Chapitre 1 : Fonctions d’une variable réelle
Introduction : Inégalités dans R
Proposition : Opérations sur les inégalités
•
•
•
•
Pour
Pour
Pour
Pour
(x, y, z, t) ∈ R4 , si x ≤ y et z ≤ t, x + z ≤ y + t.
(x, y, z, t) ∈ R4 , si 0 ≤ x ≤ y et 0 ≤ z ≤ t, xz ≤ yt.
(x, y) ∈ R2 , si x ≤ y, −y ≤ −x.
(x, y) ∈ R2 , si 0 < x < y, y1 < x1 .
Remarques :
• On peut ajouter les inégalités sans hypothèses supplémentaires.
•
On ne peut multiplier que des inégalités entre nombres réels positifs ! .
•
On ne peut pas soustraire des inégalités, ni les diviser !
•
Quand on multiplie une inégalité par un nombre réel a, il faut qu’il soit positif, sinon le sens change !
A
A
A
A
A
A
Exemples :
1. Si 0 ≤ x ≤ y, x2 ≤ y 2 . Si x ≤ y ≤ 0, alors 0 ≤ −y ≤ −x, donc (−y)2 ≤ (−x)2 i.e. y 2 ≤ x2 (la fonction carrée est
décroissante sur R− et croissante sur R+ ).
y
x
≤ 1−y
. En effet −x ≥ −y, donc 1 − x ≥ 1 − y > 0 (car y < 1) puis
2. Pour x ≤ y ∈ [0, 1[, 1−x
0 ≤ x ≤ y, on obtient le résultat voulu en multipliant ces inégalités.
1
1−x
<
1
1−y .
Comme
Définition
Pour x ∈ R, on appelle valeur absolue de x et on note |x| le nombre max(x, −x), égal à x si x ≥ 0, à −x sinon.
Remarques :
• Attention, pour montrer une inégalité du type |x| ≤ h, il faut montrer que x ≤ h et que −x ≤ h i.e. −h ≤ x ≤ h.
Propriétés :
1. Pour tout x ∈ R, |x| ≥ 0 (avec égalité si et seulement si x = 0).
2. Pour (x, y) ∈ R2 , |xy| = |x| × |y|.
3. Pour (x, y) ∈ R2 , |x + y| ≤ |x| + |y|.
4. Pour (x, y) ∈ R2 , ||x| − |y|| ≤ |x − y|.
A
Remarques :
•
Attention, on ne peut pas majorer |x − y| par |x| − |y|. Seulement par |x| + | − y| = |x| + |y|.
A
Exemples :
1. Pour (λ, µ) ∈ R2 , |λx + µy| ≤ |λ||x| + |µ||y|.
2. Soient x ∈ R tel que |x − 2| ≤ 1 et y ∈ R tel que −5 ≤ y ≤ −4. Alors −4 ≤ x + y ≤ −1, 5 ≤ x − y ≤ 8, −15 ≤ xy ≤ −4,
− 43 ≤ xy ≤ − 15 .
3. Pour (x, y) ∈] − 1, 1[2 ,
x+y
1+xy
< 1. En effet, comme 1 + xy > 0 (puisque 0 ≤ |x| < 1 et 0 ≤ |y| < 1, |xy| < 1), cette
intégalité équivaut à |x + y| ≤ 1 + xy i.e. −1 − xy < x + y < 1 + xy. La première inégalité équivaut à x + y + xy + 1 > 0
i.e. (1 + x)(1 + y) > 0, vraie car x et y > −1. La seconde inégalité équivaut à 1 + xy − x − y > 0 i.e. (1 − x)(1 − y) > 0,
vraie car x et y < 1. En remontant les équivalences, on a donc l’inégalité voulue.
1
I
Généralités sur les fonctions
Dans toute cette partie I et J désigneront des sous-ensemble des R.
1.1
Définitions
Définition
• On appelle fonction la donnée d’un ensemble de départ I, d’un ensemble d’arrivée J et d’une correspondance
I → J
qui à tout x de I associe un unique élément de J. On la note
ou f : I → J, x 7→ f (x).
x 7→ f (x)
• Deux fonctions f et g sont égales si elles ont même ensemble de départ, même ensemble d’arrivée et même
valeur en tout point : ∀x ∈ I, f (x) = g(x).
Remarques :
• Attention à ne pas confondre fonction et valeur en un point. Une phrase du type « f (x) est croissante »ne veut rien
dire. Les propriétés de fonctions (croissance, monotonie, dérivabiltiés, continuité) sont à appliquer à f . Les propriétés
de nombres réels (positivité, non nullité) à f (x).
• Bien noter les trois conditions pour l’égalité de deux fonctions. Ainsi f : R → R, x 7→ x2 est différente de g : R+ → R+ ,
x 7→ x2 (la seconde est d’ailleurs monotone, ou bijective alors que la première non).
• Il ne suffit pas d’écrire une correspondance pour avoir défini une fonction (on peut toujours écrire n’importe quoi).
Avant de manipuler une fonction, il faudra s’assurer qu’elle toujours bien définie, c’est-à-dire qu’elle envoie bien un
élément de l’ensemble de départ sur un élément de l’ensemble d’arrivée. Par exemple f : R → [0, 1], x 7→ cos(x) n’est
pas bien définie.
Définition
Si f : I → J est une fonction, pour x ∈ I, f (x) est appelé l’image de x par f . Si y ∈ J, tout élément x de I
vérifiant f (x) = y est appelé antécédent de x par f .
Remarques :
• Tout élément de I admet une unique image par f , en revanche un élément de J n’admet pas forcément d’antécédents,
ou peut en admettre plusieurs.
Exemples :
1. Si f : R → R, x 7→ cos x, 1 admet une infinité d’antécédents par f (tous les 2kπ, k ∈ Z). En revanche 2 n’admet pas
d’antécédents par f .
Définition
Soient f et g deux fonctions définies de I dans R. On définit alors :
• pour (λ, µ) ∈ R2 , λf + µg : I → R, x 7→ λf (x) + µg(x) (combinaison linéaire de f et g) ;
• f g : I → R, x 7→ f (x)g(x) (produit de f et g).
Si f : I → R et g : J → R sont telles que pour tout x ∈ I, f (x) ∈ J, on peut définir la composée de g et de f ,
g ◦ f : I → R, x 7→ g(f (x)).
Exemples :
1. exp ◦ cos est la fonction x 7→ ecos x .
2. Si f : x 7→ x2 et g : x 7→ 1 + x + x2 , pour x ∈ R, (g ◦ f )(x) = 1 + x2 + x4 et (f ◦ g)(x) = (1 + x + x2 )2 =
1 + x2 + x4 + 2x + 2x2 + 2x3 . Ainsi :
f ◦ g 6= g ◦ f en général !
A
A
Définition
Soit f : I → R. Si I est symétrique par rapport à 0 (pour tout x ∈ I, −x ∈ I) et si
• pour tout x ∈ I, f (−x) = f (x), on dit que f est paire ;
• pour tout x ∈ I, f (−x) = −f (x), on dit que f est impaire.
Soient f : I → R et T ∈ R. On dit que f est T -périodique si I est stable par translation par T (pour x ∈ I,
x + T ∈ I) et si pour tout x ∈ I, f (x + T ) = f (x).
2
Remarques :
• Toute fonction est 0-périodique.
• On dit que f est périodique si elle est T -périodique pour un T 6= 0.
Propriétés :
1. Toute combinaison linéaire de fonctions paires (respectivement impaire) est paire (respectivement impaire).
2. Le produit de deux fonctions paires ou impaires est paire ou impaire (et la règle des signes donne la parité).
3. La composée d’une fonction quelconque avec une fonction paire est paire.
4. La composée d’une fonction paire (respectivement impaire) avec une fonction impaire est impaire (respectivement
impaire).
5. Toute combinaison linéaire (respectivement produit) de fonctions T -périodiques est T -périodique.
6. La composée d’une fonction quelconque avec une fonction T -périodique est T -périodique.
Définition
Soit f : I → R. On dit que f est
• (strictement) croissante si pour tout x ≤ y (respectivement x < y), f (x) ≤ f (y) (respectivement f (x) < f (y)).
• (strictement) décroissante si pour tout x ≤ y (respectivement x < y), f (x) ≥ f (y) (respectivement
f (x) > f (y)).
• (strictement) monotone si elle est (strictement) croissante ou (strictement) décroissante.
Propriétés :
1. La somme de deux fonctions croissante (respectivement décroissante) est croissante (respectivement décroissante).
2. La composée de deux fonctions monotones est monotone (et la règle des signes donne le sens de monotonie).
Remarques :
• On ne peut en revanche rien dire sur le produit ou une combinaison linéaire quelconque de deux fonctions monotones
en général !
Définition
Soit f : I → R. On dit que f est
• minorée s’il existe m ∈ R tel que pour tout x ∈ I, f (x) ≥ m. Un tel m est appelé minorant de f .
• majorée s’il existe M ∈ R tel que pour tout x ∈ I, f (x) ≤ M . Un tel M est appelé majorant de f .
• bornée si elle est majorée et minorée.
Proposition : Caractérisation des fonctions bornées
f est bornée si et seulement si il existe M > 0 tel que pour tout x ∈ I, |f (x)| ≤ M .
Preuve. ♥ Supposons f bornée. Alors f est minorée et majorée, donc on a m et M ∈ R tels que pour tout x ∈ I,
m ≤ f (x) ≤ M . Soit N = max(|m|, |M |), alors pour x ∈ I, −N ≤ m ≤ f (x) ≤ M ≤ N , donc |f (x)| ≤ N .
Supposons maintenant avoir M > 0 tel que pour tout x ∈ I, |f (x)| ≤ M . Alors pour x ∈ I, −M ≤ f (x) ≤ M , donc f est
minorée (par −M ) et majorée (par M ).
Remarques :
• Cette preuve illustre le raisonnement pas double implication : quand on doit montrer une équivalence, on montre
l’une après l’autre les deux implications.
• Cette caractérisation permet de se ramener à des inégalités entre nombres positifs, ce qui est essentiel si l’on souhaite
multiplier les inégalités.
Propriétés :
1. Toute combinaison linéaire de fonctions bornées est bornées.
2. Un produit de fonctions bornées est borné.
3
1.2
Représentation graphique
Définition
Soit f : I → R, on appelle graphe de f l’ensemble des points du plan de coordonnées (x, f (x)), où x décrit I.
Exemples :
1. Graphe de x 7→ x2
f (x)
f (x) = x2
x
Propriétés :
1. Le graphe de la fonction x 7→ f (x) + a s’obtient à partir du graphe de f par translation de vecteur (0, a).
2. Le graphe de la fonction x 7→ f (x + a) s’obtient à partir du graphe de f par translation de vecteur (−a, 0).
3. Le graphe de la fonction x 7→ f (a − x) s’obtient à partir du graphe de f par symétrie par rapport à la droite d’équation
x = a.
4. Le graphe de la fonction x 7→ f (ax) s’obtient à partir du graphe de f en dilatant les abscisses du coefficient 1/a.
5. Le graphe de la fonction x 7→ af (x) s’obtient à partir du graphe de f en dilatant les ordonnées du coefficient a.
Proposition
Si f : I → R est
• paire, son graphe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. On se contente de l’étudier sur R+ ∩ I.
• impaire, son graphe est symétrique de centre O. On se contente de l’étudier sur R+ ∩ I.
• T -périodique, son graphe est stable par translation de vecteur (T, 0). On se contente de l’étudier sur une
période.
Preuve. • Supposons f paire et notons G son graphe. Si M = (x, y) ∈ G, on a y = f (x). Le symétrique de M par rapport à
l’axe des ordonnées est (−x, y) = (−x, f (x)) = (−x, f (−x)) ∈ G, donc G est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
• Supposons f impaire et notons G son graphe. Si M = (x, y) ∈ G, on a y = f (x). Le symétrique de M par rapport à O
est (−x, −y) = (−x, −f (x)) = (−x, f (−x)) ∈ G, donc G est symétrique par rapport à O.
• Supposons f T -périodique et notons G son graphe. Si M = (x, y) ∈ G, on a y = f (x). La translation de vecteur (T, 0)
appliquée à M donne (x + T, y) = (x + T, f (x)) = (x + T, f (x + T )) ∈ G, donc G est stable par translation de vecteur
(T, 0).
Propriétés :
1. Pour k ∈ R et f : I → R, l’ensemble des solutions de l’équation f (x) = λ (ou des antécédents de λ par f ) est
l’ensemble des abscisses des points d’intersection de la droite d’équation y = λ avec le graphe de f .
2. Pour k ∈ R et f : I → R, l’ensemble des solutions de l’inéquation f (x) ≤ λ (respectivement f (x) ≥ λ) est l’ensemble
des abscisses des points du graphe de f situés sous (repsectivement au-dessus de) la droite d’équation y = λ.
4
f (x)
f (x)
y=λ
y=λ
x
x
Solutions de f (x) ≤ λ.
Solutions de f (x) = λ.
1.3
Fonctions bijectives
Définition
Soit f : I → J, on dit que f est
• injective si tout élément de J admet au plus un antécédent par f dans I .
• surjective si tout élément de J admet au moins un antécédent par f dans I .
• bijective si tout élément de J admet exactement un antécédent par f dans I .
Remarques :
• L’ensemble des antécédents d’un élément y de J par f étant l’ensemble des solutions de l’équation y = f (x) d’inconnue
x ∈ I, f est injective si cette équation au au plus une solution, surjective si elle a au moins une solution et bijective si
elle a exactement une solution.
• Une première méthode pour montrer la bijectivité d’une fonction est donc de résoudre, pour y ∈ J, l’équation
f (x) = y d’inconnue x ∈ I, et de montrer qu’elle a une unique solution.
• Une fonction est donc bijective si elle est injective et surjective. L’injectivité donne l’unicité de l’antécédent, la
surjectivité l’existence.
Exemples :
1. Soit f1 : R → R, x 7→ x2 , f2 : R+ → R, x 7→ x2 , f3 : R → R+ , x 7→ x2 et f4 : R+ → R+ , x 7→ x2 . f1 n’est ni injective,
ni surjective. f2 est injective mais non surjective. f3 est surjective, mais non injective. f4 est injective et surjective,
donc bijective.
2. Soit f : R → R, x 7→ x + 1. Pour y ∈ R, résolvons l’équation f (x) = y d’inconnue x ∈ R. On a f (x) = y si et
seulement si x + 1 = y si et seulement si x = y − 1. On a une unique solution, donc f est bijective.
3. Soit f : R∗ → R∗ , x 7→ x1 . Pour y ∈ R, résolvons l’équation f (x) = y d’inconnue x ∈ R∗ . On a f (x) = y si et
seulement si x1 = y si et seulement si x = y1 . On a une unique solution, donc f est bijective.
4. ♥ Soit f : R+ → R+ , x 7→ x2 . f est dérivable (car polynomiale) et pour x ∈ R+ , f 0 (x) = 2x > 0 (sauf en x = 0).
Ainsi f est strictement croissante, donc injective. f est continue sur R+ (car dérivable), f (0) = 0 et f (x) → +∞
quand x → +∞. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, tout élément de R+ admet un antécédent par f ,
donc f est surjective.
En conclusion f est bijective.
Remarques :
• Dans le cas où on ne peut pas résoudre l’équation f (x) = y, on montrera que f est bijective comme dans ce dernier
exemple.
Proposition
Soit f : I → J, si f est strictement monotone, alors f est injective.
5
Preuve. Supposons f strictement croissante, pour fixer les idées. Soit y ∈ J, et soit (x, t) ∈ I 2 tel que f (x) = y et f (t) = y.
Alors f (x) = f (t). Supposons x 6= t, ou bien x < t, mais alors f (x) < f (t), ou bien x > t mais alors f (x) > f (t) (car f est
strictement croissante). Dans les deux cas y < y... absurde ! Ainsi x = t. L’équation f (x) = y admet donc au plus une
solution et f est injective.
Remarques :
• Cette preuve illustre le raisonnement qu’on emploiera très souvent pour montrer une unicité : on se donne deux
objets qui conviennent et on montre qu’ils sont égaux.
Définition
Soit f : I → J une fonction bijective. On appelle bijection réciproque de f et on note f −1 l’application de J
dans I qui à y ∈ J associe l’unique antécédent de y par f dans I.
Remarques :
• La surjectivité de f garantit l’existence d’un antécédent, et l’injectivité son unicité.
• On ne peut pas parler de f −1 que si f est bijective.
Exemples :
1. La réciproque de f : R → R, x 7→ x + 1 est x 7→ x − 1.
2. La réciproque de f : R∗ → R∗ , x 7→
1
x
est f .
2
3. La réciproque de f : R+ → R+ , x 7→ x est appelée racine carrée.
Propriétés :
1. Si f : I → J est bijective, f −1 est bijective.
2. Si f : I → J est bijective et strictement monotone, f −1 est strictement monotone, de même sens que f .
3. Pour x ∈ I, f −1 (f (x)) = x. Pour x ∈ J, f (f −1 (x)) = x.
Proposition : Limite de la fonction réciproque
Soit f : I → J bijective, monotone telle que f (x) −→ l (a élément ou borne de I), alors f −1 (x) −→ a.
x→a
x→l
Preuve. ♥ Comme f est monotone et injective, elle est strictement monotone. Ainsi f −1 est strictement monotone par la
propriété précédente. Par le théorème de la limite monotone, f −1 admet donc une limite b, finie ou infinie, quand x → l.
Par composition des limites, on a f −1 (f (x)) −→ b soit x −→ b. Par unicité de la limite a = b.
x→a
x→a
Proposition : Graphe de la réciproque
Soit f : I → J une application bijective. Alors le graphe de f −1 est le symétrique de celui de f par rapport à
la première bissectrice.
Preuve. Notons G le graphe de f et G0 celui de f −1 . Soit M = (x, y) un point de G, alors y = f (x). Le symétrique de
M par rapport à la première bissectrice est (y, x) = (f (x), x) = (f (x), f −1 (f (x))), donc est dans G0 . Réciproquement,
si M = (x, y) est un point de G0 , y = f −1 (x). M est le symétrique par rapport à la première bissectrice du point
(y, x) = (f −1 (x), x) = (f −1 (x), f (f −1 (x))), donc d’un point de G.
Remarques :
• Cette preuve illustre la démonstration par double inclusion. Quand on doit montrer que deux ensembles sont égaux,
on montre que tout élémetn du premier et dans le second, puisque tout élément du second est dans le premier.
6
f (x)
f (x) = x2
f −1 (x) =
√
x
Les courbes représentatives des fonc√
tions x 7→ x2 , et
sont symétriques
par rapport à la première bissectrice.
x
II
Dérivation
Dans cette partie I désigne un intervalle de R
2.1
Rappels
Définition
On dit que f : I → R est dérivable en a si le taux d’accroissement
f (x) − f (a)
admet une limite quand x → a.
x−a
On appelle alors dérivée de f en a et on note f 0 (a) cette limite.
On dit que f est dérivable sur I si f est dérivable en chaque point de I, et on peut alors considérer la fonction
dérivée f 0 de f .
Propriétés :
1. Si f est dérivable en a, alors le graphe de f admet une tangente au point (a, f (a)), d’équation y = f (a) + f 0 (a)(x − a).
M
Le taux d’accroissement en x représente
le coefficient directeur de la droite reliant
(a, f (a)) à (x, f (x)). Sa limite quand x → a
est donc le coefficient directeur de la tangente au graphe de f en a.
Remarques :
• La définition de la dérivée en un point peut permettre de résoudre certaines formes indéterminées qui se ramènent
sous la forme de taux d’accroissement.
Exemples :
1.
2.
sin x
x → 1 quand x → 0.
x
e −1
→ 1 quand x → 0.
x
7
Remarques :
• On prouvera plus tard dans l’année les résultats sur les fonctions dérivables (lien entre signe de la dérivée et monotonie
par exemple).
• Attention tous les résultats du type « si f 0 vérifie . . . alors f vérifie . . . »ne sont vrais que sur un intervalle !
2.2
Opérations sur les fonctions dérivables
Proposition : Opérations sur les fonctions dérivables
Soient u et v : I → R des fonctions dérivables. Alors pour tout (λ, µ) ∈ R2 , (λu + µv) est dérivable, uv est
dérivable et (si v ne s’annule pas) uv est dérivable avec
(λu + µv)0 = λu0 + µv 0
(uv)0 = u0 v + uv 0
u 0
v
=
u0 v − uv 0
v2
Proposition : Dérivée composée
Soient u : I → R et v : J → R deux fonctions dérivables, telles que pour tout x ∈ I, u(x) ∈ J. Alors v ◦ u est
dérivable et (v ◦ u)0 = u0 (v 0 ◦ u).
Remarques :
• On justifiera généralement en une ligne qu’une fonction est dérivable, comme combinaison linéaire, produit, quotient
(attention au dénominateur) et/ou composée de fonctions qui le sont.
•
Attention à ne pas oublier le u0 dans la formule de dérivée composée !
dy
dx
• En notation physicienne, ceci s’écrit dy
dt = dx × dt .
A
A
Exemples :
1. Soit f :
R∗+
1
→ R, x 7→ cos x sin
. f est dérivable sur R∗+ , comme produit et composée de fonctions qui le sont, et
x
pour x ∈ R∗+
1
1
1
f (x) = − sin x sin
+ cos x − 2 cos
.
x
x
x
0
2. Soit f : R → R, x 7→ ln
1+x2
1+ex
. f est dérivable sur R, comme composée et quotient de fonctions qui le sont (le
dénominateur ne s’annulant pas) et pour x ∈ R,
f 0 (x) =
2x(1 + ex ) − (1 + x2 )ex
(1 + ex )2
1
1+x2
1+ex
=
2x + 2xex − ex − x2 ex
.
(1 + x2 )(1 + ex )
3. Soit f : R → R une fonction dérivable, alors g : x 7→ f (−x) est dérivable (comme composée de fonctions qui le sont)
et pour x ∈ R, g 0 (x) = −f 0 (−x).
4. Si u est dérivable, un aussi, de dérivée n(u0 )un−1 .
5. Si u est dérivable, exp(u) aussi, de dérivéee u0 exp(u).
Propriétés :
1. La dérivée d’une fonction paire (respectivement impaire) est impaire (respectivement paire).
2. La dérivée d’une fonction T -périodique est T -périodique.
Remarques :
• Il arrivera souvent en physique d’avoir une fonction de plusieurs variables, f : (t, x) 7→ f (t, x) (ou plus de deux). On
∂f
∂f
peut alors considérer sa dérivée par rapport à t ou par rapport à x, notées
et
.
∂t
∂x
Exemples :
1. Soit f : (x, y) 7→ cos(xy) + ex ln(y). Alors f est dérivable par rapport à x et par rapport à y et pour (x, y) ∈ R2 ,
∂f
∂f
ex
(x, y) = −y sin(xy) + ex ln(y) et
(x, y) = −x sin(xy) + .
∂x
∂y
y
8
Théorème de dérivabilité de la fonction réciproque
Soit f : I → J une fonction bijective, dérivable, de dérivée de signe strict constant, alors f −1 est dérivable et
1
pour x ∈ J, (f −1 )0 (x) = 0 −1
.
f (f (x))
Remarques :
• Cet énoncé sert à calculer la dérivée de fonctions réciproques f −1 dont on a montré l’existence par la méthode
théorique (si on connaît explicitement f −1 , on la dérive directement).
Exemples :
1. ♥ Soit f : R∗+ → R∗+ , x 7→ x2 . f est bijective (comme vu plus haut), dérivable (car polynomiale) et pour x ∈ R∗+ ,
f 0 (x) = 2x > 0. Par le théorème de dérivabilité de la fonction réciproque, f −1 est dérivable, et pour x ∈ R∗+ ,
1
1
√
(f −1 )0 (x) = f 0 (f −1
(x)) = 2 x .
Définition
On définit par récurrence la notion de fonction n-fois dérivable et de dérivée n-ième, notée f (n) en disant que :
• Toute fonction f est 0-fois dérivable, et f (0) = f .
• Pour n ∈ N, f est (n + 1)-fois dérivable si f est n-fois dérivable et si f (n) est dérivable. On pose alors
f (n+1) = (f (n) )0 .
Exemples :
1. f : x 7→ e2x cos x est dérivable sur R (comme produit de fonctions qui le sont) et pour x ∈ R, f 0 (x) = 2e2x cos x −
e2x sin x. f 0 est donc dérivable comme cominaison linéaire et produits de fonctions qui le sont, et pour x ∈ R,
f 00 (x) = 4e2x cos x − 2e2x sin x − 2e2x sin x − e2x cos x = 3e2x cos x − 4e2x sin x.
2. Si u et v sont deux fois dérivables, uv aussi et (uv)00 = (u0 v + uv 0 )0 = u00 v + u0 v 0 + u0 v 0 + uv 00 = u00 v + 2u0 v 0 + uv 00 .
2.3
Étude d’une fonction
Méthode : Pour étudier une fonction on procède comme suit :
1. On détermine son ensemble de définition.
2. On cherche si on peut restreindre l’étude (par des propriétés de parité ou de périodicité).
3. On justifie la dérivabilité de f et on calcule sa dérivée.
4. On dresse le tableau de signes de la dérivée, puis le tableau de variations de f .
5. On précise les valeurs particulières de f et ses limites.
6. On trace l’allure du graphe de la fonction.
Remarques :
• Les annulations de la dérivée donneront des tangentes horizontales.
• Les points où la fonction est définie mais la dérivée tend vers ±∞ donneront des tangentes verticales.
• Les limites finies en ±∞ donneront des asymptotes horizontales.
• Les limites infinies en un point fini donneront des asymptotes verticales.
• Les signes donnés pour f 0 sont stricts et les flèches représentent la stricte monotonie.
Exemples :
1. Considérons la fonction f : x 7→ xex . f est définie et dérivable sur R (comme produit de fonctions qui le sont). Pour
x ∈ R, on a f 0 (x) = ex + xex . Ainsi f 0 (x) > 0 si x > 1, f 0 (x) < 0 si x < 1 et f 0 (1) = 0. On a f (x) −→ +∞ et
x→+∞
f (x) −→ 0 par croissance comparée. On en déduit le tableau de variations puis le graphe suivant :
x→−∞
9
f (x)y = f (x)
x
−∞
f 0 (x)
+∞
1
−
+
0
+∞
0
f
x
e
2. Montrons que pour tout x ∈ R, ex ≥ 1 + x. Posons h : x 7→ ex − 1 − x, dérivable sur R comme combinaison linéaire
de fonctions qui le sont. Pour x ∈ R, h0 (x) = ex − 1 < 0 si x < 0 et h0 (x) > 0 si x > 0 (par stricte croissante
d’exponentielle) avec h0 (0) = 0. On a donc le tableau de variations suivant :
x
−∞
f 0 (x)
+∞
0
−
0
+
+∞
+∞
f
0
puisque h(x) −→ +∞ (par opération sur les limites) et h(x) = ex (1 − e−x − xe−x ) −→ +∞ (par croissance
x→−∞
x→+∞
comparée). Ainsi pour tout x ∈ R, h(x) ≥ h(0) = 0 et ex ≥ 1 + x.
Remarques :
• Comme dans l’exemple précédent, pour démontrer une inégalité (ou une égalité) il peut être utile d’étudier une
fonction intermédiaire (posée en mettant tout du même côté).
III
3.1
Fonctions usuelles
Fonctions logarithme et exponentielle
Définition
On appelle logarithme népérien et on note ln l’unique primitive de x 7→
1
x
sur R∗+ qui s’annule en 1.
Propriétés :
∗
Z
1. Pour x ∈ R+ , on a donc ln(x) =
1
x
dt
.
t
2. ln est donc dérivable sur R∗+ , de dérivée x 7→ x1 .
3. ln est strictement croissante.
Proposition
Pour (a, b) ∈ (R∗+ )2 , ln(ab) = ln(a) + ln(b).
Preuve. ♥ Soit b ∈ R∗+ fixé. On pose g : R∗+ → R, x 7→ ln(bx) − ln(x) − ln(b). g est dérivable comme combinaison linéaire et
b
composée de fonctions qui le sont, et pour x ∈ R∗+ , g 0 (x) = b ln0 (bx) − ln0 (x) = bx
− x1 = 0. Ainsi g est constante. Comme
g(1) = ln(b) − ln(1) − ln(b) = 0, g est constante nulle. Ainsi g(a) = 0 puis ln(ab) = ln(a) + ln(b).
10
Corolaires
1
= − ln(a).
a a
= ln(a) − ln(b).
• Pour (a, b) ∈ (R∗+ )2 , ln
b n
∗
• Pour a ∈ R+ et n ∈ Z, ln(a ) = n ln(a).
• Pour a ∈ R∗+ , ln
1
Preuve. • On a ln(a) + ln
= ln
= ln(1) = 0 par la proposition précédente. Ainsi ln
= − ln(a).
a
a
= ln(a) + ln 1b = ln(a) − ln(b).
• On a avec la proposition précédente, ln
b
• Montrons par récurrence sur n ∈ N la propriété P(n) : « ln(an ) = n ln(a). »
On a ln(a0 ) = ln(1) = 0 = 0 × ln(a) donc P(0).
Soit n ∈ N tel que P(n). Alors ln(an+1 ) = ln(an × a) = ln(an ) + ln(a) = n ln(a) + ln(a) (par hypothèse de récurrence)
= (n + 1) ln(a) et on a P(n + 1).
1
En conclusion, ∀n ∈ N, P(n). Si maintenant n ∈ Z\N, ln(an ) = ln a−n
= − ln(a−n ) = −(−n) ln(a) = n ln(a).
1
a
a
a
Proposition
ln(x) −→ +∞ et ln(x) −→ −∞.
x→+∞
x→0
Preuve. Pour n ∈ N, on a ln(2n ) = n ln(2) d’après le troisième point du corollaire. Comme ln est strictement croissante,
ln(2) > ln(1) = 0, donc n ln(2) −→ +∞. La fonction ln n’est donc pas majorée. Comme ln est croissante, on a
n→+∞
ln(x) −→ +∞ par le théorème de la limite monotone.
x→+∞
Pour x ∈ R∗+ , ln(x) = − ln x1 , donc ln(x) −→ −∞ par opérations sur les limites.
x→0
Corollaire
ln : R∗+ → R est bijective.
Preuve. On a vu que ln est strictement croissante, donc ln est injective. Comme ln(x) → −∞ quand x → 0, ln(x) → +∞
quand x → +∞ et ln continue sur R∗+ (car dérivable) tout élément de R admet un antécédent par ln, donc ln est surjective.
En conclusion ln est bijective.
Définition
On appelle logarithme décimal et on note log la fonction R∗+ → R, x 7→
ln x
.
ln(10)
Remarques :
• log vérifie les mêmes propriétés que ln, la seule différence étant que log (10) = 1 (au lieu de ln(e)) ce qui permet
d’avoir ln(10n ) = n pour n ∈ Z.
• Cette fonction est très utilisée en physique et en chimie. Le ph par exemple, et le logarithme décimal des concentrations.
La magnitude d’un séisme est le logarithme décimal de son amplitude.
Définition
On appelle fonction exponentielle et on note exp la fonction réciproque de ln.
Remarques :
• Pour x ∈ R, exp(x) est l’unique antécédent de x par la fonction ln.
Propriétés :
1. exp est définie sur R et est toujours strictement positive.
11
2. exp est strictement croissante.
3. exp(x) −→ +∞ et exp(x) −→ 0.
x→+∞
x→−∞
Proposition
La fonction exp est dérivable sur R et exp0 = exp.
Preuve. La fonction ln : R∗+ → R est bijective, dérivable, et pour x ∈ R∗+ , ln0 (x) =
théorème de dérivabilité de la fonction réciproque, et pour x ∈ R∗+ ,
exp0 (x) =
1
=
ln (exp(x))
0
1
1
exp(x)
1
x
> 0. Ainsi exp est dérivable par le
= exp(x).
Proposition
• Pour (a, b) ∈ R2 , exp(a + b) = exp(a) exp(b).
1
• Pour a ∈ R, exp(−a) =
.
exp(a)
exp(a)
• Pour (a, b) ∈ R2 , exp(a − b) =
.
exp(b)
• Pour a ∈ R et n ∈ Z, exp(na) = (exp(a))n .
Preuve. On a ln(exp(a + b)) = a + b et ln(exp(a) exp(b)) = ln(exp(a)) + ln(exp(b)) = a + b. Par unicité de l’antécédent de
a + b par la fonction ln, exp(a + b) = exp(a) exp(b). Les trois autres propriétés se démontrent de même.
f (x)
f (x) = exp(x)
f (x) = ln(x)
x
3.2
Fonctions puissances
Remarques :
• Pour a ∈ R∗+ et n ∈ Z, an = (exp(ln(a)))n = exp(n ln(a)). Par analogie avec cette formule, on fait la définition
suivante.
12
Définition
Pour α ∈ R, on définit la fonction puissance α, qu’on note ici pα : R∗+ → R, x 7→ exp(α ln(x)).
Remarques :
• Si α = n ∈ Z, la fonction puissance α est en fait définie sur R∗ (voire R si n ≥ 0) et la définition précédente est
compatible avec la définition de xn comme le produit de n fois le nombre x avec lui-même.
• Si α ∈
/ Z, la définition précédent impose une définition sur R∗+ .
• Si α > 0, pα (x) −→ 0. On prolonge alors pα à R+ en posant pα (0) = 0.
x→0
• Par convention, 00 = 1.
Propriétés :
1. Pour (x, y) ∈ (R∗+ )2 et α ∈ Z, (xy)α = xα y α .
2. Pour x ∈ R∗+ et (α, β) ∈ R2 , xα+β = xα xβ .
3. Pour x ∈ R∗+ et (α, β) ∈ R2 , (xα )β = xαβ .
Proposition
pα est dérivable sur R∗+ et pour x ∈ R∗+ , p0α (x) = αxα−1 .
Preuve. pα est dérivable sur R∗+ comme composée de fonctions qui le sont, et pour x ∈ R∗+ , p0α (x) = α ln0 (x) exp(α ln(x)) =
α α
α−1
.
x x = αx
Remarques :
• Cette formule ne fonctionne que pour α ∈ R fixé ! La dérivée de x 7→ xx est différente de xxx−1 par exemple !
Propriétés :
1. Si α > 0, xα −→ +∞ et xα −→ 0.
x→+∞
x→0
2. Si α < 0, xα −→ 0 et xα −→ +∞.
x→+∞
f (x)
x→0
f (x) = x2
f (x) = x1
1
f (x) = x 2
f (x) = x0
f (x) = x−1
x
Théorème de croissance comparée
• Pour a > 0 et α ∈ R, |x|α eax −→ 0 et xα eax −→ +∞.
x→−∞
x→+∞
• Pour α > 0 et β ∈ R, xα | ln x|β −→ 0 et xα (ln x)β −→ +∞.
x→0
x→+∞
13
Les courbes représentatives de p−1 , p0 ,
p 12 , p1 et p2 .
Remarques :
• Il faut surtout retenir la philosophie de ce théorème : les fonctions puissances l’emportent sur les fonctions logarithmes,
les fonctions exponentielles sur les fonctions puissances.
√
Preuve. • Montrons tout d’abord que lnxx −→ 0. Soit x > 1. Pour t ∈ [1, x], t ≤ t, donc 1t ≤ √1t puis en intégrant (les
x→+∞
bornes étant dans le bon sens),
Z
x
ln x =
En divisant par x > 0, il vient 0 ≤
• Par suite
ln x
x
≤
1
√
2 x−2
.
x
dt
≤
t
Z
x
1
h √ ix
√
dt
√ = 2 t = 2 x − 2.
1
t
Par le théorème des gendarmes, on a alors
ln x
−→
x x→+∞
0 quand x → +∞.
ln x
xα eax = exp(α ln(x) + ax) = exp x a + α
−→ +∞
x→+∞
x
par opérations sur les limites. Les autres limites se montrent de même.
3.3
Fonctions trigonométriques
Définition
Soit x ∈ R. Sur le cercle de centre O et de rayon 1, on tend, à partir du point (1, 0), une corde de longueur x
(dans le sens direct si x > 0, indirect sinon). On note alors (cos x, sin x) les coordonnées du point obtenu. On
appelle π la longueur du demi-cercle reliant les points (1, 0) et (−1, 0), cosinus la fonction x 7→ cos(x) et sinus
la fonction x 7→ sin(x).
x
sin x
cos x
Remarques :
• On admet que la définition géométrique précédente permet de bien définir cos et sin, et que ces sont dérivables sur R,
avec cos0 = − sin et sin0 = cos.
• On admet que pour (a, b) ∈ R2 , cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b) et sin(a + b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a).
Propriétés :
1. cos et sin sont 2π-périodiques.
2. cos est paire, sin est impaire.
3. Pour tout x ∈ R, cos2 x + sin2 x = 1.
4. Valeurs usuelles.
5. Formules de translation.
6. Formules de transformation de produits en sommes.
7. cos est strictement décroissante sur [0, π].
8. sin est strictement croissante sur [− π2 , π2 ].
Définition
Soit a > 0. On dit que deux nombres réels x et y sont congrus modulo a, noté x ≡ y [a] s’il existe k ∈ Z tel
que x = y + ka.
14
Propriétés :
1. Si x ≡ y [a] et u ≡ v [a], x + u ≡ y + v [a].
2. Si x ≡ y [a] et si b ∈ R∗ , xb ≡ yb [ab].
Théorème : Cas d’égalité des fonctions trigonométriques
• On a cos x = cos y si et seulement si x ≡ ±y [2π].
• On a sin x = sin y si et seulement si x ≡ y [2π] ou x ≡ π − y [2π].
• On a cos x = cos y et sin x = sin y si et seulement si x ≡ y [2π].
Preuve. ♥ Supposons x congru à ±y modulo 2π. Alors on a k ∈ Z tel que x = ±y + 2kπ, puis cos(x) = cos(±y + 2kπ) =
cos(±y) (car cos est 2π-périodique) = cos(y) (car cos est paire).
Réciproquement, supposons cos(x) = cos(y). On a alors k1 et k2 ∈ Z tels que x − 2k1 π et y − 2k2 π ∈] − π, π]. On pose
x1 = x − 2k1 π et y1 = y − 2k2 π, comme cos est 2π-périodique, cos(x1 ) = cos(x2 ). On pose ensuite x2 = ±x1 et y2 = ±y1
de sorte que x2 et y2 ∈ [0, π]. Comme cos est paire, cos(x2 ) = cos(y2 ). Or cos est strictement décroissante sur [0, π], donc y
est injective. Ainsi x2 = y2 . Par suite x1 = ±y1 puis x = ±y + 2(±k1 − k2 )π, donc x ≡ ±y [2π].
Le point suivant se montre de même, le dernier point est la synthèse des deux premiers.
Exemples :
1. Pour x ∈ R, cos(x) = 0 ssi cos(x) = cos( π2 ) ssi x ≡ ± π2 [2π] ssi x ≡
π
2
[π].
2. Pour x ∈ R, sin(x) = 0 ssi sin(x) = sin(0) ssi x ≡ 0 [2π] ou x ≡ π [2π] ssi x ≡ 0 [π].
3. Pour x ∈ R, cos(2x) =
1
2
ssi cos(2x) = cos( π3 ) ssi 2x ≡ ± π3 [2π] ssi x ≡ ± π6 [π].
Définition
On appelle fonction tangente et on note tan, la fonction x 7→
sin x
cos x .
Propriétés :
1. tan est définie sur R\{x ∈ R ; x ≡
π
2
[π]}.
2. tan est π-périodique.
3. tan est impaire.
4. tan(x)
−→
−
x→( π
2)
+∞ et tan(x)
−→
+
x→(− π
2)
−∞.
Proposition
tan est dérivable sur son domaine de définition D et pour x ∈ D, tan0 (x) =
1
= 1 + tan2 x.
cos2 x
Remarques :
• En revanche, tan n’est pas strictement croissante
sur D, car D n’est pas un intervalle ! Elle est strictement croissante
sur tout intervalle inclus dans D, par exemple − π2 , π2 .
Preuve. tan est dérivable sur D comme quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne s’annulant pas. Pour x ∈ D,
tan0 (x) =
cos2 x + sin2 x
1
= 1 + tan2 x =
.
cos2 x
cos2 x
15
f (x)
f (x) = tan x
x
Proposition
• cos : [0, π] → [−1, 1] est bijective.
• sin : − π2 , π2 → [−1, 1] est bijective.
• tan : − π2 , π2 → R est bijective.
Preuve. On a vu que cos est strictement décroissante sur [0, π], donc injective. cos est continue (car dérivable), cos(0) = 1
et cos(π) = −1. Par le théorème des valeurs intermédiaires, cos : [0, π] → [−1, 1] est surjective. Ainsi cette fonction est
bijective.
Les deux autres points se montrent de même.
3.4
Fonctions trigonométriques réciproques
Définition
• On appelle arccosinus et on note arccos la bijection réciproque de cos : [0, π]→ [−1, 1].
• On appelle arcsinus et on note arcsin la bijection réciproque de sin : − π2 , π2 → [−1,
1].
π π
• On appelle arctangente et on note arctan la bijection réciproque de tan : − 2 , 2 → R.
Remarques :
• arccos est définie sur [−1, 1] et pour x ∈ [−1, 1], arccos(x) est l’unique élément de [0, π] dont
le cosinus vaut x.
π π
• arcsin est définie sur [−1, 1] et pour x ∈ [−1, 1], arcsin(x) est l’unique élément
de
−
,
2 2 dont le sinus vaut x.
• arctan est définie sur R et pour x ∈ R, arctan(x) est l’unique élément de − π2 , π2 dont le sinus vaut x.
Propriétés :
1. Pour x ∈ [−1, 1], sin(arcsin(x)) = x et cos(arcsin(x)) = x. Pour x ∈ R, tan(arctan(x)) = x.
2. Pour x ∈ [0, π], arccos(cos(x)) = x. Cette propriété devient fausse si x ∈ R\[0, π].
3. Pour x ∈ − π2 , π2 , arcsin(sin(x)) = x. Cette propriété devient fausse si x ∈ R\ − π2 , π2 .
4. Pour x ∈ − π2 , π2 , arctan(tan(x)) = x. Cette propriété devient fausse si x ∈ R\ − π2 , π2 .
5. arccos est strictement décroissante. arcsin et arctan sont strictement croissantes.
6. arcsin et arctan sont impaires.
7. arctan(x) −→ π2 et arctan(x) −→ − π2 .
x→+∞
x→−∞
Proposition : Dérivées des fonctions trigonométriques réciproques
arccos et arcsin sont dérivables sur ] − 1, 1[ et arctan est dérivable sur R avec
∀x ∈] − 1, 1[ , arccos0 (x) = − √
1
1
et arcsin0 (x) = √
2
1−x
1 − x2
16
∀x ∈ R , arctan0 (x) =
1
.
1 + x2
Preuve. ♥ • cos :]0, π[→] − 1, 1[ est bijective (comme plus haut) dérivable, et pour x ∈]0, π[, cos0 (x) = − sin(x) < 0. Par le
1
théorème de dérivabilité de la fonction réciproque, arccos est dérivable, et pour x ∈] − 1, 1[, arccos0 (x) = −
.
sin(arccos x)
√
2
2
D’autre part cos2 (arccos x) + sin2 (arccos x) = 1, donc sin2 (arccos
√ x) = 1 − x puis sin(arccos x) = ± 1 − x . Or arccos x ∈
2
pour
[0, π] et sin est positif sur cet intervalle, donc sin(arccos x) = 1 − x et on a le résultat
arccos.
• sin : − π2 , π2 →] − 1, 1[ est bijective (comme plus haut) dérivable, et pour x ∈ − π2 , π2 , sin0 (x) = cos(x) > 0. Par le
1
théorème de dérivabilité de la fonction réciproque, arcsin est dérivable, et pour x ∈]−1, 1[, arcsin0 (x) =
. D’autre
cos(arcsin
x) √
part cos2 (arcsin x) + sin2 (arcsin x) = 1, donc cos2 (arcsin x) = 1 − x2 puis cos(arcsin x) = ± 1 − x2 . Or arcsin x ∈ − π2 , π2
√
et cos est
sur cet intervalle, donc cos(arcsin x) = 1 − x2 et on a le résultat pour arcsin.
πpositif
• tan : − 2 , π2 → R est bijective, dérivable, et pour x ∈ − π2 , π2 , tan0 (x) = 1 + tan2 (x) > 0. Par le théorème de dérivabilité
1
1
.
de la fonction réciproque, arctan est dérivable, et pour x ∈] − 1, 1[, arcsin0 (x) =
=
2
1 + x2
1 + tan (arctan x)
f (x)
f (x)
f (x) = arcsin x
f (x) = arccos x
f (x) = sin x
x
x
f (x) = cos x
f (x)
y=
f (x) = tan x
π
2
f (x) = arctan x
x
y = − π2
3.5
Fonctions trigonométriques hyperboliques
Définition
ex + e−x
.
2
ex − e−x
• On appelle sinus hyperbolique et on note sh : R → R, x 7→
.
2
• On appelle cosinus hyperbolique et on note ch : R → R, x 7→
Remarques :
17
• Ces deux fonctions sont appelées ainsi par analogie avec les formules d’Euler.
Propriétés :
1. ch est paire, sh est impaire.
2. Pour x ∈ R, ch (x) + sh (x) = ex et ch (x) − sh (x) = e−x .
3. ch et sh sont dérivables sur R, avec ch 0 = sh et sh 0 = ch .
4. ch (x) −→ +∞.
x→±∞
5. sh (x) −→ +∞ et sh (x) −→ −∞.
x→+∞
x→−∞
f (x)
f (x) = ch x f (x) = sh x
x
Proposition
Pour x ∈ R, ch 2 x − sh 2 x = 1.
Preuve. Posons f : R → R, x 7→ ch 2 x − sh 2 x. f est dérivable comme produit et combinaison linéaire de fonctions qui le
sont et pour x ∈ R, f 0 (x) = 2ch xsh x − 2sh xch x = 0. Ainsi f est constante. On a f (0) = 1, donc f est constante 1.
18