Indutância
1 Indutores e indutância
O indutor é um dispositivo útil para produzir um campo magnético em uma determinada
região .
A indutância em um indutor é dada por
L=
N ΦB
.
i
(1)
A unidade no S.I da indutância é o Tesla-metro-quadrado por Ampère e é equivalente ao
Henry(H),
1Henry = 1H = 1T.m2 /A.
(2)
Exemplo 1: Indutância de um solenóide.
Considere um solenóide longo com uma seção transversal de área A. Qual é a indutância,
por unidade de comprimento, próximo de seu centro? Dados: l é o comprimento do solenóide.
n é o número de espiras por unidade de comprimento.
A indutância é
NΦ
i
N Φ = nlBA
L=
Usando o campo magnético do solenóide
B = µ0 in
nlµ0 inA
L=
i
L = µ0 n2 lA
Então , a indutância por unidade de comprimento é dada por
L
= µ0 n2 A
l
1
Figura 2: Fonte: Halliday, Resnick, walker; Fundamentos de Fı́sica, vol.3; 4ed; ed LTC.
Para qualquer indutor
N Φ = Li.
(3)
Pela lei de Faraday, temos
εL = -N
dΦ
.
dt
(4)
Combinando as duas equações anteriores, obtemos a expressão da fem auto-induzida
εL = −L
di
.
dt
(5)
Devido a presença do indutor aparece uma fem auto-induzida εL, que pela lei de Lenz se
opœ ao aumento da corrente, implicando numa polaridade oposta à da bateria. O resistor fica
submetido à ação de duas fem’s.
3
2
Circuitos RL
Vimos um circuito RC no qual a carga do capacitor não atinge seu valor final imediatamente mas se aproxima exponencialmente. Ocorre um fenômeno análogo no aumento ou
decréscimo de uma corrente elétrica em um circuito RL.
Com a chave S fechada em a a corrente no resistor começa a aumentar. Se o indutor não
estivesse presente a corrente atingiria rapidamente um valor estacionário ε/R.
Devido ao indutor uma fem auto-induzida εL aparece no circuito; esta fem se opõe ao
aumento da corrente. Isto significa que sua polaridade é oposta à fem da bateria. O resistor fica
sujeito à diferença entre estas duas fem’s.
Enquanto a corrente auto-induzida estiver presente a corrente i no resistor será menor que
ε/R.
Aplicando a lei das malhas
−iR − L
di
+ ε = 0,
dt
(6)
obtemos a equação de carga do circuito RL dada por
iR + L
di
= ε.
dt
4
(7)
Esta é uma equação diferencial de primeira ordem envolvendo i(t). Rearranjando os
termos podemos separar as variáveis e reescrevê-la da seguinte forma
ε
R
di
R
= dt.
−i
L
(8)
Devemos integrar ambos os membros
Z
di
=
ε
−i
R
Z
R
dt,
L
(9)
o que nos dá
− ln
ε
R
− i = t + c1 .
R
L
(10)
Cálculo de c1 . No instante inicial a corrente é nula
t=0⇒i=0
temos
c1 = − ln
ε
.
R
(11)
Retornando à equação 10 e substituindo c1
ln
ε
R
− i − ln = − t
R
R
L
ε
(12)
equivale à
ε/R − i
R
ln
=− t
ε/R
L
ε
ε
R
− i = exp − t .
R
R
L
5
(13)
(14)
E finalmente
ε
(1 − e−(R/L)t ).
R
A razão L/R é a constante de tempo indutiva,
i(t) =
L
.
R
Assim, escrevemos o aumento de corrente em termos de τL
τL =
(15)
(16)
ε
(1 − e−t/τL ).
(17)
R
De forma análoga ao circuito RC, a razão L/R tem as dimensões de tempo. Quando
τ = L/R a corrente atinge 63% de seu valor máximo, ou valor final de equilı́brio, mostrados
na fig. 6.
i=
Figura 6: Fonte: Halliday, Resnick, walker; Fundamentos de Fı́sica, vol.3; 8ed; ed LTC.
6
Se a chave S do circuito for aberta, o efeito é a retirada da bateria, ou seja, ε = 0, e
aplicando a lei das malhas teremos
L
di
+ iR = 0.
dt
(18)
Cuja solução é dada por
i(t) =
ε −t/τL
e
= i0 e−t/τL ,
R
(19)
que descreve o decréscimo da corrente no circuito, o indutor está descarrregando. Neste
caso, quando t = τL a corrente atinge 37% de seu valor inicial.
3
Energia armazenada em um campo magnético
Tomando novamente o circuito com a chave fechada, reescrevemos a lei das malhas como
segue
ε = iR − εL
(20)
ou
ε = iR + L
di
.
dt
(21)
Multiplicando esta equação por i, temos
εi = i2 R + Li
di
,
dt
(22)
esta equação representa uma equação de energia onde cada termo pode ser interpretado
em termos de trabalho e energia.
No primeiro termo i = dq/dt, temos que εi = εdq/dt, onde εdq = dW . Assim, εi = dW/dt,
representa a taxa de variação temporal da energia fornecida ao circuito pela fem, ou potência
fornecida ao circuito.
No segundo termo, i2 R, representa a potência dissipada por efeito Joule ou energia térmica
dissipada sobre o resistor.
No terceiro termo, Lidi/dt, representa a variação da energia armazenada no campomagnético do indutor.
Baseada na interpretação do terceiro termo, deduz-se que a taxa de energia acumulada
no campo magnético do indutor será:
dUB
di
= Li .
dt
dt
7
(23)
Simplificando temos,
dUB = Lidi,
(24)
e integrando ambos os membros
Z
Z
t
Lidi.
dUB =
(25)
0
Finalmente, temos
1
UB = Li2 .
2
Esta equação representa a energia magnética armazenada por um indutor.
(26)