14.6_el modelo de crecimiento de Domar
Tiene como objetivo común delinear una trayectoria de tiempo esto basándonos en algún patrón
dado de cambio una variable, por otra parte, sabemos que en el modelo de crecimiento clásico
del profesor Domar pues la idea es estipular el tipo de trayectoria de tiempo que se requiere que
prevalezca si debe satisfacerse una cierta condición de equilibrio de la economía.
MARCO DE ANÁLISIS
1_En cualquier caso aparesca algun cambio del flujo de la tasa de inversión por
año I(t) va a producir un efecto doble pues esto va a afectar a la demanda
agregada y a la vez a la capacidad de producción de la economía.
2_Un cambio en I(t) tiene un efecto en la demanda a través de un proceso
multiplicador que se supone actúa instantáneamente, por lo que un incremento
en I(t) elevará la tasa del flujo de ingreso por año Y(t) por un múltiplo del
incremento de I(t). El multiplicador es k — l /s , donde s representa la
propensión marginal al ahorro (constante). Con la hipótesis de que I(t) es el
único flujo de desembolso (paramétrico) que influye en la tasa de flujo de
ingreso, podemos afirmar que
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝐼
1
= 𝑑𝑡 = 𝑆........................................(a)
3_ El efecto de capacidad de la inversión debe medirse por el cambio de la tasa de producción
potencial que la economía es capaz de generar. Suponiendo una relación constante de
capacidad-capital, podemos escribir
𝑘
=𝑝
𝐾
(= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒)
Donde k (la letra griega minúscula kappa) representa la capacidad o el potencial del flujo
de producción por año, y p (la letra griega minúscula rho: erre) denota la relación
capacidad-capital. Esto implica que con un capital K(t) la economía es potencialmente
capaz de producir un producto o ingreso anual, igual a k = p K dólares. Observe que, a
partir de k = pK (la función de producción), se sigue que dic = p d K, y
𝑑𝑘
𝑑𝑡
𝑑𝐾
= 𝑝 𝑑𝑡 = 𝑝𝐼…………………(b)
En el modelo de Domar, el equilibrio se define como una situación en la cual se emplea toda
la capacidad de producción. Por lo tanto, el alcanzar un equilibrio requiere que la demanda
agregada sea exactamente igual a la producción potencial que puede producirse en un año; es
decir, Y = k. Sin embargo, si comenzamos a partir de una situación de equilibrio, el
requerimiento va a limitarse al balance de los respectivos cambios de la capacidad y de la
demanda agregada; es decir,
𝑑𝑌
𝑑𝑡
=
𝑑𝑘
𝑑𝑡
…………………………(c)
Ahora nos planteamos ¿Cuál sería el tipo de trayectoria de tiempo de inversión I (t) puede
satisfacer esta condición de equilibrio en todo momento?
Lo primero que debemos realizar es sustituir (a) y (b) en la condición de equilibrio (c). El
resultado es la siguiente ecuación diferencial:
𝑑𝐼
𝑑𝑡
1
1 𝑑𝐼
𝑆
𝐼 𝑑𝑡
= = 𝑝𝐼 𝑜
= 𝑝𝑠 ……………………………………(d)
Sabemos que (d) especifica un patrón de cambio definido para I, pero debemos poder encontrar
la trayectoria de inversión de equilibrio (o requerida) a partir de aquel, pues en este caso
sencillo, la solución se obtiene integrando directamente ambos lados de la segunda ecuación de
(d) respecto a t. El hecho de que ambos lados sean idénticos para el equilibrio asegura la
igualdad de sus integrales. Entonces
∫
1 𝑑𝐼
𝑑𝑡 = ∫ 𝑝𝑠𝑑𝑡
𝐼 𝑑𝑡
Por la regla de la sustitución y la regla de los logaritmos, el lado izquierdo nos da
∫
𝑑𝐼
= 𝑙𝑛|𝐼| + 𝑐1
𝐼
(𝐼 ≠ 0)
mientras que el lado derecho aporta (siendo ps una constante)
∫ 𝑝𝑠 𝑑𝑡 = 𝑝𝑠𝑡 + 𝑐2
Al igualar los dos resultados y combinar las dos constantes, tenemos
𝑙𝑛|𝐼 | = 𝑝𝑠𝑡 + 𝑐 ……………………………(e)
Para obtener |I | de |I|, realizamos una operación conocida como “tomar el antilog de ln |I|, que
utiliza el hecho de que 𝑒 𝑙𝑛𝑥 = 𝑥 Así, haciendo que cada lado de (e) se transforme en el
exponente de la constante e, obtenemos:
𝑒 ln |𝐼| = 𝑒 (𝑝𝑠𝑡+𝑐)
o sea
|𝐼| = 𝑒 𝑝𝑠𝑡 𝑒 𝑐 = 𝐴𝑒 𝑝𝑠𝑡
donde
𝐴 = 𝑒𝑐
Si consideramos positiva la inversión, entonces |I| = I, de modo que el resultado anterior se
transforma en I(t) = 𝐴𝑒 𝑝𝑠𝑡 , donde A es arbitraria. Para eliminar esta constante arbitraria,
hacemos t = 0 en la ecuación I(t) = 𝐴𝑒 𝑝𝑠𝑡 , para obtener I (0) =Ae° = A. Esto determina la
constante A y nos permite expresar la solución la trayectoria de inversión requerida como:
𝐼(𝑡) = 𝐼(0)𝑒 𝑝𝑠𝑡 ………………………………(f)
Donde I(0) denota la tasa inicial de inversión
Tenemos que este resultado tiene un significado económico inquietante, con un objeto
de conservar el balance entre la capacidad y la
demanda en el tiempo, la tasa del flujo de inversión
debe crecer precisamente según la tasa exponencial de
ps, a lo largo de una trayectoria tal como se ilustra en
la figura (i) Es obvio que cuanto mayor sea la relación
capacidad-capital o la propensión marginal al ahorro,
será mayor es la tasa requerida de crecimiento, sin
embargo para cualquier tasa, una vez que se conocen
los valores de p y s, el crecimiento requerido de la
trayectoria de inversión se establece en forma muy
rígida.
El filo de la navaja
Planteamos un caso en que sucedería si la tasa real de crecimiento de la inversión
llamada tasa r difiere de la tasa requerida ps. El enfoque de Domar es definir un
coeficiente de utilización.
𝑢 = lim
𝑌(𝑡)
𝑡=∞ 𝑘(𝑡)
(u= 1 significa la utilización total de la capacidad)
<
Observamos que u =r /ps, de modo que 𝑢 = > 1 a medida que r
<
>
ps. En otras palabras,
si hay una discrepancia entre las tasas real y requerida (r ≠ ps), encontraremos al final (a
medida que t -> ∞) ya sea una escasez de la capacidad (u > 1) o un exceso de la
capacidad (u < 1), dependiendo de si r es mayor o menor que ps. Sin embargo, podemos
mostrar que la conclusión acerca de la escasez y el exceso de la capacidad realmente es
aplicable a cualquier instante t, no solamente cuando t —» ∞. Para una tasa de
crecimiento dada r implica que:
𝐼 (𝑡) = 𝐼 (0)𝑒 𝑟𝑡
y
𝑑𝐼
𝑑𝑡
= 𝑟𝐼 (0)𝑒 𝑟𝑡
Entonces por medio de (a) y (b) tenemos:
𝑑𝑌 1 𝑑𝐼 𝑟
=
= 𝐼 (0)𝑒 𝑟𝑡
𝑑𝑡 𝑠 𝑑𝑡 𝑠
𝑑𝑘
= 𝑝𝐼 (𝑡) = 𝑝𝐼 (0)𝑒 𝑟𝑡
𝑑𝑡
La relación entre estas dos derivadas
𝑑𝑌/𝑑𝑡
𝑟
=
𝑑𝑘/𝑑𝑡 𝑝𝑠
Nos indica que la magnitud relativa del efecto de la creación de demanda y del efecto de
la generación de capacidad de la inversión para cualquier instante t, bajo la tasa de
crecimiento real de r. Si r (la tasa real) sobrepasa a ps (la tasa requerida), entonces
dY/dt > dtc/dt, y el efecto de la demanda va a sobrepasar al efecto de capacidad,
causando una escasez de capacidad.
Inversamente, si r < ps, habrá una deficiencia de la demanda agregada y, entonces, un
exceso de capacidad. Lo curioso acerca de esta conclusión es que si la inversión
realmente crece a una tasa mayor que la requerida (r > ps), el resultado final será una
escasez en vez de un exceso de capacidad. Es igualmente curioso que si el crecimiento
real de la inversión está retrasado respecto a la tasa requerida (r > ps), encontraremos un
exceso de capacidad en vez de una escasez.
Debido a estos resultados paradójicos, si permitimos ahora que los empresarios ajusten
la tasa real de crecimiento r (hasta ahora considerada como constante) de acuerdo con la
situación prevaleciente de la capacidad, con seguridad van a hacer el tipo “equivocado”
de ajuste. En el caso de r > ps, por ejemplo, la escasez emergente de capacidad va a
motivar una tasa de inversión aún mayor. Pero esto significaría un incremento de r, en
lugar de la reducción necesaria en estas circunstancias.
En consecuencia, la discrepancia entre las dos tasas de crecimiento se intensificaría en
lugar de reducirse. La conclusión es que, dadas las constantes paramétricas p y s, la
única manera de evitar tanto la escasez como el exceso de la capacidad de producción es
guiar el flujo de inversión con mucho cuidado a lo largo de la trayectoria de equilibrio
con una tasa de crecimiento r* =ps. Y como hemos mostrado, cualquier desviación de
esta trayectoria de tiempo del “filo de la navaja” acarreará una falla persistente para
satisfacer la norma de la utilización completa que Domar concibió en este modelo.
1_Se considera capital solo. Más específicamente, la función de producción es κ = ρK.
La constancia de la relación capacidad-capital ρ significa que el nivel de producción es
un múltiplo específico de la cantidad de capital utilizado. Dado que el proceso de
producción requiere obviamente el factor trabajo. Además, la ecuación anterior implica
que el trabajo y el capital se combinan en una proporción fija, porque sólo entonces
podremos considerar el capital solo con exclusión del trabajo. Esto también parece
llevar la implicación de una oferta de trabajo perfectamente elástica
2_Establece que la tasa de crecimiento de I es constante ρs. Por lo tanto, la
La función de inversión debe ser I (t) = 𝐴𝑒 𝑝𝑡𝑠 , donde A puede definirse como I (0).
3_Si I < 0, entonces | I | = −I. Por tanto, la ecuación | I | = 𝐴𝑒 𝑝𝑡𝑠 , se convierte en
−I = 𝐴𝑒 𝑝𝑡𝑠 .Configurando t = 0, encontramos que −I (0) = 𝐴𝑒 0 , = A. Por lo tanto, ahora
tenemos −I = −I (0) 𝑒 𝑝𝑡𝑠 .
𝑡 1 𝑑𝐼
4_ Lado izquierdo = ∫
𝑑𝑡
0 𝐼 𝑑𝑡
𝐼(𝑡) 1
𝐼(𝑡)
= ∫𝐼(0) 𝑑𝐼 = 𝑙𝑛𝐼]𝐼(0)
𝐼
𝑙𝑛𝐼 (𝑡) = 𝑙𝑛𝐼 (0) = 𝑙𝑛
𝐼(𝑡)
𝐼(0)
𝑡
∫0 𝑝𝑠 𝑑𝑡 = 𝑝𝑠𝑡]𝑡0 = 𝑝𝑠𝑡
Lado derecho =
Igualando los dos lados, tenemos 𝑙𝑛
𝐼(𝑡)
= ρst. Tomando el antilogaritmo (dejando que cada
𝐼(0)
lado se convierta en el exponente de e), tenemos:
𝑒𝑥𝑝 [𝑙𝑛
o
o
𝐼(𝑡)
] = 𝑒𝑥𝑝(𝑝𝑠𝑡)
𝐼(0)
𝐼(𝑡)
𝐼(0)
= 𝑒 𝑝𝑠𝑡
𝐼 (𝑡) = 𝐼 (0)𝑒 𝑝𝑠𝑡