MEDIÇÃO
D
M
Estudo da Capacidade do Processo
A
I
C
Conteúdos programáticos
Estudo da Capacidade do Processo
1- Distinguir limites de controlo de limites de especificação
2- Pré-requisitos do estudo da capacidade do processo
3- Determinação dos índices de capacidade do processo: Cp, Cpk, Pp, Ppk, DPMO, ppm
e nível sigma de curto e longo prazo.
4- Diferenciar a variação entre grupos da variação global dos dados
5- Estudo da capacidade do processo de dados normais e não normais.
I. Ferreira/C. Barros
2
Competências
1. Medir o grau de cumprimento de um processo face aos seus limites de
especificação.
2. Garantir o cumprimento dos pré-requisitos para o estudo da capacidade
do processo.
3. Determinar os índices de capacidade do processo.
4. Efetuar o estudo da capacidade do processo de dados normais e não
normais.
5. Concretizar o tratamento de dados com recurso ao Microsoft Excel e
Minitab.
I. Ferreira/C. Barros
3
Bibliografia
1. Breyfogle III, F. W. (2003). Implementing Six Sigma. Smarter Solutions® Using Statistical
Methods, 2nd Ed, John Wiley & Sons, USA. (ISBN: 0-471-26572-1)
2. Brook, Q. (2006). Six Sigma and Minitab®. A Complete Toolbox Guide for all Six Sigma
Practitioners, 2nd Ed, QSB Consulting Ltd, UK.
3. Gupta, B. C. & Walker, H. F. (2005). Applied Statistics for the Six Sigma Green Belt, ASQ Quality
Press, USA. (ISBN: 0-87389-642-4)
4. Joglekar, A. M. (2003). Statistical Methods for Six Sigma in R&D and Manufactiring, John Wiley
& Sons, USA. (ISBN: 0-471-20342-4)
5. Sleeper, A. (2007). Six Sigma Distributions Modeling, McGraw-Hill, USA. (ISBN: 0-07-148278 –
4)
I. Ferreira/C. Barros
4
Objetivos do Estudo da Capacidade do Processo
Avaliar se um processo é capaz de cumprir os limites de especificação.
Um processo capaz consegue consistentemente produzir produtos ou serviços que
cumprem as especificações.
I. Ferreira/C. Barros
5
Limites de Especificação e Limites de Controlo
Os limites de especificação são definidos pelas pessoas/clientes e os limites de controlo
são calculados com base nos dados recolhidos sobre o processo.
Tolerância
Largura do
processo
Cartas de Controlo
Especificações do Processo
Estabilidade do Processo
Capacidade do Processo
I. Ferreira/C. Barros
6
Limites de Especificação e Limites de Controlo
Um processo que está sob controlo estatístico pode não ser capaz de cumprir as especificações.
Por exemplo se as especificações forem 16 ± 0,5 o exemplo em baixo está totalmente fora dos
limites de especificação, uma vez que existe um desvio na média.
Processo Estável
I. Ferreira/C. Barros
Os dados não são capazes de cumprir as
especificações de 16 ± 0,5
7
Pré-requisitos do estudo da capacidade do processo
1. O processo é estável ao longo do tempo (análise das cartas de controlo).
2. Os dados são normalmente distribuídos.
3. Se os dados não forem normais, deve-se transformar esses dados com recurso à Box-Cox
Transformation, Johnson Transformation ou usar uma outra distribuição (ex: Weibull).
Processo Estável
I. Ferreira/C. Barros
Os dados são normalmente distribuídos
8
Exercício:
Indique qual dos processos apresenta uma maior capacidade para cumprir as
especificações.
I. Ferreira/C. Barros
9
Exercício:
Indique a opção incorreta sobre os limites de especificação:
A. A amplitude dos limites de especificação também se designa de tolerância.
B.
Os limites de especificação são determinados pelo desempenho do
processo.
C.
Os limites de especificação estabelecem os limites inferior e superior
aceitáveis para um dado produto ou serviço.
D. Os limites de especificação podem ser negativos.
I. Ferreira/C. Barros
10
Índices de Capacidade do Processo
1. Cp (Potential Capability) e Cpk (Atual Capability) (Within – Subgroup Variation)
(Índices de capacidade potencial dos processos – Short Term metrics)
2. Cpm – Métrica proposta por Taguchi para o estudo da capacidade do processo
(Short Term metrics)
3. Pp e Ppk (Overall Variation) (Índices que traduzem o desempenho atual do
processo) (Long Term metrics)
4. ppm (partes por milhão)
5. DPMO (defeitos por um milhão de oportunidades de defeitos)
6. Nível Sigma de Curto Prazo (Short Term) e de Longo Prazo (Long Term ou
Benchmark Z)
I. Ferreira/C. Barros
11
Índices de Capacidade do Processo
Cp e Cpk
(Within – Subgroup variation)
Amostra 1
Amostra 2
Amostra 3
Estimam a capacidade potencial de um
processo (Process Capability) e assume-se que
variabilidade nas amostras é unicamente
devida à existência de causas comuns de
variação, por este motivo usa-se o desviopadrão do processo (within) no seu cálculo.
I. Ferreira/C. Barros
Pp e Ppk
(Overall variation)
Estimam o desempenho do processo (Process
Performance). No seu cálculo usa-se o desvio
padrão de todos os valores medidos (overall),
incluindo assim a variabilidade nas amostras e
entre as amostras (within e between
subgroup variation)
12
Índices de Capacidade do Processo
Pp e Ppk
(Overall variation)
Cp e Cpk
(Within – Subgroup
variation)
Amostra 1
CP 
Amostra 2
Amostra 3
 Esp.
LSE  LIE 6 Esp.


6ˆ within
6ˆ within ˆ within
C Pki 
x  LIE
3ˆ within
C Pk s 

LSE  x
3ˆ within
C Pk  Min C Pks ; C Pki
I. Ferreira/C. Barros

LSE  LIE  Esp.
PP 

6ˆ overall
ˆ overall
PPki 
x  LIE
3ˆ overall
PPk s 

LSE  x
3ˆ overall
PPk  Min PPk s ; PPk i

13
Cp e Cpk - Pp e Ppk (Resumo)
 Os índices Cp e Cpk representam a capacidade potencial do processo quando toda a instabilidade
foi removida.
 Cp considera a tolerância do processo e o seu desvio-padrão, mas não tem em conta o
posicionamento da média do processo.
 Cpk tem em conta a centralidade do processo face aos limites de especificação.
 Os valores de Cpk  Cp.
 Os índices Pp e Ppk representam o desempenho atual do processo e contemplam a variabilidade
entre amostras e nas amostras (within e between variation).
 A única diferença matemática entre os valores de Cp e Pp, e Cpk e Ppk é o desvio-padrão.
 Quando um processo está sob controlo estatístico os índices Cp e Pp e Cpk e Ppk serão
semelhantes.
 Ppk  Cpk  Cp (geralmente).
I. Ferreira/C. Barros
14
Cp e Cpk - Pp e Ppk (Resumo)
Ppk < Pp < Cpk < Cp
I. Ferreira/C. Barros
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Exercício:
Indique a opção correta.
A.
Cp assume que os dados são normalmente distribuídos enquanto Pp não.
B.
Cp assume que o processo é estável ao longo do tempo, mas o Pp não.
C.
Cp considera a variabilidade global enquanto Pp considera a variabilidade em cada
amostra.
D.
Cp considera a variabilidade em cada amostra enquanto Pp considera a
variabilidade global.
I. Ferreira/C. Barros
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Determinação do Nível Sigma
Definição Estatística de 6 Sigma
Sigma (letra grega minúscula ) representa, em estatística, uma
medida do desvio-padrão de um processo/população. A letra s é
usada para designar o desvio-padrão de uma amostra. Uma
empresa que tenha um nível de qualidade igual a “6 Sigma”,
significa que apresenta 3,4 defeitos ou unidades defeituosas num
milhão de oportunidades de erro.
I. Ferreira/C. Barros
17
Determinação do Nível Sigma
Conversão do nível de defeitos (DPMO ou ppm) no nível sigma (análise gráfica)
Distância entre o valor alvo e os limites de especificação se o output do processo for normalmente
distribuído e tiver um nível de qualidade Seis Sigma, considerando-se ainda que a média do processo pode
sofrer uma variação de 1,5 em torno do valor alvo.
I. Ferreira/C. Barros
18
Determinação do Nível Sigma
Calcular a % de defeitos
(proporção de produtos ou
serviços que não satisfazem os
requisitos dos clientes)
Identificar se a % de defeitos é de curto (ST)
ou longo prazo (LT)
(Esta definição depende do conjunto de
dados)
Dados Contínuos e Normais
Curto
Prazo
%ST
Cp
Cpk
(ST)
LIE

LSE
Ok
% Defeitos 
 1  YTP 
1
2
3
Maus
Bons
0
 1 e
Longo
Prazo
𝑜𝑢 𝑝𝑝𝑚
= 𝑃(𝑥 > 𝐿𝑆𝐸) + 𝑃(𝑥 < 𝐿𝐼𝐸) =
𝐿𝑆𝐸 − 𝜇
𝐿𝐼𝐸 − 𝜇
=𝑃 𝑧
>
+𝑃 𝑧 <
𝜎
𝜎
𝑆𝑒 𝑍 − 𝑍 = 1,5
%
𝑜𝑢 𝑝𝑝𝑚
=𝑃 𝑧
= 𝑃(𝑥 > 𝐿𝑆𝐸) + 𝑃(𝑥 < 𝐿𝐼𝐸) =
𝐿𝑆𝐸 − 𝜇
𝐿𝐼𝐸 − 𝜇
>
+𝑃 𝑧 <
𝜎
𝜎
(LT)
e   x
yield  P ( x  0) 
 e   e  D / U  e  DPU
x!
Z LT  Z equivalente  Z ~ N (0;1)
 DPU
Defeitos
%
Calcular o Nível Sigma
de curto (ST) e longo
(LT) prazo
%LT
PPM
DPMO
P( Z  Z LT )  yield
Exemplo : U  467 unidades; D  5 defeitos
yield  e 5 / 467  0,98935
P( Z  Z LT )  0,98935  Dist.Normal  Z LT  2,30
Z ST  Z LT  1,5  2,30  1,50  3,80
I. Ferreira/C. Barros
19
ESTUDO DA CAPACIDADE DO
PROCESSO DE VARIÁVEIS CONTÍNUAS
Exercício: Diâmetro
Pretende-se estabelecer um sistema de controlo estatístico para o diâmetro de uma
peça de especificação 74 ± 0,05 mm, baseado em cartas de controlo da média e
amplitude. Neste sentido, foram retiradas 25 amostras da linha de produção, de 4
unidades cada, em intervalos de tempo consecutivos (Montgomery, 1996).
a) Verifique se a variável em estudo (diâmetro) segue uma distribuição
normal.
b) Verifique se o processo está "sob controlo estatístico".
c) Avalie se o processo é capaz de cumprir as especificações.
d) Determine os níveis sigma de curto e longo prazo deste processo.
Ver Ficheiro Excel
Diametros.xls
I. Ferreira/C. Barros
21
Exercício: Diâmetro
a) Minitab: Stat – Basic Statistics – Graphical Summary
Os dados seguem uma
distribuição normal de média
74,001 mm e desvio-padrão de
0,011 mm
I. Ferreira/C. Barros
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Exercício: Diâmetro
b) Minitab: Stat – Control Charts – Variables Charts for Subgroups – Xbar-R
Se os dados das amostras estão em colunas distintas seleccionar:
Observations for a subgroup are in one row of columns
Options – Estimate- Selecionar Rbar
O processo está sob
controlo estatístico.
I. Ferreira/C. Barros
23
Exercício: Diâmetro
c) Minitab: Stat – Quality Tools – Capability Analysis –
Normal
(Selecionar “Estimate” e “Options”)
I. Ferreira/C. Barros
24
Exercício: Diâmetro
c) Minitab: Stat – Quality Tools – Capability Analysis – Normal
O processo é capaz de
cumprir as
especificações.
I. Ferreira/C. Barros
25
Exercício: Diâmetro
c) Estudo da Capacidade do Processo (n>1) – Análise dos Cálculos realizados pelo MINITAB
StDev (Within ) 
R
0,02212

 0,010743
d 2 ( n  4)
2,059
n
StDev (Overall ) 
Cp 
2
 ( xi  x )
i 1
100  1
 0 ,010616
LSE  LIE 74,05  73,95

 1,55
6ˆ within
6  0,0107431
Cpk s  CPU 
Cpki  CPL 
LSE  x 74,05  74,0009

 1,52
3ˆ within
3  0,0107431
x  LIE 74,0009  73,95

 1,58
3ˆ within
3  0,0107431
Cpk  minCpk s ; Cpki   1,52
I. Ferreira/C. Barros
26
Exercício: Diâmetro
c) Estudo da Capacidade do Processo (n>1) – Análise dos Cálculos realizados pelo MINITAB
Pp 
LSE  LIE 74,05  73,95

 1,57
6ˆ overall
6  0,010616
Ppk s  PPU 
Ppki  PPL 
LSE  x 74,05  74,0009

 1,54
3ˆ overall
3  0,010616
x  LIE 74,0009  73,95

 1,60
3ˆ overall
3  0,010616
Ppk  minPpk s ; Ppki   1,54
Cpm 
Pp
(  T )2
1
ˆ overall 2

1,57
(74,0009  74) 2
1
0,010616 2
 1,56
Nota: Apesar de o MINITAB designar de Cpm, trata-se do Ppm, pois usa o desvio padrão de
longo prazo (overall).
I. Ferreira/C. Barros
27
Exercício: Diâmetro
c) Estudo da Capacidade do Processo (n>1) – Análise dos Cálculos realizados pelo MINITAB
“Observed Performance” é equivalente ao número de
unidades que ultrapassaram os limites de especificação. Neste
caso em estudo, nenhuma das 100 unidades ultrapassou os
limites.
ppmST  P( x  LSE )  P ( x  LIE ) 


LSE   
LIE   
  P z LIE 

 P z LSE 
ˆ
ˆ


within 
within 


74,05  74,0009 
73,95  74,0009 


 P z LSE 
  P z LIE 

0,0107431 
0,0107431 


 Pz LSE  4,57   Pz LIE  4,74
Calc- probability distributions- normal
 1  P z LSE  4,57   P z LIE  4,74 
 2,43 ppm  1,07 ppm  3,50 ppm (Cálculo Excel)
I. Ferreira/C. Barros
28
Exercício: Diâmetro
d) Minitab: Stat – Quality Tools – Capability Analysis – Normal
(Seleccionar “Estimate” e “Options”)
I. Ferreira/C. Barros
29
Exercício: Diâmetro
c) Minitab: Stat – Quality Tools – Capability Analysis – Normal
P( Z  Z ST )  1  3,52 106  Dist.Normal  Z ST  4,49
Minitab : Inverse Cumulative dist. function
Excel : INV.S.NORM(1 - 3,52 106 )  4,49
I. Ferreira/C. Barros
30
Exercício: Grau de Pureza
Uma empresa pretende verificar se o grau de pureza dos seus lotes cumpre a
especificação de 99,05% (Limite Inferior de Especificação). É retirada uma amostra
por cada lote e registada a data e o seu grau de pureza.
a) Verifique os pressupostos para a avaliação da capacidade do processo. Se
necessário avalie a possibilidade de transformar os dados não normais em
normais
b) Estude a capacidade do processo.
c) Determine os níveis sigma de curto e longo prazo deste processo.
Ver Ficheiro Excel
Grau de Pureza.xls
I. Ferreira/C. Barros
31
Exercício: Grau de Pureza
a) Minitab: Stat – Basic Statistics – Graphical
Summary
Graph – Probability Plot – Single
Nota: Os dados não seguem uma distribuição normal, sendo necessário transformar
em primeiro lugar os dados e posteriormente realizar o estudo de capacidade do
processo dos dados transformados.
I. Ferreira/C. Barros
32
Exercício: Grau de Pureza
a) Stat – Quality Tools – Individual Distributions Identification
I. Ferreira/C. Barros
33
Exercício: Grau de Pureza
b) Stat – Quality Tools – Capability Analysis – Normal
I. Ferreira/C. Barros
34
Exercício: Grau de Pureza
b) Stat – Quality Tools – Capability Analysis – Normal (Display Capability Stats (Pp))
O processo apresenta
dificuldades em cumprir as
especificações, com um
índice Ppk= 1,05 e 789,01
ppm.
Nota: Quando os dados não
são normais não existe uma
definição de dados de curto
prazo, é por este motivo que
o MINITAB apenas apresenta
os indicadores de longo
prazo (Pp e Ppk).
I. Ferreira/C. Barros
35
Exercício: Grau de Pureza
c) Stat – Quality Tools – Capability Analysis – Normal (Display Benchmark Z’s – Sigma Level)
O processo apresenta
dificuldades em cumprir as
especificações, com um
nível sigma de 3,16.
I. Ferreira/C. Barros
36
Exercício: Grau de Pureza
c) Stat – Quality Tools – Capability Analysis – Normal (Display Benchmark Z’s – Sigma Level)
Minitab: Calc – Probability Distributions – Normal
1-789,0110-6
I. Ferreira/C. Barros
37
ESTUDO DA CAPACIDADE DO
PROCESSO DE ATRIBUTOS
Ok
% Defeitos 
 1  YTP 
C. Barros/I. Ferreira
1
2
Maus
Bons
0
 1  e  DPU
3
Defeitos
Determinação do Nível Sigma para a atributos
Nomenclatura
m
Nº de etapas do processo
D
Nº de defeitos encontrados
U
Unidades Inspeccionadas
OP
Nº de Oportunidades de defeito/unidade
TOP
Nº Total de Oportunidades de Defeitos por unidade
(OP×U)
DPU
Defeitos por unidade (D/U)
DPO
Nº defeitos/Nº. Total de oportunidades (D/TOP)
DPMO ou ppm
Nº defeitos por milhão de oportunidades (DPO×106)
I. Ferreira/C. Barros
39
Determinação do Nível Sigma para a atributos
Métricas relacionadas com o rendimento dos processos
YTP  e  DPU
Rendimento Throughput (TP):
Defeitos/unidade:
P(X=k)=e-DPU.DPU^k/k!
Dist. Poisson (prob. de ter k
defeitos)
Se K=0 (YTP), i.e., prob de não ter
defeitos: P(X=0)=e-DPU
DPU   ln(YTP )
m
Rendimento Rolled Throughput (RT):
Nº total de defeitos por unidade:
Rendimento Normalizado:
YRT   YTPi
i 1
TDPU   ln(YRT )
Ynorm  m YRT
Defeitos por unidade normalizada:
DPU norm   ln(Ynorm )
Nível sigma  0,8406  29 ,37  2,221  ln( ppm )
I. Ferreira/C. Barros
40
Determinação do Nível Sigma para a atributos
Exercício:
Se DPU = 0,022, YRT será aproximadamente:
a) 0,022
b) 0,078
c) 0,98
d) 0,098
I. Ferreira/C. Barros
41
Nível sigma  0,8406  29 ,37  2, 221  ln( ppm )
Determinação do Nível Sigma para a atributos
Exercício:
I. Ferreira/C. Barros
Sabendo que o n.º inicial de peças é 100, o nível
sigma da etapa B é:
a) 2,5
b) 1,5
c) 2,7
d) 2,9
E o rendimento global combinado (RT) deste
processo é:
a) 0,9
b) 0,84
c) 0,91
d) 0,64
42
Estudo da Capacidade do Processo com dados de Poisson (Defeitos)
Exercício:
Ver Ficheiro Minitab: CP_Poisson
No armazém de materiais subsidiários os lotes rececionados são inspecionados. Na tabela seguinte,
apresentam-se o número de unidades inspecionadas (U) e o número de defeitos (d) encontrados por
lote.
Minitab: Stat – Quality Tools – Capability Analysis – Poisson
I. Ferreira/C. Barros
43
Estudo da Capacidade do Processo com dados de Poisson (Defeitos)
Exercício:
Ver Ficheiro Minitab: CP_Poisson
• A carta U evidencia causas especiais
de variação, pois há pontos fora dos
limites de controlo, sendo escassa a
informação.
• Pelo gráfico “Defect Rate” verifica-se
que o número de defeitos depende
da dimensão da amostra.
•O “Cumulative DPU” mostra que o
valor de DPU (d/U) tende a
estabilizar em cerca de 16 à medida
que aumenta o número de unidades
inspeccionadas.
•Do Histograma nada se pode concluir
quanto à distribuição dos DPU’s.
I. Ferreira/C. Barros
44
Estudo da Capacidade do Processo com dados Binomiais (Defeituosos)
Exercício:
Ver Ficheiro Excel: T2 – slide 45, CP_Binomiais
No armazém de materiais subsidiários os lotes rececionados são inspecionados. Na tabela seguinte,
apresentam-se o número de unidades inspecionadas (U) e o número de unidades defeituosas (D)
encontrados por lote.
Minitab: Stat – Quality Tools – Capability Analysis – Binomial
Determine a % de unidades defeituosos em ppm e o nível sigma.
I. Ferreira/C. Barros
45