Valores del seno y del coseno en los ¶
angulos fundamentales:
grados
0
30
45
60
90
radianes
0
¼
6
¼
4
¼
3
¼
2
seno
0
1
2
p
2
p2
3
2
1
coseno
1p
3
p2
2
2
1
2
0
Sen > 0
Sen > 0
Cos < 0
Cos > 0
Sen < 0
Sen < 0
Cos < 0
Cos > 0
Las relaciones fundamentales son:
1. sen(¡') = ¡ sen ', cos(¡') = cos '
2. sen2 ' + cos2 ' = 1
3. sen(' + #) = sen ' cos # + cos ' sen #, sen(' ¡ #) = sen ' cos # ¡ cos ' sen #
4. cos(' + #) = cos ' cos # ¡ sen ' sen #, cos(' ¡ #) = cos ' cos # + sen ' sen #
Es u
¶ til recordar que si 0 < ® <
¼
2
² sen ® = sen(¼ ¡ ®) = ¡ sen(¼ + ®) = ¡ sen(2¼ ¡ ®)
² cos ® = ¡ cos(¼ ¡ ®) = ¡ cos(¼ + ®) = cos(2¼ ¡ ®)
³¼
´
² sen
¡ ® = cos ®
2
³¼
´
² cos
¡ ® = sen ®
2
y en todo caso que
² arcsen(sen ®) = arccos(cos ®) = arctg(tg ®) = ®
² sen(arcsen x) = cos(arccos x) = tg(arctg x) = x
π −α
2
α
Demostrar:
1. 1 + tg2 ' =
1
cos2 '
2. sen(2') = 2 sen ' cos '
3. cos(2') = cos2 ' ¡ sen2 '
4. tg(' + #) =
tg ' + tg #
1 ¡ tg ' tg #
5. tg(' ¡ #) =
tg ' ¡ tg #
1 + tg ' tg #
6. sen2 ' =
1
(1 ¡ cos(2'))
2
7. cos2 ' =
1
(1 + cos(2'))
2
8. tg
1 ¡ cos '
sen '
'
=
=
2
sen '
1 + cos '
9. sen ' sen # =
1
[cos(' ¡ #) ¡ cos(' + #)]
2
10. cos ' cos # =
1
[cos(' ¡ #) + cos(' + #)]
2
11. sen ' cos # =
1
[sen(' + #) + sen(' ¡ #)]
2
1
[sen(' + #) ¡ sen(' ¡ #)]
2
sen x
x
=
13. Comprobar que arctg
1 + cos x
2
12. cos ' sen # =
14. Comprobar que
sen4 x ¡ sen2 x
cos2 x ¡ sen2 x
=
=1
cos4 x ¡ cos2 x
cos4 x ¡ sen4 x
Ejemplos:
² tg(' + #) =
tg(' + #) =
² tg
tg ' + tg #
1 ¡ tg ' tg #
sen(' + #)
sen ' cos # + cos ' sen #
=
=
cos(' + #)
cos ' cos # ¡ sen ' sen #
'
1 ¡ cos '
=
2
sen '
sen ' cos #
cos ' cos #
cos ' cos #
cos ' cos #
+
¡
cos ' sen #
cos ' cos #
sen ' sen #
cos ' cos #
=
tg ' + tg #
1 ¡ tg ' tg #
³ '´
'
'
'
'
Usaremos las identidades: sen ' = sen 2
= 2 sen cos y cos ' = cos2 ¡ sen2
2
2
2
2
2
¡ 2'
¢
¡
¢
2 '
2 '
2 '
2 '
1 ¡ cos 2 ¡ sen 2
1 ¡ cos 2 + sen 2
2 sen 2
1 ¡ cos '
'
=
=
=
= tg
sen '
2 sen '2 cos '2
2 sen '2 cos '2
2 sen '2 cos '2
2
Resolver en el dominio que se indica:
³¼ ´
1. 2 tg x ¡ 3 ctg x ¡ 1 = 0 en
;¼ .
2
¸
·
¼ 3¼
2
;
.
2. 3 sen x ¡ 5 sen x + 2 = 0 en
4 4
3. cos2 x ¡ 3 sen2 x = 0 en [0; 2¼]
4. cos(2x) = 1 + 4 sen x en [0; 2¼]
5. tg(2x) = ¡ tg x en [0; 2¼]
6. 4 sen
x
+ 2 cos x = 3 en [0; 2¼]
2
7. Resolver 3 sen2 x = 2(2 + cos x); 0 < x < 2¼
8. Resolver sen(2x) = cos x; ¡
¼
¼
·x·
2
2
Soluciones:
1
y multiplicamos por tg x. As¶³ tenemos la ecuaci¶on
tg x
p
1 § 1 + 24
1§5
6
3
=
) tg x =
= , que se elimina
2 tg2 x ¡ tg x ¡ 3 = 0 ) tg x =
4
4
4
2
por pertenecer el ¶angulo al primer o tercer cuadrante (la tangente es positiva) y tg x = ¡1, que
3¼ ³
¼´
=¼¡
y es la soluci¶on buscada.
corresponde a x =
4
4
p
5 § 25 ¡ 24
5§1
4
2
2
=
) sen x = = , que se elimina
2. 3 sen x ¡ 5 sen x + 2 = 0 ) sen x =
6
6
6
3
¼
por no pertenecer al dominio y sen x = 1, que suministra la soluci¶on x =
2
p
3
2
2
2
2
2
.
3. cos x ¡ 3 sen x = 0 ) cos x ¡ 3(1 ¡ cos x) = 0 ) 4 cos x ¡ 3 = 0 ) cos x = §
2
p
3
¼
¼
11¼
cos x =
) x = ¶o x = 2¼ ¡ =
2
6
6
6
p
3
¼
5¼
¼
7¼
cos x = ¡
) x=¼¡ =
o¶ x = ¼ + =
2
6
6
6
6
1. Tenemos en cuenta que ctg x =
4. cos(2x) = 1 + 4 sen x ) cos2 x ¡ sen2 x = 1 + 4 sen x ) 1 ¡ sen2 x ¡ sen2 x = 1 + 4 sen x )
2 sen2 x + 4 sen x = 0 ) 2 sen x(sen x + 2) = 0. Asi, sen x = 0 y las soluciones son 0; ¼; 2¼, ya
que sen x + 2 6
= 0; 8x.
sen(2x)
sen x
2 sen x cos
sen x
=¡
)
=¡
. Multiplicando en cruz y
cos(2x)
cos x
cos2 x ¡ sen2 x
cos x
2
2
2
como sen x = 1 ¡ cos x, tenemos sen x(4 cos x ¡ 1) = 0
5. tg(2x) = ¡ tg x )
sen x = 0 ) x = 0; ¼; 2¼. (Obs¶ervese que si el dominio fuera [0; 2¼), x = 2¼ no ser¶³a soluci¶on.)
1
1
¼
¼
5¼
1
4 cos2 x ¡ 1 = 0 ) cos x = § . Si cos x =
) x = ¶o x = 2¼ ¡ =
. Si cos x = ¡
)
2
2
3
3
3
2
¼
2¼
¼
4¼
x=¼¡ =
¶o x = ¼ + =
.
3
3
3
3
³
³
x
x
x
x´
x
x´
6. 4 sen + 2 cos x = 3 ) 4 sen + 2 cos2 ¡ sen2
= 3 ) 4 sen + 2 1 ¡ sen2
¡
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
1
¡ 2 sen2 = 3 ) 4 sen2 ¡ 4 sen + 1 = 0. Asi, sen = , como soluci¶on u
¶ nica. Se sigue que
2
2
2
2
2
x
¼
¼
5¼
¼
5¼
= ¶o x = ¼ ¡ =
. Por tanto x = ¶o x =
2
6
6
6
3
3
7. 3 sen2 x = 2(2 + cos x) ) 3 ¡ 3 cos2 x = 4 + 2 cos x ) 3 cos2 x + 2 cos x + 1 = 0, ecuaci¶on que
no tiene soluciones reales. Por tanto no hay soluci¶on.
¼ ¼
8. sen(2x) = cos x ) 2 sen x cos x = cos x ) cos x(2 sen x ¡ 1) = 0. Si cos x = 0, x = ¡ ;
(en
2 2
¼
el dominio). Si 2 sen x ¡ 1 = 0 ) x = (tambi¶en en el dominio).
6
Resoluci¶
on de tri¶
angulos: En todo tri¶angulo los ¶angulos se representan con letras may¶
usculas (A;
B y C) y los lados con la misma letra que el ¶angulo opuesto, s¶olo que en min¶
usculas.
A
b
c
C
a
B
Se llama resolver un tri¶
angulo a hallar el valor de los ¶angulos y lados desconocidos a partir de los
datos. Para ello disponemos de los:
Teorema del seno: Los lados de un tri¶angulo son proporcionales a los senos de los ¶angulos opuestos,
es decir
a
b
c
=
=
sen A
sen B
sen C
Teorema del coseno:
a2 = b2 + c2 ¡ 2bc cos A
b2 = a2 + c2 ¡ 2ac cos B
c2 = a2 + b2 ¡ 2ab cos C
N¶otese que las tres expresiones son similares. Basta realizar una permutaci¶on de letras.
Tenemos, adem¶as, A + B + C = ¼ = 180o
Resolver los siguientes tri¶
angulos:
1. a = 4 metros, b = 5 metros y B = 30o . Sol: c = 80 1 metros, A = 230 58o y C = 1260 42o
2. a = 1200 metros, c = 700 metros y B = 108o . Sol: b = 15640 97 metros, C = 250 18o y A = 460 82o
3. a = 1792 metros, b = 4231 metros y c = 3164. Sol: A = 220 75o , B = 1140 3o y C = 420 95o
4. Hallar x con los datos de la ¯gura
de la derecha. Sol: x = 188 metros.
5. Hallar x con los datos de la ¯gura
de abajo. Sol: x = 157 metros.
x
90º
x
75º
60º
50º
200 metros
25º
32º
40º
46º
300 metros