แคลคูลสั เบื ้องต้ น
1
27 Jul 2016
PAT 1 (มี.ค. 59)
17. ให้ 𝑓 เป็ นฟั งก์ชนั โดยที่
𝑥+𝑏−4
𝑓(𝑥) = {𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑎
2𝑏𝑥 − 𝑎
,
,
,
𝑥≤𝑎
𝑎<𝑥≤𝑏
𝑥>𝑏
เมือ่ 𝑎 และ 𝑏 เป็ นจำนวนจริง
และ 𝑓 เป็ นฟั งก์ชนั ต่อเนื่องบนเซตของจำนวนจริง พิจำรณำข้ อควำมต่อไปนี ้
(ก) (𝑓 ∘ 𝑓)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎 − 𝑏
(ข) 𝑓(𝑎 + 𝑏) = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏)
(ค) 𝑓 ′ (𝑓(2)) = 𝑓(𝑓 ′ (2))
ข้ อใดต่อไปนี ้ถูกต้ อง
1. ข้ อ (ก) และ ข้ อ (ข) ถูก แต่ ข้ อ (ค) ผิด
2. ข้ อ (ก) และ ข้ อ (ค) ถูก แต่ ข้ อ (ข) ผิด
3. ข้ อ (ข) และ ข้ อ (ค) ถูก แต่ ข้ อ (ก) ผิด
4. ข้ อ (ก) ข้ อ (ข) และ ข้ อ (ค) ถูกทังสำมข้
้
อ
5. ข้ อ (ก) ข้ อ (ข) และ ข้ อ (ค) ผิดทังสำมข้
้
อ
28. กำหนดให้ ℝ เป็ นเซตของจำนวนจริ ง ให้ 𝑓 : ℝ → ℝ และ 𝑔 : ℝ → ℝ เป็ นฟั งก์ชนั ที่มีอนุพนั ธ์ทกุ อันดับ และ
สอดคล้ องกับ 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑓(𝑥) และ 𝑔′ (𝑥) = 4𝑥 3 + 9𝑥 2 + 2 สำหรับทุกจำนวนจริ ง 𝑥
พิจำรณำข้ อควำมต่อไปนี ้
(ก) ค่ำสูงสุดสัมพัทธ์ของ 𝑓 เท่ำกับ 6
(ข) ค่ำตำ่ สุดสัมพัทธ์ของ 𝑓 เท่ำกับ 2
(ค) อัตรำกำรเปลีย่ นแปลงของ (𝑓 + 𝑔)(𝑥) เทียบกับ 𝑥 ขณะที่ 𝑥 = 1 เท่ำกับ 12
ข้ อใดต่อไปนี ้ถูกต้ อง
1. ข้ อ (ก) และ ข้ อ (ข) ถูก แต่ ข้ อ (ค) ผิด
2. ข้ อ (ก) และ ข้ อ (ค) ถูก แต่ ข้ อ (ข) ผิด
3. ข้ อ (ข) และ ข้ อ (ค) ถูก แต่ ข้ อ (ก) ผิด
4. ข้ อ (ก) ข้ อ (ข) และ ข้ อ (ค) ถูกทังสำมข้
้
อ
5. ข้ อ (ก) ข้ อ (ข) และ ข้ อ (ค) ผิดทังสำมข้
้
อ
2
แคลคูลสั เบื ้องต้ น
2
𝑥 3 +𝑥 2 +𝑥
𝑑𝑥
2
 4 𝑥|𝑥+2|−𝑥 −2
34. ค่ำของ 
40. กำหนดให้
เท่ำกับเท่ำใด
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑎𝑥 + 𝑏
เมื่อ 𝑎 และ 𝑏 เป็ นจำนวนจริง ถ้ ำอัตรำกำรเปลีย่ นแปลงเฉลีย่ ของ 𝑓(𝑥) เทียบ
1
กับ 𝑥 เมื่อค่ำของ 𝑥 เปลีย่ นจำก −1 เป็ น 1 เท่ำกับ −2 และ 
1
𝑓(3+ℎ)−𝑓(3−ℎ)
เท่ำกับเท่ำใด
แล้ วค่ำของ lim
ℎ
h0
42. ค่ำของ lim
x 2

|𝑥 2 −𝑥−2|
3
2− √𝑥 2 +4
เท่ำกับเท่ำใด
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 2
แคลคูลสั เบื ้องต้ น
PAT 1 (ต.ค. 58)
1
2𝑥 3
(1 − 2 )
1−𝑥
𝑥
+1
x 1 √
13. ค่ำของ lim

1.
4.
0
2
เท่ำกับข้ อใดต่อไปนี ้
2.
5.
0.5
3.
1
4
14. กำหนดให้ 𝐶 เป็ นเส้ นโค้ ง 𝑦 = 2 + 𝑥|𝑥 − 1| เมื่อ 𝑥 เป็ นจำนวนจริ ง ถ้ ำ 𝐿 เป็ นเส้ นตรงที่สมั ผัสกับเส้ นโค้ ง 𝐶 ที่
จุด (0, 2) และให้ 𝑁 เป็ นเส้ นตรงที่ตงฉำกกั
ั้
บเส้ นตรง 𝐿 ณ จุด (0, 2) แล้ วเส้ นตรง 𝑁 ผ่ำนจุดในข้ อใดต่อไปนี ้
1. (−1, 3)
2. (1, 5)
3. (−2, 5)
4. (3, −2)
5. (−3, 4)
2𝑥
สำหรับทุก
15. ให้ 𝑓 เป็ นฟั งก์ชนั หนึง่ ต่อหนึง่ ซึง่ มีโดเมนและเรนจ์เป็ นสับเซตของจำนวนจริง โดยที่ 𝑓 −1 (𝑥) = 𝑥+1
สมำชิก 𝑥 ในเรนจ์ของ 𝑓 พิจำรณำข้ อควำมต่อไปนี ้
(ก) 2𝑓 ′(4) − 𝑓(4) = 3
(ข) 𝑓 ′′(𝑓(4)) = 𝑓(𝑓 ′′(4))
(ค) 𝑓 เป็ นฟั งก์ชนั เพิ่มบนช่วง (0, 2)
ข้ อใดต่อไปนี ้ถูกต้ อง
1. ข้ อ (ก) และ ข้ อ (ข) ถูก แต่ ข้ อ (ค) ผิด
2. ข้ อ (ก) และ ข้ อ (ค) ถูก แต่ ข้ อ (ข) ผิด
3. ข้ อ (ข) และ ข้ อ (ค) ถูก แต่ ข้ อ (ก) ผิด
4. ข้ อ (ก) ข้ อ (ข) และ ข้ อ (ค) ถูกทังสำมข้
้
อ
5. ข้ อ (ก) ข้ อ (ข) และ ข้ อ (ค) ผิดทังสำมข้
้
อ
3
4
แคลคูลสั เบื ้องต้ น
33. กำหนดให้ ℝ แทนเซตของจำนวนจริ ง ให้ 𝑓: ℝ → ℝ เป็ นฟั งก์ชนั ที่สำมำรถหำอนุพนั ธ์ได้ และสอดคล้ องกับ
lim
𝑥 2 +𝑥−6
x  2 √1+𝑓(𝑥)−3
ถ้ ำเส้ นตรง
= 6
และ
6𝑥 − 𝑦 = 4
34. กำหนดให้ ฟังก์ชนั
1 + 𝑓(𝑥) ≥ 0
ตัดกับกรำฟ
สำหรับทุกจำนวนจริ ง 𝑥
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑥3
𝑓(𝑥) = { 𝑎𝑥 + 𝑏
3𝑥 2 + 2
ที่ 𝑥 = 2 แล้ วค่ำของ
,
𝑥 < −1
, −1 ≤ 𝑥 < 1
,
𝑥≥1
2
ถ้ ำฟั งก์ชนั 𝑓 ต่อเนื่อง สำหรับทุกจำนวนจริง 𝑥 แล้ วค่ำ 
2
𝑓 ′ (2)
เท่ำกับเท่ำใด
เมื่อ 𝑎 และ 𝑏 เป็ นจำนวนจริ ง
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
เท่ำกับเท่ำใด
PAT 1 (มี.ค. 58)
) เมื่อ −1 < 𝑥 < 1
16. กำหนดให้ 𝑓(𝑥) = log (1+𝑥
1−𝑥
2𝑥
ถ้ ำ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐴 แล้ ว ∫ 𝑓 (1+𝑥
2 ) 𝑑𝑥 ตรงกับข้ อใดต่อไปนี ้
2
2
1. 𝐴
2. −𝐴
3. 2𝐴
4.
−2𝐴
แคลคูลสั เบื ้องต้ น
17. กำหนดให้ 𝑎 เป็ นจำนวนจริงบวก สอดคล้ องกับ lim
x 0
ค่ำของ 𝑎2 + 𝑎 + 58 เท่ำกับข้ อใดต่อไปนี ้
1. 64
2. 78
|5𝑥+1|−|5𝑥−1|
√𝑥+𝑎 −√𝑎
3.
5
= 80
4.
130
330
35. ให้ 𝑅 แทนเซตของจำนวนจริ ง ให้ 𝑓 : 𝑅 → 𝑅 เป็ นฟั งก์ชนั ที่สอดคล้ องกับสมกำร
𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) + 3𝑥 2 𝑦 + 3𝑥𝑦 2 สำหรับทุกจำนวนจริ ง 𝑥 และ 𝑦 และ lim 𝑥
x 0
= 2
ค่ำของ 𝑓 ′(1) + 𝑓 ′′(5) เท่ำกับเท่ำใด
40. ให้ 𝑓 และ 𝑔 เป็ นฟั งก์ชนั ซึง่ มีโดเมนและเรนจ์เป็ นสับเซตของเซตของจำนวนจริ ง โดยที่
𝑔(𝑥) = (1 + 𝑥 2 )𝑓(𝑥)
และ
2
𝑔(1) = 2
𝑓 ′ (𝑥) =
ค่ำของ  𝑥 3 𝑔′′ (𝑥) 𝑑𝑥 เท่ำกับเท่ำใด
1
2𝑥 4 −𝑥
𝑥3
เมื่อ 𝑥 ≠ 0
6
แคลคูลสั เบื ้องต้ น
41. กำหนดให้ 𝑓 เป็ นฟั งก์ชนั นิยำมโดย
𝑒 2𝑥 + 2𝑎
𝑓(𝑥) = { 𝑎 + 𝑏
√1+𝑏𝑥+5𝑥 2 −1
𝑥
, 𝑥<0
, 𝑥=0
, 𝑥>0
เมื่อ 𝑎 และ 𝑏 เป็ นจำนวนจริ ง
ถ้ ำฟั งก์ชนั 𝑓 มีควำมต่อเนื่องที่ 𝑥 = 0 แล้ วค่ำของ 15𝑎 + 30𝑏 เท่ำกับเท่ำใด
PAT 1 (พ.ย. 57)
7. ให้ 𝑎 และ 𝑏 เป็ นจำนวนจริ ง และกำหนดให้ 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 เมื่อ 𝑥 ≠ 0 โดยที่
กับเส้ นตรง 𝑦 = 1 ที่จดุ (1, 1) พิจำรณำข้ อควำมต่อไปนี ้
(ก) 𝑓 มีคำ่ สูงสุดสัมพัทธ์ที่ 𝑥 = −1
(𝑓 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑓(2𝑎2 + 2𝑏 2 )
(ข) lim
x 1
ข้ อใดต่อไปนี ้ถูกต้ อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
𝑦 = 𝑓(𝑥) เป็ นเส้ นโค้ งที่สม
ั ผัส
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด
16. กำหนดให้ 𝑓 และ 𝑔 เป็ นฟั งก์ชนั ซึง่ มีโดเมนและเรนจ์เป็ นสับเซตของจำนวนจริ ง โดยทัง้ 𝑓 และ 𝑔 เป็ นฟั งก์ชนั ที่
สำมำรถหำอนุพนั ธ์ได้ และสอดคล้ องกับ (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = √𝑥 2 + 5 สำหรับทุก 𝑥 ที่อยูใ่ นโดเมนของ 𝑓 ∘ 𝑔
และ ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 𝐶 เมื่อ 𝐶 เป็ นค่ำคงตัว ถ้ ำ 𝐿 เป็ นเส้ นตรงที่สมั ผัสเส้ นโค้ ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) ณ 𝑥 = 0
แล้ วเส้ นตรง 𝐿 ตังฉำกกั
้
บเส้ นตรงที่มีสมกำรตรงกับข้ อใดต่อไปนี ้
1. 𝑥 + 𝑦 − 3 = 0
2. 2𝑥 + 𝑦 − 7 = 0
3. 3𝑥 + 𝑦 − 5 = 0
4. 5𝑥 + 𝑦 − 2 = 0
แคลคูลสั เบื ้องต้ น
19. กำหนดให้
2
𝑓(𝑥) = 4𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑
เมื่อ 𝑏, 𝑐 และ 𝑑 เป็ นจำนวนจริง โดยที่ 
2
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = −
ถ้ ำ 𝑔(𝑥) เป็ นพหุนำมซึง่ 𝑔′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) และ 𝑔′ (1) = 𝑔′ (0) = 𝑔(0) = 0
แล้ ว 𝑔′′ (𝑥) = 𝑔′ (𝑥) + 𝑔(𝑥) ตรงกับสมกำรในข้ อใดต่อไปนี ้
1. 𝑥 4 − 4𝑥 3 + 12𝑥 2 − 6𝑥 = 0
2. 𝑥 4 − 8𝑥 3 − 12𝑥 2 − 6𝑥 = 0
3. 3𝑥 4 − 16𝑥 3 + 48𝑥 2 − 24𝑥 = 0
4. 3𝑥 4 + 8𝑥 3 − 48𝑥 2 + 24𝑥 = 0
41. ให้ 𝑓 เป็ นฟั งก์ชนั ซึง่ มีโดเมนและเรนจ์เป็ นสับเซตของเซตของจำนวนจริ ง โดยที่
4
เมื่อ 𝑎 เป็ นจำนวนจริง และ 𝑓(0) = 12 ค่ำของ  𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 เท่ำกับเท่ำใด
44. ให้ ℝ แทนเซตของจำนวนจริง ให้ 𝑓 : ℝ → ℝ , 𝑔 : ℝ → ℝ และ 𝑠 : ℝ → ℝ เป็ นฟั งก์ชนั โดยที่
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 สำหรับทุก 𝑥 ∈ ℝ
𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑥 2 + 2𝑥 − 1 สำหรับทุก 𝑥 ∈ ℝ
𝑠(𝑥) = lim
h 0
2
2
(𝑔(𝑥+ℎ)) −(𝑔(𝑥))
ℎ
สำหรับทุก 𝑥 ∈ ℝ ค่ำของ
64
3
𝑓(2𝑥 − 1) = 4𝑥 2 − 10𝑥 + 𝑎
1
และ
7
(𝑠𝑔)(1)
เท่ำกับเท่ำใด
8
แคลคูลสั เบื ้องต้ น
PAT 1 (เม.ย. 57)
17. กำหนดให้ 𝑓 เป็ นฟั งก์ชนั นิยำมโดย
เมื่อ
𝑎, 𝑏 เป็ นจำนวนจริ ง
แล้ วค่ำของ
1. 8
18. กำหนดให้
1.
21
19. กำหนดให้
|𝑎 + 5𝑏|
−𝑥 + 𝑎
2
𝑓(𝑥) = { − 5 𝑥 + 𝑏
𝑥 ≤ −2
−2 < 𝑥 < 3
𝑥 2 − 6𝑥 + 11 ,
𝑥>3
ถ้ ำฟั งก์ชนั 𝑓 มีควำมต่อเนื่องที่ 𝑥 = −2 และ lim 𝑓(𝑥)
x 3
เท่ำกับข้ อใดต่อไปนี ้
2. 18
b
𝑏>1
,
,
𝑥−1
และ  𝑥+
√𝑥
1
2.
𝑑𝑥 = 4
3.
ค่ำของ
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
1 + 𝑏 + 𝑏2
3.
31
88
5
4.
102
5
เท่ำกับข้ อใดต่อไปนี ้
4.
91
111
เป็ นพหุนำมกำลังสอง เมื่อ 𝑎, 𝑏, 𝑐 เป็ นจำนวนจริ ง และ 𝑎 ≠ 0
โดยที่ 𝑓(1) = 0 และ 𝑓 มีคำ่ สูงสุดที่ 𝑥 = 13 ให้

𝐹(𝛼, 𝛽) =  𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

โดยที่
สำหรับจำนวนจริ ง 𝑡 > 1 พิจำรณำข้ อควำมต่อไปนี ้
(ก) 𝐹(1,2) = 𝐹(2,3) + 10
เท่ำกับ
(ข) อนุพนั ธ์ของ 𝑓(𝑥)
𝑥2
ข้ อใดต่อไปนี ้ถูกต้ อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
หำค่ำได้
−3𝑥 2 −2𝑥−2
𝑥3
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด
𝐹(0, 𝑡) = 𝐹(1, 𝑡) + 1
แคลคูลสั เบื ้องต้ น
41. กำหนดให้
แทนเซตของจำนวนจริ ง และ 𝑎, 𝑏 เป็ นจำนวนจริ ง และให้ 𝑓 : ℝ → ℝ เป็ นฟั งก์ชนั ที่นยิ ำมโดย
𝑓(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑥 3 สำหรับทุกจำนวนจริ ง 𝑥 ถ้ ำเส้ นตรง 5𝑥 − 𝑦 + 13 = 0 สัมผัสกรำฟของ 𝑓 ที่ 𝑥 = 1
ℝ
2
แล้ ว  𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 เท่ำกับเท่ำใด
0
42. ให้
ℝ
แทนเซตของจำนวนจริง ถ้ ำ 𝑓 : ℝ → ℝ เป็ นฟั งก์ชนั โดยที่
แล้ วอัตรำกำรเปลีย่ นแปลงของ
PAT 1 (มี.ค. 57)
𝑓(𝑥)
𝑓(3) = 111
เทียบกับ 𝑥 ขณะที่ 𝑥 = 3 เท่ำกับเท่ำใด
𝑥𝑓(𝑥)−333
และ lim
= 2013
𝑥−3
x 3
10. พิจำรณำข้ อควำมต่อไปนี ้
(ก) ให้ P(𝑥, 𝑦) เป็ นจุดใดๆ ในระนำบ ถ้ ำผลบวกของระยะทำงจำกจุด P(𝑥, 𝑦) ไปยังจุด (0, –2)
และระยะทำงจำกจุด P(𝑥, 𝑦) ไปยังจุด (2, –2) เท่ำกับ 2√5 แล้ ว
เซตของจุด P(𝑥, 𝑦) คือ { (𝑥, 𝑦) | 4𝑥 2 + 5𝑦 2 − 8𝑥 + 20𝑦 − 12 = 0 }
(ข) จุด (1, 1) เป็ นจุดบนพำรำโบลำ 𝑦 = 𝑥 2 อยูใ่ กล้ กบั เส้ นตรง 𝑦 = 2𝑥 – 4 มำกที่สดุ
ข้ อใดต่อไปนี ้ถูกต้ อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด
9
10
แคลคูลสั เบื ้องต้ น
17.
𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 ,
𝑥<2
ให้ 𝑎 และ 𝑏 เป็ นจำนวนจริ ง และให้ 𝑓(𝑥) = { √𝑥 − 1
, 2≤𝑥≤5
𝑎𝑥 + 𝑏
,
𝑥>5
ถ้ ำ 𝑓 เป็ นฟั งก์ชนั ต่อเนื่องบนเซตของจำนวนจริง แล้ ว 𝑎 − 𝑏 เท่ำกับข้ อใดต่อไปนี ้
1.
2.
5
2
18. ถ้ ำ 
2
|𝑥 2 − 7𝑥 + 6| 𝑑𝑥 =
แล้ วค่ำของ
1. 33
𝑎+𝑏
3.
8
𝑎
𝑏
เมื่อ 𝑎 และ 𝑏 เป็ นจำนวนเต็มที่
เท่ำกับข้ อใดต่อไปนี ้
2. 69
3
11
3.
102
𝑏≠0
4.
12
และ ห.ร.ม. ของ 𝑎 และ 𝑏 เท่ำกับ 1
4.
104
4𝑥
19. กำหนดให้ 𝑓(𝑥) = 𝑥6−3𝑥
3 +64 เมื่อ 𝑥 เป็ นจำนวนจริ งบวกใดๆ พิจำรณำข้ อควำมต่อไปนี ้
(ก) 𝑓 เป็ นฟั งก์ชนั เพิ่มบนช่วง (0, 3)
4
(ข) ค่ำสูงสุดสัมพัทธ์ของ 𝑓 เท่ำกับ 13
ข้ อใดต่อไปนี ้ถูกต้ อง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก
2. (ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด
แคลคูลสั เบื ้องต้ น
38. กำหนดให้
ถ้ ำ
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑓(1) = 2
และ
เมื่อ 𝑎 และ 𝑏 เป็ นจำนวนจริ ง
(𝑓 ∘ 𝑓)(0) = 10
2
แล้ วค่ำของ 
1
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
เท่ำกับเท่ำใด
42. ให้ ℝ แทนเซตของจำนวนจริง ถ้ ำ 𝑓 : ℝ → ℝ เป็ นฟั งก์ชนั ซึง่ 𝑓 ′′ (𝑥) = 3 + 6𝑥 สำหรับทุกจำนวนจริง 𝑥 และ
ควำมชันของเส้ นสัมผัสโค้ ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) ณ จุด (2, 22) เท่ำกับ 20 แล้ วค่ำของ lim
𝑓(𝑥) เท่ำกับเท่ำใด
x4
PAT 1 (มี.ค. 56)
4
20. กำหนดให้ C เป็ นเส้ นโค้ ง 𝑦 = 3𝑥𝑥3−2 เมื่อ 𝑥 > 0 และให้ L เป็ นเส้ นตรงที่สมั ผัสกับเส้ นโค้ ง C ที่จดุ (1, 1)
ถ้ ำเส้ นตรง L ตัดกับพำรำโบลำ 𝑥(𝑥 − 1) = 𝑦 − 1 ที่จดุ A และจุด B
แล้ วระยะห่ำงระหว่ำงจุด A และจุด B เท่ำกับข้ อใดต่อไปนี ้
1. 4√82
2. 8√82
3. 4√41
4. 8√41
11
12
แคลคูลสั เบื ้องต้ น
38. กำหนดให้
แล้ ว
2𝑥−8
2
𝑓(𝑥) = {2𝑥−√4𝑥𝑘𝑥−3𝑥+12
𝑓(𝑘 + 1) เท่ำกับเท่ำใด
3
, 𝑥<4
, 𝑥≥4
โดยที่ 𝑘 เป็ นจำนวนจริ ง ถ้ ำ 𝑓 เป็ นฟั งก์ชนั ต่อเนื่องที่จดุ 𝑥 = 4
39. ให้ 𝑓 เป็ นฟั งก์ชนั ซึง่ มีโดเมนและเรนจ์เป็ นสับเซตของจำนวนจริ ง โดยที่อตั รำกำรเปลีย่ นแปลงของ 𝑓(𝑥) เทียบกับ 𝑥
เท่ำกับ 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 เมื่อ 𝑎 และ 𝑏 เป็ นจำนวนจริ ง และให้ 𝑔(𝑥) = (𝑥 3 + 2𝑥)𝑓(𝑥) ถ้ ำ 𝑓 ′ (1) = 18 ,
𝑓 ′′ (0) = 6 และ 𝑓(2) = 𝑓(1) + 𝑓(0) แล้ วค่ำของ 𝑔′ (−1) เท่ำกับเท่ำใด
40. กำหนดให้
𝑓(𝑥)
เป็ นพหุนำมกำลังสำม ซึง่ มีสมั ประสิทธิ์เป็ นจำนวนจริ ง โดยที่มี 𝑥 + 1 เป็ นตัวประกอบของ 𝑓(𝑥)
5 + 2i เป็ นคำตอบชองสมกำร 𝑓(𝑥) = 0
และ
2
𝑓(0) = 58
ค่ำของ 
0
[𝑓(𝑥) − 𝑓(−𝑥)]𝑑𝑥
เท่ำกับเท่ำใด
แคลคูลสั เบื ้องต้ น
PAT 1 (ต.ค. 55)
19. กำหนดให้ 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 26𝑥 2 + 𝑏𝑥 − 216 เมื่อ 𝑏 เป็ นจำนวนจริ ง
ถ้ ำ 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 เป็ นจำนวนจริ งสำมจำนวนเรี ยงกันแบบลำดับเรขำคณิต และเป็ นคำตอบของสมกำร
แล้ ว ค่ำของ 𝑓 ′(1) เท่ำกับข้ อใดต่อไปนี ้
1. 211
2. 107
3. 101
4. 85
20. กำหนดให้
จำนวนจริ ง
1.
3
𝑓(𝑥)
𝑥
21. ค่ำของ lim
x 1
1.
−12
เป็ นพหุนำมกำลังสอง โดยที่
1
ใดๆ ค่ำของ 
2
2.
|1+𝑥−2𝑥 2 |
√𝑥+3−2
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑓(0) = 1
และ
เท่ำกับข้ อใดต่อไปนี ้
2
3.
𝑓(𝑥) = 0
𝑓(𝑥 + 1) = 𝑓(𝑥 − 1) + 𝑥 + 1
2
3
4.
1
3
เท่ำกับข้ อใดต่อไปนี ้
2.
0
3.
12
4. หำค่ำไม่ได้
สำหรับ
13
14
แคลคูลสั เบื ้องต้ น
37. กำหนดให้ R แทนเซตของจำนวนจริ ง ให้ 𝑓 : R → R เป็ นฟั งก์ชนั โดยที่
1. (𝑓𝑔)(𝑥) = 2𝑥 + 3 สำหรับทุกจำนวนจริ ง 𝑥
2. ฟั งก์ชนั 𝑓 และ 𝑔 มีอนุพนั ธ์ทกุ อันดับสำหรับทุกจำนวนจริง 𝑥
3. ฟั งก์ชนั 𝑓 มีคำ่ สูงสุดสัมพัทธ์เท่ำกับ 2 ที่ 𝑥 = 1
4. 𝑔′′ (𝑥) = 2 สำหรับทุกจำนวนจริ ง 𝑥
ฟั งก์ชนั 𝑔 มีคำ่ ต่ำสุดสัมพัทธ์เท่ำกับเท่ำใด
38. กำหนดให้
𝑃(𝑥)
เป็ นพหุนำมที่สอดคล้ องกับ
𝑃(𝑥)
เป็ นพหุนำมโดยที่
ค่ำของ lim
√𝑃(𝑥) − 𝑓(𝑥) เท่ำกับเท่ำใด
x2
39. กำหนดให้
ค่ำของ
𝑃(12)
เท่ำกับเท่ำใด
𝑃(𝑥 2 + 3) = 3𝑥 4 + 24𝑥 2 + 40
𝑃(0) = 1
และให้
x
𝑓(𝑥) =  𝑃(𝑡) 𝑑𝑡
0
3ℎ𝑥+2ℎ
และสอดคล้ องกับ lim
h  0 𝑃(𝑥+ℎ+2)+𝑃(ℎ+2)−𝑃(𝑥+2)−𝑃(2)
= 1
แคลคูลสั เบื ้องต้ น
PAT 1 (มี.ค. 55)
16. ให้ R แทนเซตของจำนวนจริ ง กำหนดให้ 𝑓 : R → R เป็ นฟั งก์ชนั ทีม่ ีอนุพนั ธ์ทกุ อันดับ โดยที่
𝑓 ′′ (𝑥) = 2𝑥 + 1 และ 𝑓 ′ (2) = 2
สมกำรของเส้ นตรงทีต่ งฉำกกั
ั้
บเส้ นสัมผัสเส้ นโค้ ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) ที่จดุ (1, 3) คือข้ อใดต่อไปนี ้
1. 𝑦 = − 12 𝑥 + 2
2. 𝑦 = 12 𝑥 + 52
3.
1
5
4.
𝑦=− 𝑥+
2
2
17. ให้ R แทนเซตของจำนวนจริ ง ให้ 𝑓 : R → R ,
𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥+1
𝑥 2 +1
เมื่อ
𝑎
เป็ นจำนวนจริง
ถ้ ำฟั งก์ชนั ℎ ต่อเนื่องที่ 𝑥 = 2 แล้ ว ค่ำของ
1. 0.6
2. 0.8
𝑔:R→R
1
𝑦= 𝑥+2
2
และ
ℎ:R→R
𝑔(𝑥) = (𝑥 2 + 1)𝑓 ′ (𝑥)
2ℎ(−2) − ℎ(2)
3.
1
เป็ นฟั งก์ชนั โดยที่
และ
𝑓(𝑥)
ℎ(𝑥) = {
𝑔(𝑥)
เท่ำกับข้ อใดต่อไปนี ้
4.
3
เมื่อ 𝑥 ≥ 2
เมื่อ 𝑥 < 2
18. ให้ R แทนเซตของจำนวนจริ ง ให้ 𝑓 : R → R , 𝑔 : R → R และ ℎ : R → R เป็ นฟั งก์ชนั ที่มีอนุพนั ธ์ทกุ อันดับ
โดยที่ ℎ(𝑥) = 𝑥 2 + 4 , 𝑔(𝑥) = ℎ(𝑓(𝑥) − 1) และ 𝑓 ′ (1) = 𝑔′ (1) = 1
แล้ วค่ำของ 𝑓(1) เท่ำกับข้ อใดต่อไปนี ้
1. 2
2. 1.5
3. 1
4. 0.5
15
16
แคลคูลสั เบื ้องต้ น
37. กำหนดให้ R แทนเซตของจำนวนจริ ง ถ้ ำ 𝑓 : R → R และ 𝑔 : R → R เป็ นฟั งก์ชนั โดยที่
และ (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 8𝑥 3 + 44𝑥 2 + 80𝑥 + 48 สำหรับทุกจำนวนจริง 𝑥
แล้ วค่ำของ ∫06 𝑓(𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 เท่ำกับเท่ำใด
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3
39. กำหนดให้ 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑎𝑥 + 𝑏 เมื่อ 𝑎 และ 𝑏 เป็ นจำนวนจริงที่แตกต่ำงกัน และให้ L1 และ L2 เป็ นเส้ นสัมผัส
เส้ นโค้ ง ที่ 𝑥 = 𝑎 และ 𝑥 = 𝑏 ตำมลำดับ
2
9ℎ
= 1 แล้ วค่ำของ ∫0 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 เท่ำกับเท่ำใด
ถ้ ำ L1 ขนำนกับ L2 และ lim 𝑓(1+ℎ)−𝑓(1)
h0
40. จงหำค่ำของ
lim
x

4
(cot3 𝑥−1) cosec2 𝑥
1+cos 2𝑥−2 sin2 𝑥
แคลคูลสั เบื ้องต้ น
PAT 1 (ธ.ค. 54)
2
17. กำหนดให้ 𝑓 : R → R โดยที่ 𝑓(𝑥) = 𝑥 3
ถ้ ำ N เป็ นเส้ นตรงทีต่ งฉำกกั
ั้
บเส้ นสัมผัสกรำฟของ 𝑓(𝑥) ที่จดุ (𝑎, 𝑓(𝑎)) , 𝑎 > 0
และ N มีระยะตัดแกน 𝑦 เท่ำกับ 52 หน่วย แล้ ว ข้ อใดเป็ นพิกดั ของจุดบนเส้ นตรง N
1. (−2, 7)
2. (−1, 4)
3. (2, −4)
18. กำหนดให้ A(0, 0), B(1, 0) และ C( 12 , √23 ) เป็ นจุดยอดของรูปสำมเหลีย่ ม ABC
ถ้ ำกรำฟของ 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ผ่ำนจุด A(0, 0), B(1, 0)
โดยที่ AC และ BC เป็ นเส้ นสัมผัสกรำฟของ 𝑓 ที่จดุ A(0, 0), B(1, 0) ตำมลำดับ
แล้ วพื่นที่ที่ปิดล้ อมด้ วยกรำฟของ 𝑓 และเส้ นตรง AB มีคำ่ เท่ำใด
√3
6
1.
28. ฟั งก์ชนั
2.
𝑓, 𝑔, ℎ
𝑥+6
)
3
𝑓(
มีสมบัตวิ ำ่
√3
3
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 3𝑥 − 14
= 𝑥 − 2 , ℎ(2𝑥 − 1) = 6𝑔(𝑥) + 12
3.
√3
2
จงหำค่ำของ ℎ′ (0)
4.
(3, −5)
4.
2√3
3
17
18
แคลคูลสั เบื ้องต้ น
38. กำหนดให้
ถ้ ำ
𝑓:R→R
𝑓(0) = 23
และ
𝑓 ′′ (𝑥) = 0 ทุกๆจำนวนจริ ง
𝑓(1) = 103
1
แล้ ว จงหำค่ำของ  𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
0
39. ให้ L เป็ นเส้ นตรงที่ผำ่ นจุด (0, 10) และมีควำมชันมำกกว่ำ −1 แต่น้อยกว่ำ 0
ถ้ ำพื ้นที่ของอำณำบริ เวณทีถ่ กู ปิ ดล้ อมด้ วยเส้ นตรง L กับแกน 𝑥 จำก 𝑥 = 0 ถึง 𝑥 = 6 มีคำ่ เท่ำกับ 51 ตำรำงหน่วย
แล้ ว จงหำพื ้นที่ของอำณำบริ เวณที่ถกู ปิ ดล้ อมด้ วยเส้ นตรง L กับแกน 𝑥 จำก 𝑥 = 0 ถึง 𝑥 = 3
𝑥
40. จงหำค่ำของ lim
3
3
+
𝑥+8
√𝑥−8
x0 √
แคลคูลสั เบื ้องต้ น
PAT 1 (มี.ค. 54)
√𝑥 3 +𝑥 2 +𝑥
𝑥2
x 0 
1
−
2
18. ค่ำของ lim
1.
เท่ำกับข้ อใดต่อไปนี ้
2.
1
2
3.
−1
4.
1
19. กำหนดให้ 𝑓 เป็ นฟั งก์ชนั พหุนำมทีม่ ี 𝑓 ′′(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 เมื่อ 𝑎 และ 𝑏 เป็ นจำนวนจริ ง ถ้ ำ 𝑓(0) = 2 และกรำฟ
ของ 𝑓 มีจดุ ต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ (1, −5) แล้ ว 2𝑎 + 3𝑏 เท่ำกับข้ อใดต่อไปนี ้
1. −12
2. 20
3. 42
4. 48
1
เมื่อ 𝑥 ≠ − 32
20. กำหนดให้ 𝑅 แทนเซตของจำนวนจริ ง ให้ 𝑔: 𝑅 → 𝑅 เป็ นฟั งก์ชนั กำหนดโดย 𝑔(𝑥) = 2𝑥+3
ถ้ ำ 𝑓: 𝑅 → 𝑅 เป็ นฟั งก์ชนั ที่ (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑥 สำหรับทุกจำนวนจริ ง 𝑥 แล้ ว 𝑓 ′′ (12) เท่ำกับข้ อใดต่อไปนี ้
1. − 12
2. 12
3. −8
4. 8
19
20
แคลคูลสั เบื ้องต้ น
42. กำหนดให้ 𝑅 แทนเซตของจำนวนจริ ง ถ้ ำ 𝑓: 𝑅 → 𝑅 และ 𝑔: 𝑅 → 𝑅 เป็ นฟั งก์ชนั ที่หำอนุพนั ธ์ได้ ทกุ 𝑥 ∈ 𝑅
โดยที่ 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 + 5 , (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑥 6 + 2𝑥 4 − 2𝑥 3 + 𝑥 2 − 2𝑥 + 5 และ 𝑓(0) = 0
ค่ำของ (𝑓 ′ ∘ 𝑔′ )(1) + (𝑔′ ∘ 𝑓 ′)(0) เท่ำกับเท่ำใด
43. กำหนดให้ เส้ นโค้ ง
ถ้ ำ
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥) = √𝑥 + 2 𝑓(𝑥)
44. กำหนดให้
𝑓(𝑥) =
สัมผัสกับเส้ นตรง
และ
𝑔′ (2) = 0
𝑥−3
2𝑥+10−
√𝑥+13
{√
𝑎
2𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 ที่จด
ุ (0, 3)
แล้ ว 𝑓(2) เท่ำกับเท่ำใด
เมื่อ 𝑥 ≠ 3
เมื่อ 𝑥 = 3
โดยที่ 𝑎 เป็ นจำนวนจริ ง
ถ้ ำ 𝑓 เป็ นฟั งก์ชนั ต่อเนื่องทีจ่ ดุ 𝑥 = 3 แล้ ว 𝑎 เท่ำกับเท่ำใด
และ
2
′′
 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 = −3
0
แคลคูลสั เบื ้องต้ น
PAT 1 (ต.ค. 53)
18. กำหนดให้ 𝑅 แทนเซตของจำนวนจริ ง ให้
ให้ 𝑔 เป็ นฟั งก์ชนั ที่กำหนดโดย
√𝑥+3−2
√𝑥 −1
𝑔(𝑥) = {
𝑓(𝑥)
|𝑥|+7
เป็ นฟั งก์ชนั ต่อเนื่อง ที่ 𝑥 = 1 และ
𝑓: 𝑅 → 𝑅
เมื่อ 𝑥 > 1
เมื่อ 𝑥 ≤ 1
ถ้ ำฟั งก์ชนั 𝑔 มีควำมต่อเนื่องที่ 𝑥 = 1 แล้ ว ค่ำของ
1. 2 − √3
2. 2
(𝑔 ∘ 𝑓)(1) เท่ำกับข้ อใดต่อไปนี ้
3.
2 − √7
19. กำหนดให้ 𝑎 และ 𝑏 เป็ นจำนวนจริ ง และให้ 𝑓 เป็ นฟั งก์ชนั พหุนำม โดยที่
ถ้ ำมีฟังก์ชนั พหุนำม
1.
71
30
𝑄(𝑥)
โดยที่
2.
2
𝑓(𝑥) = (𝑄(𝑥))
31
30
แล้ วค่ำของ
3.
11
30
1
4.
√7 − 2
𝑓(𝑥) = 𝑥 4 + 2𝑥 3 − 𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏
 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
0
47. ให้ 𝑓 เป็ นฟั งก์ชนั ซึง่ มีโดเมนและเรนจ์เป็ นสับเซตของเซตของจำนวนจริ ง โดยที่
ค่ำของ 𝑓 (𝑓 ′ (𝑓 ′′(2553))) เท่ำกับเท่ำใด
เท่ำกับข้ อใดต่อไปนี ้
4.
1
30
𝑓(2𝑥 + 1) = 4𝑥 2 + 14𝑥
21
22
แคลคูลสั เบื ้องต้ น
PAT 1 (ก.ค. 53)
19. กำหนดให้ 𝑎 และ 𝑏 เป็ นจำนวนจริ ง และให้ 𝑓 เป็ นฟั งก์ชนั โดยที่
ถ้ ำ 𝑓 เป็ นฟั งก์ชนั ต่อเนื่องบนช่วง
1. 54
2.
|𝑥 3 −1|
𝑥−1
𝑓(𝑥) = {𝑎𝑥 + 𝑏
5
(−1, ∞) แล้ วค่ำของ 𝑎𝑏 เท่ำกับข้ อใดต่อไปนี ้
7
−4
3.
15
, −1 < 𝑥 < 1
,1 ≤ 𝑥 < 5
,𝑥 ≥ 5
4.
−10
36. โรงงำนผลิตตุ๊กตำแห่งหนึง่ มีต้นทุนในกำรผลิตตุ๊กตำ 𝑥 ตัว โรงงงำนจะต้ องเสียค่ำใช้ จำ่ ย
𝑥 3 − 450𝑥 2 + 60,200𝑥 + 10,000 บำท ถ้ ำขำยตุ๊กตำรำคำตัวละ 200 บำท โรงงำนจะต้ องผลิตตุ๊กตำกี่ตวั
จึงจะได้ กำไรมำกที่สดุ
37. กำหนดให้ 𝑓(𝑥) เป็ นฟั งก์ชนั พหุนำมกำลังสอง ถ้ ำควำมชันของเส้ นสัมผัสเส้ นโค้ ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) ที่จดุ (1, 2) มีคำ่
เท่ำกับ 4 และ
2
 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 12
1
แล้ ว
𝑓(−1) + 𝑓 ′′ (−1) มีคำ่ เท่ำกับเท่ำใด
แคลคูลสั เบื ้องต้ น
23
38. กำหนดให้ ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) โดยที่ควำมชันของเส้ นสัมผัสเส้ นโค้ ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) ที่จดุ (𝑥, 𝑦) เท่ำกับ 2 − 2𝑥
และเส้ นโค้ ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) มีคำ่ สูงสุดสัมพัทธ์ เท่ำกับ 5 ถ้ ำ 𝑔 เป็ นฟั งก์ชนั พหุนำม ซึง่ มีสมบัติ 𝑔(2) = 𝑔′ (2) = 5
แล้ ว ℎ′ (2) มีคำ่ เท่ำกับเท่ำใด
PAT 1 (มี.ค. 53)
2
18. กำหนดให้ 𝑅 แทนเซตของจำนวนจริ ง ถ้ ำ 𝑓: 𝑅 → 𝑅 และ 𝑔: 𝑅 → 𝑅 เป็ นฟั งก์ชนั โดยที่ 𝑓(𝑥) = 3𝑥 3 ,
2
𝑔(1) = 8 และ 𝑔′ (1) = 3 ค่ำของ (𝑓 ∘ 𝑔)′ (1) เท่ำกับข้ อใดต่อไปนี ้
1. 13
2. 23
3. 1
4. 43
37. กำหนดให้ 𝑎 และ 𝑏 เป็ นจำนวนจริ ง และ 𝑓 เป็ นฟั งก์ชนั ซึง่ กำหนดโดย
𝑓(𝑥) = {
𝑥 3 −3𝑥−2
𝑥−2
,𝑥 < 2
𝑎−𝑏
,𝑥 = 2
𝑥 + 𝑎𝑥 + 1 , 𝑥 > 2
ถ้ ำ 𝑓 เป็ นฟั งก์ชนั ต่อเนื่องบนเซตของจำนวนจริงแล้ ว ค่ำของ 𝑎2 + 𝑏2 เท่ำกับเท่ำใด
2
24
แคลคูลสั เบื ้องต้ น
38. กำหนดให้ 𝑅 แทนเซตของจำนวนจริ ง ถ้ ำ 𝑓: 𝑅 → 𝑅 เป็ นฟั งก์ชนั โดยที่ 𝑓 ′(𝑥) = 3√𝑥 + 5 สำหรับทุกจำนวนจริ ง 𝑥
และ 𝑓(1) = 5 แล้ วค่ำของ
lim
x4
𝑓(𝑥 2 )−2
𝑓(𝑥)
เท่ำกับเท่ำใด
39. กำหนดให้ 𝑅 แทนเซตของจำนวนจริ ง ถ้ ำ 𝑓: 𝑅 → 𝑅 เป็ นฟั งก์ชนั
โดยที่ 𝑓 ′′ (𝑥) = 6𝑥 + 4 สำหรับทุกจำนวนจริง 𝑥
และควำมชันของเส้ นสัมผัสโค้ ง 𝑦 = 𝑓(𝑥) ที่จดุ (2, 19) เท่ำกับ 19 แล้ ว ค่ำของ 𝑓(1) เท่ำกับเท่ำใด
PAT 1 (ต.ค. 52)
ตอนที่ 2
17. ถ้ ำ
𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 2 − 1
และ
1
 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 0
0
แล้ ว
|𝑓(1)|
มีคำ่ เท่ำกับเท่ำใด
แคลคูลสั เบื ้องต้ น
18. กำหนดให้ 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏√𝑥 เมื่อ 𝑎 และ 𝑏 เป็ นจำนวนจริ งที่ 𝑏 ≠ 0
ถ้ ำ 2𝑓 ′ (1) = 𝑓(1) แล้ ว 𝑓𝑓(4)
่ เท่ำใด
′ (9) มีคำ
19. กำหนดให้ 𝑦 = 𝑓(𝑥) เป็ นฟั งก์ชนั ซึง่ มีคำ่ สูงสุดที่ 𝑥 = 1
ถ้ ำ 𝑓 ′′ (𝑥) = −4 ทุก 𝑥 และ 𝑓(−1) + 𝑓(3) = 0 แล้ ว
𝑓
มีคำ่ สูงสุดเท่ำใด
PAT 1 (ก.ค. 52)
32. ถ้ ำ 𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥 2 + 𝑥 − 5 และ 𝑓(0) = 1 แล้ ว
1.
5
3
2.
7
3
1
 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
1
3.
2
3
มีคำ่ เท่ำกับข้ อใดต่อไปนี ้
4.
1
3
25
26
แคลคูลสั เบื ้องต้ น
33. ถ้ ำ 𝑓, 𝑔 และ ℎ สอดคล้ องกับ 𝑓(1) = 𝑔(1) = ℎ(1) = 1 และ 𝑓 ′(1) = 𝑔′ (1) = ℎ′ (1) = 2
แล้ วค่ำของ (𝑓𝑔 + ℎ)′ (1) เท่ำกับข้ อใดต่อไปนี ้
1. 1
2. 2
3. 4
4. 6
34. เส้ นตรงซึง่ ตัดตังฉำกกั
้
บเส้ นสัมผัสของเส้ นโค้ ง 𝑦 = 2𝑥 3 − √1𝑥 ที่จดุ 𝑥 = 1 คือเส้ นตรงในข้ อใดต่อไปนี ้
1. 13𝑥 − 2𝑦 − 11 = 0
2. 13𝑥 + 2𝑦 − 15 = 0
3. 2𝑥 − 13𝑦 + 11 = 0
4. 2𝑥 + 13𝑦 − 15 = 0
PAT 1 (มี.ค. 52)
31. ถ้ ำ 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … เป็ นลำดับเรขำคณิตซึง่

 𝑎𝑛 = 4
n 1
1. 4
2. 2
3. 1
4. หำค่ำไม่ได้ เพรำะ 𝑎2 มีคำ่ มำกได้ อย่ำงไม่มีขีดจำกัด
แล้ วค่ำมำกที่สดุ ที่เป็ นไปได้ ของ 𝑎2 เท่ำกับข้ อใดต่อไปนี ้
แคลคูลสั เบื ้องต้ น
32. กำหนดให้
𝐴 แทนพื ้นที่ของอำณำบริ เวณที่ปิดล้ อมด้ วยเส้ นโค้ ง 𝑦 = 1 − 𝑥 2 และแกน X
𝐵 แทนพื ้นที่ของอำณำบริ เวณทีใ่ ต้ เส้ นโค้ ง 𝑦 =
ค่ำของ 𝑐 ที่ทำให้ 𝐴 = 𝐵 เท่ำกับข้ อใดต่อไปนี ้
1. √2
2. 2
𝑥2
4
3.
เหนือแกน X จำก 𝑥 = −𝑐 ถึง 𝑥 = 𝑐
2√2
33. กำหนดให้ 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 3𝑥 2 + 7
1. (−3, −2) ∪ (2, 3)
3. (−1, 0) ∪ (2, 3)
𝑓 เป็ นฟั งก์ชน
ั เพิ่มบนเซตในข้ อใดต่อไปนี ้
34. ถ้ ำ 𝑓 ′ (𝑥) = 12 (√1𝑥 + √𝑥1 3) แล้ วค่ำของ
𝑓(1+ℎ)−𝑓(1)
h  0 𝑓(4+ℎ)−𝑓(4)
1.
1
2.
16
5
2.
4.
lim
3.
4.
4
(−3, −2) ∪ (1, 2)
(−1, 0) ∪ (1, 2)
เท่ำกับข้ อใดต่อไปนี ้
7
5
4.
1
5
27
28
แคลคูลสั เบื ้องต้ น
A-NET 52
ตอนที่ 1
(𝑥 − 1)2
𝑓(𝑥) = { 3
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 2 + 𝑥
และหำอนุพนั ธ์ได้ ที่จดุ 𝑥 = 1 แล้ ว 𝑓(−1) มีคำ่ เท่ำกับข้ อใดต่อไปนี ้
19. กำหนดให้ 𝑎 และ 𝑏 เป็ นจำนวนจริ ง ถ้ ำ
1.
−6
2.
−4
3.
0
, 𝑥≥1
, 𝑥<1
เป็ นฟั งก์ชนั ต่อเนื่อง
4.
4
20. กำหนดให้ 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 + 6 ถ้ ำ 𝑃 เป็ นจุดบนกรำฟของ 𝑦 = 𝑓(𝑥) ที่ให้ คำ่ สูงสุดสัมพัทธ์ของ 𝑓
แล้ ว เส้ นตรงที่ผำ่ นจุด 𝑃 และจุด (2, 6) มีควำมชันเท่ำกับข้ อใดต่อไปนี ้
1. −1
2. − 23
3. 23
4. 2
ตอนที่ 2
4. พื ้นที่ของอำณำบริ เวณที่อยูร่ ะหว่ำงเส้ นโค้ ง
𝑦 = 𝑥 3 − 4𝑥
และแกน 𝑋 เมื่อ 𝑥 อยูใ่ นช่วง [−2, 1] มีคำ่ เท่ำใด
แคลคูลสั เบื ้องต้ น
A-NET 51
ตอนที่ 1
2. กำหนดให้
a
𝐼(𝑎) =  (𝑥 2 − 1) 𝑑𝑥
a
สำหรับ 𝑎 ∈ [0,
∞)
ประโยคในข้ อใดต่อไปนี ้มีคำ่ ควำมจริ งเป็ นจริ ง เมื่อเอกภพสัมพัทธ์คือช่วง [0, ∞)
1. ∀𝑎[𝐼(𝑎) > 0]
2. ∀𝑎[(𝐼(𝑎) = 0) → (𝑎 = 0)]
3. ∃𝑎[(𝑎 > 2) ∧ (𝐼(𝑎) < 0)]
4. ∃𝑎[(𝑎 ≠ 0) ∧ (𝐼(𝑎) = 0)]
19. กำหนดให้ 𝑓 เป็ นฟั งก์ชนั ที่นิยำมบนช่วง (0, ∞) โดยที่ 𝑓(2) = 2𝑓(1) และ 𝑓 ′ (𝑥) = 27𝑥 − 𝑥12
ถ้ ำ L เป็ นเส้ นสัมผัสกรำฟของ 𝑦 = 𝑓(𝑥) ที่จดุ (1, 𝑓(1)) แล้ ว จุดในข้ อใดต่อไปนี ้อยูบ่ น L
1. (2, 64)
2. (2, 66)
3. (3, 94)
4. (3, 96)
20. กำหนดให้ 𝑓 เป็ นฟั งก์ชนั พหุนำมกำลังสำม ซึง่ นิยำมบนช่วง [−2, 2] โดยที่ 𝑓(0) = 1,
ต่ำสุดที่ 𝑥 = 1, มีคำ่ สูงสุดที่ 𝑥 = −1 พิจำรณำข้ อควำมต่อไปนี ้
ก. 𝑓(−2) ≤ 𝑓(𝑥) ทุก 𝑥 ∈ [−2, 2]
ข. 𝑓(2) ≥ 𝑓(𝑥) ทุก 𝑥 ∈ [−2, 2]
ข้ อใดต่อไปนี ้ถูก
1. ก. ถูก และ ข. ถูก
2. ก. ถูก และ ข. ผิด
3. ก. ผิด และ ข. ถูก
4. ก. ผิด และ ข. ผิด
𝑓(1) = 0 และ 𝑓 มีคำ่
29
30
แคลคูลสั เบื ้องต้ น
ตอนที่ 2
9. กำหนดให้ 𝑓 เป็ นฟั งก์ชนั ต่อเนื่อง ที่นิยำมโดย
เมื่อ 𝑥 ≥ 0
เมื่อ 𝑥 < 0
1
′ (1)
ถ้ ำ 𝑓
= 4 แล้ ว (𝑓 ∘ 𝑓) (− 3 ) มีคำ่ เท่ำใด
√2
2
𝑓(𝑥) = {𝑎𝑥 + 𝑏
𝑥3 + 1
10. กำหนดให้ 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 33 เมื่อ 𝑥 < −1
−2𝑥
เมื่อ 𝑥 ≥ −1
พื ้นที่ที่ปิดล้ อมด้ วยกรำฟของ 𝑓 บนช่วง [−4, 0] มีคำ่ เท่ำใด
A-NET 50
ตอนที่ 1
20. กำหนดให้ 𝑎, 𝑏 เป็ นจำนวนจริง และ 𝑓 เป็ นฟั งก์ชนั ซึง่ นิยำมโดย
เมื่อ 𝑥 < 0
เมื่อ 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
𝑥−𝑏
เมื่อ 𝑥 > 1
ถ้ ำ 𝑓 เป็ นฟั งก์ชนั ต่อเนื่องบนช่วง [−2, 2] แล้ ว 𝑓 (12) เท่ำกับข้ อใดต่อไปนี ้
1. 0
2. 0.25
3. 0.5
(𝑥 − 1)2 + 1
𝑓(𝑥) = {𝑥 3 + 𝑎𝑥 + 𝑏
4.
0.75
แคลคูลสั เบื ้องต้ น
′
21. กำหนดให้ 𝑓(𝑥) = 1 + 𝑎𝑥 และ 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑏 ถ้ ำ (𝑓 ∘ 𝑔)(0) = 12 และ 𝑓 ′′(−1) = 2 แล้ ว (𝑔𝑓 )
เท่ำกับข้ อใดต่อไปนี ้
1. − 13
2. − 14
3. 14
4. 13
31
(𝑎 + 𝑏)
22. พื ้นที่ของบริ เวณที่ปิดล้ อมด้ วยเส้ นโค้ ง 𝑦 = 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 2𝑥 และแกน X จำก 𝑥 = 0 ถึง 𝑥 = 4 เท่ำกับข้ อใด
ต่อไปนี ้
1. 16 ตำรำงหน่วย
2. 16.25 ตำรำงหน่วย
3. 16.5 ตำรำงหน่วย
4. 17 ตำรำงหน่วย
ตอนที่ 2
1
1
− 2−3𝑥+𝑥2 ) มีคำ่ เท่ำใด
5. lim (1−𝑥
x 1
32
แคลคูลสั เบื ้องต้ น
A-NET 49
ตอนที่ 1
17.
𝑥2
เมื่อ 𝑥 < 0
กำหนดให้ 𝑓(𝑥) = {2𝑥 − 1 เมื่อ 0 ≤ 𝑥 < 1
3𝑥
เมื่อ 𝑥 > 1
ค่ำของ lim 𝑓(𝑥 2 ) + lim 𝑓(1 − 𝑥) เท่ำกับข้ อใดต่อไปนี ้
x  0
1.
0
x  0
2.
1
3.
2
4.
3
18. ถ้ ำ 𝑃(𝑥) เป็ นพหุนำมดีกรี สำม ซึง่ มี 1, 2, 3 เป็ นคำตอบของสมกำร 𝑃(𝑥) = 0 และ 𝑃(4) = 5 แล้ ว 𝑃′ (1) มีคำ่
เท่ำกับข้ อใดต่อไปนี ้
1. − 67
2. − 56
3. 45
4. 53
19. กำหนดให้ กรำฟของ 𝑦 = 𝑓(𝑥) มีควำมชันที่จดุ (𝑥, 𝑦) ใดๆ เป็ น 2𝑥 + 2 และ 𝑓 มีคำ่ ตำ่ สุดสัมพัทธ์เท่ำกับ −3
พื ้นที่ของอำณำบริ เวณที่ปิดล้ อมด้ วยกรำฟของ 𝑦 = 𝑓(𝑥) แกน X เส้ นตรง 𝑥 = −1 และเส้ นตรง 𝑥 = 0
เท่ำกับข้ อใดต่อไปนี ้
2. 83 ตำรำงหน่วย
1. 73 ตำรำงหน่วย
3. 9 ตำรำงหน่วย
4. 12 ตำรำงหน่วย
แคลคูลสั เบื ้องต้ น
เฉลย
PAT 1 (มี.ค. 59)
PAT 1 (ต.ค. 58)
PAT 1 (มี.ค. 58)
PAT 1 (พ.ย. 57)
PAT 1 (เม.ย. 57)
PAT 1 (มี.ค. 57)
PAT 1 (มี.ค. 56)
PAT 1 (ต.ค. 55)
PAT 1 (มี.ค. 55)
PAT 1 (ธ.ค. 54)
PAT 1 (มี.ค. 54)
PAT 1 (ต.ค. 53)
PAT 1 (ก.ค. 53)
PAT 1 (มี.ค. 53)
PAT 1 (ต.ค. 52)
PAT 1 (ก.ค. 52)
PAT 1 (มี.ค. 52)
A-NET 52
A-NET 51
A-NET 50
A-NET 49
17.
42.
13.
34.
16.
41.
7.
44.
17.
42.
10.
38.
20.
19.
38.
16.
39.
17.
39.
18.
43.
18.
19.
18.
2/17.
32.
31.
1/19.
1/2.
2/10.
1/20.
1/17.
1
9
1
9.25
3
15
1
4
2
634
3
12
2
2
3
2
4
2
27.75
1
8
4
4
2
0.25
2
3
2
4
3
(0.125)
3
28.
1
34.
3
40.
48
14.
1
15.
2
33.
5
17.
4
35.
35
40.
132
16.
3
19.
4
41.
34.5
18.
3
19.
2
41.
38
17.
42.
38.
20.
39.
17.
40.
18.
40.
19.
44.
19.
36.
37.
2/18.
33.
32.
1/20.
1/19.
2
100
24
1
157
4
3
1
6
3
8
3
0
53
12
4
2
2
2
18.
4
19.
3
39.
21.
354
3
40.
37.
168
2.25
18.
2
37.
990
28.
3
38.
63
20.
4
42.
1
47.
37.
38.
2/19.
34.
33.
2/4.
1/20.
120
18
6
8
4
3
5.75
1
38.
39.
10
7
34.
2
2/9.
1.5
1/21.
1/18.
4
4
1/22.
1/19.
(37.33)
2
2/5.
1
33