THEVENIN VE NORTON TEOREMİ-1 Kaynak: Doğru Akım Devre Analizi kitabı. Öğr.Gör.R.Aysel VARDAR 3.9 THEVENİN - NORTON TEOREMLERİ 3.9.1 THEVENİN TEOREMİ Thevenin (Tevenin) teoremi ile belirli sayıda kaynak ve dirençlerden oluşan karmaşık bir devre, eşdeğeri olan bir gerilim kaynağı ve ona seri bağlı bir direnç devresine dönüştürülür. Thevenin devresi şekil 3.13’ de görüldüğü gibi bir gerilim kaynağı ve ona seri bağlı bir dirençten oluşur. Devrenin belirlenen iki noktası açık devre edilerek, Thevenin eşdeğer kaynağın gerilim ve Thevenin eşdeğer direnci hesaplanır. Thevenin gerilimi iki uçtan görülen Vab gerilimidir. Thevenin eşdeğer direnci ise, bütün gerilim kaynakları kısa devre ve akım kaynakları açık devre edildiğinde iki uçtan ölçülen toplam dirençtir. a RTh VTh b Şekil 3.13 Örnek 3.16: Şekildeki devrenin, Thevenin eşdeğer devresini çiziniz ve Ry yük direncinden geçen akımı bulunuz. R1 Iy 6 + E - 12V R2 3 Ry = 4 Çözüm: Şekil a’ da görüldüğü gibi, önce Ry yük direncinin uçları a ve b olarak işaretlenir. Daha sonra Ry yük direnci devreden çıkartılarak açık devre haline getirilir. a - b uçları arasından görülen Thevenin gerilimi, VTh = R2 3Ω 36 V .E = .12 V = = 4V R1 + R 2 6 Ω + 3Ω 9 R1 a 6 E + 12 V - R2 3 b Şekil a Thevenin eşdeğer direncini hesaplamak için, şekil b’ de görüldüğü gibi gerilim kaynağı kısa devre edilir. a - b uçları arasından görülen Thevenin eşdeğer direnci, RTh = R1 // R 2 = 6 Ω.3 Ω 18 Ω = = 2Ω 6 Ω + 3Ω 9 RTh R1 a 6 2Ω + 3 R2 VTh - a Iy Ry = 4 4V b b Şekil c Şekil b b Thevenin gerilimi ve direnci bulunduğuna göre, Thevenin eşdeğer devresi şekil c’ deki gibi çizilir. Ry yük direncinden geçen akımı hesaplamak için devreden çıkartılan Ry direnci, şekil c’ de görüldüğü gibi tekrar a-b uçlarına bağlanır. Buna göre Ry üzerinden geçen akım, Iy = VTh 4V = = 0,666A RTh + Ry 2 Ω + 4 Ω İkinci yol: Kaynak dönüşümü yapılarak Thevenin eşdeğer devresi aşağıdaki gibi elde edilir. 3 // 6 = 2 6 R1 + E - 12V 3 R2 6 Ry= 4 3 4 2A I= Şekil d E 12 V = = 2A R1 6 Ω Şekil e Şekil d’ deki devrede gerilim kaynağı akım kaynağına dönüştürülür ve gerilim kaynağına seri bağlı olan R1 direnci akım kaynağına paralel bağlanarak şekil e elde edilir. Paralel bağlı R1 ve R2 dirençlerinin eşdeğeri alınarak şekil f ’ deki gibi devre yeniden düzenlenir. Daha sonra akım kaynağı tekrar gerilim kaynağına dönüştürülerek şekil g’ de görüldüğü gibi Thevenin eşdeğer devresi elde edilir. RTh 2 2A 2Ω Şekil f 4Ω + VTh V = I.R = 2A.2Ω VTh = 4 V Ry 4V 4 Şekil g Örnek 3.17: R2 I2 3Ω 8A R1 5Ω R3 2Ω Şekildeki devrenin Thevenin eşdeğer devresini çiziniz ve R3 direncinden geçen akımı bulunuz. Çözüm: Şekil a’ da görüldüğü gibi R3 direncinin uçları a - b olarak işaretlenip R3 direnci devreden çıkartılır. Devrenin direnci Thevenin eşdeğer direnci olup, şekil b’ deki gibi akım kaynağı açık devre edilerek, RTh = R1 + R2 = 5 + 3 = 8 Ω R2 R2 a 3 R1 R1=5 Ω 8A a 3Ω 5Ω b b Şekil b Şekil a şekil a’daki devrede a - b uçlarından görülen gerilim, R1 direnci üzerine düşen gerilimdir. Çünkü açık devre üzerinden akım geçmediği için R 2 direnci üzerindeki gerilim sıfırdır. Buna göre Thevenin gerilimi, VTh = VR1 = I.R1 = 8 A.5 = 40 V olur. Bulunan değerlere göre Thevenin eşdeğer devresi şekil c’ de görüldüğü gibi çizilir. RTh Thevenin eşdeğer devresinde a-b uçlarına daha önce çıkartılan R3 direnci bağlanırsa bu direnç üzerinden geçen akım, a 8Ω VTh 40 V b b Şekil c IR 3 = VTh 40 V = = 4A RTh + R 3 8 Ω + 2 Ω İkinci yol: Kaynak dönüşümü yapılarak aşağıdaki gibi Thevenin eşdeğer devresi elde edilir. 3Ω I2 R2 8A R1 5Ω 2Ω R3 5Ω 3Ω RTh R1 R2 8Ω 2Ω a VTh 40 V 40 V 2 b Şekil d Şekil e Şekil f R3 Örnek 3.18: Şekildeki devrede R2 direncinden geçen akımı Thevenin teoremini kullanarak bulunuz. R3 3Ω R1 7Ω R2 1Ω 5V E + R4 1 Çözüm: R2 direncinin uçları a - b olarak işaretlenir ve şekil a’ da görüldüğü gibi R2 direnci devreden çıkartıldığında, a - b uçları arasından görülen gerilim Thevenin gerilimi olup R1 direnci üzerine düşen gerilimdir. O halde gerilim bölücü formülü kullanılarak Thevenin gerilimi, VTh = VR1 = R1 7Ω .E = .5 V = 3,5 V R1 + R 3 7 Ω + 3Ω R3 a R1 3Ω - 7 5V + b E R4 1 Şekil a Gerilim kaynağı kısa devre edilerek, şekil b ve şekil c’ de görüldüğü gibi Thevenin eşdeğer direnci hesaplanır. R4 direnci kısa devre olduğundan a - b uçları arasından görülen Thevenin eşdeğer direncinin değeri, paralel bağlı olan R1 ve R3 dirençlerinin eşdeğer direncine eşittir. R1 // R3 = 2,1 R3 a 3Ω a R1 7 R4 1 7Ω R1 3Ω R3 b b RTh = 7 Ω // 3 Ω = 2,1 Ω 0 Ω // 1 Ω = 0 Ω Şekil c Şekil b Şekil d, Thevenin eşdeğer devresi çizilip a - b uçları arasına daha önce çıkartılan R2 direnci bağlanırsa, RTh a R2 direncinden geçen akım ohm kanunundan, 2,1 ETh + R2 3,5 V 1 I= VTh 3,5 V = RTh + R 2 2,1Ω + 1Ω b Şekil d I = 1,129 A Örnek 3.19: Şekildeki devrede R5 direncinden geçen akımı Thevenin teoremini kullanarak bulunuz. a b Çözüm: Şekil a’ da görüldüğü gibi a - b uçları açık devre kabul edilirse, a - b uçları arasındaki gerilim farkı Thevenin gerilimini verir. Thevenin gerilimini bulmak için önce V1 ve V2 gerilimleri hesaplanmalıdır. Daha sonra bulunan değerler Kirchhoff’ un gerilim kanununda yerine yazılarak çözümlenir. + + E - V1 R1 36V V-1 -R 3 8Ω 6Ω - VTh + b a 2Ω 4Ω + R2 V 2 R4 2 4 8 Şekil a 6 Şekil b Gerilim bölücü formülü kullanılarak R1 ve R2 dirençleri üzerine düşen gerilimler, V1 = R1 8Ω .E = .36 V = 28,8 V R1 + R 3 8Ω + 2Ω ve V2 = R2 6Ω .E = .36 V = 21,6 V R2 + R4 6Ω + 4Ω Kirchhoff’ un gerilim kanunu uygulanırsa, V = 0; V2 +VTh - V1 = 0 VTh = V1 - V2 = 28,8 V - 21,6 V = 7,2 V Thevenin eşdeğer direncini bulmak için, a-b uçları açık devre ve gerilim kaynağı ise kısa devre yapılır (şekil b). Öyleyse Thevenin eşdeğer direnci, RTh = (8Ω // 2Ω) + (4Ω // 6Ω) RTh = R1.R 3 R 2.R 4 8 Ω.2 Ω 6 Ω.4 Ω + = + = 4Ω R1 + R 3 R 2 + R 4 8 Ω + 2 Ω 6 Ω + 4 Ω RTh 4 VTh + - a 3 7,2 V Şekil c IR 5 = R5 Bulunan değerlere göre, Thevenin eşdeğer devresi şekil c’ deki gibi çizilir. R5 direnci a-b uçlarına bağlanırsa üzerinden geçen akım, b VTh 7,2 V = = 1,028 A RTh + R 5 4 Ω + 3 Ω