UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO
FACULTAD DE MECÁNICA ELÉCTRICA ELECTRÓNICA Y SISTEMAS
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE SISTEMAS
CURSO:
MÉTODOS NUMÉRICOS
CÓDIGO:
SIS211
CICLO DE ESTUDIOS:
V
AÑO Y SEMESTRE ACADÉMICO:
2020 – II
EVALUACIÓN 2.1
Apellidos y Nombres: VILCA QUISPE ALEXIS JEFFERSON
1. Elaborar un resumen del tema: Solución de ecuaciones no lineales, el cual se encuentra en el capítulo
3 del libro: Métodos numéricos aplicados con software, Shoichiro Nakamura (20pts).
Solución De ecuaciones no lineales
INTRODUCCION:
Llamadas también raíces o ceros. Algunos ejemplos:
a)
b)
c)
d)
Es un ejemplo de ecuación polinomial, parece una ecuación diferencial ordinaria lineal.
El segundón es equivalente a evaluar 𝑓 −1(α), donde f(x) es cualquier función y 𝑓 −1 es su inversa.
El tercer ejemplo es un caso especial del inciso b).
El cuarto es una ecuación trascendental.
La razón principal para resolver ecuaciones no lineales por medio de métodos computacionales es que
esas ecuaciones carecen de solución exacta, excepto para muy pocos problemas. La solución analítica de
las ecuaciones polinomiales existe solo hasta cierto orden:
Necesidad de especificar Necesidad de la Tipos
Nombre
de Otras
un
intervalo
que
continuidad
de
f’
ecuaciones
características
contenga raíz
Robusto, aplicable a
Bisección
Si
No
Cualquiera
Falsa posición
Si
Si
Cualquiera
Falsa
posición Si
modificada
Si
Cualquiera
Método
newton
Si
Cualquiera
de No
funciones
no
analíticas
Convergencia lenta
en un intervalo
grande
Mas rápido que el
método de la falsa
posición
Rápido; se necesita
calcular f’; aplicable
a raíces complejas
Método
secante
Sustitución
sucesiva
Métodos
Bairstow
de No
Si
Cualquiera
Rápido;
no
se
requiere calcular f
No
Si
Cualquiera
Puede no converger
de No
si
Polinomial
Factores cuadráticos
En esta tabla se resumen las características principales de los métodos numéricos para ecuaciones
lineales descritos en este capítulo.
Los primeros 3 métodos para ecuaciones lineales tienen una característica en común es saberlos.
Método de bisección: es el método más simple, también más seguro y solido para encontrar una raíz en
un intervalo. Su única desventaja es de funcional aun para funciones no analíticas.
Suponga que el intervalo entre x = a y x = c denotado por [a, c] o equivalentemente a x c tiene una sola
raíz, como se muestra en la figura 3.1. El método de bisección se basa en el hecho de que, para que un
intervalo [a, c] tenga una raíz, basta que Los signos dey(x) en los dos extremos sean opuestos, o bien que
f(a) o f(c) se anulen; es decir, f(a)f(c) 0.
El primer paso para utilizar este método es bisectar el intervalo [a, c] en dos mitades; a saber, [a, b] y [b,
c], donde b = (a + c)/2. Al verificar los signos de f(a)f(b) y f(b)f(c), se localiza La mitad del intervalo
que contiene La raíz. Así, si f(a)f(b) <= 0, el intervalo [a, b] que incluye ax = a y x = b contiene a La raíz:
en Caso contrario, el intervalo [b, c] y tiene La raíz. El nuevo intervalo que contiene a La raíz se bisecta de
nuevo. Al repetir este proceso, el tamaño del intervalo con la raíz se vuelve cada vez más pequeño. En
cada paso, se toma el punto medio del intervalo como La aproximación más actualizada de La raíz. La
iteración se detiene cuando la mitad del intervalo está dentro de una tolerancia dada e. El PROGRAMA 3-1 está
diseñado para encontrar una raíz por el método de bisección. EL tamaño del intervalo después de n pasos de
la iteración es: (𝑐 − 𝑎)0 /2𝑛 donde el numerador es el tamaño del intervalo inicial. Esto representa el
máximo error posible cuando la raíz se aproxima mediante el n-ésimo punto medio. Por lo tanto, si la
tolerancia del error está dada por e, el numero de pasos de iteración necesarios es el mínimo entero que
satisface. (𝑐 − 𝑎)0 /2𝑛 < 𝑒 o en forma equivalente 𝑛 ≥ 𝑙𝑜𝑔2(𝑐 − 𝑎)0 /2𝑛 )/𝑒 por ejemplo, si (𝑐 − 𝑎)0 =
1 𝑦 𝑒 = 0.0001, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑛 = 14.
Ejemplo 3.1
Se sabe que la raiz de 𝑒 𝑥 − 2 = 0 .
Hallar el valor aproximado de la raiz con una tolerancia de e=0.01 mediante el método de la bisección.
Solución:
El cálculo manual del método de bisección se puede Llevar a cabo elaborando una tabla como se muestra abajo. Cuando
empieza la primera iteración, los valores de a = 0 y c = 2 y el punto medio b = (0 + 1)12 = 1 se escriben en la
tabla en el renglón / = 1. También se calculan 1(a), f(b) y f(c) y se escriben en el mismo renglón. Al examinar los signos de
estos tres valores de 1, vemos que la raíz se localiza entre a y b. Por lo tanto, a y b del paso I = 1 se convierten
respectivamente, en a y c para el paso I = 2. Así, f(a) y f(b) del paso I = 1 se copian a 1(a) y 1(c) para el paso i = 2. La b
para el paso I = 2 es b = (a + c)12 = 0.5 y se calcula 1(b), escribiendo su valor en la tabla. La iteración para el resto
continua de manera similar hasta que se alcanza la tolerancia. El Último valor de b es a respuesta final.
Suponiendo que el intervalo inicial solo una raiz y que f(a)f(b) <= 0. Sin embargo , f(a)f(b)
satisface siempre que el intervalo tenga un número impar de rai, como se ilustra en la figura 3.2
<= 0 se
El método de disecciono puede encontrar una pareja de raíces dobles, debido a que la función toca el eje x de
manera tangencial en la raíces dobles, como se muestre en la figura 3.3
El método de la bisección es que este puede atrapar una singularidad como si fuera una raiz, debido a que dicho
método no reconoce la diferencia entre una raiz y una singularidad. La singularidad es aquel valor de la función
que
tiene
al
infinito,
lo
cual
se
ilustra
en
la
figura
3.4
El método de la bisección encuentra una raiz donde una función si se sabe que la raiz existe en un intervalo
dado.Y también encuentra un raiz aun cuando no sea analítica, puede atrapar una singularidad como si fuera
una raiz debido a que el método no distingue ente raíces y singularidades. La tarea más importante que realiza
antes de aplicar el método de bisección es encontrar un intervalo que contenga la raiz. la búsqueda de raíces se
puede llevar a cabo listando una tabla de valores o graficando la función en a la pantalla.
Método de la falsa posición y método de la falsa posición modificada:
Esta basada en la interpolación lineal, es análogo al método de la bisección, puesto que el tamaño del intervalo que
contiene a la raiz se reduce mediante iteración. Sin embargo en ves de bisectar en forma monótona en intervalo, se
utiliza una interpolación lineal ajustada a dos puntos externos para encontrar una aproximación de la raiz.
Dado un intervalo [a,c] que contenga a la raiz, la función lineal que pasa por (a,f(a)) y c,f(c)) se describe cómo: 𝑦 =
f(c)−f(a)
c−a
f(a) 𝑐−𝑎 (𝑥 − 𝑎) o despejando x : 𝑥 = a + f(c)−f(a) (𝑦 − 𝑓(𝑎)) la coordenada x en donde la línea intersecada al
c−a
eje x se determina al hacer y=0 en la ecuación: 𝑏 = a − f(c)−f(a) 𝑓(𝑎) =
af(c)−cf(a)
f(c)−f(a)
después de encontrar b, el
intervalo [a,c] se divide en [a,b] y[b,c].si f(a=f(b)<=0, la raiz se encuentra en [a,b]: en caso contrario , estaría en
[b,c]. El procedimiento de interpolación
se repite hasta que las raíces estimadas convergen. La desventaja de este método es que pueden aparecer extremos
fijos, como lo muestra Ia figura 3.5, en donde uno de los extremos de la sucesión de intervalos no se mueve del
punto original, por lo que las aproximaciones a la raiz, denotadas por b1, b2, b3,... convergen a la raIz exacta
solamente por un lado. Los extremos fijos no son deseables debido a que hacen más lenta la convergencia, en
particular cuando el intervalo inicial es muy grande o cuando la función se desvía de manera significativa de una
lineal recta en el intervalo. El método de la falsa posición modificado que se explica a continuación elimina esta
dificultad.
En este método, el valor def en un punto fijo se divide a la mitad si este punto se ha repetido más de dos
veces. El extremo que se repite se llama extremo fijo. La excepción a esta regla es que para i = 2, el valor de
en un extremo se divide entre 2de inmediato si no se mueve.
El algoritmo se muestra de manera esquemática en La figura 3.6. El efecto de dividir el valor de y es que La
solución de la interpolación lineal se hace cada vez más cercana a la verdadera raiz, como lo ilustra la figura
anterior.
El método de la falsa posición es esencialmente igual al método de la bisección, excepto que en el segundo
método se reemplaza por la interpolación línea, este método no es necesariamente más rápido que el
anterior, debido a que un extremo puede permanecer fijo. La falsa posición modificada elimina los extremos
fijos dividiendo a la mitad los valores de dichos puntos.
Método de NEWTON:
Este método encuentra una raiz siempre y cuando se conozca una estimación inicial para la raíz deseada.
Utiliza las rectas y cuando se conozca una estimación inicial para la raiz deseada, se utiliza las rectas
tangentes que evalúan analíticamente. El método de newton se puede aplicar al dominio complejo para
hallar raíces complejas. También se puede extender a las ecuaciones no lineales simultaneas.
Supongamos encontrar una raiz de f(x) =0; utilizando el método de Taylor de f(x) en torno a una estimación
xsub0 , la ecuación se puede escribir como 𝑓(𝑥) = 0 = 𝑓(𝑥0) + 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0 = +0(ℎ2 ) donde h= x-x0. Al
despejar x no se obtiene el valor exacto debido al error de truncamiento, pero la solución se acerca en
mayor medida al x exacto.
El algoritmo se encuentra de manera grafica en la siguiente figura. El valor de x0 es una estimación inicial
para la raiz. Luego se obtiene la función lineal que pasa por (x0,y0) en forma tangencial. La intersección de
la recta tangente con el eje x se denota como x1 y se considera como una aproximación de la raiz. Se
repite el mismo procedimiento, utilizando el valor mas actualizado como una estimación para la siguiente
iteración.
La recta pasa por (x0,f/x0)) es g(x)=f’(x0)(x-x0)+f(x0).
La raíz de g(x) =0 denota da por x1 satisface 𝑓 ′ (𝑥0)(𝑥1 − 𝑥0) + 𝑓(𝑥0) = 0 al resolver la ecuación se obtiene
f(x0)
f(xi−1)
𝑥1 = x0 −
las aproximaciones sucesivas a la raiz se escriben como 𝑥1 = xi − 1 −
su primera
𝑓′(𝑥0)
𝑓′(𝑥𝑖−1)
derivada de obtiene de una función dada que puede ser difícil o imposible. En tal caso, se puede evaluar
f’(xi) , mediante una aproximación por diferencias, en ves de la forma analítica.
El método de newton utiliza iterativa las rectas tangentes que pasan por las aproximaciones consecutivas
de la raíz, requiere una buena estimación inicial, de modo que a la solución iterativa puede divergir o
converger a una solución ir relativamente. La razón de la convergencia iterativa del método de newton es
alta, cuando funciona, este método puede encontrar raíces complejas si las variables se definen como
complejas.
Método de la secante:
Este método es similar al de newton. Pero su principal diferencia es que f’ se aproxima utilizando los dos
valores de iteraciones consecutivas de f. esto elimina la posibilidad de evaluar tanto a f como a f’ en cada
iteración. también está íntimamente ligado con el método de la falsa posición, ya que ambos se basan en la
fórmula de interpolación lineal.
Si los xn-1 y xn consecutivos son muy cercanos, entonces también yn-1 y yn están muy cercanos, por lo
que aparece un error de redondeo en la ecuación. Este problema se puede evitar:
Cuando yn es menor que un valor fijado de antemano, xn-2 ; yn-2 en la ecuación 3.5.1 o cuando xn-2;yn-2 +
E y y(xn-2+E) donde E es un numero pequeño.
El método de la secante es una variación de método de Newton. Desde el punto de vista computacional, es
mas eficiente que el método de Newton, sin embargo si dos aproximaciones sucesivas están demasiado
cercanas, pueden aparecer errores de redondeo.
Método de sustitución sucesiva:
Si la Ecuación f(x) =0 se re-arregla en la forma x=f(x); entonteces se puede escribir un método iterativo
como
donde el índice t es el numero de pasos en la iteración y x^0 es una estimación
inicial., este método también es llamando iteración de puno fijo.
La desventaja de este método consiste en su gran sencillez y flexibilidad para elegir la forma de f. la
desventaja es que la iteración no siempre converge con cualquier forma elegida fe f(x).para garantizar la
convergencia de la iteración, se debe satisfacer la siguiente condición.
En las siguientes figuras se muestra como f’(x) la convergencia de método interactivo. Se puede observar la
convergencia asintótica si 0zf’<1 y oscilatoria si -1