Two Dimensional Motions 일반물리학실험Ⅰ(분반 E) 20210367 양은빈 2021/03/28 Ⅰ. Introduction 1. 실험 목적 - 2차원에서의 운동을 운동량, 에너지 보존 법칙을 측면에서 분석한다. - 두 물체의 충돌 전 후 두 물체 사이의 각도를 통해 에너지 보존 여부를 살펴본다. - 공기 저항의 개념을 적용해보고, 이로 인해서 생기는 오차는 얼마인지, 충분히 무시할 수 있는 정도의 오차인지 측정해본다. 2. 실험 내용 : 에어 테이블 위 퍽을 움직여서 2차원 상의 움직임을 분석한다. 각 퍽 1개를 밀었을 때, 2 개의 퍽이 부딧힐 때로 나누어서 실험해서 이를 해석한다. Ⅱ. Theoretical Background 1. 벡터 : vector space라 불리는 집합의 한 원소이다. 쉽게 말해서, 방향성과 크기를 모두 가지는 어떤 물리량으로 생각을 하고 있으며, 이와 다르게 크기만을 가지는 스칼라가 존재한다. 이와 같이 2차원 상의 벡터가 있다 했을 때,다음과 같이 원점과 점을 잇는 선을 그리고, 방 향성을 가진 벡터로 나타낼 수 있다. 이러한 벡터를 나타내는 것에 대해 다양한 방법이 존 재하는데, 가장 쉽게 알려진 것은 크기에 대해서 코사인 성분과 사인성분으로 축에 대한 성 분을 나눠 나타내는 것이다. 벡터의 크기를 라 했을 때, 축에 대한 성분을 나눠 나타내 보면, 다음과 같다. cos sin . 피타고라스의 정리를 이용해 벡터 의 크기인 를 구해보면, 으로 나타낼 수 있다. 2. 경사로에서 물체가 받는 힘 : 일정한 각도 만큼 올려진 상태에서 물체를 자유낙하 운동 시켰을 때, 물체가 받고있는 힘인 수직항력과 중력을 모두 고려해보았을 때, 실제 물체가 받는 알짜힘은 경사로와 평 행한 방향의 힘으로 만큼의 힘을 받을 것이다. 이러한 물체의 힘에 대해서 힘에 대한 방정식을 세워보았을 때, 물체의 가속도는 가 된다. 이에 대해서 흔히 알 수 있 는 속도와 변위를 이끌어 내보게 된다면, 다음과 같다. , 3. 2차원 완전 탄성 충돌에서의 운동 2차원에서 두 개의 물체가 부딪혔을 때, 두 뭋레가 완선 탄성 충돌을 하게 된다면, 두 물체 의 운동량과 운동에너지는 보존되야 할 것이다. 물체의 이전 속도와 이후 속도를 를 이 용해 나타냈을 때, 운동량 보존법칙과 운동에너지 보존에 의해서 다음과 같은 식들이 성립 해야한다. (운동량 보존 법칙) (에너지 보존 법칙) 여기서 두 물체의 질량이 동일하고, 물체가 부딪히는 지점을 중심으로 서로의 충돌 각을 정의 해보았을 때, 부딪히기 전 각을 , 충돌 후 각을 이라고 할 수 있다. 이에 대해서 각 성분 속도를 나타내보면, 다음과 같이 삼각법에 의해서 다음과 같이 나타나는 것을 알 수 있다. cos sin , cos sin cos sin , cos sin 위식을 위에 대입해서 정리해보면, cos cos 라는 것을 알 수 있고, 이에 대한 해석을 해보면, 두 공의 초기속도가 0이 아니면, 충돌 전과 충돌 후의 각도 차이는 보존 되어야 한다는 것이다. 하지만 둘 중 하나의 초기속도가 0이면, 좌변의 값이 0이 되 어 cos 을 만족해야 한다는 것을 알 수 있다. 하지만 이를 만족하기 위해서는 ± 를 만족해야 하므로, 두 각도의 차이는 수직이 되어야 함을 알 수 있다. 4. 벡터의 내적 벡터의 내적의 경우, 충돌 전 후 각도의 차이를 쉽게 알아내기 위해서 사용을 할 것이다. 따라서 추가적인 이론적 설명이 필요한거 같아 이론적 배경에 넣어보았다. 벡터 내적은 cos. 여기서 a, b 벡터의 성분을 알고 있다면, 두 a, 다음과 같이 나타낸다. ∙ cos . 여기서 우리가 궁 b 벡터의 내적은 다음과 같이 나타낸다. ∙ 금한 것은 두 벡터 사이의 각도인 이므로, 코사인에 대해서 정리를 하면 cos 와 같이 나타낼 수 있고, 우리가 궁금한 를 구하기 위해서는 코사인 역함수를 씌어주면 된다. 5. 공기 저항 공기 저항은, 물체가 운동할 때, 공기 분자들이 물체에 부딪히는 것 때문에 발생하는 것이 다. 그렇기 때문에, 물체의 표면적, 그리고 물체가 운동하는 속도에 비례하게 되는데, 가장 주된 공기저항의 꼴은 다음과 같다. . 하지만 이는 물체의 속도가 충분히 클 때 속 도의 제곱에 비례하고, 물체의 속도가 그렇게 크지 않을 때는 물체의 속도와 비례함으로, 본 실험에서는 공기저항이 물체의 속도 자체에 비례한다 하고 계산을 해보겠다. Ⅲ. Method 1. 실험 장비 : 테이블, 컴프레서, 카메라, 퍽, 2. 주의 사항 물체의 운동에는, 미세한 경사가 영향을 끼칠 수 있기 때문에 이에 대해서 시작 전에 경사 를 잘 맞춰주고 해야한다. 3. 실험 방법 (1) 등속 운동 실험 - 마찰력을 업애는 테이블을 설치하고 테이블 위에 퍽을 설치한다. 컴프레서를 작동 시켜 퍽의 움직임의 여부를 확인하며 수평을 맞춘다. 추가적으로, 퍽을 살짝 밀어 마찰력이 최 소화 되었는지 확인한다. ~물체의 운동을 영상으로 분석하기 위해, 카메라를 테이블에 수직으로 설치한다. ~퍽을 테이블 위에서 운동 시키고 이를 측정한다. ~영상에서의 퍽에 위치를 받아 그래프를 그린다. ~데이터를 통해 시간에 따른 위치 그래픞 받고, 각 축에대한 위치 그래프가 선형임을 확인 해 본다. (2) 등가속도 운동 실험 - 테이블을 특정한 각도로 기울여서, 카메라를 조정한다. - 퍽을 고정하여 정지상태로 두고, 고정을 풀어 운동을 시작한다. - 운동을 촬영하고, 이러한 운동에 대한 영상을 참고하여 퍽에 시간에 따른 위치를 그래프 로 그린다. - 그래프의 타당성을 비교하고, x축 방향으로 움직이진 않았는지 확인을 한다. (3) 두 물체의 충돌 실험 - 한 퍽은 정지시킨채로 두고, 다른 퍽을 정지킨 퍽에 부딪히게 한다. - 스케일에 알맞게 카메라를 설정하고, 그 영상을 촬영한다. - 각 퍽의 시간에 따른 움직임을 그래프로 그린다. ~그래프를 통해서 속도와 방향을 모두 분석한다. ~같은 방식으로 두퍽의 처음부터 모두 움직일 때에 대해서도 위 방식을 그대로 적용한다. Ⅳ. Result 1. 등속 운동 실험 function x-position(t) 1 y-position(t) 1 2. 등가속도 운동 실험 3. 두 물체의 충돌 실험 - 퍽1 전 function x-position(t) 후 y-position(t) x-position(t) y-position(t) - 퍽2 전 function x-position(t) 후 y-position(t) x-position(t) y-position(t) (퍽2의 충돌 전 위치가 x좌표는 항상 0.35m, y좌표는 항상 0.21m에 정지해 있었으므로 상수 함수 꼴로 방정식을 세웠다.) Ⅴ. Discussion 1. 기본 오차 (1) 카메라 설치에 대한 오차. 카메라를 어떻게 설치하냐, 얼마나 수직적으로 설치하냐에 따라서 생기는 오차가 있음을 알 고 있는 상태에서, 이런 오차를 어느정도 허용할 것인지 생각을 해봐야 한다. 완전한 수직 이 아니라 가로 세로의 길이가 다른 경우가 발생되면, 이에 대한 운동에 대해서도 오차가 발생함을 확실히 알 것이다. 이러한 오차가 얼마나 발생해야 무시할 수 있는 것인가?를 생각해봐야한다. 위 실험에서는 약 1%의 오차가 발생했는데, 이 정도 오차가 무시할 수 있는 이유는, 우선 퍽의 크기가 아주 작기 때문에 그렇게 큰 차이를 가져오지 않는다는점, 그리고 1%의 오차로 유의미한 오차율을 불러일으킬 정도로 운동시간이 길지 않는다는 점 이다. 그렇기 때문에, 1%의 오차는 본래의 움직임의 가치를 훼손하지 않을 것으로 충분히 생각되고, 카메라의 설치로 인한 오차는 충분히 무시할 정도라고 생각을 한다. (2) 공기저항 우선, 에어테어블에 컴프레서를 연결 함으로써 바닥과의 마찰을 확실하게 줄일 수 있음을 알 수 있다. 하지만 컴프레서를 통해 공기를 내보내는 것이 균형있게 나오지 않는다면 공 의 진동이나 회전이 존재할 수 있음을 알 수 있다. 뿐만 아니라, 공기를 강제적으로 내보 냄으로 공기의 양이 많아지고, 이러한 공기들은 공기저항을 꽤나 강하게 할 것으로 예측 이 되었지만, 실제 경우 공기 저항은 무시할 정도로 작았음을, 모든 그래프의 이 임 을 확인함으로써 알 수 있다. 뿐만 아니라 임으로, 모든 점들이 선형과 동일하게 근사가 되었으므로, 속도차이를 통해 공기저항력을 구할 수도 없었으므로, 이에 대해서는 무시할 수 있다라고 결론 짓는게 맞을 것이다. (3) 테이블의 기울어짐에 관한 오차 : 일반적으로, 이론적 배경에서 분석했다 시피, 경사로에서는 힘이 꼴로 적용하기 때 문에, 물체의 위치는 2차함수 꼴을 따라서 변한다. 그렇기 때문에 경사가 어느정도 심하게 져있다면, x-positon, y-position에 대해서도, 그래프가 일차함수가 아닌 이차함수로 피팅 하였을 때 값이 커야하지만, 이에 대해서 비교해 보았을 때, 일차함수로 피팅하였을 때 값이 훨씬 컸기 때문에 일차함수로의 피팅성 즉, 기울어짐에 대한 저항성이 훨씬 컸다 고 할 수 있다. 이 말은 즉 기울어짐에 관한 오차가 적다는 것을 의미하는데, 모든 데이터 모두 이를 무시할 정도의 오차성을 띠었기 때문에 본 실험에서는 기울어짐에 관한 오차 또한 무시하여 분석을 진행하겠다. 2. 등속 운동 실험 (1) 물체의 등속 운동 여부 확인 물체의 시간당 x변위 그래프와 y변위 그래프를 1차 함수로 피팅하였을 때, 의 값이 1로 나옴을 확인할 수 있었다. 그렇기 때문에, 이 값들은 확실하게, 등속 운동 여부를 확인하 기 위해서는 아주 좋은 자료라고 판단할 수 있다. 위 그래프를 참고하엿을 때, 각 함수의 기울기가 각각 x축 방향, y축 방향 속도를 나타내므로, 속도는 이다. 피타고라스 법칙을 통해 속도의 크기를 알아낼 수 있고, 이에 대해서 계산을 하면 이다. 따라서, 위 퍽은 의 속도로 등 속 운동하는 것을 알 수 있다. 3. 두 물체의 충돌 실험 (1) 충돌 전, 후의 각 퍽의 속도 충돌 전후의 퍽의 속도를 알아내보기 위해서는, 충돌 지점 전과 후에 각 함수의 기울기 값 을 알아내야한다. 하지만, 추세선을 그림으로써 기울기를 알기 때문에, 기울기를 통해 알 아낸 속도는 다음과 같다. 충돌 전 충돌 후 따라서, 퍽1과 퍽2의 속도를 벡터로 표현을 하면, 다음과 같이 표현할 수 있다. , , (2) 충돌 후 두 퍽의 운동 방향의 각도 : 충돌 후 두 퍽의 속도를 내적함으로써 두 운동 방향의 각도를 알아보자.(두 속도의 관한 벡터를 내적하면 두 속도 사이의 각도를 알아낼 수 있다.) 충돌 전 두 퍽의 속도는 위에 적어두었듯, , 이다. 따라서, 충돌 전 두사이 각도를 구하게 되면, × × cos 이 cos ∙ 고, 충돌 후 두 퍽의 속도는 위에 적어두었듯, , 이다. 이에 대해서도 두 사이 각도를 구하게 되면, × × cos 임 을 cos ∙ 알 수 있다. 약 정도의 각도차이가 났으며, 이는 완벽하게 완전탄성충돌을 하여 에너 지가 보존 되었다라고는 할 수 없을 것이다. (3) 충돌 중 일어난 오차 분석 : 충돌 후 서로의 각도를 비교해 보았을 때, 어느 정도의 차이가 있었고, 각도가 보존되어야 한다는 원래 결과와는 다른 결과를 얻어낼 수 있었다. 이에 대해서 생기는 가장 큰 오차 는 두 퍽 사이의 충돌이 ‘완전 탄성 충돌’이 아니라는 점에서 올 것이다. 3번 실험에서도 언급 했듯이, 완전 탄성 충돌이 일어나기 위해서는, 충돌 중 일어나는 에너지 손실이 없어 야 한다. 하지만 이러한 에너지 손실은 완전한 강체 이면서 충돌중 열 혹은 소리를 내지 않는 그런 물체에 대해서만 존재하지 않을 수 있는데 퍽에 대해서는 이러한 조건을 만족 시키지 않기 때문에 완벽한 탄성충돌이 일어나지 않았다는 점, 즉 운동에너지의 손실이 꽤나 존재했다는 점에서 오차가 생겼다는 것을 알 수 있다. 또한 미세하게라도 나마 오차 원인중에는 공기저항과 어느정도의 기울어짐 또한 있을 것이지만, 이에 대한 오차는 그래 프를 보았을 때 충분히 무시할만큼의 값을 띠었기 때문에 따로 크게 분석하진 않겠다. VII. Conclusion 1. 등속 운동 실험 물체가 일정 속도로 등속운동 하는 것을 보아, 등속 운동이 잘 진행 되고 있음을 확인할 수 있었다. 2. 두 물체의 충돌 실험 물체의 충돌 전후 서로의 각도가 정도의 차이를 보인다는 점, 그리고 전후 운동량이 적 은 오차로 보존된다는 점에서, 두 물체가 완전 탄성 충돌이라 하긴 부족하여도 충돌이 발 생했고, 완전탄성충돌과 가까워 질수록 충돌 전후에 각도가 보존된다는 것을 알 수 있었 다. 뿐만 아니라, 충돌과정중 에너지 손실로 인해서 변화하는 각도차를 비탄성 충돌에 대 한 에너지 손실로 설명을 할 수 있었고, 이에 대한 실험 결과 또한 이를 설명하는 것을 확인할 수 있었다. Ⅵ. Reference General Physics Lab. Manual I (KAIST 2021)