L.H. Wiryanto
1
BAB I
Sistem Persamaan Linear dan Matrik
Sistem persamaan linear (SPL)
Bentuk
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1
(1)
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
..
..
.
.
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm
dengan a11 , a12 , · · · , amn , b1 , b2 , · · · , bm konstan yang diketahui atau diberikan.
Sebagai catatan:
• Terdapat m persamaan dengan n tak diketahui (unknowns) (x1 , x2 , · · · , xn )
• Tiap persamaan bersifat linear terhadap x1 , x2 , · · · , xn
Penyelesaian dari SPL:
1. Tidak ada, nilai x1 , x2 , · · · , xn yang diperoleh tidak memenuhi m persamaan
yang ada. SPL dengan penyelesaian seperti ini disebut tidak konsisten
2. Banyak jawab, terdapat lebih dari satu nilai x1 , x2 , · · · , xn yang memenui persamaan
3. Tunggal, selain nilai yang diperoleh tidak ada nilai lain yang memenuhi persamaan. SPL dengan ada (banyak dan tunggal) penyelesaian disebut konsisten.
SPL sederhana:
a11 x1 + a12 x2 = b1
a21 x1 + a22 x2 = b2
• Secara geometri tiap persamaan menyatakan garis di bidang x1 − x2
• Nilai x1 dan x2 yang memenuhi merupakan perpotongan kedua garis
2
L.H. Wiryanto
• Kemungkinan dua garis di bidang:
1. sejajar → tidak ada jawab
2. berimpit → banyak jawab
3. berpotongan → jawab tunggal
Bagaimana dengan bidang di ruang?
Persamaan bidang: a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 di ruang x1 − x2 − x3
Masalah dalam SPL:
Menentukan penyelesaian
Metoda:
1. Mengeliminasikan unknowns satu-persatu dari persamaan yang ada (cara primitive)
2. Membentuk persamaan dalam matrik dan melakukan operasi baris
SPL (1) dituliskan dalam bentuk matrik








a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
am1 am2
· · · a1n
· · · a2n
..
..
.
.
· · · amn









x1
x2
..
.
xn








=







b1
b2
..
.
bm








(2)
Dalam proses perhitungan, bentuk (2) ditulis lebih sederhana dengan meniadakan
matrik yang berisikan x1 , x2 , · · · , xn , yang dikenal sebagai matrik perluasan

 a11

 a
 21
 .
 .
 .

a12
· · · a1n
a22
..
.
· · · a2n
..
..
.
.
am1 am2 · · · amn

..
. b1 

..
. b2 

.. .. 

. . 

..
. bm
Operasi Baris Elementer (OBE)
1. Mengalikan satu persamaan dengan konstanta tak nol
2. Menukar urutan dari dua persamaan
(3)
3
L.H. Wiryanto
3. Menjumlahkan suatu persamaan, yang sudah dikalikan dengan konstanta, dengan persamaan lain
Sebelum menerapkan OBE, perlu diperkenalkan matrik berikut:
Matrik eselon baris adalah matrik yang memenuhi sifat-sifat berikut
1. Bila dalam suatu baris memuat elemen tak nol, maka elemen tak nol pertama
dilihat dari kiri adalah 1, disebut leading 1.
2. Baris yang semua elemennya nol berada dibarisan bawah
3. Leading 1 dari baris lebih bawah harus lebih ke kanan
Matrik eselon tereduksi adalah matrik yang memenuhi 3 sifat di atas (eselon baris)
dan juga: Setiap kolom yang memuat leading 1, elemen lainnya harus nol.
Contoh matrik eselon tereduksi
0
0
0
0
1 −2 0 1

0 0 1 3 


0 0 0 0 

0 0 0 0

0
0
0
0
1 −2 2 1

0 0 1 3 


0 0 0 0 

0 0 0 0






Contoh matrik eselon baris









Bila diperhatikan kolom ke-4 dari kedua matrik, leading 1 dari matrik pertama adalah
satu-satunya elemen tak nol pada kolom tersebut. Tetapi pada matrik kedua, terdapat elemen tak nol lain selain leading 1 yang berada pada kolom tersebut. Sehingga
pengelompokan matriknya seperti disebutkan di atas.
Menyelesaikan SPL menggunakan OBE adalah membentuk matrik eselon atau eselon
tereduksi dari matrik perluasan. Berikut contohnya. Disini diberikan SPL (sebelah
kiri) dan penulisan dalam matrik perluasannya (kanan).

x + y + 2z = 9
 1 1 2

2x + 4y − 3z = 1 ⇔ 
 2 4 −3

3x + 6y − 5z = 0
3 6 −5
..
. 9 

..
. 1 


..
. 0

4
L.H. Wiryanto
Bentuk tersebut dilakukan 2 operasi baris sekaligus (yang tidak mengubah nilai
x, y, z-nya)
• persamaan 2 diganti dengan hasil operasi persamaan 2 dikurangi 2 kali persamaan 1
• persamaan 3 diganti dengan hasil operasi persamaan 3 dikurangi 3 kali persamaan 1
hasilnya
..
. 9 

..
. −17 


..
. −27


2
x + y + 2z
= 9
 1 1

0x + 2y − 7z = −17 ⇔ 
 0 2 −7

0x + 3y − 11z = −27
0 3 −11
Operasi:
Persamaan 2 diganti
1
2
persamaan 2. Hasilnya
.
2 .. 9
x + y + 2z
= 9
 1 1

.. −17
 0 1
−7
⇔
0x + y − 72 z = −17
.

2
2
2

.
0x + 3y − 11z = −27
.
0 3 −11 . −27







Operasi:
Persamaan 3 diganti persamaan 3 dikurang 3 kali persamaan 2. Hasilnya
x + y + 2z =
0x + y − 72 z =
0x + 0y − 12 z =
9
−17
2
−3
2

 1 1

⇔
 0 1

0 0
..
.
..
.
..
.
2
−7
2
− 12

9 
−17
2
−3
2




Operasi:
Persamaan 3 diganti -2 kali persamaan 3. Hasilnya
x + y + 2z =
0x + y − 72 z =
0x + 0y + z =

9
−17
2
3
⇔





1 1
2
0 1
−7
2
0 0
1
..
.
..
.
..
.

9 
−17
2
3




Target dari OBE disini adalah membentuk matrik eselon, dan penyelesaian diperoleh
z = 3, y = 2, x = 1.
5
L.H. Wiryanto
Contoh lain:
Tentukan k agar SPL
x−y
= 3
2x + 3ky = k
• tidak mempunyai jawab
• banyak jawab
• tepat satu jawab
Jawab:
Dari matrik perluasan
..
 1 −1 . 3 


.
2 3k .. k


OBE dilakukan, dan diperoleh
..
.
3 


.
0 3k + 2 .. k − 6

 1
−1

• Jika 3k + 2 = 0 atau k = −2/3, baris kedua ekivalen dengan 0x + 0y = −20/3,
tidak ada nilai x dan y yang memenuhi. Jadi tidak ada jawab.
• k 6= −2/3 selalu diperoleh jawab tunggal, yaitu y =
k−6
3k+2
dan x = 3 + y.
• Tidak ada nilai k yang menyebabkan banyak jawab.
Sistem Persamaan Linear Homogen (SPLH)
Bentuk
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0
(4)
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0
..
..
.
.
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = 0
(5)
Dua macam penyelesaian:
• x1 = x2 = · · · = xn = 0 jawab trivial (selalu ada pada SPLH)
6
L.H. Wiryanto
• Jawab tak trivial berupa banyak jawab, menarik untuk ditentukan.
Contoh SPLH:
Tentukan jawab dari
2x1 + 2x2 − x3 + x5
−x1 − x2 + 2x3 − 3x4 + x5
x1 + x2 − 2x3 − x5
x3 + x4 + x5
=
=
=
=
0
0
0
0
Jawab:
Dalam bentuk matrik, tidak perlu matrik perluasan tetapi matrik koefisien saja
karena semua ruas kanan dari SPL-nya bernilai nol, OBE dilakukan untuk membentuk matrik eselon









2
2
1
0
1



−1 −1 2 −3 1 


⇔


1
1 −2 0 −1 

0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0







Sebagai latihan tentukan beberapa operasi yang digunakan untuk mendapatkan matrik eselon di atas. Selanjutnya jawab SPLH diperoleh dengan mengembalikan matrik
eselon ke persamaan berikut
x1 = −x2 − x5
x3 =
−x5
x4 =
0
dengan x2 dan x5 dipilih sembarang yang tidak nol secara bersamaan, dan diperoleh
banyak jawab.
Matrik
Bentuk:

A=






a11 a12
a21 a22
··· ···
am1 am2
· · · a1n
· · · a2n
··· ···
· · · amn







Catatan:
• Nama matrik menggunakan huruf besar. Matrik di atas merupakan matrik A.
7
L.H. Wiryanto
• Elemen matrik digunakan notasi huruf kecil dengan subscript ij yang menyatakan posisi, baris ke-i kolom ke-j, yaitu aij .
• Matrik A berukuran mxn, m menyatakan banyaknya baris dan n menyatakan
banyaknya kolom.
Operasi:
1. Penjumlahan A + B didefiniskan sebagai
A + B = (aij + bij )
penjumlahan elemen perelemen pada posisi yang sama. Oleh karena itu dua
matrik dapat dijumlahkan kalau keduanya mempunyai ukuran yang sama.
2. Perkalian AB dengan syarat Amxr , Brxn dan menghasilkan matrik ukuran mxn.
Elemen matrik AB merupakan perkalian titik antara vektor baris dari A dan
vektor kolom dari B.
Matrik bujursangkar (nxn)
• Matrik identitas:

I=







1 0 ···
0 1 ···
..
..
.
.
0
0
..
.
0 0 ··· 1








• Matrik bujur sangkar yang memenuhi AB = BA = I, A dan B disebut saling
invers (B sebagai invers dari A, dinotasikan B = A−1 ).
Menentukan invers dari suatu matrik:
1. Melalui matrik elementer (tidak dibahas)
2. Melalui SPL
3. Melalui kofaktor
Untuk menjelaskan cara kedua (menentukan invers melalui SPL)
8
L.H. Wiryanto
1. Kita cukup meninjau matrik 3x3




a11 a12 a13



A=
 a21 a22 a23 
a31 a32 a33
yang diberikan dan inversnya
b11 b12 b13



B =  b21 b22 b23 

b31 b32 b33
ditentukan.
2. Hubungan AB = I dapat dijabarkan menjadi 3 SPL




b11
1







A  b21  =  0 
,
b31
0




b12
0







A  b22  =  1 
,
b32
0




b13
0







A  b23  =  0 

b33
1
Masing-masing dapat diselesaikan menggunakan OBE. Tetapi pekerjaan ini
tidak praktis, karena hanya pengulangan saja. Kita bisa lakukan OBE sekaligus
menggunakan matrik perluasan.
3. Bentuk matrik perluasan, tanpa menuliskan B, dan melakukan OBE untuk
mengubah A menjadi I, yang merupakan matrik eselon tereduksi
.
.
A..I ∼ I ..C
Hasil operasi ini bila dikembalikan dalam perkalian matrik IB = C, tidak mengubah unknown dalam hal ini B. Sedangkan IB = B. Oleh karena itu invers
dari A adalah B = C.
Contoh:
Tentukan invers dari


1 2 3



A=
 2 5 3 
1 0 8
Jawab:
9
L.H. Wiryanto
Bentuk matrik perluasan dan lakukan OBE






.
1 2 3 .. 1 0 0
.
2 5 3 .. 0 1 0
.
1 0 8 .. 0 0 1







∼





.
1 0 0 .. −40 16 9
.
0 1 0 .. 13 −5 −3
.
0 0 1 .. 5 −2 −1






Sehingga diperoleh invers
A−1


−40 16 9



=  13 −5 −3 

5 −2 −1
Determinan


a11 a12 
det 
= a11 a22 − a12 a21
a21 a22


a11 a12 a13


a22 a23
a21 a23
a21 a21

det 
− a12
+ a13
 a21 a22 a23  = a11
a32 a33
a31 a33
a31 a32
a31 a32 a33
Untuk ukuran lebih besar determinan matrik dihitung melalui sifat-sifat berikut
1. Jika Anxn memuat satu baris nol maka det(A) = 0
2. Jika Anxn matrik segitiga dengan elemen diagonalnya a11 , a22 , · · · , ann maka
det(A) = a11 a22 · · · ann
3. Anxn dan A′ merupakan matrik hasil operasi baris dari A
(a) operasi mengalikan k pada satu baris maka det(A′ ) = k det(A)
(b) A′ hasil operasi penukaran dua baris dari A maka det(A′ ) = − det(A)
(c) A′ hasil operasi: baris ke-i ← baris ke-i + k baris ke-j maka det(A′ ) =
det(A)
Uji kebenaran hubungan di atas dengan menghitung det(A3x3 ) dan det(A′ ).
10
L.H. Wiryanto
Contoh:
Hitung determinan dari


3 −1 2



A =  6 −2 3 

1 7 3
Jawab:
Bentuk matrik segitiga (atas) dari A menggunakan OBE



1 7 3


i

A =  6 −2 3 

3 −1 2
Aiii


1 7
3



=
 0 −22 −7 
0 −44 −15
Hasil:
det(A)
det(Ai )
det(Aii )
det(Aiii )

1 7
3


ii

A =  0 −44 −15 

0 −22 −7

= − det(Ai )

=
det(Aii ) 


iii 
= − det(A ) 
=
det(Aiv )


1 7
3


iv

A =
 0 −22 −7 
0 0 −1
det(A) = det(Aiv )
= 1(−22)(−1) = 22
Perluasan:
Dari Anxn
• A′ = αA → det(A′ ) = αn det(A)
• AA−1 = I → det(A−1 ) =
1
det(A)
Beberapa istilah:
1. A = (aij )nxn matrik bujursangkar. Minor dari elemen aij (notasi Mij ) didefinisikan sebagi determinan dari matrik ukuran (n − 1)x(n − 1) yang diperoleh
dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j dari A.


1
6 −3


1 6
A=
= −19
1 
 −2 7
 ⇒ M23 =
3 −1
3 −1 4
11
L.H. Wiryanto
2. Kofaktor dari aij (notasi Cij )
Cij = (−1)i+j Mij
Dengan menggunakan pengertian kofaktor, determinan dapat dirumuskan sebagai
det(A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + · · · + ain Cin , untuk suatu i (baris)
atau
det(A) = a1j C1j + a2j C2j + · · · + anj Cnj , untuk suatu j (kolom)
Menghitung determinan dengan gabungan OBE dan kofaktor dapat juga dilakukan,
seperti contoh berikut

A=






4
0 4
−1 0 1
1 −3 0
6
3 14
4
1
3
2









OBE i 

A =

⇒

4
−1
7
6
0 4 4
0 1 1
0 14 5
3 14 2







Cara kofaktor digunakan pada langkah berikut ini
4 4 4
det(A) = det(A ) = 3 −1 1 1 = 3(−72) = −216
7 14 5
i
Menentukan invers dengan kofaktor (sebagai alternative)
1. A = (aij )nxn
2. Bentuk matrik kofaktor, yaitu matrik yang elemennya merupakan kofaktor yang
bersesuaian posisinya
C = (cij ) , cij kofaktor dari aij
3. Bentuk matrik adjoint (notasi adjA) merupakan transpose (penukaran baris
dan kolom) dari matrik kofaktor
adjA = C T
12
L.H. Wiryanto
4. Invers matrik
A−1 =
Contoh:
Tentukan invers dari

1
adjA
det A

3 2 1



A=
1
6
3


2 −4 0
Jawab:
• Lakukan OBE pada A untuk menghitung determinannya






1 6
3
1 6
3
1 6
3






′





A =
 3 2 −1  ∼  0 −16 −10  ∼  0 −16 −10 
2 −4 0
0 −16 −6
0 0
4
sehingga det A = 64
• Bentuk matrik kofaktor


12 6 −16



C= 4
2
16 

12 −10 16
• Bentuk matrik adjoint


12 4 12



adjA =  6
2 −10 

−16 16 16
• Invers
A−1


12 4 12

1 

=
6
2 −10 


64
−16 16 16