Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education LAPLACE TRANSFORM Type I: Basic 1. 2. Find the Laplace Transforms of 4π‘ 2 + π ππ3π‘ + π 2π‘ Ans. π 3 + 3 π 2 +9 + 1 π −2 Find the Laplace Transforms of 1 + π πππ‘ [M18/Extc/5M] Solution: πΏ 1 + π πππ‘ π‘ = πΏ cos + sin 2 = π 1 π 2 +4 + 1 = = 3. 8 1 2 1 π 2 +4 π‘ π π 2 2 since 1 + π πππ = cos + sin 2 π +2 1 π 2 +4 4π +2 4π 2 +1 Find the LT of π ππ2π‘ − πππ 2π‘ 2 [M19/Extc/5M] Solution: πΏ π ππ2π‘ − πππ 2π‘ 2 = πΏ{sin2 2π‘ − 2π ππ2π‘ πππ 2π‘ + cos 2 2π‘} = πΏ 1 − π ππ4π‘ since, 2π ππππππ π = π ππ2π = 1 π − 4 π 2 +16 2 4. Find the Laplace Transforms of sin2 π‘ Ans. 5. Find the Laplace Transforms of cos 2 3π‘ Ans. 6. 7. Evaluate using L.T.: 0 π −2π‘ sin2 2π‘ ππ‘ Ans. 5 2 −2π‘ 2 Find the Laplace Transforms of π‘ − π + cosh 3π‘ ∞ Ans. 3 8. Find the Laplace Transforms of sin π‘ Ans. 9. Find the Laplace Transforms of cos 3 2π‘ Ans. S.E/Paper Solutions 1 π π 2 +4 π 2 +18 π π 2 +36 1 2 π 3 − 1 π +2 6 + 1 1 2 π π 2 +1 π 2 +9 π π 2 +28 π 2 +36 π 2 +4 + π π 2 −36 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education ∞ 10. Evaluate using L.T.: 0 π −2π‘ sin3 π‘ ππ‘ [M17/ElexExtcElectBiomInst/5M] Solution: By definition, ∞ −π π‘ π π π‘ ππ‘ = πΏ π π‘ 0 Put π π‘ = sin3 π‘ ∞ −π π‘ π sin3 π‘ ππ‘ = πΏ sin3 π‘ 0 = πΏ 3π πππ‘ −π ππ 3π‘ 4 1 = πΏ 3π πππ‘ − π ππ3π‘ 4 1 1 3 = 3. 2 − 2 4 π +1 π +9 Put π = 2 ∞ −2π‘ π 0 sin3 π‘ ππ‘ = 1 3 4 4+1 − 3 = 4+9 6 65 11. Find the Laplace Transforms of π ππ3π‘πππ 4π‘ Ans. 12. Find the Laplace Transforms of π πππ‘π ππ5π‘ Ans. 3π 2 −21 π 2 +49 π 2 +1 10π π 2 +16 π 2 +36 13. Find the Laplace Transforms of πππ π‘ πππ 2π‘ πππ 3π‘ [N15/ChemBiot/5M][M16/ChemBiot/5M] Solution: πΏ{πππ 2π‘ πππ π‘ πππ 3π‘} 1 = πΏ 2πππ 2π‘ πππ π‘ πππ 3π‘ 2 1 = πΏ πππ 3π‘ + πππ π‘ πππ 3π‘ 2 1 = πΏ{cos 2 3π‘ + πππ 3π‘ πππ π‘} 2 1 1 = . πΏ 2 cos 2 3π‘ + 2πππ 3π‘ πππ π‘ = = 2 2 1 4 1 4 πΏ 1 + πππ 6π‘ + πππ 4π‘ + πππ 2π‘ 1 π + π π 2 +36 + π π 2 +16 + π π 2 +4 ∞ 1 14. If 0 π −2π‘ sin π‘ + πΌ cos π‘ − πΌ ππ‘ = , then find α 4 [M16/CompIT/5M] Solution: By definition, ∞ −π π‘ π π π‘ ππ‘ = πΏ π π‘ 0 Put π π‘ = sin π‘ + πΌ cos π‘ − πΌ ∞ −π π‘ π sin π‘ + πΌ cos π‘ − πΌ ππ‘ = πΏ sin π‘ + πΌ cos π‘ − πΌ 0 S.E/Paper Solutions 2 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education = = ∴ ∞ 0 1 πΏ 2 sin π‘ + πΌ cos π‘ − πΌ 2 1 πΏ sin 2π‘ + sin 2πΌ 2 π −π π‘ sin π‘ + πΌ cos π‘ − πΌ ππ‘ = 1 2 2 π 2 +4 + Put π = 2, ∞ −2π‘ π 0 sin π‘ + πΌ cos π‘ − πΌ ππ‘ = 1 4 1 4 1 4 1 8 = 1 2 2 8 1 1 π ππ 2πΌ + 2 π ππ 2πΌ 2 4 2 1 π ππ 2πΌ = + 8 1 − = = + 4 π ππ 2πΌ 8 4 π ππ 2πΌ 4 π ππ2πΌ = 2πΌ = πΌ= π 1 2 6 π 12 15. Find the Laplace Transform of π ππ2π‘πππ 3π‘ [M17/AutoMechCivil/5M] Solution: πΏ{π ππ2π‘ πππ 3π‘} 1 = πΏ 2π ππ2π‘ πππ 3π‘ 2 1 = πΏ π ππ5π‘ + sin(−π‘) 2 1 = πΏ{π ππ5π‘ − π πππ‘} = 2 1 5 2 π 2 +25 − 1 π 2 +1 16. Find the Laplace Transform of π ππ2π‘π πππ‘π ππ3π‘ [N13/Biot/5M] Solution: πΏ{π ππ2π‘ π πππ‘ π ππ3π‘} 1 = πΏ 2π ππ2π‘ π πππ‘ π ππ3π‘ 2 1 = πΏ πππ π‘ − πππ 3π‘ π ππ3π‘ 2 1 = πΏ{πππ π‘π ππ3π‘ − πππ 3π‘ π ππ3π‘} 2 1 1 = . πΏ 2πππ π‘ π ππ3π‘ − 2πππ 3π‘ π ππ3π‘ = 2 2 1 4 πΏ π ππ4π‘ − sin −2π‘ − π ππ6π‘ S.E/Paper Solutions 3 π ππ 2πΌ π Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education = = 1 4 1 πΏ π ππ4π‘ + π ππ2π‘ − π ππ6π‘ 4 4 π 2 +16 + 2 π 2 +4 − 6 π 2 +36 ∞ 17. Evaluate 0 π π‘ π ππ2π‘πππ 3π‘ππ‘ [N17/AutoMechCivil/6M] Solution: By definition, ∞ −π π‘ π π π‘ ππ‘ = πΏ π π‘ 0 Put π π‘ = π ππ2π‘πππ 3π‘ ∞ −π π‘ π π ππ2π‘πππ 3π‘ππ‘ = πΏ π ππ2π‘πππ 3π‘ 0 = 1 2 1 πΏ 2π ππ2π‘ πππ 3π‘ = πΏ π ππ5π‘ + sin(−π‘) 2 1 = πΏ{π ππ5π‘ − π πππ‘} = 2 1 5 2 π 2 +25 − 1 π 2 +1 Put π = −1 ∞ π‘ π π ππ2π‘πππ 3π‘ππ‘ 0 = 1 5 2 1+25 − 1 1+1 =− ∞ 2 13 3 18. If 0 π −2π‘ sin π‘ + πΌ cos π‘ − πΌ ππ‘ = , then find α 8 [N14/CompIT/6M] Solution: By definition, ∞ −π π‘ π π π‘ ππ‘ = πΏ π π‘ 0 Put π π‘ = sin π‘ + πΌ cos π‘ − πΌ ∞ −π π‘ π sin π‘ + πΌ cos π‘ − πΌ ππ‘ = πΏ sin π‘ + πΌ cos π‘ − πΌ 0 = = ∴ ∞ 0 1 2 1 2 πΏ 2 sin π‘ + πΌ cos π‘ − πΌ πΏ sin 2π‘ + sin 2πΌ 1 π −π π‘ sin π‘ + πΌ cos π‘ − πΌ ππ‘ = 2 Put π = 2, ∞ −2π‘ π 0 sin π‘ + πΌ cos π‘ − πΌ ππ‘ = 3 8 3 8 3 8 S.E/Paper Solutions 4 = 1 2 2 8 1 1 2 π 2 +4 + + + π ππ 2πΌ 2 π ππ 2πΌ 2 4 2 1 π ππ 2πΌ = + 8 1 4 π ππ 2πΌ 8 4 − = π ππ 2πΌ π Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education 1 π ππ 2πΌ = 4 4 π ππ2πΌ = 1 π 2πΌ = πΌ= 19. Obtain πΏ π 3π‘ if πΏ π π‘ = π 2 4 20−4π π 2 −4π +20 Ans. 60−4π π 2 −12π +180 20. State and Prove change of scale property of L.T. If πΏ π ππ π‘ = then find πΏ π ππ2 π‘ 21. Evaluate using L.T.: S.E/Paper Solutions Ans. ∞ πππ 0 2 π‘ π −5π‘ ππ‘ 5 Ans. π π π 2 15 .π 1 −π π 2π π 1 .π −4π , Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education Type II: First Shifting Property 1. State the first shifting theorem for Laplace Transforms. Use the theorem to obtain πΏ π −π‘ sin2 π‘ 2. 3. Find L.T. of π 4π‘ Ans. 3 sin π‘ Ans. 1 1 − 2 π +1 3 1 4 π +1 π 2 +2π +5 π 2 −8π +17 − −2π‘ Find L.T. of π 1 − π πππ‘ [N17/IT/4M] Solution: πΏ π −2π‘ 1 − π πππ‘ π‘ = πΏ π −2π‘ cos − sin =πΏ π π‘ 2 cos − π 2 π +2 = = −2π‘ − 1 4 π +2 2 + 1 2 π‘ 2 −2π‘ 1 2 sin π‘ π‘ 2 2 since, 1 − π πππ‘ = cos − sin π‘ 2 1 4 π +2 2 + π +2− 1 π 2 +4π +4+4 3 = 4. 5. 6. π +2 17 π 2 +4π + 4 Find L.T. of π π‘ πππ π‘ 2 Ans. π πππ‘ 2 Find L.T. of Ans. ππ‘ πππ 2π‘ π πππ‘ Find L.T. of ππ‘ [M15/ChemBiot/5M][M18/AutoMechCivil/5M] Solution: πΏ πππ 2π‘ π πππ‘ ππ‘ −π‘ = πΏ π πππ 2π‘ π πππ‘ 1 = πΏ π −π‘ 2πππ 2π‘ π πππ‘ = 2 1 2 1 πΏ π −π‘ π ππ3π‘ − π πππ‘ = πΏ π −π‘ π ππ3π‘ − π −π‘ π πππ‘ = = 7. 2 1 2 1 3 π +1 3 2 +9 2 π 2 +2π +10 − − 1 π +1 2 +1 1 π 2 +2π +2 Find L.T. of π πππ‘πππ 2π‘πππ ππ‘ [N14/CompIT/5M] Solution: S.E/Paper Solutions 6 1 1 2 π −2 1 1 2 π +2 + − 1 π 2 −8π +25 π −2 π 2 −4π +8 π +2 π 2 +4π +8 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education πΏ π πππ‘ πππ 2π‘ πππ ππ‘ π π‘ +π −π‘ = πΏ π πππ‘ πππ 2π‘ 2 π‘ 1 = πΏ π πππ‘ πππ 2π‘ π + π −π‘ = = = = = 2 1 4 1 4 1 4 1 4 1 πΏ 2π πππ‘ πππ 2π‘ π π‘ + π −π‘ π π‘ + π −π‘ πΏ π ππ3π‘ + sin −π‘ πΏ π π‘ π ππ3π‘ + π −π‘ π ππ3π‘ − π π‘ π πππ‘ − π −π‘ π πππ‘ 3 π −1 3 2 +9 4 π 2 −2π +10 3 + + 2 +9 π +1 − 3 π 2 +2π +10 − 1 π −1 1 π 2 −2π +2 8. Find L.T. of π π‘ π ππ2π‘ π ππ3π‘ 9. Find L.T. of π ππ2π‘πππ π‘πππ π2π‘ [N18/IT/5M] Solution: πΏ π ππ2π‘ πππ π‘ πππ π2π‘ 1 = πΏ π ππ2π‘ πππ π‘ π = = = = = 4 1 4 1 4 1 4 1 4 2 2π‘ = 2 1 1 π −1 2 π 2 −2π +2 π 2π‘ + π −2π‘ πΏ π ππ3π‘ + sin π‘ πΏ π 2π‘ π ππ3π‘ + π −2π‘ π ππ3π‘ + π 2π‘ π πππ‘ + π −2π‘ π πππ‘ 3 π −2 3 2 +9 π 2 −4π +13 + + 3 2 +9 π +2 + 3 π 2 +4π +13 π π‘ −π −π‘ 1 = π 2 +2π +2 + π −2π‘ + 1 π −2 2 +1 1 π 2 −4π +5 2 π πππ‘ = πΏ π −3π‘ − π −5π‘ π πππ‘ 2 1 π +1 2 +1 1 πΏ 2π ππ2π‘ πππ π‘ π 2π‘ + π −2π‘ = πΏ π −4π‘ = − 1 Ans. 10. Find L.T. of π −4π‘ π ππππ‘ π πππ‘ [N14/ChemBiot/5M] Solution: πΏ π −4π‘ π ππππ‘ π πππ‘ 2 1 − π 2π‘ +π −2π‘ = πΏ π ππ2π‘ πππ π‘ 2 1 2 +1 πΏ π −3π‘ π πππ‘ − π −5π‘ π πππ‘ 1 π +3 1 2 +1 2 π 2 +6π +10 S.E/Paper Solutions − − 1 π +5 2 +1 1 π 2 +10π +26 7 + + 1 π +2 2 +1 1 π 2 +4π +5 − π −1 π 2 −2π +26 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education 2π 2 π 11. Find L.T. of π ππππ‘ π πππππ‘ Ans. 4 4 π +4π 12. State and prove first shifting property of Laplace transform and also find πΏ π‘π 3π‘ π ππππ‘ Ans. 13. If Laplace Transform of erf [N18/Comp/5M] Solution: We have, πΏ erf π‘ π‘ = 4 2 π −1 ∞ π −1+4 1 π +1 4 π −1 3π‘ π‘ = 2 π π +4 2 = π +3 3 14. Show that 0 π −π‘ . sin . sinh ππ‘ = 2 2 2 −π‘ 15. Find the Laplace Transform of π‘π πππ π2π‘ [M15/AutoMechCivil/5M] Solution: πΏ π‘π −π‘ πππ π2π‘ π 2π‘ +π −2π‘ = πΏ π‘ π −π‘ = = = 1 2 1 2 1 2 2 −3π‘ π‘ πΏ π‘ π +π πΏ π π‘ π‘ + π −3π‘ π‘ 1 π −1 2 1 + π +3 2 16. Prove that πΏ πππ 2π‘. πππ π2π‘ = 17. Prove that πΏ{πππ ππ‘. πππ πππ‘} = π‘ 18. Find L.T. of sinh sin 2 [N17/Extc/5M] Solution: π‘ 3π‘ 2 2 πΏ sinh sin π‘ =πΏ 1 π 2 −π − . sin 2 π‘ 2 = πΏ π sin 2 π‘ 2 S.E/Paper Solutions 3π‘ 2 −π π 3 π 4 +64 π 3 π 4 +4π 4 3π‘ 2 3π‘ 2 π‘ −2 sin 3π‘ 2 8 2 1 π −4 π‘ 2 − 1 π −2 then find πΏ π . erf 2 π‘ π π +1 4 = π π +1 1 = By change of scale property, 1 πΏ erf 2 π‘ = πΏ πππ 4π‘ = . π Now, πΏ π π‘ erf 2 π‘ 1 1 2 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education = = = = = = = 3 2 1 2 3 π −2 +4 1 2 3 4 1 1 3 π 2 −π +4 +4 3 1 4 3 π 2 −π +1 π 2 +π +1 4 3 4 − − 3 2 1 2 3 π +2 +4 1 1 3 π 2 +π +4 +4 − 1 π 2 +π +1 −(π 2 −π +1) π 2 −π +1 (π 2 +π +1) 2π π 2 +1 2 −π 2 3π 2 π 4 +2π 2 +1−π 2 3π 2 π 4 +π 2 +1 19. Find L.T. of π −5π‘ . erf π‘ [M19/Elect/5M] Solution: We have, 1 πΏ erf π‘ = π π +1 ∴πΏ π −5π‘ erf π‘ = 1 = π +5+1 π +5 1 (π +5) π +6 ∞ 20. Evaluate 0 π −2π‘ . π‘ 5 πππ ππ‘ ππ‘ [N16/ElexExtcElectBiomInst/5M] Solution: By definition, ∞ −π π‘ π π π‘ ππ‘ = πΏ π π‘ 0 Put π π‘ = π‘ 5 πππ ππ‘ ∞ −π π‘ 5 π π‘ πππ ππ‘ππ‘ = πΏ π‘ 5 πππ ππ‘ 0 π π‘ +π −π‘ = πΏ π‘5 = = 1 2 1 2 πΏ π π‘ + π −π‘ π‘ 5 2 π‘ 5 5! π −1 6 + 5! π +1 6 Put π = 2, ∞ −2π‘ 5 π t πππ ππ‘ππ‘ 0 S.E/Paper Solutions = 1 5! 2 1 + 5! 36 = 9 14600 243 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education Type III: Multiplication by ππ 1. Find L.T. of π‘π ππππ‘ Ans. 2. Find L.T. of π‘πππ ππ‘ Ans. 3. 3 = − = − = − = − = = 5. π 2 +π 2 2 Find L.T. of π‘ sin π‘ [N15/AutoMechCivil/5M] Solution: π πΏ π‘π ππ3 π‘ = −1 πΏ sin3 π‘ ππ π = −1 4. 2ππ π 2 +π 2 2 π 2 −π 2 ππ π 1 4 πΏ 3π πππ‘ − π ππ3π‘ 4 ππ 1 π 1 3. 4 ππ 3 π 1 4 3 1 π 2 +1 1 4 3π π 2 +1 2 2 − π 2 +9 1 − π 2 +9 −1[2π ] π 2 +1 4 3 − π 2 +1 ππ π 2 +1 π 2 +1 0 6π 2 3π‘ 3π πππ‘ −π ππ 3π‘ πΏ − + 2 π 2 +9 0 −1[2π ] π 2 +9 2 1 π 2 +9 1 2 2 π 2 +9 Find L.T. of π‘π π πππ‘ Ans. −3π‘ 2π −6 π 2 −6π +10 Find L.T. of π‘π πππ 2π‘πππ 3π‘ [M14/ElexExtcElectBiomInst/4M] Solution: We have, 1 πΏ πππ 2π‘ πππ 3π‘ = πΏ 2πππ 2π‘ πππ 3π‘ = = 2 1 2 1 2 πΏ πππ 5π‘ + cos −π‘ π π 2 +25 π πΏ π‘ πππ 2π‘ πππ 3π‘ = −1 = −1 =− =− = 1 2 1 2 1 2 ππ π π π 2 +1 πΏ πππ 2π‘ πππ 3π‘ 1 π π 2 +25 + ππ 2 π 2 +25 1 −π 2π –π 2 +25 π 2 +25 2 π −25 π 2 +25 1 = 2 + 2 + π π 2 +1 π 2 +1 + π 2 +25 2 ∴ πΏ π −3π‘ π‘ πππ 2π‘ πππ 3π‘ = S.E/Paper Solutions + −π 2 +1 π 2 +1 2 2 π −1 π 2 +1 2 π +3 2 −25 2 1 π +3 2 +25 π 2 +6π −16 2 π 2 +6π +34 10 1 −π 2π π 2 +1 2 + 2 2 + π +3 2 −1 π +3 2 +1 π 2 +6π +8 2 π 2 +6π +10 2 2 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education 6. ∞ Evaluate using L.T.: 0 π −3π‘ . π‘πππ π‘ππ‘ [M15/ElexExtcElectBiomInst/5M] Solution: By definition, ∞ −π π‘ π π π‘ ππ‘ = πΏ π π‘ 0 Put π π‘ = π‘ πππ π‘ ∞ −π π‘ π π‘ πππ π‘ππ‘ = πΏ π‘ πππ π‘ 0 ∞ −π π‘ π π‘ 0 πππ π‘ππ‘ = πΏ π‘ πππ π‘ π = −1 ππ π = −1 π ππ π 2 +1 π 2 +1 1 = −1 −π 2π π 2 +1 π 2 +1−2π 2 = −1 π 2 +1 −π 2 +1 = −1 = πΏ πππ π‘ π 2 +1 π 2 −1 π 2 +1 2 2 2 2 Put π = 3, ∴ 7. ∞ 0 π −3π‘ π‘ πππ π‘ππ‘ = Evaluate using L.T.: 32 −1 32 +1 2 = ∞ π πππ‘ 2 π‘ 0 ππ‘ 8 100 = 2 25 ππ‘ [N13/Chem/6M] Solution: We have, ∞ π‘. π −2π‘ sin2 π‘ ππ‘ =? 0 By definition, ∞ −π π‘ π π π‘ ππ‘ = πΏ π π‘ 0 Put π π‘ = π‘ sin2 π‘ ∞ −π π‘ π π‘ sin2 π‘ ππ‘ = πΏ π‘ sin2 π‘ 0 ∞ −π π‘ π π‘ sin2 0 1−πππ 2π‘ π‘ ππ‘ = πΏ π‘ 2 1 = πΏ π‘ − π‘πππ 2π‘ = = S.E/Paper Solutions 2 1 1 π 2 π 1 1 ππ π − −1 2 2 π 2 − −1 11 ππ πΏ πππ 2π‘ π π 2 +4 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education = = = = 1 1 π 2 +4 1 −π 2π 2 π π 2 +4 − −1 2 1 1 π 2 +4−2π 2 2 π π 2 +4 − −1 2 1 1 −π 2 +4 2 π π 2 +4 − −1 2 1 1 π 2 −4 2 π π 2 +4 − 2 2 2 2 2 Put π = 2, ∴ 8. 9. ∞ 0 π −2π‘ π‘ sin2 π‘ ππ‘ = 1 1 −0 = 2 4 1 8 Find L.T. of π‘π 3π‘ πππ π‘ Ans. Find Laplace Transform of π‘π [N17/AutoMechCivil/5M] Solution: π πΏ π‘ π πππ‘ = −1 πΏ π πππ‘ ππ π = −1 = −1[2π ] π 2 +1 2π π 2 +1 π πππ‘ 1 ππ π 2 +1 π 2 +1 0 = −1 −3π‘ 2 2 2 π +3 ∴ πΏ π −3π‘ π‘ π πππ‘ = π +3 2 +1 2 = 2 π +3 π 2 +6π +10 2 10. Find L.T. of π‘π 3π‘ π ππ4π‘ [N16/CompIT/5M][M18/IT/4M] Solution: πΏ π‘π 3π‘ π ππ4π‘ =? We have, 4 πΏ π ππ4π‘ = 2 π +16 πΏ π‘ π ππ4π‘ = −1 = −1 = −4 = πΏ π ππ4π‘ 4 π 2 +16 ππ π 2 +16 0 −1[2π ] π 2 +16 8π π 2 +16 ∴ πΏ π 3π‘ π‘ π ππ4π‘ = S.E/Paper Solutions π ππ π 2 2 8 π −3 π −3 2 +16 2 = 12 8 π −3 π 2 −6π +25 2 π 2 −6π +8 π 2 −6π +10 2 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education 11. Find the Laplace Transform of π −2π‘ π‘ πππ π‘ [M18/Comp/5M] Solution: π πΏ πππ π‘ πΏ π‘ πππ π‘ = −1 = −1 ππ π = −1 −π 2π π 2 +1 2 2 π +1−2π 2 = −1 π 2 +1 −π 2 +1 = −1 = π ππ π 2 +1 π 2 +1 1 π 2 +1 π 2 −1 π 2 +1 2 2 2 π +2 2 −1 ∴ πΏ π −2π‘ π‘ πππ π‘ = π +2 2 +1 2 π 2 +4π +4−1 = π 2 +4π +4+1 2 = π 2 +4π +3 π 2 +4π +5 12. Find L.T. of π −π‘ π‘ πππ 2π‘ π ππ4π‘ [M18/Elect/5M] Solution: πΏ π‘π −π‘ πππ 2π‘ π ππ4π‘ =? We have, 1 πΏ πππ 2π‘ π ππ4π‘ = πΏ 2πππ 2π‘ π ππ4π‘ = = 2 1 2 1 2 πΏ π ππ6π‘ + sin −2π‘ 6 π πΏ π‘ πππ 2π‘ π ππ4π‘ = −1 ππ π = −1 =− =− = − π 2 +36 πΏ πππ 2π‘ π ππ4π‘ 1 6 π 2 +36 12π − π 2 +36 2 6π π 2 +36 2 ∴ πΏ π‘π −π‘ πππ 2π‘ π ππ4π‘ = = − 2 2 − 2 π 2 +4 4π + π 2 +4 2π 2 π 2 +4 2 6 π +1 2 +36 2 π +1 6π +6 π 2 +2π +37 13. Find L.T. of π π‘ π‘ π ππ2π‘ πππ π‘ [M19/Comp/5M] Solution: S.E/Paper Solutions − ππ 2 π 2 +36 π 2 +4 2 π +36 0 −6[2π ] π 2 +4 0 −2[2π ] 1 2 1 2 π 2 +4 13 2 − − 2 π +1 π +1 2 +4 2π +2 π 2 +2π +5 2 2 2 2 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education πΏ π π‘ π‘ π ππ2π‘ πππ π‘ =? We have, 1 πΏ π ππ2π‘ πππ π‘ = πΏ 2π ππ2π‘ πππ π‘ 2 = = 1 πΏ π ππ3π‘ + sint 2 1 3 π 2 +9 2 πΏ π‘ πππ 2π‘ π ππ4π‘ = −1 =− = 2 3π π πΏ π ππ2π‘ πππ π‘ 1 3 π 2 +9 6π − π 2 +9 2 π 2 +9 + = − π π 2 +1 − 3 π −1 π 2 −2π +10 2 π −1 2 +1 2 π −1 + π 2 −2π +2 ∞ π πππ‘ππ‘ = πΏ π‘ π πππ‘ π = −1 ππ π = −1 = Put π = 3, ∞ ∴ 0 π −3π‘ π‘ π πππ‘ππ‘ = 15. Evaluate using L.T.: [N18/Extc/5M] Solution: By definition, S.E/Paper Solutions ∞ 0 π 2 +1 2 2 6 32 +1 2 π 1 π 2 +1 2π −2π‘ πΏ π πππ‘ ππ π 2 +1 π 2 +1 [0]−1[2π ] = −1 = 2 2 π −1 14. Evaluate using L.T.: 0 π −3π‘ π‘ π πππ‘ ππ‘ [M17/AutoMechCivil/6M] Solution: By definition, ∞ −π π‘ π π π‘ ππ‘ = πΏ π π‘ 0 Put π π‘ = π‘ π πππ‘ ∞ −π π‘ π π‘ π πππ‘ππ‘ = πΏ π‘ π πππ‘ 0 ∞ −π π‘ π π‘ 0 π 2 +1 2π π 2 +1 2 2 +9 2 π −1 + 2 2 3 π −1 ∴ πΏ π π‘ π‘ π ππ2π‘ πππ π‘ = 1 + ππ 2 π 2 +9 π 2 +1 2 π +9 [0]−3[2π ] π 2 +1 [0]−1[2π ] 1 2 1 π 2 +1 ππ π = −1 =− 1 + 6 100 = π‘ π πππ‘ ππ‘ 14 3 50 2 2 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education ∞ −π π‘ π π 0 π‘ ππ‘ = πΏ π π‘ Put π π‘ = π‘ π πππ‘ ∞ −π π‘ π π‘ π πππ‘ππ‘ = πΏ π‘ π πππ‘ 0 ∞ −π π‘ π π‘ 0 π πππ‘ππ‘ = πΏ π‘ π πππ‘ π = −1 = −1 π 2 +1 2π = 2 π 2 +1 2 4 ∞ 0 1 ππ π 2 +1 π 2 +1 [0]−1[2π ] = −1 Put π = 2, ∞ ∴ 0 π −2π‘ π‘ π πππ‘ππ‘ = πΏ π πππ‘ ππ π 22 +1 2 4 = π‘ 25 2 16. Evaluate using L.T.: π π‘ cos π‘ ππ‘ [M19/AutoMechCivil/6M] Solution: We have, ∞ π‘ π π‘ cos 2 π‘ ππ‘ =? 0 By definition, ∞ −π π‘ π π π‘ ππ‘ = πΏ π π‘ 0 Put π π‘ = π‘ cos 2 π‘ ∞ −π π‘ π π‘ cos 2 π‘ ππ‘ = πΏ π‘ cos 2 π‘ 0 ∞ −π π‘ π π‘ cos 2 0 1+πππ 2π‘ π‘ ππ‘ = πΏ π‘ 2 1 = πΏ π‘ + π‘πππ 2π‘ = = = = = = 2 1 1 π 2 2 1 1 2 π 2 + −1 + −1 π ππ π ππ πΏ πππ 2π‘ π π 2 +4 1 1 π 2 +4 1 −π 2π 2 π π 2 +4 + −1 2 1 1 π 2 +4−2π 2 2 π π 2 +4 + −1 2 1 1 −π 2 +4 2 π π 2 +4 + −1 2 1 1 π 2 −4 2 π π 2 +4 + 2 2 2 2 2 Put π = −1, ∴ ∞ 0 π π‘ π‘ cos 2 π‘ ππ‘ = S.E/Paper Solutions 1 2 1 −1 + 2 −1 2 −4 −1 15 2 +4 2 = 11 25 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education 17. Find L.T. of π‘ 1 + π πππ‘ [M15/ElexExtcElectBiomInst/4M][N15/ElexExtcElectBiomInst/4M] [M16/ElexExctElectBiomInst/4M][N17/AutoMechCivil/6M] [N17/Extc/4M][M18/Extc/4M][M19/Extc/4M] Solution: π πΏ π‘ 1 + π πππ‘ = −1 πΏ 1 + π πππ‘ = −1 = −1 = −1 = −1 ππ π ππ π‘ π‘ 2 2 πΏ cos + sin π π 1 2 1 π 2 +4 + 1 ππ π 2 + 4 1 π π +2 1 ππ π 2 + 4 1 π 2 +4 1 1 − π +2 2π 1 2 π 2 +4 1 π 2 +4 −2π 2 −π = −1 1 2 π 2 +4 1 –π 2 −π +4 = −1 1 2 1 = = π 2 +4 π 2 +π −4 2 4π 2 +1 4 4 4π 2 +4π −1 18. Evaluate using L.T.: 4π 2 +1 ∞ 0 2 π‘ 1 + π πππ‘ππ‘ Ans. −4 19. Find L.T. of π‘ 1 + π ππ2π‘ Ans. 20. Find L.T. of π‘ 1 − π πππ‘ Ans. ∞ 0 21. Evaluate using L.T.: π −π‘ . π‘ 1 + π πππ‘ππ‘ [N16/AutoMechCivil/5M] Solution: By definition, ∞ −π π‘ π π π‘ ππ‘ = πΏ π π‘ 0 Put π π‘ = π‘ 1 + π πππ‘ ∞ −π π‘ π π‘ 1 + π πππ‘ππ‘ = πΏ π‘ 1 + π πππ‘ 0 = −1 = −1 S.E/Paper Solutions π ππ π ππ 16 πΏ 1 + π πππ‘ π‘ π‘ 2 2 πΏ cos + sin π 2 +2π −1 π 2 +1 2 4 4π 2 −4π −1 4π 2 +1 2 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education π = −1 π 1 ππ π 2 + 4 + 1 π +2 π = −1 1 2 1 π 2 +4 1 ππ π 2 + 4 1 1 π 2 +4 1 − π + 2π 2 = −1 1 2 π 2 +4 1 π 2 +4 −2π 2 −π = −1 1 2 π 2 +4 1 –π 2 −π +4 = −1 1 2 π 2 +4 1 π 2 +π −4 = 2 4π 2 +1 4 4 4π 2 +4π −1 = 4π 2 +1 2 Put π = 1, ∞ 28 ∴ 0 π −π‘ . π‘ 1 + π πππ‘ππ‘ = 25 22. Find L.T. of π‘ π 3π‘ erf 5 π‘ [M19/IT/4M] Solution: We have, 1 πΏ erf π‘ = π π +1 By change of scale property, 1 1 πΏ erf 5 π‘ = . π π = 25 25 25 Now, πΏ π‘ erf 5 π‘ = −1 = −1 = −1 = (−5) = −5 ππ π πΏ erf 5 π‘ 5 ππ π π +25 π 5 ππ π 3 +25π 2 π π 3 + 25π 2 ππ − 1 5 2 3π 2 +50π 2 π 3 +25π 2 = . S.E/Paper Solutions π π +25 +1 π 5 1 2 1 2 − π 3 + 25π 2 3 2 17 3 −2 × 3π 2 + 50π Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education 5 π 3π +50 = . 2 π 3 π +25 5 3π +50 3 2 2 π 2 π +25 3 2 = . Thus, 5 3 π −3 +50 πΏ π 3π‘ π‘ erf 5 π‘ = . 2 π −3 1 23. Given πΏ erf π‘ = π π +1 2 5 3 2 π −3+25 2 ∞ π‘ 0 , evaluate 3π +41 = . π −3 2 π +22 3 2 π −π‘ erf π‘ ππ‘ [M14/CompIT/6M] Solution: By definition, ∞ −π π‘ π π π‘ ππ‘ = πΏ π π‘ 0 Put π π‘ = π‘ erf π‘ ∞ −π π‘ π π‘ erf π‘ ππ‘ = πΏ π‘ erf π‘ 0 π = −1 = −1 = −1 π 1 ππ π 3 +π 2 π π 3 + π 2 ππ = −1 π‘ ππ‘ = 25. Prove that = 1 − 3π 2 +2π 2 π 3 +π 2 Put π = 1, ∞ ∴ 0 π −π‘ π‘ erf π‘ ππ‘ = 24. If πΏ π½0 π‘ 1 ππ π π +1 = −1 ∞ −π π‘ π π‘ erf 0 πΏ erf π‘ ππ π 5 2 2 3 2 1 2 3 −2 × 3π 2 + 2π 3 2 = 5 4 2 , find πΏ π‘π½0 3π‘ Ans. 4π‘ ππ‘ = 3 125 [M18/IT/6M] Solution: By definition, ∞ −π π‘ π π π‘ ππ‘ = πΏ π π‘ 0 Put π π‘ = π‘ π½0 4π‘ ∞ −π π‘ π π‘ π½0 4π‘ ππ‘ = πΏ π‘ π½0 4π‘ 0 We have, S.E/Paper Solutions 1 −2 π 3 + π 2 π 2 +1 ∞ π‘π −3π‘ π½0 0 1 2 18 where πΏ π½0 π‘ π π 2 +9 = 3 2 1 1+π 2 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education πΏ π½0 π‘ 1 = (given) π 2 +1 By change of scale property, 1 1 1 = . πΏ π½0 4π‘ = . 2 4 ∴ ∞ 0 π −π π‘ π 4 +1 1 4 π 2 +16 16 . π 2 +16 = 1 π 2 +16 π‘ π½0 4π‘ ππ‘ = πΏ π‘ π½0 4π‘ π π 2 +16 2 − π 1 −2 π 2 + 16 2 3 −2 × 2π 3 2 π 2 +16 3 9+16 1 π + 16 ππ = −1 Put π = 3, ∞ ∴ 0 π −3π‘ π‘ π½0 4π‘ ππ‘ = 1 ππ π = −1 π −π π‘ π‘ π½0 4π‘ ππ‘ = πΏ π½0 4π‘ ππ π = −1 ∞ 0 1 16 16 = −1 ∴ = 3 2 3 = 25 3 2 = 3 125 3π +8 26. Find L.T. of π‘ erf 2 π‘ Ans. 27. Find L.T. of π‘πππ 3 π‘ Ans. . 28. Show that ∞ 0 π‘π −6π‘ π½0 8π‘ ππ‘ = 3 500 where πΏ π½0 π‘ [N14/ElexExtcElectBiomInst/6M] Solution: By definition, ∞ −π π‘ π π π‘ ππ‘ = πΏ π π‘ 0 Put π π‘ = π‘ π½0 8π‘ ∞ −π π‘ π π‘ π½0 8π‘ ππ‘ = πΏ π‘ π½0 8π‘ 0 We have, 1 (given) πΏ π½0 π‘ = 2 π +1 By change of scale property, 1 1 1 1 1 πΏ π½0 8π‘ = . = . 2 = . 2 8 ∴ ∞ 0 π 8 +1 8 8 π +64 64 8 π 2 +64 π −π π‘ π‘ π½0 8π‘ ππ‘ = πΏ π‘ π½0 8π‘ = −1 = −1 = −1 S.E/Paper Solutions π ππ π ππ π ππ πΏ π½0 8π‘ 1 π 2 +64 2 π + 64 19 1 2 − = 3 π 2 π +4 2 9 π +6 2 π 2 π +9 1 = π 2 +1 1 π 2 +64 3 2 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education = −1 ∴ ∞ 0 π −π π‘ π‘ π½0 8π‘ ππ‘ = Put π = 6, ∞ ∴ 0 π −6π‘ π‘ π½0 8π‘ ππ‘ = 29. Evaluate ∞ π‘π −4π‘ π 0 − π π 2 +64 1 2 ∴ ∞ 0 π 3 6 36+64 3 100 = 3 500 1 π 2 +1 1 3 π 2 +9 3 6 1000 = 1 π 2 +9 π −π π‘ π‘ π 3π‘ ππ‘ = πΏ π‘ π 3π‘ = −1 = −1 π π −π π‘ π‘ π 3π‘ ππ‘ = Put π = 4, ∞ ∴ 0 π −4π‘ π‘ π 3π‘ ππ‘ = πΏ π 3π‘ ππ π 1 π 2 +9 2 ππ π π +9 ππ = −1 ∞ 0 = 3 2 = = . π +9 9 = −1 ∴ 6 = 3 2 3π‘ ππ‘ if πΏ π π‘ +1 × 2π 3 2 [N13/Biot/6M] Solution: By definition, ∞ −π π‘ π π π‘ ππ‘ = πΏ π π‘ 0 Put π π‘ = π‘ π 3π‘ ∞ −π π‘ π π‘ π 3π‘ ππ‘ = πΏ π‘ π 3π‘ 0 We have, 1 πΏπ π‘ = 2 (given) π +1 By change of scale property, 1 1 1 1 πΏ π 3π‘ = . = . 2 2 3 3 −2 π 2 + 64 − π π 2 +9 2 3 2 = = −1 S.E/Paper Solutions 3 3 π πΏ ππ 3 3 π π 4 25 30. Find L.T. of π‘ 3 πππ π‘ [N14/AutoMechCivil/5M] Solution: πΏ π‘ 3 πππ π‘ = −1 π 2 + 9 πππ π‘ ππ 3 π 2 +1 20 3 2 = 3 −2 3 2 4 16+9 1 1 2 − 4 125 × 2π Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education = −1 = −1 = −1 = = = = = = π2 = = π 2 +1 1 −π 2π ππ 2 π 2 +1 2 2 π +1−2π 2 π π 2 +1 1−π 2 ππ 2 π2 ππ 2 π 2 +1 π 2 −1 2 2 2 ππ 2 π 2 +1 2 π π 2 +1 2 2π − π 2 −1 2 π 2 +1 2π π 2 +1 4 π 2 +1 2π − π 2 −1 4π ππ π 2 +1 π π 2 +1 ππ 4 2π 3 +2π −4π 3 +4π π ππ π 2 +1 π 6π −2π 3 3 ππ π 2 +1 3 π 2 +1 3 6−6π 2 − 6π −2π 3 3 π 2 +1 π 2 +1 2 = = π2 6 6π 2 −6π 4 +6−6π 2 −36π 2 +12π 4 π 2 +1 4 6π 4 −36π 2 +6 π 2 +1 4 6 π 4 −6π 2 +1 4 31. Find Laplace of π‘ 5 πππ ππ‘ [N15/CompIT/5M] Solution: π π‘ +π −π‘ πΏ π‘ 5 πππ ππ‘ = πΏ π‘ 5 = = = S.E/Paper Solutions 1 2 1 2 π‘ 5 πΏ π π‘ + π −π‘ π‘ 5 5! 2 π −1 5! 1 2 π −1 + 6 6 + 2π π 2 +1 6 6−6π 2 − 6π −2π 3 6π π 2 +1 π 2 +1 π 2 +1 2 5! π +1 1 π +1 6 6 21 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education Type IV: Division by t 1. π ππππ‘ Find Laplace transform of [M18/AutoMechCivil/5M] Solution: πΏ π ππππ‘ ∞ πΏ π ππππ‘ π ∞ π ππ π π 2 +π ∞ −1 π = π‘ = π‘ . Does Laplace transform of πππ ππ‘ π‘ exist? ππ = tan π π π = − tan−1 2 π π = cot −1 π πππ ππ‘ ∞ = π πΏ πππ ππ‘ ππ π‘ ∞ π = π 2 ππ π +π ∞ 1 2 2 π πΏ = 2 1 log π + π π 2 = πππ∞ − log π + π2 2 = ππππ πππ‘ ππ₯ππ π‘ 2. π ππ π2π‘ Find L.T. of π‘ [N17/Extc/4M][M18/Extc/4M] Solution: πΏ π ππ π2π‘ π‘ ∞ πΏ π πππ2π‘ ππ π ∞ 2 ππ π π 2 −4 1 π −2 ∞ = = = 2× log 2 2 1 1 π +2 π π −2 = log 1 − log 2 1 2 π −2 2 π +2 π +2 = − log 1 = log 2 3. Find L.T. of 4. Find L.T. of 5. Find L.T. of 6. Find L.T. of π +2 π −2 π −4π‘ π ππ 3π‘ π‘ π −2π‘ πππ 2π‘π ππ 3π‘ π‘ πππ π2π‘ π ππ 2π‘ π‘ π −2π‘ π ππ 2π‘ πππ ππ‘ S.E/Paper Solutions π‘ Ans. cot −1 Ans. Ans. 22 π +4 3 −1 π +2 −1 cot + cot π +2 2 5 1 π −2 π +2 Ans. cot −1 + cot −1 2 2 2 1 π +1 π +3 π − tan−1 − tan−1 2 2 2 1 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education 7. ∞ π− 2π‘ π ππ ππ‘π πππ‘ Solve 0 ππ‘ π‘ [M16/AutoMechCivil/6M] [M19/Elex/5M][M19/Elect/6M] Solution: ∞ −π π‘ π π π‘ ππ‘ = πΏ π π‘ 0 Put π π‘ = π ππ ππ‘ π πππ‘ π‘ ∞ −π π‘ π ππ ππ‘ π πππ‘ π 0 π‘ ∞ −π π‘ π ππ ππ‘ π πππ‘ π 0 π‘ ∞ −π π‘ π ππ ππ‘ π πππ‘ π 0 π‘ π ππ ππ‘ π πππ‘ ππ‘ = πΏ π‘ π π‘ −π −π‘ ππ‘ = πΏ 1 ππ‘ = πΏ 2 . π πππ‘ 2 π‘ π‘ π πππ‘ π − π‘ π −π‘ π πππ‘ π‘ We have, ∞ ∞ 1 π πΏ π πππ‘ ππ = π 2 ππ = [tan−1 π ]∞ = − tan−1 π π π‘ π +1 2 ∞ −π π‘ π ππ ππ‘ π πππ‘ π 1 π −1 −1 ∴ 0 π ππ‘ = − tan π − 1 − + tan π + 1 π‘ 2 2 2 ∞ −π π‘ π ππ ππ‘ π πππ‘ 1 −1 −1 ππ‘ = tan π + 1 − tan π − 1 π 0 2 π‘ ∞ −π π‘ π ππ ππ‘ π πππ‘ π +1 − π −1 1 ππ‘ = tan−1 π 0 1+ π +1 π −1 2 π‘ ∞ −π π‘ π ππ ππ‘ π πππ‘ 2 1 1 −1 −1 2 π ππ‘ tan = tan = 2 0 π‘ 1+π −1 2 π 2 2 πΏ π πππ‘ = Put π = 2, ∞ − 2π‘ π ππ ππ‘ π πππ‘ π 0 π‘ 8. Prove that 2 1 ππ‘ = tan−1 2 ∞ π ππ 2π‘+π ππ 3π‘ 0 π‘π π‘ ππ‘ = 2 2 1 1 π π 2 2 4 8 = tan−1 (1) = . = 3π 4 [M14/ChemBiot/6M][M18/Comp/6M][N18/Elex/5M] Solution: By definition of L.T., ∞ −π π‘ π π π‘ ππ‘ = πΏ π π‘ 0 Put π π‘ = ∞ −π π‘ π 0 ∞ −π π‘ π 0 ∞ −π π‘ π 0 ∞ −π π‘ π 0 ∞ −π π‘ π 0 ∞ −π π‘ π 0 π ππ 2π‘+π ππ 3π‘ π‘ π ππ 2π‘+π ππ 3π‘ π‘ π ππ 2π‘+π ππ 3π‘ π‘ π ππ 2π‘+π ππ 3π‘ π‘ π ππ 2π‘+π ππ 3π‘ π‘ π ππ 2π‘+π ππ 3π‘ π‘ π ππ 2π‘+π ππ 3π‘ S.E/Paper Solutions π‘ ππ‘ = πΏ ππ‘ = ππ‘ = ππ‘ = π ππ 2π‘+π ππ 3π‘ π‘ ∞ πΏ π ππ2π‘ + π ππ3π‘ ππ π ∞ 2 3 + ππ 2 2 π π +4 π +9 π π ∞ tan−1 + tan−1 2 3 π π π −1 π −1 π ππ‘ = − tan 2 ππ‘ = π − + − tan 2 2 3 −1 π −1 π tan + tan 2 3 23 π Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education ∞ −π π‘ π ππ 2π‘+π ππ 3π‘ π ππ‘ 0 π‘ π π + 2 3 π π 1−2 .3 −1 = π − tan Put π = 1, ∞ −π‘ π ππ 2π‘+π ππ 3π‘ π ππ‘ 0 π‘ = π − tan −1 1 1 + 2 3 1 1−6 = π − tan−1 1 π =π− = 9. π πππ‘ 3π 4 4 Find L.T. of π‘ [M15/CompIT/5M] Solution: πΏ π πππ‘ π‘ = ∞ πΏ π πππ‘ π ∞ 1 ππ π π 2 +1 tan−1 π ∞ π π −1 = = = − tan 2 = cot −1 π ππ π 1 10. Find the L.T. of π −π‘ π πππ‘ π‘ [N17/Comp/5M] Solution: πΏ π πππ‘ π‘ = ∞ πΏ π πππ‘ π ∞ 1 ππ π π 2 +1 tan−1 π ∞ π π −1 ππ = = = − tan π 2 = cot −1 π π πππ‘ ∴ πΏ π −π‘ = cot −1 (π + 1) π‘ ∞ 11. Evaluate using L.T.: 0 π −2π‘ π ππππ‘ [M16/ElexExctElectBiomInst/5M] Solution: By definition of L.T., ∞ −π π‘ π π π‘ ππ‘ = πΏ π π‘ 0 Put π π‘ = π ππ ππ‘ π πππ‘ π‘ ∞ −π π‘ π ππ ππ‘ π πππ‘ π 0 π‘ S.E/Paper Solutions ππ‘ = πΏ π ππ ππ‘ π πππ‘ π‘ 24 π πππ‘ π‘ ππ‘ Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education ∞ −π π‘ π ππ ππ‘ π πππ‘ π 0 π‘ ∞ −π π‘ π ππ ππ‘ π πππ‘ π 0 π‘ We have, π π‘ −π −π‘ ππ‘ = πΏ 1 ππ‘ = πΏ 2 π πππ‘ πΏ = π‘ tan−1 π ∞ π ππ ππ‘ π πππ‘ 1 ∴ 0 π −π π‘ ππ‘ = π‘ ∞ −π π‘ π ππ ππ‘ π πππ‘ π 0 π‘ ∞ −π π‘ π ππ ππ‘ π πππ‘ π 0 π‘ ∞ −π π‘ π ππ ππ‘ π πππ‘ π 0 π‘ ππ‘ = 2 π‘ π‘ π πππ‘ π − π‘ ∞ πΏ π πππ‘ π π 2 2 1 tan 2 1 π πππ‘ . ππ‘ = tan π πππ‘ π‘ ππ = ∞ 1 ππ π π 2 +1 = [tan−1 π ]∞ π = π − tan−1 π − 1 − + tan−1 π + 1 2 −1 ππ‘ = tan−1 2 1 π −π‘ −1 2 −1 π + 1 − tan π −1 π +1 − π −1 1+ π +1 π −1 2 1 2 1+π 2 −1 π 2 = tan−1 2 Put π = 2, ∞ −2π‘ π ππ ππ‘ π πππ‘ π 0 π‘ 1 ππ‘ = tan−1 2 2 2 2 1 1 2 2 = tan−1 ∞ π −2π‘ πππ 2π‘π ππ 3π‘ 12. Evaluate 0 ππ‘ π‘ [N15/AutoMechCivil/6M] Solution: By definition of L.T., ∞ −π π‘ π π π‘ ππ‘ = πΏ π π‘ 0 Put π π‘ = ∞ −π π‘ π 0 ∞ −π π‘ π 0 ∞ −π π‘ π 0 ∞ −π π‘ π 0 ∞ −π π‘ π 0 ∞ −π π‘ π 0 ∞ −π π‘ π 0 ∞ −π π‘ π 0 ∞ −π π‘ π 0 πππ 2π‘ π ππ 3π‘ π‘ πππ 2π‘ π ππ 3π‘ π‘ πππ 2π‘ π ππ 3π‘ π‘ πππ 2π‘ π ππ 3π‘ π‘ πππ 2π‘ π ππ 3π‘ π‘ πππ 2π‘ π ππ 3π‘ π‘ πππ 2π‘ π ππ 3π‘ π‘ πππ 2π‘ π ππ 3π‘ π‘ πππ 2π‘ π ππ 3π‘ π‘ πππ 2π‘ π ππ 3π‘ ππ‘ = πΏ ππ‘ = ππ‘ = ππ‘ = ππ‘ = ππ‘ = ππ‘ = ππ‘ = ππ‘ = π‘ ∞ −π π‘ πππ 2π‘ π ππ 3π‘ π ππ‘ 0 π‘ = πππ 2π‘ π ππ 3π‘ π‘ ∞ πΏ πππ 2π‘ π ππ3π‘ ππ π 1 ∞ πΏ 2πππ 2π‘ π ππ3π‘ ππ 2 π 1 ∞ πΏ π ππ5π‘ − sinβ‘ (−π‘) ππ 2 π 1 ∞ πΏ π ππ5π‘ + sinβ‘ (π‘) ππ 2 π 1 ∞ 5 1 + ππ 2 π π 2 +25 π 2 +1 ∞ 1 −1 π −1 tan + tan 2 1 π 2 1 2 1 2 π 5 π π −1 π − tan + − tan−1 2 5 2 −1 π π − tan + tan−1 π 5 π +π −1 5 π − tan π 1−5 .π π Put π = 2, ∞ −2π‘ πππ 2π‘ π ππ 3π‘ π ππ‘ 0 π‘ S.E/Paper Solutions = 1 2 −1 π − tan 25 2 +2 5 4 1−5 = 1 2 π − tan−1 12 π 2 − Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education πππ ππ‘ −πππ ππ‘ 13. Find L.T. of π‘ π −ππ‘ −πππ ππ‘ 14. Find L.T. of 1 π 2 +π 2 2 π 2 +π 2 π 2 +π 2 Ans. log Ans. log π‘ sin 2 2π‘ π +π 15. Find L.T. of π‘ [M16/AutoMechCivil/5M] Solution: πΏ sin 2 2 π‘ π‘ = = = = = ∞ πΏ sin2 2π‘ ππ π ∞ 1−πππ 4π‘ πΏ ππ π 2 1 ∞1 π − ππ 2 2 π π π +16 1 1 2 ππππ − log π + 16 2 1 2 π 2 log 4 1 π 2 +16 π 2 +16 = log π π π 2 4 16. Find L.T. of π −3π‘ ∞ ∞ 1−πππ 3π‘ 1 π 2 +6π +18 2 π 2 +6π +9 Ans. log π‘ π πππ‘ π ππ 5π‘ 17. Find L.T. of π‘ [M19/Extc/4M] Solution: πΏ π πππ‘π ππ 5π‘ π‘ 1 2π πππ‘π ππ 5π‘ 2 1 π‘ cos −4π‘ −πππ 6π‘ 2 1 π‘ πππ 4π‘−πππ 6π‘ = πΏ = πΏ = πΏ = = = = = 2 1 2 1 2 1 π‘ ∞ πΏ πππ 4π‘ − πππ 6π‘ π ∞ π π − 2 ππ π π 2 +16 π +36 1 1 2 2 2 1 4 1 4 1 log π + 16 − log π 2 + 36 log π 2 +16 4 18. Use L.T. to show that 2 ∞ ∞ π π 2 +36 π π 2 +16 0 − log = log S.E/Paper Solutions ππ π 2 +36 π 2 +36 π 2 +16 ∞ −π‘ π 0 πππ ππ‘ −πππ ππ‘ π‘ 26 1 π 2 +1 2 π 2 +1 ππ‘ = πππ Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education πππ ππ‘ −πππ ππ‘ 19. Find L.T. of π‘ [N13/ElexExtcElectBiomInst/4M] Solution: πΏ πππ ππ‘ −πππ ππ‘ = π‘ = = = = ∞ πΏ πππ ππ‘ − πππ ππ‘ ππ π ∞ π π − ππ 2 2 2 π π +π π +π 2 1 1 log π 2 + π2 − log π 2 2 2 ∞ 2 2 1 π +π 2 1 2 1 log 2 20. Evaluate using L.T.: ∞ 0 ∞ π π 2 +π 2 π π 2 +π 2 0 − log = log + π2 π 2 +π 2 π 2 +π 2 π 2 +π 2 πππ 3π‘−πππ 2π‘ π −π‘ π‘ ππ‘ [N15/ElexExctElectBiomInst][N17/IT/6M] Solution: ∞ −π π‘ π π π‘ ππ‘ = πΏ π π‘ 0 Put π π‘ = πππ 3π‘−πππ 2π‘ π‘ ∞ −π π‘ πππ 3π‘−πππ 2π‘ ππ‘ π 0 π‘ πππ 3π‘−πππ 2π‘ =πΏ = = = π‘ ∞ πΏ πππ 3π‘ − πππ 2π‘ π ∞ π π − 2 ππ π π 2 +9 π +4 1 1 2 2 1 ππ log π + 9 − log π 2 + 4 2 = log 2 π 2 +4 π 2 +9 Put π = 1, ∞ −π‘ π 0 πππ 3π‘−πππ 2π‘ π‘ 1 5 2 10 ππ‘ = πππ 1 1 2 2 = log ∞ πππ 6π‘−πππ 4π‘ 21. Evaluate using L.T.: 0 ππ‘ π‘ [M14/ElexExtcElectBiomInst/5M] Solution: By definition of L.T., ∞ −π π‘ π π π‘ ππ‘ = πΏ π π‘ 0 Put π π‘ = πππ 6π‘−πππ 4π‘ π‘ ∞ −π π‘ πππ 6π‘−πππ 4π‘ π ππ‘ 0 π‘ =πΏ = S.E/Paper Solutions πππ 6π‘−πππ 4π‘ ∞ πΏ π π‘ πππ 6π‘ − πππ 4π‘ ππ 27 ∞ π Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education ∞ π π − ππ 2 2 π π +36 π +16 1 1 2 = = 2 1 log π + 36 − log π 2 + 16 2 π 2 +16 = log ∞ π π 2 +36 2 Put π = 0, ∞ πππ 6π‘−πππ 4π‘ ππ‘ 0 π‘ 1 16 2 36 = πππ = πππ ∞ πππ ππ‘ −πππ ππ‘ 22. Evaluate using L.T.: 0 [M14/AutoMechCivil/6M] Solution: ∞ −π π‘ π π π‘ ππ‘ = πΏ π π‘ 0 Put π π‘ = π‘ 4 6 = log 2 3 ππ‘ πππ ππ‘ −πππ ππ‘ ∞ −π π‘ πππ ππ‘ −πππ ππ‘ π 0 π‘ π‘ ππ‘ = πΏ = = = πππ ππ‘ −πππ ππ‘ π‘ ∞ πΏ πππ ππ‘ − πππ ππ‘ π ∞ π π − 2 2 ππ π π 2 +π 2 π +π 1 1 2 2 2 1 log π + π = log 2 ππ 2 − log π + π 2 2 π 2 +π 2 ∞ π π 2 +π 2 Put π = 0, ∞ πππ ππ‘ −πππ ππ‘ 0 π‘ 1 π2 2 π2 ππ‘ = πππ = πππ π π ∞ πππ 4π‘−πππ 3π‘ ππ‘ 0 π‘ ∞ −3π‘ πππ 7π‘−πππ 11π‘ π ππ‘ 0 π‘ Ans. log 23. Evaluate using L.T.: 24. Evaluate 3 4 [M19/IT/6M] Solution: By definition of L.T., ∞ −π π‘ π π π‘ ππ‘ = πΏ π π‘ 0 Put π π‘ = πππ 7π‘−πππ 11π‘ π‘ ∞ −π π‘ πππ 7π‘−πππ 11π‘ π ππ‘ 0 π‘ =πΏ = = = πππ 7π‘−πππ 11π‘ π‘ ∞ πΏ πππ 7π‘ − πππ 11π‘ π ∞ π π − ππ 2 2 π π +49 π +121 1 1 2 2 1 log π + 49 − log π 2 + 121 = log 2 S.E/Paper Solutions ππ 2 π 2 +121 π 2 +49 28 ∞ π Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education Put π = 3, ∞ −3π‘ πππ 7π‘−πππ 11π‘ π 0 π‘ 1 130 2 58 ππ‘ = log 1 65 2 29 = log 1−πππ π‘ 25. Find L.T. of [N18/IT/4M] Solution: πΏ 1−πππ π‘ π‘ = = = = π‘ ∞ πΏ 1 − πππ π‘ ππ π ∞1 π − 2 ππ π π π +1 1 ππππ − log π 2 + 2 ∞ 1 π 2 2 1 log π 2 +1 π 2 +1 = log 1 ∞ π π π 2 2 sin 2 π‘ ∞ 26. Evaluate using L.T.: 0 π −π‘ ππ‘ π‘ [N13/AutoMechCivil/6M][N14/AutoMechCivil/6M] [M15/ChemBiot/6M][N17/Comp/6M][M18/Elect/6M] [N18/AutoMechCivil/6M] Solution: By definition of L.T., ∞ −π π‘ π π π‘ ππ‘ = πΏ π π‘ 0 Put π π‘ = ∞ −π π‘ π 0 ∞ −π π‘ π 0 ∞ −π π‘ π 0 ∞ −π π‘ π 0 sin 2 π‘ sin 2 π‘ π‘ sin 2 π‘ π‘ sin 2 π‘ π‘ si n 2 π‘ π‘ ππ‘ = ππ‘ = ππ‘ = π‘ ∞ −π π‘ sin 2 π‘ π ππ‘ 0 π‘ ∞ −π π‘ sin 2 π‘ π ππ‘ 0 π‘ = sin 2 π‘ ∞ πΏ sin2 π π‘ ∞ 1−πππ 2π‘ ππ πΏ π 2 π 1 ∞1 − 2 ππ π 2 π π +4 1 1 2 ππ‘ = πΏ 2 1 4 1 = ππππ − log π + 4 2 log = log 4 π 2 ∞ π 2 +4 π 2 +4 π π 2 Put π = 1, ∞ −π‘ sin 2 π‘ π ππ‘ 0 π‘ 1 = πππ5 4 27. Evaluate using L.T.: [N18/Comp/4M] S.E/Paper Solutions π‘ ππ ∞ π −π‘ −π −2π‘ 0 π‘ ππ‘ 29 ∞ π Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education Solution: By definition of L.T., ∞ −π π‘ π π π‘ ππ‘ = πΏ π π‘ 0 Put π π‘ = ∞ −π π‘ π 0 ∞ −π π‘ π 0 ∞ −π π‘ π 0 ∞ −π π‘ π 0 ∞ −π π‘ π 0 π −π‘ −π −2π‘ π‘ π −π‘ −π −2π‘ π‘ π −π‘ −π −2π‘ π‘ π −π‘ −π −2π‘ π‘ π −π‘ −π −2π‘ π‘ π −π‘ −π −2π‘ π‘ π −π‘ −π −2π‘ ππ‘ = πΏ ππ‘ = = π‘ ∞ 1 π π +1 − 1 π +2 ∞ π πΏ π −π‘ − π −2π‘ ππ ππ ππ‘ = log π + 1 − log π + 2 ππ‘ = log ππ‘ = log π +1 ∞ π +2 π +2 π ∞ π π +1 Put π = 0, ∞ π −π‘ −π −2π‘ 0 π‘ ππ‘ = πππ2 ∞ π −π‘ −πππ π‘ 28. Evaluate 0 π‘ π 4π‘ [M19/Comp/6M] Solution: ∞ ππ‘ π −π‘ −πππ π‘ We have, 0 π −4π‘ . π‘ By definition of L.T., ∞ −π π‘ π π π‘ ππ‘ = πΏ π π‘ 0 Put π π‘ = ππ‘ π −π‘ −πππ π‘ π‘ ∞ −π π‘ π −π‘ −πππ π‘ π 0 π‘ ππ‘ = πΏ = = = π −π‘ −πππ π‘ π‘ ∞ −π‘ πΏ π − πππ π‘ ππ π ∞ 1 π − . ππ 2 π π +1 π +1 1 log π + 1 − log π 2 2 = log π + 1 − log = log = log ∞ π +1 π 2 +1 π π 2 +1 π +1 Put π = 4, ∞ −4π‘ π −π‘ −πππ π‘ π . 0 π‘ S.E/Paper Solutions ππ‘ = log 17 5 30 +1 π 2 + 1 ∞ π ∞ π Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education Type V: Laplace Transform of Derivatives 1. Find L.T. of π π πππ‘ ππ‘ π‘ [N13/ElexExtcElectBiomInst/4M] Solution: π πππ‘ Let π π‘ = π‘ π πππ‘ ∴ π 0 = limπ‘→0 And, πΏπ π‘ =πΏ ∴πΉ π = = =1 π‘ π πππ‘ π‘ ∞ πΏ π πππ‘ π ∞ 1 ππ π π 2 +1 tan−1 π ∞ π π −1 = = − tan 2 = cot −1 π ππ π Now, πΏ 2. π π πππ‘ ππ‘ π‘ Find L.T. of π =πΏ π π‘ ππ‘ = πΏ π′ π‘ =π πΉ π −π 0 = π . cot −1 π – π 0 = π cot −1 π − 1 π 1−πππ 2π‘ ππ‘ π‘ [N14/ElexExtcElectBiomInst/4M] Solution: 1−πππ 2π‘ Let π π‘ = π‘ ∴ π 0 = limπ‘→0 = limπ‘→0 = 2π ππ0 ∴π 0 =0 And, πΏπ π‘ =πΏ ∴πΉ π = = 1−πππ 2π‘ 0 π‘ 2π ππ 2π‘ 0 1 1−πππ 2π‘ ∞ πΏ π ∞1 π π π‘ 1 − πππ 2π‘ ππ − π π 2 +4 1 ππ = ππππ − log π 2 + 4 2 S.E/Paper Solutions ∞ π 31 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education = 1 log 2 1 = log π 2 ∞ π 2 +4 π 2 +4 π π 2 2 Now, πΏ π 1−πππ 2π‘ ππ‘ π‘ =πΏ π π π‘ =πΏ π π‘ =π πΉ π −π 0 ππ‘ ′ π = log π 2 +4 2 = π log π π 2 π 2 +4 –π 0 π π ππ 3π‘π πππ‘ Find L.T. of 4. Find L.T. of ππ‘ π‘ [M14/ElexExtcElectBiomInst/4M][N17/IT/5M] Solution: ππ‘ π‘ π π ππ 3π‘ π ππ 3π‘ Let π π‘ = π‘ ∴ π 0 = limπ‘→0 = limπ‘→0 = 3πππ 0 ∴π 0 =3 And, πΏπ π‘ =πΏ π ππ 3π‘ 0 π‘ 0 3πππ 3π‘ 1 π ππ 3π‘ π‘ ∞ πΏ π ππ3π‘ π ∞ 3 ππ π π 2 +9 ∞ −1 π ∴πΉ π = = ππ = tan = 3 π π − tan−1 2 3 −1 π π = cot 3 Now, πΏ π π ππ 3π‘ ππ‘ π‘ =πΏ π ππ‘ ′ π π‘ =πΏ π π‘ =π πΉ π −π 0 π = π . cot −1 – π 0 = S.E/Paper Solutions π π 2 +16 2 π 2 +4 Ans. log 3. 3 −1 π π πππ‘ 3 −3 32 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education 5. π π ππ 4π‘ Find L.T. of ππ‘ π‘ [N17/Elect/5M] Solution: π ππ 4π‘ Let π π‘ = π‘ ∴ π 0 = limπ‘→0 = limπ‘→0 = 4πππ 0 ∴π 0 =4 And, πΏπ π‘ =πΏ π ππ 4π‘ 0 π‘ 0 4πππ 4π‘ 1 π ππ 4π‘ π‘ ∞ πΏ π ππ4π‘ π ∞ 4 ππ π π 2 +16 ∞ −1 π ∴πΉ π = = ππ = tan = 4 π π − tan−1 2 4 −1 π π = cot 4 Now, πΏ π π ππ 4π‘ ππ‘ π‘ π =πΏ ππ‘ ′ π π‘ =πΏ π π‘ =π πΉ π −π 0 π = π . cot −1 – π 0 = 6. Find L.T. of 4 −1 π π πππ‘ 4 π sin 2 π‘ ππ‘ π‘ −4 [M19/IT/5M] Solution: Let π π‘ = sin 2 π‘ = π‘ ∴ π 0 = limπ‘→0 = limπ‘→0 = π ππ0 ∴π 0 =0 And, πΏπ π‘ =πΏ S.E/Paper Solutions 1−πππ 2π‘ 2π‘ 1−πππ 2π‘ 0 2π‘ 2π ππ 2π‘ 0 2 1−πππ 2π‘ 2π‘ 33 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education ∴πΉ π = = = = ∞ πΏ 2 π 1 ∞1 2 π π 1 1 2 1 4 1 1 − πππ 2π‘ ππ π − π 2 +4 ππ 1 ππππ − log π 2 + 4 2 log = log π 2 ∞ π 2 +4 π 2 +4 π ∞ π π 2 4 Now, πΏ π sin 2 π‘ ππ‘ π‘ =πΏ π ππ‘ π π‘ = πΏ π′ π‘ =π πΉ π −π 0 π π 2 +4 4 π 2 = log π π 2 +4 4 π 2 – 0 = log Type VI: Laplace Transform of Integrals π‘ π’πππ ππ’ππ’ 0 π‘ −2π‘ π cos 2 π‘ ππ‘ 0 π‘ π’π −2π’ π ππ3π’ππ’ 0 π‘ π‘ π‘ π‘ π πππ‘ ππ‘ 3 0 0 0 1. Find L.T. of 2. Find L.T. of 3. Find L.T. of 4. Find L.T. of [M18/IT/4M] Solution: πΏ π‘ π‘ π‘ 0 0 0 π‘π πππ‘ ππ‘ 3 = = 1 π 3 1 π 3 =− =− = 5. Ans. Ans. πΏ π‘π πππ‘ π . −1 ππ 1 1 π πΏ π πππ‘ π 3 ππ π 2 +1 1 π 2 +1 [0]−1[2π ] π 3 2 π 2 +1 π 2 π 2 +1 2 2 1 π πΏ π‘. π −3π‘ . π πππ‘ π +1 S.E/Paper Solutions 34 2 1 π +2 + . 2 π 2π π +2 3 2π +4 1 π π‘ π‘ π π 2 −1 1 Ans. . Find L.T. of 0 π’. π −3π’ . π ππ π’ ππ’ [N18/AutoMechCivil/5M] Solution: πΏ 0 π’. π −3π’ . π πππ’ ππ’ = We have, 1 πΏ π πππ‘ = 2 π 2 +1 π 2 +4π +13 2 π 2 +4π +8 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education π πΏ π‘π πππ‘ = −1 = −1 1 ππ π 2 +1 π 2 +1 [0]−1[2π ] = −1 ∴ πΏ{π‘π πππ‘} = πΏ π πππ‘ ππ π π 2 +1 2π π 2 +1 2 2 π +3 ∴ πΏ π −3π‘ π‘ π πππ‘ = 6. ππ’ = 2 π +3 = π 2 +6π +10 2 2 π +3 π π 2 +6π +10 2 π‘ Find L.T. of 0 π’. π −3π’ . cos 2 2 π’ ππ’ [M16/ElexExctElectBiomInst/4M] Solution: πΏ cos 2 2π‘ = πΏ 1+πππ 4π‘ 2 2 πΏ π‘ cos 2π‘ = −1 = − = − = 2 2 1 1 1 2 π 2 1 + + + 2 π 1 + π 2 +16 1 −π 2π π 2 +16 2 2 −π +16 2 π +3 2 −16 + 2 2 2 π +3 2 +16 π 2 +6π −7 2 π 2 +6π +25 1 1 1 2 + = . π 2 π +3 + 2 π 2 +6π −7 π 2 +6π +25 π‘ Find L.T. of 0 π’. π −3π’ . π ππ 4π’ ππ’ [N13/ElexExtcElectBiomInst/5M] Solution: π‘ πΏ 0 π’. π −3π’ . π ππ4π’ ππ’ = We have, 4 πΏ π ππ4π‘ = 2 πΏ π‘π ππ4π‘ = −1 = −1 = −4 S.E/Paper Solutions π ππ π π π 2 +16 π π 2 +16 1 π +3 π‘ π’. π −3π’ . cos 2 2 π’ ππ’ 0 π +16 2 π + π 2 +16 π 2 π 2 +16 2 π −16 2 π +3 1 1 2 1 1 πΏ cos 2π‘ − 2 πΏ 1 + πππ 4π‘ = 2 − = πΏ π ππ 2 π 1 1 πΏ π −3π‘ π‘ cos 2 2π‘ = 1 = ππ π 1 1 = −1 7. 2 +1 2 π +3 π‘ π’. π −3π’ . π πππ’ 0 ∴πΏ 2 1 π πΏ π‘. π −3π‘ . π ππ4π‘ πΏ π ππ4π‘ 4 ππ π π 2 +16 ππ π 2 +16 1 35 2 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education π 2 +16 [0]−1[2π ] = −4 ∴ πΏ{π‘π ππ4π‘} = π 2 +16 ∴ πΏ π −3π‘ π‘ π ππ4π‘ = ∴πΏ 8. 9. 10. π 2 +16 8π 2 2 8 π +3 π +3 π‘ −3π’ π’. π . π ππ4π’ ππ’ 0 2 +16 2 = = 8 π +3 π 2 +6π +25 2 8 π +3 π π 2 +6π +25 π‘ −1 −π’ π’ π π πππ’ ππ’ 0 π‘ 1−π −ππ’ Find L.T. of 0 ππ’ π’ ∞ π‘ π πππ’ Evaluate using L.T.: 0 π −π‘ 0 π’ 2 1 Ans. cot −1 π + 1 Find L.T. of π 1 π +π π π Ans. log ππ’ ππ‘ [N14/ChemBiot/6M][N15/ChemBiot/6M] Solution: By definition of L.T., ∞ −π π‘ π π π‘ ππ‘ = πΏ π π‘ 0 π‘ π πππ’ ππ’ 0 π’ ∞ −π π‘ π‘ π πππ’ π ππ’ ππ‘ 0 π’ 0 Put π π‘ = =πΏ = = = = = = 1 πΏ π‘ π πππ’ 0 π’ π πππ‘ ππ’ π‘ ∞ πΏ π πππ‘ ππ π π 1 ∞ 1 ππ π π π 2 +1 1 tan−1 π ∞ π π 1 π − tan−1 π π 2 1 cot −1 π π π 1 Put π = 1, ∞ −π‘ π‘ π πππ’ π 1 π ππ’ ππ‘ = cot −1 1 = 0 0 π’ 11. Find L.T. of 12. Find L.T. of 13. Find L.T. of 1 4 π‘ π πππ’ ππ’ 0 π’ π‘ π’ π ππ 4π’ π ππ’ 0 π’ π‘ π −2π‘ 0 π‘πππ 3π‘ππ‘ π‘ πππ ππ‘ 0 π π₯ π ππππ₯ππ₯ 1 Ans. cot −1 π π 1 Ans. cot −1 π Ans. 14. Find L.T. of [N15/ElexExtcElectBiomInst/4M] Solution: 1 πΏ π ππππ‘ = 2 π −1 S.E/Paper Solutions 36 1 π +2 . π −1 4 π 2 +4π −5 π 2 +4π +13 2 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education πΏ π π‘ π ππππ‘ = πΏ πΏ 1 2 −1 = 1 π −1 π‘ π₯ 1 1 π π ππππ₯ππ₯ = . 0 π π π −2 π‘ π₯ πππ ππ‘ 0 π π ππππ₯ππ₯ = πΏ 1 = 2 1 = = = 1 π π −2 1 π 2 π −2 π‘ π +π −π‘ πΏ = πΏ ∞ = π 2 −2π 2 1 π‘ π₯ π π ππππ₯ππ₯ 0 2 π‘ π π‘ + π −π‘ 0 π π₯ π ππππ₯ππ₯ π‘ π‘ π π‘ 0 π π₯ π ππππ₯ππ₯ + π −π‘ 0 π π₯ π ππππ₯ππ₯ 1 1 2 1 π −1 2 π −1 2 π −1−2 1 2 + + π −3 2 π +1 1 π +1 2 π +1−2 π −1 π‘ 15. Evaluate using L.T.: 0 π −π‘ 0 π’4 π ππππ’πππ ππ’ππ’ ππ‘ [N18/IT/4M][N18/Elect/6M] Solution: By definition of L.T., ∞ −π π‘ π π π‘ ππ‘ = πΏ π π‘ 0 π‘ 4 π’ π ππππ’πππ ππ’ππ’ 0 ∞ −π π‘ π‘ 4 π π’ π ππππ’πππ ππ’ππ’ ππ‘ 0 0 Put π π‘ = =πΏ = 1 π 1 π‘ 4 π’ π ππππ’πππ ππ’ππ’ 0 4 πΏ π‘ π ππππ‘ πππ ππ‘ = πΏ π‘4 = = = π 1 4π 1 4π 1 4π π π‘ −π −π‘ 4 πΏ π‘ π 2 2π‘ π π‘ +π −π‘ 2 −π −2π‘ πΏ π 2π‘ π‘ 4 − π −2π‘ π‘ 4 4! π −2 5 − 4! π +2 5 Put π = 1, ∞ −π‘ π 0 π‘ 0 π’4 π ππππ’πππ ππ’ππ’ ππ‘ = π‘ π ππ π’ 16. Find L.T. of π −π‘ 0 ππ’ π’ [M15/ElexExtcElectBiomInst/4M] Solution: We have, 1 πΏ π πππ‘ = 2 πΏ π πππ‘ π‘ = = = π +1 ∞ πΏ π πππ‘ ππ π ∞ 1 ππ π π 2 +1 tan−1 π ∞ π S.E/Paper Solutions 37 1 4! 4 −1 − 4! 35 =− 488 81 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education π = πΏ πΏ 2 π‘ π πππ’ ππ’ 0 π’ π‘ π πππ’ π −π‘ 0 π’ − tan−1 π = cot −1 π = 1 π πππ‘ πΏ π ππ’ = 1 1 = cot −1 π π‘ π +1 cot π −1 (π + 1) π‘ 17. Find L.T. of π −3π‘ 0 π’π ππ3π’ππ’ [N14/ElexExtcElectBiomInst/4M] Solution: We have, 3 πΏ π ππ3π‘ = 2 π +9 πΏ π‘π ππ3π‘ = −1 = −1 = −3 = −3 ∴ πΏ{π‘π ππ3π‘} = ∴πΏ ∴πΏ π 1 ππ π 2 +9 π 2 +9 [0]−1[2π ] π 2 +9 6π π 2 +9 πΏ π‘π ππ4π‘ = −1 π‘ π‘ 0 = −1 = −4 = −4 ∴ πΏ{π‘π ππ4π‘} = π ππ π 2 2 π‘ 1 π’π ππ3π’ππ’ = 0 π −3π‘ π‘ π π’π ππ3π’ππ’ 0 π +16 ∴πΏ 3 π 2 +9 ππ π 18. Find the L.T. of π −3π‘ [N18/Comp/4M] Solution: We have, 4 πΏ π ππ4π‘ = 2 ∴πΏ πΏ π ππ3π‘ ππ π πΏ π‘π ππ3π‘ = = 6 π +3 2 +9 2 1 π . = 6π π 2 +9 2 = 6 π 2 +9 2 6 π 2 +6π +18 2 π ππ4π‘ ππ‘ πΏ π ππ4π‘ 4 ππ π 2 +16 1 π ππ π 2 +16 π 2 +16 [0]−1[2π ] 8π π 2 +16 2 π 2 +16 2 π‘ 1 1 8π 8 π‘π ππ4π‘ππ‘ = πΏ π‘π ππ4π‘ = . = 2 2 2 0 π π π +16 π +16 π‘ 8 8 π −3π‘ 0 π‘ π ππ4π‘ ππ‘ = = 2 π +3 2 +16 2 π +6π +25 2 S.E/Paper Solutions 38 2 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education π‘ π’ 0 19. Find the L.T. of π −π‘ [M17/CompIT/5M] Solution: We have, π πΏ πππ 2π‘ = 2 π +4 πΏ π‘πππ 2π‘ = −1 = −1 ∴πΏ π‘ π’ 0 ∴ πΏ π −π‘ πΏ πππ 2π‘ ππ π π ππ π 2 +4 π 2 +4 1 −π 2π = −1 ∴ πΏ{π‘πππ 2π‘} = π π 2 +4 π 2 − 4 π 2 +4 2 2 πππ 2π’ππ’ = π‘ π’ 0 πππ 2π’ ππ’ 1 1 πΏ π‘πππ 2π‘ = π πππ 2π’ππ’ = π +1 2 −4 π (π +1) π +1 2 +4 π 2 − 4 . π 2 +4 2 = 2 π 2 +2π −3 (π +1) π 2 +2π +5 π‘ 2 20. Find L.T. of π −4π‘ 0 π’ π ππ3π’ππ’ [M15/AutoMechCivil/6M][N16/AutoMechCivil/4M][N17/Elex/5M] [M18/Elex/6M] Solution: We have, 3 πΏ π ππ3π‘ = 2 π +9 π πΏ π‘π ππ3π‘ = −1 = −1 ππ π 2 +9 π 2 +9 [0]−1[2π ] = −3 ∴πΏ ∴πΏ 3 ππ π 2 +9 π 1 = −3 ∴ πΏ{π‘π ππ3π‘} = πΏ π ππ3π‘ ππ π π 2 +9 6π π 2 +9 2 π‘ 1 π’π ππ3π’ππ’ = 0 π π‘ π −4π‘ 0 π’π ππ3π’ππ’ 21. Find L.T. of π −2π‘ [N18/Extc/6M] Solution: We have, π πΏ πππ 4π‘ = 2 π‘ π’ 0 2 πΏ π‘π ππ3π‘ = = 6 π +4 2 +9 2 π 3π’ πππ 4π’ ππ’ π +16 S.E/Paper Solutions 39 1 π . = 6π π 2 +9 2 = 6 π 2 +9 2 6 π 2 +8π +25 2 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education π πΏ π‘πππ 4π‘ = −1 = −1 π‘ π’ 0 π 2 +16 π 2 − 16 π −3 2 +16 1 π 3π’ πππ 4π’ ππ’ = π‘ π’ 0 ∴ πΏ π −2π‘ 2 π 2 +16 2 π −3 2 −16 ∴ πΏ π‘π 3π‘ πππ 4π‘ = ∴πΏ π ππ π 2 +16 π 2 +16 1 −π 2π = −1 ∴ πΏ{π‘πππ 4π‘} = πΏ πππ 4π‘ ππ π 2 π 2 −6π −7 = π 2 −6π +25 3π‘ 2 πΏ π‘π πππ 4π‘ = π 1 π 3π’ πππ 4π’ ππ’ = = π +2 1 π +2 1 = π +2 π 2 −6 π +2 . 1 π 2 −6π −7 . π 2 −6π +25 π +2 −7 2 π +2 2 −6 π +2 +25 2 π 2 +4π +4−6π −12−7 . π 2 +4π +4−6π −12+25 π 2 −2π −15 . π 2 −2π +17 2 2 π‘ ∞ 22. Evaluate 0 π −4π‘ 0 π’π ππππ’ 2 πππ π5π’ π 3π’ ππ’ ππ‘ [N17/Elect/8M] Solution: By definition of L.T., ∞ −π π‘ π π π‘ ππ‘ = πΏ π π‘ 0 π‘ π πππ’ 0 π’ Put π π‘ = ∞ −π π‘ π‘ π 0 0 = 1 π 1 = . π‘ 0 π’π πππ2 π’ 2 πππ π5π’. π 3π’ ππ’ ππ‘ = πΏ π’π πππ2 π’ 2 πππ π5π’. π 3π’ ππ’ πΏ π‘ 2 sinh4 π‘ πππ π5π‘ π 3π‘ = πΏ π‘2 π 1 ππ’ 1 π 32 π π‘ −π −π‘ 4 π 5π‘ +π −5π‘ 2 π 3π‘ 2 πΏ π‘ 2 π 4π‘ − 4π 2π‘ + 6 − 4π −2π‘ + π −4π‘ π 8π‘ + π −2π‘ 1 = 32π πΏ π‘ 2 π12π‘ + π 2π‘ − 4π10π‘ − 4 + 6π 8π‘ + 6π −2π‘ − 4π 6π‘ − 4π −4π‘ + π 4π‘ + π −6π‘ = 1 32π 2 π −12 3 + 2 π −2 3 − 4.2 π −10 3 − 4.2 π 3 + 6.2 π −8 3 + 6.2 π +2 3 − 4.2 π −6 3 − 4.2 π +4 3 Put π = 4, ∞ −π π‘ π‘ π 0 0 π’π πππ2 π’ 2 πππ π5π’. π 3π’ ππ’ ππ‘ = ∞ 23. Find Laplace Transform of π π‘ = π‘ [M19/AutoMechCivil/5M] Solution: We have, 4 πΏ π ππ4π‘ = 2 π +16 S.E/Paper Solutions 40 π‘ −2π’ π π ππ4π’ 0 ππ’ + 2 π −4 3 + 2 π +6 3 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education 4 πΏ π −2π‘ π ππ4π‘ = πΏ πΏ 2 +16 = 4 π 2 +4π +20 π +2 π‘ −2π’ 1 4 π π ππ4π’ ππ’ = . 2 0 π π +4π +20 π‘ −2π’ π 4 π‘ 0π π ππ4π’ ππ’ = −1 3 ππ π +4π 2 +20π π 3 +4π 2 +20π 0 − 4 3π 2 +8π +20 = −1 = 4 π 3 +4π 2 +20 3π 2 +8π +20 π 3 +4π 2 +20π 2 2 Type VII: Heaviside Unit step Function& Delta Function 1. 2. Find the Laplace transform of π‘ 2 π» π‘ − 3 Find the Laplace transform ofπ πππ‘. π» π‘ − π 2 −π» π‘− π π +1 1 π 2 +1 + π −ππ −π π 2 +1 + 6 π 2 + 2 π 1 π 2 +1 Find the L.T. of π −π‘ πππ π‘ π» π‘ − π [N14/ChemBiot/6M][M17/ElexExtcElectBiomInst/4M] Solution: πΏ π −π‘ πππ π‘ π» π‘ − π = π −ππ πΏ π − π‘+π cos π‘ + π = π −ππ πΏ π −π‘ . π −π πππ π‘ πππ π − π πππ‘ π πππ = π −ππ . π −π πΏ π −π‘ – πππ π‘ = −π −ππ . π −π πΏ π −π‘ πππ π‘ π +1 = −π −ππ . π −π 2 = −π 5. + 9 π π 1 Ans. π . 2 − π −3 2 π . π +1 π Find the L.T. of π πππ‘ π» π‘ + πππ π‘ − π πππ‘ π» π‘ − π [M19/IT/4M] Solution: πΏ π πππ‘ π» π‘ + πππ π‘ − π πππ‘ π» π‘ − π = π −0π πΏ sin π‘ + 0 + π −ππ πΏ cos π‘ + π − sin π‘ + π = πΏ π πππ‘ + π −ππ πΏ{πππ π‘ πππ π − π πππ‘ π πππ − π πππ‘ πππ π − πππ π‘ π πππ} 1 = 2 + π −ππ πΏ −πππ π‘ + π πππ‘ = 4. π 3 3π −2 π 3. 2 Ans. π −3π −ππ .π −π . π +1 +1 π +1 π 2 +2π +2 Find the L.T. of π −π‘ π πππ‘ π» π‘ − π [M19/Comp/6M] Solution: πΏ π −π‘ π πππ‘ π» π‘ − π = π −ππ πΏ π − π‘+π sin π‘ + π = π −ππ πΏ π −π‘ . π −π π πππ‘ πππ π + πππ π‘ π πππ S.E/Paper Solutions 41 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education = π −ππ . π −π πΏ π −π‘ – π πππ‘ = −π −ππ . π −π πΏ π −π‘ π πππ‘ 1 = −π −ππ . π −π 2 = −π −ππ . π −π . 6. π +1 +1 1 π 2 +2π +2 Find L.T. of π‘π −2π‘ π» π‘ − 1 [N17/IT/4M] Solution: πΏ π‘π −2π‘ π» π‘ − 1 = π −π πΏ π −2 π‘+1 π‘ + 1 = π −π πΏ π −2π‘ . π −2 π‘ + 1 = π −π . π −2 πΏ π −2π‘ π‘ + π −2π‘ 1 1 = π −π −2 + 2 π +2 π +2 7. Find the Laplace transform of: π‘. π» π‘ − 4 + π‘ 2 πΏ π‘ − 4 8. Ans. 2 1 + 4π + 16π 2 π Find the Laplace transform of: π‘ 2 π» π‘ − 2 − πππ ππ‘ πΏ π‘ − 4 π −4π 2 Ans. π −2π 9. π 3 + 4 π 2 4 + π − π −4π πππ π4 Find the Laplace transform of: 1 + 2π‘ − 3π‘ 2 + 4π‘ 3 π» π‘ − 2 [M15/ChemBiot/6M] Solution: πΏ 1 + 2t − 3t 2 + 4t 3 H t − 2 = π −2π πΏ 1 + 2 π‘ + 2 − 3 π‘ + 2 2 + 4 π‘ + 2 3 = π −2π πΏ 1 + 2π‘ + 4 − 3π‘ 2 − 12π‘ − 12 + 4π‘ 3 + 24π‘ 2 + 48π‘ + 32 = π −2π πΏ 4π‘ 3 + 21π‘ 2 + 38π‘ + 25 4.3! 21.2! 38 25 = π −2π 4 + 3 + 2 + = π −2π 24 π π 4 + π 42 38 π 3 π 2 + π + 25 π π 10. Find the Laplace transform of: 2 − 2π‘ + 3π‘ 2 − π‘ 3 π» π‘ − 3 Ans. π −3π − 2 3 6 π 4 − 12 π 3 − 11 π 2 − 4 π 11. Find the Laplace transform of: 1 + 3π‘ − π‘ + π‘ π»(π‘ − 4) 6 22 43 Ans. π −4π 4 + 3 + 2 + π π π 12. Find the Laplace transform of: 1 + 2π‘ − π‘ 2 + π‘ 3 π»(π‘ − 4) [N18/Elex/4M] Solution: πΏ 1 + 2t − t 2 + t 3 H t − 4 S.E/Paper Solutions 42 61 π Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education = π −4π πΏ 1 + 2 π‘ + 4 − π‘ + 4 2 + π‘ + 4 3 = π −4π πΏ 1 + 2π‘ + 8 − π‘ 2 − 8π‘ − 16 + π‘ 3 + 12π‘ 2 + 48π‘ + 64 = π −4π πΏ π‘ 3 + 11π‘ 2 + 42π‘ + 57 3! 11.2! 42 57 = π −4π 4 + 3 + 2 + =π −4π π 6 π 4 + π 22 π 3 + 42 π 2 π + 57 π π 13. Find the Laplace transform of: π‘ 3 + 2π‘ 2 − 3π‘ + 1 π» π‘ − 1 Ans. π −π 6 π 4 + 14. Find the Laplace transform of: π‘ 2 π» π‘ − 2 + π‘ 3 πΏ π‘ − 3 Ans. π −2π 15. Evaluate the following: ∞ 0 π 3 + 4 π 2 + π 3 4 π + 4 π 2 + 1 π + π −3π . 27 π −2π‘ 1 + 2π‘ − 3π‘ 2 + 4π‘ 3 π» π‘ − 1 ππ‘ Ans. ∞ 0 2 10 −π‘ 2 3 31 4π 2 16. Evaluate the following: π 1 + 2π‘ − π‘ + π‘ π» π‘ − 1 ππ‘ [N17/Comp/6M] Solution: By definition of L.T., ∞ −π π‘ π π π‘ ππ‘ = πΏ π π‘ 0 Put π π‘ = 1 + 2π‘ − π‘ 2 + π‘ 3 π» π‘ − 1 ∞ −π π‘ π 1 + 2π‘ − π‘ 2 + π‘ 3 π» π‘ − 1 ππ‘ = πΏ 1 + 2π‘ − π‘ 2 + π‘ 3 π» π‘ − 1 0 = π −π πΏ (1 + 2 π‘ + 1 − π‘ + 1 2 + π‘ + 1 3 = π −π πΏ 1 + 2π‘ + 2 − π‘ 2 − 2π‘ − 1 + π‘ 3 + 3π‘ 2 + 3π‘ + 1 = π −π πΏ π‘ 3 + 2π‘ 2 + 3π‘ + 3 2.2! 3 3 3! = π −π 4 + 3 + 2 + π π π π Put π = 1, 16 1 + 2π‘ − π‘ 2 + π‘ 3 π» π‘ − 1 ππ‘ = π −1 6 + 4 + 3 + 3 = ∞ −π‘ π 0 17. Evaluate the following: π ∞ 0 π −2π‘ 1 − π‘ + π‘ 2 π» π‘ − 3 ππ‘ Ans. ∞ 0 5 π6 18. Evaluate the following: π −π‘ 1 + 3π‘ + π‘ 2 π» π‘ − 2 ππ‘ [M18/Comp/6M] Solution: By definition of L.T., ∞ −π π‘ π π π‘ ππ‘ = πΏ π π‘ 0 Put π π‘ = 1 + 3π‘ + π‘ 2 π» π‘ − 2 ∞ −π π‘ π 1 + 3π‘ + π‘ 2 π» π‘ − 2 ππ‘ = πΏ 1 + 3π‘ + π‘ 2 π» π‘ − 2 0 S.E/Paper Solutions 43 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education = π −2π πΏ (1 + 3 π‘ + 2 + π‘ + 2 2 = π −2π πΏ 1 + 3π‘ + 6 + π‘ 2 + 4π‘ + 4 = π −2π πΏ π‘ 2 + 7π‘ + 11 2! 7 11 = π −2π 3 + 2 + π π π Put π = 1, ∞ −π‘ π 1 + 3π‘ + π‘ 2 π» π‘ − 2 ππ‘ = π −2 2 + 7 + 11 = 20π −2 0 S.E/Paper Solutions 44 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education Type VIII: L.T. of Periodic Functions 1. 1 πππ 0 ≤ π‘ < π and π(π‘) is periodic with period −1 πππ π < π‘ < 2π Find L.T. of π π‘ = 2a [N18/IT/6M] Solution: We have, π(π‘) is periodic with period 2a, 1 2π −π π‘ πΏπ π‘ = π π π‘ ππ‘ −2ππ 0 πΏπ π‘ π −π π‘ 2π π . 1ππ‘ + π 1−π −2ππ 0 π 2π π −π π‘ π −π π‘ 1 = = = = = − −π 0 1−π −2ππ 1 π −ππ π0 − = −π π π −2ππ − 1−π −2ππ 1 π 1−π −ππ 1−π −2ππ . 1−π −ππ π 1−π −ππ 1+π −ππ 1−π −ππ 1 1−π −ππ π = . 1+π −ππ π −π 2 π 1 1+π −ππ 2 1 = . tanh π πΈ πππ 0 ≤ π‘ < Find L.T. of π π‘ = π −π π‘ . −1ππ‘ π −ππ + 1−π −2ππ −π −π −π 1 1−2π −ππ +π −2ππ = 2. 1−π 1 π −πΈ ππ 2 πΏπ π‘ = = = = = π 2 0 1−π −ππ 2 πππ < π‘ < π 1 πΈ 1−π −ππ πΈ 1−π −ππ π − π −π π‘ π 2 −π 0 ππ 2 − −π π0 −π − πΈ − πΈ 1−π −ππ π 1−π −ππ S.E/Paper Solutions 1−π − π −π π‘ . −πΈππ‘ π −π π‘ π −π π 2 π −ππ ππ − 1−2π 2 +π −ππ πΈ π π 2 −π + ππ 2 2 π 45 π 1+π −π and π π‘ + π = π(π‘) 2 π −π π‘ . πΈππ‘ + 1−π −π π [N14/CompIT/6M] Solution: We have, π(π‘) is periodic with period p, 1 π −π π‘ πΏπ π‘ = π π π‘ ππ‘ −ππ 0 1−π 1 since − ππ 2 −π = tanh π 2 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education πΈ = = ππ − 1−π 2 πΈ 1−π − π 1+π − π π ππ 2 − πΈ ππ π since 4 1−π −π 1+π −π = tanh π‘ 0<π‘<1 Find L.T. of π π‘ = and π π‘ + 2 = π π‘ 0 1<π‘<2 [M18/IT/5M][N18/AutoMechCivil/6M][N18/Comp/6M] [M19/AutoMechCivil/6M] Solution: We have, π(π‘) is periodic with period 2, 1 2 −π π‘ πΏπ π‘ = π π π‘ ππ‘ −2π 0 πΏπ π‘ = = = = 4. . ππ 2 ππ 2 2 ππ 2 = . tanh 3. − − ππ 2 ππ − 1+π 2 πΈ 1−π = . 1+π 1−π 1−π 1 1 −π π‘ π . π‘ππ‘ 0 1−π −2π 1 1−π −2π 1 π −π π‘ π‘. −π π −π − 2 2 −π π‘ π . 0ππ‘ 1 −π π‘ 1 + − 1 . π −π π π π 2 1 −0+ π 2 1−π −2π −π 1 1−π π −π −π −π 0 π 2 π 2 1−π −2π π‘ π−π‘ Find L.T. of π π‘ = 0<π‘<π and π π‘ = π(π‘ + 2π) π < π‘ < 2π Solution: We have, π(π‘) is periodic with period 2π, 1 2π −π π‘ πΏπ π‘ = π π π‘ ππ‘ −2ππ 0 πΏπ π‘ = = = = = = = 1−π 1 π 0 1−π −2ππ 1 1−π −2ππ 1 π‘. π π −π π‘ − 1 . −π π −ππ − π −ππ 1−π −2ππ −π π 2 1 π(π −2ππ −π −ππ ) 1−π −2ππ 1 1−π −2ππ 1−π −ππ π 1−π −ππ 2 π 2 − 2π π −π π‘ π π −π π‘ . π‘ππ‘ + − π π 2 −0+ + + π−π‘ . 1 + −π . 2 π π −2ππ −2π −ππ +1 ππ −ππ π 2 −ππ 1−π π ππ −ππ π 2 1+π −ππ π 1+π −π π −ππ −π π 1−π −ππ π S.E/Paper Solutions 0 π −π π‘ . π − π‘ ππ‘ π 2 1+π −ππ 46 π −π π‘ −π π −2ππ −π − −1 . + π −2ππ π 2 π −π π‘ 2π π 2 π −0− π −ππ π 2 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education 5. πΎπ‘ Find L.T. of π π‘ = for 0 < π‘ < π & π π‘ + π = π π‘ π [N16/CompIT/6M] Solution: We have, π(π‘) is periodic with period T, π −π π‘ 1 π π π‘ ππ‘ πΏπ π‘ = −ππ 0 πΏπ π‘ = = = = 6. π −π π‘ πΎπ‘ π . 0 π 1−π −ππ 1 . πΎ 1−π −ππ π 1 πΎ 1−π −ππ . π −π π‘ π‘. π. −π π −ππ ππ‘ − 1 . − π −ππ πΎ −π π 2 −ππ 1−π ππ −π −ππ π 1−π −ππ π 2 π π −π π‘ π π 2 0 1 −0+ π 2 2π‘ Find the Laplace Transform of π π‘ = , 0 ≤ π‘ ≤ 3, π π‘ + 3 = π π‘ 3 [M17/CompIT/6M] Solution: We have, π(π‘) is periodic with period 3, 3 −π π‘ 1 π π π‘ ππ‘ πΏπ π‘ = −3π 0 πΏπ π‘ = = = = 7. 1−π 1 1−π 1 3 −π π‘ 2π‘ π . 0 3 1−π −3π 1 . 2 1−π −3π 3 2 1 . π‘. 3. π −π π‘ −π π −3π ππ‘ − 1 . − π −3π 2 −π π 2 1−3π π −3π −π −3π 3 1−π −3π π 2 1−π −3π 3 π −π π‘ 3 π 2 0 −0+ 1 π 2 3π‘ 0<π‘<2 where π π‘ has period 4. (i) Draw graph of 6 2<π‘<4 π π‘ (ii) Find πΏ π π‘ Solution: We have, π(π‘) is periodic with period 4, 1 4 −π π‘ πΏπ π‘ = π π π‘ ππ‘ −4π 0 If π π‘ = πΏπ π‘ = = = = = 1−π 1 2 −π π‘ π . 3π‘ππ‘ 0 1−π −4π 1 1−π −4π 1 3π‘. 6 π −π π‘ −π π −2π −3 1−π −4π −π 1 3 1−π −2π 1−π −4π π 2 3 1−π −2π −6π π −4π S.E/Paper Solutions − 3 . π −2π − 4 −π π‘ π . 6ππ‘ 2 2 4 π −π π‘ 6π −π π‘ + π 2 0 −0+ π 2 6π −4π π π 2 1−π −4π 47 + 3 −π 2 6π −4π π −π + 2 − 6π −2π −π Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education π‘ 8. Find L.T. of π π‘ = 0<π‘<π π 2π−π‘ π < π‘ < 2π π where π π‘ = π(π‘ + 2π) Solution: We have, π(π‘) is periodic with period 2π, 1 2π −π π‘ πΏπ π‘ = π π π‘ ππ‘ −2ππ 0 πΏπ π‘ = = = = = 1−π 1 1−π −2ππ 1 π 1−π −2ππ 1 π 1−π −2ππ 1 π 0 π‘ π π‘. π π −π π‘ − 1 . −π π −ππ − π −ππ π −π π‘ . π −π π‘ π π 2 0 −0+ −π π 2 −ππ −2ππ 1−2π +π π 1−π −2ππ 1 2π π π −π π‘ . ππ‘ + 2π−π‘ π ππ‘ + 2π − π‘ . 1 π 2 +0+ π −π π‘ π −2ππ π 2 −π − −1 . − π. π −ππ − −π π −π π‘ 2π π 2 π π −ππ π 2 π 2 −ππ 2 1−π π 1−π −2ππ π 2 −ππ 2 1−π 1 = . = = 9. π π 2 1−π −ππ 1+π −ππ 1 1−π −ππ . ππ 2 1+π −ππ 1 ππ ππ 2 . tanh 2 π−π‘ 2 Find L.T. of π π‘ = ; 0 < π‘ < 2π and π π‘ = π π‘ + 2π 2 Solution: We have, π(π‘) is periodic with period 2π, 1 2π −π π‘ πΏπ π‘ = π π π‘ ππ‘ −2ππ 0 πΏπ π‘ = = = = 1−π 1 1−π −2ππ 2π 0 1 π−π‘ 4 1−π −2ππ 1 4 1−π −2ππ π −π π‘ . π2 π −2ππ −π π−π‘ 2 −π π‘ 2 π . −π − 2π 1 π 2 1−π −2ππ 4 1−π −2ππ π π π ππππ‘ 10. Find L.T. of π π‘ = 0 2 ππ‘ − 2 π − π‘ −1 . π −2ππ π 2 − + 2. π 2 0<π‘< π π <π‘< π 48 −π 3 2π 1+π −2ππ Solution: 2π We have, π(π‘) is periodic with period , S.E/Paper Solutions π −2ππ π −π π‘ π 2 − π2. + 1 −π + 2. − 2π. 2 1−π −2ππ π −π π‘ 2π −π 3 0 1 π 2 − 2. π 3 π π 2π and π π π‘ =π π‘+ 2π π 1 −π 3 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education πΏπ π‘ = 1−π πΏπ π‘ 1−π 2π π π − 1−π − π π 2π π π π −π π‘ 2π π π −π 2 +π 2 π 2π − π 1−π π − − π π π π 2 +π 2 ππ 1−π π −π π‘ . ππ ππππ‘ππ‘ + 0 π = π −π π‘ π π‘ ππ‘ 0 π = = − 1 = = 2π π 1 1+π 2π π π ππ π −π π‘ . 0ππ‘ π π −π . π ππππ‘ − π. πππ ππ‘ 0 1 . π − π 2 +π 2 . (−π) π π π π 2 +π 2 1+π π 2 +π 2 − 2π π π π . 1−π − − π π π 2π π π π ππ2π‘ 0<π‘< π 2 and π π‘ = π π‘ + π 0 <π‘<π 2 [N16/AutoMechCivil/6M] Solution: We have, π(π‘) is periodic with period π, π −π π‘ 1 π π π‘ ππ‘ πΏπ π‘ = −ππ 0 11. Find L.T. of π π‘ = πΏπ π‘ = = = = = π 1−π 1 π 2 0 1−π −ππ 1 π −π π‘ 1−π −ππ −π 2 +22 1 π − π π 2 1−π −ππ π 2 +4 2 1+π 1−π −ππ 2 π 2 +4 . π π −π π‘ . π ππ2π‘ππ‘ + − π 2 −π . π ππ2π‘ − 2. πππ 2π‘ . 2 − − 1 . (−2) π 2 +4 π π 2 π π 2 1−π −ππ π ππππ‘ 12. Find L.T. of π π‘ = 0 0<π‘< π π <π‘< π π 2π π Solution: 2π We have, π(π‘) is periodic with period , π S.E/Paper Solutions π 2 0 π 2 +4 1+π π −π π‘ . 0ππ‘ 49 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education πΏπ π‘ = 1−π πΏπ π‘ 1−π 2π π π − 1−π − π −π π‘ π π‘ ππ‘ 0 π π 2π π π 0 π −π π‘ π −π π‘ 1 = = − 1 = = 2π π 1 2π π π −π 2 +π 2 1 π 2π − π 1−π π − π π π π 1+π 2π − π 1−π π − π π π π ππ7π‘ π π 0 1 π 2 +π 2 π π 2 +π 2 . (−π) 1+π . 1−π 0<π‘< π 2 π −π π‘ . 0ππ‘ −π . π ππππ‘ − π. πππ ππ‘ = π 2 +π 2 13. Find L.T. of π π‘ = . π ππππ‘ππ‘ + . π − π 2 +π 2 2π π π π − π π π 2π π π π 2 and π π‘ = π π‘ + π <π‘<π 2 − [N17/Elect/6M] Solution: We have, π(π‘) is periodic with period π, π −π π‘ 1 π π π‘ ππ‘ πΏπ π‘ = −ππ 0 πΏπ π‘ = = = = 1−π 1 π 2 0 1−π −ππ 1 π −π π‘ 1−π −ππ −π 2 +72 1 π − π π 2 1−π −ππ π 2 +49 1 1−π −ππ π π π −π π‘ . π ππ7π‘ππ‘ + π 2 +49 + π −π π‘ . 2ππ‘ π 2 −π . π ππ7π‘ − 7. πππ 7π‘ 1 π 2 +49 7 π 2 +49 − . −7 + 2 2π −π π π + π −π π −π = 1−π −2ππ 1 = 1−π −2ππ = = 1 π 0 π −π π‘ . π πππ‘ππ‘ + . −π . π πππ‘ − 1. πππ π‘ π 2 +1 . 1 − 1 1−π −2ππ π 2 +1 π 2 +1 1 π −π π +1−π .π −2ππ −π 1−π −2ππ S.E/Paper Solutions 2π π −π π 2 π 2 +1 50 0 −2 π −π π 2 −π π πππ‘ πππ π‘ 0<π‘<π π < π‘ < 2π π −π π‘ . πππ π‘ππ‘ π π −π π‘ π −π π π π Solution: We have, π(π‘) is periodic with period 2π, 1 2π −π π‘ πΏπ π‘ = π π π‘ ππ‘ −2ππ 0 πΏπ π‘ π −π π‘ π −π 2π 2 14. Find the Laplace Transforms of f(t), where π π‘ = 1−π 1 +2 0 . π − π −π π 2 π 2 + . −1 + 2π π −π π‘ . −π . πππ π‘ + 1. π πππ‘ π 2 +1 π −2ππ π 2 +1 . −π − 1 π 2 +1 . (π ) π Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education 15. Find the Laplace Transforms of f(t), where π π‘ = π ππππ‘ ; π‘ ≥ 0 [N15/CompIT/6M] Solution: We note that, π π‘+ π = π πππ π‘ + π π = sin(ππ‘ + π) = π ππππ‘ π ∴ π(π‘) is periodic with period πΏπ π‘ πΏπ π‘ = = 1 π − π 1−π π 0 π − π π π π − π 1−π π − π π π π 2 +π 2 1+π 1 1−π π − π π 1 − π π 0 . π − 1 π 2 +π 2 . (−π) π π π π 2 +π 2 1+π π 2 +π 2 −π . π ππππ‘ − π. πππ ππ‘ −π 2 +π 2 1 = π −π π‘ . π ππππ‘ππ‘ π −π π‘ 1 1−π = π π π − π 1−π π π π −π π‘ π π‘ ππ‘ 0 1 = = π π π . − π π π = π π − 1−π π 1 π 2 +π 2 . coth ππ 2π 16. Find the Laplace Transforms of f(t), whereπ π‘ = π πππ‘ [N18/Elect/5M] Solution: We note that, π π‘ + π = π ππ π‘ + π = π πππ‘ ∴ π(π‘) is periodic with period π 1 π −π π‘ πΏπ π‘ = π π π‘ ππ‘ −ππ 0 πΏπ π‘ = = = = = 1−π 1 1−π −ππ 1 π −π π‘ π . π πππ‘ππ‘ 0 π −π π‘ 1−π −ππ −π 2 +1 1 π −π π . 1 − 1−π −ππ π 2 +1 1+π −ππ 1 1−π −ππ π 2 +1 1 1+π −π π π 2 +1 . 1−π −π π = π −π . π πππ‘ − 1. πππ π‘ 1 π 2 +1 1 π 2 +1 0 . (−1) . coth ππ 2 17. Find the Laplace Transforms of f(t), whereπ π‘ = πππ π‘ Solution: S.E/Paper Solutions 51 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education We note that, π π‘ + π = πππ π‘ + π = πππ π‘ ∴ π(π‘) is periodic with period π 1 π −π π‘ πΏπ π‘ = π π π‘ ππ‘ −ππ 0 πΏπ π‘ = = = = = = 1−π 1 1−π −ππ 1 π −π π‘ π . πππ π‘ππ‘ 0 π −π π‘ 1−π −ππ −π 2 +1 1 π −π π −π . πππ π‘ + 1. π πππ‘ . π − 1−π −ππ π 2 +1 1+π −ππ π 0 1 π 2 +1 . (−π ) 1−π −ππ π 2 +1 π 1+π −π π π 2 +1 π π 2 +1 S.E/Paper Solutions . 1−π −π π ππ . coth π 2 52 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education Type IX: Miscellaneous Solved Problems 1. Find the Laplace Transforms of sin π‘ [N13/AutoMechCivil/5M][N13/Chem/5M][M18/Elex/5M] Solution: π₯3 We have, π πππ₯ = π₯ − sin π‘ = π‘ − π‘2 πΏ sin π‘ = πΏ π‘ πΏ sin π‘ = πΏ sin π‘ = πΏ sin π‘ = πΏ sin π‘ = 3 2 3 π 2 Γ πΏ sin π‘ = −πΏ π π 3 5 π‘2 π‘2 5 2 5 6π 2 31 1 . Γ 22 2 5 6π 2 3 2 3 1− 2π 2 π 1 +πΏ + + + 4π 1 − β― … .. − β― … .. 7 1 2 7 120π 2 53 . 22 120π 2 − β― … .. − β―….. 1 − β―….. 32π 2 1 2 4π + 4π 120 120π 2 531 . . Γ 222 6π 1 7 2 Γ + 1− 1− 3 2π 2 − β― …. 6 Γ − − β― …. − β― … .. 120 − 1 1 Γ 2 2 3 π 2 1 1 Γ 2 2 3 π 2 πΏ sin π‘ = 5 1 2 5! 5! π‘2 + 6 5 π‘ + 3! 3 1 2 3 π‘ sin π‘ = π‘ − 3! π₯5 + − β―….. 2! − 3 . π 4π 2π 2 2. Find the Laplace Transforms of π ππ π‘ π‘ Solution: We have, π πππ₯ = π₯ − π‘ sin π‘ = π‘ − 1 sin π‘ = π‘ 2 − sin π‘ πΏ πΏ πΏ 3 π‘2 6 π‘ sin π‘ π‘ sin π‘ π‘ sin π‘ π‘ 3! + 5 π‘2 120 6 120 1 π 1 6π 2 π 6π 2 = − S.E/Paper Solutions 1 π₯5 5 5! − β― …. − β― …. 5! − β― … .. − β― … …. = πΏ 1 −πΏ 1 + π‘ + π‘2 = − 3! 3 π‘ = 1− + π₯3 + + π‘ +πΏ 6 2! 120π 3 1 60π 3 π‘2 120 −β―… − β― …. 53 −β―… Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education 3. cos π‘ Find the Laplace Transforms of π‘ [M14/ChemBiot/5M][N16/ChemBiot/5M] Solution: π₯2 We have, πππ π₯ = 1 − cos π‘ = 1 − + 2! π‘ π‘2 cos π‘ = 1 − + 2 cos π‘ π‘ πΏ πΏ πΏ πΏ πΏ πΏ πΏ 4. 1 =π‘ cos π‘ π‘ cos π‘ π‘ cos π‘ π‘ cos π‘ π‘ cos π‘ π‘ cos π‘ π‘ cos π‘ π‘ −2 − 24 1 π‘2 2 2! π‘ 2 π‘ 3 − β― … …. 1 =πΏ π‘ = = = = = = 1 2 1 π 2 1 Γ 2 1 π 2 1 Γ 2 1 π 2 1 Γ 2 1 π 2 1 Γ 2 1 π 2 Γ π π −πΏ 3 2 3 2π 2 1 1 Γ 2 2 3 2π 2 1 2 Γ − − − β― …. − β― … .. 24 −2 − β― …. 4! 4 4! π‘2 + π₯4 + 1− 1− 3 π‘2 +πΏ 2 + 1− 1 π‘2 Γ 5 2 5 1 2 5 24π 2 31 . 22 24π 2 + 2π 1 1 + 4π 1 − β― …. − β―….. − β―….. 32π 2 1 2 4π + 4π −β―… − β― … .. 24π 2 31 . Γ 22 + 24 2! − β―….. 1 π −4π Find the Laplace Transforms of πππ π‘ Solution: 2 π₯ −π’ 2 By definition, ππππ₯ = π ππ’ 0 π πππ π‘ = πππ π‘ = πππ π‘ = πππ π‘ = πππ π‘ = 2 π‘ π 0 2 π‘ π 0 2 π 2 π 2 π S.E/Paper Solutions π −π’ 2 1 − π’2 + π’− π’3 3 π‘ − + π‘ π‘− 1 2 ππ’ 3 π’5 10 5 π‘2 3 + 10 π’6 3! − β―… + 3 2! − + β― . . ππ’ π‘ 3 π‘2 π’4 π‘ 10 5 0 −β―…… −β―… 54 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education πΏ πππ π‘ = πΏ πππ π‘ = πΏ πππ π‘ = πΏ πππ π‘ = πΏ πππ π‘ = πΏ πππ π‘ = πΏ πππ π‘ = 2 πΏ π‘ π 3 2 3 π 2 Γ 2 π 2 π 2 π 2 π 1 . . 3 πΏ πππ π‘ = πΏ πππ π‘ = πΏ πππ π‘ = 5. 1 1 Γ 2 2 3 π 2 1 1 Γ 2 2 3 π 2 5 π‘2 1− 1 +πΏ 3 + 1− 3 2π 2 3 π‘2 5 2 5 3π 2 31 1 . Γ 22 2 5 3π 2 3 2 Γ − π 3π 7 2 Γ + + + − β―… 7 1 2 7 10π 2 53 . 22 10π 2 3 − β―…. −β―… 2 4 π 2 1 1 −2 − β―…… − β―….. 1− . + . . 2 π −β―… 10 10π 2 531 . . Γ 222 2π 8π 2 1 1 1 3 1 π 2 1 1+ 3 π 1 1 π +1 −2 3 π 2 π 1 π 1 2 3 π 2 π +1 π 1 π π 1 . π +1 π π +1 Find the Laplace Transforms of erfπ π‘ Solution: ππππ₯ + ππππ π₯ = 1 erfπ π‘ = 1 − erf π‘ πΏ erfπ π‘ = πΏ 1 − πΏ erf π‘ 1 1 π π π +1 πΏ erfπ π‘ = − 6. −πΏ − π 2 πΏ πππ π‘ = 1 2 Find the Laplace Transforms of π½0 π‘ π€πππππ½0 π‘ = Solution: π½0 π‘ = π½0 π‘ = π π‘ 2π ∞ −1 0 π! 2 2 −1 0 π‘ 0 −1 0! 2 π½0 π‘ = 1 − S.E/Paper Solutions π‘2 4 2 + + π‘4 64 1! 1 2 π‘ 2 2 + − β― … .. 55 −1 2 π‘ 4 2! 2 2 + β―… π ∞ −1 0 π! 2 π‘ 2π 2 Crescent Academy…….………………….…..For Research in Education πΏ π½0 π‘ =πΏ 1 −πΏ πΏ π½0 π‘ = − πΏ π½0 π‘ = πΏ π½0 π‘ = πΏ π½0 π‘ = πΏ π½0 π‘ = πΏ π½0 π‘ = πΏ π½0 π‘ = πΏ π½0 π‘ = πΏ π½0 π‘ 1 2! π 1 4π 3 π 1 π 1 π 1 π 1− 1− 1 π 2 +1 π π 2 1 π 2 4 4! + +πΏ 4π 2 1 + + 2π 2 1 1 64π 4 3 64 − β―…. 8π 4 1 3 1 2 4 π 4 − β―….. π 2 1 −2 1 2 π π 2 +1 1 π π = S.E/Paper Solutions 1 − β― …. − β―…. + . . 2 π 2 1 1 −2 π‘4 − β― …. 64π 5 2 24 1− . 1+ π‘2 π 2 +1 π 2 +1 56