilih sampel 50 pelajar tahun 1 dan
bertanyakan tempoh belajar untuk seminggu.
Anggarkan min sampel ini dan guna nilai yang diperoleh
sebagai anggaran titik untuk min populasi yang tidak
diketahui.
◼
Min sampel yang diperoleh merupakan anggaran titik bagi min
populasi.
Penganggar Selang
◼
◼
◼
Merupakan julat nilai yang dibentuk daripada
data sampel maka parameter akan terletak
dalam
julat
tersebut
pada
tingkat
kebarangkalian tertentu (any value along the
interval)
Ia melibatkan dua nilai iaitu had atas dan had
bawah.
Kebarangkalian tertentu disebut aras keyakinan
(level of confidence).
Anggaran Titik dan Anggaran
Selang
Sekiranya, min populasi berada dalam julat
antara had atas dan had bawah keyakinan
maka kenyataan berkenaan µ adalah benar
Lower
Confidence
Limit
Point Estimate
Width of
confidence interval
Upper
Confidence
Limit
Penganggar Titik dan Selang…
◼
Selang Keyakinan
◼
Pengiraan anggaran titik adalah tidak pasti
kerana mungkin tidak menggambarkan
parameter populasi.
◼
Sebaliknya, anggaran selang memberikan
lebih banyak maklumat tentang kriteria
populasi berbanding anggaran titik.
◼
Anggaran selang juga dikenali sebagai
selang keyakinan (confidence intervals)
Kualiti Penganggar
Kriteria penting dalam memilih statistik sample sebagai
penganggar titik kepada parameter populasi ialah
statistik sampel adalah penganggar yang tidak bias
(unbiased). Penganggar tidak bias jika nilai dijangka
statistik sampel sama dengan parameter yang
dianggarkan.
❖
❖
Dua lagi kriteria penting bagi penganggar unbias ialah:
Konsisten iaitu perbezaan antara penganggar dan
parameter semakin kecil apabila bilangan sampel
meningkat.
Cekap secara relatif iaitu penganggar mempunyai nilai
varian yang kecil.
Parameter
Populasi
Min , 
Varian ,  2
Perkadaran, p
Penganggar Titik
Anggaran Selang keyakinan
◼
◼
◼
◼
Selang keyakinan ialah anggaran selang yang
merangkumi parameter populasi yang tidak diketahui
dengan aras keyakinan tertentu.
Had Keyakinan (Confidence limits) adalah nilai
bawah (lower) dan nilai atas (upper) bagi anggaran
selang.
Aras keyakinan (Confidence level) ialah (1 – ) iaitu
kebarangkalian di mana selang yang dianggarkan
mengandungi nilai sebenar parameter populasi jika
proses mendapatkan selang diulang beberapa kali.
Nota:  ialah nilai kritikal (critical value)
Apa itu Aras Keyakinan?
◼
◼
◼
◼
Berapa peratus anda yakin bahawa selang yang
dianggarkan akan mengandungi parameter
populasi yang tidak diketahui.
◼
Anda Tidak boleh yakin 100%
◼
Maka peratus keyakinan mestilah kurang daripada
100% misalnya 95% yakin, 99% yakin dsb.
Aras keyakinan ialah (1-)
 ialah aras keertian
Jika  = 0.05 maka (1 - ) = 0.95 iaitu 95%
yakin
Selang Keyakinan
Selang
Keyakinan
Min
Populasi
σ
Diketahui
σ Tidak
Diketahui
Perkadaran
Populasi
(i) Selang Keyakinan Bagi μ
(σ Diketahui)
◼
Andaian
◼ Sisihan piawai populasi, σ diketahui
◼ Populasi bertaburan normal
◼ Jika populasi tidak bertaburan normal, gunakan sampel besar
◼
Menganggar selang keyakinan:
X  Zα/2
dengan
X
σ
n
anggaran titik
Zα/2 nilai kritikal taburan normal bagi kebarangkalian /2 di setiap hujung
σ/ n sisihan piawai
Bagimana cari nilai kritikal?
◼
◼
Contoh jika aras keyakinan ialah 95%
Maka
Mencari Nilai Kritikal, Zα/2
◼
Andaikan aras keyakinan ialah 90%, maka:
1 −  = 0.95 so  = 0.05
α
= 0.025
2
α
= 0.025
2
Z units:
X units:
Zα/2 = 1.96
Zα/2 = -1.96
Had Bawah
(Lower
Confidence
Limit)
0
Point Estimate
Zα/2 = 1.96
Had Atas
(Upper
Confidence
Limit)
Rujuk nilai α
Z0.025 = 1.96
Jadual Z hujung kanan
Mencari Nilai Kritikal, Zα/2
◼
Andaikan aras keyakinan 90%, maka:
Contoh 1
◼
Satu sampel terdiri daripada 11 litar elektrik
daripada satu populasi besar yang
bertaburan normal mempunyai min bagi
rintangan sebanyak 2.20 ohm. Daripada
ujian sebelum ini diketahui sisihan piawai
populasi ialah 0.35 ohm.
◼
Tentukan 95% selang keyakinan bagi min
sebenar
rintangan
bagi
populasi
berkenaan.
Contoh 1: Penyelesaian
◼
Penyelesaian:
X  Z α/2
σ
n
= 2.20  1.96 (0.35/ 11 )
= 2.20  0.2068
1.9932  μ  2.4068
Interpretasi
Diyakini 95% yang min sebenar rintangan berada
antara 1.9932 dan 2.4068 ohm.
(ii) Selang Keyakinan Bagi μ
(σTidak Diketahui)
◼
Jika sisihan piawai populasi, σ tidak
diketahui maka kita gantikan dengan
sisihan piawai sampel, S
◼
Ini menambah ketakpastian kerana S
adalah berbeza antara satu sampel
dengan sampel lain.
◼
Jadi kita
gunakan taburan t dan
bukannya taburan normal
Selang Keyakinan Bagi μ
(σTidak Diketahui)
◼
Andaian:
◼
◼
◼
◼
◼
Sisihan piawai populasi tidak diketahui
Populasi bertaburan normal
Jika populasi tidak bertaburan normal maka guna
sampel besar
Gunakan taburan ‘student-t’
Menganggar selang keyakinan:
X  tα / 2
S
n
(dengan tα/2 adalah nilai kritikal bagi taburan t dengan n -1 darjah
kebebasan dan bagi kawasan α/2 bagi setiap hujung)
Taburan ‘Student-t’
◼
◼
‘Student-t’ termasuk dalam satu jenis taburan
Nilai tα/2 bergantung kepada darjah kebebasan
(degrees of freedom (d.f.))
d.f. = n - 1
Jadual ‘Student-t’
Upper Tail Area
df
.10
.05
.025
1 3.078 6.314 12.706
Let: n = 3
df = n - 1 = 2
 = 0.10
/2 = 0.05
2 1.886 2.920 4.303
3 1.638 2.353
/2 = 0.05
3.182
The body of the table
contains t values, not
probabilities
0
2.920 t
Contoh 2:
Selang Keyakinan Dengan Taburan t
Andaikan sampel rawak, n = 25 dgn X = 50 dan
S = 8. Bentukkan 95% selang keyakinan bagi μ
◼
d.f. = n – 1 = 24, jadi
t/2 = t 0.025 = 2.064
Selang keyakinan bersamaan:
X  t/2
S
8
= 50  (2.064)
n
25
46.698 ≤ μ ≤ 53.302
(iii) Selang Keyakinan bagi
Perkadaran Populasi, p
◼
(iii) Selang Keyakinan bagi
Perkadaran Populasi, p
◼
Ingat semula, taburan perkadaran sampel
adalah menghampiri normal jika saiz sampel
besar, dengan sisihan piawai
σp =
◼
p(1 − p)
n
Kita boleh mengiranya dengan menggunakan
data sampel.
p̂(1 − p̂)
n
Selang keyakinan, p
◼
p̂  Z/2
p̂(1 − p̂)
n
Contoh 3:
◼
Satu sampel rawak terdiri daripada 100 orang
menunjukkan 25 orang daripadanya adalah
‘left-handed’. Bentuk 95% selang keyakinan
untuk perkadaran populasi bagi ‘left-handers’.
p̂  Z/2 p̂(1 − p̂)/n
= 0.25  1.96 0.25(0.75)/100
= 0.25  1.96 (0.0433)
0.1651  p  0.3349
Interpretasi
◼
Kita yakin 95% bahawa peratusan benar bagi
‘left-handers’ dalam populasi berada antara
16.51% dan 33.49%.
Contoh 4 :
◼
p̂  Z/2 p̂(1 − p̂)/n
= 0.75  1.96 0.25(0.75)/100
= 0.75  1.96 (0.0433)
0.6651  p  0.8349
Interpretasi:
Kita yakin 95% bahawa perkadaran populasi right-handers
bagi populasi berada antara 66.51% dan 83.49%.
Penentuan Saiz Sampel
Menentukan
saiz sampel
Bagi Min
Bagi
Perkadaran
Bagaimana untuk menentukan saiz sampel yang perlu
untuk menganggar perkadaran populasi?
Ralat Persampelan
◼
◼
Biasanya saiz sampel yang diperlukan akan
mempunyai margin ralat (margin of error or
bounded error (B) atau ralat maksimum yang
dibenarkan (maximum likely error that is
acceptable) dengan aras keyakinan tertentu
(1 - )
Margin ralat juga dikenali sebagai ralat
persampelan
◼
Ketidaktepatan dalam anggaran parameter populasi.
◼
Jumlah yang ditambah atau ditolak daripada
anggaran titik untuk membentuk selang keyakinan.
Menentukan Saiz Sampel
Menentukan
Saiz Sampel
Bagi Min
Ralat
Persampelan:
X  Zα / 2
σ
n
B = Z / 2
σ
n
Menentukan Saiz Sampel
Menentukan
Saiz Sampel
Bagi Min
B = Z / 2
σ
n
2
Selesaikan
untuk n
Z / 2 σ
n=
2
B
2
Contoh 5:
Saiz Sampel yang Diperlukan
Jika  = 45, apakah saiz sampel yang diperlukan
untuk menganggar min dengan ralat persampelan di
antara ± 5 dengan 90% keyakinan?
Z σ
(1.645) (45)
n=
=
= 219.19
2
2
B
5
2
2
2
2
Jadi sampel yang diperlukan ialah n = 220
(Always round up) to the
one greater value
Penentuan Saiz Sampel:
Perkadaran
Tentukan
Saiz Sampel
Bagi
Perkadaran
Selesaikan
n untuk
dapat
p = nilai anggaran bagi perkadaran populasi
Contoh 6: Penentuan Saiz
Sampel
◼
Contoh: Penentuan Saiz
Sampel
Jadi guna n = 451
Latihan 1
From past experience, the population standard deviation of
rod diameters produced by a machine has been found to be
0.053 inches. For a simple random sample of 30 rods, the
average diameter is found to be 1.4 inches.
(i) Find the 95% confidence interval for the population
mean.
(ii) What sample size is necessary to have 95% confidence
that sample mean will be within 0.01 inch of the actual
population mean?
Jawapan : Latihan 1
From past experience, the population standard deviation of
rod diameters produced by a machine has been found to be
0.053 inches. For a simple random sample of 30 rods, the
average diameter is found to be 1.4 inches.
(i) Find the 95% confidence interval for the population mean.
LCL= 1.381, UCL = 1.419
1.381 ≤ µ ≤ 1.419
We have 95% confidence that the population mean length
falls between 1.381 and 1.419 inches
LCL = lower confidence limit ; UCL = upper confidence limit
Jawapan: Latihan 1
(ii) What sample size is necessary to have 95% confidence
that sample mean will be within 0.01 inch of the actual
population mean?
Latihan 2
In an April 2007 NBC News / Wall Street Journal poll, 1008 adults were
randomly sampled from across the United States.
In response to the question, “All in all, do you think that things in the
nation are generally headed in the right direction, or do you feel that
things are off on the wrong track?” 22% responded “headed in the right
direction”.
(i)
What is the 90% confidence interval for the population proportion
who would have answered “headed in the right direction” to the
question posed?
(ii) Determine the sample size necessary to estimate the population
proportion to within 0.015 with 90% confidence if we believe that
the estimated value of the population proportion is approximately
0.30.
Jawapan: Latihan 2
0.199 ≤ p ≤ 0.241
Jawapan: Latihan 2
(ii)
Determine the sample size necessary to estimate the
population proportion to within 0.015 with 90%
confidence if we believe that the estimated value of
the population proportion is approximately 0.30.