CURSO
Introducción a la
dinámica
estructural y
análisis sísmico de
edificios
TEMA 02:
EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
AUTOR:​ Zigurat Global Institute of Technology S.L
TEMA 02​ | ​El Movimiento armónico simple
© Zigurat Global Institute of Technology S.L.
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TEMA 02​ | ​El Movimiento armónico simple
ÍNDICE
Introducción
3
Fundamentos físicos
3
El M.A.S, Movimiento armónico simple.
6
EL M.A.S. Cinemática de las vibraciones
12
Diversas expresiones matemáticas equivalentes
14
Notación exponencial de Euler.
14
Expresión binomial en función de los datos iniciales.
15
Vibraciones libres en un sistema lineal sin amortiguamiento
16
Según el Método de Newton
20
Fórmula de GEIGER
24
Vibraciones libres en un sistema lineal con amortiguamiento.
25
Resistencia de rozamiento seco de Coulomb.
27
Histéresis de deformación.
28
Resistencia turbulenta
30
Vibración libre con amortiguamiento.
32
Amortiguamiento crítico
33
Caso de amortiguamiento mayor que el crítico ζ >1.
36
Decremento logarítmico:
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TEMA 02​ | ​El Movimiento armónico simple
Introducción
El diseño sísmico de edificaciones, para los no iniciados, presenta siempre una doble
dificultad. Por un lado el gran aparato matemático que dificulta su aplicación y
comprensión y nos aleja de su verdadero sentido físico, y por otro su escasa aplicación
en las obras, digamos habituales, fuera de las aéreas en donde la actividad sísmica es
importante. Si a esto añadimos la constante retroalimentación de las soluciones
constructivas que son de aplicación, llevadas a cabo por los países punteros en la
materia, como son Japón, Chile, Méjico, Costa Oeste de los USA etc., quién quiera
adentrarse en el estado del Arte en esta cuestión, tiene por delante un panorama, en
principio desalentador. Es pues nuestra intención, y no otra, intentar simplificar el
acceso a dicha información, siendo conscientes, de entrada, de su intrínseca dificultad,
pero no por ello quisiéramos dejar fuera de su compresión a muchos potenciales
usuarios. Nuestro reto es difícil, pues sin restar rigor a nuestras explicaciones,
quisiéramos “descifrar”, para los no iniciados, las claves más importantes de su
aplicación en el diseño estructural, con un lenguaje técnico, pero a la vez sencillo.
Fundamentos físicos
La mecánica clásica y moderna, parte sustancial de la física, cubre el desarrollo desde
mediados del siglo XVII y XVIII, hasta nuestros días, y su evolución ha puesto a prueba a
las mejores cabezas pensantes de la humanidad. Empieza en el Renacimiento con
Galileo, cuyos frutos recoge Newton, quién sienta, de manera magistral, las bases de
esta ciencia, y tras los trabajos de Laplace, Lagrange, D’Alembert entre otros, Einstein,
con su Teoría general de la relatividad, cierra por el momento, el ciclo de su desarrollo.
Para ello ha sido necesario, en cada época y ante cada paso de su desarrollo, reinventar
los antiguos teoremas de la mecánica Newtoniana, necesitando pues un nuevo lenguaje
matemático, cada vez más complejo para su correcta explicación.
Así, el apartado de la mecánica que se ocupa de las Vibraciones, involucra todo este
lenguaje matemático. ¿Pero qué es una vibración? y, ¿por qué son tan importantes para
nuestro empeño? Modernamente una vibración se define como: ​“propagación de ondas
elásticas produciendo deformaciones y tensiones sobre un medio continuo​”. Veamos pues
que, esta definición, por si sola, tiene mucho que ver con el problema propuesto. El
sismo se manifiesta generalmente como una onda, que produce deformaciones y
tensiones (a veces catastróficas) sobre un medio continuo que, nosotros, llamaremos,
edificio. En su forma más sencilla, una vibración puede considerarse como un
movimiento repetitivo alrededor de una posición de equilibrio. La posición de
"equilibrio" es a la que llegará cuando la fuerza que actúa sobre él sea cero. Es decir que
mientras no actúa la vibración (sismo), un edificio se encuentra en situación de
equilibrio, esto es, estáticamente determinado. Pero cuando actúa el sismo, todo el
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TEMA 02​ | ​El Movimiento armónico simple
edificio se encuentra afectado por el nuevo estado de vibración que lo aparta del
equilibrio. Y aquí, nace uno de los temas controvertidos en el estudio sísmico. En
principio un edificio no sometido a sismo, se encuentra dentro del dominio de la
Estática, una de las ramas de la Mecánica Newtoniano, aunque pueda hallarse sometido
a acciones dinámicas, como por ejemplo el viento. Por tanto asumimos que, aunque
puedan actuar cargas dinámicas, el edificio permanece en su posición de “equilibrio”.
Pero cuando actúan las fuerzas sísmicas, el edificio vibra, se mueve, sí, pero alrededor
de una posición de equilibrio. Por tanto si se mueve hablamos de acciones Dinámicas,
aunque por estar moviéndose alrededor de una posición central de equilibrio, este
movimiento tan particular, entra dentro del concepto de Vibración. Mientras no ocurra
el desequilibrio total, por colapso de la estructura, situación ésta, siempre extrema, nos
hallaremos con un problema dentro del ámbito de la física de vibraciones. Es por tanto
un problema de estática y también de dinámica, lo cual, en principio puede desorientar
al lector.
Sin embargo, acudamos a un ejemplo clásico de la física, como es la bicicleta, para ver
que aunar la estática con la dinámica, con el concepto de equilibrio, no es, en absoluto,
un caso excepcional. Si está parada, la bicicleta no se tiene en pie y cae. Para poder
permanecer vertical, sin caerse, ha de estar en movimiento, entonces el sistema está en
equilibrio….dinámico. (Recordemos el principio físico de la conservación del momento
angular, producto de la Inercia por la velocidad angular…que aplicamos también a la
peonza).
Por su importancia, recordemos algunas manifestaciones físicas que tienen lugar
producto de una oscilación en un medio material: por ejemplo el sonido es producido
por una oscilación del aire, o bien la oscilación de una corriente eléctrica crea una onda
electromagnética, y también la inversa, la variación de una onda magnética genera
electricidad.
En física, se denomina ​oscilación a una variación, perturbación o fluctuación en el
tiempo de un medio o sistema. Si el fenómeno se repite con el tiempo, se habla de
oscilación periódica. Oscilación, es pues el movimiento repetido de un lado a otro en
torno a una posición central, o posición de equilibrio. El recorrido que consiste en ir
desde una posición extrema a la otra y volver a la primera, pasando dos veces por la
posición central, se denomina ciclo. El número de ciclos por segundo, o hercios (Hz), se
conoce como frecuencia de la oscilación empleada en el M.A.S (Movimiento Armónico
Simple).
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Desde un punto de vista físico, pues, una vibración no deja de ser un movimiento
oscilatorio, pero con la particularidad de tener movimientos muy pequeños (esto es lo
que deseamos en los edificios) respecto a la posición de equilibrio, lo cual, como
veremos le confiere algunas particularidades respecto al intercambio y balance de
energía.
Vemos pues que la dinámica, en el ámbito de la mecánica, es una ciencia madura,
mientras que su aplicación en el diseño sísmico, por la gran cantidad de factores que
influyen, no es una ciencia con el mismo grado de madurez. La aplicación de la dinámica
en mecánica fue forzada para entender en principio el comportamiento de las
máquinas. En este sentido, las máquinas responden a movimientos bien definidos sobre
elementos mecánicos de los cuales conocemos sus características en principio
invariantes. Ahora bien, al aplicar la dinámica a estructuras de edificación, cuyas
características de rigidez y resistencia no se conocen plenamente y que están excitadas
por movimientos no siempre predecibles, como son los movimientos sísmicos, o las
ráfagas del viento, hacen que su aplicación requiera una serie de simplificaciones para
la modelización de los parámetros que intervienen en el fenómeno lo cual dificulta, a
veces en exceso, su compresión real.
Figura 1.1 Introducción histórica
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El M.A.S, Movimiento armónico simple.
Por la importancia en el tema que nos ocupa, y sobre todo por lo términos técnicos que
involucra, vamos a estudiar lo que representa el A, B, C del estudio de las vibraciones. Lo
haremos a partir del M.A.S asociado a un movimiento circular. El M.A.S, puede
estudiarse como la proyección del movimiento circular de una partícula sobre uno de
los ejes de coordenadas. Generalmente se escoge el eje X, horizontal, por mayor
simplicidad y comodidad.
Figura 1.2 Componentes del movimiento armónico simple
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Así pues supongamos una partícula que gira alrededor de un punto fijo describiendo un
movimiento circular. El radio de la circunferencia que describe su trayectoria, será pues
un valor fijo que en principio es conocido y llamaremos A. La partícula estudiada, gira
con una velocidad de giro constante de valor conocido ω.
La velocidad de giro ω, es llamada velocidad angular, velocidad de giro, dado que en el
movimiento giratorio, podemos medir la posición de la partícula, a partir del ángulo
girado, siendo que conocemos el radio A y por tanto podremos posicionar, en cada
momento, la partícula solamente con conocer el ángulo recorrido.
Figura 1.3 Ley de Hooke. M.A.S.
La medida de los ángulos puede hacerse de diversas maneras. Modernamente,
utilizando las calculadoras habituales, vemos que tenemos tres opciones: DEG, RAD,
GRA. Pues bien, las más utilizadas en el concierto internacional son DEG (degrees) y RAD
(radianes), siendo el GRAD (de Gradián) una medida más moderna que tiene otras
aplicaciones técnicas.
La circunferencia, esto es el perímetro, no confundir con el círculo, esto es su área, tiene
una longitud de L= 2πr, siendo r el radio de la circunferencia. Si tomamos r=1, la unidad,
tendremos que la longitud de una circunferencia de radio unidad valdrá exactamente
L=2π. Esta circunferencia será la canónica. Sabemos también, si utilizamos la medida en
Grados sexagesimales que, dar una vuelta completa a la circunferencia equivale a
recorrer 360º. Por tanto si la circunferencia tiene radio r=1, el hecho de recorrer 360º, es
decir, dar una vuelta completa, cuando el radio vale r=1 equivale a haber recorrido una
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longitud de 2π veces el radio. Podemos pues medir el ángulo girado en grados, o en
longitud de arco, simplemente multiplicando 2π por el radio.
El radián, es pues una medida angular, en la cual la longitud del arco de circunferencia
de 1 radián equivale a la longitud del radio. Lógicamente si el radio vale r=1, toda la
longitud de la circunferencia equivaldrá a 2π. Por tanto la medida en grados de 360º,
equivale a 2π radianes. Vemos pues que si conocemos el radio A, de nuestra
circunferencia, podremos conocer la longitud recorrida, multiplicando el valor del arco
en radianes x A.
Mientras que el radián RAD es una medida adimensional, y de aquí la dificultad en su
uso, el grado sexagesimal DEG, tiene unidades de medida angular. Si tomamos la
circunferencia completa, un giro completo totalizará 360º, media circunferencia
360º/2=180º, un cuarto de circunferencia 360º/4=90º y así sucesivamente; por tanto si
una vuelta completa a la circunferencia equivale a 2π radianes, media vuelta serán 2π/2
=π radianes, y un cuarto de vuelta 2π radianes/4 = π/2 radianes.
Por tanto si conocemos la longitud recorrida a partir de una posición angular
determinada, introduciendo el tiempo que tarda en recorrer esta distancia podremos
conocer su velocidad angular. La velocidad angular ω, queda definida por un ángulo
recorrido por unidad de tiempo. Fijémonos pues que ω, tendrá unas unidades un tanto
particulares si tomamos como unidad de la medida angular el radián que, en principio
es adimensional. Pero como estamos acostumbrados a las velocidades lineales,
sabemos que v=ω x r, por tanto para pasar de unidades angulares en radianes a
unidades lineales, habrá que multiplicar por el radio que, en nuestro caso, valdrá A.
Es costumbre utilizar como unidades para medir la velocidad angular, las siguientes:
·​
​Radian
/s
Radianes recorridos por segundo
·​
​r.p.m
Revoluciones giradas en un minuto
·​
​r.p.s
Revoluciones giradas en un segundo
Entendiendo por revolución, una vuelta completa, podemos ver que por tener un
carácter cíclico, la velocidad angular puede medirse en vueltas giradas por unidad de
tiempo. Y aquí aparece otro de los temas que hay que vigilar: r.p.m, revoluciones por
minuto, o r.p.s, revoluciones por segundo, la palabra ​por, no quiere decir multiplicado
sino dividido, revoluciones/s = revoluciones giradas en un segundo, mientras que
r.p.m, quiere decir revoluciones giradas en un minuto. ​Si hablamos de una velocidad
lineal, km/h o bien m/s, decimos metros por segundo, mientras que no escribimos
m.p.s, y esto, también, puede llevarnos a confusión en algunas ocasiones.
Por tratarse de un movimiento cíclico, es natural hablar de número de vueltas giradas.
Si lo reducimos al estudio de una sola vuelta, diremos que el tiempo que tarda en
recorrer una vuelta entera, es el periodo de giro, y se utiliza la letra T. Por tanto el
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periodo se mide en unidad de tiempo, generalmente en segundos s. Así el tiempo que
tarda en girar la tierra alrededor del sol, equivalente a un año, es su periodo de giro
(suponiendo que la trayectoria fuera perfectamente circular). El periodo de giro de la
tierra sobre sí misma es de un día=24h.
Por tanto si una partícula gira a una velocidad de 1r.p.s, quiere decir que en un segundo
recorre una vuelta completa, y tendrá, por tanto, un periodo T=1s. Si la velocidad
angular ω fuera de 4 r.p.s, indicará que en un segundo habrá realizado 4 vueltas
completas. Por tanto su periodo, es decir el tiempo que tarda en dar una vuelta
completa, será de la cuarta parte. Por tanto T=0.25 s. Es decir, si tenemos en cuenta que
una vuelta completa equivale a 2π radianes, podremos relacionar el periodo T y la
velocidad angular ω a partir de la fórmula usual:
T = 2π /ω
También podemos ver, por tanto que, en un segundo habrá dado 4 vueltas completas,
es decir 4 revoluciones, lo que nos indica que si tomamos como referencia el punto de
partida, en un segundo habrá pasado en cuatro ocasiones por el punto de inicio. Este
valor, el nº de veces que pasa por un punto por unidad de tiempo, nos indica la
frecuencia f y se relaciona con el periodo siendo:
f = 1/T o lo que es lo mismo T −1 ,
Por lo tanto si el tiempo se mide en segundos, s, la frecuencia se mide en s​-1​, o también
Herzio, en honor al físico Heinrich Rudolf Hertz, descubridor del efecto fotoeléctrico,
explicado más adelante por Albert Einstein.
Tenemos ya definidos todos los conceptos necesarios para explicar el M.A.S. El M.A.S, es
el movimiento que se asocia a la proyección sobre el eje X, horizontal, de una partícula
que tiene un movimiento circular uniforme. Por tanto el M.A.S, es un movimiento plano,
en este caso horizontal, de ida y vuelta, por tanto oscilatorio, que se relaciona, por
proyección, con un movimiento circular.
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Figura 1.4 Componentes del M.A.S. en función del tiempo
Teniendo como datos de partida, el radio de la circunferencia de giro A, y la velocidad
angular ω, podemos analizar la posición de un punto cualquiera a partir de la expresión:
X = A cos (ωt + ψ)
Al valor ​X se conoce como ​elongación​, y tendrá como valor máximo el radio de la
circunferencia ​A,​ que se conoce por ​amplitud​. Las posiciones extremas del punto
giratorio serán pues +A, y –A, que marcan los extremos de las oscilaciones del M.A.S. Por
tanto ​A​ es la elongación ​X,​ máxima.
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TEMA 02​ | ​El Movimiento armónico simple
Algunos detalles a tener en cuenta son:
Si el ángulo inicial ψ=0, el punto de referencia coincide con el origen. La expresión
general queda simplificada a X = A cos (ωt)
Si la proyección la hiciéramos sobre el eje Y, en vez de X, obtendríamos un M.A.S tal que
Y= A sin (ωt + ψ)
Si tomamos una velocidad levógira, es decir que gira hacia la izquierda, contraria a la
agujas del reloj, el M.A.S ocasionado será el de una partícula que, partiendo desde el
origen, se dirige hacia la izquierda desde ​X=A​, pasando por 0, para ωt =90º/(π/2), en que
cos (ωt)=0, y llegando a X
​ =-A​, cuando ωt=180º/ (π) y cos (ωt)=-1.
Vemos pues que la proyección sobre el eje x de la posición de la partícula que gira
alrededor de un punto nos genera un movimiento oscilatorio con valores máximo entre
– A y + A​. Se trata de un movimiento continuo de vaivén.
Conocida la posición de X, en cada momento, podemos a continuación buscar su
velocidad y aceleración, dado que son factores que también dependen del tiempo.
En matemáticas nos enseñan que la manera de evaluar la variación de una función se
hace por medio de una operación llamada derivación. Sabiendo que la velocidad es la
variación del espacio recorrido en determinado tiempo obtendremos, derivando la
expresión de Ẋ = dX
dt , por tanto la expresión de la velocidad de la partícula en un M.A.S
es:
Ẋ = - ωA sin (ωt + ψ)
No es tan importante entender cómo hemos llegado a esta expresión, sino ver cuál es
su significado físico en el caso que nos ocupa. Una de las propiedades de las derivadas
es que el valor hallado se encuentra siempre en la perpendicular, esto es a 90º, respecto
de la función inicial. Por tanto, el nuevo vector hallado, ,forma 90º con X. Fijémonos,
pues que antes de proyectar el valor de A en el eje X, la posición del punto material que
gira, está orientado, posicionado, según el radio de la circunferencia. Por tanto, la
velocidad lineal, tendrá una dirección perpendicular a la posición de A, en cada
momento. Por otro lado si nos fijamos, en el M.A.S, nos interesa su proyección en el eje
X; por tanto Ẋ , el vector velocidad, una vez proyectado tiene de valor el anteriormente
hallado, pero, y muy importante, signo negativo, lo que quiere decir que va en sentido
contrario a X.
Retengamos pues esta particularidad, la velocidad del M.A.S, es contraria al espacio
recorrido, o dicho de otra manera cuando X aumenta, Ẋ disminuye, y viceversa. Como
que X depende del valor del coseno [cos (ωt + ψ)], mientras que la velocidad depende
del valor del seno [sen (ωt +ψ)].Por tanto cuando un valor es máximo, el otro es nulo.
Del mismo modo podemos hallar la aceleración del punto. Por tratarse de un
movimiento circular, sabemos por los tratados de física elemental que, aparecerá una
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componente de la aceleración, según la dirección del radio, o vector de posición de la
partícula giratoria. Esta aceleración, llamada aceleración normal, tendrá como valor,
nuevamente, la derivada del vector
dẊ
dt
= Ẍ , y toma como valor:
Ẍ = - ω​2​A cos (ωt +ψ)
Nuevamente, por tratarse de una derivación, este vector tendrá como dirección la
perpendicular de la velocidad, y también, como la velocidad, por tener signo negativo (-),
tendrá dirección contraria a la posición X.
EL M.A.S. Cinemática de las vibraciones
De acuerdo con lo visto en el apartado anterior pues el movimiento M.A.S, es el que
tiene como ecuaciones las siguientes que lo rigen:
·​
​Desplazamiento
X= A cos (ωt + ψ)
·​
​Velocidad
Ẋ = - ω A sin (ωt + ψ)
·​
​Aceleración
Ẍ = - ω​2​A cos (ωt +ψ)
Siendo:
A
El radio o Amplitud del movimiento
Ψ
fase o ángulo de fase inicial
ω
Velocidad o Frecuencia angular
Recordemos que los parámetros
que definen el M.A.S, son la proyección en el
eje X horizontal o diámetro del movimiento circular asociado.
Es frecuente, por comodidad representar gráficamente estos tres valores a partir de su
esquema vectorial, pudiendo visualizar, así las direcciones y sentidos de dichos valores.
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Figura 1.5 Componentes vectoriales del M.A.S.
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Diversas expresiones matemáticas equivalentes
Un vector, también se puede representar a partir de un nº complejo asociado, como es
costumbre desde la época de Gauss, en donde el eje horizontal (X), representa a los
números reales y el vertical (Y) los imaginarios (j, 2j,…) siendo j = √− 1 El plano así
​
representado se conoce como plano complejo o también R​2 =
R X R.
Por tanto otra forma de expresar un vector en forma compleja, es como la suma
vectorial de dos vectores perpendiculares, siendo su parte real el vector horizontal, y su
parte imaginaria la vertical
→
X compl = (X cos φ) + j (X sen φ)
Según esta interpretación, y sustituyendo el valor de posición del ángulo φ por el valor
variable (ωt + ψ), tendremos que:
→
X compl = (X cos (ωt + ψ)) + j (X sen (ωt + ψ))​, obteniendo el vector complejo giratorio, del
cual observamos que su componente real, esto es la proyección en X, del primer
término, es el desplazamiento de un M.A.S.
Por tanto:
→
​ X =Real X compl
Cualquier operación lineal con operaciones armónicas puede sustituirse por la misma
operación realizada sobre los vectores complejos asociados, tomando al final la parte
REAL del resultado. Como veremos más adelante, ésta sustitución resulta interesante en
sistemas con amortiguamiento (viscoso), debido a la gran sencillez con que pueden
expresarse las derivadas del vector complejo.
Notación exponencial de Euler.
De acuerdo con la notación exponencial de Euler, siguiendo el desarrollo en serie de Mc
Laurin, la ​IDENTIDAD DE EULER​ afirma que:
Esta notación tiene la propiedad de ser algo más breve y concisa, aunque nos haga
perder, en parte, su inmediato sentido físico.
→
X complejo = Xej(ωt+ψ)
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Expresión binomial en función de los datos iniciales.
Los parámetros A, ψ, que definen un M.A.S, pueden sustituirse por otros dos con la
siguiente transformación matemática:
De modo que:
X = √A2 + B 2
φ =− arctg
B
A
Figura 1.6 Expresión compleja del M.A.S.
Vemos pues, a partir de esta expresión, que podemos pasar a la expresión binomial de
la forma siguiente:
X= A cos (ωt) + B sen (ωt)
Que también expresarse como la siguiente en función de la función coseno
X= A cos (ωt) + B cos (ωt-𝛑/2)
Esta expresión, cualquiera que sea la fase inicial ψ del movimiento, siempre puede
superponerse como la suma de un movimiento en fase ψ A = 0 y otro de fase ψ B =− π2 .
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Vemos pues que estos vectores A y B son ortogonales, y a partir de ellos podemos
˙
reescribir a partir de la posición inicial X​
​ 0​, y la velocidad inicial Xo, correspondientes al
instante (t=0) siendo:
X = Acos ωt + B sen ωt
Ẋ =− ωAsen ωt + ωB cos ωt
Para el instante inicial t=0
X0 = A
X˙0 = ωB
Lo cual nos permite escribir el valor de ​X = X 0 cos ωt +
X˙0
ω
senωt , en función de su posición
y velocidad iniciales.
Vibraciones
libres
amortiguamiento
en
un
sistema
lineal
sin
El sistema mecánico más elemental que representa un sistema lineal no amortiguado
con un grado de libertad (1GDL) es el siguiente, correspondiente al sistema
masa-resorte:
F=-Kx
Analicemos en primer lugar todos y cada uno de los elementos de la definición anterior.
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Figura 1.7 Sistema lineal sin amortiguamiento
Es libre porque no tiene coartado el único movimiento posible, que es el de moverse de
derecha a izquierda en función de la capacidad de elongación del muelle.
Es lineal porque la ecuación del muelle responde a la ley de Hooke, de proporcionalidad
entre la fuerza ejercida sobre la masa, y el desplazamiento de la masa. Es por tanto una
fuerza de tipo elástico.
No está amortiguada, porque se supone que una vez actúa la fuerza exterior, no actúan
más fuerzas sobre el sistema. Esta idealización se hace en aras a que no intervengan
otras fuerzas sobre el sistema. Se trata pues de un caso ideal que no se da nunca en la
realidad como veremos más adelante, pero que nos permite, con gran sencillez
introducir el tema.
Si suponemos que el muelle carece de masa y que su elongación es proporcional a la
fuerza aplicada, tendremos que:
F = - K x; que corresponde a la ley de Hooke.
Tomando como posición de equilibrio estático - cuando el muelle está distendido - el
desplazamiento de la masa hacia la derecha, X positivo, aparecerá una fuerza de valor –
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K x, que tiende a devolver la masa a la posición de equilibrio. K es la constante del
muelle o rigidez del muelle. En ausencia de otras fuerzas, el movimiento de la masa M
estará determinado por esta fuerza que le imprimirá una aceleración hacia el origen en
sentido contrario al desplazamiento:
F=ma
Poniendo la aceleración como ​a = Ẍ , en función del espacio recorrido
Tendremos que:
mx¨ = − K x
y de aquí:
mx + K¨x = 0
Esta ecuación cumple con el principio de D’Alembert que, en mecánica es muy utilizado
y que ofrece una simplificación importante: siendo como son sistemas dinámicos en
movimiento, si asimilamos las fuerzas que producen el movimiento como fuerzas de
inercia, vemos que una ecuación dinámica puede reducirse al caso de una ecuación
estática, siempre más sencilla, en que la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el
sistema han de ser nulas si está en equilibrio.
Visto desde otro punto de vista, cuando una masa estática se encuentra en un sistema
de referencia que, en determinado instante, cambia su estado y pasa a estar en
movimiento, necesariamente por pasar de un estado inmóvil a un estado en
movimiento, aparecerá una aceleración, fruto de que se le habrá aplicado una fuerza
exterior. La palabra INERCIA, esto es la capacidad que tiene un cuerpo a oponerse al
movimiento, tenderá a dejar el cuerpo tal como estaba, es decir en reposo. Pues bien
esta tendencia natural se traduce en una fuerza que se opondrá al movimiento. Estas
fuerzas se conocen por tanto como fuerzas de inercia, o también como fuerzas
“ficticias”, dado que no son fuerzas que se apliquen directamente sobre los cuerpos,
sino que aparecen cuando estos cambian de estado. De ahí su dificultad para
considerarlas dentro de los sistemas dinámicos. Pero siendo que la suma total de las
fuerzas que actúan sobre el cuerpo, tanto las reales como las ficticias, en virtud de las
leyes de Newton, han de sumar cero, vemos que en tal caso nos hallaríamos con un
problema estático, de acuerdo con D’Alembert .
Por ejemplo recordemos el caso del pasajero que viaja en un autobús y se encuentra
parado. El viajero se moverá conjuntamente con el autobús, y por precaución irá asido a
la barra. Pero mientras el autobús esté parado, no tendrá que hacer ninguna fuerza.
Cuando arranque el autobús hacia adelante, aparecerá sobre el sistema
autobús-pasajero una aceleración, debida a la fuerza del motor que lo impulsa hacia
adelante. El pasajero que viaja en el autobús, en virtud la inercia que ofrece su masa,
tenderá a oponerse al movimiento y a quedarse inmóvil.
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TEMA 02​ | ​El Movimiento armónico simple
Para que este principio sea cierto, aparecerá una fuerza de inercia-ficticia en sentido
contrario al movimiento, que tirará hacia atrás al pasajero que se verá obligado, para no
caerse, a asirse con mayor fuerza a la barra. Esta fuerza que deberá hacer será
precisamente debida a la fuerza de inercia, que será por tanto tan real (aunque la
llamen ficticia) como las otras.
La ecuación anterior, es la ecuación del movimiento para el sistema considerado. Se
trata, de una ecuación diferencial lineal homogénea de coeficientes constantes que se
resuelve de acuerdo con los principios matemáticos clásicos. Pues bien, puede
comprobarse que esta ecuación cumple con las condiciones de los M.A.S, vistos
anteriormente.
X= A cos (ωt) + B sen (ωt)
Siendo el valor de ω =
sistema
√
K
m
, a este valor se le conoce como ​FRECUENCIA PROPIA del
Este concepto es muy importante dado que nos informa que la manera que tiene el
M.A.S equivalente de moverse, con una ω determinada, sólo depende de sus
condiciones mecánicas:
·​
​de
la RIGIDEZ del muelle.
·​
​de
la MASA, M movilizada.
Por tanto cada cuerpo, en función de su masa y de su rigidez, que solo depende de su
composición material desde un punto de vista mecánico, tendrá una frecuencia propia
de vibración.
En cuanto a los coeficientes A y B que aparecen en la ecuación, tendremos que según
las condiciones iniciales del sistema:
X0 = A
X˙0 = ωB y por tanto B =
X˙0
ω
De aquí se deduce una propiedad importante de este tipo de movimiento, la amplitud
X = √A2 + B 2 , solo depende de las condiciones iniciales, y puede ser tan grande como lo
sean los límites del alargamiento o acortamiento del resorte.
Vemos, como propiedad notable del sistema que, la FRECUENCIA PROPIA ω​0 con la que
puede vibrar libremente el sistema, es independiente de la amplitud ​X del movimiento.
Una amplitud grande engendra fuerzas mayores en el resorte (F = -K x), de modo que,
en definitiva, se tarda lo mismo en realizar una oscilación completa.
Esta propiedad, el llamado ​isocronismo​, fue explotada por Galileo, para utilizar el
movimiento pendular, de una lámpara de la iglesia de Pisa, como cronómetro. Por lo
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TEMA 02​ | ​El Movimiento armónico simple
que, si estudiamos el comportamiento del péndulo, veremos que sigue un movimiento
armónico simple M.A.S.
Según el Método de Newton
Consideremos un péndulo simple, como el representado en la Figura.
Figura 1.8 El péndulo como M.A.S.
Si desplazamos la partícula desde la posición de equilibrio hasta que el hilo forme un
cierto ángulo Φ con la vertical, y luego la abandonamos partiendo del reposo, el
péndulo oscilará en un plano vertical bajo la acción de la gravedad. Las oscilaciones
tendrán lugar entre las posiciones extremas Φ y -Φ, simétricas respecto a la vertical, a lo
largo de un arco de circunferencia cuyo radio es la longitud, l , del hilo. El movimiento es,
con toda seguridad, periódico, pero aún no podemos asegurar que sea armónico.
Para determinar la naturaleza de las oscilaciones deberemos escribir la ecuación del
movimiento de la partícula.
La partícula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la acción de dos fuerzas: su
propio peso (​mg​) (en rojo) y la tensión del hilo (​N)​ (también en rojo sobre la cuerda),
siendo la fuerza motriz, es decir la que provoca el movimiento, la componente
tangencial del peso (en azul y tangencial al arco descrito). Aplicando la 2ª ley de Newton
obtenemos que la fuerza motriz:
F t =− mg·sen(ωt) = m·at
Siendo ​a​t​, la aceleración tangencial y donde hemos incluido el signo negativo para
manifestar que la fuerza tangencial tiene siempre sentido opuesto al desplazamiento
(fuerza recuperadora) (recordemos que ésta era una de las propiedades de los M.A.S)
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TEMA 02​ | ​El Movimiento armónico simple
Al tratarse de un movimiento circular ​http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_circular​,
podemos poner que la aceleración tangencial valdr​á:
¨
at = l Φ
Siendo Φ̈ la aceleración angular, de modo que la Ecuación. Diferencial (ED) del
movimiento es:
¨
− mgsin Φ = m l Φ
¨ =0
− mgsin Φ − m l Φ
Esta ED. ​No ​corresponde a un M.A.S debido a la presencia de la función ​seno ( mgsin Φ) ,
de modo que podemos asegurar que el movimiento del péndulo simple no es armónico
simple, en general, pero, para pequeñas oscilaciones:
Obsérvese que el periodo del péndulo simple es independiente de la masa de la
partícula suspendida y, también, de la amplitud de las oscilaciones, siempre que éstas
sean suficientemente pequeñas como para que la aproximación sen Φ ≈ Φ sea
aceptable. Esta última propiedad, conocida como ​isocronismo de las pequeñas
oscilaciones, fue descubierta por ​Galileo ​(1564-1642), hacia el año 1581, en la catedral
de Pisa:
Figura 1.9 El péndulo como M.A.S.
Si consideramos tan sólo oscilaciones de pequeña amplitud, de modo que el ángulo
sea siempre suficientemente pequeño, entonces el valor del sen será muy próximo al
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TEMA 02​ | ​El Movimiento armónico simple
valor de expresado en radianes (sen ϕ ≈ ϕ , para suficientemente pequeño), como
podemos apreciar en la Tabla I, y la ED del movimiento se reduce a
¨ + gΦ = 0
lΦ
Que es idéntica a la ED correspondiente al M.A.S, solo que sustituyendo X por ϕ , y por
tanto refiriéndose ahora al movimiento angular en lugar de al movimiento rectilíneo,
cuya solución es:
Φ = φ sin (ωt + Φ)
Siendo ω la frecuencia angular de las oscilaciones, a partir de la cual determinamos el
periodo de las mismas, en función de l y g:
g
l
√
T = 2π·
√
ω=
l
g
Obsérvese que el periodo del péndulo simple es independiente de la masa de la
partícula suspendida y, también, de la amplitud de las oscilaciones, siempre que éstas
sean suficientemente pequeñas como para que la aproximación sen ϕ ≈ ϕ sea
aceptable.
Las magnitudes ϕ y φ son dos constantes "arbitrarias" (determinadas por las
condiciones iniciales) correspondientes a la amplitud angular y a la fase inicial del
movimiento. Ambas tienen dimensiones de ángulo plano​.
Figura 1.10 Validez del M.A.S. para ángulos pequeños
Vemos pues que la aproximación sen ϕ ≈ ϕ , es aceptable para valores pequeños
menores a 30%, con una diferencia inferior al 5%.
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TEMA 02​ | ​El Movimiento armónico simple
"Un día en que asistía, algo distraído sin duda, a una ceremonia religiosa, fijó su mirada
en una lámpara de bronce, obra maestra de Benvenuto Cellini, que, suspendida de una
larga cuerda, oscilaba con lentitud ante el altar. Quizás, con los ojos fijos en aquel
metrónomo improvisado, unió su voz a la de los celebrantes; la lámpara se detuvo poco
a poco y, atento Galileo a sus últimos movimientos, observó que marcaba siempre el
mismo compás "​J. Bertrand: Galileo y sus trabajos”
Esta última circunstancia fue la que más atrajo la atención de Galileo; a pesar de que la
amplitud de las oscilaciones se iba reduciendo, permanecía sensiblemente constante la
duración de las mismas. Galileo repitió muchas veces el experimento y acabó por
descubrir la relación existente entre dicha duración y la longitud de la cuerda que
soportaba al peso oscilante. Más adelante, hacia el año 1673 Christian Huygens,
encontró la expresión del periodo correspondiente a las oscilaciones de pequeña
amplitud, basando su demostración en las leyes de caída de los graves, según las había
enunciado Galileo.
Puesto que las pequeñas oscilaciones del péndulo son isócronas, resulta útil para la
medida del tiempo (recordemos los antiguos relojes de péndulo)
Pues bien, si invertimos el péndulo, tendremos uno de los modelos habituales para
representar el movimiento de un edificio sencillo, formado por un pórtico, ante un
movimiento sísmico.
Figura 1.11 Esquemas equivalentes estructurales
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TEMA 02​ | ​El Movimiento armónico simple
Fórmula de GEIGER
Una forma interesante de relacionar las variables que inciden en un M.A.S debido a un
campo gravitatorio, como es el caso de las estructuras, es dando la Frecuencia Propia
del modelo en función de:
Siendo que el peso y la masa están relacionados por la gravedad podemos poner:
P = m·g
siendo g= 9,8 m/s​2
Hemos obtenido, anteriormente, el valor de la frecuencia propia como:
ω=
√
K
m
Y sustituyendo la masa como m=P/g tendremos
ω=
√
K
P
G
Recordando que la fórmula de Hooke es F = - K x, vemos que la fuerza que provoca el
movimiento es el peso la relación F/K = x, desplazamiento estático. Por tanto según la
fórmula de Geiger, la frecuencia propia puede expresarse:
√
ω = √g ·
T =
1
X
2π
· x
√g √
Que en unidades S.I (sistema internacional) vale T=2,00· √x , con X en m, y P en Newtons
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TEMA 02​ | ​El Movimiento armónico simple
Vibraciones libres
amortiguamiento.
en
un
sistema
lineal
con
Figura 1.12 Sistema lineal con amortiguamiento
En el ejemplo anterior hemos estudiado un tipo de movimiento, producido por un
muelle, o resorte, en que las fuerzas que aparecen son proporcionales únicamente a los
desplazamientos. Por tratarse de una idealización, sin tener en cuenta aspectos
energéticos, que veremos más adelante, este sistema, una vez ha entrado en vibración,
de no actuar ninguna otra fuerza, continuaría vibrando de manera indefinida. Sabemos,
no obstante que, en la realidad, esto no ocurre, y que por tanto deberemos evaluar
otras fuerzas, que producirán, con el paso del tiempo, que el sistema llegue a pararse.
Esto será debido a las fuerzas que, vamos a llamar, ​AMORTIGUADORAS.
Figura 1.13 Modelo estructural con amortiguamiento
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TEMA 02​ | ​El Movimiento armónico simple
Tal como comprobó Galileo, la lámpara en movimiento pendular se paraba poco a poco.
Así como las fuerzas lineales, como en el caso del muelle, se oponían al movimiento, es
decir actuaban en sentido contrario al desplazamiento, independientemente de cómo
se moviera el sistema, las fuerzas ​AMORTIGUADORAS​, actúan siempre en sentido
contrario a su ​VELOCIDAD​. Visto desde el punto de vista físico del trabajo que realizan
las fuerzas amortiguadoras durante el movimiento, éste siempre es negativo, de modo
que extraen energía del sistema. Si el movimiento es una vibración, como las que
estamos estudiando, la amplitud del movimiento tiende a disminuir, y es por ello que
reciben el nombre de AMORTIGUADORAS.
Figura 1.14 Sistema amortiguado con velocidad angular constante
Sin pretender ser exhaustivos, las fuerzas AMORTIGUADORAS, según su dependencia de
la velocidad, se pueden agrupar en cuatro grandes grupos, que, como hemos dicho, no
agotan en absoluto todas las posibilidades:
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TEMA 02​ | ​El Movimiento armónico simple
Resistencia de rozamiento seco de Coulomb.
De acuerdo con la teoría del rozamiento seco, o de Coulomb, es la que se opone al
deslizamiento y la rodadura de dos superficies sólidas. En primera aproximación,
simplificadora, es independiente de la velocidad y proporcional a la carga normal a las
superficies según la expresión:
F =− μ·N
Aunque, en segunda aproximación, vemos que suele disminuir algo con la velocidad. La
expresión habitual en el rozamiento entre dos cuerpos es la fricción, principio que nos
permite limitar los movimientos en las estructuras mediantes dicho mecanismo interno.
Figura 1.15 Amortiguadores de fricción en la unión de la Cruz de San Andrés
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Histéresis de deformación.
La capacidad de deformación de los cuerpos elásticos, según la ley de Hooke, se hace de
acuerdo con la expresión de la ley, ya vista, del resorte. Al estirarse y encogerse un
cuerpo elástico (resorte), el movimiento relativo de sus moléculas tiende a
desordenarse, convirtiéndose en vibraciones independientes de cada molécula, en
calor. Esto equivale a un rozamiento interno y se traduce para el conjunto del cuerpo en
que la relación ​FUERZA-DEFORMACIÓN ​no es exactamente igual cuando se estira que
cuando se encoge. Este desigual comportamiento, entre la fuerza que actúa, y su
deformación efectiva se conoce como ciclo de histéresis.
Figura 1.16 Histéresis
El área de este ciclo, que trata de un producto entre fuerza y un desplazamiento,
representa el trabajo físico W, disipado en un ciclo que se transforma en calor, repartido
en toda la masa del cuerpo. En la zona elástica, este trabajo W, es casi proporcional a la
amplitud de la deformación. En cambio, tanto el trabajo como la fuerza correspondiente
son independientes de la velocidad con que se recorre el ciclo, y por tanto como el
tiempo con que recorre un ciclo, se trata de su periodo T, la frecuencia ser.
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TEMA 02​ | ​El Movimiento armónico simple
Resistencia viscosa
Esta resistencia es la que encuentra un sólido que avanza, con pequeña velocidad, en el
seno de un fluido. Es importante señalar que, con pequeña velocidad, porque para
valores pequeños del nº de Reynolds, no existen turbulencias, y las capas de fluido
resbalan de manera uniforme unas encima de otras. Es el caso de dos superficies
sólidas engrasadas, o también del movimiento, a velocidad baja, dentro del aire, de un
cuerpo de forma aerodinámica.
Un ejemplo ilustrativo, lo tenemos en los ciclistas de competición que circulan en la
modalidad de contra el reloj, mientras la velocidad es baja, en ausencia de turbulencias.
Figura 1.17 Estudio del desprendimiento de la capa límite y las turbulencias
ocasionadas
Pues bien, en estos casos, podemos afirmar que la resistencia viscosa es proporcional a
la velocidad y de sentido contrario a ella.
F = − c.v→
Siendo c
​ ​ el coeficiente de amortiguamiento.
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TEMA 02​ | ​El Movimiento armónico simple
Si ponemos la velocidad como variación del espacio recorrido x, las fuerzas viscosas se
pueden expresar como:
F = − cx˙
Resistencia turbulenta
En el caso anterior, cuando la velocidad aumenta, la resistencia viscosa se transforma
en t​ urbulenta,​ siendo la resistencia proporcional al cuadrado de la velocidad.
→
F = − c.v 2
Una placa plana de superficie S, avanzando de frente encuentra una resistencia:
F = − h S v2
Siendo, h, aproximadamente:
H=1
N
m2
H = 1.000
(m/s)​2​ en el aire.
N
m2
(m/s)​2 ​ en el agua.
Figura 1.18 Influencia de la turbulencia en el avance dentro de un fluido
En el caso del ​amortiguador hidráulico​, mecanismo habitual en los coches, o en
determinadas máquinas, un émbolo, generalmente cilíndrico, se mueve en el interior de
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TEMA 02​ | ​El Movimiento armónico simple
un cilindro lleno de aceite, obligando a éste, a pasar de un extremo a otro, por un
camino estrecho. La resistencia que ofrece, se trata de un caso intermedio entre la
viscosa y la turbulenta. Generalmente, en la mecánica técnica, esto es aplicada, los casos
reales son siempre una mezcla de las anteriores resistencias, sin embargo, por
simplificación, suele suponerse un amortiguamiento de tipo viscoso, simplemente
porque se presta a un análisis matemático más simple, y puede aproximarse, también a
una analogía eléctrica sencilla.
Figura 1.19 Estudio del movimiento eólico sobre un edificio
Figura 1.20 Efecto de freno, subpresión, de las turbulencias sobre un bólido de
carreras
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TEMA 02​ | ​El Movimiento armónico simple
Vibración libre con amortiguamiento.
Figura 1.21 Vibración libre con amortiguamiento
En el sistema M
​ asa-Resorte-Amortiguador de la figura, si no existe fuerza exterior
excitadora, se trata de un movimiento libre, las fuerzas que actúan sobre el sistema
serán:
Fuerza de Inercia
F i = − m x¨
Fuerza de resorte
F
Fuerza viscosa
e
= − Kx
F a = − cx˙
La ecuación de equilibrio de D’Alembert puede escribirse como:
m x¨+ cx˙ + K x = 0
Este tipo de ecuaciones, diferencial homogénea de segundo orden:
m·λ2 + c·λ + K = 0
Cuyas raíces son la solución del tipo:
λ=
−c±√c2 −4mk
2m
λ1 =
−c+√c2 −4mk
2m
λ2 =
−c−√c2 −4mk
2m
Es decir la solución doble será
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TEMA 02​ | ​El Movimiento armónico simple
Esta es la ​condición diferencial del ​movimiento libre​, cuya solución, de acuerdo con las
técnicas matemáticas habituales, es doble según vemos
x = A·eλ1 ·t + B ·e−λ2 ·t
Donde los valores de A y B son constantes que dependen de las condiciones iniciales
Existen tres casos de la solución de la ecuación anterior según el valor del discriminante
bajo la raíz de las soluciones halladas, que analizamos a continuación.
Amortiguamiento crítico
Cuando el radical de la ecuación es igual a cero, la cantidad de amortiguamiento ​C,​ se
denomina ​amortiguamiento crítico​, y los denominamos como C​c​, tomando la forma
matemática:
c2 − 4mk = 0
Por tanto
cc = 2·√mk
Conviene recordar que, en el movimiento libre de un sistema simplemente lineal,
definimos la frecuencia propia como:
ω=
√
K
M
cc = 2·√mk = 2·m·ω
Definimos a continuación el ​coeficiente de amortiguamiento crítico ζ, al cociente entre c/c​c​,
que nos marca la relación entre el valor del amortiguamiento del sistema y su
amortiguamiento crítico, A partir de ésta relación podemos reescribir el valor del
amortiguamiento C, C=2ζm⍵ .
A partir de esto podemos reemplazarlo en las soluciones generales obtenidas:
[
= [− ζ + √ζ
]
− 1] ·ω
λ1 = − ζ + √ζ2 − 1 ·ω
λ2
2
Con estas simplificaciones deducidas a partir del coeficiente de amortiguamiento crítico
ζ, podemos estudiar, por su interés en los tres casos siguientes, ζ=1, ζ>1 y ζ<1.
Caso de amortiguamiento crítico ζ = 1.
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TEMA 02​ | ​El Movimiento armónico simple
En este caso λ1 = λ2 =− ω
Debido a que la raíz es doble y por tanto tenemos una solución doble, si tomamos la
ecuación general y sustituimos por los valores hallados tendremos:
x = A·eλ1 ·t + B ·e−λ2 ·t
x = A·e−ω·t + B ·e−ω·t
Reemplazando las condiciones iniciales se obtiene:
x(t) = [x0 + t· (v 0 + x0 ·ω)] ·e−ω·t
Donde los valores de x​0​ y v​0​ , son los desplazamientos iniciales respectivamente.
Este es un movimiento aperiódico, dado que no hay oscilación. Por tanto una vez
excitado el sistema, regresa de la manera más rápida a su condición de reposo.
Figura 1.22 Respuesta del sistema con amortiguamiento crítico
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TEMA 02​ | ​El Movimiento armónico simple
Figura 1.23 Amortiguamiento crítico con distintas velocidades iniciales
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Caso de amortiguamiento mayor que el crítico ζ >1.
En este caso nos encontramos con dos soluciones posibles de , que sustituidas en la
ecuación general tendremos, siendo:
[
= [− ζ + √ζ
]
− 1] ·ω
λ1 = − ζ + √ζ2 − 1 ·ω
λ2
2
x = A·eλ1 ·t + B ·e−λ2 ·t
x = e−ζωt
[A·e √
i· 1−ζ2 ωt
+ B ·e−i·√1−ζ
2
ωt
]
A y B son constantes arbitrarias que dependen de las condiciones iniciales. En este caso
el movimiento también es aperiódico como el caso del amortiguamiento crítico, con la
diferencia que el movimiento decrece de manera más lenta que cuando se tiene
amortiguamiento crítico.
Figura 1.24 Amortiguamiento supercrítico
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Caso de amortiguamiento menor que el crítico ζ < 1
Este caso, es decir cuando el amortiguamiento es menor que el crítico, es el que
presenta mayor interés cuando se presenta la vibración. La gran mayoría de casos
reales y aplicaciones prácticas se rigen con este modelo dado que, en la práctica, los
sistemas estructurales, presentan valores de amortiguamientos bajos. Podemos ver que
la parte bajo el radical, correspondiente al discriminantes, es negativa .En este caso en
que ζ < 1, las soluciones son imaginarias
En este caso nos encontramos con dos soluciones posibles de λ1 y λ2 , que sustituidas
en la ecuación general tendremos, siendo:
[
= [− ζ + √ζ
]
− 1] ·ω
λ1 = − ζ + √ζ2 − 1 ·ω
λ2
2
x = A·eλ1 ·t + B ·e−λ2 ·t
[A·e √
i· 1−ζ2 ωt
x = e−ζωt
+ B ·e−i·√1−ζ
2
ωt
]
Aplicando la transformación de Euler, ya vista:
eiy = cos(y) + i·sen(y)
e−iy = cos(y) − i·sen(y)
Obtendremos una forma de la ecuación real, no imaginaria, que nos permite el cálculo
del desplazamiento x(t), de la forma:
x = e−ζωt
[
√1 − ζ·ω ·ωt
2
a
C·cos
√1 − ζ· ωt ]
2
+ D·sen
Al resolver las constantes C y D, para las condiciones iniciales , y la velocidad inicial ,
podemos escribirlo de la forma:
x(t) = e−ζωt
[x ·cos(ω t) + (
0
a
v 0 +ζ·x0 ·ω
ωa
) ·sen(ω t) ]
a
El valor de ω a corresponde al de la ​frecuencia amortiguada, y
​ vendrá definida por:
ω a = √1 − ζ2 ω
Vemos que el valor de la raíz que multiplica a la frecuencia angular ω , sin amortiguar,
hará que la frecuencia amortiguada se vaya reduciendo a medida que el movimiento se
amortigua. Por tanto el periodo del movimiento amortiguado T​a​ valdrá
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TEMA 02​ | ​El Movimiento armónico simple
Ta =
2π
ω
=
2π
√1−ζ2 ω
Esto indica que en el movimiento amortiguado, la amplitud del movimiento disminuye
de manera exponencial. La porción oscilatoria tiene un periodo un poco mayor, es decir
tarda más tiempo en realizar un ciclo entero, que el que tendría un sistema no
amortiguado con la misma rigidez y masa.
Figura 1.25 M.A.S. con amortiguamiento
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TEMA 02​ | ​El Movimiento armónico simple
Decremento logarítmico:
Vemos que en los movimientos amortiguados, existe un factor que hemos llamado
coeficiente de amortiguamiento crítico, cuyo conocimiento nos permite predecir el
movimiento resultante. Este coeficiente crítico ζ , si se conocen los diferentes valores de
pico en oscilaciones sucesivas, Xn,Xn+1,Xn+2…, viene regido por el periodo Ta de
amortiguamiento. De modo que si comparamos dos valores de pico sucesivos,
podemos ver que a medida que se amortigua el movimiento podemos calcular:
xi
xi+1
= e−ζ·ω·(ti −ti+1 ) = e−ζ·ω·T a
Pues bien el logaritmo natural de esta relación se conoce como ​decremento logarítmico,
ap
​ artir del cual es posible calcular el valor de ζ
x
δ = ln( x i ) = ζ·ω·T a =
i+1
2·π·ζ
√1−ζ2
Y de aquí podemos despejar:
El cálculo del decremento logarítmico puede verse en el siguiente gráfico.
Figura 1.26 Concepto de decremento logarítmico
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TEMA 02​ | ​El Movimiento armónico simple
El valor del decremento logarítmico para valores pequeños de amortiguamientos puede
aproximarse a:
x
δ = n1 [ x i ]
i+n
Para saber más…
LAS FUNCIONES ARMÓNICAS:
Pocos temas como éste han resultado tan prolíficos en la historia de las matemáticas,
y sobre todo en la de la física-matemática, como gusta decir a los técnicos, como el de
las funciones armónicas, de claras connotaciones musicales. ¿Y qué tendrán que ver
con la música los movimientos sísmicos?
Los matemáticos del siglo XVIII, con Euler, Bernouilli, Fourier y D’Alembert entre otros,
dieron un gran impulso a la Física-Matemática, una rama de la ciencia que fue
definitiva durante la revolución Industrial y que permitió un gran salto cualitativo en la
historia de la humanidad. Se resolvieron muchos problemas con claras aplicaciones
prácticas, que nacieron de la resolución, entre otras, de las llamadas ecuaciones
diferenciales en derivadas parciales de segundo orden. Entre ellas los matemáticos las
han agrupado en dos grandes familias:
Las que describen estados variables con el tiempo. En física, las más interesantes, por
llenar casi toda la física, son los relativos a fenómenos de carácter ondulatorio, de
carácter propagatorio. Se comprende que en ello se presentan frentes de onda, es
decir curvas o superficies características en las que la solución deja de ser regular, por
presentar discontinuidades: por ejemplo en las ecuaciones de las cuerdas, placas y
medios vibrantes, propagación del calor, difusión…
Otros estados describen estructuras o estados físicos estacionarios. Por ejemplo
todos aquellos que se refieren a estados potenciales, como los campos
electromagnéticos, velocidad, gravitatorio…
Para solucionar las ecuaciones que los rigen, los matemáticos han de utilizar
estrategias para poder buscar certezas a las cuales referir sus variables.
Estas también, como las funciones se dividen en dos:
Las condiciones iniciales, que nos permiten conocer los valores de salida cuando el
tiempo t=0.
Las condiciones de contorno, en donde se dan los valores de la función de una
derivada o superficie límite…
Finalmente, hemos de advertir que existen numerosos problemas con condiciones
mixtas: iniciales y de contorno
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TEMA 02​ | ​El Movimiento armónico simple
LA ECUACIÓN DE LA CUERDA VIBRANTE:
Las cuerdas de los instrumentos musicales, como el violín, la guitarra, el piano y
tantos otros, representan el estudio de una cuerda sujeta en sus extremos que es
capaz de vibrar. Se trata pues de averiguar la ecuación que da el movimiento de cada
uno de sus puntos, o lo que es lo mismo, la configuración de la cuerda en función del
tiempo.
Fijémonos que cuando se pulsa la cuerda, pasa de estar de una posición de reposo y
de equilibrio, a otra. A partir de aquí entran en juego los matemáticos. D’Alembert, da
una solución general que por serlo, no nos da sentido físico, y aún menos, musical.
Pero fue Bernouilli, quien nos da una solución particular en la forma de combinación
lineal arbitraria en forma de suma o serie:
Siendo Cn la amplitud del movimiento, y las fases de la serie trigonométrica. En el
método de Bernouilli, se hallan prácticamente contenidas todas las leyes de la
acústica elemental. Esta solución nos dice que la vibración de una cuerda se compone
en general de una serie de vibraciones superpuestas:
Es el tono fundamental
Es el primer armónico de frecuencia doble
Es el segundo armónico de frecuencia triple
La significación musical de estos armónicos, correspondientes a tres frecuencias
dobles, triples, cuádruples,… de la del tono fundamental es la siguiente: El primer
armónico da la nota fundamental; el segundo armónico es la quinta de la octava, el
tercero da la segunda de la octava, la cuarta la tercera de la octava, etc… de modo que
si la nota musical es el Do2, las resonancias armónicas dan las siguientes notas
musicales:
De ello se desprende la relación de frecuencias que caracterizan los intervalos
musicales puros:
Octava 2/1
Quinta 3/2
Cuarta 4/3
Tercera 5/4
Tercera menor 6/5
Segunda 7/6
Es curioso observar finalmente que la solución de Daniel Bernouilli, pese a su
significado esencialmente físico, tuvo una enorme trascendencia en el campo de la
matemática pura, pues fue la que sugirió la posibilidad de desarrollar en serie
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TEMA 02​ | ​El Movimiento armónico simple
trigonométrica una función arbitraria incluso representable por trozos de distintas
rectas como es por ejemplo, la configuración inicial de la cuerda simplemente pulsada
en un punto.
La representación de dos funciones algebraicamente distintas por un mismo
algoritmo funcional se tenía por imposible en tiempos de Euler (1707-1783).Por ello el
famoso problema de la cuerda vibrante dio origen a una larga polémica entre
D’Alembert, Euler, Lagrange pero fue Fourier quien, más tarde, al estudiar por método
análogo el fenómeno de la propagación del calor, dejó sentada categóricamente la
posibilidad de tales desarrollos.
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